Arithmetic Progressions Questions in Hindi

(A) दिया गया है कि,प्रथम पद $(a) = -5$ और सार्व अंतर $(d) = -3$ है।
$AP$ का व्यापक रूप $a, a+d, a+2d, \dots$ होता है।
प्रथम पद $(T_1) = a = -5$ है।
द्वितीय पद $(T_2) = a + d = -5 + (-3) = -8$ है।
तृतीय पद $(T_3) = a + 2d = -5 + 2(-3) = -5 - 6 = -11$ है।
अतः,$AP$ के प्रथम तीन पद $-5, -8, -11$ हैं।

(A) दिया गया है कि,प्रथम पद $(a) = \sqrt{2}$ और सार्व अंतर $(d) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
$AP$ का व्यापक रूप $a, a+d, a+2d, \dots$ होता है।
प्रथम पद $(T_{1}) = a = \sqrt{2}$ है।
द्वितीय पद $(T_{2}) = a + d = \sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{2} \times \sqrt{2}) + 1}{\sqrt{2}} = \frac{2 + 1}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$ है।
तृतीय पद $(T_{3}) = a + 2d = \sqrt{2} + 2 \times \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} = \frac{2 \times 2}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}}$ है।
अतः,अभीष्ट तीन पद $\sqrt{2}, \frac{3}{\sqrt{2}}, \frac{4}{\sqrt{2}}$ हैं।

(A) यहाँ दिया गया है कि,प्रथम पद $(a) = \sqrt{2}$ और सार्व अंतर $(d) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
$AP$ का व्यापक रूप $a, a+d, a+2d, \dots$ होता है।
प्रथम पद $(T_1) = a = \sqrt{2}$.
दूसरा पद $(T_2) = a + d = \sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{2} \times \sqrt{2}) + 1}{\sqrt{2}} = \frac{2+1}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$.
तीसरा पद $(T_3) = a + 2d = \sqrt{2} + 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} + \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{2} \times \sqrt{2}) + 2}{\sqrt{2}} = \frac{2+2}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}}$.
अतः,प्रथम तीन पद $\sqrt{2}, \frac{3}{\sqrt{2}}, \frac{4}{\sqrt{2}}$ हैं।

(A) चूंकि $a, 7, b, 23, c$ समांतर श्रेणी $(AP)$ में हैं,इसलिए सार्व अंतर $d$ समान होगा।
$d = 7 - a = b - 7 = 23 - b = c - 23$।
$b - 7 = 23 - b$ लेने पर,$2b = 30$ प्राप्त होता है,अतः $b = 15$।
$7 - a = b - 7$ में $b = 15$ रखने पर:
$7 - a = 15 - 7 = 8$,जिससे $a = 7 - 8 = -1$ प्राप्त होता है।
$c - 23 = 23 - b$ में $b = 15$ रखने पर:
$c - 23 = 23 - 15 = 8$,जिससे $c = 8 + 23 = 31$ प्राप्त होता है।
अतः,$a = -1, b = 15, c = 31$।

(D) चूंकि पद $k^{2}+4k+8, 2k^{2}+3k+6$ और $3k^{2}+4k+4$ एक समांतर श्रेणी $(AP)$ में हैं,इसलिए क्रमागत पदों के बीच का अंतर समान होना चाहिए।
मान लीजिए पद $a_1, a_2, a_3$ हैं।
अतः,$a_2 - a_1 = a_3 - a_2$ होगा।
मान रखने पर:
$(2k^{2}+3k+6) - (k^{2}+4k+8) = (3k^{2}+4k+4) - (2k^{2}+3k+6)$
दोनों पक्षों को सरल करने पर:
$k^{2} - k - 2 = k^{2} + k - 2$
दोनों पक्षों से $k^{2}$ घटाने और $2$ जोड़ने पर:
$-k = k$
$2k = 0$
$k = 0$

(A) माना कि $207$ के तीन भाग $(a - d)$,$a$ और $(a + d)$ हैं,जो $AP$ में हैं।
दी गई शर्त के अनुसार:
इन भागों का योग $= 207$
$(a - d) + a + (a + d) = 207$
$3a = 207$
$a = 69$
दिया गया है कि दो छोटे भागों का गुणनफल $4623$ है:
$a(a - d) = 4623$
$69(69 - d) = 4623$
$69 - d = \frac{4623}{69}$
$69 - d = 67$
$d = 69 - 67 = 2$
अतः,तीन भाग इस प्रकार हैं:
पहला भाग $= a - d = 69 - 2 = 67$
दूसरा भाग $= a = 69$
तीसरा भाग $= a + d = 69 + 2 = 71$
इस प्रकार,अभीष्ट तीन भाग $67, 69, 71$ हैं।

