Arithmetic Progressions Questions in Hindi

(N/A) दी गई समांतर श्रेणी $(AP)$ $\frac{3}{2}, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{3}{2}, \ldots$ है।
प्रथम पद $a$ अनुक्रम की पहली संख्या है,इसलिए $a = \frac{3}{2}$।
सार्व अंतर $d$ किसी भी पद को उसके बाद वाले पद से घटाकर ज्ञात किया जाता है,अर्थात $d = a_2 - a_1$।
मान रखने पर,$d = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$।
अतः,प्रथम पद $a = \frac{3}{2}$ और सार्व अंतर $d = -1$ है।

(A) हमारे पास है:
$a_{2}-a_{1} = 10-4 = 6$
$a_{3}-a_{2} = 16-10 = 6$
$a_{4}-a_{3} = 22-16 = 6$
चूंकि अंतर $a_{k+1}-a_{k}$ प्रत्येक बार समान है,इसलिए दी गई संख्याओं की सूची एक समांतर श्रेणी $(AP)$ बनाती है जिसका सार्व अंतर $d = 6$ है।
अगले दो पद हैं:
$22 + 6 = 28$
$28 + 6 = 34$.

(A) यह जांचने के लिए कि क्या अनुक्रम $AP$ बनाता है,हम क्रमागत पदों के लिए सार्व अंतर $d = a_{k+1} - a_k$ की गणना करते हैं:
$a_2 - a_1 = -1 - 1 = -2$
$a_3 - a_2 = -3 - (-1) = -3 + 1 = -2$
$a_4 - a_3 = -5 - (-3) = -5 + 3 = -2$
चूंकि सार्व अंतर $d = -2$ समान है,इसलिए दी गई श्रृंखला $AP$ बनाती है।
अगले दो पद ज्ञात करने के लिए अंतिम पद में सार्व अंतर $d = -2$ जोड़ते हैं:
अगला पद $1 = -5 + (-2) = -7$
अगला पद $2 = -7 + (-2) = -9$
अतः,अगले दो पद $-7$ और $-9$ हैं।

(N/A) यह जाँचने के लिए कि क्या अनुक्रम $AP$ बनाता है,हम क्रमागत पदों के बीच का सार्व अंतर $d$ ज्ञात करते हैं।
सबसे पहले,दूसरे और पहले पद के बीच का अंतर ज्ञात करें:
$a_{2} - a_{1} = 2 - (-2) = 2 + 2 = 4$
इसके बाद,तीसरे और दूसरे पद के बीच का अंतर ज्ञात करें:
$a_{3} - a_{2} = -2 - 2 = -4$
चूँकि $a_{2} - a_{1} \neq a_{3} - a_{2}$ (अर्थात $4 \neq -4$),इसलिए सार्व अंतर समान नहीं है।
अतः,दी गई संख्याओं की सूची $AP$ नहीं बनाती है।

(NO) समांतर श्रेणी $(AP)$ संख्याओं की एक ऐसी सूची है जिसमें किन्हीं भी दो क्रमागत पदों के बीच का अंतर समान होता है।
माना कि अनुक्रम $a_1, a_2, a_3, a_4, \ldots = 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, \ldots$ है।
क्रमागत पदों के बीच का सार्व अंतर $d$ ज्ञात कीजिए:
$d_1 = a_2 - a_1 = 1 - 1 = 0$
$d_2 = a_3 - a_2 = 1 - 1 = 0$
$d_3 = a_4 - a_3 = 2 - 1 = 1$
चूंकि $d_1 = d_2 \neq d_3$,इसलिए क्रमागत पदों के बीच का अंतर समान नहीं है।
अतः,दी गई संख्या सूची एक समांतर श्रेणी $(AP)$ नहीं बनाती है।

(A) यह देखा जा सकता है कि:
पहले $1 \ km$ के लिए टैक्सी का किराया = $15$
पहले $2 \ km$ के लिए टैक्सी का किराया = $15 + 8 = 23$
पहले $3 \ km$ के लिए टैक्सी का किराया = $23 + 8 = 31$
पहले $4 \ km$ के लिए टैक्सी का किराया = $31 + 8 = 39$
स्पष्ट रूप से,अनुक्रम $15, 23, 31, 39, \dots$ एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ बनाता है क्योंकि किन्हीं भी दो क्रमागत पदों के बीच का अंतर स्थिर है,अर्थात $d = 8$।

(B) मान लीजिए सिलेंडर में हवा का प्रारंभिक आयतन $V$ लीटर है।
प्रत्येक स्ट्रोक में,वैक्यूम पंप सिलेंडर में शेष हवा का $\frac{1}{4}$ भाग बाहर निकाल देता है।
इसका अर्थ है कि प्रत्येक स्ट्रोक के बाद,शेष हवा पिछली मात्रा का $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ भाग होती है।
इसलिए,प्रत्येक स्ट्रोक के बाद आयतन की श्रृंखला $V, \frac{3}{4}V, \left(\frac{3}{4}\right)^2 V, \left(\frac{3}{4}\right)^3 V, \dots$ होगी।
यह जांचने के लिए कि क्या यह एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ है,हम क्रमागत पदों के बीच का अंतर निकालते हैं:
$d_1 = \frac{3}{4}V - V = -\frac{1}{4}V$
$d_2 = \left(\frac{3}{4}\right)^2 V - \frac{3}{4}V = \frac{9}{16}V - \frac{12}{16}V = -\frac{3}{16}V$.
चूंकि $d_1 \neq d_2$,क्रमागत पदों के बीच का अंतर समान नहीं है।
अतः,संख्याओं की यह सूची एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ नहीं बनाती है।

