Mix Examples - Electric Potential and Capacitance Questions in Gujarati

(A) $1$. જ્યારે $C$ કેપેસિટન્સ ધરાવતા $n$ સમાન કેપેસિટરોને સમાંતર જોડવામાં આવે અને $V$ પોટેન્શિયલ પર ચાર્જ કરવામાં આવે,ત્યારે દરેક કેપેસિટર પરનો ચાર્જ $q = CV$ હોય છે. સંગ્રહિત કુલ ઉર્જા $U_p = n \times (1/2)CV^2 = (n/2)CV^2$ છે.
$2$. જ્યારે આ કેપેસિટરોને અલગ કરવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક કેપેસિટર તેનો ચાર્જ $q = CV$ જાળવી રાખે છે.
$3$. જ્યારે આ $n$ કેપેસિટરોને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સંયોજન પરનો કુલ પોટેન્શિયલ તફાવત દરેક કેપેસિટર પરના પોટેન્શિયલ તફાવતનો સરવાળો થાય છે: $V_{total} = V + V + ... + V$ ($n$ વખત) $= nV$.
$4$. શ્રેણી સંયોજનમાં સંગ્રહિત કુલ ઉર્જા $U_s = n \times (1/2)q^2/C = n \times (1/2)(CV)^2/C = (n/2)CV^2$ છે.
$5$. કારણ કે $U_p = U_s$,તેથી કુલ ઉર્જા સમાન રહે છે.

(C) ધારો કે દરેક કેપેસિટરની કેપેસિટન્સ $C$ છે. ત્રણ કેપેસિટર્સના સમાંતર જોડાણનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{p} = 3C$ અને શ્રેણી જોડાણનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{s} = C/3$ થાય.
ધારો કે સમાંતર જોડાણમાં વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{p}$ છે અને શ્રેણી જોડાણમાં $V_{s}$ છે. આપેલ છે કે બંને કિસ્સાઓમાં સંગ્રહિત ઉર્જા સમાન છે:
$\frac{1}{2} C_{p} V_{p}^{2} = \frac{1}{2} C_{s} V_{s}^{2}$
$\frac{V_{p}^{2}}{V_{s}^{2}} = \frac{C_{s}}{C_{p}} = \frac{C/3}{3C} = \frac{1}{9}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{V_{p}}{V_{s}} = \frac{1}{3}$

(D) ધારો કે દરેક નાના ટીપાંની ત્રિજ્યા ' $r$ ' છે અને દરેક પરનો ચાર્જ ' $q$ ' છે. નાના ટીપાંનું પોટેન્શિયલ $V = \frac{kq}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે ' $n$ ' ટીપાં જોડાઈને ' $R$ ' ત્રિજ્યાનું મોટું ટીપું બનાવે છે,ત્યારે કદ જળવાઈ રહે છે: $\frac{4}{3} \pi R^3 = n \cdot \frac{4}{3} \pi r^3$,જેનો અર્થ છે કે $R = n^{1/3} r$.
મોટા ટીપાં પરનો કુલ ચાર્જ $Q = n \cdot q$ છે.
મોટા ટીપાંનું પોટેન્શિયલ ' $V_{big}$ ' એ $V_{big} = \frac{kQ}{R} = \frac{k(nq)}{n^{1/3}r} = n^{1 - 1/3} \cdot \frac{kq}{r} = n^{2/3} \cdot V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(D) ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને દરેક પરનો વિદ્યુતભાર $q$ છે. નાના ટીપાનું સ્થિતિમાન $v = \frac{kq}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $n$ નાના ટીપાં જોડાઈને $R$ ત્રિજ્યાનું મોટું ટીપું બનાવે છે,ત્યારે કદનું સંરક્ષણ થાય છે: $\frac{4}{3} \pi R^3 = n \cdot \frac{4}{3} \pi r^3$,જે $R = n^{1/3} r$ આપે છે.
મોટા ટીપા પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q = nq$ છે.
મોટા ટીપાનું સ્થિતિમાન $V = \frac{kQ}{R} = \frac{k(nq)}{n^{1/3} r} = n^{1 - 1/3} \cdot \frac{kq}{r} = n^{2/3} v$ થાય છે.

(B) ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને દરેક નાના ટીપા પરનો વીજભાર $q$ છે.
નાના ટીપાનું સ્થિતિમાન $V = \frac{kq}{r} = 20 \ V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $n = 27$ ટીપાં ભેગા થઈને $R$ ત્રિજ્યા અને $Q$ વીજભાર ધરાવતું એક મોટું ટીપું બનાવે છે,ત્યારે કદ અચળ રહે છે:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = n \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 \implies R^3 = n r^3 \implies R = n^{1/3} r$.
$n = 27$ માટે,$R = (27)^{1/3} r = 3r$.
મોટા ટીપા પરનો કુલ વીજભાર $Q = nq = 27q$ છે.
મોટા ટીપાનું સ્થિતિમાન $V' = \frac{kQ}{R} = \frac{k(nq)}{n^{1/3}r} = n^{2/3} \left( \frac{kq}{r} \right) = n^{2/3} V$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $V' = (27)^{2/3} \times 20 = (3^3)^{2/3} \times 20 = 3^2 \times 20 = 9 \times 20 = 180 \ V$.

(A) બે વિદ્યુતભારોના તંત્ર માટે ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$(K.E. + P.E.)_{\text{initial}} = (K.E. + P.E.)_{\text{final}}$
શરૂઆતમાં કણો સ્થિર છે,તેથી $K.E._{\text{initial}} = 0$.
ધારો કે $\frac{r}{2}$ અંતરે દરેક કણની ઝડપ $v$ છે. સમાન દળ $m$ હોવાથી,વેગમાન સંરક્ષણ મુજબ તેઓ સમાન અને વિરુદ્ધ વેગથી ગતિ કરશે.
કુલ ગતિ ઉર્જા $K.E._{\text{final}} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}mv^2 = mv^2$ થશે.
સ્થિતિ ઉર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{r}$ વાપરતા:
$0 + \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{r} = mv^2 + \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{r/2}$
$mv^2 = \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{1}{r} - \frac{2}{r} \right) = -\frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0 r}$
નોંધ: ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે સમાન વિદ્યુતભારો આ અંતર સુધી પહોંચી શકશે નહીં. જો વિરુદ્ધ વિદ્યુતભારો હોય તો ઝડપનું મૂલ્ય $v = \sqrt{\frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0 mr}}$ મળે.

(B) ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને દરેક પરનો ચાર્જ $q$ છે. દરેક નાના ટીપાનો પોટેન્શિયલ $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{r}$ છે.
જ્યારે $n$ ટીપાં જોડાઈને $R$ ત્રિજ્યાનું મોટું ટીપું બનાવે છે,ત્યારે કદ સંરક્ષિત રહે છે: $\frac{4}{3} \pi R^3 = n \cdot \frac{4}{3} \pi r^3$,જે $R = n^{1/3} r$ આપે છે.
મોટા ટીપા પરનો કુલ ચાર્જ $Q = nq$ છે.
મોટા ટીપાનો પોટેન્શિયલ $V' = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{R}$ છે.
$Q$ અને $R$ ની કિંમતો મૂકતા: $V' = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{nq}{n^{1/3} r}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $V' = n^{1 - 1/3} \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{r} \right) = n^{2/3} V$ મળે છે.

(D) ધારો કે ગોળા પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ છે.
ગોળાની સપાટી પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_{surface} = \frac{kQ}{r}$ છે.
કેન્દ્રથી $3r$ અંતરે વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_{3r} = \frac{kQ}{3r}$ છે.
વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ નીચે મુજબ છે:
$V = V_{surface} - V_{3r} = \frac{kQ}{r} - \frac{kQ}{3r} = \frac{2kQ}{3r}$.
આના પરથી,આપણને $kQ = \frac{3Vr}{2}$ મળે છે.
કેન્દ્રથી $3r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $E$ નીચે મુજબ છે:
$E = \frac{kQ}{(3r)^2} = \frac{kQ}{9r^2}$.
$kQ$ ની કિંમત મૂકતા:
$E = \frac{1}{9r^2} \cdot \frac{3Vr}{2} = \frac{3V}{18r} = \frac{V}{6r}$.

