MHT CET 2026 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) જ્યારે સમાન આવૃત્તિ અને વેગ ધરાવતા બે તરંગો વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે, ત્યારે તેઓ સ્થિત તરંગો (standing waves) બનાવે છે.
તરંગ માટે, વેગ $(v)$, આવૃત્તિ $(n)$ અને તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ વચ્ચેનો સંબંધ $v = n \lambda$ છે.
અહીં $v = 18\text{ m/s}$ આપેલ છે, તેથી $18 = n \lambda$, જેનો અર્થ છે કે $\lambda = 18/n$.
સ્થિત તરંગમાં, બે ક્રમિક પ્રતિપ્રસ્પંદ બિંદુઓ (antinodes) વચ્ચેનું અંતર તરંગલંબાઈના અડધા $(\lambda/2)$ જેટલું હોય છે.
તેથી, બે ક્રમિક પ્રતિપ્રસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $= \lambda/2 = (18/n) / 2 = 9/n\text{ m}$ થાય.

(D) સ્થિર તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \cos(kx) \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 12 \cos \left( \frac{\pi x}{10} \right) \sin(36\pi t)$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા, આપણને તરંગ સંખ્યા $k = \frac{\pi}{10} \text{ rad/cm}$ મળે છે.
તરંગ સંખ્યા $k$ એ તરંગલંબાઈ $\lambda$ સાથે $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
$k$ ની કિંમત મૂકતા, $\frac{\pi}{10} = \frac{2\pi}{\lambda}$, જે આપણને $\lambda = 20 \text{ cm}$ આપે છે.
સ્થિર તરંગમાં નિસ્પંદ બિંદુ અને ક્રમિક પ્રસ્પંદ બિંદુ વચ્ચેનું અંતર $\frac{\lambda}{4}$ જેટલું હોય છે.
તેથી, જરૂરી અંતર $\frac{20 \text{ cm}}{4} = 5 \text{ cm}$ છે.

(B) બે વ્યતિકરણ પામતા તરંગો જેમના કંપવિસ્તાર $A_1$ અને $A_2$ છે અને કળા તફાવત $\phi$ છે, તેમનો પરિણામી કંપવિસ્તાર $R = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos \phi}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં $A_1 = A_2 = A$ આપેલ છે.
પથ તફાવત $\Delta x = \frac{\lambda}{4}$ છે.
કળા તફાવત $\phi$ અને પથ તફાવત વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$.
હવે, પરિણામી કંપવિસ્તાર $R$ ની ગણતરી કરીએ:
$R = \sqrt{A^2 + A^2 + 2A^2 \cos(\frac{\pi}{2})}$
કારણ કે $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, તેથી:
$R = \sqrt{A^2 + A^2 + 0} = \sqrt{2A^2} = \sqrt{2}A$.

(C) પ્રગામી તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $Y = A \sin \left( \omega t - kx + \phi \right)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $Y = 3 \sin \left[ \pi \left( \frac{t}{3} - \frac{x}{5} \right) + \frac{\pi}{4} \right]$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા:
$Y = 3 \sin \left( \frac{\pi t}{3} - \frac{\pi x}{5} + \frac{\pi}{4} \right)$.
અહીં, કંપવિસ્તાર $A = 3 \text{ m} = 300 \text{ cm}$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{\pi}{3} \text{ rad/s}$.
તરંગ સંખ્યા $k = \frac{\pi}{5} \text{ m}^{-1}$.
$1$. આવૃત્તિ $f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{\pi/3}{2\pi} = \frac{1}{6} \text{ Hz} \approx 0.167 \text{ Hz}$.
$2$. તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{\pi/5} = 10 \text{ m}$.
$3$. વેગ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{\pi/3}{\pi/5} = \frac{5}{3} \approx 1.67 \text{ m/s}$.
આ પરિણામોને વિકલ્પો સાથે સરખાવતા, વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(C) ધ્વનિ તરંગની ઊર્જા $E$ એ તેના કંપવિસ્તાર $A$ ના વર્ગ અને આવૃત્તિ $n$ ના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે. ગાણિતિક રીતે, $E \propto A^2 n^2$.
$P$ અને $Q$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા તરંગોની ઊર્જા સમાન હોવાથી, $E_P = E_Q$ થાય.
તેથી, $A_P^2 n_P^2 = A_Q^2 n_Q^2$.
અહીં $A_P = A$, $n_P = n$, અને $n_Q = n/4$ આપેલ છે, આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$A^2 n^2 = A_Q^2 (n/4)^2$.
$A^2 n^2 = A_Q^2 (n^2 / 16)$.
$A^2 = A_Q^2 / 16$.
$A_Q^2 = 16 A^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા, આપણને $A_Q = 4A$ મળે છે.

(C) તરંગનો વેગ $v = 10 \text{ m/s}$ આપેલ છે.
બે ક્રમિક શૃંગો વચ્ચેનું અંતર એ તરંગલંબાઈ છે, $\lambda = 40 \text{ m}$.
હોડી સાથે અથડાતા બે ક્રમિક તરંગો વચ્ચેનો સમયગાળો એ તરંગના આવર્તકાળ $(T)$ જેટલો હોય છે.
વેગ, તરંગલંબાઈ અને આવર્તકાળ વચ્ચેનો સંબંધ $v = \frac{\lambda}{T}$ છે.
$T$ માટે સૂત્ર બનાવતા, $T = \frac{\lambda}{v}$ મળે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $T = \frac{40 \text{ m}}{10 \text{ m/s}} = 4 \text{ s}$.
તેથી, ક્રમિક તરંગો $4 \text{ s}$ પછી હોડી સાથે અથડાશે.

(D) આપેલ સમીકરણો $y_1 = a \sin(\omega t + kx + 0.57)$ અને $y_2 = a \cos(\omega t + kx)$ છે.
કળા તફાવત શોધવા માટે, આપણે બંને તરંગોને સમાન ત્રિકોણમિતીય વિધેય (sine) માં દર્શાવવા જોઈએ.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(\theta) = \sin(\theta + \pi/2)$.
તેથી, $y_2 = a \sin(\omega t + kx + \pi/2)$.
આપેલ છે કે $\pi = 3.14$, તેથી $\pi/2 = 3.14 / 2 = 1.57 \text{ radian}$.
આમ, $y_2 = a \sin(\omega t + kx + 1.57)$.
$y_1$ ની કળા $\phi_1 = \omega t + kx + 0.57$ છે અને $y_2$ ની કળા $\phi_2 = \omega t + kx + 1.57$ છે.
કળા તફાવત $\Delta\phi = |\phi_2 - \phi_1| = |1.57 - 0.57| = 1.0 \text{ radian}$ થાય.

(B) તરંગનું આપેલ સમીકરણ $y = A \sin(120\pi t + 3x)$ છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y = A \sin(\omega t + kx)$ સાથે સરખાવતા, આપણને તરંગ સદિશ (wave number) $k = 3 \text{ rad/m}$ મળે છે.
કળા તફાવત $(\Delta \phi)$ અને પથ તફાવત $(\Delta x)$ વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta \phi = k \cdot \Delta x$ છે.
અહીં $\Delta \phi = \frac{\pi}{3} \text{ radian}$ અને $k = 3 \text{ rad/m}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\pi}{3} = 3 \cdot \Delta x$.
તેથી, $\Delta x = \frac{\pi}{3 \times 3} = \frac{\pi}{9} \text{ m}$.

(C) કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ એ $\omega = 2\pi f$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $f = 50\text{ Hz}$ છે.
$\omega = 2 \times \pi \times 50 = 100\pi\text{ rad/s}$.
સમયગાળા $\Delta t$ માટે કળામાં થતો ફેરફાર $\Delta\phi$ એ $\Delta\phi = \omega \Delta t$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં $\Delta t = 0.01\text{ s}$ આપેલ છે.
$\Delta\phi = 100\pi \times 0.01 = \pi\text{ rad}$.
આમ, કળામાં થતો ફેરફાર $\pi\text{ rad}$ છે.

(A) આપેલ છે:
તરંગોની સંખ્યા $(n)$ = $54$
સમય $(t)$ = $1 \text{ મિનિટ} = 60 \text{ સેકન્ડ}$
તરંગલંબાઇ $(\lambda)$ = $5 \text{ m}$
પગલું $1$: તરંગોની આવૃત્તિ $(f)$ શોધો.
આવૃત્તિ એટલે પ્રતિ સેકન્ડ તરંગોની સંખ્યા.
$f = \frac{n}{t} = \frac{54}{60} \text{ Hz} = 0.9 \text{ Hz}$
પગલું $2$: તરંગોનો વેગ $(v)$ શોધો.
વેગ, આવૃત્તિ અને તરંગલંબાઇ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$v = f \times \lambda$
$v = 0.9 \text{ Hz} \times 5 \text{ m} = 4.5 \text{ m/s}$
આમ, તરંગોનો વેગ $4.5 \text{ m/s}$ છે.

(D) જ્યારે તરંગ એક માધ્યમમાંથી બીજા માધ્યમમાં જાય છે ત્યારે તેની આવૃત્તિ અચળ રહે છે.
ધારો કે આવૃત્તિ $f$ છે.
વેગ $(v)$, આવૃત્તિ $(f)$ અને તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ વચ્ચેનો સંબંધ $v = f \lambda$ છે.
માધ્યમ $P$ માટે: $\lambda_P = 150 \text{ mm} = 0.15 \text{ m}$ અને $v_P = 80 \text{ cm s}^{-1} = 0.8 \text{ m s}^{-1}$.
આવૃત્તિ $f = \frac{v_P}{\lambda_P} = \frac{0.8}{0.15} = \frac{80}{15} = \frac{16}{3} \text{ Hz}$.
માધ્યમ $Q$ માટે: $\lambda_Q = 0.30 \text{ m}$.
માધ્યમ $Q$ માં વેગ $v_Q = f \lambda_Q$ છે.
$v_Q = \left( \frac{16}{3} \right) \times 0.30 = \frac{16}{3} \times \frac{30}{100} = 16 \times 0.1 = 1.6 \text{ m s}^{-1}$.

(C) આપેલ તરંગનું સમીકરણ $y = 6 \cos(100t - 4x)$ છે.
આને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y = A \cos(\omega t - kx)$ સાથે સરખાવતા, આપણને મળે છે:
કંપવિસ્તાર $A = 6 \mu\text{m} = 6 \times 10^{-6} \text{ m}$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 100 \text{ rad/s}$.
તરંગ સંખ્યા $k = 4 \text{ m}^{-1}$.
કણનો મહત્તમ વેગ $v_p = A\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$v_p = (6 \times 10^{-6} \text{ m}) \times (100 \text{ rad/s}) = 6 \times 10^{-4} \text{ m/s}$.
તરંગનો વેગ $v = \frac{\omega}{k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$v = \frac{100}{4} = 25 \text{ m/s}$.
કણના મહત્તમ વેગ અને તરંગના વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_p}{v} = \frac{6 \times 10^{-4}}{25}$ થાય.
$\frac{v_p}{v} = 0.24 \times 10^{-4} = 2.4 \times 10^{-5}$.

