Mix Examples-Trigonometrical Ratios, Functions and Identities Questions in Gujarati

(A) સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્ર $\cos C + \cos D = 2 \cos \left( \frac{C+D}{2} \right) \cos \left( \frac{C-D}{2} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 52^\circ + \cos 172^\circ + \cos 68^\circ$
$= 2 \cos \left( \frac{52^\circ + 172^\circ}{2} \right) \cos \left( \frac{52^\circ - 172^\circ}{2} \right) + \cos 68^\circ$
$= 2 \cos (112^\circ) \cos (-60^\circ) + \cos 68^\circ$
$\cos (-60^\circ) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ હોવાથી:
$= 2 \cos (112^\circ) \left( \frac{1}{2} \right) + \cos 68^\circ$
$= \cos 112^\circ + \cos 68^\circ$
$= \cos (180^\circ - 68^\circ) + \cos 68^\circ$
$= -\cos 68^\circ + \cos 68^\circ = 0$.

(C) આપેલ સમીકરણો $\cos x + \cos y = -\cos \alpha$ અને $\sin x + \sin y = -\sin \alpha$ છે.
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$2 \cos \left( \frac{x + y}{2} \right) \cos \left( \frac{x - y}{2} \right) = -\cos \alpha$ $(i)$
$2 \sin \left( \frac{x + y}{2} \right) \cos \left( \frac{x - y}{2} \right) = -\sin \alpha$ $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા:
$\frac{2 \sin \left( \frac{x + y}{2} \right) \cos \left( \frac{x - y}{2} \right)}{2 \cos \left( \frac{x + y}{2} \right) \cos \left( \frac{x - y}{2} \right)} = \frac{-\sin \alpha}{-\cos \alpha}$
$\tan \left( \frac{x + y}{2} \right) = \tan \alpha$
બંને બાજુ વ્યસ્ત લેતા:
$\cot \left( \frac{x + y}{2} \right) = \cot \alpha$.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$\sin \theta + \sin 2\theta + \sin 3\theta = \sin \alpha$ ... $(i)$
$\cos \theta + \cos 2\theta + \cos 3\theta = \cos \alpha$ ... $(ii)$
સરવાળામાંથી ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$(\sin 3\theta + \sin \theta) + \sin 2\theta = \sin \alpha$
$2 \sin 2\theta \cos \theta + \sin 2\theta = \sin \alpha$
$\sin 2\theta (2 \cos \theta + 1) = \sin \alpha$ ... $(iii)$
તે જ રીતે,
$(\cos 3\theta + \cos \theta) + \cos 2\theta = \cos \alpha$
$2 \cos 2\theta \cos \theta + \cos 2\theta = \cos \alpha$
$\cos 2\theta (2 \cos \theta + 1) = \cos \alpha$ ... $(iv)$
સમીકરણ $(iii)$ ને $(iv)$ વડે ભાગતા:
$\tan 2\theta = \tan \alpha$
$2\theta = \alpha$
$\theta = \alpha / 2$

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan {50^o} = \tan ({70^o} - {20^o}) = \frac{\tan {70^o} - \tan {20^o}}{1 + \tan {70^o} \tan {20^o}}$.
$\tan {70^o} = \cot {20^o}$ હોવાથી,$\tan {70^o} \tan {20^o} = 1$.
તેથી,$2 \tan {50^o} = \tan {70^o} - \tan {20^o}$,જેનો અર્થ છે કે $\tan {70^o} = 2 \tan {50^o} + \tan {20^o}$.
આમ,$\sec {50^o} + \tan {50^o} = \tan {20^o} + 2 \tan {50^o}$.

(A) શ્રેણીનો સરવાળો $S = \sum_{k=1}^{n} \sin(k\theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમાંતર શ્રેણીમાં સાઈન (sine) ના સરવાળા માટેનું સૂત્ર વાપરતા: $\sum_{k=0}^{n-1} \sin(\alpha + k\beta) = \frac{\sin(n\beta/2)}{\sin(\beta/2)} \sin(\alpha + \frac{(n-1)\beta}{2})$.
અહીં,$\alpha = \theta$ અને $\beta = \theta$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$S = \frac{\sin(n\theta/2)}{\sin(\theta/2)} \sin(\theta + \frac{(n-1)\theta}{2})$
$S = \frac{\sin(n\theta/2)}{\sin(\theta/2)} \sin(\frac{2\theta + n\theta - \theta}{2})$
$S = \frac{\sin(n\theta/2) \sin(\frac{(n+1)\theta}{2})}{\sin(\theta/2)}$.

(B) ધારો કે પદાવલિ $E = 2 \cos \frac{\pi}{13} \cos \frac{9\pi}{13} + \cos \frac{3\pi}{13} + \cos \frac{5\pi}{13}$ છે.
ગુણાકાર-થી-સરવાળાના સૂત્ર $2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \cos \frac{\pi}{13} \cos \frac{9\pi}{13} = \cos(\frac{10\pi}{13}) + \cos(-\frac{8\pi}{13}) = \cos(\frac{10\pi}{13}) + \cos(\frac{8\pi}{13})$.
તેથી,$E = \cos \frac{10\pi}{13} + \cos \frac{8\pi}{13} + \cos \frac{3\pi}{13} + \cos \frac{5\pi}{13}$.
$\cos \theta = \cos(\pi - \theta)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos \frac{10\pi}{13} = \cos(\pi - \frac{3\pi}{13}) = -\cos \frac{3\pi}{13}$.
$\cos \frac{8\pi}{13} = \cos(\pi - \frac{5\pi}{13}) = -\cos \frac{5\pi}{13}$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$E = -\cos \frac{3\pi}{13} - \cos \frac{5\pi}{13} + \cos \frac{3\pi}{13} + \cos \frac{5\pi}{13} = 0$.

