Mix Examples - Coordinate Geometry Questions in Gujarati

(B) ધારો કે બિંદુઓ $A(1,5), B(2,3)$ અને $C(-2,-11)$ છે.
બિંદુઓ સમરેખ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે આ બિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધીએ છીએ:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
કિંમતો મૂકતા:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} |1(3 - (-11)) + 2(-11 - 5) + (-2)(5 - 3)|$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} |1(14) + 2(-16) + (-2)(2)|$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} |14 - 32 - 4|$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} |-22| = 11 \text{ ચોરસ એકમ}$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $0$ ન હોવાથી,બિંદુઓ સમરેખ નથી.

(C) જેના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ હોય તેવા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
અહીં આપેલા શિરોબિંદુઓ $A(1, -1), B(-4, 6)$ અને $C(-3, -5)$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |1(6 - (-5)) + (-4)(-5 - (-1)) + (-3)(-1 - 6)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |1(11) + (-4)(-4) + (-3)(-7)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |11 + 16 + 21|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |48| = 24$
આમ,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $24$ ચોરસ એકમ છે.

(D) $A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$ અને $C(x_3, y_3)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
અહીં આપેલ બિંદુઓ $A(5, 2)$,$B(4, 7)$ અને $C(7, -4)$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |5(7 - (-4)) + 4(-4 - 2) + 7(2 - 7)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |5(11) + 4(-6) + 7(-5)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |55 - 24 - 35|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |55 - 59|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |-4|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 4 = 2$ ચોરસ એકમ.

(A) શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ ધરાવતા ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
આપેલ યામ $P(-1.5, 3)$,$Q(6, -2)$ અને $R(-3, 4)$ ને સૂત્રમાં મૂકતા:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |-1.5(-2 - 4) + 6(4 - 3) + (-3)(3 - (-2))|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |-1.5(-6) + 6(1) - 3(5)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |9 + 6 - 15|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |0| = 0$ ચોરસ એકમ.
ક્ષેત્રફળ $0$ હોવાથી,બિંદુઓ $P$,$Q$ અને $R$ સમરેખ છે,જેનો અર્થ છે કે તેઓ એક જ સીધી રેખા પર આવેલા છે અને ત્રિકોણ બનાવતા નથી.

(C) ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે વિકર્ણ $BD$ દોરીને તેને બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરી શકીએ છીએ.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ હોય ત્યારે તેનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ છે.
$1$. $\Delta ABD$ નું ક્ષેત્રફળ,જેના શિરોબિંદુઓ $A(-5, 7)$,$B(-4, -5)$ અને $D(4, 5)$ છે:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |-5(-5 - 5) + (-4)(5 - 7) + 4(7 - (-5))|$
$= \frac{1}{2} |-5(-10) - 4(-2) + 4(12)|$
$= \frac{1}{2} |50 + 8 + 48| = \frac{106}{2} = 53$ ચોરસ એકમ.
$2$. $\Delta BCD$ નું ક્ષેત્રફળ,જેના શિરોબિંદુઓ $B(-4, -5)$,$C(-1, -6)$ અને $D(4, 5)$ છે:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |-4(-6 - 5) + (-1)(5 - (-5)) + 4(-5 - (-6))|$
$= \frac{1}{2} |-4(-11) - 1(10) + 4(1)|$
$= \frac{1}{2} |44 - 10 + 4| = \frac{38}{2} = 19$ ચોરસ એકમ.
ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું કુલ ક્ષેત્રફળ = $\text{Area}(\Delta ABD) + \text{Area}(\Delta BCD) = 53 + 19 = 72$ ચોરસ એકમ.

(A) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ હોય,તો તેનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
અહીં આપેલા શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1) = (2, 3), (x_2, y_2) = (-1, 0)$ અને $(x_3, y_3) = (2, -4)$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |2(0 - (-4)) + (-1)(-4 - 3) + 2(3 - 0)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |2(4) + (-1)(-7) + 2(3)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |8 + 7 + 6|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |21| = 10.5$ ચોરસ એકમ.

(B) $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$ અને $C(x_3, y_3)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
અહીં આપેલા શિરોબિંદુઓ $A(3, 0), B(7, 0)$ અને $C(8, 4)$ છે.
તેથી,$x_1 = 3, y_1 = 0, x_2 = 7, y_2 = 0, x_3 = 8, y_3 = 4$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} |3(0 - 4) + 7(4 - 0) + 8(0 - 0)|$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} |3(-4) + 7(4) + 8(0)|$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} |-12 + 28 + 0|$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} |16|$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = 8 \text{ ચોરસ એકમ}$.
આમ,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $8$ છે.

(B) ધારો કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ચોથું શિરોબિંદુ $D(x_4, y_4)$ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે,જેનો અર્થ છે કે વિકર્ણ $AC$ નું મધ્યબિંદુ એ વિકર્ણ $BD$ ના મધ્યબિંદુ સમાન હોય છે.
$(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ અંત્યબિંદુઓ ધરાવતા રેખાખંડ માટે મધ્યબિંદુનું સૂત્ર $\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$ છે.
$AC$ નું મધ્યબિંદુ $= \left(\frac{-2+8}{2}, \frac{3+3}{2}\right) = \left(\frac{6}{2}, \frac{6}{2}\right) = (3,3)$.
$BD$ નું મધ્યબિંદુ $= \left(\frac{6+x_4}{2}, \frac{7+y_4}{2}\right)$.
મધ્યબિંદુઓ સમાન હોવાથી:
$\frac{6+x_4}{2} = 3 \Rightarrow 6+x_4 = 6 \Rightarrow x_4 = 0$.
$\frac{7+y_4}{2} = 3 \Rightarrow 7+y_4 = 6 \Rightarrow y_4 = -1$.
આમ,ચોથું શિરોબિંદુ $D$ એ $(0,-1)$ છે.

(C) આપેલ છે કે બિંદુ $P(2,1)$ એ બિંદુઓ $A(4,2)$ અને $B(8,4)$ ને જોડતા રેખાખંડ પર આવેલું છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને $A(4,2)$ અને $P(2,1)$ વચ્ચેનું અંતર શોધીએ:
$AP = \sqrt{(2 - 4)^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$.
ત્યારબાદ,આપણે $A(4,2)$ અને $B(8,4)$ વચ્ચેનું અંતર શોધીએ:
$AB = \sqrt{(8 - 4)^2 + (4 - 2)^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
હવે,આપણે $AP$ અને $AB$ ની સરખામણી કરીએ:
$AB = 2\sqrt{5} = 2 \times (\sqrt{5}) = 2 AP$.
તેથી,$AP = \frac{1}{2} AB$.
આમ,સાચી શરત $AP = \frac{1}{2} AB$ છે.

(A) $1$. રેખાખંડ $AB$ નું મધ્યબિંદુ $P$ શોધો:
$P = \left( \frac{1+4}{2}, \frac{5+6}{2} \right) = \left( \frac{5}{2}, \frac{11}{2} \right)$
$2$. રેખાખંડ $AB$ નો ઢાળ $(m_{AB})$ શોધો:
$m_{AB} = \frac{6-5}{4-1} = \frac{1}{3}$
$3$. લંબદ્વિભાજકનો ઢાળ $(m_{\perp})$ એ $m_{AB}$ નો વ્યસ્ત અને વિરોધી છે:
$m_{\perp} = -\frac{1}{m_{AB}} = -3$
$4$. લંબદ્વિભાજકનું સમીકરણ મેળવવા માટે બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરો:
$y - y_1 = m_{\perp}(x - x_1)$
$y - \frac{11}{2} = -3(x - \frac{5}{2})$
$y - \frac{11}{2} = -3x + \frac{15}{2}$
$y = -3x + \frac{15}{2} + \frac{11}{2}$
$y = -3x + \frac{26}{2}$
$y = -3x + 13$
$5$. તે $y$-અક્ષને ક્યાં છેદે છે તે જાણવા માટે $x = 0$ મૂકો:
$y = -3(0) + 13 = 13$
આમ,લંબદ્વિભાજક $y$-અક્ષને $(0, 13)$ બિંદુએ છેદે છે.