(C) પ્રથમ, બંને તરંગોને સમાન ત્રિકોણમિતીય વિધેય (sin) માં દર્શાવો.
$y_1 = a_1 \sin \left( \omega t - \frac{2\pi x}{\lambda} \right)$
$y_2 = a_2 \cos \left( \omega t - \frac{2\pi x}{\lambda} + \frac{\pi}{6} \right) = a_2 \sin \left( \omega t - \frac{2\pi x}{\lambda} + \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} \right)$
$y_2 = a_2 \sin \left( \omega t - \frac{2\pi x}{\lambda} + \frac{2\pi}{3} \right)$
બંને તરંગો વચ્ચેનો કળા તફાવત $\phi$ એ તેમના ખૂણાઓનો તફાવત છે:
$\phi = \left( \omega t - \frac{2\pi x}{\lambda} + \frac{2\pi}{3} \right) - \left( \omega t - \frac{2\pi x}{\lambda} \right) = \frac{2\pi}{3}$
પથ તફાવત $\Delta x$ અને કળા તફાવત $\phi$ વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2\pi}{3} = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$
$\Delta x = \frac{\lambda}{3}$

(C) એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં, આસપાસના વાતાવરણ સાથે ઉષ્માની કોઈ આપ-લે થતી નથી, એટલે કે $dQ = 0$.
થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ, $dQ = dU + dW$.
અહીં $dQ = 0$ હોવાથી, આપણને $dU = -dW$ મળે છે.
જ્યારે સિસ્ટમને સંકોચવામાં આવે છે, ત્યારે સિસ્ટમ પર કાર્ય થાય છે, તેથી $dW < 0$ થાય છે.
તેથી, $dU = -dW > 0$, જેનો અર્થ છે કે સિસ્ટમની આંતરિક ઉર્જા વધે છે.
આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા તેના તાપમાનના સીધા પ્રમાણમાં હોવાથી $(U \propto T)$, આંતરિક ઉર્જામાં વધારો થવાથી સિસ્ટમનું તાપમાન વધે છે.

(B) સમકદ (isochoric) પ્રક્રિયા એ એવી થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયા છે જેમાં તંત્રનું કદ અચળ રહે છે $(V = {\text{અચળ}})$.
દબાણ-કદ $(P-V)$ આલેખમાં, અચળ કદની પ્રક્રિયાને ઉભી રેખા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે, કારણ કે દબાણમાં કોઈપણ ફેરફાર માટે, $x$-અક્ષ પરનું કદનું મૂલ્ય સમાન રહે છે.
આપેલા વિકલ્પો જોતા:
વિકલ્પ $A$ એવી પ્રક્રિયા દર્શાવે છે જ્યાં $P \propto V$ હોય.
વિકલ્પ $B$ એક ઉભી રેખા દર્શાવે છે જ્યાં $V$ અચળ છે, જે સમકદ પ્રક્રિયાને અનુરૂપ છે.
વિકલ્પ $C$ આદર્શ વાયુ માટે સમતાપી પ્રક્રિયા $(PV = {\text{અચળ}})$ દર્શાવે છે.
વિકલ્પ $D$ સમદાબી પ્રક્રિયા દર્શાવે છે જ્યાં દબાણ અચળ રહે છે $(P = {\text{અચળ}})$.
તેથી, સમકદ પ્રક્રિયા માટેનો સાચો આલેખ વિકલ્પ $B$ માં દર્શાવેલ છે.

(B) મુક્ત વિસ્તરણ એ એક અપ્રતિવર્તી પ્રક્રિયા છે જેમાં વાયુ શૂન્યાવકાશમાં વિસ્તરણ પામે છે.
$1$. વાયુ શૂન્યાવકાશમાં વિસ્તરણ પામતું હોવાથી, બાહ્ય દબાણ $P_{ext} = 0$ હોય છે, તેથી થયેલ કાર્ય $W = \int P_{ext} dV = 0$ થાય છે.
$2$. આ પ્રક્રિયા એડિબેટિક છે કારણ કે તે અલગ કરેલા તંત્રમાં થાય છે જ્યાં ઉષ્માની કોઈ આપ-લે થતી નથી $(Q = 0)$.
$3$. થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ, $\Delta U = Q - W$. અહીં $Q = 0$ અને $W = 0$ હોવાથી, આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = 0$ થાય છે.
$4$. આ પ્રક્રિયા ખૂબ ઝડપી અને અપ્રતિવર્તી હોવાથી, તંત્ર સંતુલિત અવસ્થાઓની શ્રેણીમાંથી પસાર થતું નથી. તેથી, તેને $p-V$ આલેખ પર સતત પથ તરીકે દર્શાવી શકાતું નથી.
આમ, મુક્ત વિસ્તરણને $p-V$ આલેખ પર દર્શાવી શકાય છે તે વિધાન ખોટું છે.

(C) સમતાપી પ્રક્રિયા માટે, તાપમાન અચળ રહે છે। બોઈલના નિયમ મુજબ, $PV = \text{અચળ}$.
પ્રારંભિક અવસ્થા: $(P, V)$.
અંતિમ અવસ્થા: $(P_i, 2V)$.
તેથી, $PV = P_i(2V) \implies P_i = P/2$.
એડિબેટિક (નિરુદ્ધોષ્મ) પ્રક્રિયા માટે, $PV^\gamma = \text{અચળ}$.
પ્રારંભિક અવસ્થા: $(P, V)$.
અંતિમ અવસ્થા: $(P_a, 2V)$.
તેથી, $PV^\gamma = P_a(2V)^\gamma \implies P_a = P(V/2V)^\gamma = P(1/2)^\gamma = P/2^\gamma$.
હવે, $P_i/P_a$ ગુણોત્તર:
$P_i/P_a = (P/2) / (P/2^\gamma) = 2^\gamma / 2 = 2^{\gamma-1}$.

(C) ચક્રીય પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય $P-V$ લૂપ દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં (clockwise) ચક્ર માટે, થયેલ કાર્ય ધન હોય છે, અને ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં (counter-clockwise) ચક્ર માટે, થયેલ કાર્ય ઋણ હોય છે.
આપેલ આકૃતિમાં, $ABCDA$ ચક્ર ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં છે.
લંબચોરસ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= {\text{લંબાઈ}} \times {\text{પહોળાઈ}} = (3V_0 - V_0) \times (2P_0 - P_0) = 2V_0 \times P_0 = 2P_0V_0$.
ચક્ર ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી, થયેલ કાર્ય $W = -({\text{ક્ષેત્રફળ}}) = -2P_0V_0$ થશે.

(D) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રીય પ્રક્રિયા દરમિયાન વાયુ દ્વારા થતું કાર્ય $W = \int P \, dV$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $P$ એ દબાણ છે અને $dV$ એ કદમાં થતો ફેરફાર છે.
વાયુ દ્વારા અથવા વાયુ પર કોઈ કાર્ય ન થાય તે માટે, $W = 0$ શરત સંતોષાવી જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $\int P \, dV = 0$, જે ત્યારે થાય છે જ્યારે કદમાં થતો ફેરફાર $dV = 0$ હોય, એટલે કે કદ અચળ રહે છે.
જે પ્રક્રિયામાં તંત્રનું કદ અચળ રહે છે તેને સમકદ પ્રક્રિયા (isochoric process) કહેવામાં આવે છે.
તેથી, સમકદ પ્રક્રિયામાં વાયુ દ્વારા અથવા વાયુ પર કોઈ કાર્ય થતું નથી.

(A) એડિયાબેટિક (સમઉષ્મીય) પ્રક્રિયા માટે, તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે, પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 273 \ K$ (સામાન્ય તાપમાન).
અંતિમ કદ $V_2 = V_1 / 4$.
આપેલ છે $\gamma = 1.5$, તેથી $\gamma - 1 = 0.5$.
કિંમતો મૂકતા: $273 \times V_1^{0.5} = T_2 \times (V_1 / 4)^{0.5}$.
$T_2 = 273 \times (V_1 / (V_1 / 4))^{0.5} = 273 \times (4)^{0.5} = 273 \times 2 = 546 \ K$.
તાપમાનમાં થતો વધારો $\Delta T = T_2 - T_1 = 546 - 273 = 273 \ K$ થાય.

(C) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે, તાપમાન $(T)$ અને કદ $(V)$ વચ્ચેનો સંબંધ $TV^{\gamma-1} = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણ $TV^x = \text{constant}$ સાથે સરખાવતા, આપણે $V$ ના ઘાતાંકની સરખામણી કરી શકીએ છીએ.
તેથી, $x = \gamma - 1$.
આપેલ છે કે દ્રઢ દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે, $\gamma = 7/5 = 1.4$.
$\gamma$ નું મૂલ્ય સમીકરણમાં મૂકતા:
$x = 1.4 - 1 = 0.4$.
આમ, $x$ નું મૂલ્ય $0.4$ છે.

(C) સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે, તાપમાન $(T)$ અને કદ $(V)$ વચ્ચેનો સંબંધ $T V^{\gamma - 1} = \text{અચળ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી, $T_i V_i^{\gamma - 1} = T_f V_f^{\gamma - 1}$.
અહીં $\gamma = 7/5$ આપેલ છે, તેથી $\gamma - 1 = 7/5 - 1 = 2/5$.
અંતિમ કદ $V_f = V_i/32$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $T_i V_i^{2/5} = (x T_i) (V_i/32)^{2/5}$.
બંને બાજુ $T_i V_i^{2/5}$ વડે ભાગતા: $1 = x (1/32)^{2/5}$.
$1 = x (1/(2^5))^{2/5}$.
$1 = x (1/2^2) = x (1/4)$.
તેથી, $x = 4$.

(C) સમતાપી વિસ્તરણ માટે, પ્રક્રિયા $PV = \text{અચળ}$ ને અનુસરે છે.
આપેલ પ્રારંભિક અવસ્થા $(P, V)$ છે અને અંતિમ અવસ્થા $(P_I, 3V)$ છે.
તેથી, $P \cdot V = P_I \cdot (3V) \implies P_I = P/3$.
સમોષ્મી વિસ્તરણ માટે, પ્રક્રિયા $PV^\gamma = \text{અચળ}$ ને અનુસરે છે.
આપેલ પ્રારંભિક અવસ્થા $(P, V)$ છે અને અંતિમ અવસ્થા $(P_A, 3V)$ છે.
તેથી, $P \cdot V^\gamma = P_A \cdot (3V)^\gamma \implies P_A = P \cdot (V/3V)^\gamma = P \cdot (1/3)^\gamma = P \cdot 3^{-\gamma}$.
હવે, ગુણોત્તર $P_A/P_I = (P \cdot 3^{-\gamma}) / (P/3) = 3^{-\gamma} / 3^{-1} = 3^{1-\gamma}$.

