Fundamental Theorem of Arithmetic Questions in Gujarati

(A) યુક્લિડનું ભાગાકારનું પૂર્વપ્રમેય જણાવે છે કે કોઈપણ બે ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ માટે,અનન્ય પૂર્ણાંકો $q$ અને $r$ એવા મળે છે કે જેથી $a = bq + r,$ જ્યાં શેષ $r$ એ શરત $0 \leq r < b$ નું પાલન કરે છે. આનો અર્થ એ છે કે શેષ $r$ એ $0$ અથવા તેનાથી મોટી અને ભાજક $b$ કરતા નાની હોય છે. તેથી,સાચી શરત $0 \leq r < b$ છે.

(B) યુક્લિડનું ભાગાકારનું પૂર્વપ્રમેય જણાવે છે કે કોઈપણ બે ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ માટે,અનન્ય પૂર્ણાંકો $q$ અને $r$ એવા મળે છે કે જેથી $a = bq + r$,જ્યાં $0 \leqslant r < b$ થાય.
આ પ્રશ્નમાં,આપણને $b = 7$ આપેલ છે.
શરત $0 \leqslant r < b$ માં $b = 7$ મૂકતા,આપણને $0 \leqslant r < 7$ મળે છે.
તેથી,શેષ $r$ માટેની સાચી શરત $0 \leqslant r < 7$ છે.

(D) યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,કોઈપણ બે ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ માટે,અનન્ય પૂર્ણાંકો $q$ અને $r$ એવા મળે કે જેથી $a = bq + r$,જ્યાં $0 \le r < b$ થાય.
આ પ્રશ્નમાં,$b = 5$ છે.
તેથી,$r$ માટેની શક્ય કિંમતો $0, 1, 2, 3, 4$ છે.
કારણ કે $r$ ની કિંમત $5$ કરતા નાની હોવી જોઈએ,તેથી $r = 6$ શક્ય નથી.

(A) આપણને પદાવલિ $2^{m} \cdot 5^{n}$ આપેલ છે,જ્યાં $m, n \in N$ (પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ).
આપણે પદાવલિને $2^{m} \cdot 5^{n} = 2^{m-n} \cdot 2^{n} \cdot 5^{n}$ (જો $m \ge n$) અથવા $2^{m} \cdot 5^{m} \cdot 5^{n-m}$ (જો $n > m$) તરીકે લખી શકીએ.
કિસ્સો $1$: જો $m = n$ હોય,તો $2^{m} \cdot 5^{m} = (2 \cdot 5)^{m} = 10^{m}$. $10^{m}$ નો અંતિમ અંક $0$ છે.
કિસ્સો $2$: જો $m > n$ હોય,તો $2^{m} \cdot 5^{n} = 2^{m-n} \cdot (2 \cdot 5)^{n} = 2^{m-n} \cdot 10^{n}$. $2^{m-n}$ એ બેકી સંખ્યા છે અને $10^{n}$ નો અંતિમ અંક $0$ હોવાથી,ગુણાકારનો અંતિમ અંક $0$ થશે.
કિસ્સો $3$: જો $n > m$ હોય,તો $2^{m} \cdot 5^{n} = (2 \cdot 5)^{m} \cdot 5^{n-m} = 10^{m} \cdot 5^{n-m}$. $n > m$ માટે $5^{n-m}$ નો અંતિમ અંક હંમેશા $5$ હોય છે અને $10^{m}$ નો અંતિમ અંક $0$ હોવાથી,ગુણાકારનો અંતિમ અંક $0$ થશે.
બધા કિસ્સાઓમાં,અંતિમ અંક $0$ મળે છે.

(C) કોઈપણ સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ માટે,જ્યાં $q = 2^n \cdot 5^m$ હોય,ત્યારે દશાંશ ચિન્હ પછીના અંકોની સંખ્યા $\max(n, m)$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ પદ $\frac{18}{5^3}$ માં,છેદને $2^0 \cdot 5^3$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$n = 0$ અને $m = 3$ છે.
તેથી,દશાંશ ચિન્હ પછીના અંકોની સંખ્યા $\max(0, 3) = 3$ થશે.
વૈકલ્પિક રીતે,$\frac{18}{5^3} = \frac{18 \cdot 2^3}{5^3 \cdot 2^3} = \frac{18 \cdot 8}{10^3} = \frac{144}{1000} = 0.144$.
દશાંશ ચિન્હ પછી $3$ અંકો હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n \in N$ માટે (જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$):
જો $n = 1$ હોય,તો $5^1 = 5$.
જો $n = 2$ હોય,તો $5^2 = 25$.
જો $n = 3$ હોય,તો $5^3 = 125$.
જો $n = 4$ હોય,તો $5^4 = 625$.
અહીં અવલોકન કરી શકાય છે કે કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે,$5^n$ નો અંતિમ અંક હંમેશા $5$ જ રહે છે.