(B) माना त्रिभुज के कोण $AP$ में $a-d, a, a+d$ हैं।
त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
$(a-d) + a + (a+d) = 180^{\circ}$
$3a = 180^{\circ} \Rightarrow a = 60^{\circ}$.
अतः कोण $60^{\circ}-d, 60^{\circ}, 60^{\circ}+d$ हैं।
दिया गया है कि सबसे बड़ा कोण सबसे छोटे कोण का दोगुना है:
$60^{\circ}+d = 2(60^{\circ}-d)$
$60^{\circ}+d = 120^{\circ}-2d$
$3d = 60^{\circ} \Rightarrow d = 20^{\circ}$.
$d = 20^{\circ}$ का मान कोणों में रखने पर:
सबसे छोटा कोण: $60^{\circ}-20^{\circ} = 40^{\circ}$.
मध्यम कोण: $60^{\circ}$.
सबसे बड़ा कोण: $60^{\circ}+20^{\circ} = 80^{\circ}$.
अतः,त्रिभुज के कोण $80^{\circ}, 60^{\circ}, 40^{\circ}$ हैं।

(N/A) यह निर्धारित करने के लिए कि अनुक्रम $1, 4, 9, 16, \ldots$ एक $A.P.$ है या नहीं,हम क्रमागत पदों के बीच के अंतर की जाँच करते हैं।
मान लीजिए अनुक्रम $a_1, a_2, a_3, a_4, \ldots$ है,जहाँ $a_1 = 1, a_2 = 4, a_3 = 9, a_4 = 16$ है।
पहला अंतर $d_1 = a_2 - a_1 = 4 - 1 = 3$ है।
दूसरा अंतर $d_2 = a_3 - a_2 = 9 - 4 = 5$ है।
चूँकि $d_1 \neq d_2$,इसलिए सार्व अंतर समान नहीं है।
अतः,अनुक्रम $1, 4, 9, 16, \ldots$ एक $A.P.$ नहीं है।

(D) यह जाँचने के लिए कि अनुक्रम $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \ldots$ एक $A.P.$ है या नहीं,हम क्रमागत पदों के बीच का अंतर निकालते हैं।
माना $a_1 = \frac{1}{2}$,$a_2 = \frac{2}{3}$,$a_3 = \frac{3}{4}$,$a_4 = \frac{4}{5}$.
सार्व अंतर $d_1 = a_2 - a_1 = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{4-3}{6} = \frac{1}{6}$.
सार्व अंतर $d_2 = a_3 - a_2 = \frac{3}{4} - \frac{2}{3} = \frac{9-8}{12} = \frac{1}{12}$.
चूँकि $d_1 \neq d_2$,क्रमागत पदों के बीच का अंतर समान नहीं है।
अतः,दिया गया अनुक्रम $A.P.$ नहीं है।

(A) $A.P.$ का सामान्य रूप $a, a+d, a+2d, a+3d, \ldots$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $a = 8$ और $d = 5$ दिया गया है।
इन मानों को रखने पर:
प्रथम पद $(T_1)$ = $a = 8$
द्वितीय पद $(T_2)$ = $a + d = 8 + 5 = 13$
तृतीय पद $(T_3)$ = $a + 2d = 8 + 2(5) = 8 + 10 = 18$
चतुर्थ पद $(T_4)$ = $a + 3d = 8 + 3(5) = 8 + 15 = 23$
अतः,$A.P.$ $8, 13, 18, 23, \ldots$ है।
सामान्य पद $T_n$ का मान $T_n = a + (n-1)d = 8 + (n-1)5 = 8 + 5n - 5 = 5n + 3$ है।

(A) $A.P.$ का सामान्य रूप $a, a+d, a+2d, a+3d, \ldots$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $a = -12$ और $d = 3$ दिए गए हैं।
प्रथम पद $T_1 = a = -12$.
दूसरा पद $T_2 = a + d = -12 + 3 = -9$.
तीसरा पद $T_3 = a + 2d = -12 + 2(3) = -12 + 6 = -6$.
चौथा पद $T_4 = a + 3d = -12 + 3(3) = -12 + 9 = -3$.
अतः,$A.P.$ $-12, -9, -6, -3, \ldots$ है।
$n$ वाँ पद $T_n = a + (n-1)d = -12 + (n-1)3 = -12 + 3n - 3 = 3n - 15$ द्वारा प्राप्त होता है।

(A) $A.P.$ का सामान्य रूप $a, a+d, a+2d, a+3d, \ldots$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $a = 21$ और $d = -7$ दिए गए हैं।
प्रथम पद $T_1 = a = 21$.
दूसरा पद $T_2 = a + d = 21 + (-7) = 14$.
तीसरा पद $T_3 = a + 2d = 21 + 2(-7) = 21 - 14 = 7$.
चौथा पद $T_4 = a + 3d = 21 + 3(-7) = 21 - 21 = 0$.
अतः,$A.P.$ है: $21, 14, 7, 0, \ldots$
सामान्य पद $T_n$ का सूत्र $T_n = a + (n-1)d = 21 + (n-1)(-7) = 21 - 7n + 7 = -7n + 28$ है।