(D) દોરીની રેખીય દળ ઘનતા $\mu = \frac{m}{L} = \frac{10^{-3} \text{ kg}}{0.5 \text{ m}} = 2 \times 10^{-3} \text{ kg/m}$ છે.
તરંગનો વેગ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \sqrt{\frac{0.8}{2 \times 10^{-3}}} = \sqrt{400} = 20 \text{ m/s}$ છે.
પલ્સને દોરીની લંબાઈ કાપવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{L}{v} = \frac{0.5 \text{ m}}{20 \text{ m/s}} = 0.025 \text{ s}$ છે.
ક્રમિક પલ્સ વચ્ચે રચનાત્મક વ્યતિકરણ થવા માટે, પ્રથમ પલ્સ બીજા પલ્સના નિર્માણ પહેલાં નિશ્ચિત છેડેથી પરાવર્તિત થઈને શરૂઆતના બિંદુએ પાછો આવવો જોઈએ.
તેથી, સમયનો લઘુત્તમ અંતરાલ $\Delta t = 2t = 2 \times 0.025 \text{ s} = 0.05 \text{ s}$ છે.

(C) પ્રગામી તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y(x,t) = A \sin(kx - \omega t)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y(x,t) = 0.05 \sin(8x - 4t)$ ને પ્રમાણિત સમીકરણ સાથે સરખાવતા, આપણને મળે છે:
તરંગ સંખ્યા $k = 8 \text{ rad/m}$
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 4 \text{ rad/s}$
તરંગનો વેગ $v$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $v = \frac{\omega}{k}$ છે.
કિંમતો મૂકતા, $v = \frac{4}{8} = 0.5 \text{ m/s}$ મળે છે.

(D) કળા તફાવત $\Delta \phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta \phi = (2\pi / \lambda) \Delta x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં કળા તફાવત $\Delta \phi = 60^{\circ} = \pi/3$ રેડિયન અને પથ તફાવત $\Delta x = x$ મીટર આપેલ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $\pi/3 = (2\pi / \lambda) x$.
તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટે ઉકેલતા: $\lambda = (2\pi / \pi) \times 3x = 6x$.
તરંગનો વેગ $v = n\lambda$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$\lambda$ ની કિંમત મૂકતા: $v = n(6x) = 6nx$ મીટર/સેકન્ડ.

(C) જ્યારે તરંગ એક માધ્યમમાંથી બીજા માધ્યમમાં જાય ત્યારે તેની આવૃત્તિ $f$ અચળ રહે છે.
સંબંધ $\lambda = v/f$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં $v$ એ ઝડપ છે અને $f$ એ આવૃત્તિ છે:
ગરમ હવા માટે: $\lambda_1 = v_1 / f = 350 / 700 = 0.5 \text{ m}$.
પિત્તળ માટે: $\lambda_2 = v_2 / f = 3500 / 700 = 5 \text{ m}$.
તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર $\lambda_2 / \lambda_1 = 5 / 0.5 = 10$ છે.
તેથી, તરંગલંબાઈ $10$ ના ગુણાંકમાં વધે છે.

(D) પ્રગામી તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $Y = A \sin(\omega t - kx + \phi)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $Y = 6 \sin (12\pi t - 0.02\pi x + \pi/3)$ ને પ્રમાણિત સમીકરણ સાથે સરખાવતા, આપણને મળે છે:
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 12\pi \text{ rad/s}$
તરંગ સંખ્યા $k = 0.02\pi \text{ rad/m}$
તરંગનો વેગ $v$ શોધવાનું સૂત્ર $v = \omega / k$ છે.
કિંમતો મૂકતા, $v = (12\pi) / (0.02\pi) = 12 / 0.02 = 600 \text{ m/s}$.

(C) ખેંચાયેલા તારમાં તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
આ સંબંધ પરથી, આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $v \propto \sqrt{T}$.
ધારો કે પ્રારંભિક તણાવ $T_1 = 2 \text{ kg wt}$ છે અને પ્રારંભિક ઝડપ $v_1 = v$ છે.
ધારો કે અંતિમ તણાવ $T_2$ છે અને અંતિમ ઝડપ $v_2 = 3v$ છે.
પ્રમાણસરતા $v \propto \sqrt{T}$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને મળે છે $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{3v}{v} = \sqrt{\frac{T_2}{2}} \implies 3 = \sqrt{\frac{T_2}{2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $9 = \frac{T_2}{2} \implies T_2 = 18 \text{ kg wt}$.
તણાવમાં થયેલો વધારો $\Delta T = T_2 - T_1 = 18 - 2 = 16 \text{ kg wt}$ છે.

(D) ધારો કે ધ્વનિનો વેગ $v$ છે. બે સ્ત્રોતોની આવૃત્તિઓ $f_1 = v / \lambda_1$ અને $f_2 = v / \lambda_2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\lambda_1 = 50 \text{ cm} = 0.5 \text{ m}$ અને $\lambda_2 = 50.5 \text{ cm} = 0.505 \text{ m}$ આપેલ છે.
આવૃત્તિઓનો તફાવત $f_1 - f_2 = 6 \text{ Hz}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $v / 0.5 - v / 0.505 = 6$.
$v(2 - 1.98) = 6$ (આશરે).
$v(0.02) = 6$.
તેથી, $v = 300 \text{ m/s}$.

(A) આપેલ તરંગનું સમીકરણ $Y = 0.01 \sin [2\pi (t/0.02 - x/0.50)] \text{ m}$ છે.
આને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $Y = A \sin (\omega t - kx)$ સાથે સરખાવતા:
$\omega = 2\pi / 0.02 = 100\pi \text{ rad/s}$
$k = 2\pi / 0.50 = 4\pi \text{ m}^{-1}$
તરંગની ઝડપ $v = \omega / k = 100\pi / 4\pi = 25 \text{ m/s}$ મળે છે.
દોરી પરના તરંગની ઝડપનું સૂત્ર $v = \sqrt{T/\mu}$ છે, જ્યાં $T$ તણાવ છે અને $\mu$ રેખીય દળ ઘનતા છે.
અહીં $\mu = 0.02 \text{ kg m}^{-1}$ આપેલ છે, તેથી:
$25 = \sqrt{T / 0.02}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $625 = T / 0.02$
$T = 625 \times 0.02 = 12.5 \text{ N}$.

(A) આપેલ છે: વોલ્ટેજ $V = (6.0 \pm 0.3) \text{ V}$ અને પ્રવાહ $I = (4.0 \pm 0.1) \text{ A}$.
પાવર $P = V \times I = 6.0 \times 4.0 = 24.0 \text{ W}$.
પાવરમાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta P}{P} = \frac{\Delta V}{V} + \frac{\Delta I}{I}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta P}{24.0} = \frac{0.3}{6.0} + \frac{0.1}{4.0}$.
$\frac{\Delta P}{24.0} = 0.05 + 0.025 = 0.075$.
$\Delta P = 24.0 \times 0.075 = 1.8 \text{ W}$.
આમ, વપરાતો પાવર $(24.0 \pm 1.8) \text{ W}$ છે.

(C) પ્રકાશની તીવ્રતાનો $SI$ પાયાનો એકમ $\text{કેન્ડેલા}$ $(cd)$ છે.
$\text{એમ્પિયર}$ એ વિદ્યુત પ્રવાહનો એકમ છે.
$\text{કુલંબ}$ એ વિદ્યુતભારનો એકમ છે.
$\text{ઓહ્મ}$ એ વિદ્યુત અવરોધનો એકમ છે.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) સ્નિગ્ધતા એ પ્રવાહી (પ્રવાહી અને વાયુઓ) નો ગુણધર્મ છે જે વહેવા સામે અવરોધ પેદા કરે છે.
$(A)$ લ્યુબ્રિકન્ટ ઓઈલનું ગ્રેડેશન તેમની સ્નિગ્ધતા પર આધારિત છે.
$(B)$ રક્ત પ્રવાહનો વેગ અને સ્નિગ્ધતાનો ઉપયોગ કાર્ડિયોવેસ્ક્યુલર સ્વાસ્થ્ય સૂચવવા માટે થાય છે.
$(C)$ સાબુની સફાઈ પ્રક્રિયામાં પૃષ્ઠતાણ ઘટાડવું અને ગંદકી દૂર કરવા માટે માધ્યમની સ્નિગ્ધતામાં ફેરફાર કરવાનો સમાવેશ થાય છે.
$(D)$ જૂની ઇમારતોમાં કાચની બારીઓ નીચેથી જાડી થવી એ એક સામાન્ય ગેરસમજ છે; કાચ એ એક અસ્ફટિકમય ઘન પદાર્થ છે, સુપરકૂલ્ડ પ્રવાહી નથી, અને આ ઘટના સ્નિગ્ધતા સાથે સંબંધિત નથી.

(A) ગોળાકાર વરસાદના ટીપાનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે અને તેની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S = 4 \pi r^2$ છે.
આપેલ છે કે બાષ્પીભવનનો દર સપાટીના ક્ષેત્રફળના સમપ્રમાણમાં છે, તેથી $\frac{dV}{dt} = -k' S$, જ્યાં $k'$ એ ધન અચળાંક છે.
$V = \frac{4}{3} \pi r^3$ હોવાથી, $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા $\frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$ મળે છે.
$\frac{dV}{dt}$ માટેના બંને પદોને સરખાવતા: $4 \pi r^2 \frac{dr}{dt} = -k' (4 \pi r^2)$ મળે છે.
બંને બાજુ $4 \pi r^2$ વડે ભાગતા, આપણને $\frac{dr}{dt} = -k'$ મળે છે.
ગોઠવણ કરતા $\frac{dr}{dt} + k' = 0$ મળે છે. $k'$ ને $k$ વડે બદલતા, આપણને $\frac{dr}{dt} + k = 0$ મળે છે.

(C) સમય $t$ પર વિભંજન દર $R$ એ રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $R = R_0 e^{-\lambda t}$.
અહીં, $R_0 = 16,000 \text{ વિભંજન/મિનિટ}$, $R = 2000 \text{ વિભંજન/મિનિટ}$, અને $t = 4 \text{ મિનિટ}$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $2000 = 16,000 e^{-\lambda \times 4}$.
બંને બાજુ $16,000$ વડે ભાગતા: $\frac{2000}{16,000} = e^{-4\lambda}$, જેનું સાદું રૂપ $\frac{1}{8} = e^{-4\lambda}$ થાય છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક $(\log_e)$ લેતા: $\log_e(1/8) = -4\lambda$.
કારણ કે $\log_e(1/8) = \log_e(2^{-3}) = -3 \log_e 2$, તેથી $-3 \log_e 2 = -4\lambda$.
$\lambda$ માટે ઉકેલતા: $\lambda = \frac{3}{4} \log_e 2 = 0.75 \log_e 2 \text{ min}^{-1}$.