(D) આપેલ છે કે $\tan A - \tan B = x$ અને $\cot B - \cot A = y.$
પ્રથમ,$y$ નું સાદું રૂપ આપતા:
$y = \frac{1}{\tan B} - \frac{1}{\tan A} = \frac{\tan A - \tan B}{\tan A \tan B} = \frac{x}{\tan A \tan B}.$
તેથી,$\tan A \tan B = \frac{x}{y}.$
હવે,$\cot(A - B)$ ના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\cot(A - B) = \frac{1 + \tan A \tan B}{\tan A - \tan B}.$
$x$ અને $\tan A \tan B$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\cot(A - B) = \frac{1 + \frac{x}{y}}{x} = \frac{1}{x} + \frac{x}{xy} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}.$

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 54^\circ = \cos 36^\circ = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$.
પદાવલિ $E = \sin 12^\circ \sin 48^\circ \sin 54^\circ$ ધ્યાનમાં લો.
સૂત્ર $2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{1}{2} [\cos(48^\circ - 12^\circ) - \cos(48^\circ + 12^\circ)] \sin 54^\circ$
$E = \frac{1}{2} [\cos 36^\circ - \cos 60^\circ] \sin 54^\circ$
$\sin 54^\circ = \cos 36^\circ$ અને $\cos 60^\circ = 1/2$ હોવાથી:
$E = \frac{1}{2} [\cos 36^\circ - 1/2] \cos 36^\circ$
$E = \frac{1}{2} [\cos^2 36^\circ - \frac{1}{2} \cos 36^\circ]$
$\cos 36^\circ = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$ મૂકતા:
$E = \frac{1}{2} [(\frac{\sqrt{5}+1}{4})^2 - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{5}+1}{4})]$
$E = \frac{1}{2} [\frac{6+2\sqrt{5}}{16} - \frac{2\sqrt{5}+2}{16}]$
$E = \frac{1}{2} [\frac{4}{16}] = \frac{1}{8}$.

(C) આપેલ પદાવલિ: $\frac{\cos 12^\circ - \sin 12^\circ}{\cos 12^\circ + \sin 12^\circ} + \tan 147^\circ$
પ્રથમ પદના અંશ અને છેદને $\cos 12^\circ$ વડે ભાગતા:
$\frac{1 - \tan 12^\circ}{1 + \tan 12^\circ} + \tan 147^\circ$
$\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $A = 45^\circ$ અને $B = 12^\circ$:
$\tan(45^\circ - 12^\circ) + \tan(180^\circ - 33^\circ)$
$= \tan 33^\circ - \tan 33^\circ = 0$

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 108^\circ = \sin 72^\circ$ અને $\sin 144^\circ = \sin 36^\circ$ થાય.
તેથી,પદાવલિ $\sin^2 36^\circ \sin^2 72^\circ$ બને છે.
નિત્યસમ $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin^2 36^\circ \sin^2 72^\circ = \left(\frac{1 - \cos 72^\circ}{2}\right) \left(\frac{1 - \cos 144^\circ}{2}\right)$
$= \frac{1}{4} (1 - \sin 18^\circ)(1 + \cos 36^\circ)$
કિંમતો મૂકતા $\sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ અને $\cos 36^\circ = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$:
$= \frac{1}{4} \left(\frac{5-\sqrt{5}}{4}\right) \left(\frac{5+\sqrt{5}}{4}\right) = \frac{5}{16}$.

(A) આપેલ છે કે $\cos A = m \cos B,$ તેથી $\frac{m}{1} = \frac{\cos A}{\cos B}.$
યોગ-વિયોગ પ્રમાણ (Componendo and dividendo) લેતા,$\frac{m + 1}{m - 1} = \frac{\cos A + \cos B}{\cos A - \cos B}.$
ત્રિકોણમિતીય સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{m + 1}{m - 1} = \frac{2 \cos \left( \frac{A + B}{2} \right) \cos \left( \frac{A - B}{2} \right)}{-2 \sin \left( \frac{A + B}{2} \right) \sin \left( \frac{A - B}{2} \right)} = -\cot \left( \frac{A + B}{2} \right) \cot \left( \frac{A - B}{2} \right).$
$\cot \left( \frac{A - B}{2} \right) = -\cot \left( \frac{B - A}{2} \right) = -\frac{1}{\tan \left( \frac{B - A}{2} \right)}$ હોવાથી,
$\frac{m + 1}{m - 1} = \cot \left( \frac{A + B}{2} \right) \frac{1}{\tan \left( \frac{B - A}{2} \right)}.$
તેથી,$\cot \left( \frac{A + B}{2} \right) = \frac{m + 1}{m - 1} \tan \left( \frac{B - A}{2} \right).$

(A) આપણે $S = \sin 12^\circ \sin 24^\circ \sin 48^\circ \sin 84^\circ$ ની કિંમત શોધવાની છે.
નિત્યસમ $\sin \theta \sin(60^\circ - \theta) \sin(60^\circ + \theta) = \frac{1}{4} \sin 3\theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = \sin 12^\circ \sin 48^\circ \sin 84^\circ \sin 24^\circ = \sin 12^\circ \sin(60^\circ - 12^\circ) \sin(60^\circ + 12^\circ) \sin 24^\circ$
$S = \frac{1}{4} \sin(3 \times 12^\circ) \sin 24^\circ = \frac{1}{4} \sin 36^\circ \sin 24^\circ$.
હવે,વિકલ્પ $A$ ધ્યાનમાં લો: $P = \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 60^\circ \cos 80^\circ$.
નિત્યસમ $\cos \theta \cos(60^\circ - \theta) \cos(60^\circ + \theta) = \frac{1}{4} \cos 3\theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P = \cos 20^\circ \cos(60^\circ - 20^\circ) \cos(60^\circ + 20^\circ) \cos 60^\circ = \frac{1}{4} \cos(3 \times 20^\circ) \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8} \cos 60^\circ = \frac{1}{8} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{16}$.
$S = \frac{1}{4} \sin 36^\circ \sin 24^\circ = \frac{1}{8} [2 \sin 36^\circ \sin 24^\circ] = \frac{1}{8} [\cos 12^\circ - \cos 60^\circ] = \frac{1}{16}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) આપણે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos^2 A - \sin^2 B = \cos(A + B)\cos(A - B)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
ધારો કે $A = \frac{\pi}{4} - \beta$ અને $B = \alpha - \frac{\pi}{4}$.
તેથી $A + B = \left( \frac{\pi}{4} - \beta \right) + \left( \alpha - \frac{\pi}{4} \right) = \alpha - \beta$.
અને $A - B = \left( \frac{\pi}{4} - \beta \right) - \left( \alpha - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\pi}{2} - (\alpha + \beta)$.
આ કિંમતો નિત્યસમમાં મૂકતા:
$\cos^2 \left( \frac{\pi}{4} - \beta \right) - \sin^2 \left( \alpha - \frac{\pi}{4} \right) = \cos(\alpha - \beta)\cos\left( \frac{\pi}{2} - (\alpha + \beta) \right)$.
કારણ કે $\cos\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \sin \theta$,તેથી:
$= \cos(\alpha - \beta)\sin(\alpha + \beta)$.