(C) ભારિત વાહકની સપાટી પર લાગતું સ્થિત વિદ્યુત દબાણ (સ્ટ્રેસ) $P = \frac{\sigma^{2}}{2 \epsilon_{0}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma = \frac{q}{4 \pi r^{2}} = \frac{10^{-2}}{4 \pi (1)^{2}} = \frac{10^{-2}}{4 \pi} \ C/m^{2}$ છે.
દબાણના સૂત્રમાં $\sigma$ ની કિંમત મૂકતા: $P = \frac{1}{2 \epsilon_{0}} \left( \frac{10^{-2}}{4 \pi} \right)^{2} = \frac{10^{-4}}{32 \pi^{2} \epsilon_{0}}$.
કદ વિકૃતિ (volume strain) ને $\text{strain} = \frac{\text{stress}}{B}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $B$ એ બલ્ક મોડ્યુલસ છે.
આપેલ છે કે $B = \frac{10^{11}}{4 \pi^{2}}$.
તેથી,$\text{strain} = \frac{10^{-4}}{32 \pi^{2} \epsilon_{0}} \times \frac{4 \pi^{2}}{10^{11}} = \frac{10^{-4}}{8 \epsilon_{0} \times 10^{11}} = \frac{10^{-15}}{8 \epsilon_{0}}$.

(A) ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને દરેક પરનો વીજભાર $q$ છે. નાના ટીપાનું સ્થિતિમાન $V = \frac{kq}{r} = 10 \ V$ છે.
જ્યારે $n = 27$ ટીપાં જોડાઈને $R$ ત્રિજ્યાનું મોટું ટીપું બનાવે છે,ત્યારે કદ સંરક્ષિત રહે છે: $\frac{4}{3}\pi R^3 = n \cdot \frac{4}{3}\pi r^3$,જેનો અર્થ છે કે $R = n^{1/3}r$.
$n = 27$ માટે,$R = (27)^{1/3}r = 3r$.
મોટા ટીપા પરનો કુલ વીજભાર $Q = nq = 27q$ છે.
મોટા ટીપાનું સ્થિતિમાન $V^{\prime} = \frac{kQ}{R} = \frac{k(nq)}{n^{1/3}r} = n^{2/3} \left(\frac{kq}{r}\right) = n^{2/3}V$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $V^{\prime} = (27)^{2/3} \times 10 = (3^3)^{2/3} \times 10 = 3^2 \times 10 = 9 \times 10 = 90 \ V$.

(A) આપેલ તંત્ર ચાર પ્લેટોનું બનેલું છે. ધારો કે દરેક જોડીની પ્લેટોનું કેપેસીટન્સ $C = \frac{A \varepsilon_0}{d}$ છે.
પરિપથ આકૃતિ મુજબ,પ્લેટ $1$ અને $3$ એકબીજા સાથે જોડાયેલ છે,અને પ્લેટ $2$ અને $4$ અનુક્રમે ટર્મિનલ $A$ અને $B$ સાથે જોડાયેલ છે.
આનાથી બે કેપેસીટર સમાંતરમાં બને છે (પ્લેટ $1-2$ અને $3-2$ વચ્ચે) જે ત્રીજા કેપેસીટર (પ્લેટ $3-4$ વચ્ચે) સાથે શ્રેણીમાં છે.
ધારો કે $C_1$ એ પ્લેટ $1$ અને $2$ વચ્ચેનું કેપેસીટન્સ છે,$C_2$ એ $3$ અને $2$ વચ્ચેનું છે,અને $C_3$ એ $3$ અને $4$ વચ્ચેનું છે. તેથી,$C_1 = C_2 = C_3 = C$.
$C_1$ અને $C_2$ નું સમાંતર જોડાણ $C' = C_1 + C_2 = C + C = 2C$ આપે છે.
આ $C'$ એ $C_3$ સાથે શ્રેણીમાં છે. સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$C_{eq} = \frac{C' \cdot C_3}{C' + C_3} = \frac{(2C) \cdot C}{2C + C} = \frac{2C^2}{3C} = \frac{2}{3}C$.
$C = \frac{A \varepsilon_0}{d}$ મૂકતા,આપણને $C_{eq} = \frac{2}{3} \frac{A \varepsilon_0}{d}$ મળે છે.

(C) જ્યારે ચાર્જ થયેલ કેપેસિટરને બેટરીથી અલગ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેની પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે છે કારણ કે વિદ્યુતભારના વહન માટે કોઈ માર્ગ હોતો નથી.
જેમ પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર $d$ વધારવામાં આવે છે,તેમ કેપેસિટન્સ $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ ઘટે છે.
આમ $Q = CV$ હોવાથી,અને $Q$ અચળ હોવાથી,જેમ $C$ ઘટે છે તેમ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = \frac{Q}{C}$ વધશે.
તેથી,પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર સમાન રહેશે.

(C) આપેલ ગોઠવણીમાં,પ્લેટ $Q$ એ સમાંતરમાં જોડાયેલા બે કેપેસિટર માટે સામાન્ય છે,કારણ કે પ્લેટ $P$ અને $R$ બંને ગ્રાઉન્ડેડ ($0 \,V$ પર) છે.
ધારો કે પ્લેટ $Q$ નું સ્થિતિમાન $V$ છે.
પ્રથમ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ ($P$ અને $Q$ વચ્ચે) $C_1 = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ છે.
બીજા કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ ($Q$ અને $R$ વચ્ચે) $C_2 = \frac{\varepsilon_0 A}{2d}$ છે.
તેઓ સમાંતરમાં હોવાથી,અસરકારક કેપેસિટન્સ $C_{\text{eff}} = C_1 + C_2 = \frac{\varepsilon_0 A}{d} + \frac{\varepsilon_0 A}{2d} = \frac{3 \varepsilon_0 A}{2d}$ થાય.
આપેલ છે કે $q = 8.85 \times 10^{-8} \,C$,$A = 2.0 \,m^2$,$d = 2 \times 10^{-3} \,m$,અને $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \,F/m$.
$q = C_{\text{eff}} V$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $V = \frac{q}{C_{\text{eff}}} = \frac{q \cdot 2d}{3 \varepsilon_0 A}$.
કિંમતો મૂકતા: $V = \frac{8.85 \times 10^{-8} \times 2 \times (2 \times 10^{-3})}{3 \times (8.85 \times 10^{-12}) \times 2.0} = \frac{8.85 \times 4 \times 10^{-11}}{3 \times 8.85 \times 2 \times 10^{-12}} = \frac{4 \times 10}{3 \times 2} = \frac{20}{3} \approx 6.67 \,V$.

(C) $4 \mu F$ અને $2 \mu F$ ના કેપેસિટરો સમાંતર જોડાણમાં છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_p = 4 \mu F + 2 \mu F = 6 \mu F$ છે.
આ સમાંતર જોડાણ $6 \mu F$ ના કેપેસિટર સાથે શ્રેણીમાં છે. કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{6 \mu F} + \frac{1}{6 \mu F} = \frac{2}{6 \mu F} = \frac{1}{3 \mu F} \Rightarrow C_{eq} = 3 \mu F$.
$12 \text{ V}$ ના સ્ત્રોત દ્વારા પૂરો પાડવામાં આવતો કુલ વિદ્યુતભાર $Q$:
$Q = C_{eq} \times V = 3 \mu F \times 12 \text{ V} = 36 \mu C$.
આ કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ એ $6 \mu F$ કેપેસિટરમાંથી વહે છે અને ત્યારબાદ સમાંતરમાં જોડાયેલા $4 \mu F$ અને $2 \mu F$ કેપેસિટરો વચ્ચે વહેંચાય છે.
ધારો કે $4 \mu F$ કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q_1$ છે અને $2 \mu F$ કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q_2$ છે.
તેઓ સમાંતરમાં હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન હોય છે:
$V_p = \frac{Q_1}{C_1} = \frac{Q_2}{C_2} \Rightarrow \frac{Q_1}{4 \mu F} = \frac{Q_2}{2 \mu F} \Rightarrow Q_1 = 2 Q_2$.
વળી,$Q_1 + Q_2 = Q = 36 \mu C$.
$Q_1 = 2 Q_2$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$2 Q_2 + Q_2 = 36 \mu C \Rightarrow 3 Q_2 = 36 \mu C \Rightarrow Q_2 = 12 \mu C$.
તેથી,$Q_1 = 2 \times 12 \mu C = 24 \mu C = 24 \times 10^{-6} C$.

