Mix Examples - Arithmetic Progressions Questions in Gujarati

(A) ધારો કે $AP$ ના ત્રણ પદો $a-d, a, a+d$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આ પદોનો સરવાળો $33$ છે:
$(a-d) + a + (a+d) = 33$
$3a = 33$
$a = 11$
વળી,પ્રથમ અને ત્રીજા પદનો ગુણાકાર બીજા પદ કરતાં $29$ વધારે છે:
$(a-d)(a+d) = a + 29$
$a^2 - d^2 = a + 29$
$a = 11$ મુકતા:
$11^2 - d^2 = 11 + 29$
$121 - d^2 = 40$
$d^2 = 121 - 40 = 81$
$d = \pm 9$
કિસ્સો $1$: જો $d = 9$ હોય,તો પદો $11-9, 11, 11+9$ એટલે કે $2, 11, 20$ થાય.
કિસ્સો $2$: જો $d = -9$ હોય,તો પદો $11-(-9), 11, 11+(-9)$ એટલે કે $20, 11, 2$ થાય.
આમ,$AP$ એ $2, 11, 20, \dots$ અથવા $20, 11, 2, \dots$ છે.

(A-B) $A_{1}: 2, -2, -6, -10, \ldots$
અહીં,સામાન્ય તફાવત $d = a_{2} - a_{1} = -2 - 2 = -4$. તેથી,$(A_{1}) \rightarrow (B_{4})$.
$A_{2}: a = -18, n = 10, a_{n} = 0$. સૂત્ર $a_{n} = a + (n - 1)d$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0 = -18 + (10 - 1)d \Rightarrow 18 = 9d \Rightarrow d = 2$. તેથી,$(A_{2}) \rightarrow (B_{5})$.
$A_{3}: a = 0, a_{10} = 6$. સૂત્ર $a_{n} = a + (n - 1)d$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a_{10} = a + 9d \Rightarrow 6 = 0 + 9d \Rightarrow d = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$. તેથી,$(A_{3}) \rightarrow (B_{1})$.
$A_{4}: a_{2} = 13, a_{4} = 3$. સૂત્ર $a_{n} = a + (n - 1)d$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a + d = 13$ $(i)$
$a + 3d = 3$ $(ii)$
$(ii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા: $(a + 3d) - (a + d) = 3 - 13 \Rightarrow 2d = -10 \Rightarrow d = -5$. તેથી,$(A_{4}) \rightarrow (B_{2})$.
અંતિમ જોડાણ: $(A_{1}) \rightarrow (B_{4}), (A_{2}) \rightarrow (B_{5}), (A_{3}) \rightarrow (B_{1}), (A_{4}) \rightarrow (B_{2})$.

(D) આપેલ છે: પ્રથમ $14$ પદોનો સરવાળો $S_{14} = 1050$,પ્રથમ પદ $a = 10$,અને પદોની સંખ્યા $n = 14$.
$AP$ ના પ્રથમ $n$ પદોના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $1050 = \frac{14}{2}[2(10) + (14 - 1)d]$.
$1050 = 7[20 + 13d]$.
$150 = 20 + 13d$.
$130 = 13d$,જે આપણને $d = 10$ આપે છે.
$AP$ નું $n$ મું પદ $a_n = a + (n - 1)d$ દ્વારા મળે છે.
$20$ મા પદ માટે: $a_{20} = 10 + (20 - 1) \times 10$.
$a_{20} = 10 + 19 \times 10 = 10 + 190 = 200$.
આમ,$20$ મું પદ $200$ છે.

(B) આપેલ છે કે,$a = 5, d = 3, a_{n} = 50$.
$AP$ ના $n$ માં પદ માટેનું સૂત્ર વાપરતા:
$a_{n} = a + (n - 1)d$
$50 = 5 + (n - 1)3$
$45 = (n - 1)3$
$15 = n - 1$
$n = 16$.
હવે,સરવાળાનું સૂત્ર $S_{n} = \frac{n}{2}[a + a_{n}]$ વાપરતા:
$S_{16} = \frac{16}{2}[5 + 50]$
$S_{16} = 8 \times 55$
$S_{16} = 440$.
આમ,$n = 16$ અને $S_{n} = 440$ થાય.

(C) આપેલ છે કે,$a=7$ અને $a_{13}=35$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $AP$ ના $n$ માં પદનું સૂત્ર $a_{n}=a+(n-1)d$ છે.
$n=13$ માટે કિંમતો મૂકતા:
$a_{13}=a+(13-1)d$
$35=7+12d$
$35-7=12d$
$28=12d$
$d=\frac{28}{12}=\frac{7}{3}$.
હવે,$AP$ ના $n$ પદોના સરવાળાનું સૂત્ર $S_{n}=\frac{n}{2}[a+a_{n}]$ છે.
$n=13$ માટે:
$S_{13}=\frac{13}{2}[a+a_{13}]$
$S_{13}=\frac{13}{2}[7+35]$
$S_{13}=\frac{13}{2}[42]$
$S_{13}=13 \times 21$
$S_{13}=273$.

(D) આપેલ છે કે,$a_{12}=37$ અને $d=3$.
$AP$ ના $n$ માં પદનું સૂત્ર વાપરતા,$a_n = a + (n-1)d$.
$n=12$ માટે,$a_{12} = a + (12-1)3$.
$37 = a + 11(3)$.
$37 = a + 33$.
$a = 37 - 33 = 4$.
હવે,પ્રથમ $12$ પદોનો સરવાળો શોધવા માટે,આપણે સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}[a + a_n]$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$S_{12} = \frac{12}{2}[4 + 37]$.
$S_{12} = 6(41)$.
$S_{12} = 246$.