(C) આપેલ પદાવલિ: $\tan 9^\circ - \tan 27^\circ - \tan 63^\circ + \tan 81^\circ$
$\tan(90^\circ - \theta) = \cot \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$\tan 63^\circ = \cot 27^\circ$ અને $\tan 81^\circ = \cot 9^\circ$ મળે.
પદાવલિ $= (\tan 9^\circ + \cot 9^\circ) - (\tan 27^\circ + \cot 27^\circ)$
$\tan \theta + \cot \theta = \frac{2}{\sin 2\theta}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
પદાવલિ $= \frac{2}{\sin 18^\circ} - \frac{2}{\sin 54^\circ} = 2 \left( \frac{\sin 54^\circ - \sin 18^\circ}{\sin 18^\circ \sin 54^\circ} \right)$
$\sin C - \sin D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \sin \frac{C-D}{2}$ સૂત્ર મુજબ,$\sin 54^\circ - \sin 18^\circ = 2 \cos 36^\circ \sin 18^\circ$ મળે.
પદાવલિ $= 2 \left( \frac{2 \cos 36^\circ \sin 18^\circ}{\sin 18^\circ \sin 54^\circ} \right) = 4 \frac{\cos 36^\circ}{\sin 54^\circ}$.
$\sin 54^\circ = \cos 36^\circ$ હોવાથી,પદાવલિ $= 4(1) = 4$.

(A) આપેલ છે: $x = \sin A + \sin 2A$ અને $y = \cos A + \cos 2A$.
$x^2 + y^2$ નો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$x^2 + y^2 = (\sin A + \sin 2A)^2 + (\cos A + \cos 2A)^2$
$x^2 + y^2 = (\sin^2 A + \cos^2 A) + (\sin^2 2A + \cos^2 2A) + 2(\sin A \sin 2A + \cos A \cos 2A)$
$x^2 + y^2 = 1 + 1 + 2 \cos(2A - A)$
$x^2 + y^2 = 2 + 2 \cos A = 2(1 + \cos A)$.
હવે,આ કિંમતને પદાવલિ $E = (x^2 + y^2)(x^2 + y^2 - 3)$ માં મૂકતા:
$E = [2(1 + \cos A)][2(1 + \cos A) - 3]$
$E = [2(1 + \cos A)][2 + 2 \cos A - 3]$
$E = [2(1 + \cos A)][2 \cos A - 1]$
$E = 2(2 \cos^2 A + 2 \cos A - \cos A - 1)$
$E = 2(2 \cos^2 A + \cos A - 1)$.
કારણ કે $y = \cos A + \cos 2A = \cos A + (2 \cos^2 A - 1)$,તેથી $y = 2 \cos^2 A + \cos A - 1$.
તેથી,$E = 2y$.

(B) ધારો કે અંશ $N = \cos 6x + 6\cos 4x + 15\cos 2x + 10$ અને છેદ $D = \cos 5x + 5\cos 3x + 10\cos x$ છે.
નિત્યસમ $\cos(n+1)x + \cos(n-1)x = 2\cos nx \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે છેદને $(2\cos x)^5$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આમ,સાદું રૂપ આપતા આપણને $2\cos x$ મળે છે.

(D) આપણે સૂત્ર $\prod_{k=0}^{n-1} \cos(2^k \theta) = \frac{\sin(2^n \theta)}{2^n \sin \theta}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અહીં,$\theta = \frac{2\pi}{15}$ અને $n = 4$.
$\cos \frac{2\pi}{15} \cos \frac{4\pi}{15} \cos \frac{8\pi}{15} \cos \frac{16\pi}{15} = \frac{\sin(2^4 \cdot \frac{2\pi}{15})}{2^4 \sin \frac{2\pi}{15}}$
$= \frac{\sin \frac{32\pi}{15}}{16 \sin \frac{2\pi}{15}}$
કારણ કે $\frac{32\pi}{15} = 2\pi + \frac{2\pi}{15}$,તેથી $\sin \frac{32\pi}{15} = \sin \frac{2\pi}{15}$.
$= \frac{\sin \frac{2\pi}{15}}{16 \sin \frac{2\pi}{15}} = \frac{1}{16}$.

(A) આપણે પદાવલિ $\cos^2 \frac{\pi}{12} + \cos^2 \frac{\pi}{4} + \cos^2 \frac{5\pi}{12}$ નું મૂલ્ય શોધવાનું છે.
નિત્યસમ $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{1 + \cos(\frac{\pi}{6})}{2} + \cos^2(\frac{\pi}{4}) + \frac{1 + \cos(\frac{5\pi}{6})}{2}$
$= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos(\frac{\pi}{6}) + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos(\frac{5\pi}{6})$
$= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\cos(\frac{\pi}{6}) + \cos(\frac{5\pi}{6}))$
$= \frac{3}{2} + \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2})$
$= \frac{3}{2} + 0 = \frac{3}{2}$.

(B) ધારો કે $S = \sin \frac{\pi}{16} \sin \frac{3\pi}{16} \sin \frac{5\pi}{16} \sin \frac{7\pi}{16}$.
$\sin \theta = \cos(\frac{\pi}{2} - \theta)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin \frac{7\pi}{16} = \cos \frac{\pi}{16}$ અને $\sin \frac{5\pi}{16} = \cos \frac{3\pi}{16}$ મળે.
તેથી,$S = (\sin \frac{\pi}{16} \cos \frac{\pi}{16}) (\sin \frac{3\pi}{16} \cos \frac{3\pi}{16})$.
$2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$S = (\frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{8}) (\frac{1}{2} \sin \frac{3\pi}{8}) = \frac{1}{4} \sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8}$ (કારણ કે $\sin \frac{3\pi}{8} = \cos \frac{\pi}{8}$).
$S = \frac{1}{8} \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{8} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{8\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{16}$.

