Solution of quadratic equations and Nature of roots Questions in Hindi

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$xy = \frac{1}{9}$
$x(y + 1) = \frac{7}{9}$
$y(x + 1) = \frac{5}{18}$
व्यंजकों का विस्तार करने पर:
$xy + x = \frac{7}{9} \implies \frac{1}{9} + x = \frac{7}{9} \implies x = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$
$xy + y = \frac{5}{18} \implies \frac{1}{9} + y = \frac{5}{18} \implies y = \frac{5}{18} - \frac{2}{18} = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}$
अब,$(x + 1)(y + 1)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$(x + 1)(y + 1) = (\frac{2}{3} + 1)(\frac{1}{6} + 1)$
$= (\frac{5}{3})(\frac{7}{6})$
$= \frac{35}{18}$

(C) $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ का ग्राफ रेखा $x = k$ के सापेक्ष सममित होने के लिए,त्रिघात पद का गुणांक शून्य होना चाहिए,अर्थात $a = 0$.
तब समीकरण $y = bx^2 + cx + d$ हो जाता है,जो एक परवलय है।
परवलय $y = bx^2 + cx + d$ अपनी सममिति की धुरी $x = -\frac{c}{2b}$ के सापेक्ष सममित होता है।
दिया गया है कि ग्राफ $x = k$ के सापेक्ष सममित है,इसलिए $k = -\frac{c}{2b}$.
इसका अर्थ है $k + \frac{c}{2b} = 0$.
चूंकि $a = 0$,इसलिए $a + \frac{c}{2b} + k = 0 + \frac{c}{2b} - \frac{c}{2b} = 0$ होता है।

(C) माना $u = x - 1$. तब $x = u + 1$. समीकरण इस प्रकार होगा:
$\sqrt{u + 1 + 3 - 4\sqrt{u}} + \sqrt{u + 1 + 8 - 6\sqrt{u}} = 1$
$\sqrt{u + 4 - 4\sqrt{u}} + \sqrt{u + 9 - 6\sqrt{u}} = 1$
$\sqrt{(\sqrt{u} - 2)^2} + \sqrt{(\sqrt{u} - 3)^2} = 1$
$|\sqrt{u} - 2| + |\sqrt{u} - 3| = 1$
माना $y = \sqrt{u}$. चूंकि $u \geq 0$,इसलिए $y \geq 0$. समीकरण $|y - 2| + |y - 3| = 1$ है।
यह $|y - a| + |y - b| = |a - b|$ के रूप का है,जो $y$ के $a$ और $b$ के बीच होने पर सत्य होता है।
यहाँ $a = 2$ और $b = 3$ है,इसलिए $2 \leq y \leq 3$.
$y = \sqrt{u}$ रखने पर,हमें $2 \leq \sqrt{u} \leq 3$ प्राप्त होता है।
वर्ग करने पर $4 \leq u \leq 9$ मिलता है।
चूंकि $u = x - 1$,इसलिए $4 \leq x - 1 \leq 9$,जिसका अर्थ है $5 \leq x \leq 10$.
अतः,$x \in [5, 10]$.

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 - \alpha x + \alpha + 1 = 0$ है।
मूलों के पूर्णांक होने के लिए,विविक्तकर $D$ एक पूर्ण वर्ग होना चाहिए,मान लीजिए $\beta^2$,जहाँ $\beta \ge 0$ है।
$D = (-\alpha)^2 - 4(1)(\alpha + 1) = \alpha^2 - 4\alpha - 4 = \beta^2$.
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $(\alpha - 2)^2 - 8 = \beta^2$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(\alpha - 2)^2 - \beta^2 = 8$,जिसका गुणनखंड $(\alpha - 2 - \beta)(\alpha - 2 + \beta) = 8$ है।
चूंकि $\alpha$ और $\beta$ पूर्णांक हैं,हम $8$ के ऐसे गुणनखंड युग्म देखते हैं जिनका गुणनफल $8$ हो।
स्थिति $1$: $(\alpha - 2 - \beta) = 2$ और $(\alpha - 2 + \beta) = 4$. जोड़ने पर $2(\alpha - 2) = 6 \Rightarrow \alpha = 5$.
स्थिति $2$: $(\alpha - 2 - \beta) = -4$ और $(\alpha - 2 + \beta) = -2$. जोड़ने पर $2(\alpha - 2) = -6 \Rightarrow \alpha = -1$.
$\alpha$ के भिन्न पूर्णांक मान $-1$ और $5$ हैं।
उनका योग $-1 + 5 = 4$ है।

(C) ग्राफ से,परवलय ऊपर की ओर खुलता है,इसलिए $a > 0$ है।
$y$-अंतःखंड $x$-अक्ष के ऊपर है,इसलिए $c > 0$ है।
शीर्ष का $x$-निर्देशांक धनात्मक है,$-b/(2a) > 0$। चूँकि $a > 0$ है,इसलिए $-b > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $b < 0$ है।
अब,विकल्पों का मूल्यांकन करते हैं:
$A) ab^2c^3 = (+)(+)(+) = (+) > 0$ (सही है)
$B) ab^3c^2 = (+)(-)(+) = (-) < 0$ (सही है)
$C) ab^3c^5 = (+)(-)(+) = (-) < 0$। अतः,$ab^3c^5 > 0$ सही $\text{नहीं}$ है।
$D) \text{चूँकि ग्राफ }x-\text{अक्ष को दो अलग}-\text{अलग बिंदुओं पर काटता है}, \text{विविक्तकर }D = b^2 - 4ac > 0, \text{इसलिए }b^2 > 4ac$ (सही है)।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $(x - a)(x - 10) + 1 = 0$ है।
इसे विस्तारित करने पर,$x^{2} - (10 + a)x + 10a + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
मूलों के पूर्णांक होने के लिए,विविक्तकर $D$ एक पूर्ण वर्ग होना चाहिए।
$D = (10 + a)^{2} - 4(10a + 1) = a^{2} - 20a + 96 = (a - 10)^{2} - 4$.
माना $D = k^{2}$,तो $(a - 10)^{2} - k^{2} = 4$,जिसका अर्थ है $(a - 10 - k)(a - 10 + k) = 4$.
इस समीकरण को हल करने पर $a - 10 = 2$ या $a - 10 = -2$ प्राप्त होता है।
अतः,$a$ के मान $12$ और $8$ हैं।