(A) प्रथम मीटर खुदाई की लागत $= ₹ 150$।
प्रथम $2$ मीटर खुदाई की लागत $= 150 + 50 = ₹ 200$।
प्रथम $3$ मीटर खुदाई की लागत $= 200 + 50 = ₹ 250$।
प्रथम $4$ मीटर खुदाई की लागत $= 250 + 50 = ₹ 300$।
स्पष्ट रूप से, अनुक्रम $150, 200, 250, 300, \dots$ एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ बनाता है क्योंकि किन्हीं भी दो क्रमागत पदों के बीच का अंतर स्थिर है, अर्थात $d = 50$।

(B) हम जानते हैं कि यदि मूलधन $P$ को $r \%$ वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज पर $n$ वर्षों के लिए जमा किया जाता है,तो $n$ वर्षों के बाद की राशि $A = P(1 + \frac{r}{100})^n$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए प्रश्न के लिए,$P = 10000$ और $r = 8$ है।
प्रत्येक वर्ष के बाद खाते में राशि है:
वर्ष $1$: $10000(1 + \frac{8}{100})^1 = 10800$
वर्ष $2$: $10000(1 + \frac{8}{100})^2 = 11664$
वर्ष $3$: $10000(1 + \frac{8}{100})^3 = 12597.12$
राशियों की सूची $10800, 11664, 12597.12, \dots$ है।
यह जांचने के लिए कि क्या यह एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ है,हम सार्व अंतर की गणना करते हैं:
$d_1 = 11664 - 10800 = 864$
$d_2 = 12597.12 - 11664 = 933.12$
चूंकि $d_1 \neq d_2$,क्रमागत पदों के बीच का अंतर समान नहीं है। इसलिए,यह संख्याओं की सूची एक समांतर श्रेणी नहीं बनाती है।

(A) दिया गया है: प्रथम पद $a = -2$ और सार्व अंतर $d = 0.$
$AP$ का व्यापक रूप $a, a+d, a+2d, a+3d, \dots$ होता है।
प्रथम पद $a_1 = a = -2.$
द्वितीय पद $a_2 = a + d = -2 + 0 = -2.$
तृतीय पद $a_3 = a + 2d = -2 + 2(0) = -2.$
चतुर्थ पद $a_4 = a + 3d = -2 + 3(0) = -2.$
अतः,$AP$ के प्रथम चार पद $-2, -2, -2, -2$ हैं।

(A) दिया गया है: प्रथम पद $a = 4$ और सार्व अंतर $d = -3.$
$AP$ का व्यापक रूप $a, a+d, a+2d, a+3d, \dots$ होता है।
प्रथम पद $a_1 = a = 4.$
द्वितीय पद $a_2 = a + d = 4 + (-3) = 4 - 3 = 1.$
तृतीय पद $a_3 = a + 2d = 4 + 2(-3) = 4 - 6 = -2.$
चतुर्थ पद $a_4 = a + 3d = 4 + 3(-3) = 4 - 9 = -5.$
अतः,$AP$ के प्रथम चार पद $4, 1, -2, -5$ हैं।

(A) दिया गया है: $a = -1$ और $d = \frac{1}{2}$.
$AP$ का व्यापक रूप $a_1, a_2, a_3, a_4, \dots$ है,जहाँ $a_n = a + (n-1)d$ होता है।
$a_1 = a = -1$
$a_2 = a + d = -1 + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$
$a_3 = a + 2d = -1 + 2(\frac{1}{2}) = -1 + 1 = 0$
$a_4 = a + 3d = -1 + 3(\frac{1}{2}) = -1 + \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$
अतः,$AP$ के प्रथम चार पद $-1, -\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}$ हैं।

(A) दिया गया है: प्रथम पद $a = -1.25$ और सार्व अंतर $d = -0.25.$
समांतर श्रेणी $(AP)$ के पद $a_n = a + (n-1)d$ सूत्र द्वारा प्राप्त किए जाते हैं।
प्रथम पद: $a_1 = a = -1.25$
द्वितीय पद: $a_2 = a + d = -1.25 + (-0.25) = -1.50$
तृतीय पद: $a_3 = a + 2d = -1.25 + 2(-0.25) = -1.25 - 0.50 = -1.75$
चतुर्थ पद: $a_4 = a + 3d = -1.25 + 3(-0.25) = -1.25 - 0.75 = -2.00$
अतः,समांतर श्रेणी के प्रथम चार पद $-1.25, -1.50, -1.75$ और $-2.00$ हैं।

(C) दी गई समांतर श्रेणी $3, 1, -1, -3, \ldots$ है।
प्रथम पद $(a)$ अनुक्रम की पहली संख्या है,इसलिए $a = 3$ है।
सार्व अंतर $(d)$ दूसरे पद में से पहले पद को घटाकर प्राप्त किया जाता है:
$d = a_2 - a_1$
$d = 1 - 3$
$d = -2$
अतः,प्रथम पद $3$ है और सार्व अंतर $-2$ है।

(A) दी गई समांतर श्रेणी $-5, -1, 3, 7, \ldots$ है।
प्रथम पद $(a)$ अनुक्रम की पहली संख्या है,इसलिए $a = -5$ है।
सार्व अंतर $(d)$ दूसरे पद में से पहले पद को घटाकर प्राप्त किया जाता है:
$d = a_2 - a_1$
$d = (-1) - (-5)$
$d = -1 + 5$
$d = 4$.
अतः,प्रथम पद $-5$ है और सार्व अंतर $4$ है।

(N/A) दी गई समांतर श्रेणी $\frac{1}{3}, \frac{5}{3}, \frac{9}{3}, \frac{13}{3}, \ldots$ है।
प्रथम पद $(a)$ अनुक्रम की पहली संख्या है,इसलिए $a = \frac{1}{3}$ है।
सार्व अंतर $(d)$ की गणना दूसरे पद में से पहले पद को घटाकर की जाती है:
$d = \frac{5}{3} - \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$।
अतः,प्रथम पद $\frac{1}{3}$ है और सार्व अंतर $\frac{4}{3}$ है।