(B) ધારો કે બિંદુ $P(h, k)$ એ ત્રણેય શિરોબિંદુઓ $O(0, 0)$,$A(0, 2y)$ અને $B(2x, 0)$ થી સમાન અંતરે આવેલું છે.
તેથી,$PO = PA = PB$.
$\Rightarrow (PO)^2 = (PA)^2 = (PB)^2$ ..........$(i)$
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$[\sqrt{(h-0)^2 + (k-0)^2}]^2 = [\sqrt{(h-0)^2 + (k-2y)^2}]^2 = [\sqrt{(h-2x)^2 + (k-0)^2}]^2$
$\Rightarrow h^2 + k^2 = h^2 + (k-2y)^2 = (h-2x)^2 + k^2$
પ્રથમ બે ભાગ લેતા:
$h^2 + k^2 = h^2 + (k-2y)^2$
$k^2 = k^2 + 4y^2 - 4yk$
$4y(y - k) = 0 \Rightarrow k = y$ (કારણ કે $y \neq 0$).
પ્રથમ અને ત્રીજો ભાગ લેતા:
$h^2 + k^2 = (h-2x)^2 + k^2$
$h^2 = h^2 + 4x^2 - 4xh$
$4x(x - h) = 0 \Rightarrow h = x$ (કારણ કે $x \neq 0$).
તેથી,જરૂરી બિંદુ $(h, k) = (x, y)$ છે.

(A) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(x_1, y_1) = (a, b+c)$,$B(x_2, y_2) = (b, c+a)$ અને $C(x_3, y_3) = (c, a+b)$ છે.
ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર:
$\Delta = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
આપેલ યામોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\Delta = \frac{1}{2} |a(c+a - (a+b)) + b(a+b - (b+c)) + c(b+c - (c+a))|$
કૌંસની અંદરના પદોનું સાદુંરૂપ આપતા:
$\Delta = \frac{1}{2} |a(c-b) + b(a-c) + c(b-a)|$
પદોનો ગુણાકાર કરતા:
$\Delta = \frac{1}{2} |ac - ab + ab - bc + bc - ac|$
બધા પદો ઉડી જાય છે:
$\Delta = \frac{1}{2} |0| = 0$
આમ,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $0$ છે.

(C) ધારો કે આપેલા બિંદુઓ $A(x_1, y_1) = (1, 2)$,$O(x_2, y_2) = (0, 0)$ અને $C(x_3, y_3) = (a, b)$ છે.
જો બિંદુઓ સમરેખ હોય,તો આ બિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $\Delta = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ છે.
આપેલા યામો મૂકતા:
$0 = \frac{1}{2} |1(0 - b) + 0(b - 2) + a(2 - 0)|$.
$0 = \frac{1}{2} |-b + 0 + 2a|$.
$0 = \frac{1}{2} |2a - b|$.
આનો અર્થ એ છે કે $2a - b = 0$,અથવા $2a = b$.
તેથી,જરૂરી સંબંધ $2a = b$ છે.

(A) આ વિધાન સત્ય છે.
ચતુષ્કોણ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ ત્યારે જ કહેવાય જો તેના વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે,જેનો અર્થ છે કે તેમનું મધ્યબિંદુ સમાન હોય.
$1$. વિકર્ણ $AC$ નું મધ્યબિંદુ:
મધ્યબિંદુ $= (\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}) = (\frac{-1 + 2}{2}, \frac{0 + 2}{2}) = (\frac{1}{2}, 1)$.
$2$. વિકર્ણ $BD$ નું મધ્યબિંદુ:
મધ્યબિંદુ $= (\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}) = (\frac{3 - 2}{2}, \frac{1 + 1}{2}) = (\frac{1}{2}, 1)$.
બંને વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ ના મધ્યબિંદુઓ સમાન $(\frac{1}{2}, 1)$ હોવાથી,વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે. તેથી,બિંદુઓ $A, B, C$ અને $D$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ બનાવે છે.

(B) અસત્ય.
બિંદુઓ $A(4,5), B(7,6)$ અને $C(6,3)$ સમરેખ છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે આ બિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધીએ છીએ:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
કિંમતો મૂકતા:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |4(6 - 3) + 7(3 - 5) + 6(5 - 6)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |4(3) + 7(-2) + 6(-1)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |12 - 14 - 6|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |-8| = 4 \text{ ચોરસ એકમ}$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $0$ ન હોવાથી,બિંદુઓ સમરેખ નથી.

(TRUE) સત્ય.
વિશ્લેષણાત્મક સમર્થન:
$1$. બિંદુઓ $A (-4, 6)$ અને $B (-4, -6)$ નો $x$-યામ સમાન છે,જે $-4$ છે. આનો અર્થ એ છે કે રેખાખંડ $AB$ એ $x = -4$ સમીકરણ દ્વારા દર્શાવતી એક શિરોલંબ રેખા છે.
$2$. બિંદુ $P (-4, 2)$ નો $x$-યામ પણ $-4$ છે,તેથી તે રેખા $x = -4$ પર આવેલું છે.
$3$. $P$ એ રેખાખંડ $AB$ પર આવેલું છે તે સાબિત કરવા માટે,તેનો $y$-યામ એ $A$ અને $B$ ના $y$-યામની વચ્ચે હોવો જોઈએ. $A$ અને $B$ ના $y$-યામ અનુક્રમે $6$ અને $-6$ છે.
$4$. કારણ કે $-6 < 2 < 6$,તેથી બિંદુ $P$ એ રેખાખંડ $AB$ પર $A$ અને $B$ ની વચ્ચે આવેલું છે.

(B) ખોટું.
ધારો કે બિંદુઓ $A(0, 5)$,$B(0, -9)$ અને $C(3, 6)$ છે.
બિંદુઓ સમરેખ હોય તે માટે,તેમના દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
$(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2})$ અને $(x_{3}, y_{3})$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ છે:
$\Delta = \frac{1}{2} |x_{1}(y_{2} - y_{3}) + x_{2}(y_{3} - y_{1}) + x_{3}(y_{1} - y_{2})|$
કિંમતો $x_{1}=0, y_{1}=5, x_{2}=0, y_{2}=-9, x_{3}=3, y_{3}=6$ મૂકતા:
$\Delta = \frac{1}{2} |0(-9 - 6) + 0(6 - 5) + 3(5 - (-9))|$
$\Delta = \frac{1}{2} |0 + 0 + 3(5 + 9)|$
$\Delta = \frac{1}{2} |3 \times 14| = \frac{42}{2} = 21$
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $21 \neq 0$ હોવાથી,બિંદુઓ સમરેખ નથી.

