Work Done by Constant Force Questions in Hindi

(C) बल सदिश $\vec{F}$ को उसके परिमाण और $\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ की दिशा में इकाई सदिश के गुणनफल द्वारा प्राप्त किया जाता है।
इकाई सदिश $\hat{n} = \frac{\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{3}}$.
अतः,$\vec{F} = 30 \times \frac{\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3}(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})\, N$.
विस्थापन सदिश $\vec{S}$ अंतिम और प्रारंभिक स्थिति सदिशों का अंतर है:
$\vec{S} = (3-2)\hat{i} + (5-4)\hat{j} + (2-1)\hat{k} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}\, m$.
किया गया कार्य $W$,$\vec{F}$ और $\vec{S}$ का अदिश गुणनफल है:
$W = \vec{F} \cdot \vec{S} = [10\sqrt{3}(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})] \cdot [\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}]$
$W = 10\sqrt{3} (1 \times 1 + 1 \times 1 + 1 \times 1) = 10\sqrt{3} \times 3 = 30\sqrt{3}\, J$.

(A) विस्थापन सदिश $\vec{s} = -3\hat{i}\, m$ है।
ट्रंक पर कार्य करने वाले बल इस प्रकार हैं:
$\vec{F}_1 = -5\hat{i}\, N$
$\vec{F}_2 = 9\cos(60^\circ)\hat{i} + 9\sin(60^\circ)\hat{j} = 4.5\hat{i} + 4.5\sqrt{3}\hat{j}\, N$
$\vec{F}_3 = -3\hat{j}\, N$
कुल बल $\vec{F}_{net}$ है:
$\vec{F}_{net} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 = (-5 + 4.5)\hat{i} + (4.5\sqrt{3} - 3)\hat{j} = -0.5\hat{i} + (4.5\sqrt{3} - 3)\hat{j}\, N$
कुल कार्य $W$ कुल बल और विस्थापन का अदिश गुणनफल है:
$W = \vec{F}_{net} \cdot \vec{s} = (-0.5\hat{i} + (4.5\sqrt{3} - 3)\hat{j}) \cdot (-3\hat{i})$
$W = (-0.5 \times -3) + (0) = 1.5\, J$.

(A) सड़क द्वारा साइकिल पर किया गया कार्य,सड़क के कारण साइकिल पर लगने वाले अवरोधक (घर्षण) बल द्वारा किया गया कार्य है।
$(a)$ अवरोधक बल और विस्थापन एक-दूसरे के साथ $180^{\circ} \; (\pi \; \text{rad})$ का कोण बनाते हैं। अतः,सड़क द्वारा किया गया कार्य,$W_{r} = F d \cos \theta$
$W_{r} = 200 \times 10 \times \cos(180^{\circ})$
$W_{r} = 2000 \times (-1) = -2000 \; J$
यह ऋणात्मक कार्य ही कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार साइकिल को रोकता है।
$(b)$ न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,साइकिल के कारण सड़क पर समान और विपरीत बल कार्य करता है। इसका परिमाण $200 \; N$ है। हालाँकि,सड़क में कोई विस्थापन नहीं होता है $(d = 0)$। अतः,साइकिल द्वारा सड़क पर किया गया कार्य $W = F \times 0 = 0 \; J$ है।

(D) निकाय पर कार्य करने वाला बल $F = -\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k} \text{ N}$ है।
निकाय का विस्थापन $z$-अक्ष के अनुदिश $4 \text{ m}$ है,इसलिए विस्थापन सदिश $s = 4\hat{k} \text{ m}$ है।
किया गया कार्य $(W)$,बल और विस्थापन का अदिश गुणनफल होता है: $W = F \cdot s$.
$W = (-\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) \cdot (4\hat{k})$.
इकाई सदिशों के गुणों का उपयोग करते हुए $(\hat{i} \cdot \hat{k} = 0, \hat{j} \cdot \hat{k} = 0, \hat{k} \cdot \hat{k} = 1)$:
$W = (-1 \times 0) + (2 \times 0) + (3 \times 4) = 0 + 0 + 12 = 12 \text{ J}$.
अतः,बल द्वारा किया गया कार्य $12 \text{ J}$ है।

(N/A) कार्य: बल के परिमाण और बल की दिशा में हुए विस्थापन के गुणनफल को कार्य कहते हैं।
$\therefore$ कार्य $=$ बल $\times$ विस्थापन
यदि बल और विस्थापन एक ही दिशा में हैं,तो किया गया कार्य धनात्मक होता है। यदि वे विपरीत दिशाओं में हैं,तो किया गया कार्य ऋणात्मक होता है और यदि बल विस्थापन के लंबवत है,तो किया गया कार्य शून्य होता है।
गतिज ऊर्जा: किसी पिंड में उसकी गति के कारण निहित ऊर्जा को गतिज ऊर्जा कहा जाता है।
वैकल्पिक रूप से,किसी पिंड के द्रव्यमान और उसके वेग के वर्ग के गुणनफल के आधे को गतिज ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$\therefore$ गतिज ऊर्जा $= \frac{1}{2} m v^{2}$
जहाँ $m$ पिंड का द्रव्यमान है और $v$ पिंड का वेग है।

