Solution of a Quadratic Equation by Factorisation Questions in Hindi

(A) द्विघात समीकरण $2x^{2}-5x+3=0$ के मूल गुणनखंड विधि से ज्ञात करने के लिए,हम मध्य पद $-5x$ को $-2x$ और $-3x$ में विभाजित करते हैं,क्योंकि $(-2x) \times (-3x) = 6x^{2}$,जो $x^{2}$ के गुणांक $(2)$ और अचर पद $(3)$ का गुणनफल है।
अब,समीकरण को इस प्रकार लिखें:
$2x^{2}-2x-3x+3=0$
समूहीकरण द्वारा गुणनखंड करने पर:
$2x(x-1)-3(x-1)=0$
$(2x-3)(x-1)=0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$2x-3=0 \implies 2x=3 \implies x=\frac{3}{2}$
$x-1=0 \implies x=1$
अतः,समीकरण के मूल $x=1$ और $x=\frac{3}{2}$ हैं।

(A) हमारे पास द्विघात समीकरण $6x^{2}-x-2=0$ है।
मूल ज्ञात करने के लिए,हम मध्य पद को विभाजित करके द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करते हैं:
$6x^{2}-x-2 = 6x^{2}+3x-4x-2$
पदों को समूहित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$= 3x(2x+1)-2(2x+1)$
$= (3x-2)(2x+1)$
$6x^{2}-x-2=0$ के मूल $x$ के वे मान हैं जिनके लिए $(3x-2)(2x+1)=0$ है।
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$3x-2=0$ या $2x+1=0$
$x$ के लिए हल करने पर:
$3x=2 \implies x=\frac{2}{3}$
$2x=-1 \implies x=-\frac{1}{2}$
अतः,द्विघात समीकरण के मूल $\frac{2}{3}$ और $-\frac{1}{2}$ हैं।

(N/A) दिया गया द्विघात समीकरण $3x^{2}-2\sqrt{6}x+2=0$ है।
हम मध्य पद $-2\sqrt{6}x$ को $-\sqrt{6}x - \sqrt{6}x$ के रूप में विभाजित कर सकते हैं।
अतः,$3x^{2}-\sqrt{6}x-\sqrt{6}x+2=0$।
पहले दो पदों और अंतिम दो पदों से उभयनिष्ठ गुणनखंड लेने पर:
$\sqrt{3}x(\sqrt{3}x-\sqrt{2})-\sqrt{2}(\sqrt{3}x-\sqrt{2})=0$।
यह $(\sqrt{3}x-\sqrt{2})(\sqrt{3}x-\sqrt{2})=0$ में सरल हो जाता है।
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर,हमें $\sqrt{3}x-\sqrt{2}=0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$।
चूंकि दोनों गुणनखंड समान हैं,इसलिए मूल भी समान हैं।
अतः,समीकरण के मूल $\sqrt{\frac{2}{3}}, \sqrt{\frac{2}{3}}$ हैं।

(A) द्विघात समीकरण $x^{2}-3x-10=0$ के मूल गुणनखंडन विधि से ज्ञात करने के लिए,हम मध्य पद को विभाजित करते हैं।
हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल $-10$ हो और योग $-3$ हो। ये संख्याएँ $-5$ और $2$ हैं।
$x^{2}-5x+2x-10=0$
समूह बनाकर गुणनखंड करने पर:
$x(x-5)+2(x-5)=0$
$(x-5)(x+2)=0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$x-5=0$ या $x+2=0$
अतः,समीकरण के मूल $x=5$ या $x=-2$ हैं।

(A) गुणनखंडन विधि द्वारा द्विघात समीकरण $2x^{2} + x - 6 = 0$ के मूल ज्ञात करने के लिए,हम मध्य पद को विभाजित करते हैं।
हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल $2 \times (-6) = -12$ हो और जिनका योग $1$ हो।
ये संख्याएँ $4$ और $-3$ हैं।
अतः,$2x^{2} + 4x - 3x - 6 = 0$।
पदों का समूह बनाने पर,हमें $2x(x + 2) - 3(x + 2) = 0$ प्राप्त होता है।
$(x + 2)$ को उभयनिष्ठ लेने पर,हमारे पास $(x + 2)(2x - 3) = 0$ है।
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$x + 2 = 0 \implies x = -2$
$2x - 3 = 0 \implies 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2}$।
अतः,मूल $x = -2$ और $x = \frac{3}{2}$ हैं।

(A) द्विघात समीकरण $\sqrt{2} x^{2}+7 x+5 \sqrt{2}=0$ के मूल गुणनखंडन विधि से ज्ञात करने के लिए:
$1$. मध्य पद $7x$ को दो भागों में विभाजित करें ताकि उनका योग $7x$ हो और उनका गुणनफल $(\sqrt{2} x^{2}) \times (5 \sqrt{2}) = 10x^{2}$ हो।
$2$. ये दो भाग $5x$ और $2x$ हैं,क्योंकि $5x + 2x = 7x$ और $5x \times 2x = 10x^{2}$।
$3$. समीकरण को पुनः लिखने पर: $\sqrt{2} x^{2} + 2x + 5x + 5 \sqrt{2} = 0$।
$4$. समूह बनाकर गुणनखंड करने पर: $\sqrt{2} x(x + \sqrt{2}) + 5(x + \sqrt{2}) = 0$।
$5$. उभयनिष्ठ गुणनखंड $(x + \sqrt{2})$ को बाहर लेने पर: $(x + \sqrt{2})(\sqrt{2} x + 5) = 0$।
$6$. प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
- $x + \sqrt{2} = 0 \implies x = -\sqrt{2}$
- $\sqrt{2} x + 5 = 0 \implies \sqrt{2} x = -5 \implies x = -\frac{5}{\sqrt{2}}$
अतः,समीकरण के मूल $x = -\sqrt{2}$ और $x = -\frac{5}{\sqrt{2}}$ हैं।

