Fundamental Theorem of Arithmetic Questions in Gujarati

(N/A) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ ધન પૂર્ણાંકને કોઈ પૂર્ણાંક $m$ માટે $6m, 6m + 1, 6m + 2, 6m + 3, 6m + 4$ અથવા $6m + 5$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે.
અયુગ્મ ધન પૂર્ણાંક $6m + 1, 6m + 3$ અથવા $6m + 5$ સ્વરૂપમાં હોય છે.
હવે,આપણે આ સ્વરૂપોના વર્ગ કરીએ:
$1.$ $(6m + 1)^2 = 36m^2 + 12m + 1 = 6(6m^2 + 2m) + 1 = 6q + 1$,જ્યાં $q = 6m^2 + 2m$ એક પૂર્ણાંક છે.
$2.$ $(6m + 3)^2 = 36m^2 + 36m + 9 = 36m^2 + 36m + 6 + 3 = 6(6m^2 + 6m + 1) + 3 = 6q + 3$,જ્યાં $q = 6m^2 + 6m + 1$ એક પૂર્ણાંક છે.
$3.$ $(6m + 5)^2 = 36m^2 + 60m + 25 = 36m^2 + 60m + 24 + 1 = 6(6m^2 + 10m + 4) + 1 = 6q + 1$,જ્યાં $q = 6m^2 + 10m + 4$ એક પૂર્ણાંક છે.
આમ,કોઈપણ અયુગ્મ ધન પૂર્ણાંકનો વર્ગ હંમેશા $6q + 1$ અથવા $6q + 3$ સ્વરૂપમાં હોય છે.

(N/A) ધારો કે $a$ કોઈ પણ ધન પૂર્ણાંક છે. યુક્લિડની ભાગાકારની રીત મુજબ,કોઈ પણ ધન પૂર્ણાંક $a$ અને $6$ માટે,એવા અનૃણ પૂર્ણાંકો $q$ અને $r$ મળે કે જેથી $a = 6q + r$,જ્યાં $0 \leq r < 6$.
બંને બાજુ ઘન લેતા:
$a^3 = (6q + r)^3 = 216q^3 + r^3 + 3(6q)(r)(6q + r)$
$a^3 = (216q^3 + 108q^2r + 18qr^2) + r^3 \quad \dots(i)$
કિસ્સો $I$: જો $r = 0$ હોય,તો $a^3 = 216q^3 = 6(36q^3) = 6m$,જ્યાં $m = 36q^3$.
કિસ્સો $II$: જો $r = 1$ હોય,તો $a^3 = (216q^3 + 108q^2 + 18q) + 1 = 6(36q^3 + 18q^2 + 3q) + 1 = 6m + 1$.
કિસ્સો $III$: જો $r = 2$ હોય,તો $a^3 = (216q^3 + 216q^2 + 72q) + 8 = (216q^3 + 216q^2 + 72q + 6) + 2 = 6(36q^3 + 36q^2 + 12q + 1) + 2 = 6m + 2$.
કિસ્સો $IV$: જો $r = 3$ હોય,તો $a^3 = (216q^3 + 324q^2 + 162q) + 27 = (216q^3 + 324q^2 + 162q + 24) + 3 = 6(36q^3 + 54q^2 + 27q + 4) + 3 = 6m + 3$.
કિસ્સો $V$: જો $r = 4$ હોય,તો $a^3 = (216q^3 + 432q^2 + 288q) + 64 = (216q^3 + 432q^2 + 288q + 60) + 4 = 6(36q^3 + 72q^2 + 48q + 10) + 4 = 6m + 4$.
કિસ્સો $VI$: જો $r = 5$ હોય,તો $a^3 = (216q^3 + 540q^2 + 450q) + 125 = (216q^3 + 540q^2 + 450q + 120) + 5 = 6(36q^3 + 90q^2 + 75q + 20) + 5 = 6m + 5$.
આમ,$6q + r$ સ્વરૂપના કોઈપણ ધન પૂર્ણાંકનો ઘન $6m + r$ સ્વરૂપમાં હોય છે.

(N/A) ધારો કે $n$ કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક છે. યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,$n$ ને કોઈ પૂર્ણાંક $q \ge 0$ માટે $3q, 3q+1,$ અથવા $3q+2$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે.
કિસ્સો $1$: જો $n = 3q$ હોય,તો $n$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય છે. આ કિસ્સામાં,$n+2 = 3q+2$ અને $n+4 = 3q+4 = 3(q+1)+1$ થાય,જેમાંથી કોઈ પણ $3$ વડે વિભાજ્ય નથી.
કિસ્સો $2$: જો $n = 3q+1$ હોય,તો $n+2 = 3q+1+2 = 3q+3 = 3(q+1)$ થાય,જે $3$ વડે વિભાજ્ય છે. આ કિસ્સામાં,$n = 3q+1$ અને $n+4 = 3q+1+4 = 3q+5 = 3(q+1)+2$ થાય,જેમાંથી કોઈ પણ $3$ વડે વિભાજ્ય નથી.
કિસ્સો $3$: જો $n = 3q+2$ હોય,તો $n+4 = 3q+2+4 = 3q+6 = 3(q+2)$ થાય,જે $3$ વડે વિભાજ્ય છે. આ કિસ્સામાં,$n = 3q+2$ અને $n+2 = 3q+2+2 = 3q+4 = 3(q+1)+1$ થાય,જેમાંથી કોઈ પણ $3$ વડે વિભાજ્ય નથી.
આમ,તમામ શક્ય કિસ્સાઓમાં,$n, n+2$ અથવા $n+4$ માંથી બરાબર એક જ સંખ્યા $3$ વડે વિભાજ્ય છે.