(N/A) આપેલ છે કે,$a_{3} = 15$ અને $S_{10} = 125$.
$AP$ નું $n$ મું પદ $a_{n} = a + (n - 1)d$ હોવાથી,
$a_{3} = a + 2d = 15$ $...(i)$
$n$ પદોનો સરવાળો $S_{n} = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ છે.
$S_{10} = \frac{10}{2}[2a + (10 - 1)d] = 125$
$5(2a + 9d) = 125$
$2a + 9d = 25$ $...(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $2$ વડે ગુણતા:
$2a + 4d = 30$ $...(iii)$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી $(iii)$ બાદ કરતા:
$(2a + 9d) - (2a + 4d) = 25 - 30$
$5d = -5$
$d = -1$
સમીકરણ $(i)$ માં $d = -1$ મુકતા:
$a + 2(-1) = 15$
$a - 2 = 15$
$a = 17$
હવે,$a_{10} = a + (10 - 1)d$
$a_{10} = 17 + 9(-1)$
$a_{10} = 17 - 9 = 8$.
આમ,$d = -1$ અને $a_{10} = 8$ મળે છે.

(N/A) આપેલ છે કે,$d = 5$ અને $S_{9} = 75$.
$AP$ ના $n$ પદોના સરવાળાનું સૂત્ર $S_{n} = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ છે.
$n=9$ માટે કિંમતો મૂકતા:
$75 = \frac{9}{2}[2a + (9-1)5]$
$75 = \frac{9}{2}[2a + 40]$
$75 = 9(a + 20)$
બંને બાજુ $3$ વડે ભાગતા:
$25 = 3(a + 20)$
$25 = 3a + 60$
$3a = 25 - 60$
$3a = -35$
$a = -\frac{35}{3}$
હવે,$9$ મું પદ $(a_{9})$ શોધવા માટે,આપણે $a_{n} = a + (n-1)d$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીશું:
$a_{9} = a + (9-1)d$
$a_{9} = -\frac{35}{3} + 8(5)$
$a_{9} = -\frac{35}{3} + 40$
$a_{9} = \frac{-35 + 120}{3}$
$a_{9} = \frac{85}{3}$

(A) આપેલ છે કે,$a=2, d=8, S_{n}=90$.
$AP$ ના $n$ પદોના સરવાળા માટેનું સૂત્ર વાપરતા:
$S_{n} = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$
$90 = \frac{n}{2}[2(2) + (n-1)8]$
$90 = \frac{n}{2}[4 + 8n - 8]$
$90 = \frac{n}{2}[8n - 4]$
$90 = n(4n - 2)$
$4n^{2} - 2n - 90 = 0$
$2$ વડે ભાગતા:
$2n^{2} - n - 45 = 0$
$2n^{2} - 10n + 9n - 45 = 0$
$2n(n - 5) + 9(n - 5) = 0$
$(n - 5)(2n + 9) = 0$
$n$ એ ધન પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $n = 5$.
હવે,$a_{n}$ શોધો:
$a_{n} = a + (n-1)d$
$a_{5} = 2 + (5-1)8$
$a_{5} = 2 + 32 = 34$.
આમ,$n = 5$ અને $a_{n} = 34$.

(A) આપેલ છે કે,$a=8, a_{n}=62, S_{n}=210$.
$AP$ ના સરવાળા માટેનું સૂત્ર $S_{n} = \frac{n}{2} [a + a_{n}]$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $210 = \frac{n}{2} [8 + 62]$.
$210 = \frac{n}{2} (70)$.
$210 = 35n$.
$n = \frac{210}{35} = 6$.
હવે,$n$ માં પદ માટેનું સૂત્ર વાપરો: $a_{n} = a + (n - 1)d$.
$62 = 8 + (6 - 1)d$.
$62 - 8 = 5d$.
$54 = 5d$.
$d = \frac{54}{5}$.

(A) આપેલ છે કે,$a_{n}=4, d=2, S_{n}=-14$.
$AP$ ના $n$ માં પદ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$a_{n} = a + (n - 1)d$
$4 = a + (n - 1)2$
$4 = a + 2n - 2$
$a = 6 - 2n$ --- $(i)$
$AP$ ના $n$ પદોના સરવાળા માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$S_{n} = \frac{n}{2}[a + a_{n}]$
$-14 = \frac{n}{2}[a + 4]$
$-28 = n(a + 4)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $a = 6 - 2n$ ની કિંમત મૂકતા:
$-28 = n(6 - 2n + 4)$
$-28 = n(10 - 2n)$
$-28 = 10n - 2n^{2}$
$2n^{2} - 10n - 28 = 0$
$n^{2} - 5n - 14 = 0$
$(n - 7)(n + 2) = 0$
$n$ એ ધન પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $n = 7$.
$n = 7$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$a = 6 - 2(7)$
$a = 6 - 14$
$a = -8$
આમ,$n = 7$ અને $a = -8$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે,
પ્રથમ પદ $a = 5$
અંતિમ પદ $l = 45$
પદોનો સરવાળો $S_{n} = 400$
$AP$ ના સરવાળા માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $S_{n} = \frac{n}{2}(a + l)$
કિંમતો મૂકતા: $400 = \frac{n}{2}(5 + 45)$
$400 = \frac{n}{2}(50)$
$400 = 25n$
$n = \frac{400}{25} = 16$
હવે,$n$ માં પદ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $l = a + (n - 1)d$
કિંમતો મૂકતા: $45 = 5 + (16 - 1)d$
$45 - 5 = 15d$
$40 = 15d$
$d = \frac{40}{15} = \frac{8}{3}$
આમ,પદોની સંખ્યા $16$ છે અને સામાન્ય તફાવત $\frac{8}{3}$ છે.

(B) આપેલ છે કે,
પ્રથમ પદ $a = 17$
અંતિમ પદ $l = 350$
સામાન્ય તફાવત $d = 9$
ધારો કે $AP$ માં કુલ $n$ પદ છે.
$n$ માં પદનું સૂત્ર $l = a + (n - 1)d$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $350 = 17 + (n - 1)9$
$333 = (n - 1)9$
$n - 1 = 37$
$n = 38$
હવે,$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ દ્વારા મળે છે.
$S_{38} = \frac{38}{2}(17 + 350)$
$S_{38} = 19 \times 367 = 6973$.
આમ,આ શ્રેણીમાં $38$ પદ છે અને તેમનો સરવાળો $6973$ છે.