(N/A) नियत बल: जब किसी पिंड पर कार्य करने वाले बल का परिमाण और दिशा उसकी गति के दौरान नियत रहते हैं,तो ऐसे बल को नियत बल कहा जाता है।
कार्य: एक नियत बल द्वारा किया गया कार्य बल सदिश $\vec{F}$ और विस्थापन सदिश $\vec{d}$ का अदिश गुणनफल (dot product) होता है।
$\therefore W = \vec{F} \cdot \vec{d} = F d \cos \theta$
जहाँ $F$ बल का परिमाण है,$d$ विस्थापन का परिमाण है,और $\theta$ बल सदिश और विस्थापन सदिश के बीच का कोण है।
यदि विस्थापन आरोपित बल की दिशा में नहीं है,तो कार्य की गणना दो तरीकों से की जा सकती है:
$(1)$ कार्य $=$ (बल) $\times$ (बल की दिशा में विस्थापन का घटक) $= F(d \cos \theta)$
$(2)$ कार्य $=$ (विस्थापन की दिशा में बल का घटक) $\times$ (विस्थापन) $= (F \cos \theta)d$
जैसा कि चित्र में दिखाया गया है,जब बल $\vec{F}$ विस्थापन $\vec{d}$ के साथ $\theta$ कोण पर कार्य करता है:
$(i)$ विस्थापन की दिशा में बल का घटक $F \cos \theta$ है,जो किए गए कार्य के लिए उत्तरदायी है।
$(ii)$ लंबवत घटक $F \sin \theta$ कोई कार्य नहीं करता है क्योंकि यह विस्थापन के लंबवत होता है।

(N/A) कार्य का सामान्य सूत्र $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = F d \cos \theta$ है,जहाँ $\theta$ बल सदिश $\vec{F}$ और विस्थापन सदिश $\vec{d}$ के बीच का कोण है।
$1$. धनात्मक कार्य: यदि बल और विस्थापन के बीच का कोण $\theta$,$0^{\circ} \le \theta < 90^{\circ}$ की सीमा में है,तो $\cos \theta$ धनात्मक होता है। परिणामस्वरूप,किया गया कार्य $W$ धनात्मक होता है। इस स्थिति में,बल वस्तु की गति में सहायता करता है।
$2$. ऋणात्मक कार्य: यदि बल और विस्थापन के बीच का कोण $\theta$,$90^{\circ} < \theta \le 180^{\circ}$ की सीमा में है,तो $\cos \theta$ ऋणात्मक होता है। परिणामस्वरूप,किया गया कार्य $W$ ऋणात्मक होता है। इस स्थिति में,बल वस्तु की गति का विरोध करता है।

(N/A) कार्य को किसी वस्तु पर लगाए गए बल के परिमाण और बल की दिशा में वस्तु के विस्थापन के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,इसे बल सदिश $\vec{F}$ और विस्थापन सदिश $\vec{d}$ के अदिश गुणनफल (dot product) के रूप में व्यक्त किया जाता है:
$W = \vec{F} \cdot \vec{d} = Fd \cos \theta$
जहाँ:
$W$ किया गया कार्य है,
$F$ बल का परिमाण है,
$d$ विस्थापन का परिमाण है,
$\theta$ बल सदिश और विस्थापन सदिश के बीच का कोण है।
कार्य एक अदिश राशि है और इसका $SI$ मात्रक जूल $(J)$ है।

(C) बल एक सदिश राशि है,जिसका अर्थ है कि इसमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं। किसी बल को नियत मानने के लिए,विस्थापन की पूरी प्रक्रिया के दौरान उसका परिमाण और उसकी दिशा दोनों अपरिवर्तित रहने चाहिए। यदि परिमाण या दिशा में से कोई भी बदलता है,तो बल को परिवर्ती बल माना जाता है। इसलिए,सही स्थिति यह है कि बल का परिमाण और दिशा दोनों नियत रहते हैं।

(B) किसी पिंड द्वारा बल के विरुद्ध कार्य करने का अर्थ है कि पिंड का विस्थापन लगाए गए बल की विपरीत दिशा में है।
कार्य का सूत्र $W = F \cdot s \cdot \cos(\theta)$ है,जहाँ $\theta$ बल और विस्थापन के बीच का कोण है।
जब पिंड बल के विरुद्ध गति करता है,तो कोण $\theta = 180^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$W = F \cdot s \cdot \cos(180^{\circ}) = F \cdot s \cdot (-1) = -F \cdot s$।
अतः,किया गया कार्य ऋणात्मक होता है।

(B) बल द्वारा किया गया कार्य $W = F d \cos \theta$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $F$ बल है,$d$ विस्थापन है,और $\theta$ बल और विस्थापन सदिशों के बीच का कोण है।
यहाँ,घर्षण बल $F = 200 \, N$ विस्थापन $d = 10 \, m$ की विपरीत दिशा में कार्य करता है।
इसलिए,कोण $\theta = 180^{\circ}$ (या $\pi$ रेडियन) है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $W = 200 \times 10 \times \cos(180^{\circ})$.
चूँकि $\cos(180^{\circ}) = -1$,हमें $W = 2000 \times (-1) = -2000 \, J$ प्राप्त होता है।

(A) किया गया कार्य धनात्मक होता है।
इसका कारण यह है कि मुक्त रूप से गिरती हुई वस्तु का विस्थापन गुरुत्वाकर्षण बल की दिशा में ही होता है।
कार्य के सूत्र $W = F \cdot d \cdot \cos(\theta)$ के अनुसार,जहाँ $\theta$ बल और विस्थापन के बीच का कोण है।
चूंकि गुरुत्वाकर्षण बल और विस्थापन दोनों नीचे की ओर निर्देशित हैं,इसलिए $\theta = 0^\circ$ है।
अतः,$W = F \cdot d \cdot \cos(0^\circ) = F \cdot d$,जो कि धनात्मक है।