(D) અમે નિત્યસમ $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ અને $2\cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
ધારો કે $E = \cos^2 76^\circ + \cos^2 16^\circ - \cos 76^\circ \cos 16^\circ$.
$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{1 + \cos 152^\circ}{2} + \frac{1 + \cos 32^\circ}{2} - \cos 76^\circ \cos 16^\circ$
$E = 1 + \frac{1}{2}(\cos 152^\circ + \cos 32^\circ) - \cos 76^\circ \cos 16^\circ$
$\cos C + \cos D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 152^\circ + \cos 32^\circ = 2 \cos 92^\circ \cos 60^\circ = 2 \cos 92^\circ (\frac{1}{2}) = \cos 92^\circ$.
$2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 76^\circ \cos 16^\circ = \frac{1}{2}(\cos 92^\circ + \cos 60^\circ) = \frac{1}{2}(\cos 92^\circ + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cos 92^\circ + \frac{1}{4}$.
આ કિંમતો પાછી મૂકતા:
$E = 1 + \frac{1}{2}(\cos 92^\circ) - (\frac{1}{2} \cos 92^\circ + \frac{1}{4})$
$E = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

(A) નિત્યસમ $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos^2 \alpha + \cos^2(\alpha + 120^\circ) + \cos^2(\alpha - 120^\circ) = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2} + \frac{1 + \cos(2\alpha + 240^\circ)}{2} + \frac{1 + \cos(2\alpha - 240^\circ)}{2}$
$= \frac{1}{2} [3 + \cos 2\alpha + \cos(2\alpha + 240^\circ) + \cos(2\alpha - 240^\circ)]$
$\cos(A+B) + \cos(A-B) = 2\cos A \cos B$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{1}{2} [3 + \cos 2\alpha + 2\cos 2\alpha \cos 240^\circ]$
અહીં $\cos 240^\circ = -1/2$ હોવાથી:
$= \frac{1}{2} [3 + \cos 2\alpha + 2\cos 2\alpha (-1/2)]$
$= \frac{1}{2} [3 + \cos 2\alpha - \cos 2\alpha]$
$= \frac{1}{2} \times 3 = 3/2$.

(B) આપણી પાસે પદાવલિ $\tan {20^\circ} + 2\tan {50^\circ} - \tan {70^\circ}$ છે.
પદાવલિને $(\tan {20^\circ} - \tan {70^\circ}) + 2\tan {50^\circ}$ તરીકે લખો.
$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{\sin {20^\circ}}{\cos {20^\circ}} - \frac{\sin {70^\circ}}{\cos {70^\circ}} + 2\tan {50^\circ}$ મળે.
$= \frac{\sin {20^\circ} \cos {70^\circ} - \cos {20^\circ} \sin {70^\circ}}{\cos {20^\circ} \cos {70^\circ}} + 2\tan {50^\circ}$.
$\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ અને $2\cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{\sin(20^\circ - 70^\circ)}{\frac{1}{2}[\cos(70^\circ + 20^\circ) + \cos(70^\circ - 20^\circ)]} + 2\tan {50^\circ}$.
$= \frac{2\sin(-50^\circ)}{\cos {90^\circ} + \cos {50^\circ}} + 2\tan {50^\circ}$.
$\cos {90^\circ} = 0$ હોવાથી,આ $\frac{-2\sin {50^\circ}}{\cos {50^\circ}} + 2\tan {50^\circ}$ બને છે.
$= -2\tan {50^\circ} + 2\tan {50^\circ} = 0$.

(B) આપેલ છે કે,$\tan x = \frac{b}{a}.$
પદ $\sqrt{\frac{a + b}{a - b}} + \sqrt{\frac{a - b}{a + b}}$ ધ્યાનમાં લો.
વર્ગમૂળની અંદર અંશ અને છેદને $a$ વડે ભાગતા:
$= \sqrt{\frac{1 + \frac{b}{a}}{1 - \frac{b}{a}}} + \sqrt{\frac{1 - \frac{b}{a}}{1 + \frac{b}{a}}}$
$= \sqrt{\frac{1 + \tan x}{1 - \tan x}} + \sqrt{\frac{1 - \tan x}{1 + \tan x}}$
$= \frac{(1 + \tan x) + (1 - \tan x)}{\sqrt{(1 - \tan x)(1 + \tan x)}} = \frac{2}{\sqrt{1 - \tan^2 x}}$
$= \frac{2}{\sqrt{1 - \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}}} = \frac{2\cos x}{\sqrt{\cos^2 x - \sin^2 x}}$
કારણ કે $\cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x,$ તેથી:
$= \frac{2\cos x}{\sqrt{\cos 2x}}.$

(D) આપેલ પદાવલિ: $\frac{\sin 3A - \cos \left( \frac{\pi}{2} - A \right)}{\cos A + \cos (\pi + 3A)}$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos \left( \frac{\pi}{2} - A \right) = \sin A$ અને $\cos (\pi + 3A) = -\cos 3A$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{\sin 3A - \sin A}{\cos A - \cos 3A}$
સરવાળા-ગુણાકારના સૂત્રો $\sin C - \sin D = 2 \cos \left( \frac{C+D}{2} \right) \sin \left( \frac{C-D}{2} \right)$ અને $\cos D - \cos C = 2 \sin \left( \frac{C+D}{2} \right) \sin \left( \frac{C-D}{2} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{2 \cos 2A \sin A}{2 \sin 2A \sin A}$
$= \frac{\cos 2A}{\sin 2A} = \cot 2A$

(A) આપેલ છે કે $\cos (\theta - \alpha ), \cos \theta, \cos (\theta + \alpha )$ એ $H.P.$ માં છે.
તેથી, તેમના વ્યસ્ત $\frac{1}{\cos (\theta - \alpha )}, \frac{1}{\cos \theta}, \frac{1}{\cos (\theta + \alpha )}$ એ $A.P.$ માં છે.
આથી $\frac{2}{\cos \theta} = \frac{1}{\cos (\theta - \alpha )} + \frac{1}{\cos (\theta + \alpha )}$.
સૂત્ર $\cos (A+B) + \cos (A-B) = 2 \cos A \cos B$ નો ઉપયોગ કરતા, $\frac{2}{\cos \theta} = \frac{2 \cos \theta \cos \alpha}{\cos^2 \theta - \sin^2 \alpha}$.
સાદુરૂપ આપતા, $\cos^2 \theta - \sin^2 \alpha = \cos^2 \theta \cos \alpha$.
$\cos^2 \theta (1 - \cos \alpha) = \sin^2 \alpha$.
$1 - \cos \alpha = 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}$ અને $\sin^2 \alpha = 4 \sin^2 \frac{\alpha}{2} \cos^2 \frac{\alpha}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા, $\cos^2 \theta (2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}) = 4 \sin^2 \frac{\alpha}{2} \cos^2 \frac{\alpha}{2}$.
$\cos^2 \theta = 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}$.
$\cos^2 \theta \sec^2 \frac{\alpha}{2} = 2$.
વર્ગમૂળ લેતા, $\cos \theta \sec \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{2}$.

