Areas of Sector and Segment of a Circle Questions in Gujarati

(B) આ વિધાન અસત્ય છે.
ધારો કે બે વર્તુળોની ત્રિજ્યાઓ $r_1$ અને $r_2$ છે અને ચાપની લંબાઈ $l_1$ અને $l_2$ છે. આપેલ છે કે ચાપની લંબાઈ સમાન છે,તેથી $l_1 = l_2 = l$.
ચાપની લંબાઈનું સૂત્ર $l = r \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ રેડિયનમાં ખૂણો છે.
વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} r^2 \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $l = r \theta$,આપણે $\theta = \frac{l}{r}$ લખી શકીએ છીએ.
આ કિંમતને ક્ષેત્રફળના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $A = \frac{1}{2} r^2 (\frac{l}{r}) = \frac{1}{2} rl$ મળે છે.
સમાન ચાપ લંબાઈ $l$ ધરાવતા બે અલગ-અલગ વર્તુળો માટે,ક્ષેત્રફળો $A_1 = \frac{1}{2} r_1 l$ અને $A_2 = \frac{1}{2} r_2 l$ થાય છે.
વર્તુળો અલગ હોવાથી,તેમની ત્રિજ્યાઓ $r_1$ અને $r_2$ સમાન નથી $(r_1 \neq r_2)$.
તેથી,$A_1 \neq A_2$. આમ,ક્ષેત્રફળો સમાન હોવા જરૂરી નથી.

(B) ના,તે જરૂરી નથી કે તેમની અનુરૂપ ચાપની લંબાઈ સમાન હોય.
વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $\theta$ એ કેન્દ્રિય ખૂણો છે.
ચાપની લંબાઈ $L = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ક્ષેત્રફળના સૂત્ર પરથી,આપણી પાસે $\frac{\theta}{360^\circ} = \frac{A}{\pi r^2}$ છે.
આ કિંમતને ચાપની લંબાઈના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $L = \frac{A}{\pi r^2} \times 2\pi r = \frac{2A}{r}$ મળે છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ સમાન હોવાથી,ચાપની લંબાઈ $L$ એ ત્રિજ્યા $r$ પર વ્યસ્ત પ્રમાણમાં આધાર રાખે છે. જો બે વર્તુળોની ત્રિજ્યા અલગ-અલગ હોય,તો વૃત્તાંશના ક્ષેત્રફળ સમાન હોવા છતાં ચાપની લંબાઈ અલગ-અલગ હશે.

(B) આ વિધાન ખોટું છે.
$a$ લંબાઈ અને $b$ પહોળાઈ $(a > b)$ ધરાવતા લંબચોરસની અંદર દોરી શકાય તેવા સૌથી મોટા વર્તુળનો વ્યાસ લંબચોરસની નાની બાજુ એટલે કે પહોળાઈ $b$ જેટલો હોય છે.
તેથી,વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = \frac{b}{2}$ થાય.
વર્તુળના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $A = \pi r^{2}$ છે.
$r$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $A = \pi \left(\frac{b}{2}\right)^{2} = \frac{\pi b^{2}}{4} \, cm^{2}$ મળે છે.
આમ,વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $\frac{\pi b^{2}}{4} \, cm^{2}$ છે,$\pi b^{2} \, cm^{2}$ નથી.

(D) આ વિધાન અસત્ય છે.
જ્યારે ચોરસ વર્તુળમાં અંતર્ગત હોય,ત્યારે ચોરસનો વિકર્ણ એ વર્તુળના વ્યાસ જેટલો હોય છે.
ધારો કે ચોરસની બાજુ $a$ છે અને વર્તુળનો વ્યાસ $p$ છે.
ચોરસના ગુણધર્મ મુજબ,વિકર્ણ $d = a\sqrt{2}$ થાય.
વિકર્ણ એ વ્યાસ જેટલો હોવાથી,$a\sqrt{2} = p$,જેનો અર્થ છે કે $a = \frac{p}{\sqrt{2}}$.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $a^{2} = (\frac{p}{\sqrt{2}})^{2} = \frac{p^{2}}{2} \, cm^{2}$ થાય.
તેથી,ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} p^{2} \, cm^{2}$ છે,$p^{2} \, cm^{2}$ નથી.

(B) વૃત્તાંશના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર: $\text{Area} = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^{2}$ છે.
અહીં,ત્રિજ્યા $r = 21 \, cm$ અને કેન્દ્રિય ખૂણો $\theta = 120^{\circ}$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\text{Area} = \frac{120}{360} \times \frac{22}{7} \times (21)^{2} \, cm^{2}$.
$\text{Area} = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \, cm^{2}$.
$\text{Area} = \frac{1}{3} \times 22 \times 3 \times 21 \, cm^{2}$.
$\text{Area} = 22 \times 21 \, cm^{2} = 462 \, cm^{2}$.

(A) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 36 \, cm$ અને વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ $A = 54 \pi \, cm^{2}$.
વૃત્તાંશના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $A = \frac{1}{2} \times l \times r$ છે,જ્યાં $l$ એ ચાપની લંબાઈ છે.
સૂત્રમાં આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$54 \pi = \frac{1}{2} \times l \times 36$
$54 \pi = 18 \times l$
$l = \frac{54 \pi}{18}$
$l = 3 \pi \, cm$.
આમ,અનુરૂપ ચાપની લંબાઈ $3 \pi \, cm$ છે.

(A) ધારો કે જરૂરી વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે.
વર્તુળનો પરિઘ શોધવાનું સૂત્ર $C = 2 \pi r$ છે.
ધારો કે બે આપેલા વર્તુળોની ત્રિજ્યાઓ $r_1 = 15 \, cm$ અને $r_2 = 18 \, cm$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,નવા વર્તુળનો પરિઘ એ બે આપેલા વર્તુળોના પરિઘના સરવાળા જેટલો છે:
$2 \pi r = 2 \pi r_1 + 2 \pi r_2$
બંને બાજુને $2 \pi$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$r = r_1 + r_2$
કિંમતો મૂકતા:
$r = 15 \, cm + 18 \, cm$
$r = 33 \, cm$
આમ,જરૂરી વર્તુળની ત્રિજ્યા $33 \, cm$ છે.