(C) કોઈ પણ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે $5^n$ નો અંતિમ અંક શોધવા માટે,ચાલો $5$ ની ઘાતનું અવલોકન કરીએ:
$5^1 = 5$
$5^2 = 25$
$5^3 = 125$
$5^4 = 625$
દરેક કિસ્સામાં,અંતિમ અંક (એકમનો અંક) $5$ છે.
તેથી,કોઈ પણ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે,$5^n$ નો અંતિમ અંક હંમેશા $5$ હોય છે.

(A) અહીં આપણને પદાવલિ $2^5 \cdot 5^5$ આપેલ છે.
ઘાતાંકના નિયમ $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદાવલિને આ રીતે લખી શકીએ:
$2^5 \cdot 5^5 = (2 \cdot 5)^5$
$= 10^5$
$= 100000$
$100000$ નો અંતિમ અંક $0$ છે.

(C) અંકગણિતના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,$1$ થી મોટી દરેક વિભાજ્ય સંખ્યાને અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના ગુણાકાર તરીકે દર્શાવી શકાય છે. અવિભાજ્ય અવયવોના ક્રમને અવગણતા,આ અવયવીકરણ અનન્ય હોય છે. આ પ્રમેયને 'અનન્ય અવયવીકરણનું પ્રમેય' તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે.

(B) $5^{25}$ નો અંતિમ અંક શોધવા માટે,આપણે $5$ ની ઘાતનું અવલોકન કરીએ:
$5^1 = 5$
$5^2 = 25$
$5^3 = 125$
$5^4 = 625$
અહીં જોઈ શકાય છે કે કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે,$5^n$ નો અંતિમ અંક હંમેશા $5$ જ હોય છે.
તેથી,$5^{25}$ નો અંતિમ અંક $5$ છે.

(C) કોઈ પણ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે $5^n$ નો અંતિમ અંક શોધવા માટે,ચાલો $5$ ની ઘાતનું અવલોકન કરીએ:
$5^1 = 5$
$5^2 = 25$
$5^3 = 125$
$5^4 = 625$
જેમ આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે,કોઈ પણ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે,$5^n$ નું પરિણામ હંમેશા $5$ અંક સાથે સમાપ્ત થાય છે. તેથી,અંતિમ અંક હંમેશા $5$ હોય છે.

(C) $30$ ના અવિભાજ્ય અવયવો શોધવા માટે,આપણે તેને સૌથી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ વડે ભાગીએ છીએ:
$30 \div 2 = 15$
$15 \div 3 = 5$
$5 \div 5 = 1$
તેથી,$30$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2 \times 3 \times 5$ છે.

(A) જ્યારે $(5k+1)^2$ ને $5$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે શેષ શોધવા માટે,આપણે નિત્યસમ $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ નો ઉપયોગ કરીને પદનું વિસ્તરણ કરીએ.
$(5k+1)^2 = (5k)^2 + 2(5k)(1) + (1)^2$
$= 25k^2 + 10k + 1$
હવે,આપણે આ પદને નીચે મુજબ લખી શકીએ:
$= 5(5k^2 + 2k) + 1$
અહીં $5(5k^2 + 2k)$ એ $5$ વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય છે,તેથી આખા પદને $5$ વડે ભાગતા મળતી શેષ $1$ છે.

(B) $5^{25}$ નો અંતિમ અંક શોધવા માટે,આપણે $5$ ની ઘાતનું અવલોકન કરીએ:
$5^1 = 5$
$5^2 = 25$
$5^3 = 125$
$5^4 = 625$
કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $5$ ની ઘાતનો અંતિમ અંક હંમેશા $5$ હોય છે,તેથી $5^{25}$ નો અંતિમ અંક $5$ છે.

(C) કોઈ પણ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે $5^n$ નો અંતિમ અંક શોધવા માટે:
$5^1 = 5$
$5^2 = 25$
$5^3 = 125$
$5^4 = 625$
અહીં અવલોકન કરતા જણાય છે કે,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે,$5$ નો $n$ વખત ગુણાકાર કરવાથી મળતી સંખ્યાનો અંતિમ અંક હંમેશા $5$ જ હોય છે. તેથી,$5^n$ નો અંતિમ અંક હંમેશા $5$ હોય છે.