(A) दी गई समांतर श्रेणी $0.6, 1.7, 2.8, 3.9, \ldots$ है।
प्रथम पद $(a)$ अनुक्रम की पहली संख्या है,इसलिए $a = 0.6$ है।
सार्व अंतर $(d)$ दूसरे पद में से पहले पद को घटाकर प्राप्त किया जाता है:
$d = a_2 - a_1$
$d = 1.7 - 0.6$
$d = 1.1$
अतः,प्रथम पद $0.6$ है और सार्व अंतर $1.1$ है।

(N/A) दी गई श्रेणी: $2, 4, 8, 16, \ldots$
यह जाँचने के लिए कि क्या यह श्रेणी एक $AP$ है,हम क्रमागत पदों के बीच का अंतर ज्ञात करते हैं:
$a_2 - a_1 = 4 - 2 = 2$
$a_3 - a_2 = 8 - 4 = 4$
$a_4 - a_3 = 16 - 8 = 8$
चूँकि क्रमागत पदों के बीच का अंतर $(a_{k+1} - a_k)$ समान नहीं है,इसलिए दी गई श्रेणी एक $AP$ नहीं बनाती है।

(A) दी गई अनुक्रम: $2, \frac{5}{2}, 3, \frac{7}{2}, \ldots$
यह जांचने के लिए कि क्या यह एक $AP$ है,हम क्रमागत पदों के बीच का अंतर ज्ञात करते हैं:
$a_{2} - a_{1} = \frac{5}{2} - 2 = \frac{1}{2}$
$a_{3} - a_{2} = 3 - \frac{5}{2} = \frac{1}{2}$
$a_{4} - a_{3} = \frac{7}{2} - 3 = \frac{1}{2}$
चूंकि अंतर $a_{k+1} - a_{k}$ समान है,इसलिए यह अनुक्रम एक $AP$ है जिसका सार्व अंतर $d = \frac{1}{2}$ है।
अगले तीन पद इस प्रकार हैं:
$a_{5} = \frac{7}{2} + \frac{1}{2} = 4$
$a_{6} = 4 + \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$
$a_{7} = \frac{9}{2} + \frac{1}{2} = 5$

(D) दी गई अनुक्रम: $-10, -6, -2, 2, \ldots$
यह जाँचने के लिए कि क्या यह $AP$ है,हम क्रमागत पदों के बीच का अंतर ज्ञात करते हैं:
$a_{2} - a_{1} = (-6) - (-10) = -6 + 10 = 4$
$a_{3} - a_{2} = (-2) - (-6) = -2 + 6 = 4$
$a_{4} - a_{3} = 2 - (-2) = 2 + 2 = 4$
चूँकि अंतर $a_{k+1} - a_{k}$ समान $(d = 4)$ है,इसलिए यह अनुक्रम $AP$ बनाता है।
अगले तीन पद हैं:
$a_{5} = a_{4} + d = 2 + 4 = 6$
$a_{6} = a_{5} + d = 6 + 4 = 10$
$a_{7} = a_{6} + d = 10 + 4 = 14$
अतः,सार्व अंतर $d = 4$ है और अगले तीन पद $6, 10, 14$ हैं।

(A) दी गई अनुक्रम $3, 3+\sqrt{2}, 3+2\sqrt{2}, 3+3\sqrt{2}, \ldots$ है।
यह जाँचने के लिए कि क्या अनुक्रम $AP$ में है,हम क्रमागत पदों के बीच का अंतर ज्ञात करते हैं:
$a_2 - a_1 = (3 + \sqrt{2}) - 3 = \sqrt{2}$
$a_3 - a_2 = (3 + 2\sqrt{2}) - (3 + \sqrt{2}) = \sqrt{2}$
$a_4 - a_3 = (3 + 3\sqrt{2}) - (3 + 2\sqrt{2}) = \sqrt{2}$
चूँकि अंतर $a_{k+1} - a_k$ समान है,इसलिए यह अनुक्रम एक $AP$ है जिसका सार्व अंतर $d = \sqrt{2}$ है।
अगले तीन पद इस प्रकार हैं:
$a_5 = a_4 + d = (3 + 3\sqrt{2}) + \sqrt{2} = 3 + 4\sqrt{2}$
$a_6 = a_5 + d = (3 + 4\sqrt{2}) + \sqrt{2} = 3 + 5\sqrt{2}$
$a_7 = a_6 + d = (3 + 5\sqrt{2}) + \sqrt{2} = 3 + 6\sqrt{2}$

(B) दी गई श्रेणी: $0.2, 0.22, 0.222, 0.2222, \ldots$
यह जाँचने के लिए कि क्या श्रेणी $AP$ में है,हम क्रमागत पदों के बीच का अंतर निकालते हैं:
$a_{2} - a_{1} = 0.22 - 0.2 = 0.02$
$a_{3} - a_{2} = 0.222 - 0.22 = 0.002$
$a_{4} - a_{3} = 0.2222 - 0.222 = 0.0002$
चूँकि अंतर $a_{k+1} - a_{k}$ समान नहीं है,इसलिए दी गई श्रेणी $AP$ में नहीं है।

(A) दी गई अनुक्रम: $0, -4, -8, -12, \ldots$
यह जांचने के लिए कि क्या अनुक्रम एक $AP$ है,हम क्रमागत पदों के बीच का अंतर ज्ञात करते हैं:
$a_{2} - a_{1} = (-4) - 0 = -4$
$a_{3} - a_{2} = (-8) - (-4) = -4$
$a_{4} - a_{3} = (-12) - (-8) = -4$
चूंकि अंतर $a_{k+1} - a_{k}$ समान है,इसलिए यह अनुक्रम एक $AP$ है जिसका सार्व अंतर $d = -4$ है।
अगले तीन पद इस प्रकार हैं:
$a_{5} = a_{4} + d = -12 + (-4) = -16$
$a_{6} = a_{5} + d = -16 + (-4) = -20$
$a_{7} = a_{6} + d = -20 + (-4) = -24$
अतः,सार्व अंतर $-4$ है और अगले तीन पद $-16, -20, -24$ हैं।

