Fundamental Theorem of Arithmetic Questions in Gujarati

(N/A) ધારો કે $a$ કોઈ પણ ધન પૂર્ણાંક છે અને $b=2$ છે. યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $a$ અને ભાજક $b=2$ માટે,અનન્ય પૂર્ણાંકો $q$ અને $r$ એવા મળે કે જેથી $a = bq + r$,જ્યાં $0 \leq r < b$ થાય.
અહીં $b=2$ હોવાથી,શેષ $r$ ની શક્ય કિંમતો $0$ અને $1$ છે (એટલે કે $0 \leq r < 2$).
કિસ્સો $1$: જો $r=0$ હોય,તો $a = 2q + 0 = 2q$ થાય. $2q$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય હોવાથી,$a$ એ યુગ્મ પૂર્ણાંક છે.
કિસ્સો $2$: જો $r=1$ હોય,તો $a = 2q + 1$ થાય. $2q$ એ યુગ્મ હોવાથી,$2q+1$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય નથી,તેથી $a$ એ અયુગ્મ પૂર્ણાંક છે.
આમ,દરેક ધન યુગ્મ પૂર્ણાંક $2q$ સ્વરૂપમાં અને દરેક ધન અયુગ્મ પૂર્ણાંક $2q+1$ સ્વરૂપમાં હોય છે.

(N/A) ધારો કે $a$ કોઈ પણ ધન અયુગ્મ પૂર્ણાંક છે. યુક્લિડની ભાગાકારની પ્રવિધિ મુજબ,કોઈપણ બે ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ માટે,અનન્ય પૂર્ણાંકો $q$ અને $r$ એવા મળે કે જેથી $a = bq + r$,જ્યાં $0 \leq r < b$ થાય.
અહીં,આપણે $b = 4$ લઈએ છીએ. તેથી,$a = 4q + r$,જ્યાં $0 \leq r < 4$ છે.
શેષ $r$ માટે શક્ય કિંમતો $0, 1, 2$ અને $3$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $a$ ને $4q, 4q+1, 4q+2$ અથવા $4q+3$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
કારણ કે $a$ એક અયુગ્મ પૂર્ણાંક છે,તે $2$ વડે વિભાજ્ય હોઈ શકે નહીં.
- $4q = 2(2q)$,જે $2$ વડે વિભાજ્ય છે (યુગ્મ).
- $4q+2 = 2(2q+1)$,જે $2$ વડે વિભાજ્ય છે (યુગ્મ).
તેથી,$a$ એ $4q$ અથવા $4q+2$ હોઈ શકે નહીં.
આમ,કોઈપણ ધન અયુગ્મ પૂર્ણાંક $4q+1$ અથવા $4q+3$ સ્વરૂપમાં જ હોય છે.

(N/A) યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,કોઈપણ બે ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ માટે,અનન્ય પૂર્ણાંકો $q$ અને $r$ એવા મળે કે જેથી $a = bq + r$,જ્યાં $0 \leq r < b$ થાય.
ધારો કે $a$ કોઈ ધન અયુગ્મ પૂર્ણાંક છે અને $b = 6$ છે.
પૂર્વપ્રમેયમાં $b = 6$ મૂકતા,આપણને $a = 6q + r$ મળે,જ્યાં $0 \leq r < 6$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $r$ ની શક્ય કિંમતો $0, 1, 2, 3, 4, 5$ છે.
જો $r = 0$ હોય,તો $a = 6q = 2(3q)$,જે યુગ્મ છે.
જો $r = 1$ હોય,તો $a = 6q + 1 = 2(3q) + 1$,જે અયુગ્મ છે.
જો $r = 2$ હોય,તો $a = 6q + 2 = 2(3q + 1)$,જે યુગ્મ છે.
જો $r = 3$ હોય,તો $a = 6q + 3 = 2(3q + 1) + 1$,જે અયુગ્મ છે.
જો $r = 4$ હોય,તો $a = 6q + 4 = 2(3q + 2)$,જે યુગ્મ છે.
જો $r = 5$ હોય,તો $a = 6q + 5 = 2(3q + 2) + 1$,જે અયુગ્મ છે.
આમ,$a$ એ ધન અયુગ્મ પૂર્ણાંક હોવાથી,તે $6q, 6q+2$ અથવા $6q+4$ સ્વરૂપમાં ન હોઈ શકે. તેથી,કોઈપણ ધન અયુગ્મ પૂર્ણાંક $6q+1, 6q+3$ અથવા $6q+5$ સ્વરૂપમાં જ હોય છે.

(N/A) ધારો કે $a$ કોઈ પણ ધન પૂર્ણાંક છે અને $b=3$ છે.
યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,$a = 3q + r$,જ્યાં $q \geq 0$ અને $r \in \{0, 1, 2\}$ છે.
કિસ્સો $1$: જો $r=0$ હોય,તો $a = 3q$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$a^2 = (3q)^2 = 9q^2 = 3(3q^2) = 3m$,જ્યાં $m = 3q^2$ છે.
કિસ્સો $2$: જો $r=1$ હોય,તો $a = 3q+1$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$a^2 = (3q+1)^2 = 9q^2 + 6q + 1 = 3(3q^2 + 2q) + 1 = 3m + 1$,જ્યાં $m = 3q^2 + 2q$ છે.
કિસ્સો $3$: જો $r=2$ હોય,તો $a = 3q+2$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$a^2 = (3q+2)^2 = 9q^2 + 12q + 4 = 9q^2 + 12q + 3 + 1 = 3(3q^2 + 4q + 1) + 1 = 3m + 1$,જ્યાં $m = 3q^2 + 4q + 1$ છે.
આમ,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંકનો વર્ગ હંમેશા $3m$ અથવા $3m+1$ સ્વરૂપમાં હોય છે.

(N/A) ધારો કે $a$ કોઈ પણ ધન પૂર્ણાંક છે અને $b=3$ છે.
યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,$a = 3q + r$,જ્યાં $q \geq 0$ અને $0 \leq r < 3$ છે.
તેથી,$a$ એ $3q, 3q+1$ અથવા $3q+2$ સ્વરૂપમાં હોઈ શકે છે.
કિસ્સો $1$: જો $a = 3q$ હોય,તો $a^3 = (3q)^3 = 27q^3 = 9(3q^3) = 9m$,જ્યાં $m = 3q^3$ છે.
કિસ્સો $2$: જો $a = 3q+1$ હોય,તો $a^3 = (3q+1)^3 = 27q^3 + 27q^2 + 9q + 1 = 9(3q^3 + 3q^2 + q) + 1 = 9m + 1$,જ્યાં $m = 3q^3 + 3q^2 + q$ છે.
કિસ્સો $3$: જો $a = 3q+2$ હોય,તો $a^3 = (3q+2)^3 = 27q^3 + 54q^2 + 36q + 8 = 9(3q^3 + 6q^2 + 4q) + 8 = 9m + 8$,જ્યાં $m = 3q^3 + 6q^2 + 4q$ છે.
આમ,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંકનો ઘન $9m, 9m+1$ અથવા $9m+8$ સ્વરૂપમાં હોય છે.