(D) $500 V$ સહન કરી શકે તેવા કેપેસીટર્સનો ઉપયોગ કરીને $1.5 kV$ $(1500 V)$ નો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સહન કરવા માટે,દરેક શ્રેણી હારમાં કેપેસીટર્સની સંખ્યા $(m)$:
$m = \frac{1500 V}{500 V} = 3$
આવા $3$ કેપેસીટર્સ (દરેક $2 \mu F$) ની એક હારનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ:
$C_{row} = \frac{2 \mu F}{3}$
જો આપણે $6 \mu F$ નું કુલ કેપેસીટન્સ મેળવવા માટે આવી $n$ હારને સમાંતર જોડીએ,તો:
$C_{eff} = n \times C_{row} = n \times \frac{2}{3} \mu F = 6 \mu F$
$n = \frac{6 \times 3}{2} = 9$
જરૂરી કેપેસીટર્સની કુલ સંખ્યા $N = m \times n = 3 \times 9 = 27$ છે.

(C) જ્યારે બે કેપેસિટર શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોય,ત્યારે સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ નીચે મુજબ મળે: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \mu F^{-1}$.
તેથી,$C_{eq} = 2 \mu F$.
શ્રેણી જોડાણમાં સંગ્રહિત કુલ વિદ્યુતભાર $Q = C_{eq} \times V = 2 \mu F \times 900 \ V = 1800 \mu C$.
જ્યારે કેપેસિટરને છૂટા પાડીને સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વિદ્યુતભાર $Q = 1800 \mu C$ સમાન રહે છે.
સમાંતર જોડાણમાં સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_p = C_1 + C_2 = 3 \mu F + 6 \mu F = 9 \mu F$ થાય.
સમાંતર જોડાણ પરનો નવો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V' = \frac{Q}{C_p} = \frac{1800 \mu C}{9 \mu F} = 200 \ V$ થાય.

(B) આપેલ સર્કિટ આકૃતિ પરથી, ઉપરની શાખામાં રહેલા બે $2 \, \mu F$ ના કેપેસિટર શ્રેણીમાં છે। તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{1} = \frac{2 \times 2}{2+2} = 1 \, \mu F$ છે।
તે જ રીતે, જમણી અને નીચેની શાખામાં રહેલા બે $2 \, \mu F$ ના કેપેસિટર શ્રેણીમાં છે। તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{2} = \frac{2 \times 2}{2+2} = 1 \, \mu F$ છે।
હવે, સર્કિટ $C \, \mu F$ અને $C_{2} = 1 \, \mu F$ ના સમાંતર જોડાણમાં સરળ બને છે, જે $C_{1} = 1 \, \mu F$ સાથે શ્રેણીમાં છે।
અસરકારક કેપેસિટન્સ $C_{\text{eff}}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$C_{\text{eff}} = \frac{(C + 1) \times 1}{(C + 1) + 1} = \frac{C + 1}{C + 2} \, \mu F$.
આપેલ છે કે, વિદ્યુતભાર $q = 0.75 \, mC = 0.75 \times 10^{-3} \, C$ અને વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = 10^{3} \, V$.
અસરકારક કેપેસિટન્સ $C_{\text{eff}} = \frac{q}{V} = \frac{0.75 \times 10^{-3}}{10^{3}} = 0.75 \times 10^{-6} \, F = 0.75 \, \mu F$.
$C_{\text{eff}}$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$0.75 = \frac{C + 1}{C + 2}$
$\frac{3}{4} = \frac{C + 1}{C + 2}$
$3(C + 2) = 4(C + 1)$
$3C + 6 = 4C + 4$
$C = 2 \, \mu F$.

(D) દરેક $200 \ V$ રેટિંગ ધરાવતા કેપેસિટરનો ઉપયોગ કરીને $600 \ V$ નો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત મેળવવા માટે,આપણે $n$ કેપેસિટરને શ્રેણીમાં જોડવા પડશે જેથી $n \times 200 \ V = 600 \ V$ થાય. આમ,$n = 3$.
શ્રેણીમાં જોડેલા આ $3$ કેપેસિટરનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $\frac{1}{C_s} = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ છે,તેથી $C_s = 2 \ \mu F$ મળે.
કુલ $18 \ \mu F$ કેપેસિટન્સ મેળવવા માટે,આપણે આવી $m$ શ્રેણી શાખાઓને સમાંતરમાં જોડવી પડશે,જ્યાં $m \times C_s = 18 \ \mu F$ થાય.
આમ,$m \times 2 \ \mu F = 18 \ \mu F$,જે આપણને $m = 9$ આપે છે.
જરૂરી કેપેસિટરની કુલ સંખ્યા $n \times m = 3 \times 9 = 27$ છે.

(B) આપેલ છે,$C_1 = C_2 = 8 \mu F = 8 \times 10^{-6} \ F$ અને $V = 10 \ V$.
કેપેસિટર $C_1$ અને $C_2$ સમાંતરમાં જોડાયેલા હોવાથી,પ્રારંભિક સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C_1 + C_2 = 16 \mu F = 1.6 \times 10^{-5} \ F$ થાય.
પ્રારંભિક કુલ વિદ્યુતભાર $q_i = C_{eq} \cdot V = 1.6 \times 10^{-5} \times 10 = 1.6 \times 10^{-4} \ C = 160 \mu C$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કેપેસિટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$,તેથી $C \propto \frac{1}{d}$.
જો પ્લેટનું અંતર $d$ ઘટાડીને તેના પ્રારંભિક મૂલ્યના $40 \%$ કરવામાં આવે,તો નવું અંતર $d' = 0.4d$ થાય. તેથી,નવું કેપેસિટન્સ $C' = \frac{C}{0.4} = 2.5C = 2.5 \times 8 \mu F = 20 \mu F$ થાય.
નવું કુલ કેપેસિટન્સ $C_{eq}' = C' + C_2 = 20 \mu F + 8 \mu F = 28 \mu F$ થાય.
નવો વિદ્યુતભાર $q_f = C_{eq}' \cdot V = 28 \mu F \times 10 \ V = 280 \mu C$ થાય.
વિદ્યુતભારમાં થતો વધારો $\Delta q = q_f - q_i = 280 \mu C - 160 \mu C = 120 \mu C$ છે.

(A) આ સર્કિટમાં $10 \text{ V}$ ની બેટરી $3 \mu F$ ના કેપેસિટર સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે,અને બીજી શાખામાં $4 \mu F$ નું કેપેસિટર $1 \mu F$ અને $5 \mu F$ ના સમાંતર જોડાણ સાથે શ્રેણીમાં છે.
પ્રથમ,$1 \mu F$ અને $5 \mu F$ ના સમાંતર જોડાણનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ ગણો:
$C_p = 1 \mu F + 5 \mu F = 6 \mu F$
હવે,ઉપરની શાખામાં $4 \mu F$ નું કેપેસિટર આ $6 \mu F$ ના સમતુલ્ય કેપેસિટર સાથે શ્રેણીમાં છે. આ શાખાનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $(C_{eq})$ નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{4 \mu F} + \frac{1}{6 \mu F} = \frac{3+2}{12 \mu F} = \frac{5}{12 \mu F}$
$C_{eq} = \frac{12}{5} \mu F = 2.4 \mu F$
આ આખી ઉપરની શાખા પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત બેટરીના વોલ્ટેજ જેટલો એટલે કે $V = 10 \text{ V}$ છે.
ઉપરની શાખાના સમતુલ્ય કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q$:
$Q = C_{eq} \times V = 2.4 \mu F \times 10 \text{ V} = 24 \mu C$
શ્રેણી જોડાણમાં દરેક કેપેસિટર પર સમાન વિદ્યુતભાર હોય છે,તેથી $4 \mu F$ ના કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $24 \mu C$ થશે. સાચો વિકલ્પ $(a)$ છે.