(B) दिए गए द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए $a > 0, b < 0, c < 0$ है।
मूलों का योग $(\alpha + \beta) = -\frac{b}{a}$ है। चूँकि $b < 0$ और $a > 0$ है,इसलिए $-\frac{b}{a} > 0$ होगा। अतः,$\alpha + \beta > 0$ है।
मूलों का गुणनफल $(\alpha \beta) = \frac{c}{a}$ है। चूँकि $c < 0$ और $a > 0$ है,इसलिए $\frac{c}{a} < 0$ होगा। अतः,$\alpha \beta < 0$ है।
चूँकि मूलों का गुणनफल ऋणात्मक है,इसलिए एक मूल धनात्मक और दूसरा ऋणात्मक होगा।
मान लीजिए $\alpha < 0$ और $\beta > 0$ है। चूँकि $\alpha + \beta > 0$ है,इसलिए धनात्मक मूल का निरपेक्ष मान ऋणात्मक मूल से अधिक होगा।
अतः,$|\beta| > |\alpha|$,जिसका अर्थ है कि $0 < |\alpha| < \beta$।

(A) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,विविक्तकर $D = b^2 - 4ac$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$a = 1$,$b = -\sqrt{13}$,और $c = 1$ है।
$D = (-\sqrt{13})^2 - 4(1)(1) = 13 - 4 = 9$.
चूंकि $D > 0$ है,इसलिए मूल वास्तविक और भिन्न हैं।

(A) दिया गया समीकरण $x^2+x-n=0$ है।
मूलों के पूर्णांक होने के लिए,विविक्तकर $D = b^2-4ac = 1^2 - 4(1)(-n) = 1+4n$ एक विषम पूर्णांक का पूर्ण वर्ग होना चाहिए।
मान लीजिए $1+4n = (2k+1)^2$ किसी पूर्णांक $k$ के लिए।
$1+4n = 4k^2 + 4k + 1
$ $\Rightarrow 4n = 4k(k+1)
$ $\Rightarrow n = k(k+1)$.
दिया गया है $n \in [5, 100]$,इसलिए $5 \le k(k+1) \le 100$.
$k=2$ के लिए,$n=6$.
$k=3$ के लिए,$n=12$.
$k=4$ के लिए,$n=20$.
$k=5$ के लिए,$n=30$.
$k=6$ के लिए,$n=42$.
$k=7$ के लिए,$n=56$.
$k=8$ के लिए,$n=72$.
$k=9$ के लिए,$n=90$.
$k=10$ के लिए,$n=110 > 100$.
अतः,$n$ के संभावित मान $6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90$ हैं।
कुल संख्या $8$ है।

(D) माना $f(x) = -x^2 + 5x - 10$ और $g(x) = (\frac{3}{2})^x$ है।
द्विघात फलन $f(x) = -x^2 + 5x - 10$ के लिए,विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(-1)(-10) = 25 - 40 = -15$ है।
$f(x)$ का अधिकतम मान $\frac{-D}{4a} = \frac{-(-15)}{4(-1)} = -\frac{15}{4} = -3.75$ है।
चूंकि $g(x) = (\frac{3}{2})^x$ एक चरघातांकी फलन है,इसलिए सभी वास्तविक $x$ के लिए $g(x) > 0$ होता है।
चूंकि $f(x)$ का अधिकतम मान $-3.75$ (जो ऋणात्मक है) है और $g(x)$ का मान हमेशा धनात्मक होता है,इसलिए किसी भी वास्तविक $x$ के लिए $f(x) = g(x)$ संभव नहीं है।
अतः,समीकरण का कोई वास्तविक हल नहीं है।

(D) माना द्विघात व्यंजक $f(x) = k(x - r_1)(x - r_2)$ है।
दिया गया है कि $-1$ एक मूल है,माना $r_1 = -1$ है। माना दूसरा मूल $a$ है।
अतः,$f(x) = k(x + 1)(x - a) = k(x^2 + (1 - a)x - a)$ है।
हमें दिया गया है कि $f(1) + f(2) = 0$ है।
$f(1) = k(1 + 1)(1 - a) = 2k(1 - a) = 2k - 2ka$ है।
$f(2) = k(2 + 1)(2 - a) = 3k(2 - a) = 6k - 3ka$ है।
योग करने पर: $f(1) + f(2) = (2k - 2ka) + (6k - 3ka) = 8k - 5ka$ है।
योग को शून्य के बराबर रखने पर: $8k - 5ka = 0$ है।
चूंकि $f(x)$ एक द्विघात व्यंजक है,$k \neq 0$,इसलिए हम $k$ से विभाजित कर सकते हैं।
$8 - 5a = 0 \Rightarrow 5a = 8 \Rightarrow a = \frac{8}{5}$ है।
अतः,दूसरा मूल $\frac{8}{5}$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $\frac{1}{x + p} + \frac{1}{x + q} = \frac{1}{r}$
बाएँ पक्ष को सरल करने पर: $\frac{x + q + x + p}{(x + p)(x + q)} = \frac{1}{r}$
वज्र-गुणन करने पर: $r(2x + p + q) = x^2 + (p + q)x + pq$
मानक द्विघात रूप में व्यवस्थित करने पर: $x^2 + (p + q - 2r)x + (pq - pr - qr) = 0$
मान लीजिए मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं। चूँकि मूल परिमाण में समान लेकिन चिह्न में विपरीत हैं,$\alpha = -\beta$,जिसका अर्थ है $\alpha + \beta = 0$.
द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए मूलों का योग $-b/a$ होता है। अतः,$-(p + q - 2r) = 0$,जिसका अर्थ है $p + q = 2r$.
मूलों के वर्गों का योग $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$ है।
$\alpha + \beta = 0$ होने के कारण,यह $\alpha^2 + \beta^2 = -2\alpha\beta$ में बदल जाता है।
मूलों के गुणनफल के सूत्र के अनुसार,$\alpha\beta = pq - pr - qr$.
$\alpha\beta$ का मान रखने पर: $\alpha^2 + \beta^2 = -2(pq - pr - qr) = -2pq + 2pr + 2qr$.
चूँकि $2r = p + q$,इसलिए $2pr + 2qr = 2r(p + q) = (p + q)(p + q) = p^2 + 2pq + q^2$ रखने पर।
अतः,$\alpha^2 + \beta^2 = -2pq + (p^2 + 2pq + q^2) = p^2 + q^2$.