(C) આપેલ છે કે,વર્તુળની ત્રિજ્યા,$r = 28 \,cm$.
કેન્દ્રિય ખૂણાનું માપ,$\theta = 45^{\circ}$.
વર્તુળના વૃત્તાંશના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^{2}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{45^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times (28)^{2}$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{8} \times \frac{22}{7} \times 28 \times 28$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{8} \times 22 \times 4 \times 28$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{8} \times 22 \times 112$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = 22 \times 14 = 308 \,cm^{2}$.
આમ,વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ $308 \,cm^{2}$ છે.

(A) ધારો કે $ABCD$ એ $20 \, m \times 16 \, m$ ના માપનું લંબચોરસ ખેતર છે.
ધારો કે,એક ગાયને ખૂણા $A$ પર બાંધવામાં આવી છે. દોરડાની લંબાઈ $r = 14 \, m$ છે.
ગાય જે વિસ્તારમાં ચરી શકે છે તે $r = 14 \, m$ ત્રિજ્યા અને $\theta = 90^{\circ}$ કેન્દ્રિય ખૂણાવાળા વર્તુળનો વૃતાંશ છે (કારણ કે લંબચોરસનો ખૂણો $90^{\circ}$ હોય છે).
વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2$
$= \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times (14)^2$
$= \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 196$
$= \frac{1}{4} \times 22 \times 28$
$= 22 \times 7 = 154 \, m^2$.

(N/A) ડિઝાઇનવાળો વિસ્તાર એ બે વૃત્તાંશ $BAEC$ અને $DAFC$ વચ્ચેનો સામાન્ય પ્રદેશ છે.
વૃત્તાંશ $BAEC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times (8)^{2}$
$= \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 64$
$= \frac{22 \times 16}{7} = \frac{352}{7} \, cm^{2}$
$\triangle BAC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times BA \times BC$
$= \frac{1}{2} \times 8 \times 8 = 32 \, cm^{2}$
ડિઝાઇનવાળા ભાગનું ક્ષેત્રફળ $= 2 \times (\text{વૃત્તખંડ } AEC \text{ નું ક્ષેત્રફળ})$
$= 2 \times (\text{વૃત્તાંશ } BAEC \text{ નું ક્ષેત્રફળ} - \triangle BAC \text{ નું ક્ષેત્રફળ})$
$= 2 \times \left(\frac{352}{7} - 32\right) = 2 \left(\frac{352 - 224}{7}\right)$
$= \frac{2 \times 128}{7} = \frac{256}{7} \, cm^{2}$

(B) આપેલ છે,વર્તુળની ત્રિજ્યા $(r) = 14 \, cm$ અને કેન્દ્રિય ખૂણો $(\theta) = 60^{\circ}$.
લઘુવૃતખંડનું ક્ષેત્રફળ = વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ - ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ.
વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^{2} = \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 = \frac{1}{6} \times 22 \times 2 \times 14 = \frac{308}{3} \approx 102.67 \, cm^{2}$.
કેન્દ્રિય ખૂણો $60^{\circ}$ હોવાથી અને બે બાજુઓ ત્રિજ્યા હોવાથી,બનતો ત્રિકોણ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{બાજુ})^{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 14^{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 196 = 49 \sqrt{3} \, cm^{2} \approx 84.87 \, cm^{2}$.
લઘુવૃતખંડનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{308}{3} - 49 \sqrt{3} \, cm^{2} \approx 102.67 - 84.87 = 17.8 \, cm^{2}$.
નોંધ: આપેલા વિકલ્પો લઘુવૃતખંડને બદલે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ દર્શાવતા હોય તેમ લાગે છે. લઘુવૃતખંડના ક્ષેત્રફળની ગણતરી મુજબ જવાબ $\frac{308}{3} - 49 \sqrt{3}$ થાય છે. જો પ્રશ્ન જીવા દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ પૂછતું હોય,તો જવાબ $49 \sqrt{3}$ છે.

(C) આપેલ છે કે,ચોરસ $ABCD$ ની બાજુ $= 12 \, cm$.
ચોરસની બાજુઓ $AB, BC, CD$ અને $DA$ ના મધ્યબિંદુઓ અનુક્રમે $P, Q, R$ અને $S$ હોવાથી,દરેક ચતુર્થાંશ ચાપની ત્રિજ્યા $r = \frac{12}{2} = 6 \, cm$ થશે.
એક ચતુર્થાંશનું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{4} \pi r^{2} = \frac{1}{4} \times 3.14 \times (6)^{2} = \frac{3.14 \times 36}{4} = 3.14 \times 9 = 28.26 \, cm^{2}$.
આવા ચાર ચતુર્થાંશનું કુલ ક્ષેત્રફળ = $4 \times 28.26 = 113.04 \, cm^{2}$.
ચોરસ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ = $(\text{બાજુ})^{2} = (12)^{2} = 144 \, cm^{2}$.
છાયાંકિત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ = ચોરસ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $-$ ચાર ચતુર્થાંશનું ક્ષેત્રફળ.
છાયાંકિત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ = $144 - 113.04 = 30.96 \, cm^{2}$.

(D) આપેલ છે કે $ABC$ એ $10 \, cm$ બાજુવાળો સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
તેથી,$\angle A = \angle B = \angle C = 60^{\circ}$.
$D, E$ અને $F$ એ અનુક્રમે બાજુઓ $BC, CA$ અને $AB$ ના મધ્યબિંદુઓ હોવાથી,દરેક ચાપની ત્રિજ્યા $r = 5 \, cm$ થશે.
છાયાંકિત પ્રદેશમાં ત્રણ વૃતાંશનો સમાવેશ થાય છે,જે દરેકનો કેન્દ્રિય ખૂણો $60^{\circ}$ અને ત્રિજ્યા $r = 5 \, cm$ છે.
એક વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2 = \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times 3.14 \times (5)^2$.
એક વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{6} \times 3.14 \times 25 = \frac{78.5}{6} \approx 13.0833 \, cm^2$.
છાયાંકિત પ્રદેશનું કુલ ક્ષેત્રફળ $= 3 \times (\text{એક વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ}) = 3 \times \frac{78.5}{6} = \frac{78.5}{2} = 39.25 \, cm^2$.