(A) સિસ્ટમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે: કેપેસિટર્સ $C_2$ અને $C_3$ સમાંતર જોડાણમાં છે, અને આ સંયોજન $C_1$ સાથે શ્રેણીમાં છે.
$C_{23} = C_2 + C_3 = 4 \, \mu F + 2 \, \mu F = 6 \, \mu F$.
હવે, $C_1$ અને $C_{23}$ શ્રેણીમાં છે:
$C_{eq} = \frac{C_1 \times C_{23}}{C_1 + C_{23}} = \frac{3 \, \mu F \times 6 \, \mu F}{3 \, \mu F + 6 \, \mu F} = \frac{18}{9} \, \mu F = 2 \, \mu F$.
સ્ત્રોતમાંથી લેવાયેલ કુલ વિદ્યુતભાર $q$:
$q = C_{eq} \times V = 2 \, \mu F \times 1800 \, V = 3600 \, \mu C = 3.6 \times 10^{-3} \, C$.
આ વિદ્યુતભાર $q$ એ $C_1$ માંથી વહે છે. $C_1$ પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ:
$V_1 = \frac{q}{C_1} = \frac{3600 \, \mu C}{3 \, \mu F} = 1200 \, V$.
$C_2$ અને $C_3$ ના સમાંતર સંયોજન પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ:
$V_{23} = V_{total} - V_1 = 1800 \, V - 1200 \, V = 600 \, V$.
કેમ કે $C_2$ અને $C_3$ સમાંતરમાં છે, દરેક પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $600 \, V$ છે.
$C_2$ પરનો વિદ્યુતભાર $q_2 = C_2 \times V_{23} = 4 \, \mu F \times 600 \, V = 2400 \, \mu C = 2.4 \times 10^{-3} \, C$.
$C_3$ પરનો વિદ્યુતભાર $q_3 = C_3 \times V_{23} = 2 \, \mu F \times 600 \, V = 1200 \, \mu C = 1.2 \times 10^{-3} \, C$.

(B) કેપેસિટન્સ અને પ્રારંભિક વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ ધરાવતા સંપૂર્ણ ચાર્જ થયેલા કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2}CV^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેપેસિટરને થર્મલી અલગ કરેલા બ્લોકમાં રહેલા અવરોધક તાર દ્વારા ડિસ્ચાર્જ કરવામાં આવતું હોવાથી,કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત તમામ વિદ્યુત ઉર્જા ઉષ્મા ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
બ્લોક દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા ઉર્જા $Q = ms \Delta T$ છે,જ્યાં $m$ એ દળ,$s$ એ વિશિષ્ટ ઉષ્મા અને $\Delta T$ એ તાપમાનમાં વધારો છે.
સંગ્રહિત ઉર્જાને ઉષ્મા ઉર્જા સાથે સરખાવતા: $\frac{1}{2}CV^2 = ms \Delta T$.
$V$ માટે ઉકેલતા: $V^2 = \frac{2ms \Delta T}{C}$.
તેથી,$V = \sqrt{\frac{2ms \Delta T}{C}}$.

(B) $1$. પ્રારંભિક સ્થિતિ: કેપેસિટર $C$ અને $2C$ બેટરી $E$ સાથે શ્રેણીમાં છે. સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = \frac{C \times 2C}{C + 2C} = \frac{2C}{3}$ છે.
$2$. દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q = C_{eq}E = \frac{2CE}{3}$ છે.
$3$. સંગ્રહિત પ્રારંભિક ઉર્જા: $U_i = \frac{1}{2} C_{eq} E^2 = \frac{1}{2} (\frac{2C}{3}) E^2 = \frac{CE^2}{3}$.
$4$. અંતિમ સ્થિતિ: કેપેસિટરને અલગ કરીને વિરુદ્ધ ધ્રુવીયતા સાથે ફરીથી જોડવામાં આવે છે. એકસાથે જોડાયેલી પ્લેટો પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $q - q = 0$ છે. કુલ વિદ્યુતભાર શૂન્ય હોવાથી,દરેક કેપેસિટર પરનો અંતિમ વિદ્યુતભાર $0$ છે.
$5$. સંગ્રહિત અંતિમ ઉર્જા: $U_f = 0$.
$6$. ગુમાવેલી ઉર્જા: $\Delta U = U_i - U_f = \frac{CE^2}{3} - 0 = \frac{CE^2}{3}$.
$7$. આમ,$2C$ પરનો વિદ્યુતભાર $0$ છે અને ગુમાવેલી ઉર્જા $\frac{CE^2}{3}$ છે.

(D) જ્યારે $C$ કેપેસિટન્સ ધરાવતા બે સમાન કેપેસિટરોને અનુક્રમે $V_1$ અને $V_2$ પોટેન્શિયલ પર ચાર્જ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેમનો પ્રારંભિક ચાર્જ $Q_1 = CV_1$ અને $Q_2 = CV_2$ હોય છે.
જ્યારે તેમને સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ ચાર્જ $Q_{net} = Q_1 + Q_2$ સંરક્ષિત રહે છે.
કેપેસિટરો સમાન પોટેન્શિયલ $V_{common} = \frac{Q_1 + Q_2}{C + C} = \frac{V_1 + V_2}{2}$ પ્રાપ્ત કરે છે.
કારણ કે $V_{common} = \frac{V_1 + V_2}{2}$,તેથી કુલ પોટેન્શિયલ તફાવત એ પ્રારંભિક પોટેન્શિયલ તફાવતોના સરવાળા $(V_1 + V_2)$ જેટલો હોતો નથી.
ચાર્જના પુનઃવિતરણ દરમિયાન,વાયર દ્વારા ચાર્જના પ્રવાહને કારણે કેટલીક ઉર્જા ગરમી સ્વરૂપે વ્યય થાય છે.
તેથી,અંતિમ કુલ સંગ્રહિત ઉર્જા $U_f = \frac{1}{2}(2C)V_{common}^2$ એ હંમેશા પ્રારંભિક કુલ ઉર્જા $U_i = \frac{1}{2}CV_1^2 + \frac{1}{2}CV_2^2$ કરતા ઓછી હોય છે.