(N/A) बल $\overrightarrow{F}$ द्वारा विस्थापन $d\overrightarrow{l}$ पर किया गया कार्य $dW = \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{l}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि किया गया कार्य शून्य है,इसलिए $\overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{l} = 0$ है।
चूंकि वेग को $\vec{v} = \frac{d\overrightarrow{l}}{dt}$ के रूप में परिभाषित किया गया है,हम $d\overrightarrow{l} = \vec{v} dt$ लिख सकते हैं।
इसे कार्य के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\overrightarrow{F} \cdot (\vec{v} dt) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $dt \neq 0$,इसलिए $\overrightarrow{F} \cdot \vec{v} = 0$ होता है।
इसका अर्थ है कि बल $\overrightarrow{F}$ को हमेशा कण के वेग सदिश $\vec{v}$ के लंबवत होना चाहिए।
यदि कण अपनी गति की दिशा बदलता है,तो वेग सदिश $\vec{v}$ बदल जाता है।
$\overrightarrow{F} \cdot \vec{v} = 0$ की स्थिति को बनाए रखने के लिए (अर्थात $\overrightarrow{F}$ और $\vec{v}$ के बीच का कोण $\theta = 90^{\circ}$ रहे),बल $\overrightarrow{F}$ की दिशा को भी $\vec{v}$ की दिशा में परिवर्तन के अनुसार बदलना होगा।
इसलिए,बल को वेग-आश्रित होना चाहिए।

(B) जब किसी वस्तु पर बल लगाया जाता है,तो कार्य होने के लिए यह आवश्यक है कि वस्तु का विस्थापन उस दिशा में हो जो लगाए गए बल की दिशा के लंबवत न हो। गणितीय रूप से,कार्य को $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = Fd \cos \theta$ के रूप में परिभाषित किया जाता है। कार्य $W \neq 0$ होने के लिए,विस्थापन $\vec{d}$ का बल $\vec{F}$ की दिशा में एक घटक होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $\theta \neq 90^{\circ}$।

(C) कार्य $(W)$ को सूत्र $W = F \cdot d \cdot \cos(\theta)$ द्वारा परिभाषित किया जाता है,जहाँ $F$ लगाया गया बल है,$d$ विस्थापन है,और $\theta$ बल और विस्थापन के बीच का कोण है।
चूंकि दोनों पिंडों के लिए बल $(F)$ और विस्थापन $(d)$ समान हैं,और यदि हम यह मान लें कि बल विस्थापन की दिशा में ही लगाया गया है $(\theta = 0^\circ)$,तो किया गया कार्य $W = F \cdot d$ होगा।
चूंकि $F$ और $d$ दोनों पिंडों के लिए समान हैं,इसलिए उनके द्रव्यमान पर ध्यान दिए बिना दोनों पर किया गया कार्य समान होगा।

(B) एक नियत बल $\vec{F}$ द्वारा विस्थापन $\vec{d}$ के दौरान किया गया कार्य $W$,बल और विस्थापन के अदिश गुणनफल (dot product) द्वारा दिया जाता है: $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$.
यहाँ बल सदिश $\vec{F} = (-1, 2, 3) \,N$ है।
विस्थापन $X$-अक्ष की दिशा में $4 \,m$ है,इसलिए विस्थापन सदिश $\vec{d} = (4, 0, 0) \,m$ होगा।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर:
$W = (-1 \times 4) + (2 \times 0) + (3 \times 0)$
$W = -4 + 0 + 0 = -4 \,J$.
अतः,बल द्वारा किया गया कार्य $-4 \,J$ है।

(N/A) पिंड को ऊपर की दिशा में उठाने के लिए उस पर बल लगाया जाता है और पिंड का विस्थापन भी ऊपर की दिशा में ही होता है।
चूँकि आरोपित बल और विस्थापन के बीच का कोण $0^{\circ}$ है,इसलिए आरोपित बल द्वारा किया गया कार्य $W = F d \cos 0^{\circ} = F d$ होगा,जो धनात्मक है।
$(b)$ गुरुत्वाकर्षण बल नीचे की दिशा में कार्य करता है,जबकि विस्थापन ऊपर की दिशा में होता है।
चूँकि गुरुत्वाकर्षण बल और विस्थापन के बीच का कोण $180^{\circ}$ है,इसलिए गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा किया गया कार्य $W = F d \cos 180^{\circ} = -F d$ होगा,जो ऋणात्मक है।

(A) गुरुत्वाकर्षण बल कार पर ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है,जबकि कार एक क्षैतिज सड़क पर चल रही है। इसलिए,गुरुत्वाकर्षण बल और विस्थापन के बीच का कोण $\theta = 90^{\circ}$ है।
कार्य का सूत्र $W = F d \cos \theta$ है।
मान रखने पर,हमें $W = F d \cos 90^{\circ}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\cos 90^{\circ} = 0$ है,इसलिए किया गया कार्य $W = 0\,J$ है।
अतः,गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध कार द्वारा किया गया कार्य $0\,J$ है क्योंकि विस्थापन गुरुत्वाकर्षण बल के लंबवत है।