(A) $A.P.$ का सामान्य रूप $a, a+d, a+2d, a+3d, \ldots$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $a = -15$ और $d = -7$ दिया गया है।
प्रथम पद $a_1 = -15$.
दूसरा पद $a_2 = a + d = -15 + (-7) = -22$.
तीसरा पद $a_3 = a + 2d = -15 + 2(-7) = -15 - 14 = -29$.
चौथा पद $a_4 = a + 3d = -15 + 3(-7) = -15 - 21 = -36$.
$n$ वाँ पद $T_n = a + (n-1)d = -15 + (n-1)(-7) = -15 - 7n + 7 = -7n - 8$ द्वारा प्राप्त होता है।
अतः,$A.P.$ $-15, -22, -29, -36, \ldots$ है और सामान्य पद $T_n = -7n - 8$ है।

(A) $A.P.$ का व्यापक रूप $a, a+d, a+2d, a+3d, \ldots$ होता है।
यहाँ $a = \frac{15}{2}$ और $d = \frac{3}{2}$ दिया गया है।
प्रथम पद $T_1 = a = \frac{15}{2} = 7.5$.
द्वितीय पद $T_2 = a + d = \frac{15}{2} + \frac{3}{2} = \frac{18}{2} = 9$.
तृतीय पद $T_3 = a + 2d = \frac{15}{2} + 2(\frac{3}{2}) = \frac{15}{2} + 3 = \frac{15+6}{2} = \frac{21}{2} = 10.5$.
चतुर्थ पद $T_4 = a + 3d = \frac{15}{2} + 3(\frac{3}{2}) = \frac{15+9}{2} = \frac{24}{2} = 12$.
अतः,$A.P.$ $\frac{15}{2}, 9, \frac{21}{2}, 12, \ldots$ है।
सामान्य पद $T_n = a + (n-1)d = \frac{15}{2} + (n-1)\frac{3}{2} = \frac{15 + 3n - 3}{2} = \frac{3n + 12}{2}$ है।

(A) माना $A.P.$ में तीन संख्याएँ $(a-d)$,$a$ और $(a+d)$ हैं।
प्रथम शर्त के अनुसार:
$(a-d) + a + (a+d) = 48$
$3a = 48$
$a = 16$
दूसरी शर्त के अनुसार:
$(a-d)^2 + a^2 + (a+d)^2 = 800$
$(a^2 - 2ad + d^2) + a^2 + (a^2 + 2ad + d^2) = 800$
$3a^2 + 2d^2 = 800$
$a = 16$ रखने पर:
$3(16)^2 + 2d^2 = 800$
$3(256) + 2d^2 = 800$
$768 + 2d^2 = 800$
$2d^2 = 32$
$d^2 = 16$
$d = \pm 4$
स्थिति $1$: यदि $a = 16$ और $d = 4$ है,तो संख्याएँ $(16-4), 16, (16+4)$ अर्थात $12, 16, 20$ हैं।
स्थिति $2$: यदि $a = 16$ और $d = -4$ है,तो संख्याएँ $(16-(-4)), 16, (16+(-4))$ अर्थात $20, 16, 12$ हैं।
अतः,अभीष्ट संख्याएँ $12, 16, 20$ या $20, 16, 12$ हैं।

(A) माना कि मूल संख्या के सैकड़े,दहाई और इकाई के स्थान पर अंक क्रमशः $a-d$,$a$ और $a+d$ हैं।
$\therefore$ मूल संख्या $= 100(a-d) + 10(a) + (a+d) = 111a - 99d$.
दिया गया है कि अंकों का योग $15$ है:
$(a-d) + a + (a+d) = 15$
$3a = 15$
$a = 5$.
जब अंकों को उलट दिया जाता है,तो नई संख्या होती है:
$100(a+d) + 10(a) + (a-d) = 111a + 99d$.
दिया गया है कि नई संख्या मूल संख्या से $594$ अधिक है:
$(111a + 99d) - (111a - 99d) = 594$
$198d = 594$
$d = 3$.
अतः,अंक इस प्रकार हैं:
सैकड़े का स्थान: $a-d = 5-3 = 2$
दहाई का स्थान: $a = 5$
इकाई का स्थान: $a+d = 5+3 = 8$
इस प्रकार,मूल संख्या $258$ है।

(D) चूंकि $2x$,$x+10$ और $3x+2$ एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ के तीन क्रमागत पद हैं,इसलिए क्रमागत पदों के बीच का सार्व अंतर समान होना चाहिए।
अतः,$(x+10) - 2x = (3x+2) - (x+10)$.
दोनों पक्षों को सरल करने पर:
$-x + 10 = 2x - 8$.
$x$ का मान ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$10 + 8 = 2x + x$.
$18 = 3x$.
$x = \frac{18}{3} = 6$.
अतः,$x$ का मान $6$ है।