(A) આપેલ છે કે,દરેક ચાપની ત્રિજ્યા $(r)$ $= 14 \, cm$ છે.
કેન્દ્રિય ખૂણો $\theta$ ધરાવતા વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ $\frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્રણ વૃતાંશો માટે,જેના કેન્દ્રિય ખૂણા $\angle P$,$\angle Q$ અને $\angle R$ છે,તેમના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{\angle P}{360^{\circ}} \times \pi r^{2} + \frac{\angle Q}{360^{\circ}} \times \pi r^{2} + \frac{\angle R}{360^{\circ}} \times \pi r^{2}$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{(\angle P + \angle Q + \angle R)}{360^{\circ}} \times \pi r^{2}$
ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,$\angle P + \angle Q + \angle R = 180^{\circ}$ થાય.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{180^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi \times (14)^{2}$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 196$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 22 \times 28 = 11 \times 28 = 308 \, cm^{2}$.
આમ,છાયાંકિત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $308 \, cm^{2}$ છે.

(B) આપેલ છે કે,એક વર્તુળાકાર બગીચો રસ્તાથી ઘેરાયેલો છે.
રસ્તાની પહોળાઈ $= 21\, m$.
બગીચાની ત્રિજ્યા $(r_i) = 105\, m$.
તેથી,સમગ્ર વર્તુળાકાર ભાગની (બગીચો + રસ્તો) ત્રિજ્યા $r_e = 105 + 21 = 126\, m$ થશે.
હવે,રસ્તાનું ક્ષેત્રફળ $=$ સમગ્ર વર્તુળાકાર ભાગનું ક્ષેત્રફળ $-$ વર્તુળાકાર બગીચાનું ક્ષેત્રફળ.
રસ્તાનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r_e^2 - \pi r_i^2 = \pi(r_e^2 - r_i^2)$.
નિત્યસમ $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
રસ્તાનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{22}{7} \times (126^2 - 105^2) = \frac{22}{7} \times (126 + 105)(126 - 105)$.
રસ્તાનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{22}{7} \times 231 \times 21$.
રસ્તાનું ક્ષેત્રફળ $= 22 \times 231 \times 3 = 15246\, m^2$.
આમ,રસ્તાનું જરૂરી ક્ષેત્રફળ $15246\, m^2$ છે.

(C) આપેલ છે કે દરેક ચાપની ત્રિજ્યા $r = 21 \, cm$ છે.
કેન્દ્રિય ખૂણો $\theta$ ધરાવતા વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ $\frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ અને $D$ પરના ચાર વૃતાંશોના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{\angle A}{360^{\circ}} \times \pi r^2 + \frac{\angle B}{360^{\circ}} \times \pi r^2 + \frac{\angle C}{360^{\circ}} \times \pi r^2 + \frac{\angle D}{360^{\circ}} \times \pi r^2$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D)}{360^{\circ}} \times \pi r^2$
કોઈપણ ચતુષ્કોણના અંતઃકોણોનો સરવાળો $360^{\circ}$ હોવાથી:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{360^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi r^2 = \pi r^2$
$r = 21 \, cm$ અને $\pi = \frac{22}{7}$ લેતા:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{22}{7} \times 21 \times 21 = 22 \times 3 \times 21 = 1386 \, cm^2$.
આમ,છાયાંકિત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $1386 \, cm^2$ છે.

(D) વર્તુળના ચાપની લંબાઈ $20 \,cm$ આપેલી છે.
ચાપ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ આંતરેલો ખૂણો $\theta = 60^{\circ}$ છે.
ચાપની લંબાઈનું સૂત્ર $L = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times 2 \pi r$ છે.
આપેલ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$20 = \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times 2 \pi r$
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા:
$20 = \frac{1}{6} \times 2 \pi r$
$20 = \frac{\pi r}{3}$
$r$ માટે ઉકેલતા:
$r = \frac{20 \times 3}{\pi} = \frac{60}{\pi} \,cm$.
આમ,વર્તુળની ત્રિજ્યા $\frac{60}{\pi} \,cm$ છે.

(D) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 20\, cm$,કેન્દ્રિય ખૂણો $\theta = 90^{\circ}$.
ગુરુ વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{360^{\circ} - 90^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi r^2 = \frac{270}{360} \times 3.14 \times (20)^2 = \frac{3}{4} \times 3.14 \times 400 = 3 \times 3.14 \times 100 = 942\, cm^2$.
$\triangle OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times r^2 \times \sin(90^{\circ}) = \frac{1}{2} \times 20 \times 20 \times 1 = 200\, cm^2$.
ગુરુ વૃત્તખંડનું ક્ષેત્રફળ = ગુરુ વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ + $\triangle OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= 942 + 200 = 1142\, cm^2$.

(C) ધારો કે વાછરડું ચોરસ મેદાનના ખૂણા $A$ પર બાંધેલું છે.
ક્ષેત્રફળમાં થતો વધારો એ $90^{\circ}$ ના કેન્દ્રિય ખૂણા અને $R = 11.5 \,m$ $(6 \,m + 5.5 \,m)$ તથા $r = 6 \,m$ ત્રિજ્યા ધરાવતા બે વૃતાંશના ક્ષેત્રફળનો તફાવત છે.
ક્ષેત્રફળમાં જરૂરી વધારો $= R$ ત્રિજ્યાવાળા વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ $- r$ ત્રિજ્યાવાળા વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ
$= \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi \times R^2 - \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi \times r^2$
$= \frac{1}{4} \times \pi \times (R^2 - r^2)$
$= \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times (11.5^2 - 6^2)$
$= \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times (11.5 + 6) \times (11.5 - 6)$
$= \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 17.5 \times 5.5$
$= \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times \frac{35}{2} \times \frac{11}{2}$
$= \frac{11 \times 5 \times 11}{8} = \frac{605}{8} = 75.625 \,m^2$.