(C) मान लीजिए द्विघात बहुपद $p(x) = ax^2 + bx + c$ है।
दिया है $p(0) = 1$,अतः $c = 1$ है।
शेषफल प्रमेय के अनुसार,$p(1) = 4$ और $p(-1) = 6$ है।
इन मानों को $p(x) = ax^2 + bx + 1$ में रखने पर:
$p(1) = a(1)^2 + b(1) + 1 = 4 \Rightarrow a + b = 3$.
$p(-1) = a(-1)^2 + b(-1) + 1 = 6 \Rightarrow a - b = 5$.
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2a = 8 \Rightarrow a = 4$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $2b = -2 \Rightarrow b = -1$.
अतः,$p(x) = 4x^2 - x + 1$ है।
अब,$p(-2)$ का मान ज्ञात करने पर:
$p(-2) = 4(-2)^2 - (-2) + 1 = 4(4) + 2 + 1 = 16 + 3 = 19$.
इसलिए,$p(-2) = 19$ सही कथन है।

(C) दिया गया समीकरण $2^{(x - 1)(x^2 + 5x - 50)} = 1$ है।
चूंकि $2^0 = 1$,इसलिए घातांक को $0$ के बराबर रखने पर:
$(x - 1)(x^2 + 5x - 50) = 0$.
द्विघात व्यंजक $x^2 + 5x - 50$ का गुणनखंड करने पर:
$(x^2 + 10x - 5x - 50) = x(x + 10) - 5(x + 10) = (x - 5)(x + 10)$.
अतः,समीकरण $(x - 1)(x - 5)(x + 10) = 0$ हो जाता है।
$x$ के वास्तविक मान $x = 1, 5, -10$ हैं।
इन मानों का योग $1 + 5 + (-10) = 6 - 10 = -4$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $\sqrt{2x + 1} - \sqrt{2x - 1} = 1$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(\sqrt{2x + 1} - \sqrt{2x - 1})^2 = 1^2$
$(2x + 1) + (2x - 1) - 2\sqrt{(2x + 1)(2x - 1)} = 1$
$4x - 2\sqrt{4x^2 - 1} = 1$
$4x - 1 = 2\sqrt{4x^2 - 1}$
पुनः वर्ग करने पर: $(4x - 1)^2 = 4(4x^2 - 1)$
$16x^2 - 8x + 1 = 16x^2 - 4$
$-8x = -5 \implies x = \frac{5}{8}$
अब,$x = \frac{5}{8}$ को $\sqrt{4x^2 - 1}$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sqrt{4(\frac{5}{8})^2 - 1} = \sqrt{4(\frac{25}{64}) - 1} = \sqrt{\frac{25}{16} - 1} = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$

(B) दिया गया समीकरण: $(a-1)(x^4+x^2+1) + (a+1)(x^2+x+1)^2 = 0$
हम जानते हैं कि $x^4+x^2+1 = (x^2+x+1)(x^2-x+1)$.
इसे प्रतिस्थापित करने पर: $(a-1)(x^2+x+1)(x^2-x+1) + (a+1)(x^2+x+1)^2 = 0$
$(x^2+x+1)$ को उभयनिष्ठ लेने पर: $(x^2+x+1)[(a-1)(x^2-x+1) + (a+1)(x^2+x+1)] = 0$
कोष्ठक के अंदर सरल करने पर: $(x^2+x+1)(2ax^2+2x+2a) = 0$
$2(x^2+x+1)(ax^2+x+a) = 0$
द्विघात समीकरण $x^2+x+1$ का विविक्तकर $D = 1^2 - 4(1)(1) = -3 < 0$ है,अतः इसके कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।
समीकरण के वास्तविक और भिन्न मूल होने के लिए,$ax^2+x+a = 0$ के दो भिन्न वास्तविक मूल होने चाहिए।
इसके लिए $a \neq 0$ और विविक्तकर $D > 0$ होना चाहिए।
$D = 1^2 - 4(a)(a) = 1 - 4a^2 > 0$
$4a^2 < 1$ $\Rightarrow a^2 < 1/4$ $\Rightarrow |a| < 1/2$.
चूंकि $a \neq 0$,इसलिए $a$ के मानों का समुच्चय $a \in (-1/2, 0) \cup (0, 1/2)$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $x^2 + |2x - 3| - 4 = 0$.
स्थिति $1$: यदि $x \ge \frac{3}{2}$,तो $|2x - 3| = 2x - 3$.
$x^2 + 2x - 3 - 4 = 0 \implies x^2 + 2x - 7 = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर: $x = \frac{-2 \pm \sqrt{32}}{2} = -1 \pm 2\sqrt{2}$.
चूंकि $x \ge \frac{3}{2}$,इसलिए $x_1 = 2\sqrt{2} - 1$ मान्य है।
स्थिति $2$: यदि $x < \frac{3}{2}$,तो $|2x - 3| = -2x + 3$.
$x^2 - 2x - 1 = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर: $x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$.
चूंकि $x < \frac{3}{2}$,इसलिए $x_2 = 1 - \sqrt{2}$ मान्य है।
मूलों का योग: $x_1 + x_2 = (2\sqrt{2} - 1) + (1 - \sqrt{2}) = \sqrt{2}$.