(C) જો કોઈ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે $4^{n}$ સંખ્યાનો અંતિમ અંક શૂન્ય હોય,તો તે $5$ વડે વિભાજ્ય હોવી જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $4^{n}$ ના અવિભાજ્ય અવયવીકરણમાં અવિભાજ્ય સંખ્યા $5$ હોવી જોઈએ.
જો કે,આપણે $4^{n} = (2^{2})^{n} = 2^{2n}$ લખી શકીએ છીએ.
$4^{n}$ ના અવિભાજ્ય અવયવીકરણમાં માત્ર એક જ અવિભાજ્ય અવયવ $2$ છે.
અંકગણિતના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,આ અવિભાજ્ય અવયવીકરણ અનન્ય છે.
તેથી,$5$ એ $4^{n}$ નો અવયવ ન હોવાથી,એવી કોઈ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ નથી જેના માટે $4^{n}$ નો અંતિમ અંક શૂન્ય હોય.

(A) $140$ ને તેના અવિભાજ્ય અવયવોના ગુણાકાર તરીકે દર્શાવવા માટે,આપણે અવિભાજ્ય અવયવીકરણ કરીએ છીએ:
$140 = 2 \times 70$
$70 = 2 \times 35$
$35 = 5 \times 7$
તેથી,$140 = 2 \times 2 \times 5 \times 7 = 2^{2} \times 5 \times 7$.

(A) $156$ ને તેના અવિભાજ્ય અવયવોના ગુણાકાર તરીકે દર્શાવવા માટે,આપણે અવિભાજ્ય અવયવીકરણ કરીએ છીએ:
$156 = 2 \times 78$
$78 = 2 \times 39$
$39 = 3 \times 13$
આ બધાને જોડતા,આપણને મળે છે: $156 = 2 \times 2 \times 3 \times 13$
તેથી,અવિભાજ્ય અવયવીકરણ $2^{2} \times 3 \times 13$ છે.

(B) $3825$ ને તેના અવિભાજ્ય અવયવોના ગુણાકાર તરીકે દર્શાવવા માટે,આપણે અવિભાજ્ય અવયવીકરણ કરીએ છીએ:
$3825 \div 3 = 1275$
$1275 \div 3 = 425$
$425 \div 5 = 85$
$85 \div 5 = 17$
$17 \div 17 = 1$
આમ,$3825 = 3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 17 = 3^{2} \times 5^{2} \times 17$.

(A) $5005$ ને તેના અવિભાજ્ય અવયવોના ગુણાકાર તરીકે દર્શાવવા માટે,આપણે અવિભાજ્ય અવયવીકરણ કરીશું:
$5005$ એ $5$ વડે વિભાજ્ય છે: $5005 = 5 \times 1001$
$1001$ એ $7$ વડે વિભાજ્ય છે: $1001 = 7 \times 143$
$143$ એ $11$ વડે વિભાજ્ય છે: $143 = 11 \times 13$
$13$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે.
તેથી,$5005$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ $5 \times 7 \times 11 \times 13$ છે.

(A) $7429$ ના અવિભાજ્ય અવયવો શોધવા માટે,આપણે સૌથી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓથી વિભાજ્યતાની ચકાસણી કરીશું.
$1$. $7429$ એ $2, 3, 5, 7, 11$ કે $13$ વડે વિભાજ્ય નથી.
$2$. $7429$ ને $17$ વડે ભાગતા: $7429 \div 17 = 437$.
$3$. હવે,આપણે $437$ ના અવિભાજ્ય અવયવો શોધીશું. $19$ વડે વિભાજ્યતાની ચકાસણી કરતા: $437 \div 19 = 23$.
$4$. $23$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા હોવાથી,અવિભાજ્ય અવયવીકરણ પૂર્ણ થાય છે.
તેથી,$7429 = 17 \times 19 \times 23$.

(N/A) જો કોઈ સંખ્યાનો અંતિમ અંક $0$ હોય,તો તે $10$ વડે વિભાજ્ય હોવી જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે તે $2$ અને $5$ બંને વડે વિભાજ્ય હોવી જોઈએ,કારણ કે $10 = 2 \times 5$ થાય છે.
$6^{n}$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ $(2 \times 3)^{n} = 2^{n} \times 3^{n}$ છે.
અહીં જોઈ શકાય છે કે $6^{n}$ ના અવિભાજ્ય અવયવીકરણમાં $5$ નો સમાવેશ થતો નથી.
કારણ કે $5$ એ $6^{n}$ નો અવયવ નથી,તેથી કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે $6^{n}$ એ $5$ વડે વિભાજ્ય નથી.
તેથી,કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે $6^{n}$ નો અંતિમ અંક $0$ હોઈ શકે નહીં.

(N/A) સંખ્યાઓ બે પ્રકારની હોય છે: અવિભાજ્ય અને વિભાજ્ય. અવિભાજ્ય સંખ્યાઓને માત્ર બે જ અવયવો હોય છે,$1$ અને તે સંખ્યા પોતે,જ્યારે વિભાજ્ય સંખ્યાઓને બે કરતાં વધુ અવયવો હોય છે.
પ્રથમ પદાવલિ માટે:
$7 \times 11 \times 13+13 = 13 \times (7 \times 11 + 1) = 13 \times (77 + 1) = 13 \times 78 = 13 \times 13 \times 6$.
આ પદાવલિને $1$ અને તે સંખ્યા સિવાયના અન્ય અવયવો (જેમ કે $6, 13, 78$) હોવાથી,તે એક વિભાજ્ય સંખ્યા છે.
બીજી પદાવલિ માટે:
$7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1+5 = 5 \times (7 \times 6 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 + 1) = 5 \times (1008 + 1) = 5 \times 1009$.
અહીં $1009$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે,તેથી આ પદાવલિના અવયવો $5$ અને $1009$ છે (ઉપરાંત $1$ અને તે સંખ્યા પોતે). તેથી,તે એક વિભાજ્ય સંખ્યા છે.