(D) ધારો કે $AP$ નું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ:
$a_5 + a_7 = 52$ અને $a_{10} = 46$.
સૂત્ર $a_n = a + (n-1)d$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(a + 4d) + (a + 6d) = 52$
$2a + 10d = 52$
$a + 5d = 26$ ..... $(i)$
વળી,$a_{10} = 46$:
$a + 9d = 46$ ..... $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી સમીકરણ $(i)$ બાદ કરતા:
$(a + 9d) - (a + 5d) = 46 - 26$
$4d = 20$
$d = 5$
સમીકરણ $(i)$ માં $d = 5$ મૂકતા:
$a + 5(5) = 26$
$a + 25 = 26$
$a = 1$
$AP$ એ $a, a+d, a+2d, a+3d, \ldots$ સ્વરૂપમાં હોય છે.
કિંમતો મૂકતા: $1, 1+5, 1+10, 1+15, \ldots$
આમ,$AP$ એ $1, 6, 11, 16, \ldots$ છે.

(A) ધારો કે $AP$ નું પ્રથમ પદ,સામાન્ય તફાવત અને પદોની સંખ્યા અનુક્રમે $a$,$d$ અને $n$ છે.
આપેલ છે કે,પ્રથમ પદ $(a) = -5$ અને અંતિમ પદ $(l) = 45$.
$AP$ ના પદોનો સરવાળો $= 120 \Rightarrow S_n = 120$.
આપણે જાણીએ છીએ કે,જો $AP$ નું અંતિમ પદ આપેલું હોય,તો $n$ પદોનો સરવાળો નીચે મુજબ મળે:
$S_n = \frac{n}{2}(a + l)$
$120 = \frac{n}{2}(-5 + 45)$
$120 \times 2 = 40 \times n$
$240 = 40n \Rightarrow n = 6$.
હવે,સામાન્ય તફાવત શોધવા માટે,આપણે $n$ માં પદનું સૂત્ર વાપરીશું:
$l = a + (n - 1)d$
$45 = -5 + (6 - 1)d$
$45 + 5 = 5d$
$50 = 5d \Rightarrow d = 10$.
આમ,પદોની સંખ્યા $6$ છે અને સામાન્ય તફાવત $10$ છે.

(D) આપેલ $AP: -2, -7, -12, \ldots$
ધારો કે $AP$ નું $n$ મું પદ $T_n = -77$ છે.
પ્રથમ પદ $a = -2$ અને સામાન્ય તફાવત $d = -7 - (-2) = -5$ છે.
$n$ માં પદનું સૂત્ર $T_n = a + (n - 1)d$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $-77 = -2 + (n - 1)(-5)$.
$-77 + 2 = (n - 1)(-5) \Rightarrow -75 = (n - 1)(-5)$.
$n - 1 = \frac{-75}{-5} = 15 \Rightarrow n = 16$.
તેથી,$AP$ નું $16$ મું પદ $-77$ છે.
$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[a + l]$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $l$ એ અંતિમ પદ છે.
$S_{16} = \frac{16}{2}[-2 + (-77)] = 8[-79] = -632$.
આમ,આ $AP$ નો $-77$ પદ સુધીનો સરવાળો $-632$ છે.

(B) ધારો કે સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
સમાંતર શ્રેણીનું $n$ મું પદ $T_n = a + (n - 1)d$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે,$T_4 = -15$:
$a + 3d = -15$ --- $(i)$
આપેલ છે કે,$T_9 = -30$:
$a + 8d = -30$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી સમીકરણ $(i)$ બાદ કરતા:
$(a + 8d) - (a + 3d) = -30 - (-15)$
$5d = -15$
$d = -3$
$d = -3$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$a + 3(-3) = -15$
$a - 9 = -15$
$a = -6$
પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ છે.
$n = 17$ માટે:
$S_{17} = \frac{17}{2}[2(-6) + (17 - 1)(-3)]$
$S_{17} = \frac{17}{2}[-12 + 16(-3)]$
$S_{17} = \frac{17}{2}[-12 - 48]$
$S_{17} = \frac{17}{2}[-60]$
$S_{17} = 17 \times (-30) = -510$.
આમ,પ્રથમ $17$ પદોનો સરવાળો $-510$ છે.

(A) ધારો કે સરવાળો $-55$ મેળવવા માટે $n$ પદોની જરૂર છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $(a) = -15$ અને સામાન્ય તફાવત $(d) = -13 - (-15) = 2$ છે.
$AP$ ના $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $-55 = \frac{n}{2}[2(-15) + (n-1)2]$.
$-55 = \frac{n}{2}[-30 + 2n - 2] = \frac{n}{2}[2n - 32] = n(n - 16)$.
$n^2 - 16n + 55 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $n^2 - 11n - 5n + 55 = 0 \Rightarrow n(n - 11) - 5(n - 11) = 0$.
$(n - 5)(n - 11) = 0$,તેથી $n = 5$ અથવા $n = 11$.
બે જવાબ મળવાનું કારણ એ છે કે $6^{th}$ પદથી $11^{th}$ પદ સુધીનો સરવાળો શૂન્ય થાય છે. પદો આ મુજબ છે: $-15, -13, -11, -9, -7, -5, -3, -1, 1, 3, 5$. $6^{th}$ થી $11^{th}$ પદનો સરવાળો $(-5) + (-3) + (-1) + 1 + 3 + 5 = 0$ થાય છે. તેથી,પ્રથમ $5$ પદોના સરવાળામાં આ પદો ઉમેરવાથી કુલ સરવાળામાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.

(2, 6, 10, 14) ધારો કે $AP$ માં ચાર ક્રમિક સંખ્યાઓ $(a-3d), (a-d), (a+d), (a+3d)$ છે.
આપેલ છે કે તેમનો સરવાળો $32$ છે:
$(a-3d) + (a-d) + (a+d) + (a+3d) = 32$
$4a = 32$
$a = 8$
આપેલ છે કે પ્રથમ અને અંતિમ પદના ગુણાકારનો મધ્યમ પદોના ગુણાકાર સાથેનો ગુણોત્તર $7:15$ છે:
$\frac{(a-3d)(a+3d)}{(a-d)(a+d)} = \frac{7}{15}$
$\frac{a^2 - 9d^2}{a^2 - d^2} = \frac{7}{15}$
$a = 8$ મૂકતા:
$\frac{64 - 9d^2}{64 - d^2} = \frac{7}{15}$
$15(64 - 9d^2) = 7(64 - d^2)$
$960 - 135d^2 = 448 - 7d^2$
$512 = 128d^2$
$d^2 = 4$
$d = \pm 2$
જો $a = 8$ અને $d = 2$ હોય,તો સંખ્યાઓ $(8-6), (8-2), (8+2), (8+6)$ એટલે કે $2, 6, 10, 14$ મળે.
જો $a = 8$ અને $d = -2$ હોય,તો સંખ્યાઓ $(8+6), (8+2), (8-2), (8-6)$ એટલે કે $14, 10, 6, 2$ મળે.

