Mix Examples - Polynomials Questions in Gujarati

(A) વહેંચાયા વગર બાકી રહેલા ઇનામોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે કુલ ઇનામો $P(x) = 3x^3 + 10x^2 + 7x - 2$ ને વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $(x + 2)$ વડે ભાગવા પડશે.
બહુપદીના ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
પગલું $1$: $3x^3$ ને $x$ વડે ભાગતા $3x^2$ મળે.
પગલું $2$: $3x^2(x + 2) = 3x^3 + 6x^2$ નો ગુણાકાર કરો.
પગલું $3$: બાદબાકી કરતા $(3x^3 + 10x^2 + 7x - 2) - (3x^3 + 6x^2) = 4x^2 + 7x - 2$ મળે.
પગલું $4$: $4x^2$ ને $x$ વડે ભાગતા $4x$ મળે.
પગલું $5$: $4x(x + 2) = 4x^2 + 8x$ નો ગુણાકાર કરો.
પગલું $6$: બાદબાકી કરતા $(4x^2 + 7x - 2) - (4x^2 + 8x) = -x - 2$ મળે.
પગલું $7$: $-x$ ને $x$ વડે ભાગતા $-1$ મળે.
પગલું $8$: $-1(x + 2) = -x - 2$ નો ગુણાકાર કરો.
પગલું $9$: બાદબાકી કરતા $(-x - 2) - (-x - 2) = 0$ મળે.
શેષ $0$ છે. તેથી,કોઈ પણ ઇનામ વહેંચાયા વગર બાકી રહેતું નથી.

(A) બહુપદીઓ માટે ભાગાકારના પૂર્વધારણા મુજબ, $p(x) = s(x) \cdot q(x) + r(x)$.
અહીં $p(x) = x^{3} - 3x^{2} + x + 2$, $q(x) = x - 2$, અને $r(x) = -2x + 4$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $x^{3} - 3x^{2} + x + 2 = s(x) \cdot (x - 2) + (-2x + 4)$.
$s(x) \cdot (x - 2)$ ને કર્તા બનાવતા: $s(x) \cdot (x - 2) = (x^{3} - 3x^{2} + x + 2) - (-2x + 4)$.
$s(x) \cdot (x - 2) = x^{3} - 3x^{2} + x + 2 + 2x - 4$.
$s(x) \cdot (x - 2) = x^{3} - 3x^{2} + 3x - 2$.
હવે, $s(x)$ શોધવા માટે $x^{3} - 3x^{2} + 3x - 2$ ને $(x - 2)$ વડે ભાગતા:
બહુપદીના ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરતા: $(x^{3} - 2x^{2}) - (x^{2} - 2x) + (x - 2) = x^{2}(x - 2) - x(x - 2) + 1(x - 2) = (x^{2} - x + 1)(x - 2)$.
તેથી, $s(x) = x^{2} - x + 1$.

(B) $p(x) = 6x^5 + 5x^4 + 11x^3 - 3x^2 + x + 1$ ને $g(x) = 3x^2 - 2x + 4$ વડે ભાગતા:
$1$. $6x^5$ ને $3x^2$ વડે ભાગતા $2x^3$ મળે. $2x^3(3x^2 - 2x + 4) = 6x^5 - 4x^4 + 8x^3$. બાદબાકી કરતા $9x^4 + 3x^3 - 3x^2 + x + 1$ મળે.
$2$. $9x^4$ ને $3x^2$ વડે ભાગતા $3x^2$ મળે. $3x^2(3x^2 - 2x + 4) = 9x^4 - 6x^3 + 12x^2$. બાદબાકી કરતા $9x^3 - 15x^2 + x + 1$ મળે.
$3$. $9x^3$ ને $3x^2$ વડે ભાગતા $3x$ મળે. $3x(3x^2 - 2x + 4) = 9x^3 - 6x^2 + 12x$. બાદબાકી કરતા $-9x^2 - 11x + 1$ મળે.
$4$. $-9x^2$ ને $3x^2$ વડે ભાગતા $-3$ મળે. $-3(3x^2 - 2x + 4) = -9x^2 + 6x - 12$. બાદબાકી કરતા $-17x + 13$ મળે.
બાકી રહેતી શેષ $r(x) = -17x + 13$ છે.
બહુપદીને નિઃશેષ ભાગવા માટે,આપણે $-r(x) = -(-17x + 13) = 17x - 13$ ઉમેરવા જોઈએ.