(A) दिया गया समीकरण: $2x^{2} - x + \frac{1}{8} = 0$
भिन्न को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $8$ से गुणा करने पर:
$16x^{2} - 8x + 1 = 0$
अब,मध्य पद को विभाजित करके द्विघात व्यंजक का गुणनखंड कीजिए:
$16x^{2} - 4x - 4x + 1 = 0$
पदों का समूह बनाने पर:
$4x(4x - 1) - 1(4x - 1) = 0$
$(4x - 1)(4x - 1) = 0$
$(4x - 1)^{2} = 0$
गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$4x - 1 = 0$
$4x = 1$
$x = \frac{1}{4}$
अतः,समीकरण के मूल $x = \frac{1}{4}, \frac{1}{4}$ हैं।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण: $100 x^{2}-20 x+1=0$
गुणनखंड करने के लिए,हम मध्य पद $-20x$ को $-10x - 10x$ में विभाजित करते हैं:
$100 x^{2}-10 x-10 x+1=0$
पदों को समूह में व्यवस्थित करने पर:
$10 x(10 x-1)-1(10 x-1)=0$
उभयनिष्ठ पद $(10 x-1)$ को बाहर लेने पर:
$(10 x-1)(10 x-1)=0$
$(10 x-1)^{2}=0$
मूल ज्ञात करने के लिए,गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$10 x-1=0$
$10 x=1$
$x=\frac{1}{10}$
चूंकि गुणनखंड का वर्ग है,इसलिए मूल समान हैं: $x = \frac{1}{10}, \frac{1}{10}$.

(A) माना जॉन के पास कंचों की संख्या $x$ है।
इसलिए,जीवंती के पास कंचों की संख्या $= 45 - x$ है।
प्रत्येक द्वारा $5$ कंचे खो देने के बाद:
जॉन के पास कंचों की संख्या $= x - 5$ है।
जीवंती के पास कंचों की संख्या $= 45 - x - 5 = 40 - x$ है।
यह दिया गया है कि उनके पास बचे कंचों का गुणनफल $124$ है।
अतः,$(x - 5)(40 - x) = 124$ है।
समीकरण का विस्तार करने पर: $40x - x^2 - 200 + 5x = 124$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $-x^2 + 45x - 200 = 124$ है।
$x^2 - 45x + 324 = 0$ है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $x^2 - 36x - 9x + 324 = 0$ है।
$x(x - 36) - 9(x - 36) = 0$ है।
$(x - 36)(x - 9) = 0$ है।
इस प्रकार,$x = 36$ या $x = 9$ है।
यदि जॉन के पास $36$ कंचे थे,तो जीवंती के पास $45 - 36 = 9$ कंचे थे।
यदि जॉन के पास $9$ कंचे थे,तो जीवंती के पास $45 - 9 = 36$ कंचे थे।

(A) माना कि एक दिन में निर्मित खिलौनों की संख्या $x$ है।
प्रत्येक खिलौने के निर्माण की लागत (रुपयों में) $(55 - x)$ है।
कुल उत्पादन लागत खिलौनों की संख्या और प्रति खिलौना लागत का गुणनफल है:
$x(55 - x) = 750$
समीकरण का विस्तार करने पर:
$55x - x^2 = 750$
इसे मानक द्विघात रूप $ax^2 + bx + c = 0$ में व्यवस्थित करने पर:
$x^2 - 55x + 750 = 0$
इसे हल करने के लिए,हम मध्य पद को विभाजित करके गुणनखंड विधि का उपयोग करेंगे:
$x^2 - 25x - 30x + 750 = 0$
पदों को समूहित करने पर:
$x(x - 25) - 30(x - 25) = 0$
$(x - 25)(x - 30) = 0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$x - 25 = 0 \Rightarrow x = 25$
$x - 30 = 0 \Rightarrow x = 30$
अतः,उस दिन निर्मित खिलौनों की संख्या $25$ या $30$ थी।

(N/A) माना कि पहली संख्या $x$ है। तब दूसरी संख्या $27-x$ होगी।
दिया गया है कि उनका गुणनफल $182$ है,इसलिए:
$x(27-x) = 182$
समीकरण का विस्तार करने पर:
$27x - x^2 = 182$
इसे मानक द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$x^2 - 27x + 182 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$x^2 - 13x - 14x + 182 = 0$
$x(x - 13) - 14(x - 13) = 0$
$(x - 13)(x - 14) = 0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$x - 13 = 0 \Rightarrow x = 13$
$x - 14 = 0 \Rightarrow x = 14$
यदि पहली संख्या $13$ है,तो दूसरी संख्या $27 - 13 = 14$ होगी।
यदि पहली संख्या $14$ है,तो दूसरी संख्या $27 - 14 = 13$ होगी।
अतः,वे दो संख्याएँ $13$ और $14$ हैं।

(A) माना कि दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक $x$ और $x+1$ हैं।
दिया गया है कि $x^{2} + (x+1)^{2} = 365$.
समीकरण का विस्तार करने पर: $x^{2} + x^{2} + 2x + 1 = 365$.
सरल करने पर: $2x^{2} + 2x + 1 = 365$.
$2x^{2} + 2x - 364 = 0$.
$2$ से भाग देने पर: $x^{2} + x - 182 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $x^{2} + 14x - 13x - 182 = 0$.
$x(x + 14) - 13(x + 14) = 0$.
$(x + 14)(x - 13) = 0$.
इससे $x = -14$ या $x = 13$ प्राप्त होता है।
चूंकि पूर्णांक धनात्मक होने चाहिए,इसलिए हम $x = 13$ लेंगे।
अतः,अगला पूर्णांक $x + 1 = 13 + 1 = 14$ होगा।
इस प्रकार,दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक $13$ और $14$ हैं।

(A) माना कि समकोण त्रिभुज का आधार $x \, cm$ है।
इसका शीर्षलंब $(x - 7) \, cm$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$\text{आधार}^2 + \text{शीर्षलंब}^2 = \text{कर्ण}^2$
$x^2 + (x - 7)^2 = 13^2$
$x^2 + x^2 - 14x + 49 = 169$
$2x^2 - 14x - 120 = 0$
$2$ से भाग देने पर:
$x^2 - 7x - 60 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$x^2 - 12x + 5x - 60 = 0$
$x(x - 12) + 5(x - 12) = 0$
$(x - 12)(x + 5) = 0$
अतः,$x = 12$ या $x = -5$ है।
चूंकि भुजा की लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए हम $x = 12$ लेंगे।
अतः,आधार $12 \, cm$ है और शीर्षलंब $12 - 7 = 5 \, cm$ है।

