Solution of a Quadratic Equation by Factorisation Questions in Hindi

(B) दिया गया समीकरण: $x + 2 - \frac{6}{x + 2} = 1$
माना $y = x + 2$ है। तब समीकरण होगा: $y - \frac{6}{y} = 1$
$y$ से गुणा करने पर: $y^2 - 6 = y$
मानक रूप में व्यवस्थित करने पर: $y^2 - y - 6 = 0$
गुणनखंड करने पर: $y^2 - 3y + 2y - 6 = 0$
$y(y - 3) + 2(y - 3) = 0$
$(y - 3)(y + 2) = 0$
अतः,$y = 3$ या $y = -2$ है।
अब $y = x + 2$ वापस रखने पर:
स्थिति $1$: $x + 2 = 3 \implies x = 1$
स्थिति $2$: $x + 2 = -2 \implies x = -4$
इस प्रकार,हल समुच्चय $\{1, -4\}$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $\frac{x}{x-1} + \frac{x-1}{x} = \frac{25}{12}$
माना $y = \frac{x}{x-1}$,तब समीकरण $y + \frac{1}{y} = \frac{25}{12}$ हो जाता है।
$12y$ से गुणा करने पर,हमें $12y^2 + 12 = 25y$ प्राप्त होता है,जिसे $12y^2 - 25y + 12 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $12y^2 - 16y - 9y + 12 = 0 \implies 4y(3y - 4) - 3(3y - 4) = 0$.
अतः,$(4y - 3)(3y - 4) = 0$,जिससे $y = \frac{3}{4}$ या $y = \frac{4}{3}$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: $\frac{x}{x-1} = \frac{3}{4} \implies 4x = 3x - 3 \implies x = -3$.
स्थिति $2$: $\frac{x}{x-1} = \frac{4}{3} \implies 3x = 4x - 4 \implies x = 4$.
अतः,हल समुच्चय $\{4, -3\}$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $\frac{9}{x-1} - \frac{2}{x-3} = \frac{5}{x+1}$
बाईं ओर लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ लेने पर: $\frac{9(x-3) - 2(x-1)}{(x-1)(x-3)} = \frac{5}{x+1}$
$\frac{9x - 27 - 2x + 2}{x^2 - 4x + 3} = \frac{5}{x+1}$
$\frac{7x - 25}{x^2 - 4x + 3} = \frac{5}{x+1}$
वज्र गुणन (Cross-multiplication) करने पर: $(7x - 25)(x + 1) = 5(x^2 - 4x + 3)$
$7x^2 + 7x - 25x - 25 = 5x^2 - 20x + 15$
$7x^2 - 18x - 25 = 5x^2 - 20x + 15$
$2x^2 + 2x - 40 = 0$
$2$ से भाग देने पर: $x^2 + x - 20 = 0$
गुणनखंड करने पर: $x^2 + 5x - 4x - 20 = 0$
$x(x + 5) - 4(x + 5) = 0$
$(x - 4)(x + 5) = 0$
अतः,$x = 4$ या $x = -5$ है।
हल समुच्चय $\{-5, 4\}$ है।

(A) माना कि $y = \frac{x+1}{x-3}$ है। तब समीकरण $y + \frac{1}{y} = \frac{5}{2}$ बन जाता है।
$2y$ से गुणा करने पर,हमें $2y^2 + 2 = 5y$ प्राप्त होता है,जो $2y^2 - 5y + 2 = 0$ में सरल हो जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $2y^2 - 4y - y + 2 = 0 \implies 2y(y - 2) - 1(y - 2) = 0$।
इससे $(2y - 1)(y - 2) = 0$ प्राप्त होता है,अतः $y = \frac{1}{2}$ या $y = 2$ है।
स्थिति $1$: $\frac{x+1}{x-3} = \frac{1}{2} \implies 2x + 2 = x - 3 \implies x = -5$।
स्थिति $2$: $\frac{x+1}{x-3} = 2 \implies x + 1 = 2x - 6 \implies x = 7$।
अतः,हल समुच्चय $\{-5, 7\}$ है।

