Mix Examples - Coordinate Geometry Questions in Gujarati

(N/A) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$ અને $C(x_3, y_3)$ છે.
ધારો કે મધ્યબિંદુઓ $D(3,1)$,$E(5,6)$ અને $F(-3,2)$ છે.
મધ્યબિંદુ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$(x_1+x_2)/2 = 3, (y_1+y_2)/2 = 1 \implies x_1+x_2 = 6, y_1+y_2 = 2$ (સમીકરણ $1$)
$(x_2+x_3)/2 = 5, (y_2+y_3)/2 = 6 \implies x_2+x_3 = 10, y_2+y_3 = 12$ (સમીકરણ $2$)
$(x_3+x_1)/2 = -3, (y_3+y_1)/2 = 2 \implies x_3+x_1 = -6, y_3+y_1 = 4$ (સમીકરણ $3$)
બધા સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2(x_1+x_2+x_3) = 6+10-6 = 10 \implies x_1+x_2+x_3 = 5$.
તે જ રીતે,$y_1+y_2+y_3 = (2+12+4)/2 = 9$.
સરવાળામાંથી સમીકરણ $2$ બાદ કરતા: $x_1 = 5-10 = -5$ અને $y_1 = 9-12 = -3$.
સરવાળામાંથી સમીકરણ $3$ બાદ કરતા: $x_2 = 5-(-6) = 11$ અને $y_2 = 9-4 = 5$.
સરવાળામાંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા: $x_3 = 5-6 = -1$ અને $y_3 = 9-2 = 7$.
આમ,શિરોબિંદુઓ $(-5,-3), (11,5), (-1,7)$ છે.

(A) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે. આનો અર્થ એ છે કે વિકર્ણ $AC$ નું મધ્યબિંદુ એ વિકર્ણ $BD$ ના મધ્યબિંદુ સમાન હોય છે.
$AC$ નું મધ્યબિંદુ $= ((-2+x)/2, (1+3)/2) = ((-2+x)/2, 2)$.
$BD$ નું મધ્યબિંદુ $= ((1+1)/2, (0+y)/2) = (1, y/2)$.
મધ્યબિંદુઓના યામોને સરખાવતા:
$(-2+x)/2 = 1 \implies -2+x = 2 \implies x = 4$.
$y/2 = 2 \implies y = 4$.
તેથી,$x=4$ અને $y=4$ મળે છે.

(D) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ હોય,તો તેનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
અહીં આપેલ શિરોબિંદુઓ $A(8, 2)$,$B(2, 4)$ અને $C(6, 7)$ છે.
તેથી,$x_1 = 8, y_1 = 2, x_2 = 2, y_2 = 4, x_3 = 6, y_3 = 7$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |8(4 - 7) + 2(7 - 2) + 6(2 - 4)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |8(-3) + 2(5) + 6(-2)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |-24 + 10 - 12|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |-26|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{26}{2} = 13$.
આમ,$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $13$ ચોરસ એકમ છે.

(C) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ હોય,તો તેનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
અહીં આપેલ શિરોબિંદુઓ $A(a, 5), B(6, 7)$ અને $C(2, 3)$ છે અને ક્ષેત્રફળ $= 10$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$10 = \frac{1}{2} |a(7 - 3) + 6(3 - 5) + 2(5 - 7)|$
$20 = |a(4) + 6(-2) + 2(-2)|$
$20 = |4a - 12 - 4|$
$20 = |4a - 16|$
આના બે કિસ્સાઓ મળે:
કિસ્સો $1$: $4a - 16 = 20 \implies 4a = 36 \implies a = 9$
કિસ્સો $2$: $4a - 16 = -20 \implies 4a = -4 \implies a = -1$
આમ,$a$ ની શક્ય કિંમતો $9$ અથવા $-1$ છે.

(B) ધારો કે પંચકોણના શિરોબિંદુઓ $A(4,3), B(-5,6), C(-7,-2), D(0,-7)$ અને $E(3,-6)$ છે.
આપણે પંચકોણને ત્રણ ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરી શકીએ છીએ: $\Delta ABE, \Delta BCE$ અને $\Delta CDE$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ જેનાં શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ હોય,તેનું સૂત્ર $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ છે.
$1$. $\Delta ABE$ નું ક્ષેત્રફળ,જેના શિરોબિંદુઓ $A(4,3), B(-5,6), E(3,-6)$ છે:
$= \frac{1}{2} |4(6 - (-6)) + (-5)(-6 - 3) + 3(3 - 6)|$
$= \frac{1}{2} |4(12) + (-5)(-9) + 3(-3)|$
$= \frac{1}{2} |48 + 45 - 9| = \frac{1}{2} |84| = 42$ ચોરસ એકમ.
$2$. $\Delta BCE$ નું ક્ષેત્રફળ,જેના શિરોબિંદુઓ $B(-5,6), C(-7,-2), E(3,-6)$ છે:
$= \frac{1}{2} |-5(-2 - (-6)) + (-7)(-6 - 6) + 3(6 - (-2))|$
$= \frac{1}{2} |-5(4) + (-7)(-12) + 3(8)|$
$= \frac{1}{2} |-20 + 84 + 24| = \frac{1}{2} |88| = 44$ ચોરસ એકમ.
$3$. $\Delta CDE$ નું ક્ષેત્રફળ,જેના શિરોબિંદુઓ $C(-7,-2), D(0,-7), E(3,-6)$ છે:
$= \frac{1}{2} |-7(-7 - (-6)) + 0(-6 - (-2)) + 3(-2 - (-7))|$
$= \frac{1}{2} |-7(-1) + 0 + 3(5)|$
$= \frac{1}{2} |7 + 15| = \frac{1}{2} |22| = 11$ ચોરસ એકમ.
પંચકોણ $ABCDE$ નું કુલ ક્ષેત્રફળ $= \text{Area}(\Delta ABE) + \text{Area}(\Delta BCE) + \text{Area}(\Delta CDE)$
$= 42 + 44 + 11 = 97$ ચોરસ એકમ.

