Mix Examples - Polynomials Questions in Gujarati

(N/A) સૌ પ્રથમ આપણે ભાજ્ય અને ભાજકના પદોને તેમની ઘાતના ઉતરતા ક્રમમાં ગોઠવીએ છીએ. આને બહુપદીઓને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં લખવું કહેવાય છે. ભાજ્ય પહેલેથી જ પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં છે,અને ભાજકનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $x^{2}+2x+1$ છે.
પગલું $1$: ભાગફળનું પ્રથમ પદ મેળવવા માટે,ભાજ્યના સૌથી મોટી ઘાતવાળા પદ $(3x^{3})$ ને ભાજકના સૌથી મોટી ઘાતવાળા પદ $(x^{2})$ વડે ભાગો. આનાથી $3x$ મળે છે. ભાજકને $3x$ વડે ગુણતા,આપણને $3x(x^{2}+2x+1) = 3x^{3}+6x^{2}+3x$ મળે છે. ભાજ્યમાંથી આ બાદ કરતા,આપણને $(3x^{3}+x^{2}+2x+5) - (3x^{3}+6x^{2}+3x) = -5x^{2}-x+5$ મળે છે.
પગલું $2$: ભાગફળનું બીજું પદ મેળવવા માટે,નવા ભાજ્યના સૌથી મોટી ઘાતવાળા પદ $(-5x^{2})$ ને ભાજકના સૌથી મોટી ઘાતવાળા પદ $(x^{2})$ વડે ભાગો. આનાથી $-5$ મળે છે. ભાજકને $-5$ વડે ગુણતા,આપણને $-5(x^{2}+2x+1) = -5x^{2}-10x-5$ મળે છે. વર્તમાન ભાજ્યમાંથી આ બાદ કરતા,આપણને $(-5x^{2}-x+5) - (-5x^{2}-10x-5) = 9x+10$ મળે છે.
પગલું $3$: શેષ $9x+10$ ની ઘાત $1$ છે,જે ભાજકની ઘાત $(2)$ કરતા ઓછી છે. તેથી,ભાગાકારની પ્રક્રિયા અહીં પૂર્ણ થાય છે.
આમ,ભાગફળ $3x-5$ છે અને શેષ $9x+10$ છે.

(N/A) નોંધો કે આપેલ બહુપદીઓ પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં નથી. ભાગાકાર કરવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ ભાજ્ય અને ભાજક બંનેને તેમની ઘાતના ઉતરતા ક્રમમાં લખીએ છીએ.
તેથી,ભાજ્ય $= -x^{3}+3x^{2}-3x+5$ અને ભાજક $= -x^{2}+x-1$.
ભાગાકારની પ્રક્રિયા:
$(-x^{2}+x-1) \overline{) -x^{3}+3x^{2}-3x+5}$
$1$. ભાજ્યના પ્રથમ પદ $-x^{3}$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $-x^{2}$ વડે ભાગતા $x$ મળે છે. આ ભાગફળનું પ્રથમ પદ છે.
$2$. ભાજક $(-x^{2}+x-1)$ ને $x$ વડે ગુણતા $-x^{3}+x^{2}-x$ મળે છે. તેને ભાજ્યમાંથી બાદ કરતા $2x^{2}-2x+5$ મળે છે.
$3$. નવા ભાજ્યના પ્રથમ પદ $2x^{2}$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $-x^{2}$ વડે ભાગતા $-2$ મળે છે. આ ભાગફળનું બીજું પદ છે.
$4$. ભાજક $(-x^{2}+x-1)$ ને $-2$ વડે ગુણતા $2x^{2}-2x+2$ મળે છે. તેને વર્તમાન ભાજ્યમાંથી બાદ કરતા $3$ મળે છે.
અહીં આપણે અટકીએ છીએ કારણ કે શેષ $(3)$ ની ઘાત $0$ છે,જે ભાજક $(-x^{2}+x-1)$ ની ઘાત $2$ કરતા ઓછી છે.
તેથી,ભાગફળ $= x-2$,શેષ $= 3$.
ચકાસણી:
ભાજક $\times$ ભાગફળ $+$ શેષ
$= (-x^{2}+x-1)(x-2)+3$
$= -x^{3}+2x^{2}+x^{2}-2x-x+2+3$
$= -x^{3}+3x^{2}-3x+5$
$= \text{ભાજ્ય}$.
આમ,ભાગાકારની પૂર્વધારણા ચકાસાય છે.

(N/A) $p(x) = x^{4} - 5x + 6$ ને $g(x) = -x^{2} + 2$ વડે ભાગવા માટે,આપણે પદોને તેમના ઘાતાંકના ઉતરતા ક્રમમાં ગોઠવીએ છીએ:
$p(x) = x^{4} + 0x^{3} + 0x^{2} - 5x + 6$
$g(x) = -x^{2} + 2$
ભાગાકારની લાંબી રીત કરતા:
$1$. $p(x)$ ના પ્રથમ પદને $g(x)$ ના પ્રથમ પદ વડે ભાગતા: $x^{4} / (-x^{2}) = -x^{2}$. આ ભાગફળનું પ્રથમ પદ છે.
$2$. $-x^{2}$ ને $(-x^{2} + 2)$ સાથે ગુણતા $x^{4} - 2x^{2}$ મળે છે. તેને $p(x)$ માંથી બાદ કરતા $2x^{2} - 5x + 6$ મળે છે.
$3$. નવી બહુપદીના પ્રથમ પદ $(2x^{2})$ ને $g(x)$ ના પ્રથમ પદ $(-x^{2})$ વડે ભાગતા: $2x^{2} / (-x^{2}) = -2$. આ ભાગફળનું બીજું પદ છે.
$4$. $-2$ ને $(-x^{2} + 2)$ સાથે ગુણતા $2x^{2} - 4$ મળે છે. તેને $2x^{2} - 5x + 6$ માંથી બાદ કરતા $-5x + 10$ મળે છે.
આમ,ભાગફળ $-x^{2} - 2$ છે અને શેષ $-5x + 10$ છે.

(A) પ્રથમ બહુપદી એ બીજી બહુપદીનો અવયવ છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે $3x^{4}+5x^{3}-7x^{2}+2x+2$ ને $x^{2}+3x+1$ વડે ભાગાકાર કરીશું.
પગલું $1$: $3x^{4}$ ને $x^{2}$ વડે ભાગતા $3x^{2}$ મળે છે. $3x^{2}(x^{2}+3x+1) = 3x^{4}+9x^{3}+3x^{2}$ ગુણાકાર કરો. તેને ભાજ્યમાંથી બાદ કરતા $-4x^{3}-10x^{2}+2x+2$ મળે છે.
પગલું $2$: $-4x^{3}$ ને $x^{2}$ વડે ભાગતા $-4x$ મળે છે. $-4x(x^{2}+3x+1) = -4x^{3}-12x^{2}-4x$ ગુણાકાર કરો. તેને બાદ કરતા $2x^{2}+6x+2$ મળે છે.
પગલું $3$: $2x^{2}$ ને $x^{2}$ વડે ભાગતા $2$ મળે છે. $2(x^{2}+3x+1) = 2x^{2}+6x+2$ ગુણાકાર કરો. તેને બાદ કરતા શેષ $0$ મળે છે.
અહીં શેષ $0$ હોવાથી,પ્રથમ બહુપદી એ બીજી બહુપદીનો અવયવ છે.