(A) ન્યુક્લિયસની ઘનતાનું સૂત્ર $\rho = \frac{M}{V}$ છે, જ્યાં $M$ એ ન્યુક્લિયસનું દળ છે અને $V$ એ તેનું કદ છે.
દળ ક્રમાંક $A$ ધરાવતા ન્યુક્લિયસનું દળ આશરે $M = A \times m_p$ થાય, જ્યાં $m_p$ એ પ્રોટોનનું દળ છે.
ન્યુક્લિયસનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $R = R_0 A^{1/3}$ એ ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા છે.
$R$ માટેનું સૂત્ર મૂકતા, આપણને $V = \frac{4}{3} \pi (R_0 A^{1/3})^3 = \frac{4}{3} \pi R_0^3 A$ મળે છે.
હવે, ઘનતા $\rho = \frac{A \times m_p}{\frac{4}{3} \pi R_0^3 A} = \frac{3 m_p}{4 \pi R_0^3}$ થાય છે.
ઘનતા $\rho$ એ દળ ક્રમાંક $A$ થી સ્વતંત્ર હોવાથી, તમામ ન્યુક્લિયસની ઘનતા સમાન હોય છે.
તેથી, ઓક્સિજન ન્યુક્લિયસ અને હિલિયમ ન્યુક્લિયસની ઘનતાનો ગુણોત્તર $1 : 1$ છે.

(C) આપેલ સર્કિટમાં એક $NOR$ ગેટ છે જેની પાછળ એક $NOT$ ગેટ જોડાયેલ છે.
$1$. પ્રથમ ગેટ એ $NOR$ ગેટ છે જેના ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે. $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $C = \overline{A + B}$ છે.
$2$. બીજો ગેટ એ $NOT$ ગેટ (ઇન્વર્ટર) છે જે ઇનપુટ $C$ લે છે અને આઉટપુટ $Y = \overline{C}$ આપે છે.
$3$. $C$ ની કિંમત મૂકતા, આપણને $Y = \overline{(\overline{A + B})}$ મળે છે.
$4$. ડબલ નેગેશનના નિયમ મુજબ, $\overline{\overline{X}} = X$ થાય છે. તેથી, $Y = A + B$.
$5$. જે સર્કિટ $Y = A + B$ ઓપરેશન કરે છે તે $OR$ ગેટ છે.
આમ, પરિણામી ગેટ એક $OR$ ગેટ છે અને તેનું બુલિયન સમીકરણ $A + B$ છે.

(C) વર્ણવેલ લોજિક ગેટ $X-OR$ (એક્સક્લુઝિવ-$OR$) ગેટ છે.
બે ઇનપુટ $A$ અને $B$ ધરાવતા $X-OR$ ગેટ માટે, આઉટપુટ $Y$ નું બુલિયન સમીકરણ $Y = A \oplus B = A\overline{B} + \overline{A}B$ છે.
$X-OR$ ગેટ માટેનું ટ્રુથ ટેબલ નીચે મુજબ છે:
- જો $A=0, B=0$ હોય, તો $Y=0$ મળે.
- જો $A=1, B=0$ હોય, તો $Y=1$ મળે.
- જો $A=0, B=1$ હોય, તો $Y=1$ મળે.
- જો $A=1, B=1$ હોય, તો $Y=0$ મળે.
આ દર્શાવે છે કે જ્યારે કોઈ પણ એક ઇનપુટ હાઈ $(1)$ હોય ત્યારે આઉટપુટ હાઈ મળે છે, પરંતુ જ્યારે બંને ઇનપુટ હાઈ હોય ત્યારે આઉટપુટ હાઈ મળતું નથી.

(C) આપેલ સર્કિટમાં બે ઇનપુટ ધરાવતો એક $OR$ ગેટ છે. એક ઇનપુટ $A$ છે અને બીજું ઇનપુટ ગેટ $G$ નું આઉટપુટ છે, જે $A$ અને $B$ ને ઇનપુટ તરીકે લે છે. ધારો કે ગેટ $G$ નું આઉટપુટ $X$ છે. તો અંતિમ આઉટપુટ $Y = A + X$ થશે.
ટ્રુથ ટેબલ પરથી:
$A=0, B=0$ માટે, $Y=0$. $Y = A + X$ હોવાથી, $0 = 0 + X \implies X=0$.
$A=0, B=1$ માટે, $Y=0$. $Y = A + X$ હોવાથી, $0 = 0 + X \implies X=0$.
$A=1, B=0$ માટે, $Y=1$. $Y = A + X$ હોવાથી, $1 = 1 + X \implies X$ એ $0$ અથવા $1$ હોઈ શકે.
$A=1, B=1$ માટે, $Y=1$. $Y = A + X$ હોવાથી, $1 = 1 + X \implies X$ એ $0$ અથવા $1$ હોઈ શકે.
ઇનપુટ $A$ અને $B$ પરથી મળતા $X$ ના મૂલ્યો જોતા: જ્યારે $A=0, B=0 \implies X=0$; જ્યારે $A=0, B=1 \implies X=0$; જ્યારે $A=1, B=0 \implies X=0$ ($Y=1$ સાથે સુસંગત); જ્યારે $A=1, B=1 \implies X=1$ ($Y=1$ સાથે સુસંગત).
$X$ માટેનું આ ટ્રુથ ટેબલ (ઇનપુટ $A, B$ અને આઉટપુટ $X$) $AND$ ગેટને અનુરૂપ છે, જ્યાં $X = A \cdot B$ થાય છે.

(D) ધારો કે $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $Y_1 = \overline{A \cdot B}$ છે.
ધારો કે $NOT$ ગેટનું આઉટપુટ $A' = \overline{A}$ છે.
ધારો કે $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y_2 = \overline{A' + B} = \overline{\overline{A} + B} = A \cdot \overline{B}$ છે.
અંતિમ આઉટપુટ $Y$ એ $Y_1$ અને $Y_2$ ઇનપુટ ધરાવતા $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ છે, તેથી $Y = \overline{Y_1 + Y_2} = \overline{\overline{A \cdot B} + A \cdot \overline{B}}$.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, $Y = (A \cdot B) \cdot (\overline{A \cdot \overline{B}}) = (A \cdot B) \cdot (\overline{A} + B) = (A \cdot B \cdot \overline{A}) + (A \cdot B \cdot B) = 0 + (A \cdot B) = A \cdot B$.
$Y = 1$ માટે, $A = 1$ અને $B = 1$ હોવું જરૂરી છે.

(B) ચાલો દરેક લોજિક ગેટ માટે આઉટપુટનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$(A)$ $1$ અને $1$ ઇનપુટ ધરાવતો $NAND$ ગેટ: $AND$ ગેટનું આઉટપુટ $1 \cdot 1 = 1$ છે. $NAND$ ગેટ તેને ઉલટાવે છે, તેથી આઉટપુટ $0$ મળે છે.
$(B)$ $1$ અને $0$ ઇનપુટ ધરાવતો $NAND$ ગેટ: $AND$ ગેટનું આઉટપુટ $1 \cdot 0 = 0$ છે. $NAND$ ગેટ તેને ઉલટાવે છે, તેથી આઉટપુટ $1$ મળે છે.
$(C)$ $0$ અને $1$ ઇનપુટ ધરાવતો $NOR$ ગેટ: $OR$ ગેટનું આઉટપુટ $0 + 1 = 1$ છે. $NOR$ ગેટ તેને ઉલટાવે છે, તેથી આઉટપુટ $0$ મળે છે.
$(D)$ $0$ અને $0$ ઇનપુટ ધરાવતો $XOR$ ગેટ: $XOR$ ગેટનું આઉટપુટ $0 \oplus 0 = 0$ છે.
તેથી, જે લોજિક ગેટનું આઉટપુટ '$1$' મળે છે તે $1$ અને $0$ ઇનપુટ ધરાવતો $NAND$ ગેટ છે.

(A) $1$. આ સર્કિટ એક $NAND$ ગેટ, એક $NOR$ ગેટ અને એક $OR$ ગેટની બનેલી છે.
$2$. $NAND$ ગેટના ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે. તેથી, તેનું આઉટપુટ $\overline{A \cdot B}$ છે.
$3$. $NOR$ ગેટના ઇનપુટ $B$ અને $C$ છે. તેથી, તેનું આઉટપુટ $\overline{B + C}$ છે.
$4$. આ બંને આઉટપુટ એક $OR$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે. $OR$ ગેટનું આઉટપુટ તેના ઇનપુટનો સરવાળો છે.
$5$. આમ, અંતિમ આઉટપુટ $Y = \overline{A \cdot B} + \overline{B + C}$ છે.

(C) ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે, અને આઉટપુટ $Y$ છે.
આપેલ શરતો:
$1$. જ્યારે $A = 0$ અને $B = 0$ હોય, ત્યારે $Y = 1$.
$2$. જ્યારે $A = 1$ અને $B = 0$ હોય, ત્યારે $Y = 0$.
ટ્રુથ ટેબલ તપાસતા:
- $NOR$ ગેટ માટે: $0 NOR 0 = 1$ અને $1 NOR 0 = 0$. આ આપેલ શરતો સાથે બંધ બેસે છે.
- $NAND$ ગેટ માટે: $0 NAND 0 = 1$ અને $1 NAND 0 = 1$. આ બંધ બેસતું નથી.
- $OR$ ગેટ માટે: $0 OR 0 = 0$ અને $1 OR 0 = 1$. આ બંધ બેસતું નથી.
- $XOR$ ગેટ માટે: $0 XOR 0 = 0$ અને $1 XOR 0 = 1$. આ બંધ બેસતું નથી.
તેથી, આ લોજિક ગેટ $NOR$ ગેટ છે.

(D) $1$. આ પરિપથમાં એક $AND$ ગેટ, એક $NOT$ ગેટ અને એક $OR$ ગેટનો સમાવેશ થાય છે.
$2$. ઇનપુટ $A$ અને $B$ ને $AND$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે. $AND$ ગેટનું આઉટપુટ $A \cdot B$ મળે છે.
$3$. ઇનપુટ $C$ ને $NOT$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે. $NOT$ ગેટનું આઉટપુટ $\bar{C}$ મળે છે.
$4$. $AND$ ગેટ $(A \cdot B)$ અને $NOT$ ગેટ $(\bar{C})$ ના આઉટપુટને $OR$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે.
$5$. $OR$ ગેટનું અંતિમ આઉટપુટ $Y$ એ તેના ઇનપુટ્સનો સરવાળો છે: $Y = (A \cdot B) + \bar{C}$.