(N/A) કોઈપણ ત્રણ ક્રમિક ધન પૂર્ણાંકોને $n, (n+1),$ અને $(n+2)$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $n$ એ કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક છે $(n \in \mathbb{N})$.
ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,કોઈપણ પૂર્ણાંક $n$ ને $3q, 3q+1,$ અથવા $3q+2$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $q$ એ અનૃણ પૂર્ણાંક છે.
કિસ્સો $1$: જો $n = 3q$ હોય,તો $n$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય છે.
કિસ્સો $2$: જો $n = 3q + 1$ હોય,તો $n + 2 = (3q + 1) + 2 = 3q + 3 = 3(q + 1)$,જે $3$ વડે વિભાજ્ય છે.
કિસ્સો $3$: જો $n = 3q + 2$ હોય,તો $n + 1 = (3q + 2) + 1 = 3q + 3 = 3(q + 1)$,જે $3$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,તમામ શક્ય કિસ્સાઓમાં,ત્રણ ક્રમિક પૂર્ણાંકો $n, n+1,$ અથવા $n+2$ માંથી એક સંખ્યા $3$ વડે વિભાજ્ય છે.

(N/A) ધારો કે $a = n^{3} - n.$
આ પદાવલિનું અવયવીકરણ કરતા,આપણને મળે $a = n(n^{2} - 1).$
નિત્યસમ $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $a = (n - 1)n(n + 1).$
આ પદાવલિ ત્રણ ક્રમિક પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર દર્શાવે છે.
કોઈપણ ત્રણ ક્રમિક પૂર્ણાંકોના સમૂહમાં,ઓછામાં ઓછી એક સંખ્યા બેકી (એટલે કે $2$ વડે વિભાજ્ય) હોય છે અને બરાબર એક સંખ્યા $3$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.
આમ,$2$ અને $3$ પરસ્પર અવિભાજ્ય હોવાથી,તેમનો ગુણાકાર $2 \times 3 = 6$ એ આ ત્રણ ક્રમિક પૂર્ણાંકોના ગુણાકારને નિઃશેષ ભાગી શકે છે.
તેથી,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે $(n - 1)n(n + 1)$ હંમેશા $6$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,$n^{3} - n$ એ $6$ વડે વિભાજ્ય છે.

(N/A) યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $n$ ને $5q, 5q+1, 5q+2, 5q+3,$ અથવા $5q+4$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $q$ એ અનૃણ પૂર્ણાંક છે.
દરેક કિસ્સા માટે આપણે ${n, n+4, n+8, n+12, n+16}$ ના સમૂહની વિભાજ્યતા તપાસીએ:
$1$. જો $n = 5q$ હોય,તો $n$ એ $5$ વડે વિભાજ્ય છે.
$2$. જો $n = 5q+1$ હોય,તો $n+4 = 5q+1+4 = 5q+5 = 5(q+1)$,જે $5$ વડે વિભાજ્ય છે.
$3$. જો $n = 5q+2$ હોય,તો $n+8 = 5q+2+8 = 5q+10 = 5(q+2)$,જે $5$ વડે વિભાજ્ય છે.
$4$. જો $n = 5q+3$ હોય,તો $n+12 = 5q+3+12 = 5q+15 = 5(q+3)$,જે $5$ વડે વિભાજ્ય છે.
$5$. જો $n = 5q+4$ હોય,તો $n+16 = 5q+4+16 = 5q+20 = 5(q+4)$,જે $5$ વડે વિભાજ્ય છે.
દરેક કિસ્સામાં,પાંચ પદોમાંથી માત્ર એક જ પદ $5$ વડે વિભાજ્ય છે.

(N/A) ધારો કે ત્રણ ક્રમિક ધન પૂર્ણાંકો $n$,$n+1$ અને $n+2$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $n$ ને $3m$,$3m+1$ અથવા $3m+2$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $m$ એ અનૃણ પૂર્ણાંક છે.
કિસ્સો $1$: જો $n = 3m$ હોય,તો $n$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય છે. અહીં,$n+1 = 3m+1$ અને $n+2 = 3m+2$ છે,જેમને $3$ વડે ભાગતા અનુક્રમે $1$ અને $2$ શેષ વધે છે. આમ,માત્ર $n$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય છે.
કિસ્સો $2$: જો $n = 3m+1$ હોય,તો $n+1 = 3m+2$ અને $n+2 = 3m+3 = 3(m+1)$ થાય. અહીં,માત્ર $n+2$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય છે.
કિસ્સો $3$: જો $n = 3m+2$ હોય,તો $n+1 = 3m+3 = 3(m+1)$ અને $n+2 = 3m+4 = 3(m+1)+1$ થાય. અહીં,માત્ર $n+1$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય છે.
નિષ્કર્ષ: તમામ શક્ય કિસ્સાઓમાં,ત્રણ ક્રમિક પૂર્ણાંકો $n$,$n+1$ અને $n+2$ માંથી બરાબર એક જ સંખ્યા $3$ વડે વિભાજ્ય છે.

આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $n$ એ $2m$ અથવા $2m+1$ સ્વરૂપમાં હોય છે,જ્યાં $m$ એ અનૃણ પૂર્ણાંક છે.
કિસ્સો $1$: જો $n = 2m$ હોય,તો
$n^{2} - n = (2m)^{2} - (2m) = 4m^{2} - 2m = 2(2m^{2} - m)$.
અહીં $2(2m^{2} - m)$ એ $2$ નો ગુણક હોવાથી,$n^{2} - n$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય છે.
કિસ્સો $2$: જો $n = 2m + 1$ હોય,તો
$n^{2} - n = (2m + 1)^{2} - (2m + 1) = (4m^{2} + 4m + 1) - 2m - 1 = 4m^{2} + 2m = 2(2m^{2} + m)$.
અહીં $2(2m^{2} + m)$ એ $2$ નો ગુણક હોવાથી,$n^{2} - n$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,બંને કિસ્સાઓમાં દરેક ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે $n^{2} - n$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય છે.

$(1)$ $k=1$ માટે,$10^{1}+1=11$. યુક્લિડની ભાગવિધિના પ્રમેય મુજબ,$11 = 11 \times 1 + 0$. તેથી,ભાગફળ $1$ છે અને શેષ $0$ છે.
$(2)$ $k=2$ માટે,$10^{2}+1=101$. યુક્લિડની ભાગવિધિના પ્રમેય મુજબ,$101 = 11 \times 9 + 2$. તેથી,ભાગફળ $9$ છે અને શેષ $2$ છે.
$(3)$ $k=3$ માટે,$10^{3}+1=1001$. યુક્લિડની ભાગવિધિના પ્રમેય મુજબ,$1001 = 11 \times 91 + 0$. તેથી,ભાગફળ $91$ છે અને શેષ $0$ છે.
$(4)$ $k=4$ માટે,$10^{4}+1=10001$. યુક્લિડની ભાગવિધિના પ્રમેય મુજબ,$10001 = 11 \times 909 + 2$. તેથી,ભાગફળ $909$ છે અને શેષ $2$ છે.
$(5)$ $k=5$ માટે,$10^{5}+1=100001$. યુક્લિડની ભાગવિધિના પ્રમેય મુજબ,$100001 = 11 \times 9091 + 0$. તેથી,ભાગફળ $9091$ છે અને શેષ $0$ છે.

કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $n$ ને કોઈ પૂર્ણાંક $q \ge 0$ માટે $3q, 3q+1,$ અથવા $3q+2$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે.
કિસ્સો $1$: જો $n = 3q$ હોય,તો $n$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય છે. આ કિસ્સામાં,$n+2 = 3q+2$ (શેષ $2$) અને $n+4 = 3q+4 = 3(q+1)+1$ (શેષ $1$). આમ,માત્ર $n$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય છે.
કિસ્સો $2$: જો $n = 3q+1$ હોય,તો $n+2 = (3q+1)+2 = 3q+3 = 3(q+1)$,જે $3$ વડે વિભાજ્ય છે. આ કિસ્સામાં,$n = 3q+1$ (શેષ $1$) અને $n+4 = 3q+5 = 3(q+1)+2$ (શેષ $2$). આમ,માત્ર $n+2$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય છે.
કિસ્સો $3$: જો $n = 3q+2$ હોય,તો $n+4 = (3q+2)+4 = 3q+6 = 3(q+2)$,જે $3$ વડે વિભાજ્ય છે. આ કિસ્સામાં,$n = 3q+2$ (શેષ $2$) અને $n+2 = 3q+4 = 3(q+1)+1$ (શેષ $1$). આમ,માત્ર $n+4$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય છે.
નિષ્કર્ષ: તમામ શક્ય કિસ્સાઓમાં,$n, n+2, n+4$ માંથી બરાબર એક જ સંખ્યા $3$ વડે વિભાજ્ય છે.

(N/A) ધારો કે બે ક્રમિક ધન પૂર્ણાંકો $n$ અને $n+1$ છે,જ્યાં $n$ એક ધન પૂર્ણાંક છે.
તેમનો ગુણાકાર $P = n(n+1) = n^2 + n$ છે.
આપણે $n$ માટે બે કિસ્સાઓ વિચારી શકીએ:
કિસ્સો $1$: જો $n$ બેકી સંખ્યા હોય,તો $n = 2k$ કોઈ પૂર્ણાંક $k$ માટે. તેથી,$P = 2k(2k+1) = 2(2k^2 + k)$,જે સ્પષ્ટપણે $2$ વડે વિભાજ્ય છે.
કિસ્સો $2$: જો $n$ એકી સંખ્યા હોય,તો $n = 2k+1$ કોઈ પૂર્ણાંક $k$ માટે. તેથી,$P = (2k+1)(2k+1+1) = (2k+1)(2k+2) = 2(2k+1)(k+1)$,જે પણ $2$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,બંને કિસ્સાઓમાં ગુણાકાર $2$ વડે વિભાજ્ય હોવાથી,કોઈપણ બે ક્રમિક ધન પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર હંમેશા $2$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.

(N/A) ધારો કે $a$ એ કોઈપણ ધન એકી પૂર્ણાંક છે. યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $a$ અને $b=6$ માટે,અનન્ય પૂર્ણાંકો $q$ અને $r$ એવા મળે કે જેથી $a = 6q + r$,જ્યાં $0 \le r < 6$.
અહીં $r$ ની કિંમત $0, 1, 2, 3, 4, 5$ હોઈ શકે છે,તેથી $a$ ના શક્ય સ્વરૂપો $6q, 6q+1, 6q+2, 6q+3, 6q+4$ અને $6q+5$ છે.
જો $a = 6q, 6q+2$ અથવા $6q+4$ હોય,તો $a$ બેકી સંખ્યા છે કારણ કે તે $2$ વડે વિભાજ્ય છે (દા.ત.,$6q = 2(3q)$).
આપેલ છે કે $a$ એકી પૂર્ણાંક છે,તેથી તે $6q, 6q+2$ અથવા $6q+4$ સ્વરૂપમાં ન હોઈ શકે.
તેથી,કોઈપણ ધન એકી પૂર્ણાંક $6q+1, 6q+3$ અથવા $6q+5$ સ્વરૂપમાં જ હોય. $q$ ને $m$ વડે બદલતા,આપણે $6m+1, 6m+3$ અથવા $6m+5$ સ્વરૂપ મેળવીએ છીએ.

(N/A) ધારો કે $a$ કોઈ પણ પૂર્ણાંક છે. યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,કોઈપણ પૂર્ણાંક $a$ અને ભાજક $b=3$ માટે,અનન્ય પૂર્ણાંકો $q$ અને $r$ એવા મળે કે જેથી $a = 3q + r$,જ્યાં $0 \le r < 3$ થાય.
આમ,$r$ ની શક્ય કિંમતો $0, 1, 2$ છે.
કિસ્સો $1$: જો $r = 0$ હોય,તો $a = 3q$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$a^2 = (3q)^2 = 9q^2 = 3(3q^2)$. ધારો કે $m = 3q^2$,તો $a^2 = 3m$ મળે.
કિસ્સો $2$: જો $r = 1$ હોય,તો $a = 3q + 1$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$a^2 = (3q + 1)^2 = 9q^2 + 6q + 1 = 3(3q^2 + 2q) + 1$. ધારો કે $m = 3q^2 + 2q$,તો $a^2 = 3m + 1$ મળે.
કિસ્સો $3$: જો $r = 2$ હોય,તો $a = 3q + 2$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$a^2 = (3q + 2)^2 = 9q^2 + 12q + 4 = 9q^2 + 12q + 3 + 1 = 3(3q^2 + 4q + 1) + 1$. ધારો કે $m = 3q^2 + 4q + 1$,તો $a^2 = 3m + 1$ મળે.
આમ,દરેક કિસ્સામાં પૂર્ણાંકનો વર્ગ $3m$ અથવા $3m+1$ સ્વરૂપમાં હોય છે.