(N/A) પ્રથમ બહુપદી એ બીજી બહુપદીનો અવયવ છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે બહુપદીનો ભાગાકાર કરીશું.
$x^{5}-4x^{3}+x^{2}+3x+1$ ને $x^{3}-3x+1$ વડે ભાગતા:
$1$. ભાજ્યના પ્રથમ પદ $(x^{5})$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(x^{3})$ વડે ભાગતા $x^{2}$ મળે છે.
$2$. $x^{2}$ નો $(x^{3}-3x+1)$ સાથે ગુણાકાર કરતા $x^{5}-3x^{3}+x^{2}$ મળે છે.
$3$. આને ભાજ્યમાંથી બાદ કરતા: $(x^{5}-4x^{3}+x^{2}+3x+1) - (x^{5}-3x^{3}+x^{2}) = -x^{3}+3x+1$ મળે છે.
$4$. નવી બહુપદીના પ્રથમ પદ $(-x^{3})$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(x^{3})$ વડે ભાગતા $-1$ મળે છે.
$5$. $-1$ નો $(x^{3}-3x+1)$ સાથે ગુણાકાર કરતા $-x^{3}+3x-1$ મળે છે.
$6$. આને વર્તમાન શેષમાંથી બાદ કરતા: $(-x^{3}+3x+1) - (-x^{3}+3x-1) = 2$ મળે છે.
અહીં શેષ $2$ મળે છે (જે $\neq 0$ છે),તેથી પ્રથમ બહુપદી એ બીજી બહુપદીનો અવયવ નથી.

(N/A) આપેલ છે:
ભાજ્ય $p(x) = x^{3}-3 x^{2}+x+2$
ભાગફળ $q(x) = x-2$
શેષ $r(x) = -2 x+4$
ભાજક $g(x) = ?$
બહુપદી માટે ભાગાકારના પૂર્વધારણાનો ઉપયોગ કરતા:
$p(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x)$
$x^{3}-3 x^{2}+x+2 = g(x) \cdot (x-2) + (-2 x+4)$
$g(x) \cdot (x-2)$ ને અલગ કરવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા:
$g(x) \cdot (x-2) = (x^{3}-3 x^{2}+x+2) - (-2 x+4)$
$g(x) \cdot (x-2) = x^{3}-3 x^{2}+x+2+2 x-4$
$g(x) \cdot (x-2) = x^{3}-3 x^{2}+3 x-2$
હવે,$g(x)$ શોધવા માટે $(x^{3}-3 x^{2}+3 x-2)$ ને $(x-2)$ વડે ભાગતા:
બહુપદીના લાંબા ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$(x^{3}-3 x^{2}+3 x-2) \div (x-2) = x^{2}-x+1$
તેથી,$g(x) = x^{2}-x+1$.

(N/A) ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,જો $p(x)$ અને $g(x)$ બે બહુપદીઓ હોય જ્યાં $g(x) \neq 0,$ તો આપણે એવી બહુપદીઓ $q(x)$ અને $r(x)$ શોધી શકીએ કે જેથી $p(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x)$ થાય,જ્યાં $r(x) = 0$ અથવા $\operatorname{deg} r(x) < \operatorname{deg} g(x).$
બહુપદીની ઘાત એટલે બહુપદીમાં રહેલા ચલની મહત્તમ ઘાત.
$\operatorname{deg} p(x) = \operatorname{deg} q(x)$ ની શરત સંતોષવા માટે,ભાગફળની ઘાત એ ભાજ્યની ઘાત જેટલી હોવી જોઈએ. આ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે ભાજક $g(x)$ એક અચળ પદ હોય.
ધારો કે $p(x) = 6x^2 + 2x + 2$ ને $g(x) = 2$ વડે ભાગવામાં આવે છે.
અહીં,$p(x) = 6x^2 + 2x + 2,$
$g(x) = 2,$
$q(x) = 3x^2 + x + 1,$
$r(x) = 0.$
$p(x)$ ની ઘાત $2$ છે અને $q(x)$ ની ઘાત પણ $2$ છે,તેથી $\operatorname{deg} p(x) = \operatorname{deg} q(x).$
ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેયની ચકાસણી:
$p(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x)$
$6x^2 + 2x + 2 = 2(3x^2 + x + 1) + 0$
$6x^2 + 2x + 2 = 6x^2 + 2x + 2.$
આમ,ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેયનું પાલન થાય છે.

(A) કોઈપણ દ્વિઘાત બહુપદી $ax^{2} + bx + c$ $(a \neq 0)$ માટે,સંબંધિત સમીકરણ $y = ax^{2} + bx + c$ નો આલેખ એક પરવલય (parabola) છે,જે કાં તો ઉપરની તરફ ખુલ્લો હોય છે (જો $a > 0$ હોય) અથવા નીચેની તરફ ખુલ્લો હોય છે (જો $a < 0$ હોય).
$1$. દ્વિઘાત બહુપદીનો આલેખ $X$-અક્ષને વધુમાં વધુ બે બિંદુઓ પર છેદી શકે છે.
$2$. વિકલ્પ $(A)$ માં દર્શાવેલ આલેખ એક વક્ર છે જે $X$-અક્ષને ત્રણ અલગ-અલગ બિંદુઓ પર છેદે છે,જે ત્રિઘાત બહુપદીની લાક્ષણિકતા છે,દ્વિઘાત બહુપદીની નહીં.
$3$. તેથી,વિકલ્પ $(A)$ માં આપેલો આલેખ દ્વિઘાત બહુપદીનો આલેખ નથી.

(B) ના,$x-1$ શેષ હોઈ શકે નહીં.
બહુપદીઓ માટેના ભાગાકારના પૂર્વધારણા (Division Algorithm) મુજબ,જો કોઈ બહુપદી $p(x)$ ને ભાજક $g(x)$ વડે ભાગવામાં આવે,તો શેષ $r(x)$ એ શરત સંતોષવી જોઈએ કે કાં તો $r(x) = 0$ હોય અથવા $r(x)$ ની ઘાત એ $g(x)$ ની ઘાત કરતાં ઓછી હોય.
અહીં,ભાજક $g(x) = 2x+3$ છે,જેની ઘાત $1$ છે.
સૂચિત શેષ $r(x) = x-1$ છે,જેની ઘાત પણ $1$ છે.
શેષની ઘાત એ ભાજકની ઘાત કરતાં ઓછી ન હોવાથી,$x-1$ શેષ હોઈ શકે નહીં.

(B) ના. બહુપદીઓ માટેના ભાગાકારના પૂર્વધારણા મુજબ,જો $p(x)$ ભાજ્ય હોય અને $g(x)$ ભાજક હોય,તો $p(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x)$ થાય,જ્યાં $\text{deg}(r(x)) < \text{deg}(g(x))$ હોય.
અહીં,$\text{deg}(p(x)) = 6$ અને $\text{deg}(g(x)) = 5$ આપેલ છે.
જો ભાગફળ $q(x) = x^{2}-1$ હોય,તો $\text{deg}(q(x)) = 2$ થાય.
ગુણાકાર $g(x) \cdot q(x)$ ની ઘાત $\text{deg}(g(x)) + \text{deg}(q(x)) = 5 + 2 = 7$ થશે.
ભાજ્ય $p(x)$ ની ઘાત $6$ છે,અને ગુણાકાર $g(x) \cdot q(x)$ ની ઘાત $7$ છે,તેથી $x^{2}-1$ ભાગફળ હોઈ શકે નહીં કારણ કે ગુણાકારની ઘાત ભાજ્યની ઘાત કરતા વધારે ન હોઈ શકે (જો શેષ શૂન્ય હોય અથવા ઓછી ઘાત ધરાવતી હોય).
તેથી,$x^{2}-1$ ભાગફળ હોઈ શકે નહીં.

(N/A) અહીં આપેલ છે કે,ભાજક $px^{3} + qx^{2} + nx + s$ $(p \neq 0)$ છે અને ભાજ્ય $ax^{2} + bx + c$ છે.
આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે ભાજકની ઘાત $3$ છે અને ભાજ્યની ઘાત $2$ છે.
બહુપદીઓ માટેના ભાગાકારના પૂર્વધારણા મુજબ,જો ભાજકની ઘાત એ ભાજ્યની ઘાત કરતા વધારે હોય,તો ભાગાકાર શક્ય નથી.
તેથી,ભાગફળ $0$ મળશે અને શેષ એ ભાજ્ય જેટલી જ એટલે કે $ax^{2} + bx + c$ રહેશે.