(C) $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
આપેલ શિરોબિંદુઓ $A(3, 2), B(11, 8)$ અને $C(8, 12)$ છે.
અહીં,$x_1 = 3, y_1 = 2, x_2 = 11, y_2 = 8, x_3 = 8, y_3 = 12$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |3(8 - 12) + 11(12 - 2) + 8(2 - 8)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |3(-4) + 11(10) + 8(-6)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |-12 + 110 - 48|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |50|$
ક્ષેત્રફળ $= 25$ ચોરસ એકમ.

(N/A) $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
આપેલ શિરોબિંદુઓ $A(5, a)$,$B(2, 5)$ અને $C(2, 3)$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |5(5 - 3) + 2(3 - a) + 2(a - 5)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |5(2) + 6 - 2a + 2a - 10|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |10 + 6 - 10|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |6|$
ક્ષેત્રફળ $= 3$ ચોરસ એકમ.
પરિણામ $a$ થી સ્વતંત્ર હોવાથી,દરેક $a \in R$ માટે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $3$ ચોરસ એકમ થાય છે.

(A) ધારો કે ચતુષ્કોણના શિરોબિંદુઓ $A(-1, -1), B(-4, -2), C(-5, -4)$ અને $D(-2, -3)$ છે.
ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે ચતુષ્કોણને બે ત્રિકોણો,$\triangle ABC$ અને $\triangle ADC$ માં વિભાજિત કરીએ છીએ.
$(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |(-1)(-2 - (-4)) + (-4)(-4 - (-1)) + (-5)(-1 - (-2))|$
$= \frac{1}{2} |(-1)(2) + (-4)(-3) + (-5)(1)| = \frac{1}{2} |-2 + 12 - 5| = \frac{1}{2} |5| = 2.5$.
$\triangle ADC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |(-1)(-4 - (-3)) + (-5)(-3 - (-1)) + (-2)(-1 - (-4))|$
$= \frac{1}{2} |(-1)(-1) + (-5)(-2) + (-2)(3)| = \frac{1}{2} |1 + 10 - 6| = \frac{1}{2} |5| = 2.5$.
કુલ ક્ષેત્રફળ = $\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ + $\triangle ADC$ નું ક્ષેત્રફળ $= 2.5 + 2.5 = 5$ ચોરસ એકમ.

(B) $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
આપેલ શિરોબિંદુઓ $A(5, 3)$,$B(4, 5)$ અને $C(3, 1)$ છે.
અહીં,$x_1 = 5, y_1 = 3, x_2 = 4, y_2 = 5, x_3 = 3, y_3 = 1$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |5(5 - 1) + 4(1 - 3) + 3(3 - 5)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |5(4) + 4(-2) + 3(-2)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |20 - 8 - 6|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |6| = 3 \text{ ચોરસ એકમ}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(N/A) $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ છે:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
અહીં આપેલા શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1) = (t, t-2)$,$(x_2, y_2) = (t+2, t+2)$ અને $(x_3, y_3) = (t+3, t)$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |t((t+2) - t) + (t+2)(t - (t-2)) + (t+3)((t-2) - (t+2))|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |t(2) + (t+2)(2) + (t+3)(-4)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |2t + 2t + 4 - 4t - 12|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |(2t + 2t - 4t) + (4 - 12)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |0 - 8| = \frac{1}{2} |-8| = 4$ ચોરસ એકમ.
પરિણામ $4$ મળે છે,જે અચળ છે,તેથી ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $t$ ની કિંમત પર આધારિત નથી.

(D) ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$.
અહીં,પાયો એ બાજુ $\overline{BC}$ ની લંબાઈ છે અને વેધ એ $A$ માંથી $\overline{BC}$ પર દોરેલી લંબાઈ છે.
પ્રથમ,અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $\overline{BC}$ ની લંબાઈ શોધો: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
$B(-2, 1)$ અને $C(6, 3)$ માટે,$BC = \sqrt{(6 - (-2))^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{8^2 + 2^2} = \sqrt{64 + 4} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}$.
આપેલ છે કે $\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= 28$,તેથી: $28 = \frac{1}{2} \times (2\sqrt{17}) \times h$.
$28 = \sqrt{17} \times h$.
તેથી,વેધની લંબાઈ $h = \frac{28}{\sqrt{17}}$.

(A) શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1), (x_2, y_2), \dots, (x_n, y_n)$ ધરાવતા બહુકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે, આપણે શૂલેસ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |(x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_5 + x_5y_1) - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_5 + y_5x_1)|$
આપેલ શિરોબિંદુઓ: $(1, 5), (-2, 4), (-3, -1), (2, -3), (5, 1)$.
સરવાળો $1 = (1 \times 4) + (-2 \times -1) + (-3 \times -3) + (2 \times 1) + (5 \times 5) = 4 + 2 + 9 + 2 + 25 = 42$
સરવાળો $2 = (5 \times -2) + (4 \times -3) + (-1 \times 2) + (-3 \times 5) + (1 \times 1) = -10 - 12 - 2 - 15 + 1 = -38$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |42 - (-38)| = \frac{1}{2} |42 + 38| = \frac{1}{2} |80| = 40$ ચોરસ એકમ.

(B) ત્રિકોણની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડવાથી બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ એ મૂળ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ કરતાં ચોથા ભાગનું હોય છે.
પ્રથમ,$D(2, 1), E(-2, 3)$ અને $F(4, -3)$ યામોનો ઉપયોગ કરીને $\Delta DEF$ નું ક્ષેત્રફળ શોધો.
$\Delta DEF$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
$\Delta DEF$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |2(3 - (-3)) + (-2)(-3 - 1) + 4(1 - 3)|$
$\Delta DEF$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |2(6) + (-2)(-4) + 4(-2)|$
$\Delta DEF$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |12 + 8 - 8| = \frac{1}{2} |12| = 6 \text{ ચોરસ એકમ}$.
કારણ કે $\text{Area}(\Delta ABC) = 4 \times \text{Area}(\Delta DEF)$,
$\text{Area}(\Delta ABC) = 4 \times 6 = 24 \text{ ચોરસ એકમ}$.