(A) माना $AB = x$ और $BC = y$ है।
आयत $ABCD$ में,$\triangle ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle B = 90^\circ$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AB^2 + BC^2 = AC^2$।
दिया गया है $x^2 + y^2 = 29^2 = 841$।
यह भी दिया गया है कि $x + y = 41$।
हम जानते हैं कि $(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$।
मान रखने पर: $41^2 = 841 + 2xy$।
$1681 = 841 + 2xy$।
$2xy = 1681 - 841 = 840$।
$xy = 420$।
अब,हमारे पास $x + y = 41$ और $xy = 420$ है।
ये द्विघात समीकरण $t^2 - (x+y)t + xy = 0$ के मूल हैं।
$t^2 - 41t + 420 = 0$।
समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(t - 21)(t - 20) = 0$।
अतः,$t = 21$ या $t = 20$।
चूंकि $AB > BC$,इसलिए $AB = 21$ और $BC = 20$ है।
इस प्रकार,$AB = 21$।

(B) दिया गया समीकरण: $\frac{8}{x+5} = \frac{3}{x-1} + \frac{1}{x-5}$
सबसे पहले,दाईं ओर को सरल करें: $\frac{8}{x+5} = \frac{3(x-5) + 1(x-1)}{(x-1)(x-5)}$
$\frac{8}{x+5} = \frac{3x - 15 + x - 1}{x^2 - 6x + 5}$
$\frac{8}{x+5} = \frac{4x - 16}{x^2 - 6x + 5}$
वज्र-गुणन करने पर: $8(x^2 - 6x + 5) = (x+5)(4x - 16)$
$8x^2 - 48x + 40 = 4x^2 - 16x + 20x - 80$
$8x^2 - 48x + 40 = 4x^2 + 4x - 80$
$4x^2 - 52x + 120 = 0$
$4$ से भाग देने पर: $x^2 - 13x + 30 = 0$
गुणनखंड करने पर: $x^2 - 10x - 3x + 30 = 0$
$x(x - 10) - 3(x - 10) = 0$
$(x - 3)(x - 10) = 0$
अतः,$x = 3$ या $x = 10$।
हल समुच्चय $\{3, 10\}$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $\frac{x}{x+1} + \frac{x+1}{x} = \frac{41}{20}$.
मान लीजिए $y = \frac{x}{x+1}$,तो समीकरण $y + \frac{1}{y} = \frac{41}{20}$ हो जाता है।
$20y$ से गुणा करने पर,$20y^2 + 20 = 41y$ प्राप्त होता है,जिसे $20y^2 - 41y + 20 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंडन करने पर: $20y^2 - 16y - 25y + 20 = 0 \Rightarrow 4y(5y - 4) - 5(5y - 4) = 0$.
अतः,$(4y - 5)(5y - 4) = 0$,जिससे $y = 5/4$ या $y = 4/5$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: $\frac{x}{x+1} = \frac{5}{4} \Rightarrow 4x = 5x + 5 \Rightarrow x = -5$.
स्थिति $2$: $\frac{x}{x+1} = \frac{4}{5} \Rightarrow 5x = 4x + 4 \Rightarrow x = 4$.
इस प्रकार,हल समुच्चय $\{4, -5\}$ है।