(N/A) જો શૂન્યતર બહુપદી $p(x)$ ને બહુપદી $g(x)$ વડે ભાગતા શેષ શૂન્ય મળે,તો તેનો અર્થ એ છે કે $g(x)$ એ $p(x)$ નો અવયવ છે. બહુપદીઓના ભાગાકારના પૂર્વધારણા મુજબ,$p(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x)$,જ્યાં $r(x) = 0$ છે. કારણ કે $p(x)$ અને $g(x)$ શૂન્યતર બહુપદીઓ છે,તેથી $g(x) \cdot q(x)$ નો ઘાત એ $p(x)$ ના ઘાત જેટલો જ હોવો જોઈએ. તેથી,$g(x)$ નો ઘાત એ $p(x)$ ના ઘાત કરતા ઓછો અથવા તેના જેટલો જ હોવો જોઈએ,એટલે કે $\text{deg}(g(x)) \le \text{deg}(p(x))$.

(A) ધારો કે $p(x) = x^{3}+2 x^{2}+k x+3$.
શેષ પ્રમેય મુજબ,$p(x)$ ને $x-3$ વડે ભાગતા શેષ $p(3)$ મળે.
આપેલ છે કે $p(3) = 21$,તેથી:
$3^{3}+2(3)^{2}+k(3)+3 = 21$
$27 + 18 + 3k + 3 = 21$
$48 + 3k = 21$
$3k = 21 - 48 = -27$
$k = -9$.
હવે,$x^{3}+2 x^{2}-9 x+3$ ને $x-3$ વડે ભાગાકાર કરતા:
$x^{3}+2 x^{2}-9 x+3 = (x-3)(x^{2}+5x+6) + 21$.
ભાગફળ $x^{2}+5x+6$ છે.
$x^{3}+2 x^{2}-9 x-18$ ના શૂન્યો શોધવા માટે,તેનું અવયવીકરણ કરીએ:
$x^{3}+2 x^{2}-9 x-18 = x^{2}(x+2) - 9(x+2)$
$= (x^{2}-9)(x+2)$
$= (x-3)(x+3)(x+2)$.
બહુપદીને $0$ સાથે સરખાવતા,શૂન્યો $x = 3, -3, -2$ મળે છે.

(N/A) ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,જો $p(x)$ અને $g(x)$ બે બહુપદીઓ હોય જ્યાં $g(x) \neq 0$,તો આપણે એવી બહુપદીઓ $q(x)$ અને $r(x)$ શોધી શકીએ કે જેથી $p(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x)$ થાય,જ્યાં $r(x) = 0$ અથવા $\operatorname{deg} r(x) < \operatorname{deg} g(x)$ હોય.
આપણે એવા ઉદાહરણો શોધવાની જરૂર છે કે જેમાં $\operatorname{deg} q(x) = \operatorname{deg} r(x)$ થાય.
ધારો કે $p(x) = x^3 + x$ અને $g(x) = x^2$ છે.
ભાગાકાર કરતા:
$x^3 + x = (x^2) \cdot x + x$.
અહીં,$q(x) = x$ અને $r(x) = x$ મળે છે.
શરતોની ચકાસણી:
$1$. $\operatorname{deg} q(x) = \operatorname{deg}(x) = 1$.
$2$. $\operatorname{deg} r(x) = \operatorname{deg}(x) = 1$.
અહીં $1 = 1$ હોવાથી,$\operatorname{deg} q(x) = \operatorname{deg} r(x)$ ની શરત સંતોષાય છે.
$3$. $\operatorname{deg} r(x) < \operatorname{deg} g(x)$ એટલે કે $1 < 2$,જે સાચું છે.
આમ,ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેયનું પાલન થાય છે.

(A) ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,જો $p(x)$ અને $g(x)$ બે બહુપદીઓ હોય જ્યાં $g(x) \neq 0$,તો આપણે એવી બહુપદીઓ $q(x)$ અને $r(x)$ શોધી શકીએ કે જેથી $p(x) = g(x) \times q(x) + r(x)$ થાય,જ્યાં $r(x) = 0$ અથવા $\operatorname{deg} r(x) < \operatorname{deg} g(x)$ હોય.
બહુપદીની ઘાત એટલે બહુપદીમાં રહેલા ચલની મહત્તમ ઘાત.
$\operatorname{deg} r(x) = 0$ માટે,શેષ એક શૂન્યતર અચળ સંખ્યા હોવી જોઈએ.
ધારો કે આપણે $x^3 + 1$ ને $x^2$ વડે ભાગીએ છીએ.
અહીં,$p(x) = x^3 + 1$,$g(x) = x^2$.
ભાગાકાર કરતા: $(x^3 + 1) \div x^2$ કરવાથી ભાગફળ $q(x) = x$ અને શેષ $r(x) = 1$ મળે છે.
સ્પષ્ટપણે,$r(x) = 1$ ની ઘાત $0$ છે.
ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેયની ચકાસણી:
$p(x) = g(x) \times q(x) + r(x)$
$x^3 + 1 = (x^2) \times x + 1$
$x^3 + 1 = x^3 + 1$
આમ,ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેયનું પાલન થાય છે.

(A) ભાગાકારના પૂર્વધારણા મુજબ:
ભાજ્ય $=$ ભાજક $\times$ ભાગફળ $+$ શેષ
તેથી,ભાજ્ય $-$ શેષ $=$ ભાજક $\times$ ભાગફળ.
ભાજ્યમાંથી શેષ $(x+a)$ બાદ કરતા:
$(x^{4}-6x^{3}+16x^{2}-25x+10) - (x+a) = x^{4}-6x^{3}+16x^{2}-26x+10-a$.
આ પરિણામી બહુપદી $x^{2}-2x+k$ વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય છે.
$(x^{4}-6x^{3}+16x^{2}-26x+10-a)$ ને $(x^{2}-2x+k)$ વડે ભાગતા:
$1$. $x^{4}$ ને $x^{2}$ વડે ભાગતા $x^{2}$ મળે. $(x^{2}-2x+k)$ ને $x^{2}$ વડે ગુણતા $x^{4}-2x^{3}+kx^{2}$ મળે. બાદબાકી કરતા $-4x^{3}+(16-k)x^{2}-26x$ વધે.
$2$. $-4x^{3}$ ને $x^{2}$ વડે ભાગતા $-4x$ મળે. $(x^{2}-2x+k)$ ને $-4x$ વડે ગુણતા $-4x^{3}+8x^{2}-4kx$ મળે. બાદબાકી કરતા $(8-k)x^{2}+(4k-26)x+(10-a)$ વધે.
$3$. $(8-k)x^{2}$ ને $x^{2}$ વડે ભાગતા $(8-k)$ મળે. $(x^{2}-2x+k)$ ને $(8-k)$ વડે ગુણતા $(8-k)x^{2}-2(8-k)x+k(8-k)$ મળે.
અગાઉની શેષમાંથી આ બાદ કરતા,અંતિમ શેષ $[(4k-26) + 2(8-k)]x + [10-a - k(8-k)] = 0$ મળે.
$x$ ના સહગુણકને સરળ બનાવતા: $4k-26+16-2k = 2k-10$. $2k-10=0$ લેતા $k=5$ મળે.
અચળ પદને સરળ બનાવતા: $10-a-8k+k^{2} = 0$. $k=5$ મૂકતા: $10-a-8(5)+25 = 10-a-40+25 = -5-a = 0$,જેમાંથી $a=-5$ મળે.
આમ,$k=5$ અને $a=-5$ છે.