(C) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1), (x_2, y_2),$ અને $(x_3, y_3)$ હોય,તો તેનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
અહીં આપેલા શિરોબિંદુઓ $A(h, k), B(1, 1),$ અને $C(2, 1)$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |h(1 - 1) + 1(1 - k) + 2(k - 1)| = 1$
$\frac{1}{2} |0 + 1 - k + 2k - 2| = 1$
$\frac{1}{2} |k - 1| = 1$
$|k - 1| = 2$
આનો અર્થ એ થાય કે $k - 1 = 2$ અથવા $k - 1 = -2$.
જો $k - 1 = 2$ હોય,તો $k = 3$.
જો $k - 1 = -2$ હોય,તો $k = -1$.
તેથી,$k$ ની શક્ય કિંમતો $3$ અથવા $-1$ છે.

(A) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ હોય ત્યારે ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર: $\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ છે.
આપેલ શિરોબિંદુઓ $A(2, 1)$,$B(3, -2)$ અને $C(x, x+3)$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $5 = \frac{1}{2} |2(-2 - (x+3)) + 3((x+3) - 1) + x(1 - (-2))|$.
$10 = |2(-x - 5) + 3(x + 2) + 3x|$.
$10 = |-2x - 10 + 3x + 6 + 3x|$.
$10 = |4x - 4|$.
આના બે કિસ્સાઓ મળે છે:
કિસ્સો $1$: $4x - 4 = 10 \Rightarrow 4x = 14 \Rightarrow x = \frac{7}{2}$. તેથી $y = \frac{7}{2} + 3 = \frac{13}{2}$.
કિસ્સો $2$: $4x - 4 = -10 \Rightarrow 4x = -6 \Rightarrow x = -\frac{3}{2}$. તેથી $y = -\frac{3}{2} + 3 = \frac{3}{2}$.
આમ,ત્રીજા શિરોબિંદુના યામ $(\frac{7}{2}, \frac{13}{2})$ અને $(-\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$ છે.

(A) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓના યામ $(x_1, y_1) = (1, 2)$,$(x_2, y_2) = (3, 3)$ અને $(x_3, y_3) = (5, 1)$ છે.
$(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્ર $(G)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$G = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$G = \left( \frac{1 + 3 + 5}{3}, \frac{2 + 3 + 1}{3} \right)$
$G = \left( \frac{9}{3}, \frac{6}{3} \right)$
$G = (3, 2)$
આમ,ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર $(3, 2)$ છે.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(3,0), B(-1,-6),$ અને $C(4,-1)$ છે. ધારો કે પરિકેન્દ્ર $O(x,y)$ છે.
$O$ પરિકેન્દ્ર હોવાથી,$OA^2 = OB^2 = OC^2$ થાય.
$OA^2 = (x-3)^2 + (y-0)^2 = x^2 - 6x + 9 + y^2$
$OB^2 = (x+1)^2 + (y+6)^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2 + 12y + 36 = x^2 + y^2 + 2x + 12y + 37$
$OC^2 = (x-4)^2 + (y+1)^2 = x^2 - 8x + 16 + y^2 + 2y + 1 = x^2 + y^2 - 8x + 2y + 17$
$OA^2 = OB^2$ ને સરખાવતા: $x^2 - 6x + 9 + y^2 = x^2 + y^2 + 2x + 12y + 37 \implies -8x - 12y = 28 \implies 2x + 3y = -7$ (સમીકરણ $1$).
$OB^2 = OC^2$ ને સરખાવતા: $x^2 + y^2 + 2x + 12y + 37 = x^2 + y^2 - 8x + 2y + 17 \implies 10x + 10y = -20 \implies x + y = -2$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ અને $2$ ઉકેલતા: $2$ પરથી,$x = -2 - y$. તેને $1$ માં મૂકતા: $2(-2-y) + 3y = -7 \implies -4 - 2y + 3y = -7 \implies y = -3$.
તેથી $x = -2 - (-3) = 1$. આમ,પરિકેન્દ્ર $(1, -3)$ છે.
પરિત્રિજ્યા $R = OA = \sqrt{(1-3)^2 + (-3-0)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$.

(C) ધારો કે પરિકેન્દ્ર $O(x, y)$ છે. પરિકેન્દ્ર એ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A, B$ અને $C$ થી સમાન અંતરે હોય છે. તેથી,$OA^2 = OB^2 = OC^2$.
આપેલ છે કે $A(1, 2)$,$B(-2, 2)$ અને $C(1, 5)$.
$OA^2 = (x - 1)^2 + (y - 2)^2$
$OB^2 = (x + 2)^2 + (y - 2)^2$
$OC^2 = (x - 1)^2 + (y - 5)^2$
$OA^2 = OB^2$ સરખાવતા:
$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = (x + 2)^2 + (y - 2)^2$
$(x - 1)^2 = (x + 2)^2$
$x^2 - 2x + 1 = x^2 + 4x + 4$
$-6x = 3 \implies x = -0.5$
$OA^2 = OC^2$ સરખાવતા:
$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = (x - 1)^2 + (y - 5)^2$
$(y - 2)^2 = (y - 5)^2$
$y^2 - 4y + 4 = y^2 - 10y + 25$
$6y = 21 \implies y = 3.5$
આમ,પરિકેન્દ્ર $(-0.5, 3.5)$ અથવા $\left(-\frac{1}{2}, \frac{7}{2}\right)$ છે.

(D) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(3, -5)$,$B(-7, 4)$ અને $C(x, y)$ છે.
ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્ર $G(x_g, y_g)$ માટેનું સૂત્ર $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણ માટે નીચે મુજબ છે:
$x_g = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}$ અને $y_g = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}$.
અહીં $G = (2, -1)$ આપેલ છે,તેથી:
$2 = \frac{3 + (-7) + x}{3} \implies 6 = -4 + x \implies x = 10$.
$-1 = \frac{-5 + 4 + y}{3} \implies -3 = -1 + y \implies y = -2$.
આમ,ત્રીજા શિરોબિંદુના યામ $(10, -2)$ છે.