(A) કોઈ સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો તપાસીએ છીએ.
જો $q$ એ $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં હોય,જ્યાં $n$ અને $m$ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે,તો તેનું દશાંશ નિરૂપણ શાંત હોય છે.
અહીં આપેલ અપૂર્ણાંક $\frac{13}{3125}$ માં,છેદ $3125$ છે.
$3125$ ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડતા: $3125 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^5$.
આને $2^0 \times 5^5$ તરીકે લખી શકાય,જે $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં છે (જ્યાં $n=0$ અને $m=5$).
છેદ $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં હોવાથી,$\frac{13}{3125}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે.

(A) કોઈ સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો તપાસીએ છીએ.
જો $q$ એ $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં હોય,જ્યાં $n$ અને $m$ એ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે,તો તેનું દશાંશ નિરૂપણ શાંત હોય છે.
આપેલ સંમેય સંખ્યા $\frac{17}{8}$ છે.
અહીં છેદ $8$ છે.
$8$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $8 = 2 \times 2 \times 2 = 2^3$ છે.
આપણે $8 = 2^3 \times 5^0$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
છેદ $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં હોવાથી,$\frac{17}{8}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે.

(B) યુક્લિડનું ભાગાકારનું પૂર્વપ્રમેય જણાવે છે કે કોઈપણ બે ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ માટે,અનન્ય પૂર્ણાંકો $q$ અને $r$ એવા મળે છે કે જેથી $a = bq + r,$ જ્યાં શેષ $r$ એ $0 \leq r < b$ શરતનું પાલન કરે છે.
આનો અર્થ એ છે કે શેષ $r$ એ શૂન્ય અથવા શૂન્ય કરતાં મોટી હોઈ શકે છે,પરંતુ તે હંમેશા ભાજક $b$ કરતાં નાની હોવી જોઈએ.

(C) બેકી પૂર્ણાંકની વ્યાખ્યા મુજબ,જે પૂર્ણાંક $2$ વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય તેને બેકી પૂર્ણાંક કહેવાય છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,કોઈપણ બેકી પૂર્ણાંકને $2m$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $m$ એ કોઈપણ પૂર્ણાંક છે $(m \in \mathbb{Z})$.
જો આપણે $m$ ની કિંમતો મૂકીએ:
જો $m = 0$ હોય,તો $2m = 0$.
જો $m = 1$ હોય,તો $2m = 2$.
જો $m = 2$ હોય,તો $2m = 4$.
જો $m = -1$ હોય,તો $2m = -2$.
આમ,દરેક બેકી પૂર્ણાંક $2m$ ના સ્વરૂપમાં હોય છે.

(D) વ્યાખ્યા મુજબ,જો કોઈ પૂર્ણાંક $2$ વડે વિભાજ્ય હોય,તો તે બેકી પૂર્ણાંક છે,જેને કોઈ પૂર્ણાંક $q$ માટે $2q$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
એકી પૂર્ણાંક એવો પૂર્ણાંક છે જે $2$ વડે વિભાજ્ય નથી.
જ્યારે આપણે કોઈપણ એકી પૂર્ણાંકને $2$ વડે ભાગીએ છીએ,ત્યારે શેષ હંમેશા $1$ વધે છે.
યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,કોઈપણ પૂર્ણાંક $a$ ને $a = bq + r$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $0 \le r < b$ હોય.
$b = 2$ માટે,આપણી પાસે $a = 2q + r$ છે,જ્યાં $r = 0$ અથવા $r = 1$ હોય.
જો $r = 0$ હોય,તો $a = 2q$ (બેકી પૂર્ણાંક).
જો $r = 1$ હોય,તો $a = 2q + 1$ (એકી પૂર્ણાંક).
તેથી,દરેક એકી પૂર્ણાંક એ કોઈ પૂર્ણાંક $q$ માટે $2q + 1$ સ્વરૂપમાં હોય છે.

(A) ધારો કે $a = n^{2} - 1$.
કિસ્સો $I$: જો $n$ એ બેકી પૂર્ણાંક હોય,તો ધારો કે $n = 2k$ કોઈ પૂર્ણાંક $k$ માટે.
તો $a = (2k)^{2} - 1 = 4k^{2} - 1$. આ હંમેશા એકી સંખ્યા છે,તેથી તે $8$ વડે વિભાજ્ય ન હોઈ શકે.
કિસ્સો $II$: જો $n$ એ એકી પૂર્ણાંક હોય,તો ધારો કે $n = 2k + 1$ કોઈ પૂર્ણાંક $k$ માટે.
તો $a = (2k + 1)^{2} - 1 = (4k^{2} + 4k + 1) - 1 = 4k^{2} + 4k = 4k(k + 1)$.
અહીં $k$ અને $k + 1$ ક્રમિક પૂર્ણાંકો હોવાથી,તેમાંથી એક સંખ્યા બેકી હશે. તેથી,ગુણાકાર $k(k + 1)$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય છે.
ધારો કે $k(k + 1) = 2m$ કોઈ પૂર્ણાંક $m$ માટે.
તો $a = 4(2m) = 8m$.
આમ,$a$ એ $8$ નો ગુણક હોવાથી,જ્યારે $n$ એકી પૂર્ણાંક હોય ત્યારે $n^{2} - 1$ એ $8$ વડે વિભાજ્ય છે.

(D) સંમેય સંખ્યા $\frac{14587}{1250}$ નું દશાંશ નિરૂપણ કેટલા દશાંશ સ્થળ પછી શાંત થશે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે છેદનું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ કરીએ.
$1250 = 2^1 \times 5^4$.
કોઈપણ સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ નું દશાંશ નિરૂપણ $n$ દશાંશ સ્થળ પછી શાંત થાય છે,જ્યાં $n$ એ છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવીકરણમાં $2$ અને $5$ ના ઘાતાંકોમાંથી મહત્તમ ઘાતાંક છે (જ્યારે અપૂર્ણાંક તેના અતિસંક્ષિપ્ત રૂપમાં હોય).
અહીં,ઘાતાંકો $1$ અને $4$ છે. મહત્તમ ઘાતાંક $4$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,આપણે લખી શકીએ:
$\frac{14587}{1250} = \frac{14587}{2^1 \times 5^4} = \frac{14587 \times 2^3}{2^1 \times 5^4 \times 2^3} = \frac{14587 \times 8}{2^4 \times 5^4} = \frac{116696}{10^4} = \frac{116696}{10000} = 11.6696$.
પરિણામ $11.6696$ હોવાથી,દશાંશ નિરૂપણ ચાર દશાંશ સ્થળ પછી શાંત થાય છે.