(C) આપેલ છે કે $(x^{2}+2x+k)$ એ $2x^{4}+x^{3}-14x^{2}+5x+6$ નો અવયવ છે,તેથી ભાગાકાર કરતી વખતે શેષ શૂન્ય હોવી જોઈએ.
$2x^{4}+x^{3}-14x^{2}+5x+6$ ને $(x^{2}+2x+k)$ વડે ભાગતા:
$1$. $2x^{4}$ ને $x^{2}$ વડે ભાગતા $2x^{2}$ મળે. $(x^{2}+2x+k)$ ને $2x^{2}$ વડે ગુણતા $2x^{4}+4x^{3}+2kx^{2}$ મળે. બાદબાકી કરતા $-3x^{3}-(2k+14)x^{2}+5x+6$ મળે.
$2$. $-3x^{3}$ ને $x^{2}$ વડે ભાગતા $-3x$ મળે. $(x^{2}+2x+k)$ ને $-3x$ વડે ગુણતા $-3x^{3}-6x^{2}-3kx$ મળે. બાદબાકી કરતા $(-8-2k)x^{2}+(3k+5)x+6$ મળે.
$3$. $(-8-2k)x^{2}$ ને $x^{2}$ વડે ભાગતા $(-8-2k)$ મળે. $(x^{2}+2x+k)$ ને $(-8-2k)$ વડે ગુણતા $(-8-2k)x^{2} + 2(-8-2k)x + k(-8-2k)$ મળે.
અંતિમ શેષ: $(7k+21)x + (2k^{2}+8k+6)$ મળે.
શેષ શૂન્ય હોવા માટે,બંને સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$7k+21=0 \Rightarrow k=-3$.
$2k^{2}+8k+6=0 \Rightarrow 2(k+1)(k+3)=0 \Rightarrow k=-1$ અથવા $k=-3$.
બંને શરતો સંતોષાય તે માટે $k=-3$ લેતા.
$k=-3$ માટે,ભાજક $x^{2}+2x-3 = (x+3)(x-1)$ છે,તેથી તેના શૂન્યો $x=-3, 1$ છે.
ભાગફળ $2x^{2}-3x-2 = (2x+1)(x-2)$ છે,તેથી તેના શૂન્યો $x=-1/2, 2$ છે.
આમ,$x^{2}+2x-3$ ના શૂન્યો $1, -3$ છે અને $2x^{4}+x^{3}-14x^{2}+5x+6$ ના શૂન્યો $1, -3, 2, -1/2$ છે.

(D) ધારો કે $f(x) = x^{3}-3 \sqrt{5} x^{2}+13 x-3 \sqrt{5}$.
આપેલ છે કે $(x-\sqrt{5})$ એ $f(x)$ નો એક અવયવ છે,તેથી ભાગાકાર કરતા:
$x^{3}-3 \sqrt{5} x^{2}+13 x-3 \sqrt{5} = (x-\sqrt{5})(x^{2}-2 \sqrt{5} x+3)$.
હવે,દ્વિઘાત અવયવ $x^{2}-2 \sqrt{5} x+3 = 0$ ના શૂન્યો શોધવા માટે દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
$x = \frac{2 \sqrt{5} \pm \sqrt{(-2 \sqrt{5})^{2}-4(1)(3)}}{2(1)}$
$x = \frac{2 \sqrt{5} \pm \sqrt{20-12}}{2} = \frac{2 \sqrt{5} \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \sqrt{5} \pm 2 \sqrt{2}}{2} = \sqrt{5} \pm \sqrt{2}$.
આમ,બહુપદીના શૂન્યો $\sqrt{5}, (\sqrt{5}+\sqrt{2})$ અને $(\sqrt{5}-\sqrt{2})$ છે.

(A) આપેલ છે કે $q(x) = x^{3} + 2x^{2} + a$ ના શૂન્યો એ $p(x) = x^{5} - x^{4} - 4x^{3} + 3x^{2} + 3x + b$ ના પણ શૂન્યો છે,જેનો અર્થ છે કે $q(x)$ એ $p(x)$ નો અવયવ છે.
$p(x)$ ને $q(x)$ વડે ભાગતા:
$x^{5} - x^{4} - 4x^{3} + 3x^{2} + 3x + b$ ને $x^{3} + 2x^{2} + a$ વડે ભાગતા ભાગફળ $x^{2} - 3x + 2$ મળે છે અને શેષ $-(1+a)x^{2} + (3+3a)x + (b-2a)$ મળે છે.
$q(x)$ એ અવયવ હોવાથી,શેષ શૂન્ય હોવી જોઈએ,તેથી સહગુણકો શૂન્ય થવા જોઈએ:
$-(1+a) = 0 \Rightarrow a = -1$
$3+3a = 0 \Rightarrow 3+3(-1) = 0$ (સુસંગત)
$b-2a = 0 \Rightarrow b = 2(-1) = -2$.
આમ,$a = -1$ અને $b = -2$.
આ કિંમતો મૂકતા,$p(x) = (x^{3} + 2x^{2} - 1)(x^{2} - 3x + 2)$.
ભાગફળના અવયવ પાડતા: $x^{2} - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$.
$p(x)$ ના શૂન્યો એ $q(x)$ ના શૂન્યો અને ભાગફળના શૂન્યોનો સમૂહ છે,જે $x=1$ અને $x=2$ છે. તેથી,$p(x)$ ના શૂન્યો જે $q(x)$ ના શૂન્યો નથી તે $1$ અને $2$ છે.

(B) આપેલ બહુપદી $p(x) = (x - 1)(2 - x)$ છે.
પદાવલિનું વિસ્તરણ કરતા: $p(x) = x(2) - x(x) - 1(2) + 1(x) = 2x - x^2 - 2 + x$.
સમાન પદોને ભેગા કરતા: $p(x) = -x^2 + 3x - 2$.
આ બહુપદીમાં ચલ $x$ ની મહત્તમ ઘાત $2$ છે.
$2$ ઘાત ધરાવતી બહુપદીને દ્વિઘાત બહુપદી કહેવામાં આવે છે.

(N/A) આપેલ બહુપદી: $p(x) = 2x^3 + x^2 - x - 1$
પગલું $1$: $x = 0$ માટે કિંમત શોધો.
$p(0) = 2(0)^3 + (0)^2 - (0) - 1$
$p(0) = 0 + 0 - 0 - 1$
$p(0) = -1$
પગલું $2$: $x = -2$ માટે કિંમત શોધો.
$p(-2) = 2(-2)^3 + (-2)^2 - (-2) - 1$
$p(-2) = 2(-8) + 4 + 2 - 1$
$p(-2) = -16 + 4 + 2 - 1$
$p(-2) = -11$
આમ,કિંમતો $p(0) = -1$ અને $p(-2) = -11$ છે.

(C) બહુપદી $p(x) = x^{15} - (x^5)^6 + x^3 - 7$ ની ઘાત શોધવા માટે,આપણે પહેલા પદાવલિનું સાદું રૂપ આપીશું.
ઘાતાંકના નિયમ $(a^m)^n = a^{m \times n}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $(x^5)^6$ પદનું સાદું રૂપ આપીએ:
$(x^5)^6 = x^{5 \times 6} = x^{30}$.
હવે,આ કિંમતને બહુપદીમાં મૂકતા:
$p(x) = x^{15} - x^{30} + x^3 - 7$.
બહુપદીની ઘાત એટલે તેમાં રહેલા ચલ $x$ ની સૌથી મોટી ઘાત.
$x^{15}$,$x^{30}$,અને $x^3$ પદોમાં $x$ ની ઘાતની સરખામણી કરતા,સૌથી મોટી ઘાત $30$ છે.
તેથી,આ બહુપદીની ઘાત $30$ છે.

(D) $x = 2$ આગળ બહુપદી $p(x) = x^{4} + 2x^{3} - x + 2$ નું મૂલ્ય શોધવા માટે,પદાવલિમાં દરેક $x$ ની જગ્યાએ $2$ મૂકો:
$p(2) = (2)^{4} + 2(2)^{3} - (2) + 2$
દરેક પદની ગણતરી કરો:
$(2)^{4} = 16$
$2(2)^{3} = 2(8) = 16$
આ કિંમતોને ફરીથી પદાવલિમાં મૂકતા:
$p(2) = 16 + 16 - 2 + 2$
$p(2) = 32 - 2 + 2$
$p(2) = 32$
તેથી,$x = 2$ આગળ બહુપદીનું મૂલ્ય $32$ છે.

(A) $x = -3$ માટે બહુપદી $p(x) = 2x^4 - x^2 + 5x - 8$ નું મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે પદાવલિમાં $x$ ની જગ્યાએ $-3$ મૂકીશું:
$p(-3) = 2(-3)^4 - (-3)^2 + 5(-3) - 8$
દરેક પદની ગણતરી કરો:
$(-3)^4 = 81$,તેથી $2(81) = 162$
$(-3)^2 = 9$,તેથી $-(9) = -9$
$5(-3) = -15$
હવે,આ કિંમતોને ભેગી કરો:
$p(-3) = 162 - 9 - 15 - 8$
$p(-3) = 153 - 15 - 8$
$p(-3) = 138 - 8$
$p(-3) = 130$
આમ,$x = -3$ પર બહુપદીનું મૂલ્ય $130$ છે.