(A) ધારો કે ત્રણ ક્રમિક ધન પૂર્ણાંકો $n, (n+1)$,અને $(n+2)$ છે.
આ પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર $P = n(n+1)(n+2)$ છે.
આ પદાવલિ ત્રણ ક્રમિક પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર દર્શાવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ $k$ ક્રમિક પૂર્ણાંકોના સમૂહમાં,હંમેશા $k!$ (k ફેક્ટોરિયલ) નો ઓછામાં ઓછો એક અવયવી હોય છે.
$k=3$ માટે,ગુણાકાર હંમેશા $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.
ઉદાહરણ તરીકે,જો $n=1$ હોય,તો $1 \times 2 \times 3 = 6$ ($6$ વડે વિભાજ્ય છે).
જો $n=2$ હોય,તો $2 \times 3 \times 4 = 24$ ($6$ વડે વિભાજ્ય છે).
જો $n=3$ હોય,તો $3 \times 4 \times 5 = 60$ ($6$ વડે વિભાજ્ય છે).
આમ,કોઈપણ ત્રણ ક્રમિક ધન પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર હંમેશા $6$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.

(C) $30$ ના અવિભાજ્ય અવયવીકરણ શોધવા માટે,આપણે તેને સૌથી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ વડે ભાગીએ છીએ:
$30 = 2 \times 15$
$15 = 3 \times 5$
તેથી,$30 = 2 \times 3 \times 5$.
અહીં $2, 3,$ અને $5$ એ બધી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ હોવાથી,સાચું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ $2 \times 3 \times 5$ છે.

(C) અંકગણિતના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,$1$ કરતા મોટી દરેક વિભાજ્ય સંખ્યાને અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના ગુણાકાર તરીકે અનન્ય રીતે દર્શાવી શકાય છે,સિવાય કે અવિભાજ્ય અવયવોનો ક્રમ ગમે તે હોય. આનો અર્થ એ છે કે કોઈપણ આપેલી વિભાજ્ય સંખ્યા માટે,અવિભાજ્ય અવયવોનો સમૂહ નિશ્ચિત હોય છે,ભલે તે ગમે તે ક્રમમાં લખવામાં આવે. તેથી,આ અવયવીકરણ અનન્ય છે.

(C) દશાંશ સ્થળોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે છેદને $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં દર્શાવીએ છીએ.
આપેલ અપૂર્ણાંક: $\frac{35457}{6250}$.
$6250$ ના અવિભાજ્ય અવયવો: $6250 = 625 \times 10 = 5^4 \times (2 \times 5) = 2^1 \times 5^5$.
દશાંશ સ્થળોની સંખ્યા એ $2$ અને $5$ ના ઘાતાંકોમાં જે મહત્તમ હોય તે છે,એટલે કે $\max(1, 5) = 5$.
તેથી,દશાંશ નિરૂપણ $5$ દશાંશ સ્થળ પછી શાંત થાય છે.

(C) યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,કોઈપણ ધનપૂર્ણાંક $a$ અને ભાજક $b=4$ માટે,$a = 4m + r$ મળે,જ્યાં $r$ ની કિંમત $0, 1, 2, 3$ હોઈ શકે.
જો $r=0$ હોય,તો $a = 4m = 2(2m)$,જે યુગ્મ છે.
જો $r=1$ હોય,તો $a = 4m+1$,જે અયુગ્મ છે.
જો $r=2$ હોય,તો $a = 4m+2 = 2(2m+1)$,જે યુગ્મ છે.
જો $r=3$ હોય,તો $a = 4m+3$,જે અયુગ્મ છે.
તેથી,કોઈપણ અયુગ્મ ધનપૂર્ણાંક $4m+1$ અથવા $4m+3$ સ્વરૂપમાં હોય છે.

(C) યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,કોઈપણ બે ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ માટે,અનન્ય પૂર્ણાંકો $q$ અને $r$ એવા મળે કે જેથી $a = bq + r$,જ્યાં $0 \le r < b$ થાય.
આ પ્રશ્નમાં,$b = 5$ છે.
તેથી,શેષ $r$ માટે શક્ય કિંમતો $0, 1, 2, 3, 4$ છે.
અહીં $r$ ની કિંમત $5$ કરતા નાની હોવી જોઈએ,તેથી $r = 6$ શક્ય નથી.