(NO) ના,સંખ્યા $6^{n}$ નો અંત $5$ અંક સાથે થઈ શકે નહીં.
કોઈપણ સંખ્યાનો અંત $5$ અંક સાથે થાય તે માટે તેના અવિભાજ્ય અવયવીકરણમાં અવિભાજ્ય અવયવ $5$ હોવો જરૂરી છે.
$6^{n}$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ $6^{n} = (2 \times 3)^{n} = 2^{n} \times 3^{n}$ છે.
અહીં $6^{n}$ ના અવિભાજ્ય અવયવો માત્ર $2$ અને $3$ છે,અને $5$ એ અવિભાજ્ય અવયવ નથી,તેથી કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે $6^{n}$ નો અંત ક્યારેય $5$ અંક સાથે થઈ શકે નહીં.

(A) આ વિધાન સત્ય છે.
ધારો કે બે ક્રમિક ધન પૂર્ણાંકો $n$ અને $(n+1)$ છે.
કોઈપણ બે ક્રમિક પૂર્ણાંકોમાં,એક સંખ્યા બેકી (even) અને બીજી એકી (odd) હોય છે.
બેકી સંખ્યા હંમેશા $2$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.
તેથી,તેમનો ગુણાકાર $n(n+1)$ હંમેશા $2$ વડે વિભાજ્ય હશે કારણ કે તેમાંની ઓછામાં ઓછી એક સંખ્યા બેકી છે.

(A) ધારો કે ત્રણ ક્રમિક ધન પૂર્ણાંકો $n, (n + 1)$ અને $(n + 2)$ છે.
કોઈપણ બે ક્રમિક પૂર્ણાંકોના સમૂહમાં,એક સંખ્યા બેકી (એટલે કે $2$ વડે વિભાજ્ય) હોય જ છે. તેથી,કોઈપણ ત્રણ ક્રમિક પૂર્ણાંકોના સમૂહમાં,ઓછામાં ઓછી એક સંખ્યા $2$ વડે વિભાજ્ય હશે.
કોઈપણ ત્રણ ક્રમિક પૂર્ણાંકોના સમૂહમાં,એક સંખ્યા $3$ નો ગુણક (એટલે કે $3$ વડે વિભાજ્ય) હોય જ છે.
આમ,આ ગુણાકાર $2$ અને $3$ બંને વડે વિભાજ્ય છે. $2$ અને $3$ પરસ્પર અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ હોવાથી (તેમનો ગુ.સા.અ. $1$ છે),તેમનો ગુણાકાર $2 \times 3 = 6$ વડે પણ વિભાજ્ય હોય.
તેથી,આ વિધાન સત્ય છે.

(N/A) ના,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંકનો વર્ગ $3m + 2$ સ્વરૂપમાં હોઈ શકે નહીં.
યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $b$ ને $b = 3q + r$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $0 \leq r < 3$. આમ,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $3k, 3k + 1$ અથવા $3k + 2$ સ્વરૂપમાં હોય છે.
કિસ્સો $1$: જો $b = 3k$ હોય,તો $b^2 = (3k)^2 = 9k^2 = 3(3k^2) = 3m$,જ્યાં $m = 3k^2$.
કિસ્સો $2$: જો $b = 3k + 1$ હોય,તો $b^2 = (3k + 1)^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1 = 3m + 1$,જ્યાં $m = 3k^2 + 2k$.
કિસ્સો $3$: જો $b = 3k + 2$ હોય,તો $b^2 = (3k + 2)^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 9k^2 + 12k + 3 + 1 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1 = 3m + 1$,જ્યાં $m = 3k^2 + 4k + 1$.
બધા કિસ્સાઓમાં,ધન પૂર્ણાંકનો વર્ગ કાં તો $3m$ અથવા $3m + 1$ સ્વરૂપમાં મળે છે. તેથી,તે $3m + 2$ સ્વરૂપમાં હોઈ શકે નહીં.

(B) ના. યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંકને કોઈ પૂર્ણાંક $q$ માટે $3q, 3q + 1$ અથવા $3q + 2$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે.
ચાલો આ સ્વરૂપોના વર્ગની તપાસ કરીએ:
$1.$ જો પૂર્ણાંક $3q$ હોય,તો તેનો વર્ગ $(3q)^2 = 9q^2 = 3(3q^2) = 3m$ થાય,જ્યાં $m = 3q^2$ છે.
$2.$ જો પૂર્ણાંક $3q + 1$ હોય,તો તેનો વર્ગ $(3q + 1)^2 = 9q^2 + 6q + 1 = 3(3q^2 + 2q) + 1 = 3m + 1$ થાય,જ્યાં $m = 3q^2 + 2q$ છે.
$3.$ જો પૂર્ણાંક $3q + 2$ હોય,તો તેનો વર્ગ $(3q + 2)^2 = 9q^2 + 12q + 4 = 9q^2 + 12q + 3 + 1 = 3(3q^2 + 4q + 1) + 1 = 3m + 1$ થાય,જ્યાં $m = 3q^2 + 4q + 1$ છે.
આમ,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંકનો વર્ગ હંમેશા $3m$ અથવા $3m + 1$ સ્વરૂપમાં જ હોય છે. તે ક્યારેય $3m + 2$ સ્વરૂપમાં હોઈ શકે નહીં.

(N/A) આપણી પાસે છે,$3 \times 5 \times 7 + 7 = 105 + 7 = 112$.
હવે,આપણે $112$ ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીએ:
$112 = 2 \times 56 = 2 \times 2 \times 28 = 2 \times 2 \times 2 \times 14 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 7 = 2^4 \times 7$.
કારણ કે $112$ ને અવિભાજ્ય અવયવો $2$ અને $7$ ના ગુણાકાર તરીકે દર્શાવી શકાય છે,તેથી તેના બે કરતા વધારે અવયવો છે (જેમ કે,$1, 2, 4, 7, 8, 14, 16, 28, 56, 112$).
વ્યાખ્યા મુજબ,જે સંખ્યાને બે કરતા વધારે અવયવો હોય તેને વિભાજ્ય સંખ્યા કહેવાય છે. તેથી,$3 \times 5 \times 7 + 7$ એ એક વિભાજ્ય સંખ્યા છે.