(D) मान लीजिए $y = \frac{x}{1-x}$ है। तब समीकरण $y + \frac{1}{y} = \frac{13}{6}$ बन जाता है।
$6y$ से गुणा करने पर,हमें $6y^2 + 6 = 13y$ प्राप्त होता है,जो $6y^2 - 13y + 6 = 0$ में सरल हो जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $6y^2 - 9y - 4y + 6 = 0 \implies 3y(2y - 3) - 2(2y - 3) = 0$।
इससे $(3y - 2)(2y - 3) = 0$ प्राप्त होता है,अतः $y = \frac{2}{3}$ या $y = \frac{3}{2}$ है।
स्थिति $1$: $\frac{x}{1-x} = \frac{2}{3} \implies 3x = 2 - 2x \implies 5x = 2 \implies x = \frac{2}{5}$।
स्थिति $2$: $\frac{x}{1-x} = \frac{3}{2} \implies 2x = 3 - 3x \implies 5x = 3 \implies x = \frac{3}{5}$।
अतः,हल समुच्चय $\{\frac{2}{5}, \frac{3}{5}\}$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $\frac{x+1}{x-1} + \frac{x-2}{x+2} = 3$
लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ लेने पर: $\frac{(x+1)(x+2) + (x-2)(x-1)}{(x-1)(x+2)} = 3$
अंश और हर का विस्तार करने पर: $\frac{(x^2 + 3x + 2) + (x^2 - 3x + 2)}{x^2 + x - 2} = 3$
अंश को सरल करने पर: $\frac{2x^2 + 4}{x^2 + x - 2} = 3$
वज्र गुणन (Cross-multiplication) करने पर: $2x^2 + 4 = 3(x^2 + x - 2)$
$2x^2 + 4 = 3x^2 + 3x - 6$
पदों को व्यवस्थित करके द्विघात समीकरण बनाने पर: $x^2 + 3x - 10 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $x^2 + 5x - 2x - 10 = 0$
$x(x + 5) - 2(x + 5) = 0$
$(x - 2)(x + 5) = 0$
अतः,$x = 2$ या $x = -5$ है।
हल समुच्चय $\{-5, 2\}$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $\frac{x+1}{x-1} - \frac{x-1}{x+1} = \frac{5}{x}$
बाईं ओर लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ लेने पर: $\frac{(x+1)^2 - (x-1)^2}{(x-1)(x+1)} = \frac{5}{x}$
अंश को सरल करने पर: $(x^2 + 2x + 1) - (x^2 - 2x + 1) = 4x$
हर को सरल करने पर: $(x-1)(x+1) = x^2 - 1$
अतः,$\frac{4x}{x^2 - 1} = \frac{5}{x}$
वज्र-गुणन (Cross-multiply) करने पर: $4x^2 = 5(x^2 - 1)$
$4x^2 = 5x^2 - 5$
$x^2 = 5$
$x = \pm\sqrt{5}$
इस प्रकार,हल समुच्चय $\{-\sqrt{5}, \sqrt{5}\}$ है।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $m^{2}-18m+81=0$ है।
इसे मानक रूप $a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$ से तुलना करने पर,हम लिख सकते हैं:
$m^{2}-2(m)(9)+(9)^{2}=0$
इसे सरल करने पर:
$(m-9)^{2}=0$
अतः:
$(m-9)(m-9)=0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$m-9=0$ या $m-9=0$
$m$ के लिए हल करने पर:
$m=9$ या $m=9$
अतः,दिए गए द्विघात समीकरण के मूल $9$ और $9$ हैं।

(B) माना कि अभीष्ट शून्येतर संख्या $x$ है।
अतः,इसका व्युत्क्रम $\frac{1}{x}$ है।
प्रश्न के अनुसार,उनका योग $\frac{10}{3}$ है।
इसलिए,$x + \frac{1}{x} = \frac{10}{3}$.
पूरे समीकरण को $3x$ से गुणा करने पर,हमें $3x^2 + 3 = 10x$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें द्विघात समीकरण $3x^2 - 10x + 3 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $3x^2 - 9x - x + 3 = 0$.
$3x(x - 3) - 1(x - 3) = 0$.
$(3x - 1)(x - 3) = 0$.
इससे $x = \frac{1}{3}$ या $x = 3$ प्राप्त होता है।
यदि संख्या $3$ है,तो इसका व्युत्क्रम $\frac{1}{3}$ है। यदि संख्या $\frac{1}{3}$ है,तो इसका व्युत्क्रम $3$ है।
अतः,अभीष्ट संख्याएँ $3$ और $\frac{1}{3}$ हैं।

(B) माना कि आयताकार बगीचे की चौड़ाई $x \, m$ है।
तब,बगीचे की लंबाई $(x + 6) \, m$ होगी।
आयत का क्षेत्रफल $\text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} = 216 \, m^2$ होता है।
अतः,$x(x + 6) = 216$.
$x^2 + 6x - 216 = 0$.
इस द्विघात समीकरण को हल करने के लिए,हम गुणनखंड करते हैं: $x^2 + 18x - 12x - 216 = 0$.
$x(x + 18) - 12(x + 18) = 0$.
$(x - 12)(x + 18) = 0$.
चूंकि चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए हम $x = 12$ लेते हैं।
अतः,चौड़ाई $12 \, m$ है और लंबाई $12 + 6 = 18 \, m$ है।