(A) ધારો કે $a$ કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક છે. યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,આપણે $a$ ને $a = 3q + r$ તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ,જ્યાં $r \in \{0, 1, 2\}$ અને $q \ge 0$ છે.
કિસ્સો $1$: જો $r = 0$ હોય,તો $a = 3q$. બંને બાજુ ઘન કરતા,$a^3 = (3q)^3 = 27q^3 = 9(3q^3) = 9m$,જ્યાં $m = 3q^3$ છે.
કિસ્સો $2$: જો $r = 1$ હોય,તો $a = 3q + 1$. બંને બાજુ ઘન કરતા,$a^3 = (3q + 1)^3 = 27q^3 + 27q^2 + 9q + 1 = 9(3q^3 + 3q^2 + q) + 1 = 9m + 1$,જ્યાં $m = 3q^3 + 3q^2 + q$ છે.
કિસ્સો $3$: જો $r = 2$ હોય,તો $a = 3q + 2$. બંને બાજુ ઘન કરતા,$a^3 = (3q + 2)^3 = 27q^3 + 54q^2 + 36q + 8 = 9(3q^3 + 6q^2 + 4q) + 8 = 9m + 8$,જ્યાં $m = 3q^3 + 6q^2 + 4q$ છે.
આમ,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંકનો ઘન $9m$,$9m+1$ અથવા $9m+8$ સ્વરૂપમાં હોય છે.

ધારો કે $a$ અને $b$ એ બે એકી ધન પૂર્ણાંકો છે,તેથી આપણે તેમને $a = 2m + 1$ અને $b = 2n + 1$ તરીકે દર્શાવી શકીએ,જ્યાં $m$ અને $n$ એ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે અને $m > n$ છે.
હવે,સરવાળો લઈએ: $\frac{a+b}{2} = \frac{(2m+1) + (2n+1)}{2} = \frac{2m + 2n + 2}{2} = m + n + 1$.
ત્યારબાદ,તફાવત લઈએ: $\frac{a-b}{2} = \frac{(2m+1) - (2n+1)}{2} = \frac{2m - 2n}{2} = m - n$.
ધારો કે $S = m + n + 1$ અને $D = m - n$.
આ બંને પરિણામો વચ્ચેનો તફાવત લઈએ: $S - D = (m + n + 1) - (m - n) = 2n + 1$.
$2n + 1$ એ એકી સંખ્યા હોવાથી,$S$ અને $D$ વચ્ચેનો તફાવત એકી છે.
જો બે પૂર્ણાંકો વચ્ચેનો તફાવત એકી હોય,તો તેમાંથી એક સંખ્યા બેકી અને બીજી એકી હોવી જ જોઈએ.
તેથી,$\frac{a+b}{2}$ અને $\frac{a-b}{2}$ પૈકી એક સંખ્યા એકી અને બીજી બેકી છે.

(A) આપેલ છે કે ધન પૂર્ણાંક $6m + 5$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $m$ એક પૂર્ણાંક છે.
આપણે $6m + 5$ પદાવલિને $6m + 3 + 2$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
પ્રથમ બે પદોમાંથી $3$ સામાન્ય લેતા,આપણને $3(2m + 1) + 2$ મળે છે.
ધારો કે $n = 2m + 1$. કારણ કે $m$ એક પૂર્ણાંક છે,તેથી $n$ પણ એક પૂર્ણાંક છે.
આ પદાવલિમાં $n$ મૂકતા,આપણને $3n + 2$ મળે છે.
આમ,$6m + 5$ સ્વરૂપનો કોઈપણ પૂર્ણાંક $3n + 2$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે.

(N/A) આપણે પદાવલિ $n^{3}-n$ ના અવયવો નીચે મુજબ પાડી શકીએ છીએ:
$n^{3}-n = n(n^{2}-1) = n(n-1)(n+1) = (n-1)n(n+1)$.
આ પદાવલિ ત્રણ ક્રમિક પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર દર્શાવે છે.
કોઈપણ ત્રણ ક્રમિક પૂર્ણાંકોના સમૂહમાં,ઓછામાં ઓછી એક સંખ્યા બેકી (એટલે કે $2$ વડે વિભાજ્ય) હોય છે અને બરાબર એક સંખ્યા $3$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.
આ ગુણાકારમાં $2$ અને $3$ બંનેનો અવયવ હોવાથી,સમગ્ર ગુણાકાર $2 \times 3 = 6$ વડે વિભાજ્ય હોવો જોઈએ.
તેથી,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે $n^{3}-n$ એ $6$ વડે વિભાજ્ય છે.

(N/A) ધારો કે $a$ અને $b$ બે અયુગ્મ ધન પૂર્ણાંકો છે. કોઈપણ અયુગ્મ ધન પૂર્ણાંકને કોઈ પૂર્ણાંક $n$ માટે $2n + 1$ અથવા $2n - 1$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે.
ધારો કે $a = 2m + 1$ અને $b = 2n + 1$ છે,જ્યાં $m$ અને $n$ પૂર્ણાંકો છે.
તેથી,$a^{2} = (2m + 1)^{2} = 4m^{2} + 4m + 1 = 4(m^{2} + m) + 1$.
તે જ રીતે,$b^{2} = (2n + 1)^{2} = 4n^{2} + 4n + 1 = 4(n^{2} + n) + 1$.
હવે,$a^{2} + b^{2} = [4(m^{2} + m) + 1] + [4(n^{2} + n) + 1] = 4(m^{2} + m + n^{2} + n) + 2$.
ધારો કે $k = m^{2} + m + n^{2} + n$. તો $a^{2} + b^{2} = 4k + 2$.
કારણ કે $a^{2} + b^{2} = 2(2k + 1)$,તે સ્પષ્ટપણે એક યુગ્મ સંખ્યા છે.
જો કે,જ્યારે $4k + 2$ ને $4$ વડે ભાગવામાં આવે,ત્યારે શેષ $2$ વધે છે. તેથી,$a^{2} + b^{2}$ એ $4$ વડે વિભાજ્ય નથી.