(B) $1$ થી $500$ સુધીના $2$ અથવા $5$ ના ગુણકોનો સરવાળો શોધવા માટે, આપણે સમાવેશ-બાકાતનો સિદ્ધાંત વાપરીએ છીએ:
સરવાળો $= (\text{2 ના ગુણકોનો સરવાળો}) + (\text{5 ના ગુણકોનો સરવાળો}) - (\text{LCM}(2, 5) = 10 \text{ ના ગુણકોનો સરવાળો})$.
$1$. $2$ ના ગુણકો: $2, 4, 6, \dots, 500$. આ એક સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ છે જેમાં $a=2, l=500, d=2$.
પદોની સંખ્યા $n_1$: $500 = 2 + (n_1 - 1)2 \Rightarrow 498 = 2(n_1 - 1) \Rightarrow n_1 - 1 = 249 \Rightarrow n_1 = 250$.
સરવાળો $S_1 = \frac{250}{2}(2 + 500) = 125 \times 502 = 62750$.
$2$. $5$ ના ગુણકો: $5, 10, 15, \dots, 500$. આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં $a=5, l=500, d=5$.
પદોની સંખ્યા $n_2$: $500 = 5 + (n_2 - 1)5 \Rightarrow 495 = 5(n_2 - 1) \Rightarrow n_2 - 1 = 99 \Rightarrow n_2 = 100$.
સરવાળો $S_2 = \frac{100}{2}(5 + 500) = 50 \times 505 = 25250$.
$3$. $10$ ના ગુણકો: $10, 20, 30, \dots, 500$. આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં $a=10, l=500, d=10$.
પદોની સંખ્યા $n_3$: $500 = 10 + (n_3 - 1)10 \Rightarrow 490 = 10(n_3 - 1) \Rightarrow n_3 - 1 = 49 \Rightarrow n_3 = 50$.
સરવાળો $S_3 = \frac{50}{2}(10 + 500) = 25 \times 510 = 12750$.
કુલ સરવાળો $= S_1 + S_2 - S_3 = 62750 + 25250 - 12750 = 88000 - 12750 = 75250$.

(C) ધારો કે $AP$ નું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
$AP$ નું $n$મું પદ $a_n = a + (n-1)d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ શરત મુજબ,$a_8 = \frac{1}{2} a_2$.
$a + 7d = \frac{1}{2}(a + d)$
$2a + 14d = a + d$
$a + 13d = 0$ --- $(i)$
બીજી શરત મુજબ,$a_{11} = \frac{1}{3} a_4 + 1$.
$a + 10d = \frac{1}{3}(a + 3d) + 1$
$3a + 30d = a + 3d + 3$
$2a + 27d = 3$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ પરથી,$a = -13d$. આ કિંમત સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા:
$2(-13d) + 27d = 3$
$-26d + 27d = 3$
$d = 3$
$d = 3$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$a + 13(3) = 0$
$a = -39$
હવે,$15$મું પદ $(a_{15})$ શોધો:
$a_{15} = a + 14d$
$a_{15} = -39 + 14(3)$
$a_{15} = -39 + 42 = 3$.

(A) આપેલ છે કે,કુલ પદોની સંખ્યા $n = 37$ છે.
મધ્યમ પદ $\left(\frac{37+1}{2}\right)$-મું પદ એટલે કે $19$-મું પદ છે.
તેથી,ત્રણ મધ્યમ પદો $18$-મું,$19$-મું અને $20$-મું પદ છે.
આપેલ શરત મુજબ,ત્રણ મધ્યમ પદોનો સરવાળો $225$ છે:
$a_{18} + a_{19} + a_{20} = 225$
$(a + 17d) + (a + 18d) + (a + 19d) = 225$
$3a + 54d = 225$
$a + 18d = 75$ .....$(i)$
છેલ્લા ત્રણ પદોનો સરવાળો $429$ છે:
$a_{35} + a_{36} + a_{37} = 429$
$(a + 34d) + (a + 35d) + (a + 36d) = 429$
$3a + 105d = 429$
$a + 35d = 143$ .....$(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી સમીકરણ $(i)$ બાદ કરતા:
$(a + 35d) - (a + 18d) = 143 - 75$
$17d = 68$
$d = 4$
$d = 4$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$a + 18(4) = 75$
$a + 72 = 75$
$a = 3$
માગેલ $AP$ એ $a, a+d, a+2d, a+3d, \dots$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે: $3, 3+4, 3+2(4), 3+3(4), \dots$
આમ,$AP$ એ $3, 7, 11, 15, \dots$ છે.

(B) $100$ અને $200$ ની વચ્ચેના $9$ વડે વિભાજ્ય ન હોય તેવા પૂર્ણાંકોનો સરવાળો = ($100$ અને $200$ વચ્ચેના તમામ પૂર્ણાંકોનો સરવાળો) $-$ ($100$ અને $200$ વચ્ચેના $9$ વડે વિભાજ્ય પૂર્ણાંકોનો સરવાળો).
પગલું $1$: $100$ અને $200$ વચ્ચેના તમામ પૂર્ણાંકોનો સરવાળો $(101, 102, \dots, 199)$.
અહીં, $a = 101$, $l = 199$, અને $d = 1$.
પદોની સંખ્યા $n = 199 - 101 + 1 = 99$.
સરવાળો $S_{99} = \frac{n}{2}(a + l) = \frac{99}{2}(101 + 199) = \frac{99}{2}(300) = 99 \times 150 = 14850$.
પગલું $2$: $100$ અને $200$ વચ્ચેના $9$ વડે વિભાજ્ય પૂર્ણાંકોનો સરવાળો.
$100$ પછી $9$ નો પ્રથમ ગુણક $108$ $(9 \times 12)$ છે અને છેલ્લો $198$ $(9 \times 22)$ છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે: $108, 117, \dots, 198$.
અહીં, $a = 108$, $l = 198$, $d = 9$.
$198 = 108 + (n-1)9 \Rightarrow 90 = (n-1)9 \Rightarrow n-1 = 10 \Rightarrow n = 11$.
સરવાળો $S_{11} = \frac{11}{2}(108 + 198) = \frac{11}{2}(306) = 11 \times 153 = 1683$.
પગલું $3$: જરૂરી સરવાળો $= 14850 - 1683 = 13167$.