(A) माना $A.P.$ में तीन संख्याएँ $(a-d)$, $a$, और $(a+d)$ हैं।
प्रश्न के अनुसार, उनका योग $(a-d) + a + (a+d) = -3$ है।
$3a = -3$, जिससे $a = -1$ प्राप्त होता है।
संख्याओं का गुणनफल $(a-d) \cdot a \cdot (a+d) = 8$ है।
$a = -1$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $(-1-d)(-1)(-1+d) = 8$ प्राप्त होता है।
$-1(1-d^2) = 8$, जो सरल होकर $d^2 - 1 = 8$ बन जाता है।
$d^2 = 9$, इसलिए $d = \pm 3$ है।
यदि $d = 3$ है, तो संख्याएँ $(-1-3), -1, (-1+3)$ अर्थात $-4, -1, 2$ हैं।
यदि $d = -3$ है, तो संख्याएँ $(-1-(-3)), -1, (-1+(-3))$ अर्थात $2, -1, -4$ हैं।
अतः, वे संख्याएँ $-4, -1, 2$ या $2, -1, -4$ हैं।

(A) तीन पदों $a, b, c$ के समांतर श्रेणी में होने के लिए शर्त $2b = a + c$ है।
यहाँ,$a = x+1$,$b = 3x$,और $c = 4x+2$ है।
इन मानों को शर्त में रखने पर:
$2(3x) = (x+1) + (4x+2)$
$6x = 5x + 3$
$6x - 5x = 3$
$x = 3$
अतः,$x$ का मान $3$ है।

(N/A) यह सिद्ध करने के लिए कि दिए गए पद $(a-b)^{2}, (a^{2}+b^{2})$ और $(a+b)^{2}$ एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ बनाते हैं,हमें यह दिखाना होगा कि क्रमागत पदों के बीच का अंतर समान है।
माना पद $T_1 = (a-b)^2$,$T_2 = (a^2+b^2)$,और $T_3 = (a+b)^2$ हैं।
सबसे पहले,दूसरे और पहले पद के बीच का अंतर $(d_1)$ ज्ञात करें:
$d_1 = T_2 - T_1 = (a^2 + b^2) - (a - b)^2$
$d_1 = (a^2 + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2)$
$d_1 = a^2 + b^2 - a^2 + 2ab - b^2 = 2ab$
अब,तीसरे और दूसरे पद के बीच का अंतर $(d_2)$ ज्ञात करें:
$d_2 = T_3 - T_2 = (a + b)^2 - (a^2 + b^2)$
$d_2 = (a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 + b^2)$
$d_2 = a^2 + 2ab + b^2 - a^2 - b^2 = 2ab$
चूंकि $d_1 = d_2 = 2ab$,इसलिए सार्व अंतर समान है।
अतः,दिए गए पद एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ बनाते हैं।

(A) माना $A.P.$ में चार संख्याएँ $(a-3d), (a-d), (a+d), (a+3d)$ हैं।
दिया गया है कि योग $50$ है:
$(a-3d) + (a-d) + (a+d) + (a+3d) = 50$
$4a = 50 \implies a = 12.5$.
सबसे छोटी संख्या $(a-3d)$ है और सबसे बड़ी संख्या $(a+3d)$ है।
दिया गया है कि सबसे बड़ी संख्या,सबसे छोटी संख्या की चार गुनी है:
$(a+3d) = 4(a-3d)$
$12.5 + 3d = 4(12.5 - 3d)$
$12.5 + 3d = 50 - 12d$
$15d = 37.5 \implies d = 2.5$.
अतः संख्याएँ हैं:
$12.5 - 3(2.5) = 12.5 - 7.5 = 5$
$12.5 - 2.5 = 10$
$12.5 + 2.5 = 15$
$12.5 + 3(2.5) = 12.5 + 7.5 = 20$.
इस प्रकार,संख्याएँ $5, 10, 15, 20$ या उल्टे क्रम में $20, 15, 10, 5$ हैं।

(A) माना कि $A.P.$ में तीन संख्याएँ $(a-d)$,$a$,और $(a+d)$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,उनका योग $(a-d) + a + (a+d) = 12$ है।
इसे सरल करने पर $3a = 12$ प्राप्त होता है,अतः $a = 4$ है।
अतः संख्याएँ $(4-d)$,$4$,और $(4+d)$ हैं।
उनके घनों का योग $(4-d)^3 + 4^3 + (4+d)^3 = 288$ है।
घनों का विस्तार करने पर: $(64 - 48d + 12d^2 - d^3) + 64 + (64 + 48d + 12d^2 + d^3) = 288$ प्राप्त होता है।
पदों को संयोजित करने पर: $192 + 24d^2 = 288$ प्राप्त होता है।
$24d^2 = 96$,जिससे $d^2 = 4$ प्राप्त होता है,अतः $d = \pm 2$ है।
यदि $d = 2$ है,तो संख्याएँ $(4-2), 4, (4+2)$ अर्थात $2, 4, 6$ हैं।
यदि $d = -2$ है,तो संख्याएँ $(4-(-2)), 4, (4+(-2))$ अर्थात $6, 4, 2$ हैं।
अतः,वे संख्याएँ $2, 4, 6$ या $6, 4, 2$ हैं।