(B) કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $a$ ને $6k, 6k+1, 6k+2, 6k+3, 6k+4,$ અથવા $6k+5$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે.
દરેક કિસ્સા માટે $a^2 \pmod{6}$ ની ગણતરી કરતા:
$1) (6k)^2 = 36k^2 = 6(6k^2) \equiv 0 \pmod{6}$
$2) (6k+1)^2 = 36k^2 + 12k + 1 = 6(6k^2 + 2k) + 1 \equiv 1 \pmod{6}$
$3) (6k+2)^2 = 36k^2 + 24k + 4 = 6(6k^2 + 4k) + 4 \equiv 4 \pmod{6}$
$4) (6k+3)^2 = 36k^2 + 36k + 9 = 6(6k^2 + 6k + 1) + 3 \equiv 3 \pmod{6}$
$5) (6k+4)^2 = 36k^2 + 48k + 16 = 6(6k^2 + 8k + 2) + 4 \equiv 4 \pmod{6}$
$6) (6k+5)^2 = 36k^2 + 60k + 25 = 6(6k^2 + 10k + 4) + 1 \equiv 1 \pmod{6}$
શક્ય શેષ $0, 1, 3, 4$ છે.
આમ,શેષ $2$ અને $5$ શક્ય નથી.

(C) કોઈ પણ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે $5^n$ નો અંતિમ અંક શોધવા માટે,ચાલો $5$ ની ઘાતનું અવલોકન કરીએ:
$5^1 = 5$
$5^2 = 25$
$5^3 = 125$
$5^4 = 625$
આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે,કોઈ પણ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે,$5^n$ નો અંતિમ અંક હંમેશા $5$ હોય છે.

(B) કોઈપણ સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ માટે,જ્યાં $q = 2^n \cdot 5^m$ હોય,ત્યારે દશાંશચિહ્ન પછીના અંકોની સંખ્યા $\max(n, m)$ જેટલી હોય છે.
અહીં આપેલ અપૂર્ણાંક $\frac{15}{2^2}$ છે.
અહીં છેદ $2^2 \cdot 5^0$ છે.
તેને $2^n \cdot 5^m$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n = 2$ અને $m = 0$ મળે છે.
$n$ અને $m$ ની મહત્તમ કિંમત $\max(2, 0) = 2$ છે.
તેથી,દશાંશ નિરૂપણ $2$ અંક પછી શાંત થાય છે.
ચકાસણી: $\frac{15}{2^2} = \frac{15}{4} = 3.75$,જેમાં દશાંશચિહ્ન પછી $2$ અંક છે.

(B) આપણને પદાવલિ $(6k+1)^2$ આપેલી છે.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ નો ઉપયોગ કરીને વિસ્તરણ કરતાં:
$(6k+1)^2 = (6k)^2 + 2(6k)(1) + 1^2$
$= 36k^2 + 12k + 1$
પ્રથમ બે પદોમાંથી $6$ સામાન્ય લેતા:
$= 6(6k^2 + 2k) + 1$
ધારો કે $m = 6k^2 + 2k$,જ્યાં $m$ એ પૂર્ણાંક સંખ્યા છે.
તેથી પદાવલિ $6m + 1$ સ્વરૂપમાં મળે છે.
જ્યારે $6m + 1$ ને $6$ વડે ભાગવામાં આવે,ત્યારે ભાગફળ $m$ મળે છે અને શેષ $1$ મળે છે.

(A) કોઈ સંમેય સંખ્યા $p/q$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાન્ત છે કે નહીં તે જાણવા માટે,આપણે છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો તપાસીએ છીએ. જો $q$ એ $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં હોય,જ્યાં $n$ અને $m$ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે,તો તેનું દશાંશ નિરૂપણ શાન્ત હોય છે.
અહીં,અપૂર્ણાંક $44/625$ છે.
છેદ $625 = 5^4$ છે.
અહીં છેદ $2^0 \times 5^4$ સ્વરૂપમાં હોવાથી,તે શાન્ત દશાંશ નિરૂપણની શરતનું પાલન કરે છે.
તેથી,$44/625$ એ શાન્ત દશાંશ છે.