(C) $100$ અને $200$ ની વચ્ચેના $9$ વડે વિભાજ્ય ન હોય તેવા પૂર્ણાંકોનો સરવાળો નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે: ($100$ અને $200$ વચ્ચેના તમામ પૂર્ણાંકોનો સરવાળો) $-$ ($100$ અને $200$ વચ્ચેના $9$ વડે વિભાજ્ય પૂર્ણાંકોનો સરવાળો).
પગલું $1$: $100$ અને $200$ વચ્ચેના તમામ પૂર્ણાંકોનો સરવાળો.
આ પૂર્ણાંકો $101, 102, \dots, 199$ છે. આ એક સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ છે જેમાં $a = 101$, $l = 199$, અને $d = 1$ છે.
પદોની સંખ્યા $n$: $199 = 101 + (n - 1)1 \implies n - 1 = 98 \implies n = 99$.
સરવાળો $S_{99} = \frac{99}{2}(101 + 199) = \frac{99}{2}(300) = 99 \times 150 = 14850$.
પગલું $2$: $100$ અને $200$ વચ્ચેના $9$ વડે વિભાજ્ય પૂર્ણાંકોનો સરવાળો.
$100$ પછી $9$ વડે વિભાજ્ય પ્રથમ પૂર્ણાંક $108$ $(9 \times 12)$ છે અને છેલ્લો પૂર્ણાંક $198$ $(9 \times 22)$ છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં $a = 108$, $l = 198$, $d = 9$ છે.
પદોની સંખ્યા $n$: $198 = 108 + (n - 1)9 \implies 90 = (n - 1)9 \implies n - 1 = 10 \implies n = 11$.
સરવાળો $S_{11} = \frac{11}{2}(108 + 198) = \frac{11}{2}(306) = 11 \times 153 = 1683$.
પગલું $3$: જરૂરી સરવાળો $= 14850 - 1683 = 13167$.

(A) ધારો કે $a$ અને $d$ એ $AP$ નું પ્રથમ પદ અને સામાન્ય તફાવત છે.
આપેલ છે કે,$a_{11} : a_{18} = 2 : 3$.
$\Rightarrow \frac{a + 10d}{a + 17d} = \frac{2}{3}$.
$\Rightarrow 3a + 30d = 2a + 34d$.
$\Rightarrow a = 4d$ ....$(i)$.
હવે,$a_5 = a + 4d = 4d + 4d = 8d$.
$a_{21} = a + 20d = 4d + 20d = 24d$.
તેથી,$a_5 : a_{21} = 8d : 24d = 1 : 3$.
હવે,પ્રથમ પાંચ પદોનો સરવાળો,$S_5 = \frac{5}{2}[2a + (5-1)d] = \frac{5}{2}[2(4d) + 4d] = \frac{5}{2}(12d) = 30d$.
અને પ્રથમ $21$ પદોનો સરવાળો,$S_{21} = \frac{21}{2}[2a + (21-1)d] = \frac{21}{2}[2(4d) + 20d] = \frac{21}{2}(28d) = 294d$.
તેથી,પ્રથમ પાંચ પદોના સરવાળા અને પ્રથમ $21$ પદોના સરવાળાનો ગુણોત્તર $S_5 : S_{21} = 30d : 294d = 5 : 49$ છે.

(A) આપેલ છે કે $AP$ એ $a, b, \dots, c$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $= a,$ અને સામાન્ય તફાવત $d = b - a$ છે.
અંતિમ પદ $l = a_n = c$ છે.
$n$-મું પદ શોધવાનું સૂત્ર: $a_n = a + (n - 1)d.$
કિંમતો મૂકતા: $c = a + (n - 1)(b - a).$
$(n - 1) = \frac{c - a}{b - a}.$
$n = \frac{c - a}{b - a} + 1 = \frac{c - a + b - a}{b - a} = \frac{b + c - 2a}{b - a} \dots (i).$
$AP$ ના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ છે.
$(i)$ માંથી $n$ અને $l = c$ ની કિંમત મૂકતા:
$S_n = \frac{1}{2} \left( \frac{b + c - 2a}{b - a} \right) (a + c).$
આમ,$S_n = \frac{(a + c)(b + c - 2a)}{2(b - a)}.$ આમ સાબિત થાય છે.

(B) આપેલ શ્રેણી $-4, -1, 2, \ldots, x$ એ સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = -4$ અને સામાન્ય તફાવત $d = (-1) - (-4) = 3$ છે.
ધારો કે પદોની સંખ્યા $n$ છે. $n$-મું પદ $x = a + (n - 1)d$ છે.
$x = -4 + (n - 1)3 \Rightarrow x = -4 + 3n - 3 \Rightarrow x = 3n - 7 \Rightarrow n = \frac{x + 7}{3}$.
સમાંતર શ્રેણીનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l = x$ એ અંતિમ પદ છે.
$437 = \frac{n}{2}(-4 + x)$.
$n = \frac{x + 7}{3}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$437 = \frac{x + 7}{2 \times 3}(-4 + x) = \frac{(x + 7)(x - 4)}{6}$.
$437 \times 6 = x^2 + 3x - 28$.
$2622 = x^2 + 3x - 28 \Rightarrow x^2 + 3x - 2650 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(-2650)}}{2(1)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 10600}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{10609}}{2}$.
$x = \frac{-3 \pm 103}{2}$.
શ્રેણીનો સરવાળો $437$ થવા માટે $x$ ધન હોવો જોઈએ,તેથી $x = \frac{100}{2} = 50$ લેતા.