(B) माना कि चतुर्भुज के चार कोण $a-3d, a-d, a+d, a+3d$ हैं।
यहाँ,क्रमागत पदों के बीच का सार्व अंतर $2d = 10^{\circ}$ है,इसलिए $d = 5^{\circ}$।
चतुर्भुज के कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है।
अतः,$(a-3d) + (a-d) + (a+d) + (a+3d) = 360^{\circ}$।
$4a = 360^{\circ} \implies a = 90^{\circ}$।
कोण इस प्रकार हैं:
$a-3d = 90^{\circ} - 3(5^{\circ}) = 90^{\circ} - 15^{\circ} = 75^{\circ}$।
$a-d = 90^{\circ} - 5^{\circ} = 85^{\circ}$।
$a+d = 90^{\circ} + 5^{\circ} = 95^{\circ}$।
$a+3d = 90^{\circ} + 3(5^{\circ}) = 90^{\circ} + 15^{\circ} = 105^{\circ}$।
इस प्रकार,कोण $75^{\circ}, 85^{\circ}, 95^{\circ}, 105^{\circ}$ हैं।

(C) दी गई समांतर श्रेणी $(A.P.)$ $-2, -4, -6, \ldots$ है।
समांतर श्रेणी का सार्व अंतर $d$ दूसरे पद में से पहले पद को घटाकर ज्ञात किया जाता है: $d = a_2 - a_1$।
यहाँ,$a_1 = -2$ और $a_2 = -4$ है।
अतः,$d = -4 - (-2) = -4 + 2 = -2$।
इस प्रकार,सार्व अंतर $d$ का मान $-2$ है।

(D) दी गई अनुक्रम $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, \ldots$ है।
इस अनुक्रम में,प्रत्येक पद अपने पिछले दो पदों का योग है:
$1 + 1 = 2$
$1 + 2 = 3$
$2 + 3 = 5$
$3 + 5 = 8$
$5 + 8 = 13$,और इसी प्रकार आगे।
यह पैटर्न फिबोनाची अनुक्रम को परिभाषित करता है,जहाँ $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ ($n > 2$ के लिए),जिसमें $F_1 = 1$ और $F_2 = 1$ है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) समांतर श्रेणी $(A.P.)$ संख्याओं की वह सूची है जिसमें क्रमागत पदों के बीच का अंतर स्थिर रहता है।
श्रेणी $2, 5, 8, 11, \ldots$ के लिए:
$T_2 - T_1 = 5 - 2 = 3$
$T_3 - T_2 = 8 - 5 = 3$
$T_4 - T_3 = 11 - 8 = 3$
चूंकि सार्व अंतर $d = 3$ स्थिर है,इसलिए यह श्रेणी एक $A.P.$ है।
अन्य विकल्पों के लिए:
$A$: $4-2=2$,$8-4=4$ (स्थिर नहीं है)
$B$: $0-3=-3$,$3-0=3$ (स्थिर नहीं है)
$D$: $4-0=4$,$-4-4=-8$ (स्थिर नहीं है)
अतः,$2, 5, 8, 11, \ldots$ सही समांतर श्रेणी है।

(B) समांतर श्रेणी $(A.P.)$ संख्याओं का एक ऐसा अनुक्रम है जिसमें किन्हीं भी दो क्रमागत पदों के बीच का अंतर समान होता है। इस समान अंतर को सार्व अंतर $(d)$ कहा जाता है।
आइए विकल्पों की जाँच करें:
विकल्प $A$: $\frac{1}{3} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{6}$,जबकि $\frac{1}{4} - \frac{1}{3} = -\frac{1}{12}$. चूँकि $-\frac{1}{6} \neq -\frac{1}{12}$,इसलिए यह $A.P.$ नहीं है।
विकल्प $B$: $\frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$,$0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$,और $-\frac{1}{2} - 0 = -\frac{1}{2}$. चूँकि सार्व अंतर $d = -\frac{1}{2}$ समान है,इसलिए यह एक $A.P.$ है।
विकल्प $C$: $6 - (-3) = 9$,जबकि $-6 - 6 = -12$. चूँकि $9 \neq -12$,इसलिए यह $A.P.$ नहीं है।
विकल्प $D$: $\frac{1}{5} - 5 = -\frac{24}{5}$,जबकि $3 - \frac{1}{5} = \frac{14}{5}$. चूँकि $-\frac{24}{5} \neq \frac{14}{5}$,इसलिए यह $A.P.$ नहीं है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) समांतर श्रेणी $(A.P.)$ संख्याओं का एक ऐसा अनुक्रम है जिसमें किन्हीं भी दो क्रमागत पदों के बीच का अंतर स्थिर होता है। इस स्थिर अंतर को सार्व अंतर $(d)$ कहा जाता है।
विकल्प $A$ के लिए: $-3 - (-1) = -2$,$-5 - (-3) = -2$,$-7 - (-5) = -2$। चूंकि अंतर समान है,इसलिए यह एक $A.P.$ है।
विकल्प $B$ के लिए: $15 - 20 = -5$,$10 - 15 = -5$,$5 - 10 = -5$। चूंकि अंतर समान है,इसलिए यह एक $A.P.$ है।
विकल्प $C$ के लिए: $-2 - 2 = -4$,$-6 - (-2) = -4$,$-10 - (-6) = -4$। चूंकि अंतर समान है,इसलिए यह एक $A.P.$ है।
विकल्प $D$ के लिए: $\frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{2-3}{6} = -\frac{1}{6}$,जबकि $\frac{1}{4} - \frac{1}{3} = \frac{3-4}{12} = -\frac{1}{12}$। चूंकि अंतर समान नहीं हैं,इसलिए यह अनुक्रम $A.P.$ नहीं है।