(C) શું બાદ કરવું જોઈએ તે શોધવા માટે,આપણે બહુપદી $P(x) = 8x^4 + 14x^3 - 2x^2 + 8x - 12$ ને $D(x) = 4x^2 + 3x - 2$ વડે ભાગીશું.
પગલું $1$: $8x^4$ ને $4x^2$ વડે ભાગતા $2x^2$ મળે. $2x^2(4x^2 + 3x - 2) = 8x^4 + 6x^3 - 4x^2$ થાય. તેને $P(x)$ માંથી બાદ કરતા $(14x^3 - 6x^3) + (-2x^2 + 4x^2) + 8x - 12 = 8x^3 + 2x^2 + 8x - 12$ મળે.
પગલું $2$: $8x^3$ ને $4x^2$ વડે ભાગતા $2x$ મળે. $2x(4x^2 + 3x - 2) = 8x^3 + 6x^2 - 4x$ થાય. તેને શેષમાંથી બાદ કરતા $(2x^2 - 6x^2) + (8x + 4x) - 12 = -4x^2 + 12x - 12$ મળે.
પગલું $3$: $-4x^2$ ને $4x^2$ વડે ભાગતા $-1$ મળે. $-1(4x^2 + 3x - 2) = -4x^2 - 3x + 2$ થાય. તેને વર્તમાન શેષમાંથી બાદ કરતા $(12x + 3x) + (-12 - 2) = 15x - 14$ મળે.
આમ,શેષ $15x - 14$ હોવાથી,મૂળ બહુપદીમાંથી આ બાદ કરવાથી તે $4x^2 + 3x - 2$ વડે નિઃશેષ ભાગી શકાશે.

(D) બીજી બહુપદી શોધવા માટે,આપણે આપેલ ગુણાકાર $x^{5}+3x^{4}+5x^{3}+3x^{2}+9x+15$ ને આપેલી બહુપદી $x^{2}+3$ વડે ભાગીશું.
બહુપદીનો ભાગાકાર કરતા:
આપેલ પદાવલિને જૂથમાં વહેંચતા: $x^{3}(x^{2}+3) + 3x^{2}(x^{2}+3) + 5(x^{2}+3) = (x^{3}+3x^{2}+5)(x^{2}+3)$.
તેથી,બીજી બહુપદી $x^{3}+3x^{2}+5$ છે.

(A) બહુપદી માટે ભાગાકારના પૂર્વધારણા મુજબ, ભાજ્ય $p(x)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $p(x) = (\text{ભાજક} \times \text{ભાગફળ}) + \text{શેષ}$.
આપેલ છે:
ભાજક $d(x) = x^{2}+4x+2$
ભાગફળ $q(x) = x^{2}-4x+14$
શેષ $r(x) = 9x-13$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$p(x) = (x^{2}+4x+2)(x^{2}-4x+14) + (9x-13)$
પ્રથમ, ભાજક અને ભાગફળનો ગુણાકાર કરતા:
$(x^{2}+4x+2)(x^{2}-4x+14) = x^{2}(x^{2}-4x+14) + 4x(x^{2}-4x+14) + 2(x^{2}-4x+14)$
$= (x^{4}-4x^{3}+14x^{2}) + (4x^{3}-16x^{2}+56x) + (2x^{2}-8x+28)$
સમાન પદોને ભેગા કરતા:
$= x^{4} + (-4x^{3}+4x^{3}) + (14x^{2}-16x^{2}+2x^{2}) + (56x-8x) + 28$
$= x^{4} + 0x^{3} + 0x^{2} + 48x + 28$
હવે, શેષ $r(x) = 9x-13$ ઉમેરતા:
$p(x) = (x^{4}+48x+28) + (9x-13)$
$p(x) = x^{4} + (48x+9x) + (28-13)$
$p(x) = x^{4} + 57x + 15$.