(A) હપ્તાઓ એક સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ બનાવે છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 1000$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 100$ છે.
$1$. $30$ મો હપ્તો $a_n = a + (n - 1)d$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$n = 30$ માટે,$a_{30} = 1000 + (30 - 1) \times 100 = 1000 + 2900 = Rs. 3900$.
$2$. $30$ હપ્તામાં ચૂકવેલ કુલ રકમ સરવાળાના સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ દ્વારા મળે છે.
$S_{30} = \frac{30}{2} [2(1000) + (30 - 1) \times 100] = 15 [2000 + 2900] = 15 \times 4900 = Rs. 73500$.
$3$. $30$ હપ્તા પછી બાકી રહેલી લોનની રકમ = કુલ લોન - $S_{30} = 118000 - 73500 = Rs. 44500$.

(A) આપેલ છે કે,કુલ ઝંડીઓની સંખ્યા $= 27$ છે. ઝંડીઓ $2 \,m$ ના અંતરે લગાવવાની છે. સૌથી વચ્ચેની ઝંડી $14$ મી ઝંડી છે. રુચિ $14$ મી ઝંડીના સ્થાનથી શરૂઆત કરે છે.
ડાબી બાજુએ ઝંડીઓ લગાવવા માટે: ડાબી બાજુ $13$ ઝંડીઓ છે. $1$ લી ઝંડી (કેન્દ્રથી $2 \,m$ પર) લગાવવા માટે,તે $2 \,m$ જાય છે અને $2 \,m$ પાછી ફરે છે (કુલ $4 \,m$). $2$ જી ઝંડી (કેન્દ્રથી $4 \,m$ પર) લગાવવા માટે,તે $4 \,m$ જાય છે અને $4 \,m$ પાછી ફરે છે (કુલ $8 \,m$). આ રીતે $13$ મી ઝંડી (કેન્દ્રથી $26 \,m$ પર) સુધી,જ્યાં તે $26 \,m$ જાય છે અને $26 \,m$ પાછી ફરે છે (કુલ $52 \,m$).
ડાબી બાજુ માટે કુલ અંતર $4 + 8 + 12 + \dots + 52$ છે. આ એક સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ છે જેમાં $a = 4$,$d = 4$,અને $n = 13$ છે.
સરવાળો $= \frac{n}{2} [2a + (n-1)d] = \frac{13}{2} [2(4) + (12)(4)] = \frac{13}{2} [8 + 48] = \frac{13}{2} [56] = 13 \times 28 = 364 \,m$.
તે જ રીતે,જમણી બાજુ માટે પણ કુલ અંતર $364 \,m$ છે.
કુલ કાપેલું અંતર $= 364 + 364 = 728 \,m$.
ઝંડી લઈને કાપેલું મહત્તમ અંતર એ કેન્દ્રથી સૌથી દૂરની ઝંડી સુધીનું અંતર છે,જે $26 \,m$ છે.

(C) આપેલ $A.P.$ માટે,પ્રથમ પદ $a = 5$,સામાન્ય તફાવત $d = 13 - 5 = 8$ અને $n = 20$ છે.
$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$\therefore S_{20} = \frac{20}{2}[2(5) + (20 - 1)8]$
$\quad = 10[10 + 152]$
$\quad = 10[162] = 1620$.
આમ,$A.P.$ ના પ્રથમ $20$ પદોનો સરવાળો $1620$ છે.
હવે,ધારો કે $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = 6440$ છે.
$\therefore 6440 = \frac{n}{2}[2(5) + (n - 1)8]$
$\therefore 12880 = n[10 + 8n - 8]$
$\therefore 12880 = 8n^2 + 2n$
$\therefore 8n^2 + 2n - 12880 = 0$
$2$ વડે ભાગતા,$4n^2 + n - 6440 = 0$ મળે.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $4n^2 + 161n - 160n - 6440 = 0$
$\therefore n(4n + 161) - 40(4n + 161) = 0$
$\therefore (4n + 161)(n - 40) = 0$
$n$ એ ધન પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $n = 40$ (કારણ કે $n = -\frac{161}{4}$ શક્ય નથી).
આમ,$A.P.$ ના $40$ પદોનો સરવાળો $6440$ થાય છે.

(A) ધારો કે $A.P.$ માં ચાર સંખ્યાઓ $(a-3d, a-d, a+d, a+3d)$ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ,સંખ્યાઓનો સરવાળો $36$ છે:
$(a-3d) + (a-d) + (a+d) + (a+3d) = 36$
$4a = 36$
$a = 9$
બીજી શરત મુજબ,મધ્યમ પદોનો ગુણાકાર અંતિમ પદોના ગુણાકાર કરતા $32$ વધારે છે:
$(a-d)(a+d) = (a-3d)(a+3d) + 32$
$a^2 - d^2 = a^2 - 9d^2 + 32$
$8d^2 = 32$
$d^2 = 4$
$d = \pm 2$
કિસ્સો $1$: જો $a = 9$ અને $d = 2$ હોય,તો સંખ્યાઓ $(9-6, 9-2, 9+2, 9+6) = (3, 7, 11, 15)$ મળે.
કિસ્સો $2$: જો $a = 9$ અને $d = -2$ હોય,તો સંખ્યાઓ $(9+6, 9+2, 9-2, 9-6) = (15, 11, 7, 3)$ મળે.
આમ,જરૂરી ચાર સંખ્યાઓ $3, 7, 11, 15$ અથવા $15, 11, 7, 3$ છે.