(D) આપેલ છે,વર્તુળાકાર રમતના મેદાનનું ક્ષેત્રફળ $= 22176 \, m^{2}$.
વર્તુળના ક્ષેત્રફળના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\pi r^{2} = 22176$.
$\pi = \frac{22}{7}$ મૂકતા,$\frac{22}{7} r^{2} = 22176$.
$r^{2} = \frac{22176 \times 7}{22} = 1008 \times 7 = 7056$.
$r = \sqrt{7056} = 84 \, m$.
વર્તુળાકાર મેદાનનો પરિઘ $2 \pi r = 2 \times \frac{22}{7} \times 84 = 44 \times 12 = 528 \, m$ થાય.
વાડ કરવાનો ખર્ચ $= \text{પરિઘ} \times \text{દર}$.
ખર્ચ $= 528 \times 50 = 26400 \, Rs.$

(N/A) આપેલ છે કે,વર્તુળની ત્રિજ્યા $(r) = 12 \, cm$ અને વૃત્તાંશનો કેન્દ્રિય ખૂણો $(\theta) = 60^{\circ}$ છે.
વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{\pi r^2 \theta}{360^{\circ}} = \frac{3.14 \times 12 \times 12 \times 60^{\circ}}{360^{\circ}} = 3.14 \times 2 \times 12 = 75.36 \, cm^2$.
બે ત્રિજ્યાઓ અને જીવા દ્વારા બનતો ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે,જેમાં શિરોબિંદુનો ખૂણો $60^{\circ}$ હોવાથી તે સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{બાજુ})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 12^2 = 36\sqrt{3} \, cm^2$.
વૃત્તખંડનું ક્ષેત્રફળ $=$ વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ $-$ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= (75.36 - 36\sqrt{3}) \, cm^2$.

(A) આપેલ છે: $AB = 18 \, cm$,$DC = 32 \, cm$,ઊંચાઈ $(h) = 14 \, cm$ અને દરેક ચાપની ત્રિજ્યા $(r) = 7 \, cm$.
$AB \parallel DC$ હોવાથી,ક્રમિક અંતઃકોણોનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે. તેથી,$\angle A + \angle D = 180^{\circ}$ અને $\angle B + \angle C = 180^{\circ}$.
$\theta$ ખૂણાવાળા વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ $\frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$A$ અને $D$ આગળના વૃતાંશોનું ક્ષેત્રફળ = $\frac{\angle A + \angle D}{360^{\circ}} \times \pi r^2 = \frac{180^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times (7)^2 = \frac{1}{2} \times 22 \times 7 = 77 \, cm^2$.
તે જ રીતે,$B$ અને $C$ આગળના વૃતાંશોનું ક્ષેત્રફળ = $\frac{\angle B + \angle C}{360^{\circ}} \times \pi r^2 = \frac{180^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times (7)^2 = 77 \, cm^2$.
સમલંબ ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times (AB + DC) \times h = \frac{1}{2} \times (18 + 32) \times 14 = \frac{1}{2} \times 50 \times 14 = 350 \, cm^2$.
છાયાંકિત ભાગનું ક્ષેત્રફળ = સમલંબ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $-$ (ચારેય વૃતાંશોના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો) = $350 - (77 + 77) = 350 - 154 = 196 \, cm^2$.

(C) વર્તુળના વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times l \times r$
જ્યાં $l$ એ ચાપની લંબાઈ છે અને $r$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે:
ત્રિજ્યા $(r) = 5\, cm$
ચાપની લંબાઈ $(l) = 3.5\, cm$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 3.5 \times 5$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{17.5}{2} = 8.75\, cm^2$
આમ,વૃત્તાંશનું જરૂરી ક્ષેત્રફળ $8.75\, cm^2$ છે.

(D) આપેલ છે કે ચાર વર્તુળાકાર કાર્ડબોર્ડના ટુકડાઓને કાગળ પર એવી રીતે મૂકવામાં આવ્યા છે કે જેથી દરેક ટુકડો અન્ય બે ટુકડાઓને સ્પર્શે છે。
ધારો કે ચાર વર્તુળોના કેન્દ્રો $A, B, C$ અને $D$ છે. દરેક વર્તુળની ત્રિજ્યા $7 \, cm$ હોવાથી, કોઈપણ બે સ્પર્શતા વર્તુળોના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $7 + 7 = 14 \, cm$ થાય。
આમ, $AB = BC = CD = DA = 14 \, cm$. આ $14 \, cm$ બાજુવાળો એક ચોરસ $ABCD$ બનાવે છે。
ચોરસ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= (\text{બાજુ})^2 = (14)^2 = 196 \, cm^2$.
ચોરસની અંદર ચાર વૃતાંશ છે, જે દરેકનો કેન્દ્રિય ખૂણો $90^{\circ}$ અને ત્રિજ્યા $r = 7 \, cm$ છે。
એક વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi r^2 = \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times (7)^2 = \frac{1}{4} \times 22 \times 7 = 38.5 \, cm^2$.
ચાર વૃતાંશનું કુલ ક્ષેત્રફળ $= 4 \times 38.5 = 154 \, cm^2$.
આ ટુકડાઓ વચ્ચે ઘેરાયેલા ભાગનું ક્ષેત્રફળ = (ચોરસ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ) - (ચાર વૃતાંશનું કુલ ક્ષેત્રફળ)
$= 196 - 154 = 42 \, cm^2$.
તેથી, જરૂરી ક્ષેત્રફળ $42 \, cm^2$ છે.