(N/A) माना कि निर्मित बर्तनों की संख्या $x$ है।
इसलिए,प्रत्येक बर्तन की निर्माण लागत $= (2x + 3)$ रुपये है।
यह दिया गया है कि कुल निर्माण लागत ₹ $90$ है।
अतः,$x(2x + 3) = 90$.
समीकरण का विस्तार करने पर: $2x^2 + 3x - 90 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $2x^2 + 15x - 12x - 90 = 0$.
$x(2x + 15) - 6(2x + 15) = 0$.
$(2x + 15)(x - 6) = 0$.
इससे $x = -15/2$ या $x = 6$ प्राप्त होता है।
चूंकि बर्तनों की संख्या एक धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए,इसलिए $x = 6$ होगा।
अतः,निर्मित बर्तनों की संख्या $6$ है और प्रत्येक बर्तन की लागत $2(6) + 3 = 15$ रुपये है।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $9x^{2} + \frac{3}{4}x - \sqrt{2} = 0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने की विधि का उपयोग करने के लिए,हमें समीकरण को $(ax)^{2} + 2(ax)(b) + b^{2}$ के रूप में व्यक्त करना होगा।
हम समीकरण को $(3x)^{2} + 2(3x)(\frac{1}{8}) - \sqrt{2} = 0$ के रूप में लिख सकते हैं।
यहाँ,पद $b = \frac{1}{8}$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने के लिए,हमें $b^{2} = (\frac{1}{8})^{2} = \frac{1}{64}$ को जोड़ना और घटाना होगा।
अतः,वह स्थिरांक जिसे जोड़ा और घटाया जाना चाहिए,वह $\frac{1}{64}$ है।

(C) हाँ,ऐसा द्विघात समीकरण अस्तित्व में है।
द्विघात समीकरण $\sqrt{3}x^2 - 7\sqrt{3}x + 12\sqrt{3} = 0$ पर विचार करें।
यहाँ,गुणांक $a = \sqrt{3}$,$b = -7\sqrt{3}$,और $c = 12\sqrt{3}$ हैं,जो सभी भिन्न अपरिमेय संख्याएँ हैं।
पूरे समीकरण को $\sqrt{3}$ से विभाजित करने पर,हमें $x^2 - 7x + 12 = 0$ प्राप्त होता है।
इस द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,$(x - 3)(x - 4) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,मूल $x = 3$ और $x = 4$ हैं,जो दोनों परिमेय संख्याएँ हैं।

(D) $6x^{2} - \sqrt{2}x - 2 = 0$ के मूल ज्ञात करने के लिए,हम द्विघात बहुपद का गुणनखंडन करेंगे।
हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल $6 \times (-2) = -12$ हो और योग $-\sqrt{2}$ हो।
ये संख्याएँ $-3\sqrt{2}$ और $2\sqrt{2}$ हैं।
$6x^{2} - 3\sqrt{2}x + 2\sqrt{2}x - 2 = 0$
$3x(2x - \sqrt{2}) + \sqrt{2}(2x - \sqrt{2}) = 0$
$(3x + \sqrt{2})(2x - \sqrt{2}) = 0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$3x + \sqrt{2} = 0 \implies x = -\frac{\sqrt{2}}{3}$
$2x - \sqrt{2} = 0 \implies x = \frac{\sqrt{2}}{2}$
अतः,मूल $-\frac{\sqrt{2}}{3}$ और $\frac{\sqrt{2}}{2}$ हैं।

(A) माना एक भुजा $x \, cm$ है। तब दूसरी भुजा $(x+5) \, cm$ होगी।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$x^{2} + (x+5)^{2} = (25)^{2}$
समीकरण का विस्तार करने पर:
$x^{2} + x^{2} + 10x + 25 = 625$
$2x^{2} + 10x - 600 = 0$
$2$ से भाग देने पर:
$x^{2} + 5x - 300 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$x^{2} + 20x - 15x - 300 = 0$
$x(x+20) - 15(x+20) = 0$
$(x-15)(x+20) = 0$
अतः,$x = 15$ या $x = -20$ है।
चूंकि लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $x = -20$ को अस्वीकार करते हैं।
अतः,एक भुजा $15 \, cm$ है और दूसरी भुजा $15 + 5 = 20 \, cm$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x-7}=\frac{11}{30}$
बाईं ओर लघुत्तम समापवर्त्य (common denominator) लेने पर:
$\frac{(x-7)-(x+4)}{(x+4)(x-7)}=\frac{11}{30}$
अंश को सरल करने पर:
$\frac{x-7-x-4}{x^2-7x+4x-28}=\frac{11}{30}$
$\frac{-11}{x^2-3x-28}=\frac{11}{30}$
दोनों पक्षों को $11$ से विभाजित करने पर:
$\frac{-1}{x^2-3x-28}=\frac{1}{30}$
वज्र-गुणन (cross-multiplication) करने पर:
$x^2-3x-28 = -30$
$x^2-3x-28+30 = 0$
$x^2-3x+2 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$x^2-2x-x+2 = 0$
$x(x-2)-1(x-2) = 0$
$(x-2)(x-1) = 0$
अतः,मूल $x = 1$ या $x = 2$ हैं।

(C) माना आयत की छोटी भुजा $x\, m$ है।
अतः,आयत की लंबी भुजा $(x+30)\, m$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,आयत का विकर्ण $\sqrt{x^2 + (x+30)^2}$ होता है।
यह दिया गया है कि विकर्ण छोटी भुजा से $60\, m$ अधिक है,इसलिए $\sqrt{x^2 + (x+30)^2} = x + 60$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$x^2 + (x+30)^2 = (x+60)^2$ प्राप्त होता है।
पदों का विस्तार करने पर: $x^2 + x^2 + 60x + 900 = x^2 + 120x + 3600$।
समीकरण को सरल करने पर: $x^2 - 60x - 2700 = 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $x^2 - 90x + 30x - 2700 = 0$,जो $x(x-90) + 30(x-90) = 0$ देता है।
अतः,$(x-90)(x+30) = 0$।
इससे $x = 90$ या $x = -30$ प्राप्त होता है।
चूँकि लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए छोटी भुजा $90\, m$ है।
लंबी भुजा $x + 30 = 90 + 30 = 120\, m$ होगी।