(B) બહુપદી $p(x) = 10 - 5x + 3x^2 - x^3$ ની $x = 2$ આગળ કિંમત શોધવા માટે:
$p(2) = 10 - 5(2) + 3(2)^2 - (2)^3$
$p(2) = 10 - 10 + 3(4) - 8$
$p(2) = 0 + 12 - 8 = 4$
$x = -2$ આગળ બહુપદીની કિંમત શોધવા માટે:
$p(-2) = 10 - 5(-2) + 3(-2)^2 - (-2)^3$
$p(-2) = 10 + 10 + 3(4) - (-8)$
$p(-2) = 20 + 12 + 8 = 40$
આમ,કિંમતો $4$ અને $40$ છે.

(A) બહુપદી $p(x) = x^{3} - 4x^{2} + 5x - 20$ ના અવયવ પાડવા માટે,આપણે પદોના જૂથ બનાવીશું:
$p(x) = (x^{3} - 4x^{2}) + (5x - 20)$
હવે,દરેક જૂથમાંથી સામાન્ય પદ બહાર કાઢો:
$p(x) = x^{2}(x - 4) + 5(x - 4)$
છેલ્લે,સામાન્ય દ્વિપદી $(x - 4)$ ને સામાન્ય લેતા:
$p(x) = (x - 4)(x^{2} + 5)$

(N/A) પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં ત્રિઘાત બહુપદીનું સૂત્ર $P(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ છે.
આપેલ સહગુણકો $a=2, b=5, c=1, d=2$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં મૂકતા,
આમ,બહુપદી $2x^{3} + 5x^{2} + x + 2$ મળે છે.

(A) અહીં ભાજ્ય બહુપદી $p(x) = x^{2}+8x+12$ અને ભાજક બહુપદી $s(x) = x+2$ છે.
$x^{2}+8x+12$ ને $x+2$ વડે ભાગવા માટે,આપણે ભાગાકારની લાંબી રીતનો ઉપયોગ કરીશું:
$1$. ભાજ્યના પ્રથમ પદ $(x^{2})$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(x)$ વડે ભાગતા $x$ મળે છે.
$2$. $x$ નો $(x+2)$ સાથે ગુણાકાર કરતા $x^{2}+2x$ મળે છે.
$3$. $(x^{2}+8x+12)$ માંથી $(x^{2}+2x)$ બાદ કરતા $6x+12$ મળે છે.
$4$. નવી બહુપદીના પ્રથમ પદ $(6x)$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(x)$ વડે ભાગતા $6$ મળે છે.
$5$. $6$ નો $(x+2)$ સાથે ગુણાકાર કરતા $6x+12$ મળે છે.
$6$. $(6x+12)$ માંથી $(6x+12)$ બાદ કરતા $0$ મળે છે.
આમ,ભાગફળ $x+6$ છે અને શેષ $0$ છે.

(N/A) આપેલ ભાજ્ય $p(x) = x^{3}-3x^{2}+5x-3$ અને ભાજક $s(x) = x^{2}-2$ છે.
પગલું $1$: ભાજ્યના પ્રથમ પદ $(x^{3})$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(x^{2})$ વડે ભાગતા $x$ મળે છે. $x$ ને $(x^{2}-2)$ સાથે ગુણતા $x^{3}-2x$ મળે છે. તેને ભાજ્યમાંથી બાદ કરતા: $(x^{3}-3x^{2}+5x-3) - (x^{3}-2x) = -3x^{2}+7x-3$ મળે છે.
પગલું $2$: નવા બહુપદીના પ્રથમ પદ $(-3x^{2})$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(x^{2})$ વડે ભાગતા $-3$ મળે છે. $-3$ ને $(x^{2}-2)$ સાથે ગુણતા $-3x^{2}+6$ મળે છે. તેને વર્તમાન બહુપદીમાંથી બાદ કરતા: $(-3x^{2}+7x-3) - (-3x^{2}+6) = 7x-9$ મળે છે.
આમ,ભાગફળ $q(x) = x-3$ અને શેષ $r(x) = 7x-9$ છે.

(N/A) ભાજ્ય બહુપદી $p(x) = x^{4} + 0x^{3} - 3x^{2} + 4x + 5$ છે અને ભાજક બહુપદી $s(x) = x^{2} - x + 1$ છે.
બહુપદીનો ભાગાકાર કરતા:
$1$. ભાજ્યના પ્રથમ પદ $(x^{4})$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(x^{2})$ વડે ભાગતા $x^{2}$ મળે છે.
$2$. $x^{2}$ નો $(x^{2} - x + 1)$ સાથે ગુણાકાર કરતા $x^{4} - x^{3} + x^{2}$ મળે છે. તેને ભાજ્યમાંથી બાદ કરતા $x^{3} - 4x^{2} + 4x + 5$ મળે છે.
$3$. નવી બહુપદીના પ્રથમ પદ $(x^{3})$ ને $x^{2}$ વડે ભાગતા $x$ મળે છે. $x$ નો $(x^{2} - x + 1)$ સાથે ગુણાકાર કરતા $x^{3} - x^{2} + x$ મળે છે. બાદબાકી કરતા $-3x^{2} + 3x + 5$ મળે છે.
$4$. પ્રથમ પદ $(-3x^{2})$ ને $x^{2}$ વડે ભાગતા $-3$ મળે છે. $-3$ નો $(x^{2} - x + 1)$ સાથે ગુણાકાર કરતા $-3x^{2} + 3x - 3$ મળે છે. બાદબાકી કરતા શેષ $8$ મળે છે.
આમ,ભાગફળ $q(x) = x^{2} + x - 3$ અને શેષ $r(x) = 8$ છે.

(A) ભાજ્ય $p(t) = 2t^4 + 3t^3 - 2t^2 - 9t - 12$ છે અને ભાજક $s(t) = t^2 - 3$ છે.
પગલું $1$: ભાજ્યના પ્રથમ પદ $(2t^4)$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(t^2)$ વડે ભાગતા $2t^2$ મળે છે. $2t^2$ ને $(t^2 - 3)$ સાથે ગુણતા $2t^4 - 6t^2$ મળે છે. તેને ભાજ્યમાંથી બાદ કરો.
પગલું $2$: પરિણામ $3t^3 + 4t^2 - 9t - 12$ મળે છે. $3t^3$ ને $t^2$ વડે ભાગતા $3t$ મળે છે. $3t$ ને $(t^2 - 3)$ સાથે ગુણતા $3t^3 - 9t$ મળે છે. તેને વર્તમાન પદાવલિમાંથી બાદ કરો.
પગલું $3$: પરિણામ $4t^2 - 12$ મળે છે. $4t^2$ ને $t^2$ વડે ભાગતા $4$ મળે છે. $4$ ને $(t^2 - 3)$ સાથે ગુણતા $4t^2 - 12$ મળે છે. તેને બાદ કરતા શેષ $0$ મળે છે.
આમ,ભાગફળ $2t^2 + 3t + 4$ છે અને શેષ $0$ છે.

(N/A) $x^{3}-6x^{2}+11x-6$ ને $x^{2}-8x+27$ વડે ભાગવા માટે,આપણે બહુપદીના ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરીશું:
$1$. ભાજ્યના પ્રથમ પદ $(x^{3})$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(x^{2})$ વડે ભાગો: $x^{3} / x^{2} = x$.
$2$. ભાજક $(x^{2}-8x+27)$ ને $x$ વડે ગુણો: $x(x^{2}-8x+27) = x^{3}-8x^{2}+27x$.
$3$. આને ભાજ્યમાંથી બાદ કરો: $(x^{3}-6x^{2}+11x-6) - (x^{3}-8x^{2}+27x) = 2x^{2}-16x-6$.
$4$. નવી બહુપદીના પ્રથમ પદ $(2x^{2})$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(x^{2})$ વડે ભાગો: $2x^{2} / x^{2} = 2$.
$5$. ભાજક $(x^{2}-8x+27)$ ને $2$ વડે ગુણો: $2(x^{2}-8x+27) = 2x^{2}-16x+54$.
$6$. આને વર્તમાન બહુપદીમાંથી બાદ કરો: $(2x^{2}-16x-6) - (2x^{2}-16x+54) = -60$.
આમ,ભાગફળ $x+2$ છે અને શેષ $-60$ છે.