(A) સૌ પ્રથમ,અપૂર્ણાંક $\frac{987}{10500}$ ને તેના ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $21$ વડે ભાગીને સાદું રૂપ આપો.
$\frac{987 \div 21}{10500 \div 21} = \frac{47}{500}$.
હવે,છેદ $500$ ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડો:
$500 = 5 \times 100 = 5 \times 10^2 = 5 \times (2 \times 5)^2 = 5 \times 2^2 \times 5^2 = 2^2 \times 5^3$.
પ્રમેય મુજબ,જો સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ ના છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2^m \times 5^n$ સ્વરૂપના હોય,જ્યાં $m$ અને $n$ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે,તો તેનું દશાંશ નિરૂપણ શાંત હોય છે.
અહીં છેદ $500 = 2^2 \times 5^3$ એ $2^m \times 5^n$ સ્વરૂપમાં છે (જ્યાં $m=2$ અને $n=3$),તેથી $\frac{987}{10500}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે.
દશાંશ કિંમત શોધવા માટે: $\frac{47}{500} = \frac{47 \times 2}{500 \times 2} = \frac{94}{1000} = 0.094$.

(A) આપેલી સંખ્યા $327.7081$ એ શાંત દશાંશ સંખ્યા છે.
તે શાંત દશાંશ હોવાથી,તે એક સંમેય સંખ્યા દર્શાવે છે,જેનો છેદ $q$,જ્યારે તેને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં (જ્યાં $p$ અને $q$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે) દર્શાવવામાં આવે,ત્યારે તેના અવિભાજ્ય અવયવો $2^{m} \times 5^{n}$ સ્વરૂપમાં હોવા જોઈએ,જ્યાં $m$ અને $n$ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે.
આપણે લખી શકીએ:
$327.7081 = \frac{3277081}{10000} = \frac{p}{q}$
અહીં,છેદ $q = 10000 = 10^{4}$ છે.
$q$ ના અવિભાજ્ય અવયવોનું વિસ્તરણ કરતા:
$q = (2 \times 5)^{4} = 2^{4} \times 5^{4}$.
આમ,$q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો માત્ર $2$ અને $5$ છે.

(N/A) કોઈપણ અયુગ્મ ધન પૂર્ણાંકને $2q+1$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $q$ એક પૂર્ણ સંખ્યા છે.
આ પૂર્ણાંકનો વર્ગ કરતા:
$(2q+1)^2 = 4q^2 + 4q + 1$
$(2q+1)^2 = 4q(q+1) + 1$ $...(1)$
$q$ અને $q+1$ ક્રમિક પૂર્ણાંકો હોવાથી,તેમનો ગુણાકાર $q(q+1)$ હંમેશા યુગ્મ હોય છે. તેથી,આપણે $q(q+1) = 2m$ લખી શકીએ,જ્યાં $m$ એક પૂર્ણ સંખ્યા છે.
આ કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$(2q+1)^2 = 4(2m) + 1 = 8m + 1$.
આમ,કોઈપણ અયુગ્મ ધન પૂર્ણાંકનો વર્ગ કોઈ પૂર્ણ સંખ્યા $m$ માટે $8m+1$ સ્વરૂપમાં હોય છે.

(N/A) ધારો કે $a$ એક સ્વૈચ્છિક ધન પૂર્ણાંક છે. યુક્લિડની ભાગાકારની પ્રવિધિ મુજબ,પૂર્ણાંકો $a$ અને $4$ માટે,એવા અનૃણ પૂર્ણાંકો $m$ અને $r$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $a = 4m + r$,જ્યાં $0 \leq r < 4$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$a^2 = (4m + r)^2 = 16m^2 + 8mr + r^2 = 4(4m^2 + 2mr) + r^2$ મળે.
કિસ્સો $I$: જો $r = 0$ હોય,તો $a^2 = 4(4m^2) = 4q$,જ્યાં $q = 4m^2$ છે.
કિસ્સો $II$: જો $r = 1$ હોય,તો $a^2 = 4(4m^2 + 2m) + 1 = 4q + 1$,જ્યાં $q = 4m^2 + 2m$ છે.
કિસ્સો $III$: જો $r = 2$ હોય,તો $a^2 = 16m^2 + 16m + 4 = 4(4m^2 + 4m + 1) = 4q$,જ્યાં $q = 4m^2 + 4m + 1$ છે.
કિસ્સો $IV$: જો $r = 3$ હોય,તો $a^2 = 16m^2 + 24m + 9 = 16m^2 + 24m + 8 + 1 = 4(4m^2 + 6m + 2) + 1 = 4q + 1$,જ્યાં $q = 4m^2 + 6m + 2$ છે.
આમ,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંકનો વર્ગ $4q$ અથવા $4q + 1$ સ્વરૂપમાં હોય છે.

(N/A) ધારો કે $a$ કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક છે. યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,$a$ અને $b=4$ માટે,અનન્ય પૂર્ણાંકો $q$ અને $r$ એવા મળે કે જેથી $a = 4q + r$,જ્યાં $0 \leq r < 4$.
બંને બાજુ ઘન લેતા:
$a^3 = (4q + r)^3 = 64q^3 + 3(4q)^2r + 3(4q)r^2 + r^3$
$a^3 = 64q^3 + 48q^2r + 12qr^2 + r^3$
$a^3 = 4(16q^3 + 12q^2r + 3qr^2) + r^3$ ... $(i)$
કિસ્સો $I$: જો $r = 0$,તો $a^3 = 4(16q^3) = 4m$,જ્યાં $m = 16q^3$.
કિસ્સો $II$: જો $r = 1$,તો $a^3 = 4(16q^3 + 12q^2 + 3q) + 1^3 = 4m + 1$,જ્યાં $m = 16q^3 + 12q^2 + 3q$.
કિસ્સો $III$: જો $r = 2$,તો $a^3 = 4(16q^3 + 12q^2(2) + 3q(2^2)) + 2^3 = 4(16q^3 + 24q^2 + 12q) + 8 = 4(16q^3 + 24q^2 + 12q + 2) = 4m$,જ્યાં $m = 16q^3 + 24q^2 + 12q + 2$.
કિસ્સો $IV$: જો $r = 3$,તો $a^3 = 4(16q^3 + 12q^2(3) + 3q(3^2)) + 3^3 = 4(16q^3 + 36q^2 + 27q) + 27 = 4(16q^3 + 36q^2 + 27q + 6) + 3 = 4m + 3$,જ્યાં $m = 16q^3 + 36q^2 + 27q + 6$.
આમ,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંકનો ઘન $4m, 4m+1$ અથવા $4m+3$ સ્વરૂપમાં હોય છે.