(D) ધારો કે સમકેન્દ્રી વર્તુળોના વ્યાસ $k, 2k$ અને $3k$ છે.
તેથી,સમકેન્દ્રી વર્તુળોની ત્રિજ્યાઓ $\frac{k}{2}, k$ અને $\frac{3k}{2}$ છે.
અંદરના વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ,$A_1 = \pi \left(\frac{k}{2}\right)^2 = \frac{\pi k^2}{4}$.
વચ્ચેના પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ,$A_2 = \pi(k)^2 - \frac{\pi k^2}{4} = \frac{3\pi k^2}{4}$.
બહારના પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ,$A_3 = \pi \left(\frac{3k}{2}\right)^2 - \pi(k)^2 = \frac{9\pi k^2}{4} - \pi k^2 = \frac{5\pi k^2}{4}$.
ક્ષેત્રફળોનો જરૂરી ગુણોત્તર $A_1 : A_2 : A_3 = \frac{\pi k^2}{4} : \frac{3\pi k^2}{4} : \frac{5\pi k^2}{4} = 1 : 3 : 5$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે,$60\, \text{min}$ માં,મિનિટ કાંટો $360^{\circ}$ પરિભ્રમણ કરે છે.
$1\, \text{min}$ માં,મિનિટ કાંટો $\frac{360^{\circ}}{60} = 6^{\circ}$ પરિભ્રમણ કરે છે.
તેથી,સવારે $6:05$ થી $6:40$ સુધીના સમયગાળામાં,વીતેલો સમય $35\, \text{min}$ છે.
$35\, \text{min}$ માં મિનિટ કાંટા દ્વારા બનતો ખૂણો $\theta = 6^{\circ} \times 35 = 210^{\circ}$ છે.
આપેલ છે કે મિનિટ કાંટાની લંબાઈ $(r) = 5\, \text{cm}$ છે.
મિનિટ કાંટા દ્વારા આવરી લેવાયેલ ક્ષેત્રફળ એ ત્રિજ્યા $r = 5\, \text{cm}$ અને ખૂણા $\theta = 210^{\circ}$ વાળા વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2 = \frac{210^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times (5)^2$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{7}{12} \times \frac{22}{7} \times 25 = \frac{22 \times 25}{12} = \frac{11 \times 25}{6} = \frac{275}{6}$.
મિશ્ર અપૂર્ણાંકમાં ફેરવતા,$\frac{275}{6} = 45 \frac{5}{6}\, \text{cm}^2$.
આમ,મિનિટ કાંટા દ્વારા આવરી લેવાયેલ જરૂરી ક્ષેત્રફળ $45 \frac{5}{6}\, \text{cm}^2$ છે.

(B) ધારો કે વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે અને કેન્દ્રિય ખૂણો $\theta = 200^{\circ}$ છે.
વૃત્તાંશના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^{2}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $770 = \frac{200}{360} \times \frac{22}{7} \times r^{2}$.
$770 = \frac{5}{9} \times \frac{22}{7} \times r^{2}$.
$r^{2} = \frac{770 \times 9 \times 7}{5 \times 22} = \frac{770 \times 63}{110} = 7 \times 63 = 441$.
$r = \sqrt{441} = 21 \, cm$.
હવે,ચાપની લંબાઈ $l$ નું સૂત્ર: $l = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times 2\pi r$.
$l = \frac{200}{360} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 21$.
$l = \frac{5}{9} \times 2 \times 22 \times 3 = \frac{5 \times 2 \times 22}{3} = \frac{220}{3} \, cm$.
$l = 73 \frac{1}{3} \, cm$.

(N/A) ધારો કે બે વૃતાંશની ત્રિજ્યાઓ $r_1 = 7 \, cm$ અને $r_2 = 21 \, cm$ છે,અને તેમના કેન્દ્રિય ખૂણા $\theta_1 = 120^{\circ}$ અને $\theta_2 = 40^{\circ}$ છે.
વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ વૃતાંશ માટે:
$A_1 = \frac{120^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times (7)^2 = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 49 = \frac{22 \times 7}{3} = \frac{154}{3} \approx 51.33 \, cm^2$.
બીજા વૃતાંશ માટે:
$A_2 = \frac{40^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times (21)^2 = \frac{1}{9} \times \frac{22}{7} \times 441 = \frac{22 \times 63}{9} = 22 \times 7 = 154 \, cm^2$.
ચાપની લંબાઈ $l = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times 2\pi r$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ વૃતાંશ માટે:
$l_1 = \frac{120^{\circ}}{360^{\circ}} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 7 = \frac{1}{3} \times 44 = \frac{44}{3} \approx 14.67 \, cm$.
બીજા વૃતાંશ માટે:
$l_2 = \frac{40^{\circ}}{360^{\circ}} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 21 = \frac{1}{9} \times 2 \times 22 \times 3 = \frac{132}{9} = \frac{44}{3} \approx 14.67 \, cm$.
અવલોકન: બંને વૃતાંશના ચાપની લંબાઈ સમાન છે,પરંતુ તેમના ક્ષેત્રફળ સમાન નથી.

(N/A) બાહ્ય ચોરસની બાજુનું માપ $14 \, cm$ છે.
ચોરસની દરેક બાજુથી અંદરની આકૃતિનું અંતર $3 \, cm$ છે.
અંદરની આકૃતિ એક મધ્યવર્તી ચોરસ અને તેની બાજુઓ પર જોડાયેલા ચાર અર્ધવર્તુળોની બનેલી છે.
અંદરના ચોરસની બાજુની લંબાઈ $14 - (3 + 3) = 8 \, cm$ છે.
આ $8 \, cm$ ના ચોરસની બાજુઓ પર ચાર અર્ધવર્તુળો જોડાયેલા હોવાથી,દરેક અર્ધવર્તુળનો વ્યાસ $8 / 2 = 4 \, cm$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = 2 \, cm$ થાય.
બાહ્ય ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= 14^2 = 196 \, cm^2$.
અંદરના ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= 8^2 = 64 \, cm^2$.
ચાર અર્ધવર્તુળોનું ક્ષેત્રફળ $= 4 \times (\frac{1}{2} \pi r^2) = 2 \pi r^2 = 2 \times \pi \times (2)^2 = 8 \pi \, cm^2$.
અછાયાંકિત અંદરના ભાગનું ક્ષેત્રફળ $= \text{અંદરના ચોરસનું ક્ષેત્રફળ} + \text{ચાર અર્ધવર્તુળોનું ક્ષેત્રફળ} = 64 + 8 \pi \, cm^2$.
છાયાંકિત ભાગનું ક્ષેત્રફળ $= \text{બાહ્ય ચોરસનું ક્ષેત્રફળ} - \text{અછાયાંકિત અંદરના ભાગનું ક્ષેત્રફળ} = 196 - (64 + 8 \pi) = 132 - 8 \pi \, cm^2$.

(A) ધારો કે વર્તુળાકાર પૈડા દ્વારા કરવામાં આવતા પરિભ્રમણની સંખ્યા $n$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $r$ છે.
આપેલ છે કે,વર્તુળાકાર પૈડાનું ક્ષેત્રફળ $= 1.54 \, m^2$.
વર્તુળના ક્ષેત્રફળના સૂત્ર મુજબ,$\pi r^2 = 1.54$.
$\frac{22}{7} \times r^2 = 1.54 \Rightarrow r^2 = \frac{1.54 \times 7}{22} = 0.07 \times 7 = 0.49$.
આમ,$r = \sqrt{0.49} = 0.7 \, m$.
એક પરિભ્રમણમાં કાપેલું અંતર એ પૈડાના પરિઘ જેટલું હોય છે.
પરિઘ $= 2 \pi r = 2 \times \frac{22}{7} \times 0.7 = 2 \times 22 \times 0.1 = 4.4 \, m$.
કુલ કાપેલું અંતર $176 \, m$ છે.
પરિભ્રમણની સંખ્યા $n = \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{પરિઘ}} = \frac{176}{4.4} = \frac{1760}{44} = 40$.
તેથી,પૈડું $40$ પરિભ્રમણ કરશે.