(A) दिया गया समीकरण $\sqrt{3x^2 + x + 5} = x - 3$ है।
वर्गमूल को परिभाषित होने के लिए,$x - 3 \geq 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x \geq 3$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$3x^2 + x + 5 = (x - 3)^2$
$3x^2 + x + 5 = x^2 - 6x + 9$
$2x^2 + 7x - 4 = 0$
द्विघात समीकरण $2x^2 + 7x - 4 = 0$ को हल करने पर:
$(2x - 1)(x + 4) = 0$
अतः,$x = \frac{1}{2}$ या $x = -4$।
शर्त $x \geq 3$ के साथ जाँच करने पर:
$x = \frac{1}{2}$ के लिए,$\frac{1}{2} < 3$ (अमान्य)।
$x = -4$ के लिए,$-4 < 3$ (अमान्य)।
अतः,समीकरण का कोई वास्तविक हल नहीं है।

(B) द्विघात समीकरण $(k-2)x^2 + 8x + k+4 = 0$ के मूल वास्तविक और भिन्न होने के लिए विविक्तकर $D > 0$ होना चाहिए:
$D = 8^2 - 4(k-2)(k+4) > 0$
$64 - 4(k^2 + 2k - 8) > 0$
$16 - (k^2 + 2k - 8) > 0$
$-k^2 - 2k + 24 > 0 \Rightarrow k^2 + 2k - 24 < 0$
$(k+6)(k-4) < 0 \Rightarrow -6 < k < 4$
मूलों के ऋणात्मक होने के लिए,मूलों का योग $\alpha + \beta = -\frac{8}{k-2} < 0$ और मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = \frac{k+4}{k-2} > 0$ होना चाहिए।
$\alpha + \beta < 0$ से: $\frac{8}{k-2} > 0 \Rightarrow k > 2$।
$\alpha \beta > 0$ से: $\frac{k+4}{k-2} > 0 \Rightarrow k < -4$ या $k > 2$।
सभी शर्तों को संयोजित करने पर: $(-6 < k < 4)$ और $(k > 2)$ और $(k < -4 \text{ या } k > 2)$।
प्रतिच्छेदन $2 < k < 4$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों में से,केवल $k = 3$ ही $2 < k < 4$ को संतुष्ट करता है।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $px^2 + qx + r = 0$ है,जहाँ $p, q, r \in \mathbb{R}$ और $r > p > 0$ है।
चूंकि मूल $\alpha$ और $\beta$ सम्मिश्र हैं,इसलिए विविक्तकर $D = q^2 - 4pr < 0$ है।
इसका अर्थ है $q^2 < 4pr$ है।
वास्तविक गुणांकों के कारण,सम्मिश्र मूल एक-दूसरे के संयुग्मी होते हैं,अर्थात $\beta = \bar{\alpha}$ है।
अतः,$|\alpha| = |\beta| = \sqrt{\alpha \bar{\alpha}} = \sqrt{\alpha \beta}$ है।
द्विघात समीकरण के गुणों के अनुसार,मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = \frac{r}{p}$ है।
इसलिए,$|\alpha| = |\beta| = \sqrt{\frac{r}{p}}$ है।
चूंकि $r > p > 0$ दिया गया है,इसलिए $\frac{r}{p} > 1$ है,जिसका अर्थ है $\sqrt{\frac{r}{p}} > 1$ है।
अतः,$|\alpha| + |\beta| = 2|\alpha| = 2\sqrt{\frac{r}{p}}$ है।
चूंकि $\sqrt{\frac{r}{p}} > 1$ है,इसलिए $2\sqrt{\frac{r}{p}} > 2$ है।
अतः,$|\alpha| + |\beta| > 2$ है।

(C) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल परिमेय होने के लिए,विविक्तकर $D = b^2 - 4ac$ एक पूर्ण वर्ग होना चाहिए।
यहाँ,$a = 6$,$b = -11$,और $c = \alpha$ है।
$D = (-11)^2 - 4(6)(\alpha) = 121 - 24\alpha$ है।
चूंकि $\alpha$ एक धनात्मक पूर्णांक है,$121 - 24\alpha \ge 0$,जिसका अर्थ है $24\alpha \le 121$,इसलिए $\alpha \le 5.04$ है। अतः,$\alpha \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$ है।
प्रत्येक मान की जाँच करने पर:
यदि $\alpha = 1$,$D = 97$ (पूर्ण वर्ग नहीं है)।
यदि $\alpha = 2$,$D = 73$ (पूर्ण वर्ग नहीं है)।
यदि $\alpha = 3$,$D = 49 = 7^2$ (पूर्ण वर्ग है)।
यदि $\alpha = 4$,$D = 25 = 5^2$ (पूर्ण वर्ग है)।
यदि $\alpha = 5$,$D = 1 = 1^2$ (पूर्ण वर्ग है)।
$\alpha$ के संभावित मान $3, 4, 5$ हैं। अतः,ऐसे $3$ मान हैं।