(N/A) दिया गया है: वयस्क का वजन $W = mg = 600 \, N$,प्रति कदम उठाई गई ऊँचाई $h = 0.25 \, m$,कदम की लंबाई $l = 1 \, m$,कुल दूरी $d = 6 \, km = 6000 \, m$.
कुल कदमों की संख्या $n = \frac{d}{l} = \frac{6000 \, m}{1 \, m} = 6000$.
प्रति कदम उपयोग की गई ऊर्जा $E_{step} = mgh = 600 \, N \times 0.25 \, m = 150 \, J$.
जॉगिंग में उपयोग की गई कुल ऊर्जा $E_{total} = n \times E_{step} = 6000 \times 150 \, J = 9 \times 10^5 \, J$.
यह दिया गया है कि शरीर भोजन से प्राप्त ऊर्जा का $10 \, \%$ कार्य में परिवर्तित करता है,मान लीजिए $E_{food}$ कुल ली गई ऊर्जा है।
$0.10 \times E_{food} = 9 \times 10^5 \, J$.
$E_{food} = \frac{9 \times 10^5}{0.10} = 9 \times 10^6 \, J$.

(A) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,ब्लॉक पर किया गया कुल कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W_{\text{total}} = \Delta K$
$W_F + W_{\text{spring}} = K_f - K_i$
यहाँ,स्थिर बल $F$ द्वारा किया गया कार्य $W_F = Fx$ है।
स्प्रिंग बल द्वारा किया गया कार्य $W_{\text{spring}} = -\frac{1}{2} k x^2$ है।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = 0$ (क्योंकि यह विरामावस्था से शुरू होता है) और अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2} m v^2$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$Fx - \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} m v^2 - 0$
$Fx - \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} m v^2$
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर:
$2Fx - k x^2 = m v^2$
$v^2 = \frac{2Fx - k x^2}{m}$
$v = \sqrt{\frac{2Fx - k x^2}{m}}$

(A) दिया गया है कि दोनों व्यक्तियों द्वारा किया गया कार्य समान है: $W_A = W_B$.
कार्य का सूत्र $W = Fd \cos \theta$ होता है।
व्यक्ति $A$ के लिए: $W_A = F_A d \cos 45^{\circ}$.
व्यक्ति $B$ के लिए: $W_B = F_B d \cos 60^{\circ}$.
दोनों को बराबर करने पर: $F_A d \cos 45^{\circ} = F_B d \cos 60^{\circ}$.
$\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$ का मान रखने पर:
$F_A \times \frac{1}{\sqrt{2}} = F_B \times \frac{1}{2}$.
अनुपात $\frac{F_A}{F_B}$ के लिए व्यवस्थित करने पर:
$\frac{F_A}{F_B} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
इसकी तुलना $\frac{1}{\sqrt{x}}$ से करने पर,हमें $x = 2$ प्राप्त होता है।

(D) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किसी वस्तु पर किया गया कुल कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
चूंकि सूटकेस एकसमान वेग से गति कर रहा है,इसलिए गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta K.E. = 0$ है।
अतः,सभी बलों द्वारा किया गया कुल कार्य $W_{\text{Porter}} + W_{\text{gravity}} = 0$ है।
इसका अर्थ है कि $W_{\text{Porter}} = -W_{\text{gravity}}$।
गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य $W_{\text{gravity}} = mgh$ है,जहाँ $h$ विस्थापन है।
यहाँ,$m = 80\, \text{kg}$,$g = 9.8\, \text{m/s}^2$,और $h = 80\, \text{cm} = 0.8\, \text{m}$ है।
चूंकि कुली सूटकेस को नीचे उतार रहा है,कुली द्वारा लगाया गया बल ऊपर की ओर है जबकि विस्थापन नीचे की ओर है।
$W_{\text{Porter}} = -mgh = -(80) \times (9.8) \times (0.8) = -627.2\, \text{J}$।

(A) सही विकल्प $A$ है।
चूंकि बल $\vec{F}$ कण के वेग $\vec{V}$ के लंबवत है,इसलिए गति की दिशा में बल का घटक शून्य होता है $(F \cos 90^{\circ} = 0)$।
न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार,चाल में परिवर्तन की दर बल के स्पर्शरेखीय घटक पर निर्भर करती है। चूंकि यह घटक शून्य है,इसलिए कण की चाल स्थिर रहती है।
हालाँकि,बल वेग सदिश की दिशा में परिवर्तन का कारण बनता है,जिसका अर्थ है कि वेग एकसमान नहीं है। परिणामस्वरूप,चूंकि संवेग $\vec{p} = m\vec{v}$ होता है,इसलिए वेग की दिशा बदलने के कारण संवेग भी बदल जाता है।

(D) बल $\vec{F}$ एक नियत बल है जो $\vec{F} = (3 \hat{i} + 4 \hat{j}) \;N$ द्वारा दिया गया है।
कण मूल बिंदु $(0,0) \;m$ से $(4,0) \;m$ तक और फिर $(4,3) \;m$ तक गति करता है। कुल विस्थापन सदिश $\vec{d}$ प्रारंभिक स्थिति $(0,0)$ से अंतिम स्थिति $(4,3)$ तक का सदिश है,जो $\vec{d} = (4 \hat{i} + 3 \hat{j}) \;m$ है।
चूंकि बल नियत है,किया गया कार्य $W$ बल और विस्थापन सदिश के अदिश गुणन (dot product) द्वारा प्राप्त होता है:
$W = \vec{F} \cdot \vec{d}$
$W = (3 \hat{i} + 4 \hat{j}) \cdot (4 \hat{i} + 3 \hat{j})$
$W = (3 \times 4) + (4 \times 3)$
$W = 12 + 12 = 24 \;J$.
अतः,किया गया कुल कार्य $24 \;J$ है।

(B) प्रक्षेप्य द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
ऊपर की ओर गति के दौरान,कण का विस्थापन ऊपर की दिशा में होता है,जबकि गुरुत्वाकर्षण बल $(F_g = mg)$ नीचे की दिशा में कार्य करता है।
इसलिए,गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य $W = F_g \cdot H \cdot \cos(180^{\circ})$ है।
$W = -mg \times \left( \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} \right)$.
$W = -\frac{m u^2 \sin^2 \theta}{2}$.