(D) माना फूलदान का लागत मूल्य $x$ रुपये है।
दिया गया है कि लाभ प्रतिशत लागत मूल्य के बराबर है,इसलिए लाभ प्रतिशत $x\%$ है।
लाभ = $\frac{x}{100} \times x = \frac{x^2}{100}$.
विक्रय मूल्य = लागत मूल्य + लाभ = $x + \frac{x^2}{100}$.
दिया गया है कि विक्रय मूल्य Rs. $96$ है,इसलिए हमारे पास समीकरण है: $x + \frac{x^2}{100} = 96$.
पूरे समीकरण को $100$ से गुणा करने पर,हमें $100x + x^2 = 9600$ प्राप्त होता है।
इसे मानक द्विघात समीकरण में व्यवस्थित करने पर: $x^2 + 100x - 9600 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $x^2 + 160x - 60x - 9600 = 0$.
$x(x + 160) - 60(x + 160) = 0$.
$(x - 60)(x + 160) = 0$.
इससे $x = 60$ या $x = -160$ प्राप्त होता है।
चूंकि लागत मूल्य ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए फूलदान का लागत मूल्य Rs. $60$ है।

(D) माना कि पेन का क्रय मूल्य $x$ रुपये है।
दिया गया है कि हानि का प्रतिशत क्रय मूल्य के बराबर है, इसलिए हानि का प्रतिशत $= x\%$.
हानि $= \text{क्रय मूल्य} - \text{विक्रय मूल्य} = x - 24$.
साथ ही, $\text{हानि} = \text{क्रय मूल्य} \times \frac{\text{हानि प्रतिशत}}{100} = x \times \frac{x}{100} = \frac{x^2}{100}$.
हानि के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: $x - 24 = \frac{x^2}{100}$.
$100x - 2400 = x^2$.
$x^2 - 100x + 2400 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x - 60)(x - 40) = 0$.
अतः, $x = 60$ या $x = 40$.
इस प्रकार, पेन का क्रय मूल्य Rs. $40$ या Rs. $60$ है।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण: $x^{2} - 7 = 0$.
इसे हम इस प्रकार लिख सकते हैं: $x^{2} - (\sqrt{7})^{2} = 0$.
बीजगणितीय सर्वसमिका $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$ का उपयोग करने पर:
$(x - \sqrt{7})(x + \sqrt{7}) = 0$.
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$x - \sqrt{7} = 0 \implies x = \sqrt{7}$.
$x + \sqrt{7} = 0 \implies x = -\sqrt{7}$.
अतः,हल $x = \sqrt{7}$ और $x = -\sqrt{7}$ हैं।

(B) गुणनखंड विधि द्वारा द्विघात समीकरण $x^{2} + 5x - 66 = 0$ को हल करने के लिए,हमें ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात करनी होंगी जिनका गुणनफल $-66$ हो और योग $5$ हो।
ये दो संख्याएँ $11$ और $-6$ हैं,क्योंकि $11 \times (-6) = -66$ और $11 + (-6) = 5$ होता है।
अब,मध्य पद $5x$ को $11x - 6x$ के रूप में लिखने पर:
$x^{2} + 11x - 6x - 66 = 0$
पदों का समूह बनाकर गुणनखंड करने पर:
$x(x + 11) - 6(x + 11) = 0$
$(x - 6)(x + 11) = 0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$x - 6 = 0 \implies x = 6$
$x + 11 = 0 \implies x = -11$
अतः,हल $x = 6$ और $x = -11$ हैं।

(C) दिया गया समीकरण: $\frac{x-1}{x-2} + \frac{x-3}{x-4} = \frac{10}{3}$.
बाईं ओर लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ लेने पर: $\frac{(x-1)(x-4) + (x-3)(x-2)}{(x-2)(x-4)} = \frac{10}{3}$.
पदों का विस्तार करने पर: $\frac{(x^2 - 5x + 4) + (x^2 - 5x + 6)}{x^2 - 6x + 8} = \frac{10}{3}$.
सरल करने पर: $\frac{2x^2 - 10x + 10}{x^2 - 6x + 8} = \frac{10}{3}$.
अंश को $2$ से विभाजित करने पर: $\frac{2(x^2 - 5x + 5)}{x^2 - 6x + 8} = \frac{10}{3} \implies \frac{x^2 - 5x + 5}{x^2 - 6x + 8} = \frac{5}{3}$.
वज्र-गुणन करने पर: $3(x^2 - 5x + 5) = 5(x^2 - 6x + 8)$.
$3x^2 - 15x + 15 = 5x^2 - 30x + 40$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $2x^2 - 15x + 25 = 0$.
गुणनखंड करने पर: $2x^2 - 10x - 5x + 25 = 0 \implies 2x(x - 5) - 5(x - 5) = 0$.
$(2x - 5)(x - 5) = 0$.
अतः,$x = 5$ या $x = \frac{5}{2}$।