(D) આપેલ સર્કિટમાં એક $NOT$ ગેટ, એક $AND$ ગેટ અને એક $OR$ ગેટનો સમાવેશ થાય છે.
સર્કિટ ડાયાગ્રામ પરથી, $NOT$ ગેટનું આઉટપુટ $\bar{A}$ છે.
$AND$ ગેટનું આઉટપુટ $B \cdot C$ છે.
આ બંને આઉટપુટ એક $OR$ ગેટમાં જાય છે, તેથી અંતિમ આઉટપુટ $Y$ બુલિયન સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $Y = \bar{A} + (B \cdot C)$.
આપણે એવા ઇનપુટ્સ શોધવા માંગીએ છીએ જેના માટે $Y = 1$ થાય.
ચાલો વિકલ્પો તપાસીએ:
$(A)$ $A = 1, B = 0, C = 0$: $Y = \bar{1} + (0 \cdot 0) = 0 + 0 = 0$.
$(B)$ $A = 1, B = 0, C = 1$: $Y = \bar{1} + (0 \cdot 1) = 0 + 0 = 0$.
$(C)$ $A = 1, B = 1, C = 0$: $Y = \bar{1} + (1 \cdot 0) = 0 + 0 = 0$.
$(D)$ $A = 1, B = 1, C = 1$: $Y = \bar{1} + (1 \cdot 1) = 0 + 1 = 1$.
આમ, $A = 1, B = 1, C = 1$ ઇનપુટ્સ માટે, આઉટપુટ $Y$ એ $1$ મળે છે.

(D) બુલિયન પદાવલિ $A + B = Y$ એ $OR$ ગેટની પ્રક્રિયા દર્શાવે છે.
બુલિયન બીજગણિતમાં, $+$ ચિહ્ન તાર્કિક $OR$ પ્રક્રિયા સૂચવે છે.
$OR$ ગેટ માટેનું ટ્રુથ ટેબલ નીચે મુજબ છે:
- જો $A = 0$ અને $B = 0$ હોય, તો $Y = 0$ મળે.
- જો $A = 1$ અને $B = 0$ હોય, તો $Y = 1$ મળે.
- જો $A = 0$ અને $B = 1$ હોય, તો $Y = 1$ મળે.
- જો $A = 1$ અને $B = 1$ હોય, તો $Y = 1$ મળે.
આનો અર્થ એ છે કે આઉટપુટ $Y$ એ $1$ (અસ્તિત્વ ધરાવે છે) હોય છે જો ઇનપુટ $A$ અથવા $B$ માંથી ઓછામાં ઓછું એક $1$ (અસ્તિત્વ ધરાવે છે) હોય. તેથી, $Y$ ત્યારે અસ્તિત્વ ધરાવે છે જ્યારે $A$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે, અથવા $B$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે, અથવા $A$ અને $B$ બંને અસ્તિત્વ ધરાવે છે.

(D) ટ્રાન્ઝિસ્ટર એમ્પ્લીફાયરનો પાવર ગેઇન $(A_p)$ એ કરંટ ગેઇન $(\beta)$ અને વોલ્ટેજ ગેઇન $(A_v)$ ના ગુણાકાર જેટલો હોય છે.
$A_p = \beta \times A_v$
આપેલ છે, $A_p = 5 \times 10^6$ અને $\beta = 50$.
$5 \times 10^6 = 50 \times A_v$
$A_v = \frac{5 \times 10^6}{50} = 10^5$.
વોલ્ટેજ ગેઇનનું સૂત્ર $A_v = \beta \times \frac{R_{out}}{R_{in}}$ છે, જ્યાં $R_{out}$ એ આઉટપુટ અવરોધ છે અને $R_{in}$ એ ઇનપુટ અવરોધ છે.
$10^5 = 50 \times \frac{500 \times 10^3 \Omega}{R_{in}}$
$R_{in} = \frac{50 \times 500 \times 10^3}{10^5} = \frac{25000 \times 10^3}{10^5} = 250 \Omega$.
આમ, ઇનપુટ અવરોધ $250 \Omega$ છે.

(B) આપેલ છે:
કોમન એમિટર કરંટ ગેઈન, $\beta = 20$
એમિટર કરંટ, $I_E = 7 \text{ mA}$
આપણે જાણીએ છીએ કે કોમન એમિટર મોડમાં એમિટર કરંટ અને કલેક્ટર કરંટ વચ્ચેનો સંબંધ $I_E = I_C + I_B$ છે.
વળી, $\beta = I_C / I_B$, જેનો અર્થ છે કે $I_B = I_C / \beta$.
પ્રથમ સમીકરણમાં $I_B$ ની કિંમત મૂકતા:
$I_E = I_C + (I_C / \beta) = I_C(1 + 1/\beta) = I_C((\beta + 1) / \beta)$.
$I_C$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$I_C = I_E \times (\beta / (\beta + 1))$.
કિંમતો મૂકતા:
$I_C = 7 \times (20 / (20 + 1)) = 7 \times (20 / 21)$.
$I_C = 7 \times (20 / 21) = 20 / 3 \text{ mA}$.

(A) કોમન-એમિટર ટ્રાન્ઝિસ્ટર એમ્પ્લીફાયર ગોઠવણીમાં, ઇનપુટ પ્રવાહ એ બેઝ કરંટ $(I_B)$ છે અને આઉટપુટ પ્રવાહ એ કલેક્ટર કરંટ $(I_C)$ છે.
કરંટ ગેઇન, જેને $\beta$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે, તે કલેક્ટર-એમિટર વોલ્ટેજને અચળ રાખીને કલેક્ટર કરંટમાં થતા ફેરફાર અને બેઝ કરંટમાં થતા ફેરફારના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
ગાણિતિક રીતે, $\beta = \Delta I_C / \Delta I_B$.

(A) આપેલ છે:
$d.c. \text{ કરંટ ગેઈન } (\beta) = 20$
$\text{એમિટર કરંટ } (I_E) = 7 \text{ mA}$
આપણે જાણીએ છીએ કે કરંટ ગેઈન $(\beta)$ અને કલેક્ટર કરંટ $(I_C)$ વચ્ચેનો સંબંધ $I_C = \beta I_B$ છે, જ્યાં $I_B$ એ બેઝ કરંટ છે.
વળી, $I_E = I_B + I_C$.
સમીકરણમાં $I_B = I_C / \beta$ મૂકતા:
$I_E = I_C / \beta + I_C$
$I_E = I_C (1/\beta + 1)$
$I_E = I_C (1 + \beta) / \beta$
$I_C$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$I_C = I_E \times \beta / (1 + \beta)$
$I_C = 7 \times 20 / (1 + 20)$
$I_C = 140 / 21$
અંશ અને છેદને $7$ વડે ભાગતા:
$I_C = 20 / 3 \text{ mA}$.

(A) આપેલ છે: $\alpha = 0.9$ અને બેઝ પ્રવાહમાં ફેરફાર $\Delta I_B = 0.4 \text{ mA}$.
સૌ પ્રથમ, $CE$ કોન્ફિગ્યુરેશન માટે કરંટ ગેઇન $\beta$ ની ગણતરી નીચેના સંબંધનો ઉપયોગ કરીને કરીએ: $\beta = \frac{\alpha}{1 - \alpha}$.
$\alpha$ ની કિંમત મૂકતા: $\beta = \frac{0.9}{1 - 0.9} = \frac{0.9}{0.1} = 9$.
કલેક્ટર પ્રવાહમાં ફેરફાર $\Delta I_C$ અને બેઝ પ્રવાહમાં ફેરફાર $\Delta I_B$ વચ્ચેનો સંબંધ છે: $\Delta I_C = \beta \times \Delta I_B$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta I_C = 9 \times 0.4 \text{ mA} = 3.6 \text{ mA}$.
તેથી, કલેક્ટર પ્રવાહમાં ફેરફાર $3.6 \text{ mA}$ થશે.

(D) કરંટ ગેઇન $\beta$ એ કલેક્ટર કરંટમાં થતા ફેરફાર $\Delta I_C$ અને બેઝ કરંટમાં થતા ફેરફાર $\Delta I_B$ ના ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\beta = \frac{\Delta I_C}{\Delta I_B} = \frac{5 \text{ mA}}{0.2 \text{ mA}} = 25$.
વોલ્ટેજ ગેઇન $A_V$ નું સૂત્ર $A_V = \beta \times \frac{R_L}{R_{in}}$ છે, જ્યાં $R_L$ એ લોડ અવરોધ છે અને $R_{in}$ એ ઇનપુટ અવરોધ છે.
આપેલ છે કે $A_V = 75$, $\beta = 25$, અને $R_{in} = 2 \text{ k}\Omega$.
કિંમતો મૂકતા: $75 = 25 \times \frac{R_L}{2 \text{ k}\Omega}$.
$3 = \frac{R_L}{2 \text{ k}\Omega}$.
$R_L = 3 \times 2 \text{ k}\Omega = 6 \text{ k}\Omega$.

(B) કરંટ ગેઇન $\beta$ એ કલેક્ટર કરંટમાં થતા ફેરફાર $(\Delta I_C)$ અને બેઝ કરંટમાં થતા ફેરફાર $(\Delta I_B)$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$\beta = \frac{\Delta I_C}{\Delta I_B} = \frac{5 \text{ mA}}{0.2 \text{ mA}} = 25$.
વોલ્ટેજ ગેઇન $A_V$ નું સૂત્ર $A_V = \beta \times \frac{R_L}{R_{in}}$ છે, જ્યાં $R_L$ એ લોડ અવરોધ છે અને $R_{in}$ એ ઇનપુટ અવરોધ છે.
આપેલ છે કે $A_V = 75$, $\beta = 25$, અને $R_{in} = 2 \text{ k}\Omega$.
કિંમતો મૂકતા: $75 = 25 \times \frac{R_L}{2 \text{ k}\Omega}$.
$3 = \frac{R_L}{2 \text{ k}\Omega}$.
$R_L = 3 \times 2 \text{ k}\Omega = 6 \text{ k}\Omega$.
તેથી, લોડ અવરોધ $6 \text{ k}\Omega$ છે.

(A) કોમન એમિટર ટ્રાન્ઝિસ્ટર એમ્પ્લીફાયરમાં:
$1$. વોલ્ટેજ ગેઇન $A_V$ એ આઉટપુટ વોલ્ટેજ અને ઇનપુટ વોલ્ટેજના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$A_V = \frac{V_{out}}{V_{in}} = \frac{I_c R_L}{I_b r_i} = \beta \frac{R_L}{r_i}$, જ્યાં $\beta = \frac{I_c}{I_b}$ એ a.c. પ્રવાહ ગેઇન છે.
$2$. પાવર ગેઇન $A_P$ એ પ્રવાહ ગેઇન અને વોલ્ટેજ ગેઇનનો ગુણાકાર છે.
$A_P = \beta \times A_V = \beta \times (\beta \frac{R_L}{r_i}) = \beta^2 \frac{R_L}{r_i}$.
તેથી, વોલ્ટેજ ગેઇન $\beta (R_L/r_i)$ અને પાવર ગેઇન $\beta^2 (R_L/r_i)$ છે.