(A) दी गई श्रेणी: $-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, \ldots$
यह जाँचने के लिए कि क्या यह $AP$ है,हम क्रमागत पदों के बीच का अंतर ज्ञात करते हैं:
$a_2 - a_1 = (-\frac{1}{2}) - (-\frac{1}{2}) = 0$
$a_3 - a_2 = (-\frac{1}{2}) - (-\frac{1}{2}) = 0$
$a_4 - a_3 = (-\frac{1}{2}) - (-\frac{1}{2}) = 0$
चूँकि अंतर $a_{k+1} - a_k$ प्रत्येक बार समान $(0)$ रहता है,इसलिए यह श्रेणी एक $AP$ है और सार्व अंतर $d = 0$ है।
अगले तीन पद हैं:
$a_5 = a_4 + d = -\frac{1}{2} + 0 = -\frac{1}{2}$
$a_6 = a_5 + d = -\frac{1}{2} + 0 = -\frac{1}{2}$
$a_7 = a_6 + d = -\frac{1}{2} + 0 = -\frac{1}{2}$

(NONE) दी गई श्रेणी: $1, 3, 9, 27, \ldots$
यह जाँचने के लिए कि क्या श्रेणी $AP$ है,हम क्रमागत पदों के बीच का अंतर ज्ञात करते हैं:
$a_{2} - a_{1} = 3 - 1 = 2$
$a_{3} - a_{2} = 9 - 3 = 6$
$a_{4} - a_{3} = 27 - 9 = 18$
चूँकि सार्व अंतर $(a_{k+1} - a_{k})$ समान नहीं है (अर्थात,$2 \neq 6 \neq 18$),इसलिए दी गई श्रेणी $AP$ में नहीं है।

(A) दी गई अनुक्रम $a, 2a, 3a, 4a, \dots$ है।
यह जांचने के लिए कि क्या यह एक $AP$ है,हम क्रमागत पदों के बीच का अंतर ज्ञात करते हैं:
$a_2 - a_1 = 2a - a = a$
$a_3 - a_2 = 3a - 2a = a$
$a_4 - a_3 = 4a - 3a = a$
चूंकि अंतर $a_{k+1} - a_k$ समान $(d = a)$ है,इसलिए यह अनुक्रम एक $AP$ बनाता है।
अगले तीन पद इस प्रकार हैं:
$a_5 = 4a + a = 5a$
$a_6 = 5a + a = 6a$
$a_7 = 6a + a = 7a$

(NONE) दी गई अनुक्रम $a, a^{2}, a^{3}, a^{4}, \ldots$ है।
यह जाँचने के लिए कि क्या अनुक्रम $AP$ में है,हम क्रमागत पदों के बीच का अंतर ज्ञात करते हैं:
$a_{2} - a_{1} = a^{2} - a = a(a - 1)$
$a_{3} - a_{2} = a^{3} - a^{2} = a^{2}(a - 1)$
$a_{4} - a_{3} = a^{4} - a^{3} = a^{3}(a - 1)$
चूँकि अंतर $a_{k+1} - a_{k}$ समान नहीं है (अर्थात,$a(a-1) \neq a^{2}(a-1)$ जब $a \neq 0, 1$),इसलिए दी गई अनुक्रम $AP$ में नहीं है।

(A) दी गई अनुक्रम $\sqrt{2}, \sqrt{8}, \sqrt{18}, \sqrt{32}, \ldots$ है।
हम पदों को इस प्रकार सरल कर सकते हैं:
$a_1 = \sqrt{2} = 1\sqrt{2}$
$a_2 = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
$a_3 = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
$a_4 = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$
यह जांचने के लिए कि क्या यह $AP$ है,हम सार्व अंतर $d = a_{k+1} - a_k$ ज्ञात करते हैं:
$a_2 - a_1 = 2\sqrt{2} - 1\sqrt{2} = \sqrt{2}$
$a_3 - a_2 = 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = \sqrt{2}$
$a_4 - a_3 = 4\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = \sqrt{2}$
चूंकि अंतर $d = \sqrt{2}$ स्थिर है,इसलिए यह अनुक्रम $AP$ में है।
अगले तीन पद इस प्रकार हैं:
$a_5 = a_4 + d = 4\sqrt{2} + \sqrt{2} = 5\sqrt{2} = \sqrt{50}$
$a_6 = a_5 + d = 5\sqrt{2} + \sqrt{2} = 6\sqrt{2} = \sqrt{72}$
$a_7 = a_6 + d = 6\sqrt{2} + \sqrt{2} = 7\sqrt{2} = \sqrt{98}$

(N/A) दी गई अनुक्रम $\sqrt{3}, \sqrt{6}, \sqrt{9}, \sqrt{12}, \ldots$ है।
यह जाँचने के लिए कि क्या अनुक्रम एक $AP$ है,हम क्रमागत पदों के बीच का अंतर निकालते हैं:
$a_{2} - a_{1} = \sqrt{6} - \sqrt{3} = \sqrt{3}(\sqrt{2} - 1)$
$a_{3} - a_{2} = \sqrt{9} - \sqrt{6} = 3 - \sqrt{6} = \sqrt{3}(\sqrt{3} - \sqrt{2})$
$a_{4} - a_{3} = \sqrt{12} - \sqrt{9} = 2\sqrt{3} - 3 = \sqrt{3}(2 - \sqrt{3})$
चूँकि अंतर $a_{k+1} - a_{k}$ प्रत्येक स्थिति में समान नहीं है,इसलिए दी गई संख्याएँ $AP$ में नहीं हैं।