(A) અહીં આપણને પદાવલિ $2^5 \cdot 5^5$ આપેલ છે.
ઘાતાંકના નિયમ $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે પદાવલિને નીચે મુજબ લખી શકીએ:
$2^5 \cdot 5^5 = (2 \cdot 5)^5$
$= 10^5$
$= 100,000$
$100,000$ નો અંતિમ અંક $0$ છે.

(C) કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n \in N$ માટે,$5^n$ એ $5$ નો $n$ વખત ગુણાકાર દર્શાવે છે.
$n = 1$ માટે,$5^1 = 5$.
$n = 2$ માટે,$5^2 = 25$.
$n = 3$ માટે,$5^3 = 125$.
$n = 4$ માટે,$5^4 = 625$.
આમ,અવલોકન કરતા જણાય છે કે કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે $5^n$ નો અંતિમ અંક હંમેશા $5$ જ રહે છે.

(C) કોઈપણ સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ માટે,જ્યાં $q = 2^n \cdot 5^m$ હોય,ત્યારે દશાંશ સ્થળોની સંખ્યા $\max(n, m)$ જેટલી હોય છે.
અહીં આપેલ પદ $\frac{18}{5^{3}}$ છે,જેને આપણે $\frac{18}{2^0 \cdot 5^3}$ તરીકે લખી શકીએ.
અહીં,$n = 0$ અને $m = 3$ છે.
તેથી,દશાંશ સ્થળોની સંખ્યા $\max(0, 3) = 3$ થાય.
આમ,દશાંશ નિરૂપણ $3$ દશાંશ સ્થળ પછી શાંત થશે.

(B) યુક્લિડનું ભાગાકારનું પૂર્વ પ્રમેય જણાવે છે કે કોઈપણ બે ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ માટે,અનન્ય પૂર્ણાંકો $q$ અને $r$ એવા મળે કે જેથી $a = bq + r$,જ્યાં શેષ $r$ એ $0 \leq r < b$ શરતનું પાલન કરે છે. આનો અર્થ એ છે કે શેષ $r$ શૂન્ય હોઈ શકે અથવા શૂન્ય કરતાં મોટો હોઈ શકે,પરંતુ તે હંમેશા ભાજક $b$ કરતાં નાનો હોવો જોઈએ.

(A) અહીં આપણને પદાવલિ $2^{m} \cdot 5^{n}$ આપેલ છે,જ્યાં $m, n \in N$.
જો $m \ge n$ હોય,તો આપણે તેને $2^{m-n} \cdot (2 \cdot 5)^{n}$ તરીકે લખી શકીએ,અથવા જો $n > m$ હોય,તો $5^{n-m} \cdot (2 \cdot 5)^{m}$ તરીકે લખી શકીએ.
બંને કિસ્સામાં,પદાવલિમાં $(2 \cdot 5) = 10$ નો અવયવ રહેલો છે.
કોઈપણ ધન પૂર્ણાંકનો $10$ સાથે ગુણાકાર કરવાથી મળતી સંખ્યાનો અંતિમ અંક $0$ હોય છે.
ઉદાહરણ તરીકે,જો $m=1, n=1$ હોય,તો $2^1 \cdot 5^1 = 10$ (અંતિમ અંક $0$ છે).
જો $m=2, n=1$ હોય,તો $2^2 \cdot 5^1 = 4 \cdot 5 = 20$ (અંતિમ અંક $0$ છે).
જો $m=1, n=2$ હોય,તો $2^1 \cdot 5^2 = 2 \cdot 25 = 50$ (અંતિમ અંક $0$ છે).
તેથી,અંતિમ અંક હંમેશા $0$ જ રહેશે.

(C) અપૂર્ણાંક $\frac{1}{32}$ ને દશાંશ સ્વરૂપમાં ફેરવવા માટે,આપણે ભાગાકાર કરીએ.
$1$ ને $32$ વડે ભાગતા:
$1 \div 32 = 0.03125$.
વૈકલ્પિક રીતે,આપણે $\frac{1}{32} = \frac{1}{2^5}$ લખી શકીએ.
દશાંશમાં ફેરવવા માટે,અંશ અને છેદને $5^5$ વડે ગુણો:
$\frac{1 \times 5^5}{2^5 \times 5^5} = \frac{3125}{10^5} = \frac{3125}{100000} = 0.03125$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) કોઈપણ સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ નું દશાંશ નિરૂપણ સાન્ત ત્યારે જ મળે જો તેના છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2^m \cdot 5^n$ સ્વરૂપના હોય,જ્યાં $m$ અને $n$ એ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે.
અનૃણ પૂર્ણાંકોમાં તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $(N)$ અને શૂન્ય $(0)$ નો સમાવેશ થાય છે.
તેથી,$m, n \in N \cup \{0\}$.