(A) ટ્રાન્ઝિસ્ટરમાં, ઉત્સર્જક પ્રવાહ $(I_E)$ એ કલેક્ટર પ્રવાહ $(I_C)$ અને બેઝ પ્રવાહ $(I_B)$ નો સરવાળો છે, એટલે કે $I_E = I_C + I_B$.
આપેલ છે કે ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનમાંથી $80\%$ કલેક્ટર સુધી પહોંચે છે, તેથી $I_C = 0.80 \times I_E$.
$I_C = 28 \text{ mA}$ આપેલ હોવાથી, આપણે $I_E$ શોધી શકીએ છીએ:
$I_E = \frac{I_C}{0.80} = \frac{28}{0.80} = 35 \text{ mA}$.
હવે, $I_B = I_E - I_C$ સંબંધનો ઉપયોગ કરતા:
$I_B = 35 \text{ mA} - 28 \text{ mA} = 7 \text{ mA}$.
તેથી, બેઝ પ્રવાહ $7 \text{ mA}$ છે.

(B) બાયપોલર જંકશન ટ્રાન્ઝિસ્ટર $(BJT)$ માં, ત્રણ વિભાગોને તેમના કાર્યોને શ્રેષ્ઠ બનાવવા માટે અલગ-અલગ રીતે ડોપ કરવામાં આવે છે:
$1$. $Emitter$ (એમિટર) ને વધુ સંખ્યામાં ચાર્જ કેરિયર્સ પૂરા પાડવા માટે ભારે ડોપિંગ (heavily doped) કરવામાં આવે છે.
$2$. $Base$ (બેઝ) ખૂબ જ પાતળો અને હળવો ડોપ્ડ (lightly doped) હોય છે જેથી એમિટરમાંથી આવતા મોટાભાગના ચાર્જ કેરિયર્સ કલેક્ટર સુધી પહોંચી શકે.
$3$. $Collector$ (કલેક્ટર) એમિટર અને બેઝની તુલનામાં મધ્યમ ડોપિંગ ધરાવે છે.
તેથી, જે ભાગ ભારે ડોપ્ડ છે તે $Emitter$ છે અને જે ભાગ હળવો ડોપ્ડ છે તે $Base$ છે.

(C) કોમન એમિટર ટ્રાન્ઝિસ્ટર એમ્પ્લીફાયરનો વોલ્ટેજ ગેઇન $(A_v)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$A_v = \beta \times \frac{R_L}{R_i}$
જ્યાં:
$\beta$ ($AC$ પ્રવાહ ગેઇન) = $65$
$R_L$ (લોડ અવરોધ) = $5400 \text{ }\Omega$
$R_i$ (ઇનપુટ અવરોધ) = $450 \text{ }\Omega$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$A_v = 65 \times \frac{5400}{450}$
$A_v = 65 \times 12$
$A_v = 780$
તેથી, વોલ્ટેજ ગેઇન $780$ છે.

(D) ફોટોડાયોડ એ $p-n$ જંકશન ડાયોડનો એક વિશિષ્ટ પ્રકાર છે જે રિવર્સ બાયસ સ્થિતિમાં કાર્ય કરવા માટે બનાવવામાં આવે છે.
જ્યારે સેમિકન્ડક્ટરની બેન્ડગેપ ઉર્જા કરતા વધારે ઉર્જા ધરાવતો પ્રકાશ (ફોટોન) જંકશન પર પડે છે, ત્યારે તે ઇલેક્ટ્રોન-હોલ જોડી ઉત્પન્ન કરે છે.
રિવર્સ બાયસ વિદ્યુતક્ષેત્રની અસર હેઠળ, આ વિદ્યુતભારો જંકશનની આરપાર ગતિ કરે છે, જેનાથી ફોટોકરંટ ઉત્પન્ન થાય છે.
આ ફોટોકરંટનું મૂલ્ય આપાત પ્રકાશની તીવ્રતાના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી, પ્રકાશના સંકેતોને અસરકારક રીતે શોધવા માટે ફોટોડાયોડ હંમેશા રિવર્સ બાયસમાં કાર્યરત કરવામાં આવે છે.

(C) $LED$ (લાઈટ એમિટિંગ ડાયોડ) એ એક હેવીલી ડોપ્ડ $p-n$ જંકશન ડાયોડ છે જે ફોરવર્ડ બાયસમાં હોય ત્યારે સ્વયંભૂ વિકિરણનું ઉત્સર્જન કરે છે.
જ્યારે $LED$ ફોરવર્ડ બાયસમાં હોય છે, ત્યારે $n$-વિસ્તારમાંથી ઇલેક્ટ્રોન અને $p$-વિસ્તારમાંથી હોલ્સ જંકશન તરફ ગતિ કરે છે અને પુનઃસંયોજન (recombination) પામે છે.
આ પુનઃસંયોજન દરમિયાન, મુક્ત થતી ઉર્જા ફોટોન (પ્રકાશ) ના સ્વરૂપમાં હોય છે.
ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા સેમિકન્ડક્ટર મટીરીયલના બેન્ડ ગેપ એનર્જી $(E_g)$ જેટલી અથવા તેનાથી થોડી ઓછી હોય છે.
તેથી, તે રિવર્સ બાયસમાં પ્રકાશનું ઉત્સર્જન કરે છે તે વિધાન ખોટું છે.

(D) $LED$ (Light Emitting Diode) એ એક સેમિકન્ડક્ટર ઉપકરણ છે જેમાંથી વિદ્યુત પ્રવાહ પસાર થાય ત્યારે તે પ્રકાશ ઉત્સર્જિત કરે છે.
$1$. યોગ્ય રીતે ઉત્પાદિત કરવામાં આવે ત્યારે $LED$ તેમના લાંબા કાર્યકારી આયુષ્ય માટે જાણીતા છે.
$2$. $LED$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતો પ્રકાશ મોનોક્રોમેટિક અથવા ચોક્કસ તરંગલંબાઇનો હોય છે, અને તેના રંગો સમય જતાં ઝાંખા પડતા નથી.
$3$. પરંપરાગત ઇન્કેન્ડેસન્ટ અથવા ફ્લોરોસન્ટ બલ્બની તુલનામાં $LED$ ખૂબ જ ઉર્જા કાર્યક્ષમ છે.
$4$. $LED$ માંથી વહેતા વિદ્યુત પ્રવાહના જથ્થાને બદલીને (પલ્સ વિડ્થ મોડ્યુલેશન જેવી તકનીકોનો ઉપયોગ કરીને) તેની તેજસ્વીતાને સરળતાથી નિયંત્રિત કરી શકાય છે.
તેથી, $LED$ દ્વારા ઉત્સર્જિત પ્રકાશની તેજસ્વીતાને નિયંત્રિત કરી શકાતી નથી તેવું વિધાન 'ખોટું' છે.

(C) સોલર સેલ કાર્યક્ષમ બને તે માટે, પદાર્થ સૂર્યપ્રકાશના વર્ણપટનો નોંધપાત્ર ભાગ શોષી શકવો જોઈએ.
પૃથ્વીની સપાટી પર પહોંચતા મોટાભાગના સૌર વિકિરણો દ્રશ્ય અને નજીકના ઇન્ફ્રારેડ વિસ્તારમાં હોય છે.
$1.0 \text{ eV}$ થી $1.8 \text{ eV}$ ની વચ્ચેનો બેન્ડ ગેપ આદર્શ છે કારણ કે તે પદાર્થને સૌર વર્ણપટની મહત્તમ તીવ્રતાને અનુરૂપ ઊર્જા ધરાવતા ફોટોન શોષવાની મંજૂરી આપે છે.
સિલિકોન, જેનો બેન્ડ ગેપ આશરે $1.1 \text{ eV}$ છે, તે આ ગુણધર્મને કારણે સોલર સેલ માટે સૌથી વધુ વપરાતો પદાર્થ છે.

(A) $Zener$ ડાયોડ એ ખાસ રીતે ડિઝાઇન કરેલ $pn$ જંકશન ડાયોડ છે, જે રિવર્સ બ્રેકડાઉન વિસ્તારમાં કાર્ય કરવા માટે ભારે ડોપિંગ ધરાવે છે.
ફોરવર્ડ બાયસમાં, તે સામાન્ય $pn$ જંકશન ડાયોડની જેમ વર્તે છે અને થ્રેશોલ્ડ વોલ્ટેજ પ્રાપ્ત થયા પછી વિદ્યુતપ્રવાહનું વહન કરે છે.
રિવર્સ બાયસમાં, જ્યારે $Zener$ ડાયોડ પરનો વોલ્ટેજ તેના $Zener$ બ્રેકડાઉન વોલ્ટેજ $(V_Z)$ સુધી પહોંચે છે, ત્યારે વિદ્યુતપ્રવાહ નોંધપાત્ર રીતે વધે છે જ્યારે તેની આસપાસનો વોલ્ટેજ લગભગ અચળ રહે છે.
આ ગુણધર્મને કારણે $Zener$ ડાયોડ રિવર્સ બાયસ વિસ્તારમાં વોલ્ટેજ રેગ્યુલેટર તરીકે કાર્ય કરી શકે છે.

(C) $p-n$ જંકશન ડાયોડમાં, રિવર્સ બાયસ વોલ્ટેજ વધારવાથી ડેપ્લેશન રીજનની પહોળાઈ વધે છે.
જ્યારે રિવર્સ બાયસ વોલ્ટેજને એક નિશ્ચિત કિંમત સુધી વધારવામાં આવે છે, જેને બ્રેકડાઉન વોલ્ટેજ કહેવાય છે, ત્યારે જંકશન પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર ખૂબ જ પ્રબળ બની જાય છે.
આ પ્રબળ વિદ્યુતક્ષેત્રને કારણે મોટી સંખ્યામાં વિદ્યુતભાર વાહકો ઉત્પન્ન થાય છે (ઝેનર બ્રેકડાઉન અથવા એવાલાન્ચ બ્રેકડાઉન દ્વારા), જેના પરિણામે રિવર્સ કરંટમાં અચાનક વધારો થાય છે.
તેથી, જ્યારે રિવર્સ બાયસને આ નિર્ણાયક મૂલ્ય સુધી વધારવામાં આવે ત્યારે બ્રેકડાઉન થાય છે.

(C) ફોરવર્ડ બાયસમાં આદર્શ ડાયોડ શોર્ટ સર્કિટ (શૂન્ય અવરોધ) તરીકે કાર્ય કરે છે, અને રિવર્સ બાયસમાં તે ઓપન સર્કિટ (અનંત અવરોધ) તરીકે કાર્ય કરે છે.
કિસ્સો $1$: ડાયોડ $D$ ફોરવર્ડ બાયસમાં છે.
ઉપરની શાખામાં ડાયોડ (જે $0 \ \Omega$ તરીકે કાર્ય કરે છે) સાથે શ્રેણીમાં $30 \ \Omega$ નો અવરોધ છે. નીચેની શાખામાં $30 \ \Omega$ નો અવરોધ છે. આ બંને શાખાઓ સમાંતર જોડાણમાં છે.
$R_1 = (30 \ \Omega \parallel 30 \ \Omega) = \frac{30 \times 30}{30 + 30} = \frac{900}{60} = 15 \ \Omega$.
કિસ્સો $2$: ડાયોડ $D$ રિવર્સ બાયસમાં છે.
ઉપરની શાખા ઓપન સર્કિટ (અનંત અવરોધ) તરીકે કાર્ય કરે છે. તેથી, ફક્ત નીચેની શાખા જેમાં $30 \ \Omega$ નો અવરોધ છે તે $A$ અને $B$ વચ્ચે જોડાયેલ છે.
$R_2 = 30 \ \Omega$.
ગુણોત્તર $R_1/R_2 = 15/30 = 1/2$.