(N/A) दी गई अनुक्रम $1^{2}, 3^{2}, 5^{2}, 7^{2}, \ldots$ है।
इसे $1, 9, 25, 49, \ldots$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह जांचने के लिए कि क्या अनुक्रम एक $AP$ बनाता है,हम क्रमागत पदों के बीच का अंतर ज्ञात करते हैं:
$a_{2} - a_{1} = 9 - 1 = 8$
$a_{3} - a_{2} = 25 - 9 = 16$
$a_{4} - a_{3} = 49 - 25 = 24$
चूंकि अंतर $a_{k+1} - a_{k}$ समान नहीं है (अर्थात,$8 \neq 16 \neq 24$),इसलिए दी गई अनुक्रम $AP$ में नहीं है।

(A) दी गई अनुक्रम $1^{2}, 5^{2}, 7^{2}, 73, \ldots$ है।
मानों की गणना करने पर,हमें $1, 25, 49, 73, \ldots$ प्राप्त होता है।
यह जाँचने के लिए कि क्या यह एक $AP$ है,हम क्रमागत पदों के बीच का अंतर ज्ञात करते हैं:
$a_{2} - a_{1} = 25 - 1 = 24$
$a_{3} - a_{2} = 49 - 25 = 24$
$a_{4} - a_{3} = 73 - 49 = 24$
चूँकि अंतर $a_{k+1} - a_{k}$ समान $(d = 24)$ है,इसलिए दी गई अनुक्रम एक $AP$ बनाती है।
सार्व अंतर $d = 24$ है।
अगले तीन पद इस प्रकार हैं:
$a_{5} = 73 + 24 = 97$
$a_{6} = 97 + 24 = 121$
$a_{7} = 121 + 24 = 145$

(A) दी गई अनुक्रम $-10, -6, -2, 2, \ldots$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a_1 = -10$,दूसरा पद $a_2 = -6$,तीसरा पद $a_3 = -2$ और चौथा पद $a_4 = 2$ है।
यह जाँचने के लिए कि क्या अनुक्रम एक $AP$ है,हम क्रमागत पदों के बीच सार्व अंतर $d$ की गणना करते हैं:
$d_1 = a_2 - a_1 = -6 - (-10) = -6 + 10 = 4$
$d_2 = a_3 - a_2 = -2 - (-6) = -2 + 6 = 4$
$d_3 = a_4 - a_3 = 2 - (-2) = 2 + 2 = 4$
चूँकि क्रमागत पदों के बीच का अंतर समान $(d = 4)$ है,इसलिए संख्याओं की दी गई सूची $d = 4$ सार्व अंतर के साथ एक $AP$ बनाती है।

(C) $AP$ का व्यापक रूप $a, a + d, a + 2d, a + 3d, \dots$ होता है।
यहाँ दिया गया है कि प्रथम पद $a = -2$ और सार्व अंतर $d = -2$ है।
इन मानों को व्यापक रूप में रखने पर:
प्रथम पद: $a = -2$
द्वितीय पद: $a + d = -2 + (-2) = -4$
तृतीय पद: $a + 2d = -2 + 2(-2) = -2 - 4 = -6$
चतुर्थ पद: $a + 3d = -2 + 3(-2) = -2 - 6 = -8$
अतः,प्रथम चार पद $-2, -4, -6, -8$ हैं।

(B) $AP$ का सार्व अंतर $d$,$d = a_{n} - a_{n-1}$ के रूप में ज्ञात किया जाता है।
दी गई $AP: 10, 5, 0, -5, \ldots$ के लिए:
$a_{2} - a_{1} = 5 - 10 = -5$
$a_{3} - a_{2} = 0 - 5 = -5$
$a_{4} - a_{3} = -5 - 0 = -5$
चूंकि क्रमागत पदों के बीच का अंतर स्थिर है,इसलिए दी गई संख्याओं की सूची $d = -5$ के साथ एक $AP$ बनाती है।
अतः,यह कथन कि सार्व अंतर $d = 5$ है,असत्य है।

(B) चक्रवृद्धि ब्याज के तहत राशि $A$ का सूत्र $A = P(1 + r/100)^n$ है,जहाँ $P = 1000$,$r = 10$,और $n$ वर्षों की संख्या है।
पहले वर्ष के अंत में राशि: $A_1 = 1000(1 + 10/100)^1 = 1000(1.1) = 1100$.
दूसरे वर्ष के अंत में राशि: $A_2 = 1000(1 + 10/100)^2 = 1000(1.21) = 1210$.
तीसरे वर्ष के अंत में राशि: $A_3 = 1000(1 + 10/100)^3 = 1000(1.331) = 1331$.
राशियों की श्रृंखला $1100, 1210, 1331, \ldots$ है।
यह जाँचने के लिए कि क्या यह $AP$ है,हम सार्व अंतर की गणना करते हैं:
$A_2 - A_1 = 1210 - 1100 = 110$.
$A_3 - A_2 = 1331 - 1210 = 121$.
चूँकि $A_2 - A_1 \neq A_3 - A_2$,इसलिए क्रमागत पदों के बीच का अंतर समान नहीं है।
अतः,यह श्रृंखला $AP$ नहीं बनाती है।