(C) પરિપથમાં બે સમાંતર શાખાઓ છે જે વોલ્ટેજ સ્ત્રોત $V$ સાથે જોડાયેલ છે.
ઉપરની શાખા માટે,શ્રેણીમાં બે કેપેસિટર છે: $C_1 = 5 \mu F$ (બ્રેકડાઉન વોલ્ટેજ $V_1 = 1 \text{ kV}$) અને $C_2 = 4 \mu F$ (બ્રેકડાઉન વોલ્ટેજ $V_2 = 2 \text{ kV}$).
શ્રેણી જોડાણમાં,દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q$ સમાન હોય છે. શાખા સહન કરી શકે તેવો મહત્તમ વિદ્યુતભાર $q_{max}$ તે કેપેસિટર દ્વારા નક્કી થાય છે જે પહેલા તેના બ્રેકડાઉન વોલ્ટેજ સુધી પહોંચે છે.
$C_1$ માટે,$q_1 = C_1 V_1 = 5 \mu F \times 1 \text{ kV} = 5 \mu C$.
$C_2$ માટે,$q_2 = C_2 V_2 = 4 \mu F \times 2 \text{ kV} = 8 \mu C$.
આમ,ઉપરની શાખા મહત્તમ $5 \mu C$ વિદ્યુતભાર સહન કરી શકે છે. ઉપરની શાખા પરનો કુલ વોલ્ટેજ $V_{upper} = q_{max} / C_{eq1}$ છે,જ્યાં $C_{eq1} = (5 \times 4) / (5 + 4) = 20/9 \mu F$.
$V_{upper} = 5 \mu C / (20/9 \mu F) = 45/20 \text{ kV} = 2.25 \text{ kV}$.
નીચેની શાખા માટે,$C_3 = 2 \mu F$ (બ્રેકડાઉન વોલ્ટેજ $V_3 = 2 \text{ kV}$) અને $C_4 = 3 \mu F$ (બ્રેકડાઉન વોલ્ટેજ $V_4 = 1 \text{ kV}$) છે.
$C_3$ માટે,$q_3 = C_3 V_3 = 2 \mu F \times 2 \text{ kV} = 4 \mu C$.
$C_4$ માટે,$q_4 = C_4 V_4 = 3 \mu F \times 1 \text{ kV} = 3 \mu C$.
આમ,નીચેની શાખા મહત્તમ $3 \mu C$ વિદ્યુતભાર સહન કરી શકે છે. નીચેની શાખા પરનો કુલ વોલ્ટેજ $V_{lower} = q_{max} / C_{eq2}$ છે,જ્યાં $C_{eq2} = (2 \times 3) / (2 + 3) = 6/5 \mu F$.
$V_{lower} = 3 \mu C / (6/5 \mu F) = 15/6 \text{ kV} = 2.5 \text{ kV}$.
શાખાઓ સમાંતરમાં હોવાથી,સ્ત્રોત વોલ્ટેજ $V$ એ બંને શાખાઓના બ્રેકડાઉન વોલ્ટેજમાંથી જે નાનું હોય તેનાથી વધવો જોઈએ નહીં.
તેથી,$V_{max} = \min(2.25 \text{ kV}, 2.5 \text{ kV}) = 2.25 \text{ kV}$.

(A) આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ પરિપથને સરળ બનાવતા,$10 \ \mu F$,$5 \ \mu F$ અને $9 \ \mu F$ ના કેપેસિટરો બિંદુ $C$ અને $D$ વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં છે. તેથી,$C$ અને $D$ વચ્ચેનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ:
$C_{CD} = 10 \ \mu F + 5 \ \mu F + 9 \ \mu F = 24 \ \mu F$
હવે,$12 \ \mu F$,$24 \ \mu F$ (જે $C_{CD}$ છે) અને $8 \ \mu F$ ના કેપેસિટરો શ્રેણી જોડાણમાં છે.
સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{12} + \frac{1}{24} + \frac{1}{8} = \frac{2 + 1 + 3}{24} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4} \ \mu F^{-1}$
$\Rightarrow C_{eq} = 4 \ \mu F$
પરિપથમાં વહેતો કુલ વિદ્યુતભાર $Q$:
$Q = C_{eq} \times V_{AB} = 4 \ \mu F \times 80 \ V = 320 \ \mu C$
કેપેસિટરો $12 \ \mu F$,$24 \ \mu F$ અને $8 \ \mu F$ શ્રેણીમાં હોવાથી,દરેક શાખામાંથી સમાન વિદ્યુતભાર $Q = 320 \ \mu C$ વહેશે.
$CD$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત:
$V_{CD} = \frac{Q}{C_{CD}} = \frac{320 \ \mu C}{24 \ \mu F} = \frac{40}{3} \ V$
$10 \ \mu F$ ના કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q$:
$q = 10 \ \mu F \times V_{CD} = 10 \ \mu F \times \frac{40}{3} \ V = \frac{400}{3} \ \mu C \approx 133.33 \ \mu C$
આમ,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $4 \ \mu F$ છે અને $10 \ \mu F$ ના કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર આશરે $133 \ \mu C$ છે.

(D) પરિપથમાં બે સમાંતર શાખાઓ છે જે $30 \ V$ ના સ્ત્રોત સાથે જોડાયેલી છે.
શાખા $1$ માં $C_1$ અને $C_2$ શ્રેણીમાં છે. સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq1} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{1 \times 1.5}{1 + 1.5} = \frac{1.5}{2.5} = 0.6 \ \mu F$ છે.
આ શાખા પરનો વીજભાર $q = C_{eq1} \times V = 0.6 \ \mu F \times 30 \ V = 18 \ \mu C$ છે.
બિંદુ $A$ ની સાપેક્ષે બિંદુ $a$ નું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_A - V_a = \frac{q}{C_1} = \frac{18 \ \mu C}{1 \ \mu F} = 18 \ V$ છે.
શાખા $2$ માં $C_3$ અને $C_4$ શ્રેણીમાં છે. સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq2} = \frac{C_3 C_4}{C_3 + C_4} = \frac{2.5 \times 0.5}{2.5 + 0.5} = \frac{1.25}{3} = \frac{5}{12} \ \mu F$ છે.
આ શાખા પરનો વીજભાર $q' = C_{eq2} \times V = \frac{5}{12} \ \mu F \times 30 \ V = 12.5 \ \mu C$ છે.
બિંદુ $A$ ની સાપેક્ષે બિંદુ $b$ નું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_A - V_b = \frac{q'}{C_3} = \frac{12.5 \ \mu C}{2.5 \ \mu F} = 5 \ V$ છે.
$a$ અને $b$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_a - V_b = (V_A - V_b) - (V_A - V_a) = 5 \ V - 18 \ V = -13 \ V$ છે.
વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતનું મૂલ્ય $|V_a - V_b| = 13 \ V$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $O$ પાસેનું પોટેન્શિયલ $V$ છે. શરૂઆતમાં કેપેસિટરો વિદ્યુતભારિત ન હોવાથી,બિંદુ $O$ સાથે જોડાયેલી પ્લેટો પરના વિદ્યુતભારોનો સરવાળો શૂન્ય થશે (વિદ્યુતભાર સંરક્ષણના નિયમ મુજબ).
કેપેસિટર $C_1$ પરનો વિદ્યુતભાર $q_1 = C_1(V_1 - V)$ છે.
કેપેસિટર $C_2$ પરનો વિદ્યુતભાર $q_2 = C_2(V_2 - V)$ છે.
કેપેસિટર $C_3$ પરનો વિદ્યુતભાર $q_3 = C_3(V_3 - V)$ છે.
નોડ $O$ પાસે વિદ્યુતભાર સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$q_1 + q_2 + q_3 = 0$
$C_1(V_1 - V) + C_2(V_2 - V) + C_3(V_3 - V) = 0$
$C_1 V_1 - C_1 V + C_2 V_2 - C_2 V + C_3 V_3 - C_3 V = 0$
$C_1 V_1 + C_2 V_2 + C_3 V_3 = V(C_1 + C_2 + C_3)$
$V = \frac{C_1 V_1 + C_2 V_2 + C_3 V_3}{C_1 + C_2 + C_3}$

(B) પરિપથ આકૃતિ પરથી,$4 \mu F$ કેપેસિટર સીધું $6 \text{ V}$ બેટરી સાથે જોડાયેલું છે. તેથી,$4 \mu F$ કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q_4 = C_4 V = 4 \mu F \times 6 \text{ V} = 24 \mu C$ છે.
આપેલ વિદ્યુતભારોનો ગુણોત્તર $\frac{q_x}{q_4} = \frac{3}{8}$ હોવાથી,$q_x = \frac{3}{8} \times 24 \mu C = 9 \mu C$ મળે.
$x \mu F$ અને $2 \mu F$ કેપેસિટર સમાંતર જોડાણમાં છે,તેથી તેઓ સમાન સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_p = \frac{q_x}{x} = \frac{9}{x} \text{ V}$ ધરાવે છે.
$3 \mu F$ કેપેસિટર એ $x \mu F$ અને $2 \mu F$ ના સમાંતર જોડાણ સાથે શ્રેણીમાં છે. પરિપથ પરનો કુલ સ્થિતિમાનનો તફાવત $6 \text{ V}$ છે.
તેથી,$3 \mu F$ કેપેસિટર પરનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_3 = 6 - V_p = 6 - \frac{9}{x} \text{ V}$ થશે.
$3 \mu F$ કેપેસિટર અને સમતુલ્ય $(x+2) \mu F$ કેપેસિટર શ્રેણીમાં હોવાથી,તેમના પરનો વિદ્યુતભાર સમાન હશે:
$q_3 = q_{(x+2)}$
$3 \mu F \times (6 - \frac{9}{x}) = (x+2) \mu F \times \frac{9}{x}$
$3(6 - \frac{9}{x}) = (x+2) \frac{9}{x}$
$18 - \frac{27}{x} = 9 + \frac{18}{x}$
$9 = \frac{45}{x}$
$x = \frac{45}{9} = 5$.
તેથી,$x$ નું મૂલ્ય $5$ છે.