(N/A) $x^{4}+4 x^{3}-2 x^{2}-12 x+9$ ને $x^{2}-2 x+1$ વડે ભાગવા માટે,આપણે બહુપદીના ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરીશું:
$1$. ભાજ્યના પ્રથમ પદ $(x^4)$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(x^2)$ વડે ભાગતા $x^2$ મળે છે.
$2$. $x^2$ નો $(x^2-2x+1)$ સાથે ગુણાકાર કરતા $x^4-2x^3+x^2$ મળે છે. તેને ભાજ્યમાંથી બાદ કરતા $6x^3-3x^2-12x+9$ મળે છે.
$3$. $6x^3$ ને $x^2$ વડે ભાગતા $6x$ મળે છે. $6x$ નો $(x^2-2x+1)$ સાથે ગુણાકાર કરતા $6x^3-12x^2+6x$ મળે છે. તેને બાદ કરતા $9x^2-18x+9$ મળે છે.
$4$. $9x^2$ ને $x^2$ વડે ભાગતા $9$ મળે છે. $9$ નો $(x^2-2x+1)$ સાથે ગુણાકાર કરતા $9x^2-18x+9$ મળે છે. તેને બાદ કરતા શેષ $0$ મળે છે.
આમ,ભાગફળ $x^{2}+6 x+9$ છે અને શેષ $0$ છે.

(N/A) $x^{4}-5x+6$ ને $2-x^{2}$ વડે ભાગવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ બહુપદીઓને તેમના ઘાતાંકના ઉતરતા ક્રમમાં ગોઠવીએ:
ભાજ્ય: $x^{4}+0x^{3}+0x^{2}-5x+6$
ભાજક: $-x^{2}+2$
પગલું $1$: ભાજ્યના પ્રથમ પદ $(x^{4})$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(-x^{2})$ વડે ભાગો: $x^{4} / (-x^{2}) = -x^{2}$. આ ભાગફળનું પ્રથમ પદ છે.
પગલું $2$: $-x^{2}$ નો ભાજક $(-x^{2}+2)$ સાથે ગુણાકાર કરો: $-x^{2}(-x^{2}+2) = x^{4}-2x^{2}$.
પગલું $3$: આને ભાજ્યમાંથી બાદ કરો: $(x^{4}+0x^{3}+0x^{2}-5x+6) - (x^{4}-2x^{2}) = 2x^{2}-5x+6$.
પગલું $4$: નવા ભાજ્યના પ્રથમ પદ $(2x^{2})$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(-x^{2})$ વડે ભાગો: $2x^{2} / (-x^{2}) = -2$. આ ભાગફળનું બીજું પદ છે.
પગલું $5$: $-2$ નો ભાજક $(-x^{2}+2)$ સાથે ગુણાકાર કરો: $-2(-x^{2}+2) = 2x^{2}-4$.
પગલું $6$: આને વર્તમાન ભાજ્યમાંથી બાદ કરો: $(2x^{2}-5x+6) - (2x^{2}-4) = -5x+10$.
આમ,ભાગફળ $-x^{2}-2$ છે અને શેષ $-5x+10$ છે.

(N/A) $14x^3 - 5x^2 + 9x - 1$ ને $2x - 1$ વડે ભાગવા માટે,આપણે બહુપદીના ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરીશું:
$1$. ભાજ્યના પ્રથમ પદ $(14x^3)$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(2x)$ વડે ભાગો: $14x^3 / 2x = 7x^2$. આ ભાગફળનું પ્રથમ પદ છે.
$2$. $7x^2$ ને $(2x - 1)$ સાથે ગુણતા $14x^3 - 7x^2$ મળે છે. તેને ભાજ્યમાંથી બાદ કરતા: $(14x^3 - 5x^2) - (14x^3 - 7x^2) = 2x^2$. હવે પછીનું પદ $(9x)$ નીચે ઉતારતા $2x^2 + 9x$ મળે છે.
$3$. નવી પદાવલિના પ્રથમ પદ $(2x^2)$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(2x)$ વડે ભાગો: $2x^2 / 2x = x$. આ ભાગફળનું બીજું પદ છે.
$4$. $x$ ને $(2x - 1)$ સાથે ગુણતા $2x^2 - x$ મળે છે. તેને બાદ કરતા: $(2x^2 + 9x) - (2x^2 - x) = 10x$. છેલ્લું પદ $(-1)$ નીચે ઉતારતા $10x - 1$ મળે છે.
$5$. પ્રથમ પદ $(10x)$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(2x)$ વડે ભાગો: $10x / 2x = 5$. આ ભાગફળનું ત્રીજું પદ છે.
$6$. $5$ ને $(2x - 1)$ સાથે ગુણતા $10x - 5$ મળે છે. તેને બાદ કરતા: $(10x - 1) - (10x - 5) = 4$.
આમ,ભાગફળ $7x^2 + x + 5$ છે અને શેષ $4$ છે.

(N/A) બહુપદી $p(x) = -x^{3} + 3x^{2} - 3x + 5$ ને $g(x) = -x^{2} + x - 1$ વડે ભાગવા માટે:
પગલું $1$: ભાજ્યના પ્રથમ પદ $(-x^{3})$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(-x^{2})$ વડે ભાગતા $x$ મળે છે.
પગલું $2$: $x$ નો ભાજક $(-x^{2} + x - 1)$ સાથે ગુણાકાર કરતા $-x^{3} + x^{2} - x$ મળે છે. તેને ભાજ્યમાંથી બાદ કરતા: $(-x^{3} + 3x^{2} - 3x + 5) - (-x^{3} + x^{2} - x) = 2x^{2} - 2x + 5$ મળે છે.
પગલું $3$: નવા ભાજ્યના પ્રથમ પદ $(2x^{2})$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(-x^{2})$ વડે ભાગતા $-2$ મળે છે.
પગલું $4$: $-2$ નો ભાજક $(-x^{2} + x - 1)$ સાથે ગુણાકાર કરતા $2x^{2} - 2x + 2$ મળે છે. તેને વર્તમાન ભાજ્યમાંથી બાદ કરતા: $(2x^{2} - 2x + 5) - (2x^{2} - 2x + 2) = 3$ મળે છે.
આમ,ભાગફળ $x - 2$ છે અને શેષ $3$ છે.

(N/A) $x^{3}-6 x^{2}+11 x-6$ ને $x^{2}+x+1$ વડે ભાગવા માટે,આપણે બહુપદીના ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરીશું:
$1$. ભાજ્યના પ્રથમ પદ $(x^{3})$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(x^{2})$ વડે ભાગતા $x$ મળે છે.
$2$. $x$ નો ભાજક $(x^{2}+x+1)$ સાથે ગુણાકાર કરતા $x^{3}+x^{2}+x$ મળે છે.
$3$. આને ભાજ્યમાંથી બાદ કરતા: $(x^{3}-6 x^{2}+11 x-6) - (x^{3}+x^{2}+x) = -7 x^{2}+10 x-6$.
$4$. નવી બહુપદીના પ્રથમ પદ $(-7 x^{2})$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(x^{2})$ વડે ભાગતા $-7$ મળે છે.
$5$. $-7$ નો ભાજક $(x^{2}+x+1)$ સાથે ગુણાકાર કરતા $-7 x^{2}-7 x-7$ મળે છે.
$6$. આને વર્તમાન બહુપદીમાંથી બાદ કરતા: $(-7 x^{2}+10 x-6) - (-7 x^{2}-7 x-7) = 17 x+1$.
આમ,ભાગફળ $x-7$ છે અને શેષ $17 x+1$ છે.