(D) આપેલા શિરોબિંદુઓ $A(8,6)$,$B(8,-2)$ અને $C(2,-2)$ છે.
પ્રથમ,ત્રિકોણનો પ્રકાર તપાસો. બાજુ $AB$ શિરોલંબ છે $(x=8)$ અને બાજુ $BC$ સમક્ષિતિજ છે $(y=-2)$.
$AB$ એ $BC$ ને લંબ હોવાથી,ત્રિકોણ $ABC$ એ શિરોબિંદુ $B(8,-2)$ આગળ કાટખૂણો ધરાવતો કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,પરિકેન્દ્ર એ કર્ણનું મધ્યબિંદુ હોય છે.
કર્ણ એ શિરોબિંદુઓ $A(8,6)$ અને $C(2,-2)$ ને જોડતી બાજુ $AC$ છે.
$AC$ નું મધ્યબિંદુ $(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}) = (\frac{8+2}{2}, \frac{6-2}{2}) = (\frac{10}{2}, \frac{4}{2}) = (5,2)$ દ્વારા મળે છે.
આમ,પરિકેન્દ્ર $(5,2)$ છે.

(A) $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્ર $(G)$ નું સૂત્ર: $G = (\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3})$ છે.
આપેલ શિરોબિંદુઓ $(-5, 3), (a, -1)$ અને $(6, b)$ છે અને મધ્યકેન્દ્ર $(1, -1)$ છે.
$x$-યામને સરખાવતા: $\frac{-5 + a + 6}{3} = 1 \implies a + 1 = 3 \implies a = 2$.
$y$-યામને સરખાવતા: $\frac{3 - 1 + b}{3} = -1 \implies 2 + b = -3 \implies b = -5$.
તેથી,$a = 2$ અને $b = -5$ મળે છે.

(N/A) $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્ર $(G)$ નું સૂત્ર: $G = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)$ છે.
આપેલ શિરોબિંદુઓ $(1, a), (2, b), (c^2, -3)$ માટે,મધ્યકેન્દ્રનો $x$-યામ $x_G = \frac{1 + 2 + c^2}{3} = \frac{3 + c^2}{3} = 1 + \frac{c^2}{3}$ થાય.
જો મધ્યકેન્દ્ર $Y$-અક્ષ પર હોય,તો તેનો $x$-યામ $0$ હોવો જોઈએ.
$x_G = 0$ લેતા,આપણને $1 + \frac{c^2}{3} = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{c^2}{3} = -1$ અથવા $c^2 = -3$.
કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $c$ નો વર્ગ ઋણ હોઈ શકે નહીં $(c^2 \geq 0)$,તેથી $c$ ની એવી કોઈ વાસ્તવિક કિંમત નથી જેના માટે $x_G = 0$ થાય.
આથી,મધ્યકેન્દ્ર $Y$-અક્ષ પર હોઈ શકે નહીં.

(N/A) ધારો કે $\Delta ABC$ ના શિરોબિંદુઓ $A(3h, 3k)$,$B(-3a, 0)$ અને $C(3a, 0)$ છે.
મધ્યકેન્દ્ર $G$ ના યામ નીચે મુજબ મળે:
$G = \left( \frac{3h - 3a + 3a}{3}, \frac{3k + 0 + 0}{3} \right) = (h, k)$.
હવે,બાજુઓના વર્ગોનો સરવાળો ગણીએ:
$AB^2 = (3h - (-3a))^2 + (3k - 0)^2 = (3h + 3a)^2 + 9k^2 = 9(h+a)^2 + 9k^2 = 9(h^2 + 2ha + a^2 + k^2)$
$BC^2 = (3a - (-3a))^2 + (0 - 0)^2 = (6a)^2 = 36a^2$
$AC^2 = (3h - 3a)^2 + (3k - 0)^2 = 9(h-a)^2 + 9k^2 = 9(h^2 - 2ha + a^2 + k^2)$
આનો સરવાળો કરતા:
$AB^2 + BC^2 + AC^2 = 9(h^2 + 2ha + a^2 + k^2) + 36a^2 + 9(h^2 - 2ha + a^2 + k^2)$
$= 9(2h^2 + 2a^2 + 2k^2) + 36a^2 = 18h^2 + 18k^2 + 18a^2 + 36a^2 = 18(h^2 + k^2 + 3a^2)$ ... $(1)$
હવે,$3(GA^2 + GB^2 + GC^2)$ ની ગણતરી કરીએ:
$GA^2 = (h - 3h)^2 + (k - 3k)^2 = (-2h)^2 + (-2k)^2 = 4h^2 + 4k^2$
$GB^2 = (h - (-3a))^2 + (k - 0)^2 = (h + 3a)^2 + k^2 = h^2 + 6ha + 9a^2 + k^2$
$GC^2 = (h - 3a)^2 + (k - 0)^2 = (h - 3a)^2 + k^2 = h^2 - 6ha + 9a^2 + k^2$
આનો સરવાળો કરતા:
$GA^2 + GB^2 + GC^2 = (4h^2 + 4k^2) + (h^2 + 6ha + 9a^2 + k^2) + (h^2 - 6ha + 9a^2 + k^2) = 6h^2 + 6k^2 + 18a^2$
$3(GA^2 + GB^2 + GC^2) = 3(6h^2 + 6k^2 + 18a^2) = 18(h^2 + k^2 + 3a^2)$ ... $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,$AB^2 + BC^2 + AC^2 = 3(GA^2 + GB^2 + GC^2)$ સાબિત થાય છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $P$ ના યામ $(x, y)$ છે.
આપેલ છે કે $PA = PB$,તેથી $PA^2 = PB^2$.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = (x - 6)^2 + (y - 6)^2$.
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા: $x^2 - 4x + 4 + y^2 - 4y + 4 = x^2 - 12x + 36 + y^2 - 12y + 36$.
સાદું રૂપ આપતા: $8x + 8y = 64$,જે $x + y = 8$ આપે છે (સમીકરણ $1$).
$\Delta PAB$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 4$ છે.
બિંદુઓ $P(x, y)$,$A(2, 2)$,અને $B(6, 6)$ ની કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{2} |x(2 - 6) + 2(6 - y) + 6(y - 2)| = 4$.
$\frac{1}{2} |-4x + 12 - 2y + 6y - 12| = 4$.
$\frac{1}{2} |-4x + 4y| = 4$,જેનું સાદું રૂપ $|-x + y| = 2$ થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે $-x + y = 2$ અથવા $-x + y = -2$ (સમીકરણ $2$).
$x + y = 8$ અને $-x + y = 2$ ને ઉકેલતા $2y = 10 \Rightarrow y = 5$ અને $x = 3$ મળે છે.
$x + y = 8$ અને $-x + y = -2$ ને ઉકેલતા $2y = 6 \Rightarrow y = 3$ અને $x = 5$ મળે છે.
આમ,$P$ ના યામ $(3, 5)$ અથવા $(5, 3)$ છે.