(D) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 + (3 - \lambda)x + (2 - \lambda) = 0$ है।
माना मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं। तब $\alpha + \beta = - (3 - \lambda) = \lambda - 3$ और $\alpha \beta = 2 - \lambda$ है।
मूलों के वर्गों का योग $S = \alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2 \alpha \beta$ है।
मान रखने पर,$S = (\lambda - 3)^2 - 2(2 - \lambda)$ प्राप्त होता है।
$S = \lambda^2 - 6 \lambda + 9 - 4 + 2 \lambda$.
$S = \lambda^2 - 4 \lambda + 5$.
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,पूर्ण वर्ग बनाने पर: $S = (\lambda - 2)^2 + 1$.
$S$ का मान न्यूनतम तब होता है जब $\lambda - 2 = 0$,अर्थात $\lambda = 2$।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 \sin \theta - x(\sin \theta \cos \theta + 1) + \cos \theta = 0$ है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$x = \frac{(\sin \theta \cos \theta + 1) \pm \sqrt{(\sin \theta \cos \theta + 1)^2 - 4 \sin \theta \cos \theta}}{2 \sin \theta}$.
विविक्तकर का सरलीकरण: $(\sin \theta \cos \theta + 1)^2 - 4 \sin \theta \cos \theta = (\sin \theta \cos \theta - 1)^2$.
अतः,$x = \frac{\sin \theta \cos \theta + 1 \pm (\sin \theta \cos \theta - 1)}{2 \sin \theta}$.
इससे $x_1 = \cos \theta$ और $x_2 = \csc \theta$ प्राप्त होते हैं।
चूँकि $0 < \theta < 45^\circ$,इसलिए $\alpha = \cos \theta$ और $\beta = \csc \theta$ है।
योग $S = \sum_{n=0}^\infty \alpha^n + \sum_{n=0}^\infty (-\frac{1}{\beta})^n = \frac{1}{1 - \cos \theta} + \frac{1}{1 + \sin \theta}$ होगा।

(C) माना $t = \sqrt{x}$,जहाँ $t > 0$ है।
समीकरण $|t - 2| + t(t - 4) + 2 = 0$ हो जाता है।
$|t - 2| + t^2 - 4t + 2 = 0$.
हम $t^2 - 4t + 2$ को $(t^2 - 4t + 4) - 2 = (t - 2)^2 - 2$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$|t - 2| + (t - 2)^2 - 2 = 0$.
माना $u = |t - 2|$,तो $u^2 + u - 2 = 0$ है।
$(u + 2)(u - 1) = 0$.
चूँकि $u = |t - 2| \ge 0$,इसलिए $u = 1$ होगा।
$|t - 2| = 1 \implies t - 2 = 1$ या $t - 2 = -1$ है।
$t = 3$ या $t = 1$ है।
चूँकि $t = \sqrt{x}$ है,इसलिए $\sqrt{x} = 3 \implies x = 9$ और $\sqrt{x} = 1 \implies x = 1$ है।
हलों का योग $9 + 1 = 10$ है।

(A) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ का कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर $D < 0$ होना चाहिए।
यहाँ,$a = (1 + m^2)$,$b = -2(1 + 3m)$,और $c = (1 + 8m)$ है।
$D = b^2 - 4ac = [-2(1 + 3m)]^2 - 4(1 + m^2)(1 + 8m) < 0$.
$D = 4(1 + 9m^2 + 6m) - 4(1 + 8m + m^2 + 8m^3) < 0$.
$D = 4(-8m^3 + 8m^2 - 2m) < 0$.
$D = -8m(2m - 1)^2 < 0$.
चूंकि $(2m - 1)^2 \ge 0$,इसलिए $D < 0$ के लिए $-8m < 0$ और $2m - 1 \neq 0$ होना चाहिए।
इसका अर्थ है $m > 0$ और $m \neq \frac{1}{2}$।
अतः,$m > 0$ के लिए अनंत पूर्णांक मान संभव हैं।

(B) दिया गया है कि $p, q \in \mathbb{Q}$ और $2 - \sqrt{3}$ द्विघात समीकरण $x^2 + px + q = 0$ का एक मूल है।
चूंकि गुणांक परिमेय हैं,इसलिए अपरिमेय मूल हमेशा संयुग्मी जोड़े में होते हैं।
अतः,दूसरा मूल $2 + \sqrt{3}$ है।
मूलों का योग $= (2 - \sqrt{3}) + (2 + \sqrt{3}) = 4$.
समीकरण $x^2 + px + q = 0$ से,मूलों का योग $= -p$.
अतः,$-p = 4 \implies p = -4$.
मूलों का गुणनफल $= (2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$.
समीकरण से,मूलों का गुणनफल $= q$.
अतः,$q = 1$.
अब,विकल्पों की जाँच करने पर:
विकल्प $(B)$ के लिए,$p^2 - 4q - 12 = (-4)^2 - 4(1) - 12 = 16 - 4 - 12 = 0$.
अतः,विकल्प $(B)$ सही है।

(D) माना $2^x = t$ है। चूँकि $2^x > 0$,इसलिए $t > 0$ होना चाहिए।
समीकरण $5 + |t - 1| = t(t - 2) = t^2 - 2t$ हो जाता है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर,$|t - 1| = t^2 - 2t - 5$ प्राप्त होता है।
माना $g(t) = |t - 1|$ और $f(t) = t^2 - 2t - 5$ है।
हम $t > 0$ के लिए हल ढूँढते हैं।
स्थिति $1$: $t \ge 1$ के लिए।
$t - 1 = t^2 - 2t - 5$ $\Rightarrow t^2 - 3t - 4 = 0$ $\Rightarrow (t - 4)(t + 1) = 0$।
चूँकि $t \ge 1$,इसलिए $t = 4$ प्राप्त होता है। अतः $2^x = 4 \Rightarrow x = 2$।
स्थिति $2$: $0 < t < 1$ के लिए।
$-(t - 1) = t^2 - 2t - 5$ $\Rightarrow -t + 1 = t^2 - 2t - 5$ $\Rightarrow t^2 - t - 6 = 0$ $\Rightarrow (t - 3)(t + 2) = 0$।
$t = 3$ या $t = -2$ में से कोई भी $0 < t < 1$ को संतुष्ट नहीं करता है।
अतः,केवल $1$ वास्तविक मूल है।