(B) एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में,अनुक्रम को $a, a+d, a+2d, \dots$ के रूप में दर्शाया जाता है,जहाँ $a$ प्रथम पद है और $d$ सार्व अंतर है।
अतः,प्रथम पद को अक्षर $a$ द्वारा दर्शाया जाता है।

(C) समांतर श्रेणी $(A.P.)$ संख्याओं की एक ऐसी श्रृंखला है जिसमें किन्हीं भी दो क्रमागत पदों के बीच का अंतर समान होता है। इस समान अंतर को सार्व अंतर $(d)$ कहा जाता है।
विकल्प $A$ के लिए: $0 - 1 = -1$,$-1 - 0 = -1$,$-2 - (-1) = -1$। चूँकि सार्व अंतर समान $(d = -1)$ है,इसलिए यह एक $A.P.$ है।
विकल्प $B$ के लिए: $6 - 7 = -1$,$5 - 6 = -1$,$4 - 5 = -1$। चूँकि सार्व अंतर समान $(d = -1)$ है,इसलिए यह एक $A.P.$ है।
विकल्प $C$ के लिए: $0 - 1 = -1$,लेकिन $1 - 0 = 1$। चूँकि अंतर समान नहीं है $(-1 \neq 1)$,इसलिए यह $A.P.$ नहीं है।
विकल्प $D$ के लिए: $-9 - (-10) = 1$,$-8 - (-9) = 1$,$-7 - (-8) = 1$। चूँकि सार्व अंतर समान $(d = 1)$ है,इसलिए यह एक $A.P.$ है।
अतः,श्रृंखला $1, 0, 1, 0, \ldots$ एक $A.P.$ नहीं है।

(D) समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में,संख्याओं की एक ऐसी श्रृंखला होती है जिसमें किन्हीं भी दो क्रमागत पदों के बीच का अंतर स्थिर रहता है।
इस स्थिर अंतर को $A.P.$ का सार्व अंतर (common difference) कहा जाता है।
गणितीय रूप से सार्व अंतर को $d$ अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है।
अतः,दो क्रमागत पदों $(a_{n} - a_{n-1})$ के बीच के अंतर को $d$ द्वारा निरूपित किया जाता है।

(B) दी गई समांतर श्रेणी $(A.P.)$ $-2, -4, -6, -8, \ldots$ है।
सार्व अंतर $(d)$ ज्ञात करने के लिए,हम दूसरे पद $(T_2)$ में से पहले पद $(T_1)$ को घटाते हैं।
$d = T_2 - T_1$
$d = -4 - (-2)$
$d = -4 + 2$
$d = -2$
अतः,सार्व अंतर $-2$ है।

(B) दी गई समांतर श्रेणी $(A.P.)$ $0, \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, \ldots$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 0$ और दूसरा पद $T_2 = \frac{1}{2}$ है।
समांतर श्रेणी का सार्व अंतर $d$,$d = T_2 - T_1$ के रूप में ज्ञात किया जाता है।
मान रखने पर,हमें $d = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,सार्व अंतर $\frac{1}{2}$ है।

(C) दी गई समांतर श्रेणी $(A.P.)$ $0.1, 0.4, 0.7, 1, \ldots$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a_1 = 0.1$,दूसरा पद $a_2 = 0.4$ और तीसरा पद $a_3 = 0.7$ है।
सार्व अंतर $d$ किन्हीं भी दो क्रमागत पदों के बीच का अंतर होता है:
$d = a_2 - a_1 = 0.4 - 0.1 = 0.3$
वैकल्पिक रूप से,$d = a_3 - a_2 = 0.7 - 0.4 = 0.3$
अतः,सार्व अंतर $0.3$ है।

(C) $A.P.$ का सार्व अंतर $d$ किन्हीं भी दो क्रमागत पदों के बीच के अंतर द्वारा प्राप्त किया जाता है,$d = a_{n} - a_{n-1}$।
यहाँ दिया गया $A.P.$ $\frac{3}{2}, \frac{7}{2}, \frac{11}{2}, \frac{15}{2}, \ldots$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a_1 = \frac{3}{2}$ और दूसरा पद $a_2 = \frac{7}{2}$ है।
अतः,$d = a_2 - a_1 = \frac{7}{2} - \frac{3}{2}$।
$d = \frac{7 - 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$।
इस प्रकार,सार्व अंतर $2$ है।