(N/A) ધારો કે ચતુષ્કોણ $\square ABCD$ ના શિરોબિંદુઓ $A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$,$C(x_3, y_3)$ અને $D(x_4, y_4)$ છે.
ધારો કે $P, Q, R$ અને $S$ એ અનુક્રમે બાજુઓ $\overline{AB}$,$\overline{BC}$,$\overline{CD}$ અને $\overline{DA}$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
મધ્યબિંદુના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,યામ નીચે મુજબ છે:
$P = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$,$Q = \left(\frac{x_2+x_3}{2}, \frac{y_2+y_3}{2}\right)$,$R = \left(\frac{x_3+x_4}{2}, \frac{y_3+y_4}{2}\right)$,$S = \left(\frac{x_4+x_1}{2}, \frac{y_4+y_1}{2}\right)$.
ચતુષ્કોણ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ ત્યારે જ કહેવાય જો તેના વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે,એટલે કે તેઓ એક જ મધ્યબિંદુ ધરાવતા હોય.
વિકર્ણ $\overline{PR}$ નું મધ્યબિંદુ:
$= \left( \frac{\frac{x_1+x_2}{2} + \frac{x_3+x_4}{2}}{2}, \frac{\frac{y_1+y_2}{2} + \frac{y_3+y_4}{2}}{2} \right) = \left( \frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}, \frac{y_1+y_2+y_3+y_4}{4} \right)$.
વિકર્ણ $\overline{QS}$ નું મધ્યબિંદુ:
$= \left( \frac{\frac{x_2+x_3}{2} + \frac{x_4+x_1}{2}}{2}, \frac{\frac{y_2+y_3}{2} + \frac{y_4+y_1}{2}}{2} \right) = \left( \frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}, \frac{y_1+y_2+y_3+y_4}{4} \right)$.
વિકર્ણો $\overline{PR}$ અને $\overline{QS}$ ના મધ્યબિંદુઓ સમાન હોવાથી,વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે.
તેથી,$\square PQRS$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(A) ધારો કે $C$ ના યામ $(x, y)$ છે.
$\Delta ABC$ ના મધ્યકેન્દ્ર $G$ ના યામ $\left(\frac{2+3+x}{3}, \frac{-3-2+y}{3}\right) = \left(\frac{x+5}{3}, \frac{y-5}{3}\right)$ થાય.
આપેલ છે કે મધ્યકેન્દ્રનો $Y$-યામ તેના $X$-યામના ત્રણ ગણા કરતા $8$ ઓછો છે:
$\frac{y-5}{3} = 3\left(\frac{x+5}{3}\right) - 8$
$\frac{y-5}{3} = x + 5 - 8$
$\frac{y-5}{3} = x - 3$
$y - 5 = 3x - 9 \implies 3x - y = 4$ ... $(1)$
$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = \frac{3}{2}$ છે.
$\frac{1}{2} |2(-2 - y) + 3(y - (-3)) + x(-3 - (-2))| = \frac{3}{2}$
$|-4 - 2y + 3y + 9 - x| = 3$
$|y - x + 5| = 3$
આથી બે કિસ્સા મળે: $y - x + 5 = 3$ અથવા $y - x + 5 = -3$.
કિસ્સો $1$: $y - x = -2 \implies x - y = 2$ ... $(2)$
કિસ્સો $2$: $y - x = -8 \implies x - y = 8$ ... $(3)$
$(1)$ અને $(2)$ ઉકેલતા: $3x - y = 4$ અને $x - y = 2$. બાદબાકી કરતા $2x = 2 \implies x = 1$. તેથી $y = -1$.
$(1)$ અને $(3)$ ઉકેલતા: $3x - y = 4$ અને $x - y = 8$. બાદબાકી કરતા $2x = -4 \implies x = -2$. તેથી $y = -10$.
આમ,$C$ ના યામ $(1, -1)$ અથવા $(-2, -10)$ છે.

(N/A) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$ અને $C(x_3, y_3)$ છે.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે $D, E$ અને $F$ એ અનુક્રમે બાજુઓ $BC, AC$ અને $AB$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
મધ્યબિંદુઓના યામ $D = (\frac{x_2+x_3}{2}, \frac{y_2+y_3}{2})$,$E = (\frac{x_1+x_3}{2}, \frac{y_1+y_3}{2})$ અને $F = (\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})$ છે.
$\triangle DEF$ માટે ક્ષેત્રફળના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,આપણે ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_D(y_E - y_F) + x_E(y_F - y_D) + x_F(y_D - y_E)|$ તરીકે ગણીએ છીએ.
યામોને મૂકીને અને સાદુંરૂપ આપતા,આપણને $\triangle DEF$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{4} \times \triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ મળે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$\triangle AFE \sim \triangle ABC$ ગુણોત્તર $1:2$ સાથે,તેથી $\text{Area}(\triangle AFE) = \frac{1}{4} \text{Area}(\triangle ABC)$. અન્ય નાના ત્રિકોણો માટે પણ આ જ રીતે,મધ્ય ત્રિકોણ $\triangle DEF$ નું ક્ષેત્રફળ પણ $\frac{1}{4} \text{Area}(\triangle ABC)$ જેટલું થાય છે.