(A) $x^{4}+2x^{3}+3x^{2}+2x+20$ ને $x^{2}+2x+2$ વડે ભાગવા માટે,આપણે લાંબી ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરીશું:
$1$. ભાજ્યના પ્રથમ પદ $(x^{4})$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(x^{2})$ વડે ભાગતા $x^{2}$ મળે છે.
$2$. $x^{2}$ ને $(x^{2}+2x+2)$ સાથે ગુણતા $x^{4}+2x^{3}+2x^{2}$ મળે છે.
$3$. આને ભાજ્યમાંથી બાદ કરતા: $(x^{4}+2x^{3}+3x^{2}+2x+20) - (x^{4}+2x^{3}+2x^{2}) = x^{2}+2x+20$ મળે છે.
$4$. નવા બહુપદીના પ્રથમ પદ $(x^{2})$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(x^{2})$ વડે ભાગતા $1$ મળે છે.
$5$. $1$ ને $(x^{2}+2x+2)$ સાથે ગુણતા $x^{2}+2x+2$ મળે છે.
$6$. આને વર્તમાન શેષમાંથી બાદ કરતા: $(x^{2}+2x+20) - (x^{2}+2x+2) = 18$ મળે છે.
આમ,ભાગફળ $x^{2}+1$ છે અને શેષ $18$ છે.

(N/A) $x^{3}-3x^{2}-3x+1$ ને $x+1$ વડે ભાગવા માટે,આપણે બહુપદીના ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરીશું:
$1$. ભાજ્યના પ્રથમ પદ $(x^{3})$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(x)$ વડે ભાગતા $x^{2}$ મળે છે.
$2$. $x^{2}$ નો $(x+1)$ સાથે ગુણાકાર કરતા $x^{3}+x^{2}$ મળે છે. તેને ભાજ્યમાંથી બાદ કરતા: $(x^{3}-3x^{2}-3x+1) - (x^{3}+x^{2}) = -4x^{2}-3x+1$.
$3$. $-4x^{2}$ ને $x$ વડે ભાગતા $-4x$ મળે છે. $-4x$ નો $(x+1)$ સાથે ગુણાકાર કરતા $-4x^{2}-4x$ મળે છે. તેને બાદ કરતા: $(-4x^{2}-3x+1) - (-4x^{2}-4x) = x+1$.
$4$. $x$ ને $x$ વડે ભાગતા $1$ મળે છે. $1$ નો $(x+1)$ સાથે ગુણાકાર કરતા $x+1$ મળે છે. તેને બાદ કરતા: $(x+1) - (x+1) = 0$.
આમ,ભાગફળ $x^{2}-4x+1$ છે અને શેષ $0$ છે.

(N/A) $3 x^{4}+5 x^{3}-7 x^{2}+2 x+2$ ને $x^{2}+3 x+1$ વડે ભાગવા માટે,આપણે બહુપદીના ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરીશું:
$1$. ભાજ્યના પ્રથમ પદ $(3 x^{4})$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(x^{2})$ વડે ભાગતા $3 x^{2}$ મળે છે.
$2$. $3 x^{2}$ ને $(x^{2}+3 x+1)$ સાથે ગુણતા $3 x^{4}+9 x^{3}+3 x^{2}$ મળે છે.
$3$. તેને ભાજ્યમાંથી બાદ કરતા: $(3 x^{4}+5 x^{3}-7 x^{2}+2 x+2) - (3 x^{4}+9 x^{3}+3 x^{2}) = -4 x^{3}-10 x^{2}+2 x+2$ મળે છે.
$4$. નવી બહુપદીના પ્રથમ પદ $(-4 x^{3})$ ને $x^{2}$ વડે ભાગતા $-4 x$ મળે છે.
$5$. $-4 x$ ને $(x^{2}+3 x+1)$ સાથે ગુણતા $-4 x^{3}-12 x^{2}-4 x$ મળે છે.
$6$. તેને બાદ કરતા: $(-4 x^{3}-10 x^{2}+2 x+2) - (-4 x^{3}-12 x^{2}-4 x) = 2 x^{2}+6 x+2$ મળે છે.
$7$. $2 x^{2}$ ને $x^{2}$ વડે ભાગતા $2$ મળે છે.
$8$. $2$ ને $(x^{2}+3 x+1)$ સાથે ગુણતા $2 x^{2}+6 x+2$ મળે છે.
$9$. તેને બાદ કરતા શેષ $0$ મળે છે.
આમ,ભાગફળ $3 x^{2}-4 x+2$ અને શેષ $0$ છે.

(N/A) $x^{6}+5 x^{3}+7 x+3$ ને $x^{2}+2$ વડે ભાગવા માટે,આપણે બહુપદીના ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$1$. પ્રથમ પદ $x^{6}$ ને $x^{2}$ વડે ભાગતા $x^{4}$ મળે. $x^{4}(x^{2}+2) = x^{6}+2 x^{4}$ થાય. ભાજ્યમાંથી આ બાદ કરતા $-2 x^{4}+5 x^{3}+7 x+3$ મળે.
$2$. $-2 x^{4}$ ને $x^{2}$ વડે ભાગતા $-2 x^{2}$ મળે. $-2 x^{2}(x^{2}+2) = -2 x^{4}-4 x^{2}$ થાય. બાદબાકી કરતા $5 x^{3}+4 x^{2}+7 x+3$ મળે.
$3$. $5 x^{3}$ ને $x^{2}$ વડે ભાગતા $5 x$ મળે. $5 x(x^{2}+2) = 5 x^{3}+10 x$ થાય. બાદબાકી કરતા $4 x^{2}-3 x+3$ મળે.
$4$. $4 x^{2}$ ને $x^{2}$ વડે ભાગતા $4$ મળે. $4(x^{2}+2) = 4 x^{2}+8$ થાય. બાદબાકી કરતા $-3 x-5$ મળે.
આમ,ભાગફળ $x^{4}-2 x^{2}+5 x+4$ છે અને શેષ $-3 x-5$ છે.

(A) ધારો કે આપેલી બહુપદી $P(x) = x^{3}-3x^{2}-x+3$ છે અને જાણીતો અવયવ $g(x) = x+1$ છે. બીજી બહુપદી $q(x)$ શોધવા માટે,આપણે $P(x)$ ને $g(x)$ વડે ભાગીશું.
બહુપદીના ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$1$. $x^{3}$ ને $x$ વડે ભાગતા $x^{2}$ મળે.
$2$. $x^{2}(x+1) = x^{3}+x^{2}$ ગુણાકાર કરો.
$3$. બાદબાકી કરતા: $(x^{3}-3x^{2}-x+3) - (x^{3}+x^{2}) = -4x^{2}-x+3$.
$4$. $-4x^{2}$ ને $x$ વડે ભાગતા $-4x$ મળે.
$5$. $-4x(x+1) = -4x^{2}-4x$ ગુણાકાર કરો.
$6$. બાદબાકી કરતા: $(-4x^{2}-x+3) - (-4x^{2}-4x) = 3x+3$.
$7$. $3x$ ને $x$ વડે ભાગતા $3$ મળે.
$8$. $3(x+1) = 3x+3$ ગુણાકાર કરો.
$9$. બાદબાકી કરતા: $(3x+3) - (3x+3) = 0$.
આમ,ભાગફળ $x^{2}-4x+3$ મળે છે.

(B) ધારો કે આપેલ ગુણાકાર $P(x) = 3x^3 - x^2 - 3x + 1$ છે અને એક બહુપદી $A(x) = 3x^2 + 2x - 1$ છે.
બીજી બહુપદી $B(x)$ શોધવા માટે,આપણે $P(x)$ ને $A(x)$ વડે ભાગીશું:
$B(x) = \frac{3x^3 - x^2 - 3x + 1}{3x^2 + 2x - 1}$
બહુપદીનો ભાગાકાર કરતા:
$1$. $3x^3$ ને $3x^2$ વડે ભાગતા $x$ મળે છે.
$2$. $x$ નો $(3x^2 + 2x - 1)$ સાથે ગુણાકાર કરતા $3x^3 + 2x^2 - x$ મળે છે.
$3$. આને $P(x)$ માંથી બાદ કરતા: $(3x^3 - x^2 - 3x + 1) - (3x^3 + 2x^2 - x) = -3x^2 - 2x + 1$ મળે છે.
$4$. $-3x^2$ ને $3x^2$ વડે ભાગતા $-1$ મળે છે.
$5$. $-1$ નો $(3x^2 + 2x - 1)$ સાથે ગુણાકાર કરતા $-3x^2 - 2x + 1$ મળે છે.
$6$. બાદબાકી કરતા શેષ $0$ મળે છે.
આમ,બીજી બહુપદી $x - 1$ છે.