(D) दिया गया समीकरण: $3x^{2} = -11x - 10$.
पदों को मानक रूप $ax^{2} + bx + c = 0$ में व्यवस्थित करने पर:
$3x^{2} + 11x + 10 = 0$.
गुणनखंड करने के लिए,हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल $3 \times 10 = 30$ हो और जिनका योग $11$ हो।
ये संख्याएँ $6$ और $5$ हैं।
मध्य पद को विभाजित करने पर:
$3x^{2} + 6x + 5x + 10 = 0$.
पदों का समूह बनाने पर:
$3x(x + 2) + 5(x + 2) = 0$.
$(3x + 5)(x + 2) = 0$.
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$3x + 5 = 0 \implies x = -\frac{5}{3}$.
$x + 2 = 0 \implies x = -2$.
अतः,हल $x = -\frac{5}{3}, -2$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $x^{2} + (x + 5)^{2} = 625$
वर्ग का विस्तार करने पर: $x^{2} + (x^{2} + 10x + 25) = 625$
समान पदों को जोड़ने पर: $2x^{2} + 10x + 25 = 625$
दोनों पक्षों से $625$ घटाने पर: $2x^{2} + 10x - 600 = 0$
पूरे समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर: $x^{2} + 5x - 300 = 0$
मध्य पद को विभाजित करके गुणनखंड करने पर: $x^{2} + 20x - 15x - 300 = 0$
पदों का समूह बनाने पर: $x(x + 20) - 15(x + 20) = 0$
$(x + 20)$ को उभयनिष्ठ लेने पर: $(x + 20)(x - 15) = 0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर: $x + 20 = 0$ या $x - 15 = 0$
अतः,हल $x = -20$ और $x = 15$ हैं।

(B) गुणनखंड विधि द्वारा द्विघात समीकरण $2x^2 + ax - a^2 = 0$ को हल करने के लिए,हमें मध्य पद $ax$ को दो भागों में विभाजित करना होगा ताकि उनका गुणनफल $(2x^2) \times (-a^2) = -2a^2x^2$ हो और उनका योग $ax$ हो।
हम $ax$ को $2ax - ax$ के रूप में लिख सकते हैं।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $2x^2 + 2ax - ax - a^2 = 0$.
पदों का समूहीकरण करने पर: $2x(x + a) - a(x + a) = 0$.
उभयनिष्ठ गुणनखंड $(x + a)$ को बाहर निकालने पर: $(2x - a)(x + a) = 0$.
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$1$) $2x - a = 0 \implies 2x = a \implies x = \frac{a}{2}$.
$2$) $x + a = 0 \implies x = -a$.
अतः,हल $x = -a$ और $x = \frac{a}{2}$ हैं।

(A) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के योग का सूत्र $S = \frac{n(n+1)}{2}$ दिया गया है।
यहाँ $S = 300$ दिया गया है,इसलिए $\frac{n(n+1)}{2} = 300$ है।
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर,$n(n+1) = 600$ प्राप्त होता है।
इसका विस्तार करने पर,$n^2 + n - 600 = 0$ प्राप्त होता है।
इस द्विघात समीकरण को हल करने के लिए,हम ऐसी दो संख्याएँ ढूँढते हैं जिनका गुणनफल $-600$ और योग $1$ हो। ये संख्याएँ $25$ और $-24$ हैं।
अतः,$(n + 25)(n - 24) = 0$ है।
इससे $n = -25$ या $n = 24$ प्राप्त होता है।
चूँकि $n$ प्राकृतिक संख्याओं की गिनती को दर्शाता है,इसलिए यह धनात्मक होना चाहिए।
अतः,$n = 24$।

(C) समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र है: $\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$.
यहाँ,$\text{आधार} = x \, m$ और $\text{ऊंचाई} = (x+2) \, m$ है।
$\text{Area} = 84 \, m^2$.
अतः,$84 = \frac{1}{2} \times x \times (x+2)$.
$168 = x^2 + 2x$.
$x^2 + 2x - 168 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $x^2 + 14x - 12x - 168 = 0$.
$x(x+14) - 12(x+14) = 0$.
$(x-12)(x+14) = 0$.
चूंकि लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $x = 12$.
भुजाओं की लंबाई $x = 12 \, m$ और $x+2 = 14 \, m$ है।