(A) $(i)$ यहाँ,$t_{1} = -1, t_{2} = -1, t_{3} = -1$ और $t_{4} = -1$ है।
$t_{2} - t_{1} = -1 - (-1) = 0$
$t_{3} - t_{2} = -1 - (-1) = 0$
$t_{4} - t_{3} = -1 - (-1) = 0$
चूँकि सार्व अंतर $d = 0$ समान है,इसलिए दी गई संख्याओं की सूची $AP$ बनाती है।
$(ii)$ यहाँ,$t_{1} = 0, t_{2} = 2, t_{3} = 0$ और $t_{4} = 2$ है।
$t_{2} - t_{1} = 2 - 0 = 2$
$t_{3} - t_{2} = 0 - 2 = -2$
चूँकि $t_{2} - t_{1} \neq t_{3} - t_{2}$,इसलिए दी गई संख्याओं की सूची $AP$ नहीं बनाती है।
$(iii)$ यहाँ,$t_{1} = 1, t_{2} = 1, t_{3} = 2$ और $t_{4} = 2$ है।
$t_{2} - t_{1} = 1 - 1 = 0$
$t_{3} - t_{2} = 2 - 1 = 1$
चूँकि $t_{2} - t_{1} \neq t_{3} - t_{2}$,इसलिए दी गई संख्याओं की सूची $AP$ नहीं बनाती है।

(I, IV) $(i)$ यहाँ,$t_1 = 11, t_2 = 22, t_3 = 33$ है।
$t_2 - t_1 = 22 - 11 = 11$.
$t_3 - t_2 = 33 - 22 = 11$.
चूँकि सार्व अंतर $d = 11$ समान है,इसलिए यह $AP$ बनाता है।
$(ii)$ यहाँ,$t_1 = \frac{1}{2}, t_2 = \frac{1}{3}, t_3 = \frac{1}{4}$ है।
$t_2 - t_1 = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{6}$.
$t_3 - t_2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{3} = -\frac{1}{12}$.
चूँकि अंतर समान नहीं है,इसलिए यह $AP$ नहीं बनाता है।
$(iii)$ अनुक्रम $2, 4, 8, 16, \ldots$ है।
$t_2 - t_1 = 4 - 2 = 2$.
$t_3 - t_2 = 8 - 4 = 4$.
चूँकि अंतर समान नहीं है,इसलिए यह $AP$ नहीं बनाता है।
$(iv)$ अनुक्रम $\sqrt{3}, 2\sqrt{3}, 3\sqrt{3}, 4\sqrt{3}, \ldots$ है।
$t_2 - t_1 = 2\sqrt{3} - \sqrt{3} = \sqrt{3}$.
$t_3 - t_2 = 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$.
$t_4 - t_3 = 4\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = \sqrt{3}$.
चूँकि सार्व अंतर $d = \sqrt{3}$ समान है,इसलिए यह $AP$ बनाता है।

(B) असत्य।
यहाँ,$a_{1} = -1, a_{2} = -\frac{3}{2}, a_{3} = -2$ और $a_{4} = \frac{5}{2}$ है।
क्रमागत पदों के बीच का अंतर ज्ञात करते हैं:
$a_{2} - a_{1} = -\frac{3}{2} - (-1) = -\frac{3}{2} + 1 = -\frac{1}{2}$।
$a_{3} - a_{2} = -2 - (-\frac{3}{2}) = -2 + \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$।
$a_{4} - a_{3} = \frac{5}{2} - (-2) = \frac{5}{2} + 2 = \frac{9}{2}$।
किसी अनुक्रम के $AP$ होने के लिए,किन्हीं भी दो क्रमागत पदों के बीच का अंतर समान होना चाहिए।
यद्यपि $a_{2} - a_{1} = a_{3} - a_{2} = -\frac{1}{2}$ है,लेकिन $a_{4} - a_{3} = \frac{9}{2}$ है।
चूंकि सार्व अंतर पूरी श्रृंखला में समान नहीं है,इसलिए यह एक $AP$ नहीं बनाती है।

(N/A) माना कि दोनों $APs$ का सार्व अंतर $d$ है।
दिया गया है कि पहली $AP$ का प्रथम पद $a_1 = 2$ है और दूसरी $AP$ का प्रथम पद $b_1 = 7$ है।
$AP$ का $n$ वाँ पद $a_n = a + (n-1)d$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
पहली $AP$ के लिए,$n$ वाँ पद $a_n = 2 + (n-1)d$ है।
दूसरी $AP$ के लिए,$n$ वाँ पद $b_n = 7 + (n-1)d$ है।
उनके $n$ वें पदों के बीच का अंतर $b_n - a_n = [7 + (n-1)d] - [2 + (n-1)d] = 7 - 2 = 5$ है।
चूंकि अंतर $n$ पर निर्भर नहीं करता है,इसलिए किन्हीं भी दो संगत पदों के बीच का अंतर हमेशा $5$ रहता है।
अतः,$10$ वें पदों के बीच का अंतर $5$ है और $21$ वें पदों के बीच का अंतर भी $5$ है।

(B) नहीं,यह कथन असत्य है। प्रत्येक $km$ के बाद कुल किराया ($Rs.$ में) इस प्रकार परिकलित किया जाता है:
$1$ $km$ के लिए: $15$
$2$ $km$ के लिए: $15 + 8 = 23$
$3$ $km$ के लिए: $15 + 2 \times 8 = 31$
$4$ $km$ के लिए: $15 + 3 \times 8 = 39$
अतः,कुल किराए का अनुक्रम $15, 23, 31, 39, \ldots$ है।
माना $t_1 = 15, t_2 = 23, t_3 = 31, t_4 = 39$ है।
अब,सार्व अंतर की गणना करने पर:
$t_2 - t_1 = 23 - 15 = 8$
$t_3 - t_2 = 31 - 23 = 8$
$t_4 - t_3 = 39 - 31 = 8$
चूंकि क्रमागत पदों के बीच का अंतर समान है (सार्व अंतर $d = 8$),इसलिए यह अनुक्रम एक समांतर श्रेणी $(AP)$ बनाता है।