(A) समांतर श्रेणी $(A.P.)$ संख्याओं की एक ऐसी सूची है जिसमें प्रत्येक पद अपने पूर्ववर्ती पद में एक निश्चित संख्या जोड़ने पर प्राप्त होता है।
दी गई $A.P.$ में: $100, 98, 96, 94, \ldots$
समांतर श्रेणी के प्रथम पद को '$a$' द्वारा दर्शाया जाता है।
श्रेणी का अवलोकन करने पर,प्रथम पद $100$ है।
अतः,$a = 100$।

(C) $4$ के धनात्मक गुणज $4, 8, 12, 16, \dots$ हैं।
यह एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ बनाती है जहाँ प्रथम पद $a = 4$ है।
सार्व अंतर $d$ की गणना किन्हीं भी दो क्रमागत पदों के बीच के अंतर के रूप में की जाती है:
$d = a_2 - a_1 = 8 - 4 = 4$.
वैकल्पिक रूप से,$d = a_3 - a_2 = 12 - 8 = 4$.
अतः,सार्व अंतर $d$ का मान $4$ है।

(B) समांतर श्रेणी $(A.P.)$ का व्यापक रूप $a, a+d, a+2d, a+3d, \ldots$ होता है,जहाँ $a$ प्रथम पद है और $d$ सार्व अंतर है।
यहाँ,$a = -3$ और $d = 4$ दिया गया है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
प्रथम पद = $-3$
दूसरा पद = $a + d = -3 + 4 = 1$
तीसरा पद = $a + 2d = -3 + 2(4) = -3 + 8 = 5$
चौथा पद = $a + 3d = -3 + 3(4) = -3 + 12 = 9$
अतः,अभीष्ट $A.P.$ $-3, 1, 5, 9, \ldots$ है।

(C) समांतर श्रेणी $(A.P.)$ संख्याओं का एक ऐसा अनुक्रम है जिसमें किन्हीं भी दो क्रमागत पदों के बीच का अंतर समान होता है। इस समान अंतर को सार्व अंतर $(d)$ कहा जाता है।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$A$) $2, 2, 2, 2, \ldots$: यहाँ,$d = 2 - 2 = 0$ है। चूँकि सार्व अंतर समान $(0)$ है,इसलिए यह एक $A.P.$ है।
$B$) $0, 1, 0, 1, \ldots$: यहाँ,$1 - 0 = 1$ और $0 - 1 = -1$ है। चूँकि $1 \neq -1$,इसलिए यह $A.P.$ नहीं है।
$C$) $-3, -2, -1, 0, \ldots$: यहाँ,$d = -2 - (-3) = 1$ और $-1 - (-2) = 1$ है। चूँकि सार्व अंतर समान $(1)$ है,इसलिए यह भी एक $A.P.$ है।
नोट: विकल्प $A$ और $C$ दोनों समांतर श्रेणी हैं,लेकिन सामान्यतः $C$ को अधिक उपयुक्त माना जाता है।

(D) समांतर श्रेणी $(A.P.)$ संख्याओं की एक ऐसी सूची है जिसमें किन्हीं भी दो क्रमागत पदों के बीच का अंतर स्थिर होता है,जिसे सार्व अंतर $(d)$ कहा जाता है।
यदि किसी $A.P.$ का सार्व अंतर $d \neq 0$ है,तो श्रेणी का प्रत्येक पद भिन्न होता है।
यदि एक $A.P.$ के दो पद समान हों,मान लीजिए $n \neq m$ के लिए $a_n = a_m$,तो $a + (n-1)d = a + (m-1)d$ होगा।
इसे सरल करने पर $(n-1)d = (m-1)d$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $(n-m)d = 0$।
चूंकि $n \neq m$ है,इसलिए $d = 0$ होना चाहिए।
हालाँकि,प्रश्न में '$A.P.$ के भिन्न पदों' का उल्लेख है,जिसका अर्थ है कि पद एक-दूसरे से अलग होने चाहिए।
अतः,एक $A.P.$ के दो भिन्न पद कभी भी समान नहीं हो सकते।

(D) समांतर श्रेणी $(A.P.)$ का व्यापक रूप $a, a+d, a+2d, a+3d, \ldots$ होता है।
यहाँ,प्रथम पद $a = -3$ और सार्व अंतर $d = -2$ दिया गया है।
इन मानों को रखने पर:
प्रथम पद: $a = -3$
द्वितीय पद: $a + d = -3 + (-2) = -5$
तृतीय पद: $a + 2d = -3 + 2(-2) = -3 - 4 = -7$
चतुर्थ पद: $a + 3d = -3 + 3(-2) = -3 - 6 = -9$
अतः,समांतर श्रेणी $-3, -5, -7, -9, \ldots$ है।
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(C) समांतर श्रेणी $(A.P.)$ संख्याओं की एक ऐसी सूची है जिसमें किन्हीं भी दो क्रमागत पदों के बीच का अंतर समान होता है। इस स्थिर अंतर को सार्व अंतर $(d)$ कहा जाता है।
विकल्पों की जाँच करने पर:
विकल्प $A$: $3, 3, 3, 3, \ldots$. यहाँ,$d = 3 - 3 = 0$ है। चूँकि अंतर समान है,यह एक $A.P.$ है।
विकल्प $B$: $2, 22, 222, 2222, \ldots$. यहाँ,$22 - 2 = 20$ और $222 - 22 = 200$ है। चूँकि $20 \neq 200$,यह $A.P.$ नहीं है।
विकल्प $C$: $5, 15, 25, 35, \ldots$. यहाँ,$15 - 5 = 10$ और $25 - 15 = 10$ है। यह भी $d = 10$ के साथ एक $A.P.$ है।
विकल्प $D$: $4, -4, 4, -4, \ldots$. यहाँ,$-4 - 4 = -8$ और $4 - (-4) = 8$ है। चूँकि $-8 \neq 8$,यह $A.P.$ नहीं है।
नोट: गणितीय रूप से $A$ और $C$ दोनों समांतर श्रेणियाँ हैं,लेकिन मानक पाठ्यपुस्तकों में $C$ को अधिक उपयुक्त उदाहरण माना जाता है।