(A) સત્ય.
ધારો કે યામ $A(x_1, y_1) = (3, 1)$,$B(x_2, y_2) = (12, -2)$ અને $C(x_3, y_3) = (0, 2)$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ હોય ત્યારે તેનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} |3(-2 - 2) + 12(2 - 1) + 0(1 - (-2))|$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} |3(-4) + 12(1) + 0(3)|$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} |-12 + 12 + 0|$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} |0| = 0$
આ બિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $0$ હોવાથી,આ બિંદુઓ સમરેખ છે (તેઓ એક જ સીધી રેખા પર આવેલા છે).
તેથી,આ બિંદુઓ ત્રિકોણ બનાવી શકે નહીં. આમ,આપેલ વિધાન સત્ય છે.

(TRUE) સત્ય.
આપેલ છે કે વર્તુળનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ પર છે અને બિંદુ $P(5,0)$ વર્તુળ પર આવેલું છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્ર $O(0,0)$ અને વર્તુળ પરના બિંદુ $P(5,0)$ વચ્ચેનું અંતર છે.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$r = OP = \sqrt{(5 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{5^2 + 0^2} = \sqrt{25} = 5$.
હવે,આપણે કેન્દ્ર $O(0,0)$ થી બિંદુ $Q(6,8)$ નું અંતર શોધીએ:
$OQ = \sqrt{(6 - 0)^2 + (8 - 0)^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.
આપણે જાણીએ છીએ કે જો કેન્દ્રથી બિંદુનું અંતર ત્રિજ્યા કરતા વધારે હોય,તો તે બિંદુ વર્તુળની બહાર આવેલું હોય છે.
અહીં $OQ = 10$ અને $r = 5$ હોવાથી,$OQ > r$ થાય છે.
તેથી,બિંદુ $Q(6,8)$ વર્તુળની બહાર આવેલું છે. આમ,આપેલ વિધાન સત્ય છે.

(A) સત્ય.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1$. બાજુઓની લંબાઈ:
$AB = \sqrt{(4 - (-1))^2 + (3 - (-2))^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$
$BC = \sqrt{(2 - 4)^2 + (5 - 3)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
$CD = \sqrt{(-3 - 2)^2 + (0 - 5)^2} = \sqrt{(-5)^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$
$DA = \sqrt{(-1 - (-3))^2 + (-2 - 0)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
સામેની બાજુઓ સમાન હોવાથી ($AB = CD$ અને $BC = DA$),તે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
$2$. વિકર્ણોની લંબાઈ:
$AC = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (5 - (-2))^2} = \sqrt{3^2 + 7^2} = \sqrt{9 + 49} = \sqrt{58}$
$BD = \sqrt{(-3 - 4)^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{(-7)^2 + (-3)^2} = \sqrt{49 + 9} = \sqrt{58}$
વિકર્ણો સમાન હોવાથી $(AC = BD)$,આ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ એક લંબચોરસ છે.

(D) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $B$ અને $C$ ના યામ અનુક્રમે $(a, b)$ અને $(x, y)$ છે.
બાજુ $AB$ નું મધ્યબિંદુ $(2, -1)$ આપેલ છે. તેથી,$\left(\frac{1+a}{2}, \frac{-4+b}{2}\right) = (2, -1)$.
યામોને સરખાવતા,આપણને $1+a = 4 \implies a = 3$ અને $-4+b = -2 \implies b = 2$ મળે છે. તેથી,$B = (3, 2)$.
બાજુ $AC$ નું મધ્યબિંદુ $(0, -1)$ આપેલ છે. તેથી,$\left(\frac{1+x}{2}, \frac{-4+y}{2}\right) = (0, -1)$.
યામોને સરખાવતા,આપણને $1+x = 0 \implies x = -1$ અને $-4+y = -2 \implies y = 2$ મળે છે. તેથી,$C = (-1, 2)$.
$\triangle ABC$ ના શિરોબિંદુઓ $A(1, -4)$,$B(3, 2)$ અને $C(-1, 2)$ છે.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |1(2 - 2) + 3(2 - (-4)) + (-1)(-4 - 2)|$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |0 + 3(6) - 1(-6)| = \frac{1}{2} |18 + 6| = \frac{24}{2} = 12$ $sq. units$.

(B) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ હોય,તો તેનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
અહીં આપેલા શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1) = (-5, -1)$,$(x_2, y_2) = (3, -5)$ અને $(x_3, y_3) = (5, 2)$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |(-5)(-5 - 2) + 3(2 - (-1)) + 5(-1 - (-5))|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |(-5)(-7) + 3(3) + 5(4)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |35 + 9 + 20|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |64| = 32$ ચોરસ એકમ.

(B) બિંદુઓ સમરેખ હોય ત્યારે તેમના દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $0$ થાય છે.
$(x_1, y_1), (x_2, y_2),$ અને $(x_3, y_3)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 0$ છે.
આપેલ બિંદુઓ $(7, -2), (5, 1),$ અને $(3, k)$ ને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{2} |7(1 - k) + 5(k - (-2)) + 3(-2 - 1)| = 0$
$\frac{1}{2} |7 - 7k + 5(k + 2) + 3(-3)| = 0$
$\frac{1}{2} |7 - 7k + 5k + 10 - 9| = 0$
$|8 - 2k| = 0$
$8 - 2k = 0$
$2k = 8$
$k = 4$

(C) જો બિંદુઓ સમરેખ હોય,તો તેમના દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $0$ થાય.
$(x_1, y_1), (x_2, y_2),$ અને $(x_3, y_3)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 0$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલા બિંદુઓ $(8,1), (k,-4),$ અને $(2,-5)$ ને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{2} |8(-4 - (-5)) + k(-5 - 1) + 2(1 - (-4))| = 0$
$\frac{1}{2} |8(-4 + 5) + k(-6) + 2(1 + 4)| = 0$
$\frac{1}{2} |8(1) - 6k + 2(5)| = 0$
$|8 - 6k + 10| = 0$
$18 - 6k = 0$
$6k = 18$
$k = 3$

(1:4) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(0,-1), B(2,1), C(0,3)$ છે.
ધારો કે $D, E, F$ એ અનુક્રમે બાજુઓ $AB, AC, BC$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. મધ્યબિંદુના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $D, E$ અને $F$ ના યામ નીચે મુજબ મળે છે:
$D = \left(\frac{0+2}{2}, \frac{-1+1}{2}\right) = (1,0)$
$E = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{-1+3}{2}\right) = (0,1)$
$F = \left(\frac{2+0}{2}, \frac{1+3}{2}\right) = (1,2)$
$(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$\Delta DEF$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |1(1-2) + 0(2-0) + 1(0-1)| = \frac{1}{2} |-1 + 0 - 1| = \frac{1}{2} |-2| = 1$ ચોરસ એકમ.
$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |0(1-3) + 2(3-(-1)) + 0(-1-1)| = \frac{1}{2} |0 + 2(4) + 0| = \frac{1}{2} |8| = 4$ ચોરસ એકમ.
તેથી,જરૂરી ગુણોત્તર $1:4$ છે.