(A) $(i)$ एक छात्र से हर महीने ली जाने वाली फीस $400, 400, 400, 400, \ldots$ है। यह एक $AP$ बनाती है क्योंकि सार्व अंतर $(d) = 400 - 400 = 0$ स्थिर है।
$(ii)$ कक्षा $I$ से $XII$ के लिए ली जाने वाली फीस $250, (250+50), (250+2 \times 50), (250+3 \times 50), \ldots$ अर्थात $250, 300, 350, 400, \ldots$ है। यह एक $AP$ बनाती है क्योंकि सार्व अंतर $(d) = 300 - 250 = 50$ स्थिर है।
$(iii)$ एक वर्ष के लिए साधारण ब्याज $\frac{1000 \times 10 \times 1}{100} = 100$ है। हर साल के अंत में खाते में राशि $1000, (1000+100), (1000+200), (1000+300), \ldots$ अर्थात $1000, 1100, 1200, 1300, \ldots$ है। यह एक $AP$ बनाती है क्योंकि सार्व अंतर $(d) = 1100 - 1000 = 100$ स्थिर है।
$(iv)$ मान लीजिए बैक्टीरिया की प्रारंभिक संख्या $x$ है। चूंकि वे हर सेकंड में दोगुने हो जाते हैं,इसलिए अनुक्रम $x, 2x, 4x, 8x, \ldots$ है। यहाँ,$t_2 - t_1 = x$ और $t_3 - t_2 = 2x$ है। चूंकि अंतर समान नहीं है,इसलिए यह $AP$ नहीं बनाती है।

(N/A) $(i)$ हाँ,यहाँ $a_{n}=2n-3$ है।
$n=1$ रखने पर,$a_{1}=2(1)-3=-1$ है।
$n=2$ रखने पर,$a_{2}=2(2)-3=1$ है।
$n=3$ रखने पर,$a_{3}=2(3)-3=3$ है।
$n=4$ रखने पर,$a_{4}=2(4)-3=5$ है।
संख्याओं की सूची $-1, 1, 3, 5, \ldots$ है।
यहाँ,$a_{2}-a_{1}=1-(-1)=2$,$a_{3}-a_{2}=3-1=2$,और $a_{4}-a_{3}=5-3=2$ है।
चूँकि सार्व अंतर $d=2$ समान है,इसलिए $2n-3$ एक $AP$ का $n$ वाँ पद है।
$(ii)$ नहीं,यहाँ $a_{n}=3n^{2}+5$ है।
$n=1$ रखने पर,$a_{1}=3(1)^{2}+5=8$ है।
$n=2$ रखने पर,$a_{2}=3(2)^{2}+5=17$ है।
$n=3$ रखने पर,$a_{3}=3(3)^{2}+5=32$ है।
संख्याओं की सूची $8, 17, 32, \ldots$ है।
यहाँ,$a_{2}-a_{1}=17-8=9$ और $a_{3}-a_{2}=32-17=15$ है।
चूँकि $a_{2}-a_{1} \neq a_{3}-a_{2}$,इसलिए यह $AP$ नहीं बनाता है।
$(iii)$ नहीं,यहाँ $a_{n}=1+n+n^{2}$ है।
$n=1$ रखने पर,$a_{1}=1+1+(1)^{2}=3$ है।
$n=2$ रखने पर,$a_{2}=1+2+(2)^{2}=7$ है।
$n=3$ रखने पर,$a_{3}=1+3+(3)^{2}=13$ है।
संख्याओं की सूची $3, 7, 13, \ldots$ है।
यहाँ,$a_{2}-a_{1}=7-3=4$ और $a_{3}-a_{2}=13-7=6$ है।
चूँकि $a_{2}-a_{1} \neq a_{3}-a_{2}$,इसलिए यह $AP$ नहीं बनाता है।

(D) यदि तीन पद $a, b, c$ एक $AP$ में हैं,तो $b - a = c - b$ होता है,जिसका अर्थ है $2b = a + c$।
दिए गए पद $n-2, 4n-1, 5n+2$ हैं।
प्रतिबंध $2(4n-1) = (n-2) + (5n+2)$ लागू करने पर।
$8n - 2 = 6n$।
$8n - 6n = 2$।
$2n = 2$।
अतः,$n = 1$।

(N/A) यहाँ,$a_{1}=0, a_{2}=\frac{1}{4}, a_{3}=\frac{1}{2}$ और $a_{4}=\frac{3}{4}$ है।
सार्व अंतर $d$ की गणना करें:
$a_{2}-a_{1} = \frac{1}{4} - 0 = \frac{1}{4}$
$a_{3}-a_{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$
$a_{4}-a_{3} = \frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$
चूँकि क्रमागत पदों के बीच का अंतर समान $(d = \frac{1}{4})$ है,इसलिए दी गई श्रृंखला एक $AP$ बनाती है।
अगले तीन पद इस प्रकार हैं:
$a_{5} = a_{4} + d = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$
$a_{6} = a_{5} + d = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$
$a_{7} = a_{6} + d = \frac{5}{4} + \frac{1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

(A) दी गई अनुक्रम: $5, \frac{14}{3}, \frac{13}{3}, 4, \ldots$
यहाँ,$a_{1}=5, a_{2}=\frac{14}{3}, a_{3}=\frac{13}{3}$ और $a_{4}=4$ है।
सार्व अंतर की गणना करें:
$a_{2}-a_{1} = \frac{14}{3} - 5 = \frac{14-15}{3} = -\frac{1}{3}$
$a_{3}-a_{2} = \frac{13}{3} - \frac{14}{3} = -\frac{1}{3}$
$a_{4}-a_{3} = 4 - \frac{13}{3} = \frac{12-13}{3} = -\frac{1}{3}$
चूंकि क्रमागत पदों के बीच का अंतर समान है $(d = -\frac{1}{3})$,इसलिए दी गई अनुक्रम एक $AP$ है।
अगले तीन पद हैं:
$a_{5} = a_{4} + d = 4 + (-\frac{1}{3}) = \frac{12-1}{3} = \frac{11}{3}$
$a_{6} = a_{5} + d = \frac{11}{3} + (-\frac{1}{3}) = \frac{10}{3}$
$a_{7} = a_{6} + d = \frac{10}{3} + (-\frac{1}{3}) = \frac{9}{3} = 3$
अतः,अगले तीन पद $\frac{11}{3}, \frac{10}{3}, 3$ हैं।