(N/A) ધારો કે $A.P.$ માં જરૂરી પાંચ સંખ્યાઓ $a-2d, a-d, a, a+d, a+2d$ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ,
$(a-2d) + (a-d) + a + (a+d) + (a+2d) = 30$
$5a = 30$
$a = 6$
બીજી શરત મુજબ,
$(a-2d)^2 + (a-d)^2 + a^2 + (a+d)^2 + (a+2d)^2 = 220$
$(a^2 - 4ad + 4d^2) + (a^2 - 2ad + d^2) + a^2 + (a^2 + 2ad + d^2) + (a^2 + 4ad + 4d^2) = 220$
$5a^2 + 10d^2 = 220$
$a^2 + 2d^2 = 44$
$a = 6$ મૂકતા:
$6^2 + 2d^2 = 44$
$36 + 2d^2 = 44$
$2d^2 = 8$
$d^2 = 4$
$d = \pm 2$
જો $a = 6$ અને $d = 2$ હોય,તો સંખ્યાઓ $6-4, 6-2, 6, 6+2, 6+4$ એટલે કે $2, 4, 6, 8, 10$ મળે.
જો $a = 6$ અને $d = -2$ હોય,તો સંખ્યાઓ $6+4, 6+2, 6, 6-2, 6-4$ એટલે કે $10, 8, 6, 4, 2$ મળે.
આમ,જરૂરી પાંચ સંખ્યાઓ $2, 4, 6, 8, 10$ અથવા $10, 8, 6, 4, 2$ છે.

(A) આપેલ $A.P.$ $85, 78, 71, \ldots$ છે,જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 85$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 78 - 85 = -7$ છે.
$n^{th}$ પદ પ્રથમ ઋણ પદ હોય તે માટે,આપણે $a_{n} < 0$ લઈએ છીએ.
$n^{th}$ પદ માટેનું સૂત્ર $a_{n} = a + (n - 1)d$ છે.
તેથી,$85 + (n - 1)(-7) < 0$.
$85 - 7n + 7 < 0$.
$92 - 7n < 0$.
$7n > 92$.
$n > 13.14$.
$n$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી પ્રથમ ઋણ પદ $14^{th}$ પદ $(n = 14)$ છે.
$S_{14}$ શોધવા માટે,આપણે સરવાળાના સૂત્ર $S_{n} = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$S_{14} = \frac{14}{2}[2(85) + (14 - 1)(-7)]$.
$S_{14} = 7[170 + 13(-7)]$.
$S_{14} = 7[170 - 91]$.
$S_{14} = 7[79] = 553$.

(A) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ છે અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
$A.P.$ નું $n$ મું પદ $a_n = a + (n-1)d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $a_{12} = -13$,તેથી $a + 11d = -13$ --- (સમીકરણ $1$).
પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ છે.
આપેલ છે કે $S_4 = 24$,તેથી $\frac{4}{2}[2a + 3d] = 24$,જેનું સાદું રૂપ $2(2a + 3d) = 24$ અથવા $2a + 3d = 12$ થાય છે --- (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ ને $2$ વડે ગુણતા: $2a + 22d = -26$ --- (સમીકરણ $3$).
સમીકરણ $3$ માંથી સમીકરણ $2$ બાદ કરતા: $(2a + 22d) - (2a + 3d) = -26 - 12$,જે $19d = -38$ આપે છે,તેથી $d = -2$.
$d = -2$ ની કિંમત સમીકરણ $2$ માં મૂકતા: $2a + 3(-2) = 12$,તેથી $2a - 6 = 12$,$2a = 18$,$a = 9$.
હવે,પ્રથમ $10$ પદોનો સરવાળો $S_{10} = \frac{10}{2}[2(9) + (10-1)(-2)]$.
$S_{10} = 5[18 + 9(-2)] = 5[18 - 18] = 5(0) = 0$.

(N/A) આપેલ છે: પ્રથમ પદ $a = 17$,અંતિમ પદ $l = a_n = 350$,અને સામાન્ય તફાવત $d = 9$.
$n$ માં પદ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $a_n = a + (n - 1)d$.
કિંમતો મૂકતા: $350 = 17 + (n - 1)9$.
$350 - 17 = (n - 1)9$.
$333 = (n - 1)9$.
$n - 1 = 333 / 9 = 37$.
$n = 37 + 1 = 38$.
હવે,$S_n = (n/2)(a + l)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સરવાળો $S_n$ શોધતા:
$S_{38} = (38 / 2)(17 + 350)$.
$S_{38} = 19 \times 367$.
$S_{38} = 6973$.
આમ,પદોની સંખ્યા $38$ છે અને સરવાળો $6973$ છે.

(N/A) ફેક્ટરીનું ઉત્પાદન દર વર્ષે સમાન રીતે વધતું હોવાથી,વાર્ષિક ઉત્પાદન સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ બનાવે છે.
આ $A.P.$ માટે,$3^{rd}$ પદ $T_{3} = 600$ અને $7^{th}$ પદ $T_{7} = 700$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d$ માટેનું સૂત્ર $d = \frac{T_{m} - T_{n}}{m - n}$ છે.
$m = 7$ અને $n = 3$ લેતા:
$d = \frac{700 - 600}{7 - 3} = \frac{100}{4} = 25$.
$T_{n} = a + (n - 1)d$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $T_{3}$ માટે:
$600 = a + (3 - 1)(25) \implies 600 = a + 50 \implies a = 550$.
આમ,$1^{st}$ વર્ષમાં ઉત્પાદન $550 \, TV$ છે.
$10^{th}$ વર્ષ માટે:
$T_{10} = a + 9d = 550 + 9(25) = 550 + 225 = 775 \, TV$.
$7$ વર્ષમાં કુલ ઉત્પાદન $(S_{7})$ માટે:
$S_{n} = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$
$S_{7} = \frac{7}{2} [2(550) + (7 - 1)(25)] = \frac{7}{2} [1100 + 150] = \frac{7}{2} [1250] = 7 \times 625 = 4375 \, TV$.

(B) $A.P.$ $40, 36, 32, \ldots$ માટે,પ્રથમ પદ $a = 40$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 36 - 40 = -4$ છે.
કયું પદ $0$ છે તે શોધવા માટે,આપણે સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$a_n = 0$ લેતા,આપણને મળે $0 = 40 + (n - 1)(-4)$.
$4(n - 1) = 40 \implies n - 1 = 10 \implies n = 11$.
આમ,$11$ મું પદ $0$ છે.
કેટલા પદોનો સરવાળો $0$ થાય તે શોધવા માટે,આપણે $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$S_n = 0$ લેતા,આપણને મળે $0 = \frac{n}{2}[2(40) + (n - 1)(-4)]$.
$0 = 80 - 4n + 4 \implies 4n = 84 \implies n = 21$.
આમ,$21$ પદોનો સરવાળો $0$ થાય છે.