(D) ધારો કે વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે.
$OA = OB = r \, cm$.
આપેલ છે કે જીવાની લંબાઈ $AB = 5 \, cm$ અને કેન્દ્રિય ખૂણો $\theta = 90^{\circ}$ છે.
$\triangle AOB$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AB^2 = OA^2 + OB^2 \implies 5^2 = r^2 + r^2 \implies 2r^2 = 25 \implies r^2 = 12.5$.
$\triangle AOB$ નું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times OA \times OB \times \sin(90^{\circ}) = \frac{1}{2} \times r^2 \times 1 = \frac{12.5}{2} = 6.25 \, cm^2$.
વૃત્તાંશ $OAB$ નું ક્ષેત્રફળ = $\frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2 = \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi \times 12.5 = \frac{12.5 \pi}{4} = 3.125 \pi \, cm^2$.
લઘુ વૃત્તખંડનું ક્ષેત્રફળ = વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ - $\triangle AOB$ નું ક્ષેત્રફળ = $(3.125 \pi - 6.25) \, cm^2$.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ = $\pi r^2 = 12.5 \pi \, cm^2$.
ગુરુ વૃત્તખંડનું ક્ષેત્રફળ = વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ - લઘુ વૃત્તખંડનું ક્ષેત્રફળ = $12.5 \pi - (3.125 \pi - 6.25) = (9.375 \pi + 6.25) \, cm^2$.
ક્ષેત્રફળનો તફાવત = $(9.375 \pi + 6.25) - (3.125 \pi - 6.25) = 6.25 \pi + 12.5 = (6.25 \pi + 12.5) \, cm^2$ અથવા $(\frac{25 \pi}{4} + \frac{25}{2}) \, cm^2$.

(C) આપેલ છે કે,વર્તુળની ત્રિજ્યા $(r) = 21 \, cm$ અને લઘુ વૃત્તાંશનો કેન્દ્રિય ખૂણો $(\theta) = 120^{\circ}$ છે.
પ્રથમ,વર્તુળનું કુલ ક્ષેત્રફળ શોધો:
ક્ષેત્રફળ $= \pi r^2 = \frac{22}{7} \times (21)^2 = \frac{22}{7} \times 21 \times 21 = 22 \times 3 \times 21 = 1386 \, cm^2$.
ત્યારબાદ,લઘુ વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ શોધો:
લઘુ વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2 = \frac{120^{\circ}}{360^{\circ}} \times 1386 = \frac{1}{3} \times 1386 = 462 \, cm^2$.
હવે,ગુરુ વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ શોધો:
ગુરુ વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ $= \text{વર્તુળનું કુલ ક્ષેત્રફળ} - \text{લઘુ વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ} = 1386 - 462 = 924 \, cm^2$.
અંતે,ગુરુ વૃત્તાંશ અને લઘુ વૃત્તાંશના ક્ષેત્રફળનો તફાવત શોધો:
તફાવત $= 924 - 462 = 462 \, cm^2$.

(N/A) અહીં,વર્તુળાકાર મેદાનની ત્રિજ્યા $r = 77\, m$ છે.
વર્તુળનો પરિઘ શોધવાનું સૂત્ર $C = 2\pi r$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$C = 2 \times \frac{22}{7} \times 77 = 2 \times 22 \times 11 = 484\, m$ મળે.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $A = \pi r^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$A = \frac{22}{7} \times 77 \times 77 = 22 \times 11 \times 77 = 18634\, m^2$ મળે.
આમ,વર્તુળાકાર મેદાનનો પરિઘ $484\, m$ અને ક્ષેત્રફળ $18634\, m^2$ છે.

(B) વર્તુળના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $A = \pi r^{2}$ છે.
આપેલ છે કે,$A = 5544 \, cm^{2}$.
$\pi = \frac{22}{7}$ ની કિંમત મૂકતા:
$5544 = \frac{22}{7} \times r^{2}$
$r^{2} = 5544 \times \frac{7}{22}$
$r^{2} = 252 \times 7$
$r^{2} = 1764$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$r = \sqrt{1764} = 42$
આમ,વર્તુળની ત્રિજ્યા $42 \, cm$ છે.

(C) ધારો કે વર્તુળાકાર મેદાનની ત્રિજ્યા $r_{1}$ છે અને રસ્તા સાથેના વર્તુળાકાર મેદાનની ત્રિજ્યા $r_{2}$ છે.
આપેલ છે કે,મેદાનનો પરિઘ $= 2 \pi r_{1} = 220\, m$.
આપેલ છે કે,રસ્તા સાથેના મેદાનનો પરિઘ $= 2 \pi r_{2} = 264\, m$.
રસ્તાની પહોળાઈ $w = r_{2} - r_{1}$ દ્વારા મળે છે.
બંને પરિઘની બાદબાકી કરતા:
$2 \pi r_{2} - 2 \pi r_{1} = 264 - 220$
$2 \pi (r_{2} - r_{1}) = 44$
$2 \times \frac{22}{7} \times w = 44$
$w = \frac{44 \times 7}{2 \times 22}$
$w = \frac{44 \times 7}{44}$
$w = 7\, m$.
આમ,રસ્તાની પહોળાઈ $7\, m$ છે.