(A) माना ट्रेन की समान चाल $x\, km/h$ है।
$x$ चाल से $360\, km$ की दूरी तय करने में लगा समय $t_1 = \frac{360}{x}\, h$ है।
यदि चाल $5\, km/h$ बढ़ा दी जाए,तो नई चाल $(x + 5)\, km/h$ होगी।
नई चाल से लगा समय $t_2 = \frac{360}{x + 5}\, h$ है।
प्रश्न के अनुसार,समय का अंतर $1\, hour$ है:
$\frac{360}{x} - \frac{360}{x + 5} = 1$
$360 \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 5} \right) = 1$
$360 \left( \frac{x + 5 - x}{x(x + 5)} \right) = 1$
$360 \left( \frac{5}{x^2 + 5x} \right) = 1$
$1800 = x^2 + 5x$
$x^2 + 5x - 1800 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$x^2 + 45x - 40x - 1800 = 0$
$x(x + 45) - 40(x + 45) = 0$
$(x + 45)(x - 40) = 0$
इससे $x = -45$ या $x = 40$ प्राप्त होता है।
चूंकि चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए ट्रेन की चाल $40\, km/h$ है।

(A) माना पैसेंजर ट्रेन की औसत गति $x\, km/h$ है।
एक्सप्रेस ट्रेन की औसत गति $= (x + 11)\, km/h$ होगी।
पैसेंजर ट्रेन द्वारा $132\, km$ की दूरी तय करने में लगा समय $= \frac{132}{x}\, \text{घंटे}$.
एक्सप्रेस ट्रेन द्वारा $132\, km$ की दूरी तय करने में लगा समय $= \frac{132}{x + 11}\, \text{घंटे}$.
प्रश्न के अनुसार,एक्सप्रेस ट्रेन पैसेंजर ट्रेन से $1\, \text{घंटा}$ कम समय लेती है:
$\frac{132}{x} - \frac{132}{x + 11} = 1$
$132 \left[ \frac{x + 11 - x}{x(x + 11)} \right] = 1$
$\frac{132 \times 11}{x^2 + 11x} = 1$
$x^2 + 11x = 1452$
$x^2 + 11x - 1452 = 0$
द्विघात समीकरण को मध्य पद को विभाजित करके हल करने पर:
$x^2 + 44x - 33x - 1452 = 0$
$x(x + 44) - 33(x + 44) = 0$
$(x + 44)(x - 33) = 0$
$x = -44$ या $x = 33$.
चूंकि गति ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $x = 33\, km/h$.
अतः,पैसेंजर ट्रेन की गति $33\, km/h$ है और एक्सप्रेस ट्रेन की गति $33 + 11 = 44\, km/h$ है।

(A) माना कि दो वर्गों की भुजाएँ $x \, m$ और $y \, m$ हैं। अतः,उनके परिमाप क्रमशः $4x$ और $4y$ होंगे और उनके क्षेत्रफल क्रमशः $x^2$ और $y^2$ होंगे।
यह दिया गया है कि उनके परिमापों का अंतर $24 \, m$ है:
$4x - 4y = 24$
$x - y = 6$
$x = y + 6$
यह भी दिया गया है कि उनके क्षेत्रफलों का योग $468 \, m^2$ है:
$x^2 + y^2 = 468$
क्षेत्रफल के समीकरण में $x = y + 6$ रखने पर:
$(y + 6)^2 + y^2 = 468$
$y^2 + 12y + 36 + y^2 = 468$
$2y^2 + 12y - 432 = 0$
$2$ से भाग देने पर:
$y^2 + 6y - 216 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$y^2 + 18y - 12y - 216 = 0$
$y(y + 18) - 12(y + 18) = 0$
$(y + 18)(y - 12) = 0$
इससे $y = -18$ या $y = 12$ प्राप्त होता है। चूँकि वर्ग की भुजा ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए हम $y = 12 \, m$ लेते हैं।
तब,$x = 12 + 6 = 18 \, m$।
अतः,दोनों वर्गों की भुजाएँ $18 \, m$ और $12 \, m$ हैं।

(C) दिया गया समीकरण $2x^{2} + \frac{5}{3}x - 2 = 0$ है।
दोनों पक्षों को $3$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$6x^{2} + 5x - 6 = 0$.
गुणनखंड करने के लिए,हम मध्य पद को इस प्रकार विभाजित करते हैं कि दो संख्याओं का गुणनफल $6 \times (-6) = -36$ हो और उनका योग $5$ हो। वे संख्याएँ $9$ और $-4$ हैं।
$6x^{2} + 9x - 4x - 6 = 0$
उभयनिष्ठ पद लेने पर:
$3x(2x + 3) - 2(2x + 3) = 0$
$(2x + 3)(3x - 2) = 0$
अब,प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$2x + 3 = 0 \Rightarrow x = -\frac{3}{2}$
$3x - 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$
अतः,समीकरण के मूल $-\frac{3}{2}$ और $\frac{2}{3}$ हैं।

(B) दिया गया समीकरण $\frac{2}{5} x^{2}-x-\frac{3}{5}=0$ है।
दोनों पक्षों को $5$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2x^{2}-5x-3=0$
गुणनखंड करने के लिए,हम मध्य पद $-5x$ को $-6x + x$ में विभाजित करते हैं:
$2x^{2}-6x+x-3=0$
पदों को समूह में रखने पर:
$2x(x-3)+1(x-3)=0$
$(x-3)$ को उभयनिष्ठ गुणनखंड के रूप में लेने पर:
$(x-3)(2x+1)=0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$x-3=0 \Rightarrow x=3$
$2x+1=0 \Rightarrow x=-\frac{1}{2}$
अतः,समीकरण के मूल $-\frac{1}{2}$ और $3$ हैं।