(B) $1$. પરિપથનું વિશ્લેષણ: ડાયોડ $D_1$ અને $D_2$ ફોરવર્ડ બાયસમાં છે, જ્યારે $D_3$ રિવર્સ બાયસમાં છે.
$2$. $D_3$ રિવર્સ બાયસમાં હોવાથી, તે ખુલ્લા પરિપથ તરીકે વર્તે છે (અનંત અવરોધ), તેથી $D_3$ વાળી શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
$3$. પરિપથ બે સમાંતર શાખાઓમાં સરળ બને છે જે $100 \text{ } \Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે.
$4$. શાખા $1$ ($D_1$ સાથે): કુલ અવરોધ $R_1 = R_{D1} + 150 \text{ } \Omega = 50 \text{ } \Omega + 150 \text{ } \Omega = 200 \text{ } \Omega$.
$5$. શાખા $2$ ($D_2$ સાથે): કુલ અવરોધ $R_2 = R_{D2} + 50 \text{ } \Omega = 50 \text{ } \Omega + 50 \text{ } \Omega = 100 \text{ } \Omega$.
$6$. $R_1$ અને $R_2$ ના સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{R_1 \times R_2}{R_1 + R_2} = \frac{200 \times 100}{200 + 100} = \frac{20000}{300} = \frac{200}{3} \text{ } \Omega$.
$7$. પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R_p + 100 \text{ } \Omega = \frac{200}{3} + 100 = \frac{500}{3} \text{ } \Omega$.
$8$. બેટરીમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{5}{500/3} = \frac{15}{500} = 0.03 \text{ A} = 30 \text{ mA}$.

(D) $Zener$ ડાયોડ એ એક ખાસ પ્રકારનો ડાયોડ છે જે બ્રેકડાઉન વિસ્તારમાં કાર્ય કરવા માટે બનાવવામાં આવ્યો છે.
જ્યારે તેનો ઉપયોગ વોલ્ટેજ રેગ્યુલેટર તરીકે થાય છે, ત્યારે $Zener$ ડાયોડને લોડની સાથે રિવર્સ બાયસમાં સમાંતર જોડવામાં આવે છે.
આ ગોઠવણી એ સુનિશ્ચિત કરે છે કે લોડ પરનો વોલ્ટેજ $Zener$ બ્રેકડાઉન વોલ્ટેજ જેટલો જ સ્થિર રહે, ભલે ઇનપુટ વોલ્ટેજ અથવા લોડ કરંટમાં ફેરફાર થાય.
તેથી, સાચું જોડાણ રિવર્સ બાયસ અને લોડ સાથે સમાંતર છે.

(D) જો $p$-બાજુ (એનોડ) પરનું પોટેન્શિયલ $n$-બાજુ (કેથોડ) પરના પોટેન્શિયલ કરતા વધારે હોય, તો ડાયોડ ફોરવર્ડ બાયસમાં કહેવાય છે. અન્યથા, તે રિવર્સ બાયસમાં હોય છે.
આકૃતિ $(1)$ માં:
ડાયોડ $D_1$ ની $p$-બાજુ $-5 \ V$ પર છે અને $n$-બાજુ અવરોધ $R_1$ દ્વારા $-3 \ V$ સાથે જોડાયેલી છે. કારણ કે $-5 \ V < -3 \ V$, $p$-બાજુનું પોટેન્શિયલ $n$-બાજુના પોટેન્શિયલ કરતા ઓછું છે. તેથી, ડાયોડ $D_1$ રિવર્સ બાયસમાં છે.
આકૃતિ $(2)$ માં:
ડાયોડ $D_2$ ની $p$-બાજુ $0 \ V$ પર છે અને $n$-બાજુ અવરોધ $R_2$ દ્વારા $-4 \ V$ સાથે જોડાયેલી છે. કારણ કે $0 \ V > -4 \ V$, $p$-બાજુનું પોટેન્શિયલ $n$-બાજુના પોટેન્શિયલ કરતા વધારે છે. તેથી, ડાયોડ $D_2$ ફોરવર્ડ બાયસમાં છે.
આમ, આકૃતિ $(1)$ રિવર્સ બાયસમાં છે અને આકૃતિ $(2)$ ફોરવર્ડ બાયસમાં છે.

(B) આપેલ પરિપથમાં $5 \text{ V}$ નો $DC$ સ્ત્રોત, એક સિલિકોન ડાયોડ અને $200 \text{ } \Omega$ નો અવરોધ શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે.
ડાયોડ ફોરવર્ડ બાયસમાં હોવાથી, જ્યારે લાગુ પાડવામાં આવેલ વોલ્ટેજ તેના ની-વોલ્ટેજ કરતા વધારે હોય ત્યારે તે વિદ્યુતપ્રવાહનું વહન કરશે.
અવરોધ પરનો અસરકારક વોલ્ટેજ $(V_R)$ નીચે મુજબ છે:
$V_R = V_{\text{source}} - V_{\text{knee}}$
$V_R = 5 \text{ V} - 0.7 \text{ V} = 4.3 \text{ V}$
ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, પરિપથમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $(I)$:
$I = \frac{V_R}{R}$
$I = \frac{4.3 \text{ V}}{200 \text{ } \Omega} = 0.0215 \text{ A}$
વિદ્યુતપ્રવાહને મિલિએમ્પિયર (mA) માં ફેરવતા:
$I = 0.0215 \times 1000 \text{ mA} = 21.5 \text{ mA}$
તેથી, મિલિએમીટરનું અવલોકન $21.5 \text{ mA}$ છે.

(A) $p-n$ જંકશનમાં, ડેપ્લેશન રિજન જંકશનની આરપાર વિદ્યુતભાર વાહકોના પ્રસરણને કારણે રચાય છે.
જ્યારે જંકશન ફોરવર્ડ બાયસમાં હોય છે, ત્યારે બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્ર આંતરિક વિદ્યુતક્ષેત્રનો વિરોધ કરે છે, જે વિદ્યુતભાર વાહકોને જંકશન તરફ ધકેલે છે, જેનાથી ડેપ્લેશન રિજનની પહોળાઈ ઘટે છે.
જ્યારે જંકશન રિવર્સ બાયસમાં હોય છે, ત્યારે બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્ર આંતરિક વિદ્યુતક્ષેત્રને ટેકો આપે છે, જે વિદ્યુતભાર વાહકોને જંકશનથી દૂર ખેંચે છે, જેનાથી ડેપ્લેશન રિજનની પહોળાઈ વધે છે.
તેથી, જો જંકશન રિવર્સ બાયસમાં હોય તો ડેપ્લેશન રિજન વધે છે.

(B) અર્ધવાહક તેના અત્યંત શુદ્ધ સ્વરૂપમાં હોય ત્યારે તેને આંતરિક (intrinsic) અર્ધવાહક કહેવામાં આવે છે.
આંતરિક અર્ધવાહકમાં, મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા હોલ્સની સંખ્યા જેટલી હોય છે.
આવા પદાર્થની વાહકતા સંપૂર્ણપણે ઇલેક્ટ્રોનના ઉષ્મીય ઉત્તેજનને કારણે હોય છે, જેના પરિણામે સહસંયોજક બંધ તૂટે છે.
તેથી, જ્યારે વાહકતા માત્ર સહસંયોજક બંધ તૂટવાને કારણે હોય, ત્યારે તેને આંતરિક અર્ધવાહક કહેવામાં આવે છે.

(D) આપેલ છે: આંતરિક વાહક સાંદ્રતા $n_i = 10^{16} \text{ m}^{-3}$.
ડોનર સાંદ્રતા (ફોસ્ફરસ પરમાણુઓ) $n_D = 10^{21} \text{ m}^{-3}$.
ફોસ્ફરસ એ પંચસંયોજક અશુદ્ધિ હોવાથી, તે ડોનર તરીકે કાર્ય કરે છે, જે સ્ફટિકને $n$-પ્રકારનો અર્ધવાહક બનાવે છે.
$n$-પ્રકારના અર્ધવાહકમાં, ઇલેક્ટ્રોન સાંદ્રતા $n_e \approx n_D = 10^{21} \text{ m}^{-3}$.
અર્ધવાહકો માટે દ્રવ્યમાન ક્રિયાના નિયમ મુજબ, $n_e \cdot n_h = n_i^2$, જ્યાં $n_h$ એ હોલ સાંદ્રતા છે.
કિંમતો મૂકતા: $10^{21} \cdot n_h = (10^{16})^2$.
$10^{21} \cdot n_h = 10^{32}$.
$n_h = 10^{32} / 10^{21} = 10^{11} \text{ m}^{-3}$.
તેથી, નવી હોલ સાંદ્રતા $10^{11} \text{ per m}^3$ છે.

(B) અર્ધવાહકમાં, તાપમાન $(T)$ વધવાની સાથે વિદ્યુતભાર વાહકોની (ઇલેક્ટ્રોન અને હોલ) સંખ્યા ઘાતાંકીય રીતે વધે છે.
વિદ્યુતભાર વાહકોની સંખ્યામાં થતો આ વધારો, તેમના સ્કેટરિંગમાં થતા વધારાની અસર કરતા વધુ પ્રભાવી હોય છે.
પરિણામે, જેમ તાપમાન વધે છે તેમ અર્ધવાહકની અવરોધકતા $(\rho)$ ઘટે છે.
આ સંબંધ $\rho = \rho_0 e^{E_g / 2kT}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $E_g$ એ એનર્જી બેન્ડ ગેપ છે, $k$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
આ એક ઘાતાંકીય ઘટાડાનો વક્ર દર્શાવે છે.
તેથી, આલેખ $B$ એ અર્ધવાહક માટે અવરોધકતાની તાપમાન પરની નિર્ભરતાને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(B) શુદ્ધ અર્ધવાહકમાં અશુદ્ધિના પરમાણુઓ ઉમેરવાની પ્રક્રિયાને ડોપિંગ કહેવામાં આવે છે।
અશુદ્ધિઓ ઉમેરવાથી અર્ધવાહકમાં વિદ્યુતભાર વાહકો (ઇલેક્ટ્રોન અથવા હોલ્સ) ની સંખ્યામાં વધારો થાય છે।
અર્ધવાહકની વાહકતા $(\sigma)$ એ વિદ્યુતભાર વાહકોની સંખ્યા $(n)$ ના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે, એટલે કે $\sigma = ne\mu$, જ્યાં $e$ એ વિદ્યુતભાર છે અને $\mu$ એ મોબિલિટી છે, તેથી વિદ્યુતભાર વાહકોની સંખ્યામાં વધારો થવાથી વાહકતામાં વધારો થાય છે।
અવરોધકતા $(\rho)$ એ વાહકતાનો વ્યસ્ત છે $(\rho = 1/\sigma)$।
તેથી, ડોપિંગને કારણે વાહકતા વધતી હોવાથી, અર્ધવાહકની અવરોધકતા ઘટે છે।

(C) અવાહકો એવા પદાર્થો છે જેમાંથી વિદ્યુત પ્રવાહ સરળતાથી વહી શકતો નથી.
આનું કારણ એ છે કે તેમની વેલેન્સ બેન્ડ અને કન્ડક્શન બેન્ડ વચ્ચે ઉર્જાનો તફાવત (બેન્ડ ગેપ) ખૂબ જ મોટો હોય છે, જે ઇલેક્ટ્રોનને કન્ડક્શન બેન્ડમાં જતા અટકાવે છે.
પરિણામે, તેમની વિદ્યુત વાહકતા અત્યંત ઓછી હોય છે, જે સામાન્ય રીતે $10^{-20}$ થી $10^{-10} \ S/m$ ની રેન્જમાં હોય છે.