(B) યુક્લિડની ભાગવિધિનો ઉપયોગ કરીને $81$ અને $237$ નો ગુ.સા.અ. શોધવા માટે,આપણે નીચેના પગલાં અનુસરીએ છીએ:
પગલું $1$: $237$ અને $81$ માટે યુક્લિડનું ભાગાકારનું પૂર્વપ્રમેય વાપરતા $(237 > 81)$:
$237 = 81 \times 2 + 75$
પગલું $2$: $81$ અને $75$ માટે પ્રમેય વાપરતા:
$81 = 75 \times 1 + 6$
પગલું $3$: $75$ અને $6$ માટે પ્રમેય વાપરતા:
$75 = 6 \times 12 + 3$
પગલું $4$: $6$ અને $3$ માટે પ્રમેય વાપરતા:
$6 = 3 \times 2 + 0$
અહીં શેષ $0$ હોવાથી,આ તબક્કે ભાજક એ ગુ.સા.અ. છે.
તેથી,$81$ અને $237$ નો ગુ.સા.અ. $3$ છે.

(B) આપેલ પદાવલિ: $7 \times 11 \times 13 + 13$
$13$ સામાન્ય લેતા:
$= 13 \times (7 \times 11 + 1)$
$= 13 \times (77 + 1)$
$= 13 \times 78$
$= 13 \times (13 \times 6)$
$= 2 \times 3 \times 13^2 = 1014$
વિભાજ્ય સંખ્યા એ એવી ધન પૂર્ણાંક સંખ્યા છે જેને $1$ અને તે સંખ્યા સિવાય ઓછામાં ઓછો એક અન્ય અવયવ હોય.
અહીં $1014$ ને અવિભાજ્ય અવયવો $(2, 3, 13)$ ના ગુણાકાર તરીકે દર્શાવી શકાય છે,તેથી તે એક વિભાજ્ય સંખ્યા છે.

(N/A) જો $6^{n}$ નો અંતિમ અંક $0$ હોય,તો તે $10$ વડે વિભાજ્ય હોવો જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે તે $2$ અને $5$ બંને વડે વિભાજ્ય હોવો જોઈએ.
$6^{n}$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ $(2 \times 3)^{n} = 2^{n} \times 3^{n}$ છે.
અંકગણિતના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,કોઈપણ સંખ્યાનું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ અનન્ય હોય છે. $6^{n}$ ના અવિભાજ્ય અવયવો માત્ર $2$ અને $3$ છે.
$5$ એ $6^{n}$ નો અવિભાજ્ય અવયવ ન હોવાથી,$6^{n}$ એ $5$ વડે વિભાજ્ય નથી.
તેથી,$6^{n}$ એ $10$ વડે વિભાજ્ય હોઈ શકે નહીં,જેનો અર્થ છે કે કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n \in N$ માટે $6^{n}$ નો અંતિમ અંક $0$ હોઈ શકે નહીં.

(A) $156$ ને અવિભાજ્ય અવયવોના ગુણાકાર તરીકે દર્શાવવા માટે,આપણે તેનું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ કરીએ:
$156 = 2 \times 78$
$78 = 2 \times 39$
$39 = 3 \times 13$
આ અવયવોને જોડતા,આપણને મળે છે: $156 = 2 \times 2 \times 3 \times 13 = 2^{2} \times 3 \times 13$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) $96$ ને અવિભાજ્ય અવયવોના ગુણાકાર તરીકે દર્શાવવા માટે,આપણે અવિભાજ્ય અવયવીકરણ કરીએ છીએ:
$96 = 2 \times 48$
$96 = 2 \times 2 \times 24$
$96 = 2 \times 2 \times 2 \times 12$
$96 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 6$
$96 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3$
આમ,$96 = 2^{5} \times 3$.

(C) $404$ ને અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના ગુણાકાર સ્વરૂપે દર્શાવવા માટે,આપણે તેનું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ કરીશું:
$404 = 2 \times 202$
$202 = 2 \times 101$
અહીં $101$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે,તેથી $404$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ $2 \times 2 \times 101$ થાય,જેને $2^{2} \times 101$ તરીકે લખી શકાય છે.

(D) $5005$ ને અવિભાજ્ય અવયવોના ગુણાકાર તરીકે દર્શાવવા માટે,આપણે અવિભાજ્ય અવયવીકરણ કરીએ છીએ:
$5005$ એ $5$ વડે વિભાજ્ય છે: $5005 \div 5 = 1001$.
હવે,આપણે $1001$ નું અવયવીકરણ કરીએ. તે $2, 3$ કે $5$ વડે વિભાજ્ય નથી. $7$ માટે તપાસતા: $1001 \div 7 = 143$.
ત્યારબાદ,આપણે $143$ નું અવયવીકરણ કરીએ. તે $7$ વડે વિભાજ્ય નથી. $11$ માટે તપાસતા: $143 \div 11 = 13$.
$13$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા હોવાથી,અવિભાજ્ય અવયવીકરણ $5 \times 7 \times 11 \times 13$ થાય છે.

(A) $7429$ ને અવિભાજ્ય અવયવોના ગુણાકાર તરીકે દર્શાવવા માટે,આપણે અવિભાજ્ય અવયવીકરણ કરીએ છીએ:
પગલું $1$: નાની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ વડે ભાગાકાર ચકાસો. $7429$ એ $2, 3, 5, 7, 11,$ કે $13$ વડે વિભાજ્ય નથી.
પગલું $2$: $17$ વડે ચકાસો: $7429 \div 17 = 437$.
પગલું $3$: $437$ ને $19$ વડે ભાગાકાર ચકાસો: $437 \div 19 = 23$.
પગલું $4$: $23$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા હોવાથી,અવિભાજ્ય અવયવીકરણ $17 \times 19 \times 23$ થાય છે.