(A) दिया गया समीकरण $3 \sqrt{2} x^{2}-5 x-\sqrt{2}=0$ है।
गुणनखंड करने के लिए,हम मध्य पद $-5x$ को $-6x + x$ में विभाजित करते हैं ताकि उनका गुणनफल $(3 \sqrt{2}) \times (-\sqrt{2}) = -6$ हो।
$3 \sqrt{2} x^{2}-6 x+x-\sqrt{2}=0$
$3 \sqrt{2} x(x-\sqrt{2})+1(x-\sqrt{2})=0$
$(x-\sqrt{2})(3 \sqrt{2} x+1)=0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$x-\sqrt{2}=0 \Rightarrow x=\sqrt{2}$
$3 \sqrt{2} x+1=0 \Rightarrow x=-\frac{1}{3 \sqrt{2}}$.
हर का परिमेयकरण करने पर: $x = -\frac{1 \times \sqrt{2}}{3 \sqrt{2} \times \sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{3 \times 2} = -\frac{\sqrt{2}}{6}$.
अतः,समीकरण के मूल $-\frac{\sqrt{2}}{6}$ और $\sqrt{2}$ हैं।

(B) दिया गया समीकरण $3x^{2} + 5\sqrt{5}x - 10 = 0$ है।
गुणनखंड करने के लिए,हम मध्य पद को इस प्रकार विभाजित करते हैं कि उनका गुणनफल $3 \times (-10) = -30$ हो और योग $5\sqrt{5}$ हो।
ये गुणनखंड $6\sqrt{5}$ और $-\sqrt{5}$ हैं,क्योंकि $(6\sqrt{5}) \times (-\sqrt{5}) = -6 \times 5 = -30$ और $6\sqrt{5} - \sqrt{5} = 5\sqrt{5}$ होता है।
$3x^{2} + 6\sqrt{5}x - \sqrt{5}x - 10 = 0$
$3x(x + 2\sqrt{5}) - \sqrt{5}(x + 2\sqrt{5}) = 0$
$(x + 2\sqrt{5})(3x - \sqrt{5}) = 0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$x + 2\sqrt{5} = 0 \Rightarrow x = -2\sqrt{5}$
$3x - \sqrt{5} = 0 \Rightarrow x = \frac{\sqrt{5}}{3}$
अतः,समीकरण के मूल $-2\sqrt{5}$ और $\frac{\sqrt{5}}{3}$ हैं।

(C) दिया गया समीकरण $21 x^{2}-2 x+\frac{1}{21}=0$ है।
इसे सरल बनाने के लिए,समीकरण के दोनों पक्षों को $21$ से गुणा करने पर:
$21(21 x^{2}-2 x+\frac{1}{21}) = 21(0)$
$441 x^{2}-42 x+1=0$
अब,मध्य पद को विभाजित करके गुणनखंड करने पर:
$441 x^{2}-21 x-21 x+1=0$
पदों का समूह बनाने पर:
$(441 x^{2}-21 x)-(21 x-1)=0$
$21 x(21 x-1)-1(21 x-1)=0$
$(21 x-1)$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$(21 x-1)(21 x-1)=0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$21 x-1=0 \Rightarrow x=\frac{1}{21}$
$21 x-1=0 \Rightarrow x=\frac{1}{21}$
अतः,समीकरण के मूल $\frac{1}{21}$ और $\frac{1}{21}$ हैं।

(A) माना कि उसके वास्तविक अंक $x$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,यदि उसने $10$ अंक अधिक प्राप्त किए होते,तो नए अंक $(x + 10)$ होते।
शर्त के अनुसार,इन अंकों का $9$ गुना उसके वास्तविक अंकों के वर्ग के बराबर है:
$9(x + 10) = x^2$
$9x + 90 = x^2$
द्विघात समीकरण बनाने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$x^2 - 9x - 90 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$x^2 - 15x + 6x - 90 = 0$
$x(x - 15) + 6(x - 15) = 0$
$(x + 6)(x - 15) = 0$
इससे $x = -6$ या $x = 15$ प्राप्त होता है।
चूंकि अंक ऋणात्मक नहीं हो सकते,इसलिए $x = -6$ को छोड़ दिया जाता है।
अतः,अजीता द्वारा प्राप्त वास्तविक अंक $15$ हैं।

(D) माना कि अभीष्ट प्राकृतिक संख्या $n$ है।
प्रश्न के अनुसार,संख्या के वर्ग में से $84$ घटाने पर $n^2 - 84$ प्राप्त होता है।
संख्या में $8$ जोड़कर उसे $3$ से गुणा करने पर $3(n + 8)$ प्राप्त होता है।
इन दोनों को बराबर रखने पर,हमें द्विघात समीकरण प्राप्त होता है:
$n^2 - 84 = 3(n + 8)$
$n^2 - 84 = 3n + 24$
$n^2 - 3n - 108 = 0$
इसे हल करने के लिए,हम मध्य पद का विभाजन करते हैं:
$n^2 - 12n + 9n - 108 = 0$
$n(n - 12) + 9(n - 12) = 0$
$(n - 12)(n + 9) = 0$
इससे $n = 12$ या $n = -9$ प्राप्त होता है।
चूंकि $n$ एक प्राकृतिक संख्या है,इसलिए $n = -9$ संभव नहीं है।
अतः,अभीष्ट प्राकृतिक संख्या $12$ है।

(A) माना कि प्राकृतिक संख्या $x$ है।
प्रश्न के अनुसार,
$x + 12 = \frac{160}{x}$
दोनों पक्षों को $x$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x^2 + 12x = 160$
$x^2 + 12x - 160 = 0$
अब,द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$x^2 + 20x - 8x - 160 = 0$
$x(x + 20) - 8(x + 20) = 0$
$(x + 20)(x - 8) = 0$
इससे $x$ के दो संभावित मान प्राप्त होते हैं:
$x = -20$ या $x = 8$।
चूंकि प्रश्न में प्राकृतिक संख्या का उल्लेख है,इसलिए $x$ धनात्मक होना चाहिए।
अतः,अभीष्ट प्राकृतिक संख्या $8$ है।