(D) न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,ब्लॉक पर लगने वाला कुल बल $F_{net} = T - mg = ma$ है।
चूंकि त्वरण $a = \frac{g}{3}$ दिया गया है,हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$T - mg = m(\frac{g}{3})$
$T = mg + \frac{mg}{3} = \frac{4}{3} mg$
चूंकि तनाव $T$ विस्थापन $h$ की दिशा में ही कार्य करता है,इसलिए तनाव द्वारा किया गया कार्य $W = T \cdot h$ होगा।
$W = (\frac{4}{3} mg) \cdot h = \frac{4}{3} mgh$.

(C) किसी बल द्वारा किया गया कार्य $W = F \cdot s \cdot \cos(\theta)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $F$ लगाया गया बल है,$s$ विस्थापन है,और $\theta$ बल और विस्थापन सदिश के बीच का कोण है।
जब कोई व्यक्ति अपने सिर पर भार ढोता है,तो उसे गुरुत्वाकर्षण का मुकाबला करने के लिए भार के वजन $(F = mg)$ के बराबर ऊपर की ओर बल लगाना पड़ता है।
यदि वह भार को क्षैतिज रूप से ले जाता है,तो विस्थापन गुरुत्वाकर्षण बल (जो बल वह भार को पकड़े रखने के लिए लगाता है) के लंबवत होता है,इसलिए $\theta = 90^\circ$ होता है। चूँकि $\cos(90^\circ) = 0$ होता है,इसलिए गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य $0$ होता है।
यदि वह भार को लंबवत ऊपर की ओर उठाता है,तो विस्थापन लगाए गए बल की दिशा में ही होता है,इसलिए $\theta = 0^\circ$ होता है। चूँकि $\cos(0^\circ) = 1$ होता है,इसलिए किया गया कार्य $W = F \cdot s = mgs$ होता है।
अतः,अधिकतम कार्य तब किया जाता है जब वह भार को लंबवत ऊपर की ओर उठाता है।

(C) एक निरंतर बल द्वारा किया गया कार्य बल और विस्थापन का अदिश गुणनफल होता है: $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = F d \cos \theta$.
चूंकि बल $F$ निरंतर और क्षैतिज है,इसलिए किया गया कार्य $W = F \times (\text{क्षैतिज विस्थापन})$ होगा।
वृत्ताकार चाप की ज्यामिति से,ब्लॉक का $A$ से $B$ तक जाने में क्षैतिज विस्थापन $d = R \sin 60^{\circ}$ है।
$\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ का मान रखने पर,हमें क्षैतिज विस्थापन $d = R \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ प्राप्त होता है।
अतः,किया गया कार्य $W = F \times \left(R \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} F R$ है।
इस प्रकार,सही विकल्प $C$ है।

(C) न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,ब्लॉक पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net} = ma$ है।
चूंकि ब्लॉक को ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर खींचा जा रहा है,इसलिए इस पर कार्य करने वाले बल तनाव $T$ (ऊपर की ओर) और भार $mg$ (नीचे की ओर) हैं।
अतः,$T - mg = ma$.
दिया गया है कि त्वरण $a = \frac{g}{4}$ है,इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$T - mg = m\left(\frac{g}{4}\right)$
$T = mg + \frac{mg}{4} = \frac{5}{4}mg$.
तनाव $T$ द्वारा किया गया कार्य $W = T \cdot h \cdot \cos(0^\circ)$ है,क्योंकि विस्थापन तनाव की दिशा में ही है।
$W = \left(\frac{5}{4}mg\right) \cdot h = \frac{5}{4}mgh$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किसी वस्तु पर कुल बल द्वारा किया गया कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W = \Delta K = K_f - K_i$
चूंकि वस्तु विराम अवस्था से शुरू होती है,इसलिए प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = 0$ है।
एक नियत बल $F$ द्वारा $d$ दूरी तक किया गया कार्य $W = F \cdot d$ है।
अतः,$K_f = F \cdot d$।
यहाँ $F$ और $d$ नियत हैं,इसलिए गतिज ऊर्जा $K_f$ वस्तु के द्रव्यमान $m$ से स्वतंत्र है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) एक स्थिर बल $\vec{F}$ द्वारा किया गया कार्य $W$,बल और विस्थापन सदिश $\vec{d} = \vec{r}_f - \vec{r}_i$ के अदिश गुणनफल (dot product) द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है:
बल $\vec{F} = 5 \hat{i} + 2 \hat{j} + 7 \hat{k} \text{ N}$
प्रारंभिक स्थिति $\vec{r}_i = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} - 4 \hat{k}$
अंतिम स्थिति $\vec{r}_f = 5 \hat{i} - 2 \hat{j} + \hat{k}$
विस्थापन $\vec{d} = \vec{r}_f - \vec{r}_i = (5-2) \hat{i} + (-2-3) \hat{j} + (1 - (-4)) \hat{k} = 3 \hat{i} - 5 \hat{j} + 5 \hat{k}$
किया गया कार्य $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = (5 \hat{i} + 2 \hat{j} + 7 \hat{k}) \cdot (3 \hat{i} - 5 \hat{j} + 5 \hat{k})$
$W = (5 \times 3) + (2 \times -5) + (7 \times 5)$
$W = 15 - 10 + 35 = 40 \text{ J}$.