(A) બહારના વર્તુળની ત્રિજ્યા $r_{1} = 23 \, cm$ છે અને અંદરના વર્તુળની ત્રિજ્યા $r_{2} = 16 \, cm$ છે.
વર્તુળાકાર વલયનું ક્ષેત્રફળ એ બહારના વર્તુળના ક્ષેત્રફળ અને અંદરના વર્તુળના ક્ષેત્રફળનો તફાવત છે.
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \pi r_{1}^{2} - \pi r_{2}^{2}$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \pi (r_{1}^{2} - r_{2}^{2})$
નિત્યસમ $a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \pi (r_{1} + r_{2})(r_{1} - r_{2})$
$\pi = \frac{22}{7}$ કિંમત મૂકતા:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{22}{7} \times (23 + 16) \times (23 - 16)$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{22}{7} \times 39 \times 7$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = 22 \times 39 = 858 \, cm^{2}$

(A) આપેલ વ્યાસ $d = 42 \, cm$ છે.
ત્રિજ્યા $r = d / 2 = 42 / 2 = 21 \, cm$.
વર્તુળનો પરિઘ $= 2 \pi r = 2 \times (22 / 7) \times 21 = 2 \times 22 \times 3 = 132 \, cm$.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r^2 = (22 / 7) \times 21 \times 21 = 22 \times 3 \times 21 = 1386 \, cm^2$.
આમ,વર્તુળનો પરિઘ $132 \, cm$ અને ક્ષેત્રફળ $1386 \, cm^2$ છે.

(D) વર્તુળના પરિઘનું સૂત્ર $C = 2 \pi r$ છે,જ્યાં $C$ એ પરિઘ છે અને $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે કે $C = 176 \, cm$ અને $\pi = \frac{22}{7}$ લેતા:
$176 = 2 \times \frac{22}{7} \times r$
$176 = \frac{44}{7} \times r$
$r = \frac{176 \times 7}{44}$
$r = 4 \times 7$
$r = 28 \, cm$
તેથી,વર્તુળની ત્રિજ્યા $28 \, cm$ છે.

(A) વર્તુળના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $A = \pi r^2$ છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે કે $A = 346.5 \, cm^2$ અને $\pi = \frac{22}{7}$ લેતા:
$346.5 = \frac{22}{7} \times r^2$
$r^2 = \frac{346.5 \times 7}{22}$
$r^2 = \frac{2425.5}{22}$
$r^2 = 110.25$
$r = \sqrt{110.25}$
$r = 10.5 \, cm$.

(B) આપેલ છે કે,વર્તુળાકાર મેદાનનો પરિઘ $C = 352\, m$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પરિઘનું સૂત્ર $C = 2\pi r$ છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
$2 \times \frac{22}{7} \times r = 352$
$r = \frac{352 \times 7}{2 \times 22}$
$r = \frac{352 \times 7}{44} = 8 \times 7 = 56\, m$.
હવે,વર્તુળાકાર મેદાનનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
$A = \frac{22}{7} \times 56 \times 56$
$A = 22 \times 8 \times 56$
$A = 176 \times 56 = 9856\, m^2$.

(C) આપેલ છે કે,વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = 75.46\, cm^{2}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે વર્તુળના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $A = \pi r^{2}$ છે.
$\pi = 3.14$ લેતા,$75.46 = 3.14 \times r^{2}$ મળે.
$r^{2} = \frac{75.46}{3.14} = 24.0318... \approx 24.01$.
વર્ગમૂળ લેતા,$r = \sqrt{24.01} = 4.9\, cm$ મળે.
વર્તુળનો પરિઘ $C = 2\pi r$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$C = 2 \times 3.14 \times 4.9 = 6.28 \times 4.9 = 30.772\, cm$.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,પરિઘ $30.8\, cm$ થાય છે.

(D) ધારો કે વર્તુળાકાર મેદાનની ત્રિજ્યા $r = 35 \, m$ છે.
રસ્તાની પહોળાઈ $w = 3.5 \, m$ છે.
બહારના વર્તુળની ત્રિજ્યા (મેદાન + રસ્તો) $R = r + w = 35 + 3.5 = 38.5 \, m$ થશે.
રસ્તાનું ક્ષેત્રફળ એ બહારના વર્તુળના ક્ષેત્રફળ અને અંદરના વર્તુળાકાર મેદાનના ક્ષેત્રફળ વચ્ચેનો તફાવત છે.
રસ્તાનું ક્ષેત્રફળ $= \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2) = \pi(R - r)(R + r)$.
કિંમતો મૂકતા: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{22}{7} \times (38.5 - 35) \times (38.5 + 35)$.
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{22}{7} \times 3.5 \times 73.5$.
$\text{ક્ષેત્રફળ} = 22 \times 0.5 \times 73.5 = 11 \times 73.5 = 808.5 \, m^2$.

(A) બહારના વર્તુળની ત્રિજ્યા $(R)$ $= 56 \, m$ છે。
રસ્તાની પહોળાઈ $= 7 \, m$ છે。
અંદરના વર્તુળની ત્રિજ્યા $(r)$ $= R - \text{પહોળાઈ} = 56 \, m - 7 \, m = 49 \, m$ થાય。
રસ્તાનું ક્ષેત્રફળ એ બહારના વર્તુળના ક્ષેત્રફળ અને અંદરના વર્તુળના ક્ષેત્રફળ વચ્ચેનો તફાવત છે。
રસ્તાનું ક્ષેત્રફળ $= \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2) = \pi(R - r)(R + r)$.
કિંમતો મૂકતા: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{22}{7} \times (56 - 49) \times (56 + 49)$.
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{22}{7} \times 7 \times 105$.
$\text{ક્ષેત્રફળ} = 22 \times 105 = 2310 \, m^2$.

(C) $1$. વર્તુળાકાર મેદાનનો પરિઘ: $\text{પરિઘ} = \frac{\text{કુલ ખર્ચ}}{\text{મીટર દીઠ દર}} = \frac{26,400}{60} = 440 \ m$.
$2$. ધારો કે મેદાનની ત્રિજ્યા $r$ છે। પરિઘનું સૂત્ર $2\pi r = 440$ છે.
$3$. $\pi = \frac{22}{7}$ લેતા, $2 \times \frac{22}{7} \times r = 440$, તેથી $r = \frac{440 \times 7}{44} = 70 \ m$.
$4$. મેદાનનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \frac{22}{7} \times 70 \times 70 = 22 \times 10 \times 70 = 15,400 \ m^2$.
$5$. $₹ 50/m^2$ ના દરે મેદાનને સમતલ કરવાનો ખર્ચ $15,400 \times 50 = ₹ 7,70,000$ થાય.