(B) ધારો કે ચોરસના શિરોબિંદુઓ $A(-4, 3)$,$B(10, 5)$,$C(12, -9)$ અને $D(x, y)$ છે.
ચોરસમાં,વિકર્ણો એકબીજાને સમાન મધ્યબિંદુ પર દુભાગે છે.
ધારો કે વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ છે.
$AC$ નું મધ્યબિંદુ $= ((-4 + 12)/2, (3 - 9)/2) = (8/2, -6/2) = (4, -3)$.
$BD$ નું મધ્યબિંદુ $= ((10 + x)/2, (5 + y)/2)$.
મધ્યબિંદુઓને સરખાવતા: $(10 + x)/2 = 4 \implies 10 + x = 8 \implies x = -2$.
$(5 + y)/2 = -3 \implies 5 + y = -6 \implies y = -11$.
આમ,ચોથું શિરોબિંદુ $(-2, -11)$ છે.

(C) $1$. $PA = PB$ હોવાથી,બિંદુ $P(x, y)$ એ રેખાખંડ $AB$ ના લંબદ્વિભાજક પર આવેલું છે.
$2$. $AB$ નું મધ્યબિંદુ $M = (\frac{3+5}{2}, \frac{4-2}{2}) = (4, 1)$ છે.
$3$. $AB$ નો ઢાળ $m_{AB} = \frac{-2-4}{5-3} = \frac{-6}{2} = -3$ છે.
$4$. લંબદ્વિભાજકનો ઢાળ $m_{\perp} = -\frac{1}{-3} = \frac{1}{3}$ છે.
$5$. લંબદ્વિભાજકનું સમીકરણ $y - 1 = \frac{1}{3}(x - 4) \implies 3y - 3 = x - 4 \implies x = 3y + 1$ છે.
$6$. $\Delta PAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 10$ છે.
$7$. $P(3y+1, y)$,$A(3, 4)$,અને $B(5, -2)$ કિંમતો મૂકતા: $10 = \frac{1}{2} |(3y+1)(4 - (-2)) + 3(-2 - y) + 5(y - 4)|$.
$8$. $20 = |(3y+1)(6) - 6 - 3y + 5y - 20| = |18y + 6 - 26 + 2y| = |20y - 20|$.
$9$. $|20y - 20| = 20 \implies |y - 1| = 1$.
$10$. કિસ્સો $1: y - 1 = 1 \implies y = 2$. તેથી $x = 3(2) + 1 = 7$. બિંદુ $P = (7, 2)$.
$11$. કિસ્સો $2: y - 1 = -1 \implies y = 0$. તેથી $x = 3(0) + 1 = 1$. બિંદુ $P = (1, 0)$.

(N/A) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(7,9), B(10,8)$ અને $C(12,10)$ છે.
$1$. ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ: સૂત્ર $\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ નો ઉપયોગ કરતા,$\text{Area} = \frac{1}{2} |7(8 - 10) + 10(10 - 9) + 12(9 - 8)| = \frac{1}{2} |-14 + 10 + 12| = \frac{1}{2} |8| = 4 \text{ ચોરસ એકમ}$.
$2$. પરિકેન્દ્ર $(h, k)$: પરિકેન્દ્ર શિરોબિંદુઓથી સમાન અંતરે હોય છે. તેથી,$(h-7)^2 + (k-9)^2 = (h-10)^2 + (k-8)^2 = (h-12)^2 + (k-10)^2$.
$(h-7)^2 + (k-9)^2 = (h-10)^2 + (k-8)^2$ ઉકેલતા $6h - 2k = 32$ અથવા $3h - k = 16$ મળે છે.
$(h-10)^2 + (k-8)^2 = (h-12)^2 + (k-10)^2$ ઉકેલતા $4h + 4k = 84$ અથવા $h + k = 21$ મળે છે.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $4h = 37 \implies h = \frac{37}{4}$.
$h$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{37}{4} + k = 21 \implies k = 21 - \frac{37}{4} = \frac{47}{4}$.
આમ,પરિકેન્દ્ર $(\frac{37}{4}, \frac{47}{4})$ છે અને ક્ષેત્રફળ $4$ છે.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુ $A$ ના યામ $(x, y)$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ હોય તો મધ્યકેન્દ્ર $G(x_g, y_g) = (\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3})$ થાય.
આપેલ $G(3, 3)$,$B(-1, 2)$,અને $C(2, -3)$ પરથી:
$3 = \frac{x - 1 + 2}{3} \implies 9 = x + 1 \implies x = 8$.
$3 = \frac{y + 2 - 3}{3} \implies 9 = y - 1 \implies y = 10$.
તેથી,શિરોબિંદુ $A$ ના યામ $(8, 10)$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |8(2 - (-3)) + (-1)(-3 - 10) + 2(10 - 2)|$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |8(5) + (-1)(-13) + 2(8)|$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |40 + 13 + 16| = \frac{1}{2} |69| = \frac{69}{2}$ ચોરસ એકમ.

(C) ધારો કે $\Delta ABC$ ના શિરોબિંદુઓ $A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$ અને $C(x_3, y_3)$ છે.
આપેલ મધ્યબિંદુઓ $D(1, 2)$,$E(2, 1)$ અને $F(3, 3)$ છે.
$\Delta ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $G = (\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3})$ દ્વારા મળે છે.
ત્રિકોણનો એક મહત્વનો ગુણધર્મ એ છે કે ત્રિકોણની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓથી બનતા ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર એ મૂળ ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્ર સમાન જ હોય છે.
તેથી,મધ્યકેન્દ્ર $G$ એ મધ્યબિંદુઓ $D, E$ અને $F$ ના યામોની સરેરાશ છે.
$G = (\frac{1+2+3}{3}, \frac{2+1+3}{3}) = (\frac{6}{3}, \frac{6}{3}) = (2, 2)$.