(N/A) દરેક વિદ્યાર્થીને મળેલી ચોકલેટની સંખ્યા અને શેષ શોધવા માટે,આપણે $(x^{3}-3x^{2}+5x-3)$ નો $(x^{2}-2)$ વડે બહુપદી ભાગાકાર કરીશું.
પગલું $1$: $x^{3}$ ને $x^{2}$ વડે ભાગતા $x$ મળે છે.
પગલું $2$: $x$ નો $(x^{2}-2)$ સાથે ગુણાકાર કરતા $x^{3}-2x$ મળે છે.
પગલું $3$: $(x^{3}-3x^{2}+5x-3)$ માંથી $(x^{3}-2x)$ બાદ કરતા $-3x^{2}+7x-3$ મળે છે.
પગલું $4$: $-3x^{2}$ ને $x^{2}$ વડે ભાગતા $-3$ મળે છે.
પગલું $5$: $-3$ નો $(x^{2}-2)$ સાથે ગુણાકાર કરતા $-3x^{2}+6$ મળે છે.
પગલું $6$: $(-3x^{2}+7x-3)$ માંથી $(-3x^{2}+6)$ બાદ કરતા $7x-9$ મળે છે.
આમ,દરેક વિદ્યાર્થીને $x-3$ ચોકલેટ મળે છે અને વહેંચાયા વગર બાકી રહેલી ચોકલેટની સંખ્યા $7x-9$ છે.

(A) એક મોબાઈલની કિંમત શોધવા માટે,આપણે કુલ કિંમતને ખરીદેલા નંગ વડે ભાગીશું.
એક મોબાઈલની કિંમત = $\frac{x^{3}+6x^{2}+11x+12}{x^{2}+2x+3}$.
બહુપદીનો ભાગાકાર કરતા:
$1$. ભાજ્યના પ્રથમ પદ $(x^3)$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(x^2)$ વડે ભાગતા $x$ મળે.
$2$. $x$ નો ભાજક સાથે ગુણાકાર કરતા: $x(x^{2}+2x+3) = x^{3}+2x^{2}+3x$.
$3$. તેને ભાજ્યમાંથી બાદ કરતા: $(x^{3}+6x^{2}+11x+12) - (x^{3}+2x^{2}+3x) = 4x^{2}+8x+12$.
$4$. શેષના પ્રથમ પદ $(4x^2)$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(x^2)$ વડે ભાગતા $4$ મળે.
$5$. $4$ નો ભાજક સાથે ગુણાકાર કરતા: $4(x^{2}+2x+3) = 4x^{2}+8x+12$.
$6$. તેને શેષમાંથી બાદ કરતા: $(4x^{2}+8x+12) - (4x^{2}+8x+12) = 0$.
આમ,એક મોબાઈલની કિંમત $x+4$ છે.

(N/A) સંશ્લેષિત ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરીને $p(x) = x^{3} - 3x^{2} - 3x + 1$ ને $x + 1$ વડે ભાગવા માટે:
$1$. ભાજ્ય બહુપદી $p(x)$ ના સહગુણકો ઓળખો: $1, -3, -3, 1$.
$2$. ભાજક $x + 1 = 0$ નું શૂન્ય શોધો,જે $x = -1$ મળે છે.
$3$. સંશ્લેષિત ભાગાકાર કરો:
$\begin{array}{c|cccc} -1 & 1 & -3 & -3 & 1 \\ & & -1 & 4 & -1 \\ \hline & 1 & -4 & 1 & 0 \end{array}$
$4$. છેલ્લી હાર ભાગફળના સહગુણકો અને શેષ દર્શાવે છે. તેથી,ભાગફળ $q(x) = x^{2} - 4x + 1$ અને શેષ $r(x) = 0$ મળે છે.

(A) દરેક વિદ્યાર્થીને મળેલી પેનની સંખ્યા અને શેષ શોધવા માટે,આપણે બહુપદી $p(x) = x^{3}-3x^{2}+4x-4$ ને ભાજક $s(x) = x-2$ વડે સંશ્લેષિત ભાગાકાર (synthetic division) ની રીતથી ભાગીશું.
ભાજક $x-2 = 0$ લેતા $x = 2$ મળે છે.
સંશ્લેષિત ભાગાકારનો ઉપયોગ કરતા:
$\begin{array}{c|cccc} 2 & 1 & -3 & 4 & -4 \\ & & 2 & -2 & 4 \\ \hline & 1 & -1 & 2 & 0 \end{array}$
ભાગફળ $q(x) = x^{2}-x+2$ છે અને શેષ $0$ છે.
તેથી,દરેક વિદ્યાર્થીને $x^{2}-x+2$ પેન મળે છે અને $0$ પેન વહેંચાયા વગર બાકી રહે છે.

(A) $p(x) = x^{4} + 0x^{3} + 0x^{2} + 0x + 1$ ને $x + 1$ વડે ભાગવા માટે,આપણે સંશ્લેષિત ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરીશું.
ભાજક $x + 1$ નું શૂન્ય $x = -1$ છે.
સંશ્લેષિત ભાગાકારનું કોષ્ટક:
$-1$ | $1$ $0$ $0$ $0$ $1$
| $-1$ $1$ $-1$ $1$
-----------------------
$1$ $-1$ $1$ $-1$ $2$
ભાગફળના સહગુણકો $1, -1, 1, -1$ છે,જે બહુપદી $x^{3} - x^{2} + x - 1$ દર્શાવે છે.
છેલ્લી કિંમત શેષ છે,જે $2$ છે.
આમ,ભાગફળ $x^{3} - x^{2} + x - 1$ અને શેષ $2$ મળે છે.

(A) સંશ્લેષિત ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરીને $p(x) = x^{4} - a^{4}$ ને $x - a$ વડે ભાગવા માટે:
$1$. $p(x) = 1x^{4} + 0x^{3} + 0x^{2} + 0x - a^{4}$ ના સહગુણકો $1, 0, 0, 0, -a^{4}$ છે.
$2$. ભાજક $x - a$ છે,તેથી સંશ્લેષિત ભાગાકાર માટે આપણે $a$ નો ઉપયોગ કરીશું.
$3$. સંશ્લેષિત ભાગાકારનું કોષ્ટક બનાવતા:
$a$ | $1$ $0$ $0$ $0$ $-a^{4}$
| $a$ $a^{2}$ $a^{3}$ $a^{4}$
---------------------------
$1$ $a$ $a^{2}$ $a^{3}$ $0$
$4$. ભાગફળના સહગુણકો $1, a, a^{2}, a^{3}$ છે,જે બહુપદી $x^{3} + ax^{2} + a^{2}x + a^{3}$ દર્શાવે છે.
$5$. શેષ $0$ છે.

(N/A) $p(x) = x^{3} - 2x^{2} + x - 2$ ને $x + 1$ વડે સંશ્લેષિત ભાગાકારની રીતથી ભાગવા માટે,આપણે ભાજક $x + 1 = 0$ નું શૂન્ય શોધીએ,જે $x = -1$ છે.
$p(x)$ ના સહગુણકો $1, -2, 1, -2$ છે.
સંશ્લેષિત ભાગાકારની ગોઠવણી:
$-1$ | $1$ $-2$ $1$ $-2$
| $-1$ $3$ $-4$
-------------------
$1$ $-3$ $4$ $-6$
ભાગફળ બહુપદીના સહગુણકો $1, -3, 4$ મળે છે,જે $x^{2} - 3x + 4$ દર્શાવે છે.
બાકી રહેતી શેષ $-6$ છે.