(B) ધારો કે ચતુષ્કોણના શિરોબિંદુઓ $A(-4,-2), B(-3,-5), C(3,-2)$ અને $D(2,3)$ છે. બે ત્રિકોણ $\triangle ABC$ અને $\triangle ACD$ બનાવવા માટે $AC$ ને જોડો.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_{1}(y_{2}-y_{3}) + x_{2}(y_{3}-y_{1}) + x_{3}(y_{1}-y_{2})|$
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |(-4){(-5)-(-2)} + (-3){(-2)-(-2)} + 3{(-2)-(-5)}|$
$= \frac{1}{2} |(-4)(-3) + (-3)(0) + 3(3)| = \frac{1}{2} |12 + 0 + 9| = \frac{21}{2} = 10.5$ ચોરસ એકમ.
$\triangle ACD$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |(-4){(-2)-(3)} + 3{(3)-(-2)} + 2{(-2)-(-2)}|$
$= \frac{1}{2} |(-4)(-5) + 3(5) + 2(0)| = \frac{1}{2} |20 + 15 + 0| = \frac{35}{2} = 17.5$ ચોરસ એકમ.
ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= \triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $+ \triangle ACD$ નું ક્ષેત્રફળ
$= 10.5 + 17.5 = 28$ ચોરસ એકમ.

(C) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A (4, -6), B (3, -2)$ અને $C (5, 2)$ છે.
ધારો કે $D$ એ $\triangle ABC$ ની બાજુ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી,$AD$ એ $\triangle ABC$ ની મધ્યગા છે.
બિંદુ $D$ ના યામ $= \left(\frac{3+5}{2}, \frac{-2+2}{2}\right) = (4, 0)$.
$(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$\triangle ABD$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |4(-2 - 0) + 3(0 - (-6)) + 4(-6 - (-2))|$
$= \frac{1}{2} |4(-2) + 3(6) + 4(-4)|$
$= \frac{1}{2} |-8 + 18 - 16| = \frac{1}{2} |-6| = 3$ ચોરસ એકમ.
$\triangle ADC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |4(0 - 2) + 4(2 - (-6)) + 5(-6 - 0)|$
$= \frac{1}{2} |4(-2) + 4(8) + 5(-6)|$
$= \frac{1}{2} |-8 + 32 - 30| = \frac{1}{2} |-6| = 3$ ચોરસ એકમ.
આમ,$\triangle ABD$ નું ક્ષેત્રફળ $= \triangle ADC$ નું ક્ષેત્રફળ $= 3$ ચોરસ એકમ હોવાથી,મધ્યગા $AD$ એ $\triangle ABC$ ને સમાન ક્ષેત્રફળ ધરાવતા બે ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે.

(N/A) જો આપેલા બિંદુઓ સમરેખ હોય,તો આ બિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $0$ થાય.
$(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
આપેલા બિંદુઓ $(x, y), (1, 2)$ અને $(7, 0)$ ને સૂત્રમાં મૂકતા:
$0 = \frac{1}{2} |x(2 - 0) + 1(0 - y) + 7(y - 2)|$
$0 = \frac{1}{2} |2x - y + 7y - 14|$
$0 = \frac{1}{2} |2x + 6y - 14|$
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા:
$2x + 6y - 14 = 0$
આખા સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા:
$x + 3y - 7 = 0$
આમ,$x$ અને $y$ વચ્ચેનો જરૂરી સંબંધ $x + 3y - 7 = 0$ છે.

(N/A) ને ઉગમબિંદુ $(0,0)$,$CB$ ને $x$-અક્ષ અને $CD$ ને $y$-અક્ષ તરીકે લેતા:
$1$. શિરોબિંદુઓના યામ ઉગમબિંદુ $C$ થી અક્ષો પરના એકમો ગણીને નક્કી કરવામાં આવે છે.
$2$. શિરોબિંદુઓ $P, Q,$ અને $R$ ના યામ $P(12, 2), Q(13, 6),$ અને $R(10, 3)$ છે.
$3$. $(x_1, y_1), (x_2, y_2),$ અને $(x_3, y_3)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ છે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
$4$. કિંમતો મૂકતા:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} |12(6 - 3) + 13(3 - 2) + 10(2 - 6)|$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} |12(3) + 13(1) + 10(-4)|$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} |36 + 13 - 40|$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} |9| = 4.5 \text{ ચોરસ એકમ}$.

(C) $P$ એ બાજુ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી,$P$ ના યામ $\left(\frac{-1-1}{2}, \frac{-1+4}{2}\right) = \left(-1, \frac{3}{2}\right)$ છે.
તે જ રીતે,$Q, R$ અને $S$ ના યામ અનુક્રમે $(2, 4)$,$\left(5, \frac{3}{2}\right)$ અને $(2, -1)$ છે.
$PQ$ ની લંબાઈ $= \sqrt{(-1-2)^2 + \left(\frac{3}{2}-4\right)^2} = \sqrt{(-3)^2 + \left(-\frac{5}{2}\right)^2} = \sqrt{9 + \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{61}{4}}$.
$QR$ ની લંબાઈ $= \sqrt{(2-5)^2 + \left(4-\frac{3}{2}\right)^2} = \sqrt{(-3)^2 + \left(\frac{5}{2}\right)^2} = \sqrt{9 + \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{61}{4}}$.
$RS$ ની લંબાઈ $= \sqrt{(5-2)^2 + \left(\frac{3}{2}-(-1)\right)^2} = \sqrt{3^2 + \left(\frac{5}{2}\right)^2} = \sqrt{9 + \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{61}{4}}$.
$SP$ ની લંબાઈ $= \sqrt{(2-(-1))^2 + \left(-1-\frac{3}{2}\right)^2} = \sqrt{3^2 + \left(-\frac{5}{2}\right)^2} = \sqrt{9 + \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{61}{4}}$.
વિકર્ણ $PR$ ની લંબાઈ $= \sqrt{(-1-5)^2 + \left(\frac{3}{2}-\frac{3}{2}\right)^2} = \sqrt{(-6)^2 + 0^2} = 6$.
વિકર્ણ $QS$ ની લંબાઈ $= \sqrt{(2-2)^2 + (4-(-1))^2} = \sqrt{0^2 + 5^2} = 5$.
બધી બાજુઓ સમાન હોવાથી $(PQ = QR = RS = SP = \sqrt{\frac{61}{4}})$ અને વિકર્ણો સમાન ન હોવાથી $(PR \neq QS)$,ચતુષ્કોણ $PQRS$ એ સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(N/A) ધારો કે શિરોબિંદુ $D$ ના યામ $(x, y)$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે.
તેથી,વિકર્ણ $AC$ નું મધ્યબિંદુ એ વિકર્ણ $BD$ ના મધ્યબિંદુ જેટલું જ હોય.
$AC$ નું મધ્યબિંદુ $\left(\frac{x_{1}+x_{3}}{2}, \frac{y_{1}+y_{3}}{2}\right)$ છે.
$BD$ નું મધ્યબિંદુ $\left(\frac{x_{2}+x}{2}, \frac{y_{2}+y}{2}\right)$ છે.
યામોને સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$\frac{x_{1}+x_{3}}{2} = \frac{x_{2}+x}{2} \implies x_{1}+x_{3} = x_{2}+x \implies x = x_{1}+x_{3}-x_{2}$.
$\frac{y_{1}+y_{3}}{2} = \frac{y_{2}+y}{2} \implies y_{1}+y_{3} = y_{2}+y \implies y = y_{1}+y_{3}-y_{2}$.
આમ,શિરોબિંદુ $D$ ના યામ $(x_{1}+x_{3}-x_{2}, y_{1}+y_{3}-y_{2})$ છે.