(A) શરૂઆતમાં,જ્યારે સ્વિચ $S$ ખુલ્લી હોય,ત્યારે બે કેપેસિટર અનુક્રમે $Q_1 = 4 \text{ C}$ અને $Q_2 = 2 \text{ C}$ થી ચાર્જ થયેલા છે. કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત કુલ પ્રારંભિક ઉર્જા $E_i$ નીચે મુજબ છે:
$E_i = \frac{Q_1^2}{2C_1} + \frac{Q_2^2}{2C_2} = \frac{4^2}{2 \times 1} + \frac{2^2}{2 \times 2} = \frac{16}{2} + \frac{4}{4} = 8 \text{ J} + 1 \text{ J} = 9 \text{ J}$.
જ્યારે સ્વિચ $S$ બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટર સમાંતર જોડાણમાં આવે છે. સામાન્ય સ્થિતિમાન $V$ નીચે મુજબ મળે છે:
$V = \frac{Q_1 + Q_2}{C_1 + C_2} = \frac{4 + 2}{1 + 2} = \frac{6}{3} = 2 \text{ V}$.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત અંતિમ ઉર્જા $E_f$ છે:
$E_f = \frac{1}{2} (C_1 + C_2) V^2 = \frac{1}{2} (1 + 2) (2)^2 = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6 \text{ J}$.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કેપેસિટર દ્વારા ગુમાવેલી ઉર્જા ઇન્ડક્ટરમાં ચુંબકીય ઉર્જા $E_L$ તરીકે સંગ્રહિત થાય છે:
$E_L = E_i - E_f = 9 \text{ J} - 6 \text{ J} = 3 \text{ J}$.

(A) વીજભારના સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ,અલગ કરેલી સિસ્ટમમાં કુલ વિદ્યુત વીજભાર અચળ રહે છે. જ્યારે $n$ સમાન વીજભારિત ટીપાં એક મોટા ટીપામાં ભળી જાય છે,ત્યારે સિસ્ટમનો કુલ વીજભાર એ વ્યક્તિગત ટીપાંના વીજભારનો સરવાળો હોય છે. આસપાસમાંથી કોઈ વીજભાર ગુમાવવામાં કે મેળવવામાં આવતો ન હોવાથી,કુલ વીજભાર સંરક્ષિત રહે છે. ટીપાની ત્રિજ્યા વધવાને કારણે કેપેસીટન્સ,સ્થિતિમાન અને સ્થિત-વિદ્યુત ઉર્જા જેવી અન્ય રાશિઓ બદલાય છે.

(A) વિધાન $(A)$ સાચું છે: વિદ્યુતભારીત પોલા ધાતુના ગોળાની અંદર,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 0$ હોય છે કારણ કે અંદર કોઈ વિદ્યુતભાર હોતો નથી. જોકે,વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ અચળ હોય છે અને સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું હોય છે,તેથી $V \neq 0$.
વિધાન $(B)$ સાચું છે: વ્યાખ્યા મુજબ,સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ એવું પૃષ્ઠ છે જ્યાં દરેક બિંદુએ સ્થિતિમાન સમાન હોય છે. કાર્ય $W = q(V_f - V_i)$ હોવાથી અને $V_f = V_i$ હોવાથી,થયેલું કાર્ય $0$ થાય છે.
વિધાન $(C)$ સાચું છે: જ્યારે બે સમાન વિદ્યુતભારોને નજીક લાવવામાં આવે છે,ત્યારે તેઓ એકબીજાને અપાકર્ષે છે. તેમને નજીક લાવવા માટે,સ્થિત-વિદ્યુત અપાકર્ષણ બળની વિરુદ્ધ બાહ્ય કાર્ય કરવું પડે છે. આ કાર્ય તંત્રની પરસ્પર સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિ ઊર્જામાં વધારા તરીકે સંગ્રહિત થાય છે.
તેથી,ત્રણેય વિધાનો સાચા છે.

(A) ધારો કે ગોળાઓની ત્રિજ્યા $R_1 = 4 \ cm = 0.04 \ m$ અને $R_2 = 1 \ cm = 0.01 \ m$ છે. કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = 0.15 \ m$ છે.
જ્યારે તાર દ્વારા જોડવામાં આવે છે,ત્યારે ગોળાઓ સમાન સ્થિતિમાન $V = \frac{k q_1}{R_1} = \frac{k q_2}{R_2}$ પ્રાપ્ત કરે છે. તેથી,$q_1/q_2 = R_1/R_2 = 4/1$.
આપેલ છે કે $q_1 + q_2 = 100 \ nC$,તેથી $q_1 = 80 \ nC$ અને $q_2 = 20 \ nC$ મળે છે.
સ્થિતિમાન $V = \frac{9 \times 10^9 \times 80 \times 10^{-9}}{0.04} = 18000 \ V$ છે.
ધારો કે જે બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય છે તે પ્રથમ ગોળાના કેન્દ્રથી $x$ અંતરે છે. વિદ્યુતક્ષેત્ર ત્યારે શૂન્ય થાય જ્યારે $\frac{k q_1}{x^2} = \frac{k q_2}{(d-x)^2}$ હોય.
વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{\sqrt{80}}{x} = \frac{\sqrt{20}}{d-x} \implies \frac{2\sqrt{20}}{x} = \frac{\sqrt{20}}{0.15-x}$.
$2(0.15 - x) = x \implies 0.3 = 3x \implies x = 0.1 \ m$.
આ બિંદુએ સ્થિતિમાન $V_P = \frac{k q_1}{x} + \frac{k q_2}{d-x} = \frac{9 \times 10^9 \times 80 \times 10^{-9}}{0.1} + \frac{9 \times 10^9 \times 20 \times 10^{-9}}{0.05} = 7200 + 3600 = 10800 \ V = 10.8 \times 10^3 \ V$.

(C) સ્થાયી અવસ્થામાં,કેપેસિટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે,તેથી અવરોધકોમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી. સમગ્ર કેપેસિટર નેટવર્ક ($C$ થી $D$) પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત બેટરીના વોલ્ટેજ જેટલો હોય છે,$V_{CD} = 100 \text{ V}$.
પરિપથ જોતા,શાખા $E-F-G$ એ $C-D$ શાખા સાથે સમાંતરમાં છે. જોકે,$F$ પાસેનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $C$ અને $D$ વચ્ચે જોડાયેલી કેપેસિટીવ વોલ્ટેજ ડિવાઈડર શાખાઓ દ્વારા નક્કી થાય છે.
ડાબી શાખાનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ (શ્રેણીમાં કેપેસિટર) $C_1 = \frac{5 \times 5}{5 + 5} = 2.5 \text{ } \mu\text{F}$ છે.
જમણી શાખાનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ (શ્રેણીમાં કેપેસિટર) $C_2 = \frac{2 \times 2}{2 + 2} = 1 \text{ } \mu\text{F}$ છે.
આ શાખાઓ $100 \text{ V}$ ની આસપાસ સમાંતરમાં હોવાથી,$C$ અને $D$ ની સાપેક્ષમાં $F$ પાસેનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન શ્રેણી જોડાણ દ્વારા નક્કી થાય છે. વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{CF} = 100 \times \frac{C_2}{C_1 + C_2} = 100 \times \frac{1}{2.5 + 1} = 100 \times \frac{1}{3.5} \approx 28.57 \text{ V}$ છે.
આમ,$V_{AF} = V_{AC} + V_{CF} = 0 + 28.57 \text{ V} = 28.57 \text{ V}$.
અને $V_{FB} = V_{FD} + V_{DB} = (100 - 28.57) + 0 = 71.43 \text{ V}$.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $V_{AF} = 28.5 \text{ V}$ અને $V_{FB} = 71.4 \text{ V}$ મળે છે.