(D) माना कि दो प्राकृतिक संख्याएँ $x$ और $y$ हैं।
दिया गया है कि संख्याओं का योग $x + y = 5$ है,जिसका अर्थ है $y = 5 - x$.
उनके व्युत्क्रमों का योग $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6}$ है।
समीकरण में $y = 5 - x$ प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{x} + \frac{1}{5 - x} = \frac{5}{6}$.
लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ लेने पर: $\frac{(5 - x) + x}{x(5 - x)} = \frac{5}{6}$.
इसे सरल करने पर $\frac{5}{5x - x^2} = \frac{5}{6}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $5$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{1}{5x - x^2} = \frac{1}{6}$ प्राप्त होता है।
अतः,$5x - x^2 = 6$,जिसे द्विघात समीकरण $x^2 - 5x + 6 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x - 2)(x - 3) = 0$.
इस प्रकार,$x = 2$ या $x = 3$.
यदि $x = 2$ है,तो $y = 5 - 2 = 3$. यदि $x = 3$ है,तो $y = 5 - 3 = 2$.
अतः,वे दो संख्याएँ $2$ और $3$ हैं।

(A) माना कि दो भाग $x$ और $(29 - x)$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,उनके वर्गों का योग $425$ है:
$x^2 + (29 - x)^2 = 425$
$x^2 + (841 - 58x + x^2) = 425$
$2x^2 - 58x + 841 - 425 = 0$
$2x^2 - 58x + 416 = 0$
$2$ से भाग देने पर:
$x^2 - 29x + 208 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$x^2 - 13x - 16x + 208 = 0$
$x(x - 13) - 16(x - 13) = 0$
$(x - 13)(x - 16) = 0$
अतः,$x = 13$ या $x = 16$ प्राप्त होता है।
यदि $x = 13$ है,तो दूसरा भाग $29 - 13 = 16$ है।
यदि $x = 16$ है,तो दूसरा भाग $29 - 16 = 13$ है।
इस प्रकार,वे दो भाग $13$ और $16$ हैं।

(B) माना कि दो क्रमागत विषम संख्याएँ $x$ और $x + 2$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,उनके वर्गों का योग $514$ है:
$x^2 + (x + 2)^2 = 514$
$x^2 + x^2 + 4x + 4 = 514$
$2x^2 + 4x + 4 = 514$
$2x^2 + 4x - 510 = 0$
$2$ से भाग देने पर:
$x^2 + 2x - 255 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$x^2 + 17x - 15x - 255 = 0$
$x(x + 17) - 15(x + 17) = 0$
$(x - 15)(x + 17) = 0$
चूंकि संख्याएँ धनात्मक हैं,इसलिए $x = 15$.
अतः,वे दो संख्याएँ $15$ और $15 + 2 = 17$ हैं।

(C) माना कि पुस्तक का लागत मूल्य $x$ रुपये है।
दिया गया है कि लाभ प्रतिशत लागत मूल्य के बराबर है,अतः लाभ प्रतिशत $x\%$ है।
लाभ = $\frac{x}{100} \times x = \frac{x^2}{100}$.
विक्रय मूल्य = लागत मूल्य + लाभ।
$119 = x + \frac{x^2}{100}$.
$100$ से गुणा करने पर,हमें $11900 = 100x + x^2$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण के रूप में व्यवस्थित करने पर: $x^2 + 100x - 11900 = 0$.
समीकरण का गुणनखंड करने पर: $x^2 + 170x - 70x - 11900 = 0$.
$x(x + 170) - 70(x + 170) = 0$.
$(x - 70)(x + 170) = 0$.
चूंकि लागत मूल्य ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $x = 70$.
अतः,पुस्तक का लागत मूल्य Rs. $70$ है।

(A) द्विघात समीकरण $x^{2} + 7x + 12 = 0$ का हल ज्ञात करने के लिए,हम द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करते हैं:
$x^{2} + 4x + 3x + 12 = 0$
$x(x + 4) + 3(x + 4) = 0$
$(x + 4)(x + 3) = 0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$x + 4 = 0 \implies x = -4$
$x + 3 = 0 \implies x = -3$
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$-3$ एक हल है।