(B) આપેલ છે: $\sin \theta + \sin \phi = a$ $(i)$ અને $\cos \theta + \cos \phi = b$ $(ii)$.
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(\sin \theta + \sin \phi)^2 + (\cos \theta + \cos \phi)^2 = a^2 + b^2$
$1 + 1 + 2 \cos(\theta - \phi) = a^2 + b^2$
$2 \cos(\theta - \phi) = a^2 + b^2 - 2$
$\cos(\theta - \phi) = \frac{a^2 + b^2 - 2}{2}$.
નિત્યસમ $\cos x = \frac{1 - \tan^2(x/2)}{1 + \tan^2(x/2)}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1 - \tan^2(\frac{\theta - \phi}{2})}{1 + \tan^2(\frac{\theta - \phi}{2})} = \frac{a^2 + b^2 - 2}{2}$.
યોગ-વિયોગની રીત વાપરતા:
$\tan^2(\frac{\theta - \phi}{2}) = \frac{4 - a^2 - b^2}{a^2 + b^2}$
$\tan(\frac{\theta - \phi}{2}) = \sqrt{\frac{4 - a^2 - b^2}{a^2 + b^2}}$.

(D) આપેલ છે કે $\sin \beta$ એ $\sin \alpha$ અને $\cos \alpha$ વચ્ચેનો સમગુણોત્તર મધ્યક છે.
તેથી,$\sin^2 \beta = \sin \alpha \cos \alpha.$
હવે,$\cos 2\beta = 1 - 2\sin^2 \beta = 1 - 2\sin \alpha \cos \alpha.$
નિત્યસમ $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos 2\beta = 1 - \sin 2\alpha.$
કારણ કે $1 - \sin 2\alpha = (\cos \alpha - \sin \alpha)^2,$ આપણે લખી શકીએ:
$\cos 2\beta = (\cos \alpha - \sin \alpha)^2 = 2\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos \alpha - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin \alpha\right)^2 = 2\sin^2\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right).$
વળી,નિત્યસમ $\sin \theta = \cos(\frac{\pi}{2} - \theta)$ નો ઉપયોગ કરતા,
$\cos 2\beta = 2\cos^2\left(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{4} - \alpha)\right) = 2\cos^2\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right).$
આમ,$(a)$ અને $(b)$ બંને સાચા છે.

(C) આપેલ છે કે $\tan \beta = \cos \theta \tan \alpha$,તેથી $\cos \theta = \frac{\tan \beta}{\tan \alpha} = \frac{\sin \beta \cos \alpha}{\cos \beta \sin \alpha}$.
સૂત્ર ${\tan ^2}\frac{\theta }{2} = \frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $\cos \theta$ ની કિંમત મૂકીએ:
${\tan ^2}\frac{\theta }{2} = \frac{1 - \frac{\sin \beta \cos \alpha}{\cos \beta \sin \alpha}}{1 + \frac{\sin \beta \cos \alpha}{\cos \beta \sin \alpha}}$
$= \frac{\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta}{\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}$
$= \frac{\sin (\alpha - \beta )}{\sin (\alpha + \beta )}$.

(B) આપેલ છે $\sin \theta + \cos \theta = x.$ બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta = x^2.$
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ હોવાથી,$1 + \sin 2\theta = x^2,$ એટલે કે $\sin 2\theta = x^2 - 1.$
$-1 \le \sin 2\theta \le 1$ હોવાથી,$-1 \le x^2 - 1 \le 1,$ જેનું સાદું રૂપ $0 \le x^2 \le 2$ થાય.
હવે,${\sin ^6}\theta + {\cos ^6}\theta = (\sin^2 \theta)^3 + (\cos^2 \theta)^3$ ધ્યાનમાં લો.
$a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
${\sin ^6}\theta + {\cos ^6}\theta = (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)^3 - 3 \sin^2 \theta \cos^2 \theta (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = 1 - 3 \sin^2 \theta \cos^2 \theta.$
$\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{2} \sin 2\theta$ મૂકતા,$1 - 3(\frac{1}{2} \sin 2\theta)^2 = 1 - \frac{3}{4} \sin^2 2\theta.$
$\sin 2\theta = x^2 - 1$ મૂકતા,$1 - \frac{3}{4}(x^2 - 1)^2 = \frac{1}{4}[4 - 3(x^2 - 1)^2].$
આ નિત્યસમ ત્યારે જ સાચું છે જ્યારે $x^2 \le 2$ હોય.

(B) આપેલ સમીકરણ $25\cos^2\alpha + 5\cos\alpha - 12 = 0$ છે.
ધારો કે $x = \cos\alpha$,તેથી $25x^2 + 5x - 12 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 4(25)(-12)}}{50} = \frac{-5 \pm 35}{50}$.
આથી $x = 3/5$ અથવા $x = -4/5$ મળે.
$\pi/2 < \alpha < \pi$ હોવાથી,$\cos\alpha$ ઋણ હોવું જોઈએ,તેથી $\cos\alpha = -4/5$.
હવે,$\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sqrt{1 - 16/25} = 3/5$ (બીજા ચરણમાં $\sin$ ધન હોય છે).
તેથી,$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha = 2(3/5)(-4/5) = -24/25$.