(A) गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन द्वारा दिया जाता है,जो $W = mgh$ है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है,और $h$ ऊर्ध्वाधर विस्थापन है।
दोनों मामलों में,द्रव्यमान $m = 50 \ kg$ और ऊर्ध्वाधर ऊंचाई $h = 20 \ m$ समान हैं।
चूंकि गुरुत्वाकर्षण एक संरक्षी बल है,इसलिए इसके विरुद्ध किया गया कार्य केवल प्रारंभिक और अंतिम ऊर्ध्वाधर स्थितियों पर निर्भर करता है,न कि अपनाए गए पथ पर।
इसलिए,स्थिति-$1$ में किया गया कार्य $W_1 = mgh = 50 \times g \times 20 = 1000g \ J$ है।
स्थिति-$2$ में किया गया कार्य भी $W_2 = mgh = 50 \times g \times 20 = 1000g \ J$ है।
किए गए कार्य का अनुपात $W_1 : W_2 = 1000g : 1000g = 1: 1$ है।
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(B) किया गया कार्य $(W)$ बल $(\vec{F})$ और विस्थापन $(\vec{S})$ का अदिश गुणनफल होता है: $W = \vec{F} \cdot \vec{S}$.
दिया गया है $\vec{F} = 2\hat{i} + b\hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{S} = \hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}$.
चूंकि किया गया कार्य शून्य है, $W = (2\hat{i} + b\hat{j} + \hat{k}) \cdot (\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}) = 0$.
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $(2)(1) + (b)(-2) + (1)(-1) = 0$.
$2 - 2b - 1 = 0$.
$1 - 2b = 0$.
$2b = 1$.
अतः, $b = \frac{1}{2}$.

(A) लटकते हुए भाग का द्रव्यमान $m' = \frac{m}{\ell} \times \frac{2 \ell}{5} = \frac{2m}{5}$ है।
लटकते हुए भाग का द्रव्यमान केंद्र मेज के किनारे से $h = \frac{1}{2} \times \frac{2 \ell}{5} = \frac{\ell}{5}$ की दूरी पर नीचे है।
लटकते हुए भाग को मेज पर खींचने के लिए किया गया कार्य,लटकते हुए भाग की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W = m'gh = \left( \frac{2m}{5} \right) g \left( \frac{\ell}{5} \right) = \frac{2mg \ell}{25}$.

(B) बल $\vec{F}$ द्वारा विस्थापन $\vec{s}$ के दौरान किया गया कार्य $W$ अदिश गुणनफल द्वारा दिया जाता है: $W = \vec{F} \cdot \vec{s}$.
दिया गया है,$\vec{F} = -5 \hat{i} - 7 \hat{j} + 3 \hat{k}$ और $\vec{s} = 3 \hat{i} - 2 \hat{j} + a \hat{k}$.
सूत्र में मान रखने पर:
$14 = (-5 \hat{i} - 7 \hat{j} + 3 \hat{k}) \cdot (3 \hat{i} - 2 \hat{j} + a \hat{k})$
$14 = (-5)(3) + (-7)(-2) + (3)(a)$
$14 = -15 + 14 + 3a$
$14 = -1 + 3a$
$15 = 3a$
$a = 5$.

(C) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किसी वस्तु पर कुल बल द्वारा किया गया कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W = \Delta K.E.$
चूंकि पिंड विराम अवस्था से चलना शुरू करता है,इसलिए प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $0$ है।
$W = K.E._{final} - 0 = K.E._{final}$
एक नियत बल $F$ द्वारा $d$ दूरी तय करने में किया गया कार्य $W = F \cdot d$ होता है।
अतः,$K.E. = F \cdot d$।
चूंकि बल $F$ और दूरी $d$ नियत हैं,इसलिए प्राप्त गतिज ऊर्जा पिंड के द्रव्यमान $M$ से स्वतंत्र है।

(D) विस्थापन सदिश $\vec{d}$ को $\vec{d} = \vec{r}_Q - \vec{r}_P$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\vec{r}_P = (3 \hat{i} + 4 \hat{j} + 5 \hat{k}) \ m$ और $\vec{r}_Q = (2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k}) \ m$ दिया गया है।
अतः,$\vec{d} = (2-3) \hat{i} + (3-4) \hat{j} + (4-5) \hat{k} = (-1 \hat{i} - 1 \hat{j} - 1 \hat{k}) \ m$।
एक स्थिर बल $\vec{F}$ द्वारा किया गया कार्य $W$,डॉट प्रोडक्ट $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$ द्वारा दिया जाता है।
$W = (3 \hat{i} + 4 \hat{j} + 5 \hat{k}) \cdot (-1 \hat{i} - 1 \hat{j} - 1 \hat{k})$।
$W = (3 \times -1) + (4 \times -1) + (5 \times -1) = -3 - 4 - 5 = -12 \ J$।