(C) $\frac{2517}{6250}$ નું દશાંશ વિસ્તરણ કેટલા દશાંશ સ્થળો પછી શાંત થશે તે જાણવા માટે,આપણે છેદને $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં દર્શાવવો પડે.
પ્રથમ,છેદ $6250$ ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડો:
$6250 = 625 \times 10 = 5^4 \times (2 \times 5) = 2^1 \times 5^5$.
કોઈપણ સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ નું દશાંશ વિસ્તરણ $k$ દશાંશ સ્થળો પછી શાંત થાય છે,જ્યાં $q = 2^n \times 5^m$ માં $k = \max(n, m)$ હોય છે.
અહીં,$n = 1$ અને $m = 5$ છે.
તેથી,$k = \max(1, 5) = 5$.
આમ,દશાંશ વિસ્તરણ $5$ દશાંશ સ્થળો પછી શાંત થશે.

(B) કોઈ સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત હોય જો તેના છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં હોય,જ્યાં $n$ અને $m$ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે.
$1$. $\frac{17}{32}$ માટે: $32 = 2^5$. તે $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં હોવાથી,તેનું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે.
$2$. $\frac{17}{248}$ માટે: $248 = 8 \times 31 = 2^3 \times 31^1$. અહીં $2$ અને $5$ સિવાયનો અવયવ $(31)$ હોવાથી,તેનું દશાંશ નિરૂપણ અનંત અને આવૃત્ત છે.
$3$. $\frac{17}{160}$ માટે: $160 = 16 \times 10 = 2^4 \times 2 \times 5 = 2^5 \times 5^1$. તે $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં હોવાથી,તેનું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે.
તેથી,$\frac{17}{248}$ નું દશાંશ નિરૂપણ અનંત અને આવૃત્ત છે.

(D) સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ (જ્યાં $q \neq 0$) ના દશાંશ નિરૂપણમાં દશાંશ સ્થળ પછીના અંકોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે પહેલા અપૂર્ણાંકને તેના અતિસંક્ષિપ્ત સ્વરૂપમાં ફેરવીએ છીએ.
$\frac{7}{80}$ એ પહેલેથી જ તેના અતિસંક્ષિપ્ત સ્વરૂપમાં છે.
હવે,છેદ $q = 80$ ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીએ.
$80 = 2^4 \times 5^1$.
દશાંશ સ્થળ પછીના અંકોની સંખ્યા એ છેદના અવિભાજ્ય અવયવીકરણમાં $2$ અથવા $5$ ના મહત્તમ ઘાતાંક જેટલી હોય છે.
અહીં,ઘાતાંકો $4$ અને $1$ છે. મહત્તમ ઘાતાંક $4$ છે.
તેથી,$\frac{7}{80}$ ના દશાંશ નિરૂપણમાં દશાંશ ચિહ્ન પછી $4$ અંક મળે.
ચકાસણી: $\frac{7}{80} = \frac{7 \times 125}{80 \times 125} = \frac{875}{10000} = 0.0875$.

(D) અવયવ વૃક્ષમાં, કોઈપણ સંખ્યાને તેના અવયવોના ગુણાકાર તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા: $\text{સંખ્યા} = \text{અવયવ}_1 \times \text{અવયવ}_2$।
પ્રથમ શાખા માટે, $x$ એ $2$ અને $5$ નો ગુણાકાર છે, તેથી $x = 2 \times 5 = 10$।
બીજી શાખા માટે, $y$ એ $x$ અને $2$ નો ગુણાકાર છે, તેથી $y = x \times 2 = 10 \times 2 = 20$।
તેથી, $x$ અને $y$ ની કિંમતો અનુક્રમે $10$ અને $20$ મળે છે।

(B) યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,કોઈપણ ધનપૂર્ણાંક $a$ ને $a = bq + r$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $0 \le r < b$ છે.
અહીં $b = 2$ લેતા,$r$ ની શક્ય કિંમતો $0$ અને $1$ મળે છે.
આથી,$a = 2m + 0 = 2m$ (જે યુગ્મ પૂર્ણાંક છે) અથવા $a = 2m + 1$ (જે અયુગ્મ પૂર્ણાંક છે).
તેથી,કોઈપણ અયુગ્મ ધનપૂર્ણાંક $2m + 1$ સ્વરૂપમાં હોય છે.