(N/A) વિભાજ્ય સંખ્યા એ એવી ધન પૂર્ણાંક સંખ્યા છે જેને $1$ અને તે સંખ્યા સિવાય ઓછામાં ઓછો એક અન્ય ભાજક હોય.
આપેલ પદાવલિ: $7 \times 11 \times 17 + 17$.
આપણે પદાવલિમાંથી $17$ સામાન્ય કાઢી શકીએ છીએ:
$7 \times 11 \times 17 + 17 = 17 \times (7 \times 11 + 1)$.
હવે,કૌંસની અંદરની પદાવલિનું સાદું રૂપ આપો:
$17 \times (77 + 1) = 17 \times 78$.
કારણ કે $78$ ને $2 \times 39$ અથવા $2 \times 3 \times 13$ તરીકે અવયવીકરણ કરી શકાય છે,તેથી પદાવલિ નીચે મુજબ બને છે:
$17 \times 2 \times 3 \times 13$.
આ સંખ્યાને $1$ અને તે સંખ્યા સિવાયના અવિભાજ્ય અવયવોના ગુણાકાર તરીકે દર્શાવી શકાય છે,તેથી તે એક વિભાજ્ય સંખ્યા છે.

(B) વિભાજ્ય સંખ્યા એ એવી ધન પૂર્ણાંક સંખ્યા છે જેને $1$ અને તે સંખ્યા સિવાય ઓછામાં ઓછો એક અન્ય અવયવ હોય.
આપેલ પદાવલિ: $7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 + 5$.
આપણે પદાવલિમાંથી $5$ સામાન્ય કાઢી શકીએ છીએ:
$= 5 \times (7 \times 6 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 + 1)$
$= 5 \times (1008 + 1)$
$= 5 \times 1009$
આ સંખ્યાને બે અવયવો ($5$ અને $1009$) ના ગુણાકાર તરીકે દર્શાવી શકાય છે,જે બંને $1$ કરતા મોટા છે,તેથી તેને $1$ અને તે સંખ્યા સિવાયના અન્ય અવયવો છે.
તેથી,આપેલ સંખ્યા એક વિભાજ્ય સંખ્યા છે.

(N/A) કોઈપણ સંખ્યાનો અંત $0$ અંક સાથે થાય તે માટે,તેના અવિભાજ્ય અવયવોમાં $2$ અને $5$ હોવા જરૂરી છે.
$8$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2^3$ છે.
તેથી,$8^n = (2^3)^n = 2^{3n}$ થાય.
$8^n$ ના અવિભાજ્ય અવયવીકરણમાં માત્ર $2$ જ અવિભાજ્ય અવયવ છે.
$8^n$ ના અવિભાજ્ય અવયવીકરણમાં $5$ નો સમાવેશ થતો ન હોવાથી,કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n \in N$ માટે $8^n$ નો અંત $0$ અંક સાથે થવો અશક્ય છે.

(N/A) કોઈપણ સંખ્યાનો અંત $0$ અંક સાથે થાય તે માટે તે સંખ્યા $10$ વડે વિભાજ્ય હોવી જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવોમાં ઓછામાં ઓછી એક જોડી $2$ અને $5$ ના અવિભાજ્ય અવયવો હોવા જોઈએ.
$21$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $3 \times 7$ છે.
તેથી,$21^{n}$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $(3 \times 7)^{n} = 3^{n} \times 7^{n}$ થાય.
$21^{n}$ ના અવિભાજ્ય અવયવોમાં માત્ર $3$ અને $7$ હોવાથી,તેમાં $2$ કે $5$ નો સમાવેશ થતો નથી.
$2$ અને $5$ ના અવિભાજ્ય અવયવો ગેરહાજર હોવાથી,$21^{n}$ એ $10$ વડે વિભાજ્ય નથી.
આમ,કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n \in N$ માટે $21^{n}$ નો અંત $0$ અંક સાથે થઈ શકે નહીં.

(N/A) $5^{n} \times 6^{n}$ શૂન્ય પર અંત પામે છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે તપાસવું પડશે કે તે $10$ વડે વિભાજ્ય છે કે નહીં. જો કોઈ સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવોમાં ઓછામાં ઓછી એક જોડી $2$ અને $5$ ની હોય,તો તે સંખ્યા $10$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.
આપેલ પદાવલિ: $5^{n} \times 6^{n}$.
આપણે $6^{n}$ ના અવયવો પાડી શકીએ: $(2 \times 3)^{n} = 2^{n} \times 3^{n}$.
આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા: $5^{n} \times 2^{n} \times 3^{n} = (2 \times 5)^{n} \times 3^{n} = 10^{n} \times 3^{n}$.
આ પદાવલિને $10^{n} \times 3^{n}$ તરીકે લખી શકાય છે,તેથી તે તમામ $n \in N$ માટે $10$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,$5^{n} \times 6^{n}$ એ કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે હંમેશા શૂન્ય પર અંત પામે છે.

(N/A) કોઈ સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો તપાસીએ છીએ.
જો $q = 2^n \times 5^m$ હોય,જ્યાં $n$ અને $m$ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે,તો દશાંશ નિરૂપણ શાંત હોય છે.
અહીં,અપૂર્ણાંક $\frac{64}{455}$ છે.
પ્રથમ,આપણે તપાસીએ કે અપૂર્ણાંક તેના અતિસંક્ષિપ્ત રૂપમાં છે કે નહીં. $64$ અને $455$ નો ગુ.સા.અ. $1$ છે,તેથી તે તેના અતિસંક્ષિપ્ત રૂપમાં છે.
હવે,છેદ $455$ ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીએ:
$455 = 5 \times 91 = 5 \times 7 \times 13$.
છેદના અવિભાજ્ય અવયવોમાં $2$ અને $5$ સિવાયના અવયવો ($7$ અને $13$) હોવાથી,સંમેય સંખ્યા $\frac{64}{455}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત નથી. તે અનંત આવૃત દશાંશ નિરૂપણ ધરાવે છે.

(D) સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત હોય જો છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં હોય,જ્યાં $n$ અને $m$ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે.
આપેલ અપૂર્ણાંક $\frac{13}{125}$ માટે:
$1$. છેદના અવિભાજ્ય અવયવો: $125 = 5^3 = 2^0 \times 5^3$.
$2$. છેદ $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં હોવાથી (જ્યાં $n=0, m=3$),આ સંમેય સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે.
$3$. દશાંશ નિરૂપણ શોધવા માટે,છેદને $10$ ની ઘાત બનાવીએ:
$\frac{13}{125} = \frac{13 \times 2^3}{5^3 \times 2^3} = \frac{13 \times 8}{10^3} = \frac{104}{1000} = 0.104$.