(A) પ્રથમ $A.P.$ માટે: $a_1 = 63$,$d_1 = 65 - 63 = 2$. $n$ મું પદ $a_n = a_1 + (n - 1)d_1 = 63 + (n - 1)2 = 63 + 2n - 2 = 61 + 2n$ છે.
બીજા $A.P.$ માટે: $a_2 = 3$,$d_2 = 10 - 3 = 7$. $n$ મું પદ $a_n = a_2 + (n - 1)d_2 = 3 + (n - 1)7 = 3 + 7n - 7 = 7n - 4$ છે.
બંને $n$ માં પદને સરખાવતા: $61 + 2n = 7n - 4$.
$61 + 4 = 7n - 2n$.
$65 = 5n$.
$n = 13$.
આમ,બંને શ્રેણીનું $13$ મું પદ સમાન છે.

(A) આપેલ છે: પ્રથમ પદ $a = 5$,સામાન્ય તફાવત $d = 3$,અને $n$ મું પદ $T_n = 50$.
પગલું $1$: $T_n = a + (n - 1)d$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $n$ શોધો.
$50 = 5 + (n - 1)3$
$45 = (n - 1)3$
$15 = n - 1$
$n = 16$.
પગલું $2$: $S_n = \frac{n}{2}(a + T_n)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $n$ પદોનો સરવાળો $S_n$ શોધો.
$S_{16} = \frac{16}{2}(5 + 50)$
$S_{16} = 8 \times 55$
$S_{16} = 440$.
આમ,$n = 16$ અને $S_n = 440$ છે.

(A) આપેલ છે: $T_{n} = a + (n - 1)d = 4$ અને $S_{n} = \frac{n}{2}[a + T_{n}] = -14$.
સરવાળાના સૂત્રમાં $T_{n} = 4$ મૂકતા: $\frac{n}{2}[a + 4] = -14 \implies n(a + 4) = -28$.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી: $a = 4 - (n - 1)d = 4 - 2n + 2 = 6 - 2n$.
$a$ ની કિંમત સરવાળાના સમીકરણમાં મૂકતા: $n(6 - 2n + 4) = -28 \implies n(10 - 2n) = -28$.
$10n - 2n^{2} = -28 \implies 2n^{2} - 10n - 28 = 0 \implies n^{2} - 5n - 14 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(n - 7)(n + 2) = 0$.
$n$ ધન પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $n = 7$.
હવે,$a$ શોધો: $a = 6 - 2(7) = 6 - 14 = -8$.
આમ,$n = 7$ અને $a = -8$.

(A) ધારો કે $A.P.$ માં ત્રણ સંખ્યાઓ $(a - d)$,$a$,અને $(a + d)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આ સંખ્યાઓનો સરવાળો $21$ છે:
$(a - d) + a + (a + d) = 21$
$3a = 21$
$a = 7$
હવે,પ્રથમ અને ત્રીજી સંખ્યાનો ગુણાકાર બીજી સંખ્યા કરતા $6$ જેટલો વધારે છે:
$(a - d)(a + d) = a + 6$
$a^2 - d^2 = a + 6$
સમીકરણમાં $a = 7$ મૂકતા:
$7^2 - d^2 = 7 + 6$
$49 - d^2 = 13$
$d^2 = 36$
$d = \pm 6$
કિસ્સો $1$: જો $d = 6$ હોય,તો સંખ્યાઓ $(7 - 6), 7, (7 + 6)$ એટલે કે $1, 7, 13$ મળે.
કિસ્સો $2$: જો $d = -6$ હોય,તો સંખ્યાઓ $(7 - (-6)), 7, (7 + (-6))$ એટલે કે $13, 7, 1$ મળે.
આમ,તે સંખ્યાઓ $1, 7, 13$ અથવા $13, 7, 1$ છે.

(A) આપેલ છે: પ્રથમ પદ $a = 10$,$n^{th}$ પદ $a_n = 40$,અને $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = 150$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $A.P.$ ના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}(a + a_n)$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $150 = \frac{n}{2}(10 + 40)$.
$150 = \frac{n}{2}(50)$.
$150 = 25n$.
$n = \frac{150}{25} = 6$.
હવે,$n^{th}$ પદ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $a_n = a + (n - 1)d$.
કિંમતો મૂકતા: $40 = 10 + (6 - 1)d$.
$40 - 10 = 5d$.
$30 = 5d$.
$d = \frac{30}{5} = 6$.
આમ,$n = 6$ અને $d = 6$.

(D) ધારો કે ચાર વ્યક્તિઓની હાલની ઉંમર $x_1, x_2, x_3,$ અને $x_4$ છે.
પાંચ વર્ષ પહેલાં,તેમની ઉંમર $(x_1 - 5), (x_2 - 5), (x_3 - 5),$ અને $(x_4 - 5)$ હતી.
પ્રશ્ન મુજબ,પાંચ વર્ષ પહેલાં તેમની ઉંમરનો સરવાળો $60$ વર્ષ હતો:
$(x_1 - 5) + (x_2 - 5) + (x_3 - 5) + (x_4 - 5) = 60$
$(x_1 + x_2 + x_3 + x_4) - 20 = 60$
$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 60 + 20$
$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 80$
આમ,તેમની હાલની ઉંમરનો સરવાળો $80$ વર્ષ છે.

(D) ધારો કે પાંચ મિત્રોની હાલની ઉંમર $a_1, a_2, a_3, a_4,$ અને $a_5$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$y$ વર્ષ પહેલાં તેમની ઉંમરનો સરવાળો $x$ હતો.
તેથી,$(a_1 - y) + (a_2 - y) + (a_3 - y) + (a_4 - y) + (a_5 - y) = x$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$(a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5) - 5y = x$.
તેથી,તેમની હાલની ઉંમરનો સરવાળો $(a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5) = x + 5y$ થાય.