(D) एक स्थिर बल $F$ द्वारा किया गया कार्य $W$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $W = F \cdot S \cdot \cos(\theta)$, जहाँ $S$ विस्थापन है और $\theta$ बल और विस्थापन के बीच का कोण है।
दिया गया है:
बल $F = 30 \,kg-wt = 30 \times 9.8 \,N = 294 \,N$
विस्थापन $S = 20 \,m$
कोण $\theta = 60^{\circ}$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$W = 294 \times 20 \times \cos(60^{\circ})$
चूँकि $\cos(60^{\circ}) = 0.5$, हमें प्राप्त होता है:
$W = 294 \times 20 \times 0.5$
$W = 294 \times 10 = 2940 \,J$
अतः, माली द्वारा किया गया कार्य $2940 \,J$ है।

(C) किसी बल द्वारा किया गया कार्य $W = \vec{F} \cdot \vec{s} = Fs \cos \theta$ के रूप में परिभाषित होता है,जहाँ $\theta$ बल और विस्थापन के बीच का कोण है।
इस स्थिति में,अभिलंब प्रतिक्रिया बल $N$ ऊर्ध्वाधर रूप से ऊपर की ओर कार्य करता है,जो क्षैतिज सतह के लंबवत है।
ब्लॉक का विस्थापन $s$ क्षैतिज सतह के अनुदिश है।
अतः,अभिलंब प्रतिक्रिया $N$ और विस्थापन $s$ के बीच का कोण $\theta = 90^\circ$ है।
चूँकि $\cos 90^\circ = 0$ होता है,इसलिए अभिलंब प्रतिक्रिया द्वारा किया गया कार्य $W = Ns \cos 90^\circ = 0$ होगा।

(C) एक स्थिर बल $\vec{F}$ द्वारा किया गया कार्य $W$,बल और विस्थापन के अदिश गुणनफल (dot product) द्वारा दिया जाता है: $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$.
सबसे पहले,विस्थापन सदिश $\vec{d} = \vec{r_2} - \vec{r_1}$ की गणना करें।
$\vec{d} = (6 - 3) \hat{\imath} + (-1 - 2) \hat{\jmath} + (4 - (-1)) \hat{k} = 3 \hat{\imath} - 3 \hat{\jmath} + 5 \hat{k} \text{ m}$.
अब,किए गए कार्य की गणना करें:
$W = (5 \hat{\imath} - 2 \hat{\jmath} + 3 \hat{k}) \cdot (3 \hat{\imath} - 3 \hat{\jmath} + 5 \hat{k})$.
$W = (5 \times 3) + (-2 \times -3) + (3 \times 5) = 15 + 6 + 15 = 36 \text{ J}$.

(B) हम जानते हैं कि किया गया कार्य $W$,बल $\vec{F}$ और विस्थापन $\vec{d}$ का अदिश गुणनफल (dot product) होता है।
दिया गया है,बल $\vec{F} = 2 \hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$।
वस्तु मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से स्थिति सदिश $\vec{r} = 3 \hat{i} + 2 \hat{j} - 5 \hat{k}$ तक जाती है,इसलिए विस्थापन $\vec{d} = \vec{r} - 0 = 3 \hat{i} + 2 \hat{j} - 5 \hat{k}$ है।
अदिश गुणनफल के गुण $\hat{i} \cdot \hat{i} = \hat{j} \cdot \hat{j} = \hat{k} \cdot \hat{k} = 1$ और $\hat{i} \cdot \hat{j} = \hat{j} \cdot \hat{k} = \hat{k} \cdot \hat{i} = 0$ का उपयोग करते हुए:
$W = \vec{F} \cdot \vec{d} = (2 \hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) \cdot (3 \hat{i} + 2 \hat{j} - 5 \hat{k})$
$W = (2 \times 3) + (-1 \times 2) + (-1 \times -5)$
$W = 6 - 2 + 5 = 9 \text{ units}$.

(D) एक अचर बल $\vec{F}$ द्वारा किया गया कार्य $W$,बल सदिश और विस्थापन सदिश $\vec{d}$ के अदिश गुणनफल (dot product) द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\vec{F} = (3 \hat{i} - 2 \hat{j}) \text{ N}$.
प्रारंभिक स्थिति सदिश $\vec{r}_1 = (1 \hat{i} + 2 \hat{j}) \text{ m}$ है।
अंतिम स्थिति सदिश $\vec{r}_2 = (2 \hat{i} + 0 \hat{j}) \text{ m}$ है।
विस्थापन सदिश $\vec{d} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1 = (2-1) \hat{i} + (0-2) \hat{j} = (1 \hat{i} - 2 \hat{j}) \text{ m}$ है।
किया गया कार्य $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = (3 \hat{i} - 2 \hat{j}) \cdot (1 \hat{i} - 2 \hat{j})$.
$W = (3 \times 1) + (-2 \times -2) = 3 + 4 = 7 \text{ J}$.

(A) एक स्थिर बल $\vec{F}$ द्वारा किया गया कार्य $W$, बल सदिश और विस्थापन सदिश $\vec{d}$ के अदिश गुणनफल (dot product) द्वारा प्राप्त होता है।
दिया गया बल $\vec{F} = (2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k}) \text{ N}$ है।
प्रारंभिक स्थिति सदिश $\vec{r}_1 = (3 \hat{i} - 4 \hat{k}) \text{ m}$ है।
अंतिम स्थिति सदिश $\vec{r}_2 = (2 \hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}) \text{ m}$ है।
विस्थापन सदिश $\vec{d} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1 = (2 - 3) \hat{i} + (2 - 0) \hat{j} + (3 - (-4)) \hat{k} = (-1 \hat{i} + 2 \hat{j} + 7 \hat{k}) \text{ m}$ है।
किया गया कार्य $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = (2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k}) \cdot (-1 \hat{i} + 2 \hat{j} + 7 \hat{k})$.
$W = (2 \times -1) + (3 \times 2) + (4 \times 7) = -2 + 6 + 28 = 32 \text{ J}$.