(N/A) કોઈ સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો તપાસીએ છીએ. જો $q = 2^n \times 5^m$ (જ્યાં $n, m \ge 0$) હોય,તો દશાંશ નિરૂપણ શાંત હોય છે.
અહીં,છેદ $343$ છે.
$343$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $7^3$ છે.
છેદ $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં ન હોવાથી,સંમેય સંખ્યા $\frac{29}{343}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત નથી; તે અનંત આવૃત દશાંશ નિરૂપણ ધરાવે છે.

(D) કોઈ સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો તપાસીએ છીએ. જો $q = 2^n \times 5^m$ (જ્યાં $n, m \ge 0$) હોય,તો દશાંશ નિરૂપણ શાંત હોય છે.
પ્રથમ,અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{77}{210} = \frac{7 \times 11}{7 \times 30} = \frac{11}{30}$.
અહીં છેદ $30 = 2^1 \times 3^1 \times 5^1$ છે.
છેદના અવિભાજ્ય અવયવોમાં $2$ અને $5$ સિવાય $3$ નો પણ સમાવેશ થાય છે,તેથી આ દશાંશ નિરૂપણ અનંત અને આવૃત છે.

(A) કોઈપણ સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત હોય જો તેના છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં હોય,જ્યાં $n$ અને $m$ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે.
અહીં,છેદ $8 = 2^3 = 2^3 \times 5^0$ છે.
છેદ $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં હોવાથી,સંમેય સંખ્યા $\frac{17}{8}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે.
દશાંશ નિરૂપણ શોધવા માટે: $\frac{17}{8} = \frac{17 \times 125}{8 \times 125} = \frac{2125}{1000} = 2.125$.

(C) $24+2 \sqrt{119}$ નું વર્ગમૂળ શોધવા માટે,ધારો કે $\sqrt{24+2 \sqrt{119}} = \sqrt{x} + \sqrt{y}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $24+2 \sqrt{119} = x + y + 2 \sqrt{xy}$ મળે છે.
સંમેય અને અસંમેય ભાગોની સરખામણી કરતા,$x + y = 24$ અને $xy = 119$ મળે છે.
આપણને એવી બે સંખ્યાઓ જોઈએ છે જેનો સરવાળો $24$ અને ગુણાકાર $119$ થાય.
આ સંખ્યાઓ $17$ અને $7$ છે,કારણ કે $17+7=24$ અને $17 \times 7 = 119$ થાય છે.
તેથી,$\sqrt{24+2 \sqrt{119}} = \sqrt{17} + \sqrt{7}$ થાય.

(A) કોઈપણ સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત હોય જો તેના છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં હોય,જ્યાં $n$ અને $m$ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે.
અહીં,છેદ $8 = 2^3 = 2^3 \times 5^0$ છે.
છેદ $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં હોવાથી,સંમેય સંખ્યા $\frac{19}{8}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે.
દશાંશ નિરૂપણ શોધવા માટે,આપણે $19$ ને $8$ વડે ભાગીશું:
$19 \div 8 = 2.375$.

(N/A) કોઈ સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો તપાસીએ છીએ.
જો $q = 2^n \times 5^m$ હોય,જ્યાં $n$ અને $m$ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે,તો દશાંશ નિરૂપણ શાંત હોય છે.
અહીં,છેદ $343 = 7^3$ છે.
છેદના અવિભાજ્ય અવયવોમાં $2$ અથવા $5$ સિવાયનો અવયવ $(7)$ હોવાથી,સંમેય સંખ્યા $\frac{17}{343}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત નથી; તે અનંત આવૃત દશાંશ નિરૂપણ ધરાવે છે.

(A) કોઈ સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે તેના અતિસંક્ષિપ્ત રૂપમાં છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો તપાસીએ છીએ.
સૌ પ્રથમ,અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{9}{30} = \frac{3 \times 3}{3 \times 10} = \frac{3}{10}$.
અહીં છેદ $10 = 2^1 \times 5^1$ છે.
છેદના અવિભાજ્ય અવયવો $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં હોવાથી (જ્યાં $n, m$ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે),આ સંમેય સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે.
દશાંશ નિરૂપણ શોધતા: $\frac{3}{10} = 0.3$.

(N/A) સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત હોય છે જો છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં હોય,જ્યાં $n$ અને $m$ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે.
અહીં,$q = 256 = 2^8$.
છેદ $2^n \times 5^m$ (જ્યાં $n=8, m=0$) સ્વરૂપમાં હોવાથી,સંમેય સંખ્યા $\frac{19}{256}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે.
દશાંશ નિરૂપણ શોધવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને $5^8$ વડે ગુણીએ છીએ:
$\frac{19}{2^8} \times \frac{5^8}{5^8} = \frac{19 \times 390625}{10^8} = \frac{7421875}{100000000} = 0.07421875$.

(B) કોઈપણ સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ નું દશાંશ નિરૂપણ કેટલા અંકો પછી શાંત થશે તે જાણવા માટે,આપણે છેદને $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં દર્શાવીએ છીએ.
આપેલ પદ: $\frac{43}{2^{4} \times 5^{3}}$.
$2$ અને $5$ ના ઘાતાંક સમાન કરવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને $5^1$ વડે ગુણીએ:
$\frac{43 \times 5^1}{2^{4} \times 5^{3} \times 5^1} = \frac{43 \times 5}{2^{4} \times 5^{4}} = \frac{215}{(2 \times 5)^{4}} = \frac{215}{10^4} = \frac{215}{10000} = 0.0215$.
આમ,દશાંશ નિરૂપણ $4$ અંકો પછી શાંત થાય છે.

(D) $(3k+2)^2$ ને $3$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધવા માટે,આપણે પદાવલિનું વિસ્તરણ કરીએ:
$(3k+2)^2 = (3k)^2 + 2(3k)(2) + 2^2$
$= 9k^2 + 12k + 4$
આપણે આને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$= 9k^2 + 12k + 3 + 1$
$= 3(3k^2 + 4k + 1) + 1$
અહીં $3(3k^2 + 4k + 1)$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય છે,તેથી જ્યારે આ પદાવલિને $3$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે શેષ $1$ વધે છે.