(D) આપેલ છે કે $\angle A = 90^\circ$,તેથી રેખાખંડ $AB$ અને $AC$ એકબીજાને લંબ છે.
તેથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થવો જોઈએ,એટલે કે $m_{AB} \times m_{AC} = -1$.
$AB$ નો ઢાળ $m_{AB} = \frac{4 - 7}{2 - 1} = \frac{-3}{1} = -3$ છે.
$AC$ નો ઢાળ $m_{AC} = \frac{5 - 7}{k - 1} = \frac{-2}{k - 1}$ છે.
આ કિંમતોને શરતમાં મૂકતા: $(-3) \times \left( \frac{-2}{k - 1} \right) = -1$.
$\frac{6}{k - 1} = -1$.
$6 = -(k - 1)$.
$6 = -k + 1$.
$k = 1 - 6 = -5$.

(D) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ હોય તો તેનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
અહીં શિરોબિંદુઓ $(a, 5), (6, 7)$ અને $(2, 3)$ છે અને ક્ષેત્રફળ $10$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$10 = \frac{1}{2} |a(7 - 3) + 6(3 - 5) + 2(5 - 7)|$
$20 = |a(4) + 6(-2) + 2(-2)|$
$20 = |4a - 12 - 4|$
$20 = |4a - 16|$
આના બે કિસ્સા મળે:
કિસ્સો $1$: $4a - 16 = 20 \implies 4a = 36 \implies a = 9$
કિસ્સો $2$: $4a - 16 = -20 \implies 4a = -4 \implies a = -1$
અહીં $a \in N$ (પ્રાકૃતિક સંખ્યા) આપેલ હોવાથી,$a = -1$ શક્ય નથી.
તેથી,$a = 9$.

(A) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ હોય,તો તેના મધ્યકેન્દ્ર $(G)$ ના યામ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$G = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)$
અહીં આપેલા શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1) = (2, 3)$,$(x_2, y_2) = (4, 7)$ અને $(x_3, y_3) = (-3, 2)$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$x = \frac{2 + 4 + (-3)}{3} = \frac{3}{3} = 1$
$y = \frac{3 + 7 + 2}{3} = \frac{12}{3} = 4$
આમ,મધ્યકેન્દ્રના યામ $(1, 4)$ મળે છે.

(B) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(3, 1)$,$B(1, 5)$ અને $C(x, y)$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ હોય,તો તેનું મધ્યકેન્દ્ર $G$ શોધવાનું સૂત્ર $G = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)$ છે.
અહીં મધ્યકેન્દ્ર $G$ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ આપેલું છે,તેથી:
$\frac{3 + 1 + x}{3} = 0 \implies 4 + x = 0 \implies x = -4$.
$\frac{1 + 5 + y}{3} = 0 \implies 6 + y = 0 \implies y = -6$.
આમ,ત્રીજું શિરોબિંદુ $(-4, -6)$ છે.

(D) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ હોય ત્યારે તેનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
અહીં આપેલા શિરોબિંદુઓ $A(-4, -1)$,$B(1, 2)$ અને $C(4, -3)$ છે.
તેથી,$x_1 = -4, y_1 = -1, x_2 = 1, y_2 = 2, x_3 = 4, y_3 = -3$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |-4(2 - (-3)) + 1(-3 - (-1)) + 4(-1 - 2)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |-4(5) + 1(-2) + 4(-3)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |-20 - 2 - 12|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |-34|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{34}{2} = 17$ ચોરસ એકમ.

(B) રેખાખંડ $Y$-અક્ષને સમાંતર હોય ત્યારે તેના પરના તમામ બિંદુઓનો $x$-યામ સમાન હોય છે.
અહીં $\overline{CD}$ એ $Y$-અક્ષને સમાંતર છે અને બિંદુ $C$ ના યામ $(4, -5)$ છે,તેથી આ રેખા પરના કોઈપણ બિંદુ $D$ નો $x$-યામ $4$ જ હોવો જોઈએ.
તેથી,$D$ ના યામ $(4, y)$ સ્વરૂપના હોવા જોઈએ,જ્યાં $y$ એ કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
આપેલા વિકલ્પો તપાસતા,વિકલ્પ $(B)$ $(4, 6)$ એ એકમાત્ર બિંદુ છે જેનો $x$-યામ $4$ છે.

(C) $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્ર $(G)$ ના યામ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$G = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)$
અહીં આપેલા શિરોબિંદુઓ $(a, 2)$,$(2, -a)$ અને $(0, 2)$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$G = \left( \frac{a + 2 + 0}{3}, \frac{2 - a + 2}{3} \right) = \left( \frac{a + 2}{3}, \frac{4 - a}{3} \right)$
પ્રશ્ન મુજબ,મધ્યકેન્દ્રના બંને યામ સમાન છે:
$\frac{a + 2}{3} = \frac{4 - a}{3}$
$a + 2 = 4 - a$
$2a = 2$
$a = 1$

(C) આપેલા બંને બિંદુઓના $x$-યામ સમાન છે $(x = 2)$.
તેથી,આ બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખા $Y$-અક્ષને સમાંતર શિરોલંબ રેખા છે,જેનું સમીકરણ $x = 2$ છે.
જો ત્રીજું બિંદુ આ બે બિંદુઓ સાથે સમરેખ હોય,તો તે પણ $x = 2$ રેખા પર હોવું જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે ત્રીજા બિંદુનો $x$-યામ $2$ હોવો જોઈએ.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,માત્ર બિંદુ $(2,-4)$ નો $x$-યામ $2$ છે.
આમ,બિંદુઓ $(2,3)$,$(2,5)$ અને $(2,-4)$ સમરેખ છે.

(A) આપેલા બંને બિંદુઓ $(3,4)$ અને $(-1,4)$ ના $y$-યામ $4$ સમાન છે.
આનો અર્થ એ છે કે આ બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખા એ $y = 4$ સમીકરણ દ્વારા દર્શાવતી આડી રેખા છે.
ત્રીજું બિંદુ આ બે બિંદુઓ સાથે સમરેખ હોવા માટે,તે પણ $y = 4$ રેખા પર હોવું જોઈએ.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,માત્ર $(-5,4)$ બિંદુનો $y$-યામ $4$ છે.
તેથી,બિંદુ $(-5,4)$ આપેલા બિંદુઓ સાથે સમરેખ છે.