(A) ધારો કે $a$ એ કોઈ પણ ધન પૂર્ણાંક છે.
યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,પૂર્ણાંકો $a$ અને $5$ માટે,એવા અનૃણ પૂર્ણાંકો $m$ અને $r$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $a = 5m + r$,જ્યાં $0 \leq r < 5$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે $a^2 = (5m + r)^2 = 25m^2 + 10mr + r^2 = 5(5m^2 + 2mr) + r^2$.
ધારો કે $q' = 5m^2 + 2mr$,તો $a^2 = 5q' + r^2$.
આપણે $r \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ ની તમામ શક્ય કિંમતો ચકાસીએ:
કિસ્સો $I$: જો $r=0$,તો $a^2 = 5(5m^2) = 5q$,જે $5q$ સ્વરૂપમાં છે.
કિસ્સો $II$: જો $r=1$,તો $a^2 = 5(5m^2 + 2m) + 1 = 5q + 1$,જે $5q+1$ સ્વરૂપમાં છે.
કિસ્સો $III$: જો $r=2$,તો $a^2 = 5(5m^2 + 4m) + 4 = 5q + 4$,જે $5q+4$ સ્વરૂપમાં છે.
કિસ્સો $IV$: જો $r=3$,તો $a^2 = 5(5m^2 + 6m) + 9 = 5(5m^2 + 6m + 1) + 4 = 5q + 4$,જે $5q+4$ સ્વરૂપમાં છે.
કિસ્સો $V$: જો $r=4$,તો $a^2 = 5(5m^2 + 8m) + 16 = 5(5m^2 + 8m + 3) + 1 = 5q + 1$,જે $5q+1$ સ્વરૂપમાં છે.
આમ,તમામ કિસ્સાઓમાં $a^2$ એ $5q, 5q+1,$ અથવા $5q+4$ સ્વરૂપમાં મળે છે. તેથી,તે $5q+2$ અથવા $5q+3$ સ્વરૂપમાં હોઈ શકે નહીં.

(N/A) ધારો કે $a$ એક સ્વૈચ્છિક ધન પૂર્ણાંક છે. યુક્લિડની ભાગવિધિ મુજબ,ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $6$ માટે,એવા અનૃણ પૂર્ણાંકો $q$ અને $r$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $a = 6q + r$,જ્યાં $0 \leq r < 6$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$a^2 = (6q + r)^2 = 36q^2 + 12qr + r^2 = 6(6q^2 + 2qr) + r^2$. આને સમીકરણ $(i)$ કહો.
કિસ્સો $I$: જો $r = 0$,તો $a^2 = 6(6q^2) = 6m$,જ્યાં $m = 6q^2$.
કિસ્સો $II$: જો $r = 1$,તો $a^2 = 6(6q^2 + 2q) + 1 = 6m + 1$,જ્યાં $m = 6q^2 + 2q$.
કિસ્સો $III$: જો $r = 2$,તો $a^2 = 6(6q^2 + 4q) + 4 = 6m + 4$,જ્યાં $m = 6q^2 + 4q$.
કિસ્સો $IV$: જો $r = 3$,તો $a^2 = 6(6q^2 + 6q) + 9 = 6(6q^2 + 6q + 1) + 3 = 6m + 3$,જ્યાં $m = 6q^2 + 6q + 1$.
કિસ્સો $V$: જો $r = 4$,તો $a^2 = 6(6q^2 + 8q) + 16 = 6(6q^2 + 8q + 2) + 4 = 6m + 4$,જ્યાં $m = 6q^2 + 8q + 2$.
કિસ્સો $VI$: જો $r = 5$,તો $a^2 = 6(6q^2 + 10q) + 25 = 6(6q^2 + 10q + 4) + 1 = 6m + 1$,જ્યાં $m = 6q^2 + 10q + 4$.
આમ,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંકનો વર્ગ માત્ર $6m, 6m+1, 6m+3,$ અથવા $6m+4$ સ્વરૂપમાં જ હોઈ શકે છે. તેથી,તે $6m+2$ અથવા $6m+5$ સ્વરૂપમાં હોઈ શકે નહીં.

(N/A) ધારો કે $n$ એક એકી પૂર્ણાંક છે. કોઈપણ એકી પૂર્ણાંકને કોઈ પૂર્ણાંક $k$ માટે $n = 2k + 1$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે.
આ કિંમતને $n^{2} - 1$ પદાવલિમાં મૂકતા:
$n^{2} - 1 = (2k + 1)^{2} - 1$
$= (4k^{2} + 4k + 1) - 1$
$= 4k^{2} + 4k$
$= 4k(k + 1)$
અહીં $k$ અને $k + 1$ ક્રમિક પૂર્ણાંકો હોવાથી,તેમાંથી એક સંખ્યા બેકી હશે. તેથી,તેમનો ગુણાકાર $k(k + 1)$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય છે.
ધારો કે $k(k + 1) = 2m$,જ્યાં $m$ કોઈ પૂર્ણાંક છે.
તેથી,$n^{2} - 1 = 4(2m) = 8m$.
આમ,$n^{2} - 1$ એ $8$ નો ગુણક હોવાથી,તે કોઈપણ એકી પૂર્ણાંક $n$ માટે $8$ વડે વિભાજ્ય છે.

(N/A) ધારો કે $x = 2m + 1$ અને $y = 2n + 1$ એ કોઈપણ બે એકી ધન પૂર્ણાંકો છે,જ્યાં $m$ અને $n$ એ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે.
તેથી,$x^{2} + y^{2} = (2m + 1)^{2} + (2n + 1)^{2}$.
નિત્યસમ $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$x^{2} + y^{2} = (4m^{2} + 4m + 1) + (4n^{2} + 4n + 1)$.
$x^{2} + y^{2} = 4m^{2} + 4m + 4n^{2} + 4n + 2$.
$x^{2} + y^{2} = 4(m^{2} + m + n^{2} + n) + 2$.
કારણ કે $x^{2} + y^{2} = 2[2(m^{2} + m + n^{2} + n) + 1]$,તેથી તે સ્પષ્ટપણે એક બેકી સંખ્યા છે.
જોકે,જ્યારે તેને $4$ વડે ભાગવામાં આવે છે,ત્યારે શેષ $2$ વધે છે. તેથી,$x^{2} + y^{2}$ એ $4$ વડે વિભાજ્ય નથી.