(C) माना कि ज़ेबा की वर्तमान आयु $x\, \text{वर्ष}$ है।
जब वह $5\, \text{वर्ष}$ छोटी थी, तब उसकी आयु $(x - 5)\, \text{वर्ष}$ थी।
दी गई शर्त के अनुसार:
$(x - 5)^2 = 5x + 11$
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर:
$x^2 - 10x + 25 = 5x + 11$
पदों को व्यवस्थित करके द्विघात समीकरण बनाने पर:
$x^2 - 10x - 5x + 25 - 11 = 0$
$x^2 - 15x + 14 = 0$
मध्य पद को विभाजित करके द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$x^2 - 14x - x + 14 = 0$
$x(x - 14) - 1(x - 14) = 0$
$(x - 1)(x - 14) = 0$
इससे $x$ के दो संभावित मान प्राप्त होते हैं: $x = 1$ या $x = 14$.
यदि $x = 1$ लिया जाए, तो $5\, \text{वर्ष}$ पहले उसकी आयु $1 - 5 = -4$ होगी, जो संभव नहीं है क्योंकि आयु ऋणात्मक नहीं हो सकती।
अतः, ज़ेबा की वर्तमान आयु $14\, \text{वर्ष}$ है।

(D) द्विघात बहुपद $p(x) = x^{2} + 5x - 24$ का गुणनखंड करने के लिए,हमें ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात करनी होंगी जिनका गुणनफल $-24$ हो और जिनका योग $5$ हो।
ये दो संख्याएँ $8$ और $-3$ हैं,क्योंकि $8 \times (-3) = -24$ और $8 + (-3) = 5$ है।
अब,मध्य पद $5x$ को $8x - 3x$ के रूप में विभाजित करें:
$p(x) = x^{2} + 8x - 3x - 24$
पदों को समूहबद्ध करें:
$p(x) = (x^{2} + 8x) - (3x + 24)$
उभयनिष्ठ पदों को बाहर निकालें:
$p(x) = x(x + 8) - 3(x + 8)$
अंत में,उभयनिष्ठ द्विपद $(x + 8)$ को बाहर निकालें:
$p(x) = (x + 8)(x - 3)$

(A) दिया गया समीकरण: $\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}=\frac{5}{6}$
बाईं ओर लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ लेने पर:
$\frac{(x+1)^{2}-(x-1)^{2}}{(x-1)(x+1)}=\frac{5}{6}$
वर्गों का विस्तार करने और हर को सरल करने पर:
$\frac{(x^{2}+2x+1)-(x^{2}-2x+1)}{x^{2}-1}=\frac{5}{6}$
$\frac{x^{2}+2x+1-x^{2}+2x-1}{x^{2}-1}=\frac{5}{6}$
$\frac{4x}{x^{2}-1}=\frac{5}{6}$
वज्र-गुणन (Cross-multiplication) करने पर:
$24x = 5(x^{2}-1)$
$24x = 5x^{2}-5$
मानक द्विघात रूप $ax^{2}+bx+c=0$ में व्यवस्थित करने पर:
$5x^{2}-24x-5=0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$5x^{2}-25x+x-5=0$
$5x(x-5)+1(x-5)=0$
$(x-5)(5x+1)=0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$x-5=0 \implies x=5$
$5x+1=0 \implies x=-\frac{1}{5}$
अतः,मूल $5$ और $-\frac{1}{5}$ हैं।

(B) दिया गया समीकरण: $\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+5}=\frac{1}{6}$
बाईं ओर लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ लेने पर:
$\frac{(x+5)-(x-3)}{(x-3)(x+5)}=\frac{1}{6}$
अंश और हर को सरल करने पर:
$\frac{x+5-x+3}{x^{2}+5x-3x-15}=\frac{1}{6}$
$\frac{8}{x^{2}+2x-15}=\frac{1}{6}$
वज्र-गुणन (Cross-multiplication) करने पर:
$x^{2}+2x-15 = 48$
$x^{2}+2x-15-48 = 0$
$x^{2}+2x-63 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$x^{2}+9x-7x-63 = 0$
$x(x+9)-7(x+9) = 0$
$(x+9)(x-7) = 0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$x+9 = 0 \implies x = -9$
$x-7 = 0 \implies x = 7$
अतः,समीकरण के मूल $-9$ और $7$ हैं।

(C) दिया गया समीकरण: $x - \frac{1}{x} = \frac{45}{14}$
हर को हटाने के लिए $x$ से गुणा करने पर: $\frac{x^2 - 1}{x} = \frac{45}{14}$
वज्र-गुणन (Cross-multiply) करने पर: $14(x^2 - 1) = 45x$
मानक द्विघात रूप $ax^2 + bx + c = 0$ में व्यवस्थित करने पर: $14x^2 - 45x - 14 = 0$
मध्य पद को विभाजित करके गुणनखंड करने पर: $14x^2 - 49x + 4x - 14 = 0$
पदों का समूह बनाने पर: $7x(2x - 7) + 2(2x - 7) = 0$
उभयनिष्ठ गुणनखंड बाहर निकालने पर: $(2x - 7)(7x + 2) = 0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर: $2x - 7 = 0$ या $7x + 2 = 0$
$x$ के लिए हल करने पर: $x = \frac{7}{2}$ या $x = -\frac{2}{7}$
अतः,द्विघात समीकरण के मूल $\frac{7}{2}$ और $-\frac{2}{7}$ हैं।

(D) दिया गया समीकरण: $\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}=\frac{7}{9}$
वज्र-गुणन (cross-multiplication) करने पर:
$9(x^{2}-1) = 7(x^{2}+1)$
पदों का विस्तार करने पर:
$9x^{2} - 9 = 7x^{2} + 7$
पदों को एक तरफ व्यवस्थित करने पर:
$9x^{2} - 7x^{2} - 9 - 7 = 0$
समीकरण को सरल करने पर:
$2x^{2} - 16 = 0$
$2$ से भाग देने पर:
$x^{2} - 8 = 0$
वर्गों के अंतर के सूत्र $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ का उपयोग करने पर,जहाँ $8 = (\sqrt{8})^{2} = (2\sqrt{2})^{2}$:
$(x - 2\sqrt{2})(x + 2\sqrt{2}) = 0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$x - 2\sqrt{2} = 0$ या $x + 2\sqrt{2} = 0$
अतः,मूल हैं:
$x = 2\sqrt{2}$ या $x = -2\sqrt{2}$