(C) સૌ પ્રથમ,આપણે અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને બાજુઓની લંબાઈ શોધીએ.
$AB = \sqrt{(0-3)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{9} = 3$.
$BC = \sqrt{(1-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$.
$CD = \sqrt{(4-1)^2 + (3-3)^2} = \sqrt{3^2 + 0^2} = 3$.
$AD = \sqrt{(4-3)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$.
અહીં સામસામેની બાજુઓ સમાન હોવાથી ($AB = CD = 3$ અને $BC = AD = \sqrt{10}$),આ ચતુષ્કોણ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
હવે,વિકર્ણોની લંબાઈ ચકાસીએ:
$AC = \sqrt{(1-3)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 3^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}$.
$BD = \sqrt{(4-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$.
વિકર્ણો સમાન ન હોવાથી $(AC \neq BD)$,તે લંબચોરસ નથી.
તેથી,$\square ABCD$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(D) ધારો કે બિંદુ $P$ ના યામ $(x, y)$ છે.
બિંદુ $P$ એ $A(0, 0)$,$B(4, 0)$ અને $C(0, 6)$ થી સમાન અંતરે હોવાથી,$PA = PB = PC$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $PA^2 = PB^2 = PC^2$.
$PA^2 = PB^2$ પરથી,આપણને મળે છે $x^2 + y^2 = (x - 4)^2 + (y - 0)^2$.
$x^2 + y^2 = x^2 - 8x + 16 + y^2$.
$8x = 16 \implies x = 2$.
$PA^2 = PC^2$ પરથી,આપણને મળે છે $x^2 + y^2 = (x - 0)^2 + (y - 6)^2$.
$x^2 + y^2 = x^2 + y^2 - 12y + 36$.
$12y = 36 \implies y = 3$.
આમ,બિંદુ $P$ ના યામ $(2, 3)$ છે.

(A) બિંદુઓના યામ $A(2, 2)$ અને $B(2, -2)$ છે.
બંને બિંદુઓનો $x-$યામ $2$ હોવાથી,આ બિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ શિરોલંબ રેખા $x = 2$ પર આવેલો છે.
જો રેખાખંડના $x-$યામ સમાન હોય,તો તે $Y-$ અક્ષને સમાંતર હોય છે.
તે $X-$ અક્ષને ક્યાં છેદે છે તે શોધવા માટે,આપણે રેખા $x = 2$ પર $y = 0$ લઈએ છીએ.
તેથી,$X-$ અક્ષ સાથેનું છેદબિંદુ $(2, 0)$ મળે છે,કારણ કે રેખા $x = 2$ એ $X-$ અક્ષને $y = 0$ આગળ છેદે છે.

(B) $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
અહીં આપેલા શિરોબિંદુઓ $A(3, 0)$,$B(0, 3)$ અને $C(3, 3)$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |3(3 - 3) + 0(3 - 0) + 3(0 - 3)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |3(0) + 0(3) + 3(-3)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |0 + 0 - 9|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |-9| = \frac{9}{2} = 4.5$ ચોરસ એકમ.

(D) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ હોય ત્યારે તેનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
આપેલ શિરોબિંદુઓ $A(2, 4)$,$B(5, 0)$ અને $C(5, 4)$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |2(0 - 4) + 5(4 - 4) + 5(4 - 0)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |2(-4) + 5(0) + 5(4)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |-8 + 0 + 20|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |12| = 6$ ચોરસ એકમ.
વૈકલ્પિક રીતે,$AC$ એ સમક્ષિતિજ રેખા છે $(y=4)$ અને $BC$ એ શિરોલંબ રેખા છે $(x=5)$,તેથી આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
પાયો $AC = |5 - 2| = 3$ એકમ.
વેધ $BC = |4 - 0| = 4$ એકમ.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$ ચોરસ એકમ.

(C) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1), (x_2, y_2),$ અને $(x_3, y_3)$ હોય ત્યારે તેનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$.
આ સૂત્ર શિરોબિંદુઓમાંથી $x$-અક્ષ પર લંબ દોરીને બનતા સમલંબ ચતુષ્કોણના ક્ષેત્રફળની મદદથી મેળવવામાં આવે છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $C$ સાચો જવાબ છે.

(A) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ હોય,તો તેના મધ્યકેન્દ્રના યામ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
મધ્યકેન્દ્ર $= \left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right)$
અહીં આપેલા શિરોબિંદુઓ $A(3, 2)$,$B(7, 5)$ અને $C(2, 2)$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
મધ્યકેન્દ્ર $= \left(\frac{3 + 7 + 2}{3}, \frac{2 + 5 + 2}{3}\right)$
મધ્યકેન્દ્ર $= \left(\frac{12}{3}, \frac{9}{3}\right)$
મધ્યકેન્દ્ર $= (4, 3)$

(C) $1$. આપેલા યામ: $A(3, 0)$,$B(0, 0)$,$C(0, -4)$.
$2$. અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને લંબાઈ શોધો:
$AB = \sqrt{(0-3)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{9} = 3$.
$BC = \sqrt{(0-0)^2 + (-4-0)^2} = \sqrt{16} = 4$.
$AC = \sqrt{(0-3)^2 + (-4-0)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
$3$. કાટકોણ ત્રિકોણ માટે ચકાસો: $AB^2 + BC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = AC^2$. તેથી,$\Delta ABC$ એ $\angle B$ આગળ કાટકોણ ત્રિકોણ છે. (વિકલ્પ $A$ સાચો છે).
$4$. $\overline{AC}$ નું મધ્યબિંદુ $= (\frac{3+0}{2}, \frac{0-4}{2}) = (\frac{3}{2}, -2)$. (વિકલ્પ $B$ સાચો છે).
$5$. $\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$. (વિકલ્પ $C$ માં ક્ષેત્રફળ $12$ આપેલું છે,જે ખોટું છે).
$6$. $AB=3, BC=4, AC=5$ સાચું છે. (વિકલ્પ $D$ સાચો છે).
તેથી,ખોટું વિધાન $C$ છે.