(D) मान लीजिए $3^{x} = t$,जहाँ $t > 0$ है।
समीकरण $t(t-1) + 2 = |t-1| + |t-2|$ बन जाता है।
$t^{2} - t + 2 = |t-1| + |t-2|$.
स्थिति-$I$: $0 < t < 1$.
$t^{2} - t + 2 = (1 - t) + (2 - t) = 3 - 2t$.
$t^{2} + t - 1 = 0$.
$t = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
चूँकि $t > 0$,इसलिए $t = \frac{\sqrt{5}-1}{2} \approx 0.618$,जो $0 < t < 1$ को संतुष्ट करता है।
स्थिति-$II$: $1 \leq t < 2$.
$t^{2} - t + 2 = (t - 1) + (2 - t) = 1$.
$t^{2} - t + 1 = 0$.
विविक्तकर $D = (-1)^{2} - 4(1)(1) = -3 < 0$,अतः कोई वास्तविक हल नहीं है।
स्थिति-$III$: $t \geq 2$.
$t^{2} - t + 2 = (t - 1) + (t - 2) = 2t - 3$.
$t^{2} - 3t + 5 = 0$.
विविक्तकर $D = (-3)^{2} - 4(1)(5) = 9 - 20 = -11 < 0$,अतः कोई वास्तविक हल नहीं है।
इस प्रकार,$t$ का केवल एक ही मान्य मान $t = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ है।
चूँकि $3^{x} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$,इसलिए $x$ का केवल एक वास्तविक मान प्राप्त होता है,जो $x = \log_{3}\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)$ है।
अतः,$S$ एक एकल समुच्चय है।

(C) दिया गया समीकरण $2x^{2} + (a-10)x + (\frac{33}{2} - 2a) = 0$ है।
वास्तविक मूलों के लिए,विविक्तकर $D \geq 0$ होना चाहिए।
$D = (a-10)^{2} - 4(2)(\frac{33}{2} - 2a) \geq 0$.
$D = a^{2} - 4a - 32 \geq 0$.
$(a-8)(a+4) \geq 0$.
यह असमिका $a \in (-\infty, -4] \cup [8, \infty)$ के लिए सत्य है।
चूंकि हमें $a$ का न्यूनतम धनात्मक मान ज्ञात करना है,इसलिए हम अंतराल $[8, \infty)$ पर विचार करेंगे।
अतः,न्यूनतम धनात्मक मान $8$ है।

(B) समीकरण $a x^{2}-2 b x+5=0$ के लिए,मूल $\alpha, \alpha$ हैं।
अतः,मूलों का योग $2\alpha = \frac{2b}{a} \Rightarrow \alpha = \frac{b}{a}$ और मूलों का गुणनफल $\alpha^{2} = \frac{5}{a}$ है।
इनसे,$b = a\alpha$ और $a = \frac{5}{\alpha^{2}}$ प्राप्त होता है। $a$ का मान रखने पर,$b = \frac{5}{\alpha}$ मिलता है।
चूंकि $\alpha$,$x^{2}-2 b x-10=0$ का भी एक मूल है,इसलिए $\alpha^{2}-2 b \alpha-10=0$ होगा।
$b = \frac{5}{\alpha}$ को इस समीकरण में रखने पर: $\alpha^{2}-2(\frac{5}{\alpha})\alpha-10=0$ $\Rightarrow \alpha^{2}-10-10=0$ $\Rightarrow \alpha^{2}=20$।
अब,समीकरण $x^{2}-2 b x-10=0$ के लिए,मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = -10$ है।
$\alpha^{2} = 20$ होने के कारण,$\alpha = \pm \sqrt{20}$ है।
तब $\beta = \frac{-10}{\alpha}$ होगा।
अतः,$\beta^{2} = \frac{100}{\alpha^{2}} = \frac{100}{20} = 5$।
इसलिए,$\alpha^{2}+\beta^{2} = 20 + 5 = 25$।

(D) दिया गया समीकरण: $e^{4x} + e^{3x} - 4e^{2x} + e^x + 1 = 0$।
पूरे समीकरण को $e^{2x}$ से विभाजित करने पर:
$e^{2x} + e^x - 4 + \frac{1}{e^x} + \frac{1}{e^{2x}} = 0$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$(e^{2x} + \frac{1}{e^{2x}}) + (e^x + \frac{1}{e^x}) - 4 = 0$।
सर्वसमिका $a^2 + \frac{1}{a^2} = (a + \frac{1}{a})^2 - 2$ का उपयोग करने पर:
$(e^x + \frac{1}{e^x})^2 - 2 + (e^x + \frac{1}{e^x}) - 4 = 0$।
माना $t = e^x + \frac{1}{e^x}$। चूंकि $e^x > 0$,$AM$-$GM$ असमिका के अनुसार $t = e^x + \frac{1}{e^x} \geq 2$।
समीकरण $t^2 + t - 6 = 0$ बन जाता है।
गुणनखंड करने पर: $(t + 3)(t - 2) = 0$।
अतः $t = -3$ या $t = 2$।
चूंकि $t \geq 2$,इसलिए $t = 2$ होगा।
$e^x + \frac{1}{e^x} = 2$ $\Rightarrow e^{2x} - 2e^x + 1 = 0$ $\Rightarrow (e^x - 1)^2 = 0$।
$e^x = 1 \Rightarrow x = 0$।
अतः,केवल $1$ वास्तविक मूल है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = 9x^{2} + 12x + 2$ है।
हम इसे पूर्ण वर्ग बनाकर फिर से लिख सकते हैं:
$f(x) = (3x)^{2} + 2(3x)(2) + 2^{2} - 2^{2} + 2$
$f(x) = (3x + 2)^{2} - 4 + 2$
$f(x) = (3x + 2)^{2} - 2$.
चूँकि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $(3x + 2)^{2} \geq 0$ होता है,इसलिए $(3x + 2)^{2}$ का न्यूनतम मान $0$ है।
अतः,$f(x)$ का न्यूनतम मान $0 - 2 = -2$ है,जो $3x + 2 = 0$ अर्थात $x = -\frac{2}{3}$ पर प्राप्त होता है।
जैसे-जैसे $x \to \infty$,$f(x) \to \infty$,इसलिए फलन का कोई अधिकतम मान नहीं है।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $x^{2}+x+1=0$ है।
इसे $ax^{2}+bx+c=0$ से तुलना करने पर,$a=1, b=1, c=1$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D = b^{2}-4ac = 1^{2}-4(1)(1) = 1-4 = -3$ है।
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2}$.