(A) दिया गया समीकरण: $6(2x+1)^2 - (2x+1) - 5 = 0$
माना $m = 2x+1$.
समीकरण में $m$ प्रतिस्थापित करने पर: $6m^2 - m - 5 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $6m^2 - 6m + 5m - 5 = 0$.
$6m(m-1) + 5(m-1) = 0$.
$(6m+5)(m-1) = 0$.
अतः,$m = 1$ या $m = -\frac{5}{6}$.
स्थिति $1$: यदि $m = 1$,तो $2x+1 = 1 \implies 2x = 0 \implies x = 0$.
स्थिति $2$: यदि $m = -\frac{5}{6}$,तो $2x+1 = -\frac{5}{6} \implies 2x = -\frac{5}{6} - 1 \implies 2x = -\frac{11}{6} \implies x = -\frac{11}{12}$.
इस प्रकार,समीकरण के मूल $0$ और $-\frac{11}{12}$ हैं।

(B) दिया गया समीकरण: $4x^{2} + 4x = 15$
समीकरण को मानक रूप $ax^{2} + bx + c = 0$ में व्यवस्थित करने पर:
$4x^{2} + 4x - 15 = 0$
गुणनखंड करने के लिए,हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल $4 \times (-15) = -60$ हो और योग $4$ हो। ये संख्याएँ $10$ और $-6$ हैं।
मध्य पद को विभाजित करने पर:
$4x^{2} + 10x - 6x - 15 = 0$
पदों का समूह बनाने पर:
$2x(2x + 5) - 3(2x + 5) = 0$
उभयनिष्ठ गुणनखंड बाहर निकालने पर:
$(2x + 5)(2x - 3) = 0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$2x + 5 = 0$ या $2x - 3 = 0$
$x$ के लिए हल करने पर:
$2x = -5 \implies x = -\frac{5}{2}$
$2x = 3 \implies x = \frac{3}{2}$
अतः,हल समुच्चय $\left\{-\frac{5}{2}, \frac{3}{2}\right\}$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $x - \frac{1}{x} - \frac{45}{14} = 0$.
भिन्नों को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $14x$ (हरों का लघुत्तम समापवर्त्य) से गुणा करने पर:
$14x^2 - 14 - 45x = 0$.
इसे मानक द्विघात रूप $ax^2 + bx + c = 0$ में व्यवस्थित करने पर:
$14x^2 - 45x - 14 = 0$.
गुणनखंडन करने के लिए,हम ऐसी दो संख्याएँ ढूँढते हैं जिनका गुणनफल $14 \times (-14) = -196$ हो और योग $-45$ हो। ये संख्याएँ $-49$ और $4$ हैं।
$14x^2 - 49x + 4x - 14 = 0$.
पदों का समूहीकरण करने पर:
$7x(2x - 7) + 2(2x - 7) = 0$.
$(2x - 7)(7x + 2) = 0$.
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$2x - 7 = 0 \implies x = \frac{7}{2}$.
$7x + 2 = 0 \implies x = -\frac{2}{7}$.
अतः,हल समुच्चय $\{ \frac{7}{2}, -\frac{2}{7} \}$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x+3}=\frac{7}{2x}$
दोनों पक्षों को हर के लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$,जो $2x(x-2)(x+3)$ है,से गुणा करने पर:
$2x(x+3) + 2x(x-2) = 7(x-2)(x+3)$
पदों का विस्तार करने पर:
$2x^2 + 6x + 2x^2 - 4x = 7(x^2 + x - 6)$
$4x^2 + 2x = 7x^2 + 7x - 42$
पदों को मानक द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$7x^2 - 4x^2 + 7x - 2x - 42 = 0$
$3x^2 + 5x - 42 = 0$
मध्य पद को विभाजित करके द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$3x^2 + 14x - 9x - 42 = 0$
$x(3x + 14) - 3(3x + 14) = 0$
$(3x + 14)(x - 3) = 0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$3x + 14 = 0 \implies x = -\frac{14}{3}$
$x - 3 = 0 \implies x = 3$
अतः,हल समुच्चय $\left\{-\frac{14}{3}, 3\right\}$ है।

(A) माना $(x+2) = y$ है। इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y^{2} - 14y + 45 = 0$
गुणनखंड करने के लिए,हम ऐसी दो संख्याएँ ढूँढते हैं जिनका गुणनफल $45$ और योग $-14$ हो। ये संख्याएँ $-9$ और $-5$ हैं।
$y^{2} - 9y - 5y + 45 = 0$
$y(y - 9) - 5(y - 9) = 0$
$(y - 9)(y - 5) = 0$
अतः,$y = 9$ या $y = 5$ है।
अब,$y = x + 2$ वापस रखने पर:
स्थिति $1$: $x + 2 = 9 \implies x = 7$
स्थिति $2$: $x + 2 = 5 \implies x = 3$
इस प्रकार,हल $x = 3, 7$ है।

(B) माना $y = 2x + 1$ है। समीकरण $6y^2 = y + 5$ बन जाता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $6y^2 - y - 5 = 0$ प्राप्त होता है।
गुणनखंड करने के लिए,हम ऐसी दो संख्याएँ ढूँढते हैं जिनका गुणनफल $(6 \times -5) = -30$ हो और योग $-1$ हो।
ये संख्याएँ $-6$ और $5$ हैं।
अतः,$6y^2 - 6y + 5y - 5 = 0$।
$6y(y - 1) + 5(y - 1) = 0$।
$(6y + 5)(y - 1) = 0$।
इससे $y = 1$ या $y = -\frac{5}{6}$ प्राप्त होता है।
$y = 2x + 1$ वापस रखने पर:
स्थिति $1$: $2x + 1 = 1 \implies 2x = 0 \implies x = 0$।
स्थिति $2$: $2x + 1 = -\frac{5}{6} \implies 2x = -\frac{5}{6} - 1 = -\frac{11}{6} \implies x = -\frac{11}{12}$।
अतः,हल $x = 0$ और $x = -\frac{11}{12}$ हैं।