(C) एक अचर बल $\vec{F}$ द्वारा विस्थापन $\vec{d}$ के दौरान किया गया कार्य $W$,बल और विस्थापन सदिशों के अदिश गुणनफल (dot product) द्वारा दिया जाता है:
$W = \vec{F} \cdot \vec{d}$
दिया गया है:
$\vec{F} = (3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 5 \hat{k}) \text{ N}$
$\vec{d} = (2 \hat{i} + 2 \hat{j} + 1 \hat{k}) \text{ m}$
अदिश गुणनफल की गणना करने पर:
$W = (3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 5 \hat{k}) \cdot (2 \hat{i} + 2 \hat{j} + 1 \hat{k})$
$W = (3 \times 2) + (2 \times 2) + (5 \times 1)$
$W = 6 + 4 + 5$
$W = 15 \text{ J}$
अतः,किया गया कार्य $15 \text{ J}$ है।

(B) दिया गया बल $\vec{F} = (4 \hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k}) \text{ N}$.
प्रारंभिक स्थिति $\vec{r_1} = (2 \hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k}) \text{ m}$.
अंतिम स्थिति $\vec{r_2} = (4 \hat{i} + 3 \hat{j} + 2 \hat{k}) \text{ m}$.
विस्थापन $\vec{S} = \vec{r_2} - \vec{r_1} = (4-2) \hat{i} + (3-2) \hat{j} + (2-1) \hat{k} = (2 \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \text{ m}$.
किया गया कार्य $W = \vec{F} \cdot \vec{S}$.
$W = (4 \hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k}) \cdot (2 \hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$.
$W = (4 \times 2) + (2 \times 1) + (1 \times 1) = 8 + 2 + 1 = 11 \text{ J}$.

(A) दिया गया है:
ब्लॉक का द्रव्यमान,$m = 2 \,kg$
झुकाव का कोण,$\theta = 30^{\circ}$
तय की गई दूरी,$d = 4 \,m$
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 10 \,ms^{-2}$
चूंकि ब्लॉक को स्थिर गति से खींचा जा रहा है,इसलिए झुके हुए समतल के अनुदिश ब्लॉक पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य है。
अतः,रस्से में तनाव $T$ को समतल के नीचे की ओर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल के घटक को संतुलित करना होगा:
$T = mg \sin \theta$
$T = 2 \times 10 \times \sin 30^{\circ}$
$T = 20 \times 0.5 = 10 \,N$
तनाव द्वारा किया गया कार्य $W$ इस प्रकार है:
$W = T \times d \times \cos(0^{\circ})$
$W = 10 \,N \times 4 \,m \times 1$
$W = 40 \,J$

(B) दिया गया विस्थापन समीकरण: $s = \frac{t^2}{4}$.
पिंड का वेग: $v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{t^2}{4}) = \frac{2t}{4} = \frac{t}{2} \ m/s$.
पिंड का त्वरण: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{t}{2}) = \frac{1}{2} \ m/s^2$.
पिंड पर कार्य करने वाला बल: $F = m \times a = 8 \ kg \times 0.5 \ m/s^2 = 4 \ N$.
$t = 0 \ s$ पर,विस्थापन $s(0) = 0 \ m$.
$t = 4 \ s$ पर,विस्थापन $s(4) = \frac{4^2}{4} = 4 \ m$.
बल द्वारा किया गया कार्य: $W = F \times \Delta s = 4 \ N \times (4 \ m - 0 \ m) = 16 \ J$.

(C) एक स्थिर बल द्वारा किया गया कार्य निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$W = F s \cos \theta$
जहाँ $F$ लगाया गया बल है,$s$ विस्थापन है,और $\theta$ बल और विस्थापन की दिशा के बीच का कोण है।
यदि $\theta = 0^{\circ}$ है,तो $W = F s \cos 0^{\circ} = F s$ (धनात्मक)।
यदि $\theta = 90^{\circ}$ है,तो $W = F s \cos 90^{\circ} = 0$ (शून्य)।
यदि $\theta = 180^{\circ}$ है,तो $W = F s \cos 180^{\circ} = -F s$ (ऋणात्मक)।
अतः,किया गया कार्य धनात्मक,ऋणात्मक या शून्य हो सकता है।

(A) एक स्थिर बल $F$ द्वारा किया गया कार्य $W$,बल सदिश और विस्थापन सदिश के अदिश गुणनफल (dot product) द्वारा दिया जाता है: $W = F \cdot s$।
दिया गया है:
$F = (5 \hat{i} + 4 \hat{j}) \text{ N}$
$s = (6 \hat{i} - 5 \hat{j} + 3 \hat{k}) \text{ m}$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$W = (5 \hat{i} + 4 \hat{j} + 0 \hat{k}) \cdot (6 \hat{i} - 5 \hat{j} + 3 \hat{k})$
$W = (5 \times 6) + (4 \times -5) + (0 \times 3)$
$W = 30 - 20 + 0$
$W = 10 \text{ J}$
अतः,बल द्वारा किया गया कार्य $10 \text{ J}$ है।