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $\sqrt{5} x^{2} + x + \sqrt{5} = 0$ है।
इसे $ax^{2} + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,$a = \sqrt{5}$,$b = 1$,और $c = \sqrt{5}$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D = b^{2} - 4ac$ की गणना इस प्रकार है:
$D = (1)^{2} - 4(\sqrt{5})(\sqrt{5}) = 1 - 4(5) = 1 - 20 = -19$.
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ का उपयोग करने पर,
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{-19}}{2\sqrt{5}}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\sqrt{-1} = i$,इसलिए हल $x = \frac{-1 \pm \sqrt{19} i}{2\sqrt{5}}$ है।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $2x^{2}+x+1=0$ है।
इसे मानक रूप $ax^{2}+bx+c=0$ से तुलना करने पर,हमें $a=2, b=1, c=1$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D = b^{2}-4ac$ है।
$D = 1^{2}-4(2)(1) = 1-8 = -7$।
हल के लिए सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ है।
मान रखने पर,$x = \frac{-1 \pm \sqrt{-7}}{2(2)} = \frac{-1 \pm \sqrt{7}i}{4}$ (चूंकि $\sqrt{-1} = i$)।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $x^{2}+3x+9=0$ है।
दिए गए समीकरण की तुलना $ax^{2}+bx+c=0$ से करने पर,हमें $a=1, b=3,$ और $c=9$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D = b^{2}-4ac$ द्वारा दिया जाता है।
$D = 3^{2}-4(1)(9) = 9-36 = -27$.
मूल द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ द्वारा प्राप्त होते हैं।
$x = \frac{-3 \pm \sqrt{-27}}{2(1)} = \frac{-3 \pm \sqrt{27}i}{2} = \frac{-3 \pm 3\sqrt{3}i}{2}$.

(D) दिया गया द्विघात समीकरण $-x^{2}+x-2=0$ है।
इसे मानक रूप $ax^{2}+bx+c=0$ से तुलना करने पर,$a=-1, b=1, c=-2$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D = b^{2}-4ac = (1)^{2}-4(-1)(-2) = 1-8 = -7$ है।
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ का उपयोग करने पर,
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{-7}}{2(-1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{7}i}{-2}$ प्राप्त होता है।
इसे $x = \frac{1 \pm \sqrt{7}i}{2}$ के रूप में भी लिखा जा सकता है।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $x^{2}+3x+5=0$ है।
इसे मानक रूप $ax^{2}+bx+c=0$ से तुलना करने पर,हमें $a=1, b=3, c=5$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D = b^{2}-4ac$ है।
$D = 3^{2}-4(1)(5) = 9-20 = -11$ है।
हल के लिए द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-3 \pm \sqrt{-11}}{2(1)} = \frac{-3 \pm \sqrt{11}i}{2}$ (चूंकि $\sqrt{-1} = i$)।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $x^{2}-x+2=0$ है।
दिए गए समीकरण की तुलना $ax^{2}+bx+c=0$ से करने पर,हमें $a=1, b=-1,$ और $c=2$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D$ का मान $D = b^{2}-4ac$ है।
$D = (-1)^{2}-4(1)(2) = 1-8 = -7$.
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{-7}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{7}i}{2}$.

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $\sqrt{2} x^{2} + x + \sqrt{2} = 0$ है।
दिए गए समीकरण की तुलना $ax^{2} + bx + c = 0$ से करने पर,हमें $a = \sqrt{2}$,$b = 1$,और $c = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D = b^{2} - 4ac$ है।
$D = (1)^{2} - 4(\sqrt{2})(\sqrt{2}) = 1 - 8 = -7$।
हल द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{-7}}{2(\sqrt{2})} = \frac{-1 \pm \sqrt{7}i}{2\sqrt{2}}$।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $\sqrt{3} x^{2}-\sqrt{2} x+3 \sqrt{3}=0$ है।
इसे $a x^{2}+b x+c=0$ से तुलना करने पर,हमें $a=\sqrt{3}, b=-\sqrt{2}, c=3 \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D = b^{2}-4ac$ है।
$D = (-\sqrt{2})^{2} - 4(\sqrt{3})(3 \sqrt{3}) = 2 - 36 = -34$.
हल $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$x = \frac{-(-\sqrt{2}) \pm \sqrt{-34}}{2 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{34} i}{2 \sqrt{3}}$ (चूंकि $\sqrt{-1} = i$)।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $x^{2}+x+\frac{1}{\sqrt{2}}=0$ है।
$\sqrt{2}$ से गुणा करने पर,हमें $\sqrt{2}x^{2}+\sqrt{2}x+1=0$ प्राप्त होता है।
$ax^{2}+bx+c=0$ से तुलना करने पर,$a=\sqrt{2}$,$b=\sqrt{2}$,और $c=1$ है।
विविक्तकर $D = b^{2}-4ac = (\sqrt{2})^{2}-4(\sqrt{2})(1) = 2-4\sqrt{2}$ है।
चूंकि $D < 0$,मूल $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{2-4\sqrt{2}}}{2\sqrt{2}}$ द्वारा दिए जाते हैं।
$x = \frac{-\sqrt{2} \pm i\sqrt{4\sqrt{2}-2}}{2\sqrt{2}} = \frac{-\sqrt{2} \pm i\sqrt{2(2\sqrt{2}-1)}}{2\sqrt{2}}$.
$x = \frac{-\sqrt{2} \pm i\sqrt{2}\sqrt{2\sqrt{2}-1}}{2\sqrt{2}} = \frac{-1 \pm i\sqrt{2\sqrt{2}-1}}{2}$.