(B) ચતુષ્કોણનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને ચારેય બાજુઓ અને બે વિકર્ણોની લંબાઈ શોધીએ છીએ.
બાજુઓ:
$AB = \sqrt{(7 - 2)^2 + (3 - (-2))^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$
$BC = \sqrt{(11 - 7)^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$
$CD = \sqrt{(6 - 11)^2 + (-6 - (-1))^2} = \sqrt{(-5)^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$
$DA = \sqrt{(2 - 6)^2 + (-2 - (-6))^2} = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$
વિકર્ણો:
$AC = \sqrt{(11 - 2)^2 + (-1 - (-2))^2} = \sqrt{9^2 + 1^2} = \sqrt{81 + 1} = \sqrt{82}$
$BD = \sqrt{(6 - 7)^2 + (-6 - 3)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-9)^2} = \sqrt{1 + 81} = \sqrt{82}$
અહીં,સામસામેની બાજુઓ સમાન છે ($AB = CD$ અને $BC = DA$) અને વિકર્ણો પણ સમાન છે $(AC = BD)$,તેથી આ ચતુષ્કોણ એક લંબચોરસ છે.

(N/A) બિંદુઓ $A(-5, -2)$ અને $B(4, -2)$ છે.
બંને બિંદુઓના $y$-યામ સમાન $(-2)$ હોવાથી,રેખાખંડ $AB$ એ $x$-અક્ષને સમાંતર સમક્ષિતિજ રેખા છે.
સમક્ષિતિજ રેખાનો લંબદ્વિભાજક એ રેખાખંડના મધ્યબિંદુમાંથી પસાર થતી શિરોલંબ રેખા છે.
$AB$ નું મધ્યબિંદુ $R = \left(\frac{-5+4}{2}, \frac{-2-2}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}, -2\right)$ છે.
લંબદ્વિભાજક એ શિરોલંબ રેખા $x = -\frac{1}{2}$ છે.
બિંદુ $Q$ એ $x$-અક્ષ પર આવેલું છે,તેથી તેનો $y$-યામ $0$ છે. તે લંબદ્વિભાજક $x = -\frac{1}{2}$ પર આવેલું હોવાથી,$Q$ ના યામ $\left(-\frac{1}{2}, 0\right)$ છે.
ત્રિકોણ $QAB$ ને ઓળખવા માટે,આપણે બાજુઓની લંબાઈ શોધીએ:
$AB = \sqrt{(4 - (-5))^2 + (-2 - (-2))^2} = \sqrt{9^2 + 0^2} = 9$.
$QA = \sqrt{(-5 - (-0.5))^2 + (-2 - 0)^2} = \sqrt{(-4.5)^2 + (-2)^2} = \sqrt{20.25 + 4} = \sqrt{24.25}$.
$QB = \sqrt{(4 - (-0.5))^2 + (-2 - 0)^2} = \sqrt{(4.5)^2 + (-2)^2} = \sqrt{20.25 + 4} = \sqrt{24.25}$.
અહીં $QA = QB$ હોવાથી,ત્રિકોણ $QAB$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(5, 1)$,$B(-2, -3)$ અને $C(8, 2m)$ છે.
આપેલ બિંદુઓ સમરેખ હોવાથી,તેમના દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $0$ થાય.
ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર: $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 0$.
આપેલ યામો મૂકતા:
$\frac{1}{2} |5(-3 - 2m) + (-2)(2m - 1) + 8(1 - (-3))| = 0$
$5(-3 - 2m) - 2(2m - 1) + 8(4) = 0$
$-15 - 10m - 4m + 2 + 32 = 0$
$-14m + 19 = 0$
$14m = 19$
$m = \frac{19}{14}$

(C) આપેલ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1) = (-8, 4)$,$(x_2, y_2) = (-6, 6)$ અને $(x_3, y_3) = (-3, 9)$ છે.
ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
આ સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |-8(6 - 9) + (-6)(9 - 4) + (-3)(4 - 6)|$
$= \frac{1}{2} |-8(-3) - 6(5) - 3(-2)|$
$= \frac{1}{2} |24 - 30 + 6|$
$= \frac{1}{2} |30 - 30| = \frac{1}{2}(0) = 0$
આમ,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $0$ છે,જે દર્શાવે છે કે આપેલા બિંદુઓ સમરેખ છે.

(D) કારણ કે $(a, b)$ એ રેખાખંડ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી આપણે મધ્યબિંદુના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીશું:
$(a, b) = \left(\frac{10 + k}{2}, \frac{-6 + 4}{2}\right)$
$(a, b) = \left(\frac{10 + k}{2}, -1\right)$
યામોને સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a = \frac{10 + k}{2}$ ... $(i)$
$b = -1$ ... $(ii)$
આપેલ સમીકરણ $a - 2b = 18$ માં $b = -1$ મૂકતા:
$a - 2(-1) = 18$
$a + 2 = 18 \Rightarrow a = 16$
હવે,$a = 16$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$16 = \frac{10 + k}{2}$
$32 = 10 + k \Rightarrow k = 22$
આમ,$B$ ના યામ $(22, 4)$ છે.
હવે,અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને અંતર $AB$ શોધો:
$AB = \sqrt{(22 - 10)^2 + (4 - (-6))^2}$
$AB = \sqrt{(12)^2 + (10)^2}$
$AB = \sqrt{144 + 100} = \sqrt{244}$
$AB = 2\sqrt{61}$ એકમ.

(A-D) આપેલ છે કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(2a, a-7)$ છે અને તે બિંદુ $P(11, -9)$ માંથી પસાર થાય છે.
કેન્દ્ર $C$ અને વર્તુળ પરના બિંદુ $P$ વચ્ચેનું અંતર એ ત્રિજ્યા $r$ જેટલું હોય છે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$r = \sqrt{(11 - 2a)^2 + (-9 - (a - 7))^2} = \sqrt{(11 - 2a)^2 + (-2 - a)^2}$.
વર્તુળનો વ્યાસ $10\sqrt{2}$ એકમ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$ એકમ થાય.
ત્રિજ્યા માટેના બંને પદોને સરખાવતા:
$5\sqrt{2} = \sqrt{(11 - 2a)^2 + (-2 - a)^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(5\sqrt{2})^2 = (11 - 2a)^2 + (-2 - a)^2$
$50 = (121 - 44a + 4a^2) + (4 + 4a + a^2)$
$50 = 5a^2 - 40a + 125$
$5a^2 - 40a + 75 = 0$.
$5$ વડે ભાગતા:
$a^2 - 8a + 15 = 0$
$a^2 - 5a - 3a + 15 = 0$
$a(a - 5) - 3(a - 5) = 0$
$(a - 5)(a - 3) = 0$.
તેથી,$a$ ની કિંમતો $a = 5$ અથવા $a = 3$ મળે છે.