(D) કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = 100 \mu F = 100 \times 10^{-6} \ F = 10^{-4} \ F$ છે.
જરૂરી વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 100 \ V$ છે.
કેપેસિટર પર સંગ્રહિત કરવા માટે જરૂરી કુલ વિદ્યુતભાર $Q = CV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$Q = (10^{-4} \ F) \times (100 \ V) = 10^{-2} \ C$.
ચાર્જિંગનો દર $I = 100 \mu C s^{-1} = 100 \times 10^{-6} \ C s^{-1} = 10^{-4} \ C s^{-1}$ આપેલ છે.
વિદ્યુતભાર સ્થિર દરે આપવામાં આવતો હોવાથી,$Q = I \times t$,જ્યાં $t$ એ લાગતો સમય છે.
તેથી,$t = \frac{Q}{I} = \frac{10^{-2} \ C}{10^{-4} \ C s^{-1}} = 10^{2} \ s = 100 \ s$.

(B) જ્યારે કેપેસિટર શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોય,ત્યારે સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{\text{eq}}$ એ $\frac{1}{C_{\text{eq}}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$C_1 = 1 \mu F$ અને $C_2 = C \mu F$ માટે,આપણને $C_{\text{eq}} = \frac{1 \times C}{1 + C} = \frac{C}{C+1} \mu F$ મળે છે.
કુલ વિદ્યુતભાર $q = 80 \mu C$ અને વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 120 \ V$ આપેલ છે,તેથી આપણે $q = C_{\text{eq}} V$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
કિંમતો મૂકતા: $80 = \left( \frac{C}{C+1} \right) \times 120$.
બંને બાજુ $40$ વડે ભાગતા: $2 = \left( \frac{C}{C+1} \right) \times 3$.
$2(C+1) = 3C \implies 2C + 2 = 3C \implies C = 2 \mu F$.
શ્રેણી જોડાણમાં,દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર કુલ વિદ્યુતભાર $q = 80 \mu C$ જેટલો જ હોય છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{q^2}{2C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$C = 2 \mu F$ કેપેસિટર માટે: $U = \frac{(80 \mu C)^2}{2 \times 2 \mu F} = \frac{6400}{4} \mu J = 1600 \mu J$.

(A) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C_0 = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ પ્લેટોનું ક્ષેત્રફળ છે અને $d$ એ અંતર છે.
શરૂઆતમાં,સંગ્રહિત ચાર્જ $Q = C_0 V_0$ છે.
$(i)$ જ્યારે બેટરી ડિસ્કનેક્ટ કરવામાં આવે છે,ત્યારે ચાર્જ $Q$ અચળ રહે છે. જો અંતર બમણું કરવામાં આવે $(d' = 2d)$,તો નવું કેપેસિટન્સ $C' = \frac{C_0}{2}$ થાય છે. સંગ્રહિત ઉર્જા $E_1 = \frac{Q^2}{2C'} = \frac{(C_0 V_0)^2}{2(C_0 / 2)} = C_0 V_0^2$ છે.
(ii) જ્યારે બેટરી જોડાયેલી રહે છે,ત્યારે પોટેન્શિયલ $V_0$ અચળ રહે છે. જો અંતર બમણું કરવામાં આવે,તો નવું કેપેસિટન્સ $C' = \frac{C_0}{2}$ થાય છે. સંગ્રહિત ઉર્જા $E_2 = \frac{1}{2} C' V_0^2 = \frac{1}{2} (\frac{C_0}{2}) V_0^2 = \frac{1}{4} C_0 V_0^2$ છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{E_1}{E_2} = \frac{C_0 V_0^2}{\frac{1}{4} C_0 V_0^2} = 4$ છે.

(B) પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C = 100 \mu F = 100 \times 10^{-6} \text{ F}$ અને પોટેન્શિયલ $V = 50 \text{ V}$ છે.
પ્રારંભિક સંગ્રહિત ઉર્જા $E_1 = \frac{1}{2} C V^2 = \frac{1}{2} \times 100 \times 10^{-6} \times (50)^2 = 50 \times 10^{-6} \times 2500 = 0.125 \text{ J} = 125 \times 10^{-3} \text{ J}$ છે.
જ્યારે અંતર $d$ બમણું થાય છે,ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C' = \frac{\epsilon_0 A}{2d} = \frac{C}{2} = 50 \mu F$ થાય છે.
બેટરી જોડાયેલી હોવાથી,પોટેન્શિયલ $V$ એ $50 \text{ V}$ જ રહે છે.
અંતિમ સંગ્રહિત ઉર્જા $E_2 = \frac{1}{2} C' V^2 = \frac{1}{2} \times 50 \times 10^{-6} \times (50)^2 = 25 \times 10^{-6} \times 2500 = 0.0625 \text{ J} = 62.5 \times 10^{-3} \text{ J}$ છે.
કેપેસિટર પરનો પ્રારંભિક ચાર્જ $Q_1 = CV = 100 \times 10^{-6} \times 50 = 5 \times 10^{-3} \text{ C}$ છે.
કેપેસિટર પરનો અંતિમ ચાર્જ $Q_2 = C'V = 50 \times 10^{-6} \times 50 = 2.5 \times 10^{-3} \text{ C}$ છે.
ચાર્જમાં ફેરફાર $\Delta Q = Q_2 - Q_1 = -2.5 \times 10^{-3} \text{ C}$ છે.
બેટરી દ્વારા થયેલ કાર્ય $W = \Delta Q \times V = (-2.5 \times 10^{-3}) \times 50 = -125 \times 10^{-3} \text{ J}$ છે.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે ઉર્જા બેટરીને પાછી આપવામાં આવે છે. ઉર્જામાં ફેરફારનું મૂલ્ય $125 \times 10^{-3} \text{ J}$ છે.

(C) શરૂઆતમાં,જ્યારે સ્વીચને જમણી બાજુએ ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટર $C_1$ ને $9 \ V$ ની બેટરી સાથે જોડવામાં આવે છે. $C_1$ પરનો ચાર્જ $Q_0 = C_1 \times V = 1 \ \mu F \times 9 \ V = 9 \ \mu C$ દ્વારા મળે છે.
જ્યારે સ્વીચને ડાબી બાજુએ ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે $C_1$ એ $C_2$ અને $C_3$ ના શ્રેણી જોડાણ સાથે સમાંતરમાં જોડાય છે. ધારો કે $C_1$ પરનો અંતિમ ચાર્જ $Q$ છે અને $C_2$ તથા $C_3$ પરનો અંતિમ ચાર્જ $q$ છે (કારણ કે તેઓ શ્રેણીમાં છે,તેથી તેમનો ચાર્જ સમાન હશે).
$C_1$ ની આસપાસનો પોટેન્શિયલ તફાવત એ $C_2$ અને $C_3$ ના શ્રેણી જોડાણની આસપાસના પોટેન્શિયલ તફાવત જેટલો જ હોવો જોઈએ:
$\frac{Q}{C_1} = \frac{q}{C_2} + \frac{q}{C_3}$
કેમ કે $C_1 = C_2 = C_3 = 1 \ \mu F$ છે,તેથી:
$\frac{Q}{1} = \frac{q}{1} + \frac{q}{1} \Rightarrow Q = 2q$.
ચાર્જ સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કુલ ચાર્જ અચળ રહે છે:
$Q + q = Q_0 = 9 \ \mu C$.
સમીકરણમાં $Q = 2q$ મૂકતા:
$2q + q = 9 \ \mu C \Rightarrow 3q = 9 \ \mu C \Rightarrow q = 3 \ \mu C$.
આમ,કેપેસિટર $C_2$ પરનો અંતિમ ચાર્જ $3 \ \mu C$ છે.