(D) द्विघात समीकरण $3x^2 - 4x + 1 = 0$ के मूल ज्ञात करने के लिए,हम मध्य पद को विभाजित करने की विधि का उपयोग कर सकते हैं।
हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल $(3 \times 1) = 3$ हो और योग $-4$ हो।
ये संख्याएँ $-3$ और $-1$ हैं।
अब,समीकरण को फिर से लिखते हैं: $3x^2 - 3x - x + 1 = 0$.
समूहीकरण द्वारा गुणनखंड करने पर: $3x(x - 1) - 1(x - 1) = 0$.
इससे $(3x - 1)(x - 1) = 0$ प्राप्त होता है।
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$3x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{3}$
$x - 1 = 0 \implies x = 1$
अतः,मूल $1, \frac{1}{3}$ हैं।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण: $x^{2} + 5x + 6 = 0$ है।
इसे हल करने के लिए,हम मध्य पद को विभाजित करके गुणनखंड करेंगे:
$x^{2} + 2x + 3x + 6 = 0$
$x(x + 2) + 3(x + 2) = 0$
$(x + 2)(x + 3) = 0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$x + 2 = 0 \implies x = -2$
$x + 3 = 0 \implies x = -3$
अतः,हल समुच्चय $\{-2, -3\}$ है।

(A) द्विघात समीकरण $x^{2}-2x-15=0$ के मूल ज्ञात करने के लिए,हम गुणनखंड विधि का उपयोग कर सकते हैं।
हमें ऐसी दो संख्याएँ खोजने की आवश्यकता है जिनका गुणनफल $-15$ हो और योग $-2$ हो।
ये दो संख्याएँ $-5$ और $3$ हैं,क्योंकि $(-5) \times 3 = -15$ और $(-5) + 3 = -2$.
अब,समीकरण को इस प्रकार लिखें: $x^{2}-5x+3x-15=0$.
समूहीकरण द्वारा गुणनखंड करें: $x(x-5)+3(x-5)=0$.
इससे हमें प्राप्त होता है: $(x-5)(x+3)=0$.
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर,हमें $x-5=0$ या $x+3=0$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$x=5$ या $x=-3$.
समीकरण के मूल $5$ और $-3$ हैं।

(D) द्विघात समीकरण $x^{2}+5x-14=0$ का हल समुच्चय ज्ञात करने के लिए,हम द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करते हैं।
हम ऐसी दो संख्याएँ ढूँढते हैं जिनका गुणनफल $-14$ और योग $5$ हो।
ये संख्याएँ $7$ और $-2$ हैं,क्योंकि $7 \times (-2) = -14$ और $7 + (-2) = 5$ होता है।
अतः,हम समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं: $x^{2} + 7x - 2x - 14 = 0$.
पदों का समूह बनाने पर,हमें प्राप्त होता है: $x(x + 7) - 2(x + 7) = 0$.
$(x + 7)$ को उभयनिष्ठ लेने पर,हमें मिलता है: $(x + 7)(x - 2) = 0$.
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर,$x + 7 = 0$ या $x - 2 = 0$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$x = -7$ या $x = 2$ है।
अतः,हल समुच्चय $\{-7, 2\}$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $(x-7)^{2}-16=0$
विधि $1$: सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ का उपयोग करते हुए
$(x-7)^2 - 4^2 = 0$
$(x-7-4)(x-7+4) = 0$
$(x-11)(x-3) = 0$
अतः,$x-11=0$ या $x-3=0$,जिससे हमें $x=11$ या $x=3$ प्राप्त होता है।
विधि $2$: वर्ग का विस्तार करते हुए
$x^2 - 14x + 49 - 16 = 0$
$x^2 - 14x + 33 = 0$
$x^2 - 11x - 3x + 33 = 0$
$x(x-11) - 3(x-11) = 0$
$(x-11)(x-3) = 0$
इस प्रकार,मूल $3$ और $11$ हैं।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण: $x(x+1)-6=0$
समीकरण का विस्तार करने पर: $x^{2}+x-6=0$
मूल ज्ञात करने के लिए,हम द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करेंगे:
$x^{2}+3x-2x-6=0$
$x(x+3)-2(x+3)=0$
$(x+3)(x-2)=0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$x+3=0 \implies x=-3$
$x-2=0 \implies x=2$
अतः,मूल $-3$ और $2$ हैं।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण: $6 x^{2}-13 x+6=0$
मध्य पद का विभाजन करने पर: $6 x^{2}-9 x-4 x+6=0$
समूहीकरण द्वारा गुणनखंड करने पर: $3 x(2 x-3)-2(2 x-3)=0$
$(2 x-3)(3 x-2)=0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर: $2 x-3=0$ या $3 x-2=0$
अतः,मूल $x=\frac{3}{2}$ या $x=\frac{2}{3}$ हैं।