(B) ધારો કે $A=(x_1, y_1)$,$B=(x_2, y_2)$ અને $C=(x_3, y_3)$ એ $\triangle ABC$ ના શિરોબિંદુઓ છે.
આપેલ છે કે $D\left(-\frac{1}{2}, \frac{5}{2}\right)$,$E(7, 3)$ અને $F\left(\frac{7}{2}, \frac{7}{2}\right)$ એ અનુક્રમે બાજુઓ $BC$,$CA$ અને $AB$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
મધ્યબિંદુ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$BC$ માટે: $\frac{x_2+x_3}{2} = -\frac{1}{2} \Rightarrow x_2+x_3 = -1$ $(i)$ અને $\frac{y_2+y_3}{2} = \frac{5}{2} \Rightarrow y_2+y_3 = 5$ $(ii)$.
$CA$ માટે: $\frac{x_3+x_1}{2} = 7 \Rightarrow x_3+x_1 = 14$ $(iii)$ અને $\frac{y_3+y_1}{2} = 3 \Rightarrow y_3+y_1 = 6$ $(iv)$.
$AB$ માટે: $\frac{x_1+x_2}{2} = \frac{7}{2} \Rightarrow x_1+x_2 = 7$ $(v)$ અને $\frac{y_1+y_2}{2} = \frac{7}{2} \Rightarrow y_1+y_2 = 7$ $(vi)$.
$(i), (iii), (v)$ નો સરવાળો કરતા: $2(x_1+x_2+x_3) = 20 \Rightarrow x_1+x_2+x_3 = 10$ $(vii)$.
$(vii)$ માંથી $(i), (iii), (v)$ બાદ કરતા $x_1=11, x_2=-4, x_3=3$ મળે છે.
$(ii), (iv), (vi)$ નો સરવાળો કરતા: $2(y_1+y_2+y_3) = 18 \Rightarrow y_1+y_2+y_3 = 9$ $(viii)$.
$(viii)$ માંથી $(ii), (iv), (vi)$ બાદ કરતા $y_1=4, y_2=3, y_3=2$ મળે છે.
શિરોબિંદુઓ $A(11, 4), B(-4, 3), C(3, 2)$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|$
$= \frac{1}{2} |11(3-2) + (-4)(2-4) + 3(4-3)| = \frac{1}{2} |11(1) + (-4)(-2) + 3(1)| = \frac{1}{2} |11+8+3| = \frac{22}{2} = 11$ ચોરસ એકમ.

(A) આપેલ છે કે બિંદુઓ $A(2, 9)$,$B(a, 5)$ અને $C(5, 5)$ એ $\triangle ABC$ ના શિરોબિંદુઓ છે જે $B$ આગળ કાટખૂણો બનાવે છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AC^2 = AB^2 + BC^2$ $(i)$.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$AB = \sqrt{(a - 2)^2 + (5 - 9)^2} = \sqrt{a^2 - 4a + 4 + 16} = \sqrt{a^2 - 4a + 20}$.
$BC = \sqrt{(5 - a)^2 + (5 - 5)^2} = \sqrt{(5 - a)^2} = |5 - a|$.
$AC = \sqrt{(5 - 2)^2 + (5 - 9)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$.
આ કિંમતોને $(i)$ માં મૂકતા:
$5^2 = (\sqrt{a^2 - 4a + 20})^2 + (5 - a)^2$.
$25 = a^2 - 4a + 20 + 25 - 10a + a^2$.
$2a^2 - 14a + 20 = 0$.
$a^2 - 7a + 10 = 0$.
$(a - 2)(a - 5) = 0$.
તેથી,$a = 2$ અથવા $a = 5$.
જો $a = 5$ હોય,તો $B$ અને $C$ બિંદુઓ એક જ થઈ જાય,જે ત્રિકોણ માટે શક્ય નથી. તેથી,$a = 2$.
$a = 2$ લેતા,શિરોબિંદુઓ $A(2, 9)$,$B(2, 5)$ અને $C(5, 5)$ મળે છે.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times BC \times AB$.
$BC = |5 - 2| = 3$ એકમ.
$AB = |9 - 5| = 4$ એકમ.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$ ચોરસ એકમ.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે જો ત્રણ બિંદુઓ સમરેખ હોય,તો તેમના દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શૂન્ય થાય છે.
આપેલ બિંદુઓ $A(k+1, 2k)$,$B(3k, 2k+3)$ અને $C(5k-1, 5k)$ સમરેખ હોવાથી,$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= 0$ થાય.
ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર: $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 0$.
અહીં,$x_1 = k+1, x_2 = 3k, x_3 = 5k-1$ અને $y_1 = 2k, y_2 = 2k+3, y_3 = 5k$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{2} [(k+1)(2k+3 - 5k) + 3k(5k - 2k) + (5k-1)(2k - (2k+3))] = 0$
$\frac{1}{2} [(k+1)(-3k+3) + 3k(3k) + (5k-1)(-3)] = 0$
$(-3k^2 + 3k - 3k + 3) + 9k^2 - 15k + 3 = 0$
$6k^2 - 15k + 6 = 0$
$3$ વડે ભાગતા,$2k^2 - 5k + 2 = 0$ મળે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $2k^2 - 4k - k + 2 = 0 \Rightarrow 2k(k-2) - 1(k-2) = 0$.
$(k-2)(2k-1) = 0$.
તેથી,$k = 2$ અથવા $k = \frac{1}{2}$.

(N/A) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2),$ અને $C(x_3, y_3)$ છે. મધ્યબિંદુઓ $AB$ પર $D(3, 4),$ $BC$ પર $E(8, 9)$ અને $AC$ પર $F(6, 7)$ આપેલા છે.
મધ્યબિંદુ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$1) \frac{x_1 + x_2}{2} = 3, \frac{y_1 + y_2}{2} = 4 \implies x_1 + x_2 = 6, y_1 + y_2 = 8$
$2) \frac{x_2 + x_3}{2} = 8, \frac{y_2 + y_3}{2} = 9 \implies x_2 + x_3 = 16, y_2 + y_3 = 18$
$3) \frac{x_1 + x_3}{2} = 6, \frac{y_1 + y_3}{2} = 7 \implies x_1 + x_3 = 12, y_1 + y_3 = 14$
આ સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$(x_1 + x_2) + (x_2 + x_3) + (x_1 + x_3) = 6 + 16 + 12 = 34 \implies 2(x_1 + x_2 + x_3) = 34 \implies x_1 + x_2 + x_3 = 17$
$(y_1 + y_2) + (y_2 + y_3) + (y_1 + y_3) = 8 + 18 + 14 = 40 \implies 2(y_1 + y_2 + y_3) = 40 \implies y_1 + y_2 + y_3 = 20$
દરેક યામ માટે ઉકેલતા:
$x_1 = (x_1 + x_2 + x_3) - (x_2 + x_3) = 17 - 16 = 1$
$x_2 = (x_1 + x_2 + x_3) - (x_1 + x_3) = 17 - 12 = 5$
$x_3 = (x_1 + x_2 + x_3) - (x_1 + x_2) = 17 - 6 = 11$
$y_1 = (y_1 + y_2 + y_3) - (y_2 + y_3) = 20 - 18 = 2$
$y_2 = (y_1 + y_2 + y_3) - (y_1 + y_3) = 20 - 14 = 6$
$y_3 = (y_1 + y_2 + y_3) - (y_1 + y_2) = 20 - 8 = 12$
આમ,ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(1, 2), B(5, 6),$ અને $C(11, 12)$ છે.