(B) $1$. જર્મેનિયમ $(Ge)$ એ સમૂહ $14$ નું તત્વ છે. ઇન્ડિયમ $(In)$ એ સમૂહ $13$ નું તત્વ છે. $Ge$ માં $In$ ઉમેરવાથી p-ટાઈપ સેમિકન્ડક્ટર બને છે. તેથી, $X$ એ p-ટાઈપ છે.
$2$. આર્સેનિક $(As)$ એ સમૂહ $15$ નું તત્વ છે. $Ge$ માં $As$ ઉમેરવાથી n-ટાઈપ સેમિકન્ડક્ટર બને છે. તેથી, $Y$ એ n-ટાઈપ છે.
$3$. બનતું જંકશન એ p-n જંકશન છે.
$4$. સર્કિટ આકૃતિમાં, p-બાજુ $(X)$ બેટરીના ઋણ ટર્મિનલ સાથે અને n-બાજુ $(Y)$ બેટરીના ધન ટર્મિનલ સાથે જોડાયેલ છે.
$5$. જ્યારે p-બાજુ ઋણ ટર્મિનલ સાથે અને n-બાજુ ધન ટર્મિનલ સાથે જોડાયેલ હોય, ત્યારે p-n જંકશન રિવર્સ બાયસમાં હોય છે.

(C) આંતરિક સેમિકન્ડક્ટરમાં, પદાર્થ શુદ્ધ હોય છે અને તેમાં કોઈ અશુદ્ધિઓ હોતી નથી.
જ્યારે ઉષ્મીય ઉર્જા આપવામાં આવે છે, ત્યારે ઇલેક્ટ્રોન વેલેન્સ બેન્ડમાંથી કન્ડક્શન બેન્ડમાં ઉત્તેજિત થાય છે.
આ પ્રક્રિયા કન્ડક્શન બેન્ડમાં એક મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન અને વેલેન્સ બેન્ડમાં અનુરૂપ હોલ બનાવે છે.
દરેક ઇલેક્ટ્રોન-હોલ જોડી એકસાથે ઉત્પન્ન થતી હોવાથી, એકમ કદ દીઠ મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $(n_e)$ એ એકમ કદ દીઠ હોલ્સની સંખ્યા $(n_h)$ જેટલી જ હોવી જોઈએ.
તેથી, $n_e = n_h$.

(C) $n$-પ્રકારનો સેમિકન્ડક્ટર શુદ્ધ સેમિકન્ડક્ટર ($Si$ અથવા $Ge$ જેવા) માં પેન્ટાવેલેન્ટ અશુદ્ધિના પરમાણુઓ ($P$, $As$, અથવા $Sb$ જેવા) ઉમેરીને બનાવવામાં આવે છે.
આ પેન્ટાવેલેન્ટ પરમાણુઓ કન્ડક્શન બેન્ડમાં વધારાના ઇલેક્ટ્રોન પૂરા પાડે છે.
તેથી, $n$-પ્રકારના સેમિકન્ડક્ટરમાં, ઇલેક્ટ્રોન એ મેજોરિટી ચાર્જ કેરિયર્સ છે અને હોલ્સ એ માઇનોરિટી ચાર્જ કેરિયર્સ છે.

(C) $n$-પ્રકારના સેમિકન્ડક્ટરમાં, આંતરિક સેમિકન્ડક્ટરમાં પેન્ટાવેલેન્ટ અશુદ્ધિ પરમાણુઓ (જેમ કે ફોસ્ફરસ, આર્સેનિક, વગેરે) ઉમેરવામાં આવે છે.
આ અશુદ્ધિ પરમાણુઓને ડોનર પરમાણુઓ કહેવામાં આવે છે.
દરેક ડોનર પરમાણુ એક વધારાનો ઇલેક્ટ્રોન આપે છે.
આ દાન કરેલા ઇલેક્ટ્રોન ડોનર એનર્જી લેવલ $(E_D)$ તરીકે ઓળખાતા અલગ ઉર્જા સ્તરોમાં સ્થાન મેળવે છે.
આ ડોનર એનર્જી લેવલ બેન્ડ ગેપની અંદર, કન્ડક્શન બેન્ડની ધાર $(E_C)$ ની બરાબર નીચે આવેલા હોય છે.
તેઓ કન્ડક્શન બેન્ડની ખૂબ નજીક હોવાથી, આ ઇલેક્ટ્રોન ઓરડાના તાપમાને સરળતાથી કન્ડક્શન બેન્ડમાં ઉત્તેજિત થઈ શકે છે, જે વિદ્યુત વાહકતામાં ફાળો આપે છે.

(A) અવાહકોમાં, વેલેન્સ બેન્ડ અને કન્ડક્શન બેન્ડ વચ્ચેનો એનર્જી બેન્ડ ગેપ ખૂબ જ મોટો (સામાન્ય રીતે $> 3 \ eV$) હોય છે.
આ મોટા એનર્જી ગેપને કારણે, ઓરડાના તાપમાને પણ ઇલેક્ટ્રોન વેલેન્સ બેન્ડમાંથી કન્ડક્શન બેન્ડમાં સરળતાથી જઈ શકતા નથી.
પરિણામે, કન્ડક્શન બેન્ડ ખાલી રહે છે કારણ કે વિદ્યુતનું વહન કરવા માટે કોઈ ઇલેક્ટ્રોન ઉપલબ્ધ હોતા નથી.

(A) આપેલ સર્કિટમાં ચાર ગેટ છે: $G_1$ અને $G_2$ એ $NOT$ ગેટ છે, $G_3$ એ $NOR$ ગેટ છે, અને $G_4$ એ $NOT$ ગેટ છે.
ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે.
$G_1$ અને $G_2$ ના આઉટપુટ અનુક્રમે $\bar{A}$ અને $\bar{B}$ છે.
આ ઇનપુટ્સ $NOR$ ગેટ $G_3$ માં જાય છે. $G_3$ નું આઉટપુટ $\overline{\bar{A} + \bar{B}}$ છે.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ, $\overline{\bar{A} + \bar{B}} = \overline{\bar{A}} \cdot \overline{\bar{B}} = A \cdot B$.
આ આઉટપુટ ત્યારબાદ $NOT$ ગેટ $G_4$ માંથી પસાર થાય છે.
અંતિમ આઉટપુટ $Y = \overline{A \cdot B}$ મળે છે, જે $NAND$ ગેટનું બુલિયન સમીકરણ છે.

(C) $NAND$ ગેટ એ $AND$ ગેટ અને ત્યારબાદ $NOT$ ગેટનું સંયોજન છે.
$AND$ ગેટ માટે, આઉટપુટ $A \cdot B$ છે.
આ પરિણામ પર $NOT$ ઓપરેશન લાગુ કરવાથી $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ મળે છે.
તેથી, $NAND$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ $Y = \overline{A \cdot B}$ છે.

(B) આ સર્કિટમાં એક $NOR$ ગેટ અને ત્યારબાદ એક $NOT$ ગેટ છે, જે સાથે મળીને $A$ અને $B$ ઇનપુટ્સ માટે $OR$ ગેટ બનાવે છે. ધારો કે આ આઉટપુટ $Y_1$ છે. તેથી, $Y_1 = A + B$.
ઇનપુટ્સ $C$ અને $D$ એક $AND$ ગેટ સાથે જોડાયેલા છે, તેથી $Y_2 = C \cdot D$.
ત્યારબાદ $Y_1$ અને $Y_2$ આઉટપુટ્સને $NOR$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે જેથી $Y_3$ મળે છે. તેથી, $Y_3 = \overline{Y_1 + Y_2}$.
આપેલ ઇનપુટ્સ: $A = 0, B = 1, C = 0, D = 1$.
$Y_1$ ની ગણતરી: $Y_1 = A + B = 0 + 1 = 1$.
$Y_2$ ની ગણતરી: $Y_2 = C \cdot D = 0 \cdot 1 = 0$.
$Y_3$ ની ગણતરી: $Y_3 = \overline{Y_1 + Y_2} = \overline{1 + 0} = \overline{1} = 0$.
તેથી, નવા આઉટપુટ્સ $(1, 0, 0)$ છે.

(A) જ્યારે $p-n$ જંકશન ડાયોડને ફોરવર્ડ બાયસ આપવામાં આવે છે, ત્યારે બાહ્ય બેટરીનો ધન છેડો $p$-પ્રકારના વિસ્તાર સાથે અને ઋણ છેડો $n$-પ્રકારના વિસ્તાર સાથે જોડવામાં આવે છે.
આ બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્ર ડેપ્લેશન વિસ્તારના આંતરિક વિદ્યુતક્ષેત્રનો વિરોધ કરે છે.
પરિણામે, મેજોરિટી ચાર્જ કેરિયર્સ જંકશન તરફ ધકેલાય છે, જે ડેપ્લેશન લેયરની પહોળાઈ ઘટાડે છે.
આથી, પોટેન્શિયલ બેરિયરની ઊંચાઈ ઘટે છે, જેના કારણે ડાયોડમાંથી વિદ્યુતપ્રવાહ વહી શકે છે.

(A) બ્રુસ્ટરનો નિયમ જણાવે છે કે બ્રુસ્ટરના ખૂણા $(i_B)$ નો ટેન્જન્ટ એ માધ્યમના વક્રીભવનાંક $(\mu)$ જેટલો હોય છે: $\tan(i_B) = \mu$.
કારણ કે માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $(\mu)$ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $(\lambda)$ પર આધાર રાખે છે (વિક્ષેપનને કારણે), અને પ્રકાશના વિવિધ રંગોની તરંગલંબાઇ અલગ-અલગ હોય છે, તેથી વક્રીભવનાંક વિવિધ રંગો માટે બદલાય છે.
પરિણામે, બ્રુસ્ટરનો ખૂણો $(i_B = \arctan(\mu))$ જુદા જુદા રંગના પ્રકાશ માટે અલગ-અલગ હોય છે.