(A) આપેલ છે કે $2\tan A = 3\tan B$,તેથી $\tan A = \frac{3}{2}\tan B$.
ધારો કે $\tan B = t$,તો $\tan A = \frac{3}{2}t$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 2B = \frac{2t}{1 + t^2}$ અને $\cos 2B = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{\sin 2B}{5 - \cos 2B} = \frac{\frac{2t}{1 + t^2}}{5 - \frac{1 - t^2}{1 + t^2}} = \frac{2t}{5(1 + t^2) - (1 - t^2)} = \frac{2t}{4 + 6t^2} = \frac{t}{2 + 3t^2}$.
હવે,$\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B} = \frac{\frac{3}{2}t - t}{1 + (\frac{3}{2}t)(t)} = \frac{\frac{1}{2}t}{1 + \frac{3}{2}t^2} = \frac{t}{2 + 3t^2}$.
આમ,$\frac{\sin 2B}{5 - \cos 2B} = \tan(A - B)$.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$\sin 2\theta + \sin 2\phi = 1/2$ $(i)$
$\cos 2\theta + \cos 2\phi = 3/2$ $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(\sin 2\theta + \sin 2\phi)^2 + (\cos 2\theta + \cos 2\phi)^2 = (1/2)^2 + (3/2)^2$
$(\sin^2 2\theta + \cos^2 2\theta) + (\sin^2 2\phi + \cos^2 2\phi) + 2(\sin 2\theta \sin 2\phi + \cos 2\theta \cos 2\phi) = 1/4 + 9/4$
$1 + 1 + 2\cos(2\theta - 2\phi) = 10/4$
$2 + 2\cos(2(\theta - \phi)) = 5/2$
$2\cos(2(\theta - \phi)) = 5/2 - 2 = 1/2$
$\cos(2(\theta - \phi)) = 1/4$
નિત્યસમ $\cos 2A = 2\cos^2 A - 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2\cos^2(\theta - \phi) - 1 = 1/4$
$2\cos^2(\theta - \phi) = 1 + 1/4 = 5/4$
$\cos^2(\theta - \phi) = 5/8$

(A) આપેલ પદાવલિ: $E = \cos 2(\theta + \phi) - 4\cos (\theta + \phi)\sin \theta \sin \phi + 2\sin^2 \phi$
$\theta = \frac{\pi}{4}$ અને $\phi = \frac{\pi}{4}$ લેતા:
$E = \cos 2(\frac{\pi}{2}) - 4\cos(\frac{\pi}{2})\sin(\frac{\pi}{4})\sin(\frac{\pi}{4}) + 2\sin^2(\frac{\pi}{4})$
$E = -1 - 0 + 1 = 0$.
વિકલ્પ $(a)$ માં કિંમત મૂકતા: $\cos 2(\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
તેથી,વિકલ્પ $(a)$ સાચો છે.

(B) આપેલ છે: $\sin A + \cos A = \sqrt{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(\sin A + \cos A)^2 = (\sqrt{2})^2$
$\sin^2 A + \cos^2 A + 2 \sin A \cos A = 2$
$1 + \sin 2A = 2$
$\sin 2A = 1 = \sin 90^{\circ}$
$2A = 90^{\circ} \implies A = 45^{\circ}$.
હવે,$\cos^2 A = \cos^2 45^{\circ} = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{2}$.

(B) આપેલ છે: $\tan^2 \theta = 2\tan^2 \phi + 1$
બંને બાજુ $1$ ઉમેરતા: $1 + \tan^2 \theta = 2\tan^2 \phi + 2$
$\Rightarrow \sec^2 \theta = 2(1 + \tan^2 \phi)$
$\Rightarrow \sec^2 \theta = 2\sec^2 \phi$
વ્યસ્ત લેતા: $\cos^2 \theta = \frac{1}{2} \cos^2 \phi$
$\Rightarrow 2\cos^2 \theta = \cos^2 \phi$
નિત્યસમ $\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$2\cos^2 \theta = 1 + \cos 2\theta$ મળે.
વળી,$\cos^2 \phi = 1 - \sin^2 \phi$
આ કિંમતોને $2\cos^2 \theta = \cos^2 \phi$ માં મૂકતા:
$1 + \cos 2\theta = 1 - \sin^2 \phi$
$\Rightarrow \cos 2\theta + \sin^2 \phi = 0$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $1 = \sec^2 A - \tan^2 A$. અંશમાં આ કિંમત મૂકતા:
$\frac{\tan A + \sec A - (\sec^2 A - \tan^2 A)}{\tan A - \sec A + 1}$
$= \frac{(\tan A + \sec A) - (\sec A - \tan A)(\sec A + \tan A)}{\tan A - \sec A + 1}$
$= \frac{(\tan A + \sec A)(1 - (\sec A - \tan A))}{\tan A - \sec A + 1}$
$= \frac{(\tan A + \sec A)(1 - \sec A + \tan A)}{\tan A - \sec A + 1}$
$= \tan A + \sec A$
$= \frac{\sin A}{\cos A} + \frac{1}{\cos A} = \frac{1 + \sin A}{\cos A}$.

(D) આપેલ છે કે $ABCD$ એક ચક્રીય ચતુષ્કોણ છે.
ચક્રીય ચતુષ્કોણમાં સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^\circ$ થાય છે,તેથી $A + C = 180^\circ$ અને $B + D = 180^\circ$ મળે.
$A + C = 180^\circ$ પરથી,$A = 180^\circ - C$ મળે.
તેથી,$\cos A = \cos(180^\circ - C) = -\cos C$,જેનો અર્થ છે કે $\cos A + \cos C = 0$.
તે જ રીતે,$B + D = 180^\circ$ પરથી,$B = 180^\circ - D$ મળે.
તેથી,$\cos B = \cos(180^\circ - D) = -\cos D$,જેનો અર્થ છે કે $\cos B + \cos D = 0$.
આ બંને પરિણામોનો સરવાળો કરતા,$\cos A + \cos B + \cos C + \cos D = 0 + 0 = 0$ મળે.

(D) આપેલ પદાવલિ $S = \sin^2 5^\circ + \sin^2 10^\circ + \dots + \sin^2 85^\circ + \sin^2 90^\circ$ છે.
$5^\circ$ થી $90^\circ$ સુધી $5^\circ$ ના તફાવતે કુલ $18$ પદો છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^2 \theta + \sin^2(90^\circ - \theta) = \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$.
પદોની જોડી બનાવતા: $(\sin^2 5^\circ + \sin^2 85^\circ) + (\sin^2 10^\circ + \sin^2 80^\circ) + \dots + (\sin^2 40^\circ + \sin^2 50^\circ) + \sin^2 45^\circ + \sin^2 90^\circ$.
આવી $8$ જોડીઓ છે,જે દરેકનું મૂલ્ય $1$ થાય છે.
તેથી,સરવાળો $8(1) + \sin^2 45^\circ + \sin^2 90^\circ$ થશે.
કિંમતો મુકતા: $8 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (1)^2 = 8 + \frac{1}{2} + 1 = 9\frac{1}{2}$.