(C) બહુપદીનું વર્ગીકરણ તેની ઘાતને આધારે કરવામાં આવે છે,જે પદાવલિમાં રહેલા ચલ $x$ ની સૌથી મોટી ઘાત છે.
આપેલ બહુપદી $P(x) = 4x^{3} + 3x^{2} + 2x + 1$ માં,$x$ ની સૌથી મોટી ઘાત $3$ છે.
$3$ ઘાત ધરાવતી બહુપદીને ત્રિઘાત બહુપદી કહેવામાં આવે છે.
તેથી,$P(x)$ એ ત્રિઘાત બહુપદી છે.

(B) બહુપદીની ઘાત એટલે બહુપદીમાં રહેલા ચલની સૌથી મોટી ઘાત.
આપેલ બહુપદી $p(x) = x^2 - x^3 + x + 1$ છે.
અહીં ચલ $x$ ની ઘાતો $2, 3, 1$ અને $0$ (અચળ પદ $1$ માટે) છે.
આ ઘાતોમાં સૌથી મોટી ઘાત $3$ છે.
તેથી,બહુપદી $p(x)$ ની ઘાત $3$ છે.

(D) બહુપદી $p(x) = x^{3} - 3x^{2} + 9x - 27$ ના અવયવો શોધવા માટે,આપણે જૂથ બનાવવાની રીતનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
પગલું $1$: બહુપદીના પદોના જૂથ બનાવો: $p(x) = (x^{3} - 3x^{2}) + (9x - 27)$.
પગલું $2$: દરેક જૂથમાંથી સામાન્ય પદો બહાર કાઢો: $p(x) = x^{2}(x - 3) + 9(x - 3)$.
પગલું $3$: સામાન્ય દ્વિપદી $(x - 3)$ ને સામાન્ય કાઢો: $p(x) = (x - 3)(x^{2} + 9)$.
આમ,અવયવો $(x - 3)$ અને $(x^{2} + 9)$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$(x - 3)$ એ એક અવયવ છે.

(B) $p(x) = x^{3} + 2x^{2} + 3x + 2$ ના અવયવો શોધવા માટે,આપણે અવયવ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
જો $(x + 1)$ એ અવયવ હોય,તો $p(-1) = 0$ થવું જોઈએ.
$p(-1) = (-1)^{3} + 2(-1)^{2} + 3(-1) + 2$
$p(-1) = -1 + 2(1) - 3 + 2$
$p(-1) = -1 + 2 - 3 + 2 = 0$
અહીં $p(-1) = 0$ હોવાથી,અવયવ પ્રમેય મુજબ $(x + 1)$ એ $p(x)$ નો એક અવયવ છે.

(A) ત્રિઘાત બહુપદીનું સામાન્ય સ્વરૂપ $p(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ છે.
આપેલ સહગુણકો:
$a = 3$
$b = -5$
$c = -11$
$d = -3$
આ કિંમતોને સામાન્ય સ્વરૂપમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$p(x) = (3)x^{3} + (-5)x^{2} + (-11)x + (-3)$
$p(x) = 3x^{3} - 5x^{2} - 11x - 3$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) ધારો કે બે બહુપદીઓ $P(x)$ અને $Q(x)$ છે.
આપેલ છે કે $P(x) \times Q(x) = x^{2}-x-72$.
એક બહુપદી $P(x) = x+8$ છે.
બીજી બહુપદી $Q(x)$ શોધવા માટે,આપણે ગુણાકારને આપેલી બહુપદી વડે ભાગીશું:
$Q(x) = \frac{x^{2}-x-72}{x+8}$.
આપણે દ્વિઘાત પદાવલિ $x^{2}-x-72$ ના અવયવો પાડી શકીએ છીએ:
$x^{2}-9x+8x-72 = x(x-9)+8(x-9) = (x+8)(x-9)$.
તેથી,$Q(x) = \frac{(x+8)(x-9)}{x+8} = x-9$.
આમ,બીજી બહુપદી $x-9$ છે.

(D) $2$ ઘાત ધરાવતી બહુપદીને દ્વિઘાત બહુપદી કહેવામાં આવે છે.
વિકલ્પ $A$ માં,$p(x) = 2 - 4x$ એ સુરેખ બહુપદી છે (ઘાત $1$ છે).
વિકલ્પ $B$ માં,$p(x) = 2x^3 - 1$ એ ત્રિઘાત બહુપદી છે (ઘાત $3$ છે).
વિકલ્પ $C$ માં,$p(x) = 2x - 5$ એ સુરેખ બહુપદી છે (ઘાત $1$ છે).
વિકલ્પ $D$ માં,$p(x) = 1 - x^2$ એ દ્વિઘાત બહુપદી છે કારણ કે ચલ $x$ ની મહત્તમ ઘાત $2$ છે.