(C) યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,કોઈપણ બે ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ માટે,અનન્ય પૂર્ણાંકો $q$ અને $r$ એવા મળે કે જેથી $a = bq + r$,જ્યાં $0 \le r < b$ થાય.
આ પ્રશ્નમાં,$b = 5$ છે.
તેથી,$r$ માટેની શરત $0 \le r < 5$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $r$ ની શક્ય કિંમતો ${0, 1, 2, 3, 4}$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$5$ એ $r$ ની શક્ય કિંમત નથી કારણ કે $r$ એ ભાજક $5$ કરતા નાનો હોવો જોઈએ.

(A) અહીં આપણને $2^{3} \times 5^{125}$ પદ આપેલું છે.
સૌ પ્રથમ,$2^{3} = 8$ ની ગણતરી કરો.
હવે,પદ $8 \times 5^{125}$ બને છે.
આપણે તેને $8 \times 5 \times 5^{124} = 40 \times 5^{124}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
કોઈપણ સંખ્યાનો $40$ સાથે ગુણાકાર કરવાથી અંતમાં $0$ આવે છે,તેથી આ પદનો છેલ્લો અંક $0$ છે.

(B) આ સંખ્યાનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે પદાવલિનું સાદું રૂપ આપીએ:
$3 \times 15 \times 11 + 11$
$= 11 \times (3 \times 15 + 1)$
$= 11 \times (45 + 1)$
$= 11 \times 46$
$= 11 \times 2 \times 23$
આમ,આ સંખ્યાને $1$ અને તે સંખ્યા સિવાયના અન્ય અવિભાજ્ય અવયવો $(2, 11, 23)$ ના ગુણાકાર તરીકે દર્શાવી શકાય છે,તેથી તે એક વિભાજ્ય સંખ્યા છે.

(A) ધારો કે ધન પૂર્ણાંક $x = 3q + 1$ છે.
આ પૂર્ણાંકનો વર્ગ શોધવા માટે,આપણે $x^2 = (3q + 1)^2$ ની ગણતરી કરીએ છીએ.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$x^2 = (3q)^2 + 2(3q)(1) + (1)^2$
$x^2 = 9q^2 + 6q + 1$
આપણે પ્રથમ બે પદોમાંથી $3$ સામાન્ય કાઢી શકીએ છીએ:
$x^2 = 3(3q^2 + 2q) + 1$
ધારો કે $m = 3q^2 + 2q$,જ્યાં $m$ એ પૂર્ણાંક છે.
આમ,$x^2 = 3m + 1$.
તેથી,આ વિધાન સત્ય છે.

(A) ધારો કે ત્રણ ક્રમિક ધન પૂર્ણાંકો $n, (n+1)$ અને $(n+2)$ છે.
કોઈપણ ત્રણ ક્રમિક પૂર્ણાંકોના સમૂહમાં,ઓછામાં ઓછી એક સંખ્યા બેકી (એટલે કે $2$ વડે વિભાજ્ય) હોય છે અને બરાબર એક સંખ્યા $3$ નો ગુણક હોય છે.
આથી,તેમના ગુણાકારમાં ઓછામાં ઓછો એક અવયવ $2$ અને એક અવયવ $3$ હોવાથી,તે ગુણાકાર $2 \times 3 = 6$ વડે વિભાજ્ય બને છે.
ઉદાહરણ તરીકે,જો $n=1$ હોય,તો ગુણાકાર $1 \times 2 \times 3 = 6$ થાય,જે $6$ વડે વિભાજ્ય છે.
જો $n=2$ હોય,તો ગુણાકાર $2 \times 3 \times 4 = 24$ થાય,જે $6$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,આપેલ વિધાન સાચું છે.

(A) ધારો કે બે ક્રમિક ધન પૂર્ણાંકો $n$ અને $n+1$ છે.
તેમનો ગુણાકાર $P = n(n+1)$ છે.
કારણ કે $n$ અને $n+1$ ક્રમિક પૂર્ણાંકો છે,તેમાંથી એક સંખ્યા બેકી (even) અને બીજી એકી (odd) હશે.
બેકી સંખ્યા હંમેશા $2$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.
તેથી,બેકી સંખ્યા અને એકી સંખ્યાનો ગુણાકાર હંમેશા બેકી સંખ્યા જ મળે,જેનો અર્થ છે કે તે $2$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,આપેલ વિધાન સાચું છે.