(N/A) જો કોઈ સંખ્યાનો અંતિમ અંક $0$ અથવા $5$ હોય,તો તે હંમેશા $5$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.
જો $12^{n}$ નો અંતિમ અંક $0$ અથવા $5$ હોય,તો તે $5$ વડે વિભાજ્ય હોવું જોઈએ.
આ ત્યારે જ શક્ય છે જો $12^{n}$ ના અવિભાજ્ય અવયવીકરણમાં અવિભાજ્ય સંખ્યા $5$ નો સમાવેશ થાય.
હવે,$12$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ $12 = 2^{2} \times 3$ છે.
તેથી,$12^{n} = (2^{2} \times 3)^{n} = 2^{2n} \times 3^{n}$ થાય.
અંકગણિતના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,$12^{n}$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ અનન્ય છે અને તેમાં માત્ર $2$ અને $3$ અવિભાજ્ય અવયવો જ છે.
કારણ કે $5$ એ $12^{n}$ નો અવિભાજ્ય અવયવ નથી,તેથી કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે $12^{n}$ એ $5$ વડે વિભાજ્ય હોઈ શકે નહીં.
આમ,કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે $12^{n}$ નો અંતિમ અંક $0$ અથવા $5$ હોઈ શકે નહીં.

(B) કોઈ સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2^{m} \times 5^{n}$ સ્વરૂપમાં હોવા જોઈએ,જ્યાં $m$ અને $n$ એ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે.
આપેલી સંમેય સંખ્યા $\frac{64}{455}$ છે.
સૌ પ્રથમ,છેદ $455$ ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડો:
$455 = 5 \times 7 \times 13$.
અહીં છેદ $455$ ના અવિભાજ્ય અવયવોમાં $2$ અને $5$ સિવાયના અવયવો ($7$ અને $13$) પણ છે,તેથી સંમેય સંખ્યા $\frac{64}{455}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત નથી.
આથી,$\frac{64}{455}$ નું દશાંશ નિરૂપણ અનંત આવૃત છે.

(A) કોઈ સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો તપાસીએ છીએ.
જો $q$ એ $2^{m} \times 5^{n}$ સ્વરૂપમાં હોય,જ્યાં $m$ અને $n$ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે,તો દશાંશ નિરૂપણ શાંત હોય છે.
આપેલ અપૂર્ણાંક: $\frac{15}{1600}$.
પ્રથમ,અપૂર્ણાંકનું અતિસંક્ષિપ્ત રૂપ મેળવો: $\frac{15}{1600} = \frac{3}{320}$.
હવે,છેદ $320$ ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડો:
$320 = 32 \times 10 = 2^{5} \times 2 \times 5 = 2^{6} \times 5^{1}$.
અહીં છેદ $2^{m} \times 5^{n}$ સ્વરૂપમાં હોવાથી (જ્યાં $m=6$ અને $n=1$),$\frac{15}{1600}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે.

(B) કોઈ સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2^{m} \times 5^{n}$ સ્વરૂપમાં હોવા જોઈએ,જ્યાં $m$ અને $n$ એ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે.
આપેલ સંમેય સંખ્યા $\frac{29}{343}$ માટે:
છેદ $343$ છે.
$343$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $343 = 7 \times 7 \times 7 = 7^{3}$ છે.
અહીં છેદના અવિભાજ્ય અવયવોમાં $2^{m} \times 5^{n}$ સ્વરૂપ નથી,તેથી $\frac{29}{343}$ નું દશાંશ નિરૂપણ અનંત આવૃત છે.

(A) કોઈ સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો તપાસીએ છીએ.
જો છેદ $q$ એ $2^{m} \times 5^{n}$ સ્વરૂપમાં હોય,જ્યાં $m$ અને $n$ એ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે,તો તે સંમેય સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ શાંત હોય છે.
આપેલ પદ $\frac{23}{2^{3} \times 5^{2}}$ માં,છેદ $2^{3} \times 5^{2}$ છે.
અહીં,$m = 3$ અને $n = 2$ છે,જે અનૃણ પૂર્ણાંકો છે.
છેદ $2^{m} \times 5^{n}$ સ્વરૂપમાં હોવાથી,સંમેય સંખ્યા $\frac{23}{2^{3} \times 5^{2}}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે.

(A) સૌ પ્રથમ,અપૂર્ણાંકને તેના અતિસંક્ષિપ્ત રૂપમાં ફેરવો:
$\frac{6}{15} = \frac{2 \times 3}{5 \times 3} = \frac{2}{5}$
કોઈપણ સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત હોય છે જો તેના છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં હોય,જ્યાં $n$ અને $m$ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે.
અહીં,છેદ $5$ છે,જેને $2^0 \times 5^1$ તરીકે લખી શકાય છે.
છેદ $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં હોવાથી,$\frac{6}{15}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે.

(A) કોઈ સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2^{m} \times 5^{n}$ સ્વરૂપમાં છે કે નહીં તે તપાસીએ છીએ,જ્યાં $m$ અને $n$ એ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે.
આપેલ સંમેય સંખ્યા $\frac{35}{50}$ ને સૌ પ્રથમ તેના અતિસંક્ષિપ્ત રૂપમાં ફેરવતા:
$\frac{35}{50} = \frac{7 \times 5}{10 \times 5} = \frac{7}{10}$.
અહીં છેદ $10$ છે.
$10$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2^{1} \times 5^{1}$ છે.
છેદ $2^{m} \times 5^{n}$ સ્વરૂપમાં હોવાથી (જ્યાં $m=1$ અને $n=1$),સંમેય સંખ્યા $\frac{35}{50}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે.

(0.00416) $\frac{13}{3125}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શોધવા માટે,આપણે ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરી શકીએ અથવા છેદને $10$ ની ઘાત તરીકે દર્શાવી શકીએ.
પગલું $1$: છેદ $3125$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $3125 = 5^5$ છે.
પગલું $2$: છેદને $10$ ની ઘાત બનાવવા માટે,અંશ અને છેદને $2^5 = 32$ વડે ગુણો.
$\frac{13}{3125} = \frac{13 \times 2^5}{5^5 \times 2^5} = \frac{13 \times 32}{(5 \times 2)^5} = \frac{416}{10^5} = \frac{416}{100000} = 0.00416$.