(D) અવયવ પ્રમેય મુજબ,$(x+1)$ એ બહુપદી $p(x)$ નો અવયવ ત્યારે જ હોય જો $p(-1) = 0$ થાય.
વિકલ્પ $A$ માટે: $p(-1) = (-1)^3 + 2(-1)^2 + 2(-1) + 1 = -1 + 2 - 2 + 1 = 0$. તેથી,$(x+1)$ અવયવ છે.
વિકલ્પ $B$ માટે: $p(-1) = (-1)^3 - 2(-1) - 1 = -1 + 2 - 1 = 0$. તેથી,$(x+1)$ અવયવ છે.
વિકલ્પ $C$ માટે: $p(-1) = (-1)^3 + 2(-1)^2 - 1 = -1 + 2 - 1 = 0$. તેથી,$(x+1)$ અવયવ છે.
વિકલ્પ $D$ માટે: $p(-1) = (-1)^3 - 1 = -1 - 1 = -2$. અહીં $p(-1) \neq 0$ હોવાથી,$(x+1)$ એ $p(x) = x^3 - 1$ નો અવયવ નથી.

(C) $ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ સ્વરૂપની ત્રિઘાત બહુપદી માટે,શૂન્યોનો ગુણાકાર $\alpha \beta \gamma$ શોધવાનું સૂત્ર $\alpha \beta \gamma = -\frac{d}{a}$ છે.
આપેલ બહુપદી $p(x) = x^{3} - 3x^{2} - 6x + 8$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1$,$b = -3$,$c = -6$ અને $d = 8$ મળે છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા,$\alpha \beta \gamma = -\frac{8}{1} = -8$ મળે છે.

(A) $n$ ઘાતવાળી બહુપદીને વધુમાં વધુ $n$ શૂન્યો હોય છે.
$A$ માટે: $p(x) = x^3 + 8$ એ ત્રિઘાત બહુપદી છે,તેથી તેને $3$ શૂન્યો હોય. આમ,આ વિધાન સાચું છે.
$B$ માટે: $p(x) = x^2 - 36$ એ દ્વિઘાત બહુપદી છે,તેથી તેને વધુમાં વધુ $2$ શૂન્યો હોય. આ વિધાન ખોટું છે.
$C$ માટે: $p(x) = 4x^3 + x = x(4x^2 + 1)$. અહીં $x = 0$ એ એકમાત્ર વાસ્તવિક શૂન્ય છે.
$D$ માટે: $p(x) = 4x^3 - x = x(2x - 1)(2x + 1)$. અહીં $x = 0, 1/2, -1/2$ એમ ત્રણ શૂન્યો મળે છે.
નોંધ: વિકલ્પ $A$ અને $D$ બંને સાચા છે,પરંતુ $x^3 + 8$ એ ત્રિઘાત બહુપદીનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ છે.

(C) બહુપદી $p(x) = x^2(1 + x + x^2) + 5$ ની ઘાત શોધવા માટે,આપણે પહેલા પદાવલિનું વિસ્તરણ કરીશું.
$x^2$ ને કૌંસની અંદર ગુણતા આપણને મળે છે:
$p(x) = x^2(1) + x^2(x) + x^2(x^2) + 5$
$p(x) = x^2 + x^3 + x^4 + 5$
પદોને તેમની ઘાતના ઉતરતા ક્રમમાં ગોઠવતા:
$p(x) = x^4 + x^3 + x^2 + 5$
બહુપદીની ઘાત એટલે પદાવલિમાં રહેલા ચલ $x$ ની સૌથી મોટી ઘાત.
આ બહુપદીમાં $x$ ની સૌથી મોટી ઘાત $4$ છે.
તેથી,$p(x)$ ની ઘાત $4$ છે.