(N/A) यहाँ,$a_{1}=\sqrt{3}, a_{2}=2 \sqrt{3}$ और $a_{3}=3 \sqrt{3}$ है।
सार्व अंतर की गणना करें:
$a_{2}-a_{1}=2 \sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}$
$a_{3}-a_{2}=3 \sqrt{3}-2 \sqrt{3}=\sqrt{3}$
चूँकि $a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\sqrt{3}$,जो कि सार्व अंतर $(d)$ है,इसलिए दी गई अनुक्रम एक $AP$ बनाती है।
अगले तीन पद इस प्रकार हैं:
$a_{4}=a_{3}+d=3 \sqrt{3}+\sqrt{3}=4 \sqrt{3}$
$a_{5}=a_{4}+d=4 \sqrt{3}+\sqrt{3}=5 \sqrt{3}$
$a_{6}=a_{5}+d=5 \sqrt{3}+\sqrt{3}=6 \sqrt{3}$

(N/A) दी गई अनुक्रम: $a_1 = a+b, a_2 = a+1+b, a_3 = a+1+b+1$.
सार्व अंतर $d$ की गणना करें:
$d_1 = a_2 - a_1 = (a+1+b) - (a+b) = 1$.
$d_2 = a_3 - a_2 = (a+1+b+1) - (a+1+b) = 1$.
चूंकि $d_1 = d_2 = 1$,सार्व अंतर समान है,इसलिए यह अनुक्रम एक $AP$ है।
अगले तीन पद हैं:
$a_4 = a_3 + d = (a+1+b+1) + 1 = a+b+3 = (a+2)+(b+1)$.
$a_5 = a_4 + d = (a+b+3) + 1 = a+b+4 = (a+2)+(b+2)$.
$a_6 = a_5 + d = (a+b+4) + 1 = a+b+5 = (a+3)+(b+2)$.

(A) दी गई श्रेणी: $a_1 = a, a_2 = 2a+1, a_3 = 3a+2, a_4 = 4a+3$ है।
सार्व अंतर $d$ की गणना करें:
$d_1 = a_2 - a_1 = (2a+1) - a = a+1$
$d_2 = a_3 - a_2 = (3a+2) - (2a+1) = a+1$
$d_3 = a_4 - a_3 = (4a+3) - (3a+2) = a+1$
चूंकि $d_1 = d_2 = d_3 = a+1$ है,इसलिए सार्व अंतर समान है। अतः,यह श्रेणी एक $AP$ है।
अगले तीन पद हैं:
$a_5 = a_4 + d = (4a+3) + (a+1) = 5a+4$
$a_6 = a_5 + d = (5a+4) + (a+1) = 6a+5$
$a_7 = a_6 + d = (6a+5) + (a+1) = 7a+6$

(B) आकृति से यह देखा जा सकता है कि:
$1$ ला चरण $\frac{1}{2} \, m$ चौड़ा है,
$2$ रा चरण $1 \, m$ चौड़ा है,
$3$ रा चरण $\frac{3}{2} \, m$ चौड़ा है।
इसलिए,प्रत्येक चरण की चौड़ाई हर बार $\frac{1}{2} \, m$ बढ़ रही है,जबकि उनकी ऊंचाई $\frac{1}{4} \, m$ और लंबाई $50 \, m$ समान रहती है।
इस प्रकार,इन चरणों की चौड़ाई एक समांतर श्रेणी (Arithmetic Progression) बनाती है: $\frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, 2, \dots$
$1$ ले चरण में कंक्रीट का आयतन $= \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} \times \text{ऊंचाई} = 50 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{25}{4} \, m^3$.
$2$ रे चरण में कंक्रीट का आयतन $= 50 \times 1 \times \frac{1}{4} = \frac{25}{2} \, m^3$.
$3$ रे चरण में कंक्रीट का आयतन $= 50 \times \frac{3}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{75}{4} \, m^3$.
इन चरणों में कंक्रीट का आयतन एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ बनाता है,जिसका प्रथम पद $a = \frac{25}{4}$ और सार्व अंतर $d = \frac{25}{2} - \frac{25}{4} = \frac{25}{4}$ है।
$n = 15$ चरणों के लिए कुल आयतन योग के सूत्र $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ द्वारा प्राप्त किया जाता है।
$S_{15} = \frac{15}{2} \left[ 2 \left( \frac{25}{4} \right) + (15 - 1) \left( \frac{25}{4} \right) \right]$
$S_{15} = \frac{15}{2} \left[ \frac{25}{2} + 14 \times \frac{25}{4} \right] = \frac{15}{2} \left[ \frac{25}{2} + \frac{175}{2} \right]$
$S_{15} = \frac{15}{2} \left[ \frac{200}{2} \right] = \frac{15}{2} \times 100 = 750$.
अतः,सीढ़ी बनाने के लिए आवश्यक कंक्रीट का कुल आयतन $750 \, m^3$ है।

दिया गया है कि,प्रथम पद $(a) = \frac{1}{2}$ और सार्व अंतर $(d) = -\frac{1}{6}$ है।
$AP$ का व्यापक रूप $a, a+d, a+2d, \dots$ होता है।
प्रथम पद $(T_1) = a = \frac{1}{2}$।
द्वितीय पद $(T_2) = a + d = \frac{1}{2} + (-\frac{1}{6}) = \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$।
तृतीय पद $(T_3) = a + 2d = \frac{1}{2} + 2(-\frac{1}{6}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$।
अतः,अभीष्ट तीन पद $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{6}$ हैं।