(A) બેઝુટનું તાદાત્મ્ય જણાવે છે કે કોઈપણ બે પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ (જે બંને શૂન્ય ન હોય) માટે,એવા પૂર્ણાંકો $x$ અને $y$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $ax + by = \text{gcd}(a, b)$ થાય,જ્યાં $\text{gcd}(a, b)$ એ $a$ અને $b$ નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ (ગુ.સા.અ.) છે.

(B) જો કોઈ પૂર્ણાંક $2$ વડે વિભાજ્ય ન હોય,તો તેને એકી પૂર્ણાંક કહેવામાં આવે છે.
યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,કોઈપણ પૂર્ણાંક $a$ ને $a = bq + r$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $0 \le r < b$.
$2$ વડે વિભાજ્યતા માટે,આપણે $b = 2$ લઈએ છીએ.
આમ,$a = 2k + r$,જ્યાં $r$ ની કિંમત $0$ અથવા $1$ હોઈ શકે છે.
જો $r = 0$ હોય,તો $a = 2k$ થાય,જે બેકી પૂર્ણાંક છે.
જો $r = 1$ હોય,તો $a = 2k + 1$ થાય,જે એકી પૂર્ણાંક છે.
તેથી,દરેક એકી પૂર્ણાંક એ કોઈ પૂર્ણાંક $k$ માટે $2k + 1$ સ્વરૂપમાં હોય છે.

(A) અંકગણિતના મૂળભૂત પ્રમેય અને સંમેય સંખ્યાઓના ગુણધર્મો અનુસાર,જો કોઈ સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ (જ્યાં $p$ અને $q$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે) ના છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2^{m} 5^{n}$ સ્વરૂપના હોય,જ્યાં $m$ અને $n$ અઋણ પૂર્ણાંકો છે,તો તે સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ સાંત હોય છે.
તેથી,$\frac{p}{q}$ નું દશાંશ સ્વરૂપ સાંત દશાંશ નિરૂપણ છે.

(A) $\frac{9}{1600}$ નું દશાંશ નિરૂપણ કેટલા અંકો પછી શાંત થશે તે શોધવા માટે,આપણે છેદના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીશું.
$1600 = 16 \times 100 = 2^4 \times 10^2 = 2^4 \times (2 \times 5)^2 = 2^4 \times 2^2 \times 5^2 = 2^6 \times 5^2$.
હવે,અપૂર્ણાંક $\frac{9}{2^6 \times 5^2}$ છે.
$2$ અને $5$ ની ઘાત સમાન કરવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને $5^4$ વડે ગુણીશું:
$\frac{9 \times 5^4}{2^6 \times 5^2 \times 5^4} = \frac{9 \times 625}{2^6 \times 5^6} = \frac{5625}{(2 \times 5)^6} = \frac{5625}{10^6}$.
છેદ $10^6$ હોવાથી,દશાંશ નિરૂપણ $6$ અંકો પછી શાંત થશે.

(C) જ્યારે બે કરણીઓને તેમના સૌથી સરળ સ્વરૂપમાં ફેરવવામાં આવે અને તેમનો કરણીગત ભાગ (radicand) સમાન હોય,ત્યારે તેમને સજાતીય કરણીઓ કહેવાય છે.
પ્રથમ,$\sqrt{12}$ ને સરળ સ્વરૂપમાં ફેરવતા:
$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$.
હવે,વિકલ્પો તપાસીએ:
$A) \sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6} = 2\sqrt{6}$
$B) \sqrt{36} = 6$ (આ એક સંમેય સંખ્યા છે,કરણી નથી)
$C) \sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}$
$D) \sqrt{60} = \sqrt{4 \times 15} = 2\sqrt{15}$
અહીં $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ અને $\sqrt{48} = 4\sqrt{3}$ છે,જે બંનેમાં અસંમેય અવયવ $\sqrt{3}$ સમાન છે.
તેથી,$\sqrt{12}$ અને $\sqrt{48}$ એ સજાતીય કરણીઓ છે.

(B) જ્યારે બે કરણીઓનું સાદું રૂપ આપ્યા પછી તેમનો કરણીનો ભાગ સમાન હોય,ત્યારે તેમને 'સજાતીય કરણી' કહેવાય છે.
$A) \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ અને $\sqrt{16} = 4$. આ સજાતીય કરણી નથી.
$B) \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$ અને $\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$. બંનેમાં કરણીનો ભાગ $\sqrt{2}$ સમાન છે,તેથી આ સજાતીય કરણી છે.
$C) \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$ અને $\sqrt{6}$. આ સજાતીય કરણી નથી.
$D) \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$ અને $\sqrt{48} = 4\sqrt{3}$. આ સજાતીય કરણી નથી.
તેથી,સાચી જોડી $\sqrt{18}$ અને $\sqrt{50}$ છે.

(D) કોઈપણ એકી પૂર્ણાંક $n$ ને $2k+1$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $k$ એક પૂર્ણાંક છે.
વૈકલ્પિક રીતે,કોઈપણ એકી પૂર્ણાંક $n$ ને $n = 4k \pm 1$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે અથવા કિંમતો મૂકીને ચકાસી શકાય છે.
ધારો કે $n = 1$,તો $n^{2}-1 = 1^{2}-1 = 0$ ($8$ વડે વિભાજ્ય છે).
ધારો કે $n = 3$,તો $n^{2}-1 = 3^{2}-1 = 9-1 = 8$ ($8$ વડે વિભાજ્ય છે).
ધારો કે $n = 5$,તો $n^{2}-1 = 5^{2}-1 = 25-1 = 24$ ($8$ વડે વિભાજ્ય છે).
સામાન્ય સાબિતી: $n$ એકી હોવાથી,$n = 2k+1$.
$n^{2}-1 = (2k+1)^{2}-1 = 4k^{2}+4k+1-1 = 4k(k+1)$.
$k(k+1)$ એ બે ક્રમિક પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર હોવાથી,તે હંમેશા બેકી સંખ્યા હોય છે,એટલે કે $k(k+1) = 2m$.
તેથી,$n^{2}-1 = 4(2m) = 8m$.
આમ,$n^{2}-1$ હંમેશા $8$ વડે વિભાજ્ય છે.