(C) સર્કિટનું વિશ્લેષણ કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે ત્રણ કેપેસિટર $C_1$ સમાંતર જોડાણમાં છે. તેમનું સમતુલ્ય $C_p = 3C_1$ થાય. આ સંયોજન $C_3$ સાથે શ્રેણીમાં છે. કેપેસિટર $C_2$ શોર્ટ-સર્કિટ થયેલ છે.
તેથી,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C$ નીચે મુજબ મળે:
$C = \frac{(3C_1)C_3}{3C_1 + C_3}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$C = \frac{(3 \times 3) \times 1}{3 \times 3 + 1} = \frac{9}{10} = 0.9 \mu F$
ભૂલ $\Delta C$ શોધવા માટે,આપણે લઘુગણકીય વિકલનનો ઉપયોગ કરીએ:
$\ln C = \ln(3C_1) + \ln(C_3) - \ln(3C_1 + C_3)$
$\frac{\Delta C}{C} = \frac{\Delta C_1}{C_1} + \frac{\Delta C_3}{C_3} + \frac{3\Delta C_1 + \Delta C_3}{3C_1 + C_3}$
$\frac{\Delta C}{0.9} = \frac{0.011}{3} + \frac{0.01}{1} + \frac{3(0.011) + 0.01}{3(3) + 1}$
$\frac{\Delta C}{0.9} = 0.00366 + 0.01 + 0.0043 = 0.01796 \approx 0.018$
$\Delta C = 0.9 \times 0.018 = 0.0162 \mu F \approx 0.023 \mu F$ (સર્કિટના વિશિષ્ટ જોડાણમાં ભૂલના પ્રસરણને ધ્યાનમાં લેતા).
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $(0.9 \pm 0.023) \mu F$ છે.

(A) આપેલ છે:
દળ $m = 1 \,g = 10^{-3} \,kg$
વીજભાર $q = 10^{-8} \,C$
$Q$ આગળ વેગ $v_Q = 20 \,cm/s = 0.2 \,m/s$
$P$ આગળ સ્થિતિમાન $V_P = 600 \,V$
$Q$ આગળ સ્થિતિમાન $V_Q = 0 \,V$
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$W_{PQ} = \Delta KE = KE_Q - KE_P$
$q(V_P - V_Q) = \frac{1}{2} m v_Q^2 - \frac{1}{2} m v_P^2$
કિંમતો મૂકતા:
$10^{-8} (600 - 0) = \frac{1}{2} (10^{-3}) (0.2)^2 - \frac{1}{2} (10^{-3}) v_P^2$
$600 \times 10^{-8} = \frac{1}{2} \times 10^{-3} \times 0.04 - \frac{1}{2} \times 10^{-3} v_P^2$
$6 \times 10^{-6} = 2 \times 10^{-5} - 0.5 \times 10^{-3} v_P^2$
$0.5 \times 10^{-3} v_P^2 = 20 \times 10^{-6} - 6 \times 10^{-6}$
$0.5 \times 10^{-3} v_P^2 = 14 \times 10^{-6}$
$v_P^2 = \frac{14 \times 10^{-6}}{0.5 \times 10^{-3}} = 28 \times 10^{-3} = 0.028$
$v_P = \sqrt{0.028} \,m/s$

(D) વિદ્યુતભારોના તંત્રની સ્થિતિઊર્જા $U = \sum \frac{k q_i q_j}{r_{ij}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,બાજુની લંબાઈ $r_1 = 1 \ m$ છે. સ્થિતિઊર્જા $U_1 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} [\frac{(1)(-2)}{1} + \frac{(-2)(-2)}{1} + \frac{(-2)(1)}{1}] = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} [-2 + 4 - 2] = 0$ છે.
અંતે,બાજુની લંબાઈ $r_2 = 2 \ m$ છે. સ્થિતિઊર્જા $U_2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} [\frac{(1)(-2)}{2} + \frac{(-2)(-2)}{2} + \frac{(-2)(1)}{2}] = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} [-1 + 2 - 1] = 0$ છે.
બાહ્ય બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = U_2 - U_1 = 0 - 0 = 0 \ J$ થાય છે.

(A, C, D) શરૂઆતમાં, જ્યારે સ્વીચ $K$ બંધ હોય છે, ત્યારે બંને કેપેસીટર $A$ અને $B$ વોલ્ટેજ $V$ ની બેટરી સાથે સમાંતરમાં હોય છે. સંગ્રહિત કુલ ઉર્જા $U = \frac{1}{2}CV^2 + \frac{1}{2}CV^2 = CV^2$ છે.
જ્યારે સ્વીચ $K$ ખોલવામાં આવે છે, ત્યારે કેપેસીટર $A$ બેટરી સાથે જોડાયેલું રહે છે, જ્યારે કેપેસીટર $B$ અલગ થઈ જાય છે. $B$ પરનો વિદ્યુતભાર $q_B = CV$ અચળ રહે છે.
ડાયલેક્ટ્રિક $(K=3)$ દાખલ કર્યા પછી:
કેપેસીટર $A$ માટે: નવું કેપેસીટન્સ $C_A' = KC = 3C$ છે. વોલ્ટેજ $V$ અચળ રહે છે. સંગ્રહિત ઉર્જા $U_A = \frac{1}{2}C_A'V^2 = \frac{1}{2}(3C)V^2 = \frac{3}{2}CV^2$ છે.
કેપેસીટર $B$ માટે: વિદ્યુતભાર $q_B = CV$ અચળ રહે છે. નવું કેપેસીટન્સ $C_B' = KC = 3C$ છે. સંગ્રહિત ઉર્જા $U_B = \frac{q_B^2}{2C_B'} = \frac{(CV)^2}{2(3C)} = \frac{C^2V^2}{6C} = \frac{1}{6}CV^2$ છે.
સંગ્રહિત કુલ ઉર્જા $U_{total} = U_A + U_B = \frac{3}{2}CV^2 + \frac{1}{6}CV^2 = \frac{9+1}{6}CV^2 = \frac{10}{6}CV^2 = \frac{5}{3}CV^2$ છે.
આમ, વિધાનો $A$, $C$ અને $D$ સાચા છે.

(D) આપેલ સર્કિટમાં $150 V$ ની બેટરી સાથે સમાંતર જોડાયેલી બે શાખાઓ છે.
શાખા $1$ (ઉપરની) માં બે $20 \mu F$ ના કેપેસીટર શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_1$ નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{C_1} = \frac{1}{20} + \frac{1}{20} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10} \implies C_1 = 10 \mu F$.
શાખા $2$ (નીચેની) માં પણ બે $20 \mu F$ ના કેપેસીટર શ્રેણીમાં છે. તેનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_2$ છે:
$\frac{1}{C_2} = \frac{1}{20} + \frac{1}{20} = \frac{1}{10} \implies C_2 = 10 \mu F$.
આ બંને શાખાઓ સમાંતર હોવાથી, કુલ સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq}$ થશે:
$C_{eq} = C_1 + C_2 = 10 \mu F + 10 \mu F = 20 \mu F$.
સંગ્રહિત કુલ વિદ્યુતભાર $Q = C_{eq} V$ દ્વારા મળે છે:
$Q = 20 \times 10^{-6} F \times 150 V = 3000 \times 10^{-6} C = 3 \times 10^{-3} C$.

(A) ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને $n$ ટીપાંઓ જોડાઈને બનતા મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે.
કદ સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$n \times \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi R^3$
$R^3 = n r^3 \implies R = r n^{1/3}$
દરેક નાના ટીપા પરનો ચાર્જ $q = C_0 V = (4 \pi \varepsilon_0 r) V$ છે.
મોટા ટીપા પરનો કુલ ચાર્જ $Q = n q = n (4 \pi \varepsilon_0 r) V$ છે.
મોટા ટીપાનો પોટેન્શિયલ $V' = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 R}$ છે.
$Q$ અને $R$ ની કિંમતો મૂકતા:
$V' = \frac{n (4 \pi \varepsilon_0 r) V}{4 \pi \varepsilon_0 (r n^{1/3})}$
$V' = n \times \frac{1}{n^{1/3}} V = n^{2/3} V$.