(D) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(-4,3)$,$B(4,3)$ અને $C(x,y)$ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણ હોવાથી,$AB = BC = CA$,જેનો અર્થ છે કે $AB^2 = BC^2 = CA^2$.
પ્રથમ,$AB^2 = (4 - (-4))^2 + (3 - 3)^2 = 8^2 + 0^2 = 64$ ગણો.
$BC^2 = CA^2$ માટે,$(x-4)^2 + (y-3)^2 = (x+4)^2 + (y-3)^2$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $(x-4)^2 = (x+4)^2$ મળે,જે $x^2 - 8x + 16 = x^2 + 8x + 16$ આપે છે,તેથી $16x = 0$,એટલે કે $x = 0$.
હવે,$x=0$ મૂકીને $AB^2 = BC^2$ નો ઉપયોગ કરો: $64 = (0-4)^2 + (y-3)^2$.
$64 = 16 + (y-3)^2$,તેથી $(y-3)^2 = 48$.
$y-3 = \pm \sqrt{48} = \pm 4\sqrt{3}$.
આમ,$y = 3 \pm 4\sqrt{3}$.
બે શક્ય શિરોબિંદુઓ $C_1(0, 3+4\sqrt{3})$ અને $C_2(0, 3-4\sqrt{3})$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ ત્રિકોણના અંદરના ભાગમાં છે. $(-4,3)$,$(4,3)$ અને $(0, y)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણ માટે,ઉગમબિંદુ અંદર હોવા માટે ત્રીજા શિરોબિંદુનો $y$-યામ $3$ કરતા ઓછો હોવો જોઈએ. કારણ કે $3+4\sqrt{3} > 3$ અને $3-4\sqrt{3} < 3$,તેથી સાચું શિરોબિંદુ $(0, 3-4\sqrt{3})$ છે.

(A) આપેલ છે કે $A(6,1), B(8,2)$ અને $C(9,4)$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના ત્રણ શિરોબિંદુઓ છે.
ધારો કે ચોથું શિરોબિંદુ $D(x, y)$ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે,તેથી $BD$ નું મધ્યબિંદુ એ $AC$ ના મધ્યબિંદુ સમાન હોય.
$AC$ નું મધ્યબિંદુ $= \left(\frac{6+9}{2}, \frac{1+4}{2}\right) = \left(\frac{15}{2}, \frac{5}{2}\right)$.
$BD$ નું મધ્યબિંદુ $= \left(\frac{8+x}{2}, \frac{2+y}{2}\right)$.
યામોને સરખાવતા: $\frac{8+x}{2} = \frac{15}{2} \Rightarrow x = 7$ અને $\frac{2+y}{2} = \frac{5}{2} \Rightarrow y = 3$.
તેથી,ચોથું શિરોબિંદુ $D(7,3)$ છે.
$E$ એ $DC$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $E = \left(\frac{7+9}{2}, \frac{3+4}{2}\right) = \left(8, \frac{7}{2}\right)$.
$A(6,1), D(7,3)$ અને $E(8, 3.5)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા $\triangle ADE$ નું ક્ષેત્રફળ:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} |6(3 - 3.5) + 7(3.5 - 1) + 8(1 - 3)|$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} |6(-0.5) + 7(2.5) + 8(-2)|$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} |-3 + 17.5 - 16|$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} |-1.5| = 0.75 = \frac{3}{4} \text{ ચોરસ એકમ.}$

(N/A) આપેલ છે કે બિંદુઓ $A(x_{1}, y_{1})$,$B(x_{2}, y_{2})$ અને $C(x_{3}, y_{3})$ એ $\triangle ABC$ ના શિરોબિંદુઓ છે.
$(i)$ આપણે જાણીએ છીએ કે મધ્યગા રેખાખંડને બે સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે,એટલે કે $D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$\therefore BC$ ના મધ્યબિંદુના યામ $= \left(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}, \frac{y_{2}+y_{3}}{2}\right)$.
$\Rightarrow D = \left(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}, \frac{y_{2}+y_{3}}{2}\right)$.
$(ii)$ ધારો કે બિંદુ $P$ ના યામ $(x, y)$ છે.
આપેલ છે કે બિંદુ $P(x, y)$ એ $A(x_{1}, y_{1})$ અને $D\left(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}, \frac{y_{2}+y_{3}}{2}\right)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $2 : 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્ર $\left(\frac{m_{1}x_{2}+m_{2}x_{1}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{m_{1}y_{2}+m_{2}y_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P = \left[\frac{2\left(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}\right) + 1(x_{1})}{2+1}, \frac{2\left(\frac{y_{2}+y_{3}}{2}\right) + 1(y_{1})}{2+1}\right] = \left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)$.
$(iii)$ તેવી જ રીતે,મધ્યગા $BE$ માટે,$E$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $E = \left(\frac{x_{1}+x_{3}}{2}, \frac{y_{1}+y_{3}}{2}\right)$.
બિંદુ $Q$ એ $BE$ નું $2 : 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$Q = \left[\frac{2\left(\frac{x_{1}+x_{3}}{2}\right) + 1(x_{2})}{2+1}, \frac{2\left(\frac{y_{1}+y_{3}}{2}\right) + 1(y_{2})}{2+1}\right] = \left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)$.
મધ્યગા $CF$ માટે,$F$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $F = \left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)$.
બિંદુ $R$ એ $CF$ નું $2 : 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$R = \left[\frac{2\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right) + 1(x_{3})}{2+1}, \frac{2\left(\frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right) + 1(y_{3})}{2+1}\right] = \left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)$.
$(iv)$ ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર એ બિંદુ છે જ્યાં બધી મધ્યગાઓ છેદે છે. કારણ કે $P, Q,$ અને $R$ બધા એક જ બિંદુ છે,તેથી મધ્યકેન્દ્રના યામ $\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)$ છે.

(A) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે,એટલે કે $AC$ નું મધ્યબિંદુ એ $BD$ ના મધ્યબિંદુ સમાન હોય છે.
$\Rightarrow \left(\frac{1+a}{2}, \frac{-2+2}{2}\right) = \left(\frac{2-4}{2}, \frac{3-3}{2}\right)$
$\Rightarrow \frac{1+a}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
$1+a = -2 \Rightarrow a = -3$
તેથી,$a$ ની કિંમત $-3$ છે.
$AB$ ને પાયો લેતા,ધારો કે $DP$ એ ઊંચાઈ છે જ્યાં $P$ એ $D$ માંથી $AB$ પર દોરેલો લંબ છે.
$(1, -2)$ અને $(2, 3)$ માંથી પસાર થતી રેખા $AB$ નું સમીકરણ:
$(y - (-2)) = \frac{3 - (-2)}{2 - 1}(x - 1)$
$y + 2 = 5(x - 1) \Rightarrow 5x - y = 7$ ... $(i)$
$AB$ નો ઢાળ $m_1 = 5$ છે. $DP \perp AB$ હોવાથી,$DP$ નો ઢાળ $m_2 = -1/5$ થશે.
$D(-4, -3)$ માંથી પસાર થતી અને $-1/5$ ઢાળ ધરાવતી રેખા $DP$ નું સમીકરણ:
$(y + 3) = -\frac{1}{5}(x + 4)$
$5y + 15 = -x - 4 \Rightarrow x + 5y = -19$ ... $(ii)$
છેદબિંદુ $P$ માટે $(i)$ અને $(ii)$ ઉકેલતા:
$x + 5(5x - 7) = -19 \Rightarrow 26x = 16 \Rightarrow x = 8/13$
$y = 5(8/13) - 7 = -51/13$
$P = (8/13, -51/13)$. ઊંચાઈ $DP$ એ $D(-4, -3)$ અને $P(8/13, -51/13)$ વચ્ચેનું અંતર છે:
$DP = \sqrt{(\frac{8}{13} + 4)^2 + (-\frac{51}{13} + 3)^2} = \sqrt{(\frac{60}{13})^2 + (-\frac{12}{13})^2} = \frac{1}{13}\sqrt{3600 + 144} = \frac{\sqrt{3744}}{13} = \frac{12\sqrt{26}}{13}$ એકમ.