(D) એક કેમેરાની કિંમત શોધવા માટે,આપણે કુલ કિંમતને કેમેરાની સંખ્યા વડે ભાગીશું.
એક કેમેરાની કિંમત = $\frac{x^{3}+3x^{2}+5x+3}{x+1}$.
બહુપદીના ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$1$. $x^{3}$ ને $x$ વડે ભાગતા $x^{2}$ મળે.
$2$. $x^{2}(x+1) = x^{3}+x^{2}$ ગુણાકાર કરો.
$3$. બાદબાકી કરતા: $(x^{3}+3x^{2}+5x+3) - (x^{3}+x^{2}) = 2x^{2}+5x+3$.
$4$. $2x^{2}$ ને $x$ વડે ભાગતા $2x$ મળે.
$5$. $2x(x+1) = 2x^{2}+2x$ ગુણાકાર કરો.
$6$. બાદબાકી કરતા: $(2x^{2}+5x+3) - (2x^{2}+2x) = 3x+3$.
$7$. $3x$ ને $x$ વડે ભાગતા $3$ મળે.
$8$. $3(x+1) = 3x+3$ ગુણાકાર કરો.
$9$. બાદબાકી કરતા: $(3x+3) - (3x+3) = 0$.
ભાગફળ $x^{2}+2x+3$ મળે છે. તેથી,એક કેમેરાની કિંમત ₹ $(x^{2}+2x+3)$ છે.

(B) બે અંકની સંખ્યા જેમાં દશકનો અંક $x$ અને એકમનો અંક $y$ હોય તેને $10x + y$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
જ્યારે આ બે અંકોની વચ્ચે શૂન્ય મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે નવી સંખ્યા ત્રણ અંકની બને છે.
અંક $x$ એ સોના સ્થાન પર જાય છે,અંક $0$ એ દશકના સ્થાન પર જાય છે,અને અંક $y$ એ એકમના સ્થાન પર રહે છે.
તેથી,નવી સંખ્યાનું મૂલ્ય $100(x) + 10(0) + y = 100x + y$ થાય છે.

(D) $p(-2)$ ની કિંમત શોધવા માટે, આપેલ બહુપદી $p(x) = 2x^4 - 3x^3 + 7x + 5$ માં $x = -2$ મૂકો.
$p(-2) = 2(-2)^4 - 3(-2)^3 + 7(-2) + 5$
ઘાતની ગણતરી કરો:
$(-2)^4 = 16$
$(-2)^3 = -8$
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$p(-2) = 2(16) - 3(-8) + 7(-2) + 5$
$p(-2) = 32 + 24 - 14 + 5$
$p(-2) = 56 - 14 + 5$
$p(-2) = 42 + 5$
$p(-2) = 47$

(C) બહુપદી $(x+1)(x^2 - x - x^4 + 1)$ નો ઘાતાંક શોધવા માટે,આપણે દરેક અવયવમાં $x$ ની સૌથી મોટી ઘાત ઓળખીએ છીએ.
પ્રથમ અવયવ $(x+1)$ છે,જેનો ઘાતાંક $1$ છે.
બીજો અવયવ $(x^2 - x - x^4 + 1)$ છે,જેનો ઘાતાંક $4$ છે (કારણ કે $x$ ની સૌથી મોટી ઘાત $x^4$ છે).
જ્યારે બે બહુપદીઓનો ગુણાકાર કરવામાં આવે છે,ત્યારે મળતી બહુપદીનો ઘાતાંક એ વ્યક્તિગત અવયવોના ઘાતાંકોનો સરવાળો હોય છે.
તેથી,ગુણાકારનો ઘાતાંક $1 + 4 = 5$ થાય છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\frac{x^{3}-1}{p(x)} = \frac{x^{2}+x+1}{x-1}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ઘનનો તફાવત માટેનું નિત્યસમ: $x^{3}-1 = (x-1)(x^{2}+x+1)$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{(x-1)(x^{2}+x+1)}{p(x)} = \frac{x^{2}+x+1}{x-1}$.
બંને બાજુથી $(x^{2}+x+1)$ ને દૂર કરતા (ધારો કે $x^{2}+x+1 \neq 0$): $\frac{x-1}{p(x)} = \frac{1}{x-1}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $p(x) = (x-1)(x-1) = (x-1)^{2}$.