(B) $\frac{p}{2^n \cdot 5^m}$ સ્વરૂપની સંમેય સંખ્યા માટે દશાંશ ચિહ્ન પછીના અંકોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે ઘાતાંકો $n$ અને $m$ માંથી મહત્તમ કિંમત જોઈએ છીએ.
અહીં આપેલ પદ $\frac{7}{2^3 \cdot 5^4}$ માં,$n = 3$ અને $m = 4$ છે.
દશાંશ સ્થળોની સંખ્યા $\max(n, m) = \max(3, 4) = 4$ દ્વારા નક્કી થાય છે.
આમ,દશાંશ નિરૂપણમાં દશાંશ ચિહ્ન પછી $4$ અંક હશે.

(A) કોઈ સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો તપાસીએ છીએ.
જો $q$ એ $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં હોય,જ્યાં $n$ અને $m$ એ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે,તો દશાંશ નિરૂપણ શાંત હોય છે.
અહીં,$q = 3125$.
$3125 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^5$.
કારણ કે $3125$ ને $2^0 \times 5^5$ તરીકે લખી શકાય છે,તે $2^n \times 5^m$ ની શરતનું પાલન કરે છે.
તેથી,$\frac{13}{3125}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે.

(C) વિભાજ્ય સંખ્યા એટલે એવી પ્રાકૃતિક સંખ્યા કે જેને $1$ અને તે સંખ્યા સિવાય ઓછામાં ઓછો એક અન્ય અવયવ હોય.
પ્રથમ પદાવલિ માટે: $7 \times 11 \times 13 + 13 = 13 \times (7 \times 11 + 1) = 13 \times (77 + 1) = 13 \times 78 = 13 \times 13 \times 6$.
આ સંખ્યાને $1$ અને તે સંખ્યા સિવાયના અવયવોના ગુણાકાર તરીકે દર્શાવી શકાય છે,તેથી તે વિભાજ્ય સંખ્યા છે.
બીજી પદાવલિ માટે: $7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 + 5 = 5 \times (7 \times 6 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 + 1) = 5 \times (1008 + 1) = 5 \times 1009$.
અહીં $1009$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે,તેથી આ સંખ્યાના અવયવો $1, 5, 1009$ અને તે સંખ્યા પોતે છે. તેને બે કરતાં વધારે અવયવો હોવાથી તે વિભાજ્ય સંખ્યા છે.

(B) કોઈપણ સંખ્યાનો અંતિમ અંક $0$ હોય,તો તેના અવિભાજ્ય અવયવોમાં $2$ અને $5$ હોવા જરૂરી છે.
$6^n$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $(2 \times 3)^n = 2^n \times 3^n$ થાય છે.
અહીં $6^n$ ના અવિભાજ્ય અવયવોમાં માત્ર $2$ અને $3$ છે,તેમાં $5$ નો સમાવેશ થતો નથી.
તેથી,અંકગણિતના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે $6^n$ નો અંતિમ અંક $0$ હોઈ શકે નહીં.

(A) $7429$ ના અવિભાજ્ય અવયવો શોધવા માટે,આપણે ક્રમશઃ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ વડે ભાગાકાર ચકાસીએ.
$7429$ એ $2, 3, 5, 7, 11$ કે $13$ વડે વિભાજ્ય નથી.
$17$ વડે ભાગતા: $7429 \div 17 = 437$.
હવે,આપણે $437$ ના અવિભાજ્ય અવયવો શોધીએ.
$19$ વડે ભાગતા: $437 \div 19 = 23$.
$23$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા હોવાથી,અવિભાજ્ય અવયવીકરણ $17 \times 19 \times 23$ થાય છે.

(A) $5005$ ના અવિભાજ્ય અવયવો શોધવા માટે,આપણે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ વડે ક્રમિક ભાગાકાર કરીશું:
$1$. છેલ્લો અંક $5$ હોવાથી,તે $5$ વડે વિભાજ્ય છે: $5005 \div 5 = 1001$.
$2$. હવે,$1001$ ને પછીની અવિભાજ્ય સંખ્યા $7$ વડે ભાગતા: $1001 \div 7 = 143$.
$3$. ત્યારબાદ,$143$ ને પછીની અવિભાજ્ય સંખ્યા $11$ વડે ભાગતા: $143 \div 11 = 13$.
$4$. અંતે,$13$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે,તેથી $13 \div 13 = 1$.
આમ,$5005$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ $5 \times 7 \times 11 \times 13$ છે.