(C) આપેલ પદ: $\sqrt{\csc^2 \alpha + 2\cot \alpha}$
નિત્યસમ $\csc^2 \alpha = 1 + \cot^2 \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \sqrt{1 + \cot^2 \alpha + 2\cot \alpha}$
$= \sqrt{(1 + \cot \alpha)^2} = |1 + \cot \alpha|$
અહીં $\frac{3\pi}{4} < \alpha < \pi$ હોવાથી,ખૂણો $\alpha$ બીજા ચરણમાં છે જ્યાં $\cot \alpha$ ઋણ હોય છે.
ખાસ કરીને,$\alpha \in (\frac{3\pi}{4}, \pi)$ માટે $\cot \alpha < -1$ થાય.
તેથી,$1 + \cot \alpha < 0$.
આમ,$|1 + \cot \alpha| = -(1 + \cot \alpha) = -1 - \cot \alpha$.

(C) આપેલ છે કે $\cos(\theta - \alpha) = a$ અને $\sin(\theta - \beta) = b$.
ધારો કે $x = \theta - \alpha$ અને $y = \theta - \beta$. તેથી $\cos x = a$ અને $\sin y = b$.
નોંધો કે $x - y = (\theta - \alpha) - (\theta - \beta) = \beta - \alpha = -(\alpha - \beta)$.
તેથી,$\cos(\alpha - \beta) = \cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y = a \sqrt{1 - b^2} + b \sqrt{1 - a^2}$.
અને $\sin(\alpha - \beta) = -\sin(x - y) = -(\sin x \cos y - \cos x \sin y) = -(\sqrt{1 - a^2} \sqrt{1 - b^2} - ab) = ab - \sqrt{1 - a^2} \sqrt{1 - b^2}$.
આ કિંમતોને $\cos^2(\alpha - \beta) + 2ab\sin(\alpha - \beta)$ માં મૂકતા:
$= (a \sqrt{1 - b^2} + b \sqrt{1 - a^2})^2 + 2ab(ab - \sqrt{1 - a^2} \sqrt{1 - b^2})$
$= a^2(1 - b^2) + b^2(1 - a^2) + 2ab \sqrt{1 - a^2} \sqrt{1 - b^2} + 2a^2b^2 - 2ab \sqrt{1 - a^2} \sqrt{1 - b^2}$
$= a^2 - a^2b^2 + b^2 - a^2b^2 + 2a^2b^2$
$= a^2 + b^2$.

(A) આપેલ છે કે $\sin x + \text{cosec } x = 2$.
$\text{cosec } x = \frac{1}{\sin x}$ હોવાથી,$\sin x + \frac{1}{\sin x} = 2$ મળે.
ધારો કે $\sin x = t$,તો $t + \frac{1}{t} = 2$,જે $t^2 - 2t + 1 = 0$ આપે છે.
આથી $(t - 1)^2 = 0$,એટલે કે $t = 1$.
તેથી,$\sin x = 1$.
આમ,$\sin^n x + \text{cosec}^n x = (1)^n + (\frac{1}{1})^n = 1 + 1 = 2$.

(B) આપેલ સમીકરણ: ${\cos ^6}\alpha + {\sin ^6}\alpha + K{\sin ^2}2\alpha = 1$ છે.
નિત્યસમ ${a^3} + {b^3} = {(a + b)^3} - 3ab(a + b)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = {\cos ^2}\alpha$ અને $b = {\sin ^2}\alpha$.
તેથી,${\cos ^6}\alpha + {\sin ^6}\alpha = 1 - 3{\cos ^2}\alpha {\sin ^2}\alpha$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ${\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha = \frac{1}{4}{\sin ^2}2\alpha$.
કિંમત મૂકતા: $1 - \frac{3}{4}{\sin ^2}2\alpha + K{\sin ^2}2\alpha = 1$.
આમ,$(K - \frac{3}{4}){\sin ^2}2\alpha = 0$,તેથી $K = \frac{3}{4}$.

(D) ધારો કે $P = \sin \frac{\pi}{14} \sin \frac{3\pi}{14} \sin \frac{5\pi}{14} \sin \frac{7\pi}{14} \sin \frac{9\pi}{14} \sin \frac{11\pi}{14} \sin \frac{13\pi}{14}$.
$\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin \frac{13\pi}{14} = \sin \frac{\pi}{14}$,$\sin \frac{11\pi}{14} = \sin \frac{3\pi}{14}$,અને $\sin \frac{9\pi}{14} = \sin \frac{5\pi}{14}$.
વળી,$\sin \frac{7\pi}{14} = \sin \frac{\pi}{2} = 1$.
તેથી,$P = \left( \sin \frac{\pi}{14} \sin \frac{3\pi}{14} \sin \frac{5\pi}{14} \right)^2 \times 1 = \frac{1}{64}$.

(C) આપેલ પદાવલિ: $\sqrt{3} \csc 20^{\circ} - \sec 20^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{\sin 20^{\circ}} - \frac{1}{\cos 20^{\circ}}$
$= \frac{\sqrt{3} \cos 20^{\circ} - \sin 20^{\circ}}{\sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ}}$
અંશ અને છેદને $2$ વડે ગુણતા:
$= \frac{2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 20^{\circ} - \frac{1}{2} \sin 20^{\circ} \right)}{\frac{1}{2} (2 \sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ})}$
$\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{2 (\sin 60^{\circ} \cos 20^{\circ} - \cos 60^{\circ} \sin 20^{\circ})}{\frac{1}{2} \sin 40^{\circ}}$
$= \frac{4 \sin(60^{\circ} - 20^{\circ})}{\sin 40^{\circ}} = \frac{4 \sin 40^{\circ}}{\sin 40^{\circ}} = 4$.