(C) माना कि $A.P.$ के तीन क्रमागत पद $(a-d)$,$a$,और $(a+d)$ हैं।
दिया गया है कि इन पदों का योग $30$ है:
$(a-d) + a + (a+d) = 30$
$3a = 30$
$a = 10$
दिया गया है कि पहले और अंतिम पद का गुणनफल $75$ है:
$(a-d)(a+d) = 75$
$a^2 - d^2 = 75$
$a = 10$ प्रतिस्थापित करने पर:
$10^2 - d^2 = 75$
$100 - d^2 = 75$
$d^2 = 100 - 75 = 25$
$d = \pm 5$
चूंकि विकल्प में $5$ दिया गया है,इसलिए सार्व अंतर $5$ है।

(C) दिया गया है कि $k+1, 8, k+9$ एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ के तीन क्रमागत पद हैं।
चूँकि समांतर श्रेणी में सार्व अंतर $d$ समान होता है,इसलिए:
$8 - (k+1) = (k+9) - 8$
$8 - k - 1 = k + 1$
$7 - k = k + 1$
$7 - 1 = k + k$
$6 = 2k$
$k = 3$

(D) अनुक्रम $1, 3, 6, 10, \ldots$ की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,आइए क्रमागत पदों के बीच के अंतर की जाँच करें:
$3 - 1 = 2$
$6 - 3 = 3$
$10 - 6 = 4$
अंतर $2, 3, 4, \ldots$ हैं,जो स्थिर नहीं हैं,इसलिए यह एक समांतर श्रेणी नहीं है।
अनुपात $3/1 = 3$,$6/3 = 2$,$10/6 = 1.66$ हैं,जो स्थिर नहीं हैं,इसलिए यह एक गुणोत्तर श्रेणी नहीं है।
फाइबोनैचि अनुक्रम $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ द्वारा परिभाषित होता है,जो इस पैटर्न से मेल नहीं खाता है।
इन संख्याओं को त्रिकोणीय संख्याओं के रूप में जाना जाता है,जो सूत्र $T_n = \frac{n(n+1)}{2}$ द्वारा परिभाषित होती हैं।
$n=1$ के लिए $T_1 = 1$; $n=2$ के लिए $T_2 = 3$; $n=3$ के लिए $T_3 = 6$; $n=4$ के लिए $T_4 = 10$ प्राप्त होता है। अतः,यह त्रिकोणीय संख्याओं का अनुक्रम है।

(B) दी गई $A.P.$ $5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, \ldots$ है।
इस अनुक्रम में भाज्य संख्याओं को खोजने के लिए,हम प्रत्येक पद की जाँच करते हैं:
$5$: अभाज्य
$7$: अभाज्य
$9$: भाज्य $(3 \times 3)$
$11$: अभाज्य
$13$: अभाज्य
$15$: भाज्य $(3 \times 5)$
$17$: अभाज्य
$19$: अभाज्य
$21$: भाज्य $(3 \times 7)$
$23$: अभाज्य
$25$: भाज्य $(5 \times 5)$
अनुक्रम में भाज्य संख्याएँ $9, 15, 21, 25, \ldots$ हैं।
पहली भाज्य संख्या $9$ है।
दूसरी भाज्य संख्या $15$ है।
तीसरी भाज्य संख्या $21$ है।
चौथी भाज्य संख्या $25$ है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में,सार्व अंतर $d$ को किन्हीं दो क्रमागत पदों के बीच के अंतर के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिया गया है कि $x, y, z$ एक $A.P.$ के तीन क्रमागत पद हैं।
इसलिए,$d = y - x$ और $d = z - y$ है।
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $d + d = (y - x) + (z - y)$।
$2d = z - x$।
अतः,$d = \frac{z - x}{2}$।

(D) यदि तीन पद $a, b, c$ समांतर श्रेणी में हैं,तो मध्य पद अन्य दो पदों का समांतर माध्य होता है।
यह सूत्र $b = \frac{a + c}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$a = 2$,$b = x$,और $c = 20$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$x = \frac{2 + 20}{2}$
$x = \frac{22}{2}$
$x = 11$.
अतः,$x$ का मान $11$ है।