(D) હા,આકૃતિ પરથી આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે ચાર વિદ્યાર્થીઓ $A, B, C$ અને $D$ ના સ્થાન અનુક્રમે $(3, 5), (7, 9), (11, 5)$ અને $(7, 1)$ છે. આ ચતુષ્કોણના ચાર શિરોબિંદુઓ છે.
પ્રથમ,આપણે અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને બાજુઓની લંબાઈ શોધીએ:
$AB = \sqrt{(7 - 3)^2 + (9 - 5)^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$
$BC = \sqrt{(11 - 7)^2 + (5 - 9)^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$
$CD = \sqrt{(7 - 11)^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$
$DA = \sqrt{(3 - 7)^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$
બધી બાજુઓ સમાન હોવાથી,આ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
હવે,આપણે વિકર્ણોની લંબાઈ શોધીએ:
$AC = \sqrt{(11 - 3)^2 + (5 - 5)^2} = \sqrt{8^2 + 0^2} = 8$
$BD = \sqrt{(7 - 7)^2 + (1 - 9)^2} = \sqrt{0^2 + (-8)^2} = 8$
વિકર્ણો પણ સમાન હોવાથી $(AC = BD)$,ચતુષ્કોણ $ABCD$ એક ચોરસ છે.
ચોરસમાં,ચારેય શિરોબિંદુઓથી સમાન અંતરે આવેલું બિંદુ એ વિકર્ણોનું છેદબિંદુ છે,જે કોઈપણ વિકર્ણનું મધ્યબિંદુ છે.
$AC$ માટે મધ્યબિંદુ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$P = \left(\frac{3 + 11}{2}, \frac{5 + 5}{2}\right) = \left(\frac{14}{2}, \frac{10}{2}\right) = (7, 5)$
આમ,જસપાલનું સ્થાન $(7, 5)$ હોવું જોઈએ.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(-2,-3), B(6,3), C(3,7)$ અને $D(-5,1)$ છે.
પ્રથમ,અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને બાજુઓની લંબાઈ શોધીએ:
$AB^2 = (-2-6)^2 + (-3-3)^2 = (-8)^2 + (-6)^2 = 64 + 36 = 100 \implies AB = 10$
$BC^2 = (6-3)^2 + (3-7)^2 = (3)^2 + (-4)^2 = 9 + 16 = 25 \implies BC = 5$
$CD^2 = (3 - (-5))^2 + (7-1)^2 = (8)^2 + (6)^2 = 64 + 36 = 100 \implies CD = 10$
$DA^2 = (-5 - (-2))^2 + (1 - (-3))^2 = (-3)^2 + (4)^2 = 9 + 16 = 25 \implies DA = 5$
સામેની બાજુઓ સમાન હોવાથી ($AB=CD=10$ અને $BC=DA=5$),આ ચતુષ્કોણ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
હવે,વિકર્ણ $AC$ તપાસીએ:
$AC^2 = (-2-3)^2 + (-3-7)^2 = (-5)^2 + (-10)^2 = 25 + 100 = 125$
$\triangle ABC$ માં,$AB^2 + BC^2 = 100 + 25 = 125 = AC^2$.
પાયથાગોરસના પ્રમેયના પ્રતિપ મુજબ,$\angle B = 90^\circ$ થાય.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનો એક ખૂણો કાટખૂણો હોવાથી,તે લંબચોરસ છે.

(D) ત્રણ બિંદુઓ $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ સમરેખ હોય જો પ્રથમ બે બિંદુઓને જોડતા રેખાખંડનો ઢાળ એ છેલ્લા બે બિંદુઓને જોડતા રેખાખંડના ઢાળ જેટલો હોય.
$(-8, -4)$ અને $(-2, 4)$ ને જોડતા રેખાખંડનો ઢાળ $m_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{4 - (-4)}{-2 - (-8)} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$ છે.
$(-2, 4)$ અને $(5, a)$ ને જોડતા રેખાખંડનો ઢાળ $m_2 = \frac{a - 4}{5 - (-2)} = \frac{a - 4}{7}$ છે.
બિંદુઓ સમરેખ હોવાથી,$m_1 = m_2$.
તેથી,$\frac{4}{3} = \frac{a - 4}{7}$.
બંને બાજુ $21$ વડે ગુણતા,$4 \times 7 = 3(a - 4)$.
$28 = 3a - 12$.
$3a = 28 + 12 = 40$.
$a = \frac{40}{3}$.

(D) આપેલ છે કે $\angle A = 90^{\circ}$,તેથી બાજુઓ $AB$ અને $AC$ એકબીજાને લંબ છે.
તેથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થવો જોઈએ,એટલે કે $m_{AB} \times m_{AC} = -1$.
$(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ દ્વારા મળે છે.
$AB$ નો ઢાળ $(m_{AB})$ = $\frac{4 - 7}{2 - 1} = \frac{-3}{1} = -3$.
$AC$ નો ઢાળ $(m_{AC})$ = $\frac{5 - 7}{k - 1} = \frac{-2}{k - 1}$.
કારણ કે $m_{AB} \times m_{AC} = -1$,તેથી $(-3) \times \left( \frac{-2}{k - 1} \right) = -1$.
$\frac{6}{k - 1} = -1$.
$6 = -(k - 1)$.
$6 = -k + 1$.
$k = 1 - 6 = -5$.

(A) ધારો કે $A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$,અને $C(x_3, y_3)$ એ $\Delta ABC$ ના શિરોબિંદુઓ છે. આપેલ છે કે $P(0, 1/2)$,$Q(1/2, 1/2)$,અને $R(1/2, 0)$ એ અનુક્રમે બાજુઓ $\overline{AB}$,$\overline{BC}$,અને $\overline{CA}$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
$x$-યામ માટે:
$(x_1 + x_2)/2 = 0 \implies x_1 + x_2 = 0$ $(i)$
$(x_2 + x_3)/2 = 1/2 \implies x_2 + x_3 = 1$ (ii)
$(x_3 + x_1)/2 = 1/2 \implies x_3 + x_1 = 1$ (iii)
$(i)$,(ii),અને (iii) નો સરવાળો કરતા: $2(x_1 + x_2 + x_3) = 2 \implies x_1 + x_2 + x_3 = 1$.
સરવાળામાંથી (ii) બાદ કરતા: $x_1 = 1 - 1 = 0$.
સરવાળામાંથી (iii) બાદ કરતા: $x_2 = 1 - 1 = 0$.
સરવાળામાંથી $(i)$ બાદ કરતા: $x_3 = 1 - 0 = 1$.
$y$-યામ માટે:
$(y_1 + y_2)/2 = 1/2 \implies y_1 + y_2 = 1$ (iv)
$(y_2 + y_3)/2 = 1/2 \implies y_2 + y_3 = 1$ $(v)$
$(y_3 + y_1)/2 = 0 \implies y_3 + y_1 = 0$ (vi)
(iv),$(v)$,અને (vi) નો સરવાળો કરતા: $2(y_1 + y_2 + y_3) = 2 \implies y_1 + y_2 + y_3 = 1$.
સરવાળામાંથી $(v)$ બાદ કરતા: $y_1 = 1 - 1 = 0$.
સરવાળામાંથી (vi) બાદ કરતા: $y_2 = 1 - 0 = 1$.
સરવાળામાંથી (iv) બાદ કરતા: $y_3 = 1 - 1 = 0$.
આમ,શિરોબિંદુઓ $A(0, 0)$,$B(0, 1)$,અને $C(1, 0)$ છે.