આપેલ છે: વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = 6 \, cm$ અને કેન્દ્ર આગળનો ખૂણો $\theta = 60^{\circ}$.
લઘુ વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{\pi r^2 \theta}{360^{\circ}}$
$= \frac{22}{7} \times 6 \times 6 \times \frac{60}{360}$
$= \frac{22}{7} \times 36 \times \frac{1}{6}$
$= \frac{22 \times 6}{7} = \frac{132}{7} \, cm^2 \approx 18.86 \, cm^2$.
ગુરુ વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ $= \text{વર્તુળનું કુલ ક્ષેત્રફળ} - \text{લઘુ વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ}$
$= \pi r^2 - \frac{132}{7}$
$= \frac{22}{7} \times 6 \times 6 - \frac{132}{7}$
$= \frac{792}{7} - \frac{132}{7} = \frac{660}{7} \, cm^2 \approx 94.29 \, cm^2$.
આમ,લઘુ વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ $\frac{132}{7} \, cm^2$ અને ગુરુ વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ $\frac{660}{7} \, cm^2$ છે.

(A) લઘુવૃત્તાંશના ખૂણાનું માપ $\theta = 90^{\circ}$ છે (કારણ કે $OA \perp OB$).
લઘુવૃત્તાંશની પરિમિતિ = લઘુચાપની લંબાઈ $+ 2 \times$ (ત્રિજ્યા).
$75 = \frac{\pi r \theta}{180} + 2r$
$75 = \frac{22}{7} \times \frac{r \times 90}{180} + 2r$
$75 = r \left( \frac{11}{7} + 2 \right)$
$75 = \frac{25}{7} r$
$r = \frac{75 \times 7}{25} = 21 \, cm$.
લઘુવૃત્તાંશ $OACB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{\pi r^2 \theta}{360} = \frac{22}{7} \times \frac{21 \times 21 \times 90}{360} = 346.5 \, cm^2$.
$\Delta OAB$ માં,$m\angle O = 90^{\circ}$,તેથી $\Delta OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times OA \times OB = \frac{1}{2} \times 21 \times 21 = 220.5 \, cm^2$.
લઘુવૃત્તખંડનું ક્ષેત્રફળ = લઘુવૃત્તાંશ $OACB$ નું ક્ષેત્રફળ $- \Delta OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= 346.5 - 220.5 = 126 \, cm^2$.

(A) $60$ મિનિટ ($1$ કલાક) દરમિયાન,મિનિટ કાંટો એક પૂર્ણ પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરે છે,એટલે કે તે $360^{\circ}$ નો ખૂણો આંતરે છે.
સવારે $10.10$ થી $10.30$ સુધીનો સમયગાળો $20$ મિનિટનો છે.
તેથી,$20$ મિનિટમાં મિનિટ કાંટા દ્વારા આંતરેલો ખૂણો $\theta$:
$\theta = \frac{360^{\circ}}{60} \times 20 = 120^{\circ}$.
સેક્ટરની ત્રિજ્યા $r$ એ મિનિટ કાંટાની લંબાઈ છે,જે $14 \, cm$ છે.
આવરી લેવાયેલ ભાગનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{\pi r^2 \theta}{360^{\circ}}$
કિંમતો મૂકતા:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \times \frac{120^{\circ}}{360^{\circ}}$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{22}{7} \times 196 \times \frac{1}{3}$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = 22 \times 28 \times \frac{1}{3} = \frac{616}{3} \, cm^2$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = 205 \frac{1}{3} \, cm^2$.

(C) વર્તુળાકાર મેદાનની ત્રિજ્યા $R = 35 \, m$ છે. તેની અંદરની બાજુએ $w = 3.5 \, m$ પહોળો રસ્તો છે. તેથી અંદરના વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = R - w = 35 - 3.5 = 31.5 \, m$ થશે.
સમારકામ કરવાના ભાગનું ક્ષેત્રફળ એ બહારના વર્તુળના વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ અને અંદરના વર્તુળના અનુરૂપ વૃતાંશના ક્ષેત્રફળનો તફાવત છે,જ્યાં કેન્દ્ર આગળનો ખૂણો $\theta = 72^{\circ}$ છે.
સમારકામ કરવાના ભાગનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi \times (R^2 - r^2)$
$= \frac{72}{360} \times \frac{22}{7} \times (35^2 - 31.5^2)$
$= \frac{1}{5} \times \frac{22}{7} \times (35 - 31.5)(35 + 31.5)$
$= \frac{22}{35} \times 3.5 \times 66.5$
$= \frac{22}{35} \times \frac{7}{2} \times 66.5$
$= 11 \times 0.2 \times 66.5 = 2.2 \times 66.5 = 146.3 \, m^{2}$.
સમારકામનો કુલ ખર્ચ $= 146.3 \, m^{2} \times ₹ 80 / m^{2} = ₹ 11,704$.

(D) ધારો કે ગાયને ચોરસ ખેતર $ABCD$ ના શિરોબિંદુ $A$ પર $3 \, m$ લાંબા દોરડા વડે બાંધવામાં આવી છે.
ચોરસના દરેક ખૂણાનું માપ $90^{\circ}$ હોવાથી,ગાય જે ભાગમાં ચરી શકે તે ભાગ એ $r = 3 \, m$ ત્રિજ્યા અને $\theta = 90^{\circ}$ ના ખૂણાવાળા વર્તુળનો વૃતાંશ છે.
વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{\pi r^2 \theta}{360^{\circ}}$
$= \frac{3.14 \times (3)^2 \times 90^{\circ}}{360^{\circ}}$
$= \frac{3.14 \times 9 \times 1}{4}$
$= \frac{28.26}{4}$
$= 7.065 \, m^2$
આમ,ખેતરના જે ભાગમાં ગાય ચરી શકે છે તેનું ક્ષેત્રફળ $7.065 \, m^2$ છે.

(A) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 6.3 \ cm$,કેન્દ્રિય ખૂણો $\theta = 150^{\circ}$.
ચાપની લંબાઈ $l = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times 2\pi r = \frac{150}{360} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 6.3 = \frac{5}{12} \times 2 \times 22 \times 0.9 = 16.5 \ cm$.
વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2 = \frac{150}{360} \times \frac{22}{7} \times 6.3 \times 6.3 = \frac{5}{12} \times 22 \times 0.9 \times 6.3 = 51.975 \ cm^2$.