(C) दिया गया समीकरण: $x + 3 + \frac{2}{x} = 0$.
पूरे समीकरण को $x$ से गुणा करने पर (जहाँ $x \neq 0$):
$x^2 + 3x + 2 = 0$.
अब,मध्य पद को विभाजित करके द्विघात समीकरण का गुणनखंड कीजिए:
$x^2 + 2x + x + 2 = 0$.
$x(x + 2) + 1(x + 2) = 0$.
$(x + 1)(x + 2) = 0$.
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$x + 1 = 0 \implies x = -1$.
$x + 2 = 0 \implies x = -2$.
अतः,हल $x = -1, -2$ हैं।

(A) दिया गया समीकरण: $(x+1)^{2} + x^{2} = 221$
वर्ग का विस्तार करने पर: $(x^{2} + 2x + 1) + x^{2} = 221$
समान पदों को जोड़ने पर: $2x^{2} + 2x + 1 = 221$
दोनों पक्षों से $221$ घटाने पर: $2x^{2} + 2x - 220 = 0$
पूरे समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर: $x^{2} + x - 110 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $x^{2} + 11x - 10x - 110 = 0$
पदों को समूहित करने पर: $x(x + 11) - 10(x + 11) = 0$
$(x - 10)(x + 11) = 0$
अतः,$x - 10 = 0$ या $x + 11 = 0$
$x = 10$ या $x = -11$
इस प्रकार,हल $10, -11$ हैं।

(A) दिया गया समीकरण: $x - \frac{20}{x} = 1$
भिन्न को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $x$ से गुणा करने पर: $x^2 - 20 = x$
समीकरण को मानक द्विघात रूप $ax^2 + bx + c = 0$ में व्यवस्थित करने पर: $x^2 - x - 20 = 0$
गुणनखंड करने के लिए,ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका गुणनफल $-20$ हो और योग $-1$ हो: ये संख्याएँ $-5$ और $4$ हैं।
मध्य पद को फिर से लिखने पर: $x^2 - 5x + 4x - 20 = 0$
पदों का समूह बनाने पर: $x(x - 5) + 4(x - 5) = 0$
उभयनिष्ठ गुणनखंड को बाहर निकालने पर: $(x - 5)(x + 4) = 0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर: $x - 5 = 0$ या $x + 4 = 0$
अतः,हल $x = 5$ या $x = -4$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $x^{2} + (x + 5)^{2} = 125$
$(x + 5)^{2}$ पद का विस्तार $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ सर्वसमिका का उपयोग करके करें:
$x^{2} + (x^{2} + 10x + 25) = 125$
समान पदों को जोड़ने पर:
$2x^{2} + 10x + 25 = 125$
दोनों पक्षों से $125$ घटाने पर:
$2x^{2} + 10x - 100 = 0$
समीकरण को सरल बनाने के लिए $2$ से भाग देने पर:
$x^{2} + 5x - 50 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने के लिए ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात करें जिनका गुणनफल $-50$ और योग $5$ हो:
ये संख्याएँ $10$ और $-5$ हैं:
$x^{2} + 10x - 5x - 50 = 0$
$x(x + 10) - 5(x + 10) = 0$
$(x - 5)(x + 10) = 0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$x - 5 = 0 \implies x = 5$
$x + 10 = 0 \implies x = -10$
अतः,हल $5, -10$ हैं।

(D) दिया गया समीकरण: $\frac{x}{x+1} + \frac{x+1}{x} = \frac{5}{2}$.
मान लीजिए $y = \frac{x}{x+1}$. तब समीकरण $y + \frac{1}{y} = \frac{5}{2}$ हो जाता है।
$2y$ से गुणा करने पर,$2y^2 + 2 = 5y$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $2y^2 - 5y + 2 = 0$ मिलता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $2y^2 - 4y - y + 2 = 0 \implies 2y(y - 2) - 1(y - 2) = 0$.
अतः,$(2y - 1)(y - 2) = 0$,जिससे $y = 1/2$ या $y = 2$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: $\frac{x}{x+1} = \frac{1}{2} \implies 2x = x + 1 \implies x = 1$.
स्थिति $2$: $\frac{x}{x+1} = 2 \implies x = 2x + 2 \implies x = -2$.
अतः,हल समुच्चय $\{1, -2\}$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $\frac{x+2}{x} + \frac{x}{x+2} = \frac{10}{3}$
लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ लेने पर: $\frac{(x+2)^2 + x^2}{x(x+2)} = \frac{10}{3}$
अंश का विस्तार करने पर: $\frac{x^2 + 4x + 4 + x^2}{x^2 + 2x} = \frac{10}{3}$
$\frac{2x^2 + 4x + 4}{x^2 + 2x} = \frac{10}{3}$
वज्र-गुणन करने पर: $3(2x^2 + 4x + 4) = 10(x^2 + 2x)$
$6x^2 + 12x + 12 = 10x^2 + 20x$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $4x^2 + 8x - 12 = 0$
$4$ से भाग देने पर: $x^2 + 2x - 3 = 0$
गुणनखंड करने पर: $x^2 + 3x - x - 3 = 0$
$x(x+3) - 1(x+3) = 0$
$(x-1)(x+3) = 0$
अतः,$x = 1$ या $x = -3$ है।
हल समुच्चय $\{1, -3\}$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $\frac{x+1}{x+2} + \frac{1}{x} = \frac{5}{4}$
बाईं ओर लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ लेने पर: $\frac{x(x+1) + 1(x+2)}{x(x+2)} = \frac{5}{4}$
$\frac{x^2 + x + x + 2}{x^2 + 2x} = \frac{5}{4}$
$\frac{x^2 + 2x + 2}{x^2 + 2x} = \frac{5}{4}$
वज्र-गुणन (Cross-multiplication) करने पर: $4(x^2 + 2x + 2) = 5(x^2 + 2x)$
$4x^2 + 8x + 8 = 5x^2 + 10x$
द्विघात समीकरण बनाने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर: $x^2 + 2x - 8 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंडन करने पर: $x^2 + 4x - 2x - 8 = 0$
$x(x+4) - 2(x+4) = 0$
$(x-2)(x+4) = 0$
अतः,$x = 2$ या $x = -4$ है।
हल समुच्चय $\{2, -4\}$ है।