(A) दिया गया समीकरण: $x + \frac{2}{x} = 3$
हर को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $x$ से गुणा करने पर:
$x^2 + 2 = 3x$
समीकरण को मानक रूप $ax^2 + bx + c = 0$ में व्यवस्थित करने पर:
$x^2 - 3x + 2 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$x^2 - 2x - x + 2 = 0$
$x(x - 2) - 1(x - 2) = 0$
$(x - 2)(x - 1) = 0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$x - 2 = 0 \implies x = 2$
$x - 1 = 0 \implies x = 1$
अतः,मूल $2$ और $1$ हैं।

(B) द्विघात समीकरण $x^{2} + 7x + 12 = 0$ का हल ज्ञात करने के लिए,हम द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करते हैं।
हम ऐसी दो संख्याएँ ढूँढते हैं जिनका गुणनफल $12$ और योग $7$ हो।
ये संख्याएँ $3$ और $4$ हैं।
अतः,समीकरण को $x^{2} + 3x + 4x + 12 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
पदों का समूह बनाने पर,हमें $x(x + 3) + 4(x + 3) = 0$ प्राप्त होता है।
$(x + 3)$ को उभयनिष्ठ लेने पर,हमें $(x + 3)(x + 4) = 0$ प्राप्त होता है।
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर,$x + 3 = 0$ या $x + 4 = 0$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$x = -3$ या $x = -4$ है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$-3$ एक हल है।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $4x^{2} + 2x + \frac{1}{4} = 0$ है।
सरल बनाने के लिए,पूरे समीकरण को $4$ से गुणा करने पर:
$16x^{2} + 8x + 1 = 0$.
यह $(ax + b)^{2} = a^{2}x^{2} + 2abx + b^{2}$ के रूप में है।
यहाँ,$(4x)^{2} + 2(4x)(1) + (1)^{2} = 0$.
यह $(4x + 1)^{2} = 0$ में सरल हो जाता है।
इसलिए,$4x + 1 = 0$,जिससे $4x = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,$x = -\frac{1}{4}$.
मूल $-\frac{1}{4}, -\frac{1}{4}$ हैं।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण: $(x-3)^{2}-4=0$
इसे हम इस प्रकार लिख सकते हैं: $(x-3)^{2}=4$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें प्राप्त होता है: $x-3 = \pm \sqrt{4}$
$x-3 = \pm 2$
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $1$: $x-3 = 2 \implies x = 2+3 = 5$
स्थिति $2$: $x-3 = -2 \implies x = -2+3 = 1$
अतः हल $x=5$ और $x=1$ हैं।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,$1$ एक हल है।

(B) माना कि प्राकृतिक संख्या $x$ है।
प्रश्न के अनुसार,संख्या और उसके व्युत्क्रम का योग $\frac{5}{2}$ है।
अतः,$x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2}$.
हर को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $2x$ से गुणा करने पर:
$2x^2 + 2 = 5x$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करके द्विघात समीकरण बनाने पर:
$2x^2 - 5x + 2 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$2x^2 - 4x - x + 2 = 0$.
$2x(x - 2) - 1(x - 2) = 0$.
$(2x - 1)(x - 2) = 0$.
इससे $x$ के दो संभावित मान प्राप्त होते हैं:
$2x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{2}$ (जो एक प्राकृतिक संख्या नहीं है)।
$x - 2 = 0 \implies x = 2$ (जो एक प्राकृतिक संख्या है)।
अतः,अभीष्ट प्राकृतिक संख्या $2$ है।

(A) माना $AB = x$ और $BC = y$ है।
दिया गया है कि $x + y = 23$ और $xy = 120$ है।
हम द्विघात समीकरण $t^2 - (x+y)t + xy = 0$ बना सकते हैं,जो $t^2 - 23t + 120 = 0$ हो जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $t^2 - 15t - 8t + 120 = 0$ प्राप्त होता है।
$t(t - 15) - 8(t - 15) = 0$।
$(t - 15)(t - 8) = 0$।
अतः,मूल $t = 15$ और $t = 8$ हैं।
चूंकि $AB > BC$ है,इसलिए $AB = 15$ और $BC = 8$ होगा।
अतः,$AB = 15$।