(C) આપેલ પદાવલિ: $1 + \cos 56^\circ + \cos 58^\circ - \cos 66^\circ $
નિત્યસમ $1 + \cos 2\theta = 2 \cos^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$1 + \cos 56^\circ = 2 \cos^2 28^\circ$ મળે.
હવે,પદાવલિ $2 \cos^2 28^\circ + (\cos 58^\circ - \cos 66^\circ)$ બને છે.
નિત્યસમ $\cos C - \cos D = 2 \sin \frac{C+D}{2} \sin \frac{D-C}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos 58^\circ - \cos 66^\circ = 2 \sin 62^\circ \sin 4^\circ$ મળે.
$\sin 62^\circ = \cos 28^\circ$ હોવાથી,પદાવલિ $2 \cos^2 28^\circ + 2 \cos 28^\circ \sin 4^\circ = 2 \cos 28^\circ (\cos 28^\circ + \sin 4^\circ)$ થાય.
$\sin 4^\circ = \cos 86^\circ$ હોવાથી,$2 \cos 28^\circ (\cos 28^\circ + \cos 86^\circ)$ મળે.
$\cos C + \cos D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$2 \cos 28^\circ [2 \cos 57^\circ \cos 29^\circ]$ મળે.
$\cos 57^\circ = \sin 33^\circ$ હોવાથી,અંતિમ જવાબ $4 \cos 28^\circ \cos 29^\circ \sin 33^\circ$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\alpha, \beta, \gamma \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ માટે,$\sin x > 0$ અને $\cos x < 1$ થાય.
પદાવલિ $E = \sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma - \sin(\alpha + \beta + \gamma)$ ધ્યાનમાં લો.
$\sin(\alpha + \beta + \gamma)$ ના વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$E = \sin \alpha(1 - \cos \beta \cos \gamma) + \sin \beta(1 - \cos \alpha \cos \gamma) + \sin \gamma(1 - \cos \alpha \cos \beta) + \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$.
અહીં $\alpha, \beta, \gamma \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ હોવાથી,$\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma < 1$ છે,તેથી $(1 - \cos \beta \cos \gamma) > 0$,$(1 - \cos \alpha \cos \gamma) > 0$,અને $(1 - \cos \alpha \cos \beta) > 0$ થાય.
આમ,$E > 0$,જે દર્શાવે છે કે $\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma > \sin(\alpha + \beta + \gamma)$.
તેથી,$\frac{\sin(\alpha + \beta + \gamma)}{\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma} < 1$ થાય.

(B) આપેલ સમીકરણ: $a \cos 2\theta + b \sin 2\theta = c$
અડધા ખૂણાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$a \left( \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} \right) + b \left( \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} \right) = c$
$(1 + \tan^2 \theta)$ વડે ગુણતા:
$a(1 - \tan^2 \theta) + 2b \tan \theta = c(1 + \tan^2 \theta)$
$\tan \theta$ ના દ્વિઘાત સમીકરણ તરીકે ગોઠવતા:
$(a + c) \tan^2 \theta - 2b \tan \theta + (c - a) = 0$
અહીં $\tan \alpha$ અને $\tan \beta$ એ આ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ છે.
બીજનો સરવાળો $= -B/A$ સૂત્ર મુજબ:
$\tan \alpha + \tan \beta = - \frac{-2b}{a + c} = \frac{2b}{c + a}$

(B) આપણને $y = a \cos^2 x + 2b \sin x \cos x + c \sin^2 x$ અને $z = a \sin^2 x - 2b \sin x \cos x + c \cos^2 x$ આપેલ છે.
$y$ અને $z$ નો સરવાળો કરતા:
$y + z = a(\cos^2 x + \sin^2 x) + c(\sin^2 x + \cos^2 x) = a(1) + c(1) = a + c$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) આપેલ છે $a \sin^2 x + b \cos^2 x = c$. $\cos^2 x$ વડે ભાગતા,$a \tan^2 x + b = c \sec^2 x = c(1 + \tan^2 x)$ મળે.
તેથી,$(a - c) \tan^2 x = c - b$,જેનો અર્થ છે $\tan^2 x = \frac{b - c}{a - c} = \frac{c - b}{c - a}$.
તે જ રીતે,$b \sin^2 y + a \cos^2 y = d$ માટે,$\cos^2 y$ વડે ભાગતા $b \tan^2 y + a = d(1 + \tan^2 y)$ મળે.
તેથી,$(b - d) \tan^2 y = d - a$,જેનો અર્થ છે $\tan^2 y = \frac{d - a}{b - d} = \frac{a - d}{d - b}$.
આપેલ છે $a \tan x = b \tan y$,તેથી $\frac{\tan x}{\tan y} = \frac{b}{a}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{\tan^2 x}{\tan^2 y} = \frac{b^2}{a^2}$.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{b^2}{a^2} = \frac{(c - b)/(c - a)}{(a - d)/(d - b)} = \frac{(b - c)(d - b)}{(c - a)(a - d)}$.
તેથી,$\frac{a^2}{b^2} = \frac{(c - a)(a - d)}{(b - c)(d - b)}$.

(C) સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos A + \cos B = 2 \cos \left( \frac{A+B}{2} \right) \cos \left( \frac{A-B}{2} \right)$
$\sin A - \sin B = 2 \cos \left( \frac{A+B}{2} \right) \sin \left( \frac{A-B}{2} \right)$
$\sin A + \sin B = 2 \sin \left( \frac{A+B}{2} \right) \cos \left( \frac{A-B}{2} \right)$
$\cos A - \cos B = -2 \sin \left( \frac{A+B}{2} \right) \sin \left( \frac{A-B}{2} \right)$
આ કિંમતો પદમાં મૂકતા:
પ્રથમ પદ: $\left( \frac{2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}}{2 \cos \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}} \right)^n = \cot^n \left( \frac{A-B}{2} \right)$
બીજું પદ: $\left( \frac{2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}}{-2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}} \right)^n = \left( -\cot \left( \frac{A-B}{2} \right) \right)^n = (-1)^n \cot^n \left( \frac{A-B}{2} \right)$
કુલ પદ: $\cot^n \left( \frac{A-B}{2} \right) + (-1)^n \cot^n \left( \frac{A-B}{2} \right)$
જો $n$ એકી હોય,તો $(-1)^n = -1$,તેથી સરવાળો $0$ થાય.
જો $n$ બેકી હોય,તો $(-1)^n = 1$,તેથી સરવાળો $2 \cot^n \left( \frac{A-B}{2} \right)$ થાય.