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $x^{2}+\frac{x}{\sqrt{2}}+1=0$ है।
समीकरण को सरल बनाने के लिए इसे $\sqrt{2}$ से गुणा करने पर: $\sqrt{2}x^{2}+x+\sqrt{2}=0$ प्राप्त होता है।
इसे मानक द्विघात समीकरण $ax^{2}+bx+c=0$ से तुलना करने पर,$a=\sqrt{2}$,$b=1$,और $c=\sqrt{2}$ प्राप्त होते हैं।
विविक्तकर $D = b^{2}-4ac = (1)^{2}-4(\sqrt{2})(\sqrt{2}) = 1-8 = -7$ है।
हल के लिए द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
मान रखने पर,$x = \frac{-1 \pm \sqrt{-7}}{2\sqrt{2}} = \frac{-1 \pm \sqrt{7}i}{2\sqrt{2}}$ (चूंकि $\sqrt{-1}=i$)।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $3x^{2} - 4x + \frac{20}{3} = 0$ है।
पूरे समीकरण को $3$ से गुणा करने पर,हमें $9x^{2} - 12x + 20 = 0$ प्राप्त होता है।
इसे मानक रूप $ax^{2} + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,$a = 9$,$b = -12$,और $c = 20$ है।
विविक्तकर $D = b^{2} - 4ac = (-12)^{2} - 4(9)(20) = 144 - 720 = -576$ है।
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-(-12) \pm \sqrt{-576}}{2(9)} = \frac{12 \pm \sqrt{576}i}{18} = \frac{12 \pm 24i}{18}$.
सरल करने पर,$x = \frac{12}{18} \pm \frac{24}{18}i = \frac{2}{3} \pm \frac{4}{3}i$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $x^{2}-2x+\frac{3}{2}=0$ है।
$2$ से गुणा करने पर,हमें $2x^{2}-4x+3=0$ प्राप्त होता है।
इसे $ax^{2}+bx+c=0$ से तुलना करने पर,$a=2, b=-4, c=3$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D = b^{2}-4ac = (-4)^{2}-4(2)(3) = 16-24 = -8$ है।
हल $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{-8}}{2(2)}$ द्वारा दिया जाता है।
$x = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}i}{4} = \frac{4}{4} \pm \frac{2\sqrt{2}i}{4} = 1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}i$.

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $27 x^{2}-10 x+1=0$ है।
इस समीकरण की तुलना $a x^{2}+b x+c=0$ से करने पर,हमें $a=27, b=-10$ और $c=1$ प्राप्त होता है।
अतः,विविक्तकर $D = b^{2}-4 a c = (-10)^{2}-4(27)(1) = 100-108 = -8$ है।
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2 a}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x = \frac{-(-10) \pm \sqrt{-8}}{2(27)} = \frac{10 \pm 2 \sqrt{2} i}{54}$।
अंश और हर को $2$ से विभाजित करने पर,हमें $x = \frac{5 \pm \sqrt{2} i}{27}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $21x^{2} - 28x + 10 = 0$ है।
इसे $ax^{2} + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,$a = 21$,$b = -28$ और $c = 10$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D = b^{2} - 4ac$ है।
$D = (-28)^{2} - 4(21)(10) = 784 - 840 = -56$.
हल $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
$x = \frac{-(-28) \pm \sqrt{-56}}{2(21)} = \frac{28 \pm \sqrt{56}i}{42}$.
चूंकि $\sqrt{56} = 2\sqrt{14}$,इसलिए
$x = \frac{28 \pm 2\sqrt{14}i}{42} = \frac{2}{3} \pm \frac{\sqrt{14}}{21}i$.

(C) मान लीजिए द्विघात बहुपद $f(x) = a(x - 3)(x - \alpha)$ है,जहाँ $\alpha$ दूसरा मूल है।
दिया है $f(2) = a(2 - 3)(2 - \alpha) = a(-1)(2 - \alpha) = a(\alpha - 2)$.
दिया है $f(-1) = a(-1 - 3)(-1 - \alpha) = a(-4)(-1 - \alpha) = 4a(1 + \alpha)$.
चूँकि $f(-1) + f(2) = 0$,इसलिए $4a(1 + \alpha) + a(\alpha - 2) = 0$.
चूँकि $a \neq 0$,हम $a$ से विभाजित कर सकते हैं: $4 + 4\alpha + \alpha - 2 = 0$.
$5\alpha + 2 = 0$ $\Rightarrow 5\alpha = -2$ $\Rightarrow \alpha = -\frac{2}{5} = -0.4$.
अतः,दूसरा मूल $\alpha = -0.4$ अंतराल $(-1, 0)$ में स्थित है।

(B) दिया गया समीकरण: $9x^{2}-18|x|+5=0$
चूंकि $x^{2} = |x|^{2}$,समीकरण $9|x|^{2}-18|x|+5=0$ हो जाता है।
माना $t = |x|$,तो $9t^{2}-18t+5=0$ है।
गुणनखंड करने पर: $9t^{2}-15t-3t+5=0$ है।
$3t(3t-5)-1(3t-5)=0$ है।
$(3t-1)(3t-5)=0$ है।
अतः,$|x| = \frac{1}{3}$ या $|x| = \frac{5}{3}$ है।
मूल $x = \frac{1}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{5}{3}, -\frac{5}{3}$ हैं।
मूलों का गुणनफल $(\frac{1}{3}) \times (-\frac{1}{3}) \times (\frac{5}{3}) \times (-\frac{5}{3}) = \frac{25}{81}$ है।

(B) $1$. ग्राफ नीचे की ओर खुलने वाला परवलय है। यह दर्शाता है कि $x^2$ का गुणांक ऋणात्मक है, इसलिए $a < 0$ है।
$2$. ग्राफ $x$-अक्ष को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटता है। यह दर्शाता है कि द्विघात समीकरण के दो अलग-अलग वास्तविक मूल हैं, जिसका अर्थ है कि विविक्तकर $D = b^2 - 4ac > 0$ है।
$3$. इन दोनों अवलोकनों को मिलाने पर, हमें $a < 0$ और $D > 0$ प्राप्त होता है। अतः, विकल्प $(B)$ सही है।