(N/A) $\frac{17}{8}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શોધવા માટે,આપણે ભાગાકાર કરીએ છીએ:
$1$. $17$ ને $8$ વડે ભાગો.
$2$. $8 \times 2 = 16$,તેથી $17 - 16 = 1$.
$3$. ભાગફળમાં દશાંશ ચિહ્ન મૂકો અને શેષમાં $0$ ઉમેરો,જેથી તે $10$ થાય.
$4$. $8 \times 1 = 8$,તેથી $10 - 8 = 2$.
$5$. શેષમાં બીજો $0$ ઉમેરો,જેથી તે $20$ થાય.
$6$. $8 \times 2 = 16$,તેથી $20 - 16 = 4$.
$7$. શેષમાં બીજો $0$ ઉમેરો,જેથી તે $40$ થાય.
$8$. $8 \times 5 = 40$,તેથી $40 - 40 = 0$.
આમ,$\frac{17}{8} = 2.125$.

(B) કોઈ સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો તપાસીએ છીએ.
જો $q = 2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં હોય,જ્યાં $n$ અને $m$ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે,તો દશાંશ નિરૂપણ શાંત હોય છે.
અહીં,$q = 455$.
$455$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $5 \times 7 \times 13$ છે.
અવિભાજ્ય અવયવીકરણમાં $2$ અને $5$ સિવાયના અવયવો ($7$ અને $13$) હોવાથી,$\frac{64}{455}$ નું દશાંશ નિરૂપણ અનંત આવૃત છે.

(N/A) $\frac{15}{1600}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શોધવા માટે,આપણે ભાગાકાર કરીએ છીએ:
$1$. $15$ ને $1600$ વડે ભાગો.
$2$. $15 < 1600$ હોવાથી,આપણે દશાંશ ચિહ્ન મૂકીએ છીએ અને $15$ ની પાછળ શૂન્ય ઉમેરીને તેને $15.000000$ બનાવીએ છીએ.
$3$. $1600$ નો $15000$ માં નવ વાર ભાગ ચાલે છે $(1600 \times 9 = 14400)$,અને શેષ $600$ વધે છે.
$4$. $0$ નીચે ઉતારતા $6000$ મળે છે. $1600$ નો $6000$ માં ત્રણ વાર ભાગ ચાલે છે $(1600 \times 3 = 4800)$,અને શેષ $1200$ વધે છે.
$5$. $0$ નીચે ઉતારતા $12000$ મળે છે. $1600$ નો $12000$ માં સાત વાર ભાગ ચાલે છે $(1600 \times 7 = 11200)$,અને શેષ $800$ વધે છે.
$6$. $0$ નીચે ઉતારતા $8000$ મળે છે. $1600$ નો $8000$ માં પાંચ વાર ભાગ ચાલે છે $(1600 \times 5 = 8000)$,અને શેષ $0$ વધે છે.
આમ,$\frac{15}{1600}$ નું દશાંશ નિરૂપણ $0.009375$ છે.

(N/A) સંમેય સંખ્યા $\frac{23}{2^{3} 5^{2}}$ નું દશાંશ નિરૂપણ મેળવવા માટે,આપણે પહેલા છેદનું સાદું રૂપ આપીએ:
$\frac{23}{2^{3} \times 5^{2}} = \frac{23}{8 \times 25} = \frac{23}{200}$
હવે,આપણે $23$ ને $200$ વડે ભાગાકાર કરીએ:
$23 \div 200 = 0.115$
વૈકલ્પિક રીતે,આપણે $2$ અને $5$ ના ઘાતાંક સમાન બનાવી શકીએ છીએ:
$\frac{23}{2^{3} \times 5^{2}} = \frac{23 \times 5}{2^{3} \times 5^{2} \times 5} = \frac{115}{2^{3} \times 5^{3}} = \frac{115}{(2 \times 5)^{3}} = \frac{115}{10^{3}} = \frac{115}{1000} = 0.115$

(N/A) સંમેય સંખ્યા $\frac{6}{15}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શોધવા માટે,આપણે પહેલા અંશ અને છેદને તેમના ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ (ગુ.સા.અ.),જે $3$ છે,તેના વડે ભાગીને અપૂર્ણાંકને સરળ બનાવીએ.
$\frac{6}{15} = \frac{2 \times 3}{5 \times 3} = \frac{2}{5}$.
હવે,આપણે $2$ ને $5$ વડે ભાગીને $\frac{2}{5}$ ને દશાંશમાં ફેરવીએ:
$2 \div 5 = 0.4$.
આમ,$\frac{6}{15}$ નું દશાંશ નિરૂપણ $0.4$ છે.

(N/A) સંમેય સંખ્યા $\frac{35}{50}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શોધવા માટે,આપણે ભાગાકાર કરી શકીએ અથવા અપૂર્ણાંકને પહેલા સાદું રૂપ આપી શકીએ.
રીત $1$: ભાગાકારની રીત
$35$ ને $50$ વડે ભાગતા:
$35 \div 50 = 0.7$
રીત $2$: છેદને $10$ ના ઘાત સ્વરૂપમાં ફેરવીને
$\frac{35}{50} = \frac{35 \times 2}{50 \times 2} = \frac{70}{100} = 0.7$
આમ,$\frac{35}{50}$ નું દશાંશ નિરૂપણ $0.7$ છે.

(B) સૌ પ્રથમ,અપૂર્ણાંક $\frac{77}{210}$ ને તેના ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $7$ વડે ભાગીને સાદું રૂપ આપો.
$\frac{77 \div 7}{210 \div 7} = \frac{11}{30}$.
હવે,છેદ $30$ ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડો:
$30 = 2 \times 3 \times 5$.
કોઈપણ સંમેય સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ ત્યારે જ શાંત હોય જો તેના છેદના અવિભાજ્ય અવયવો (સાદા રૂપમાં) $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં હોય,જ્યાં $n$ અને $m$ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે.
અહીં છેદ $30$ માં $3$ નો અવયવ હોવાથી (જે $2$ કે $5$ નથી),$\frac{11}{30}$ નું દશાંશ નિરૂપણ અનંત આવૃત છે.
$11 \div 30$ નો ભાગાકાર કરતા આપણને $0.3666...$ અથવા $0.3\overline{6}$ મળે છે.