Binomial distribution Questions in Gujarati

(B) દ્વિપદી સંભાવના વિતરણનો ઉપયોગ કરો જ્યાં $n = 5$ અને $p = 0.2 = \frac{1}{5}$ છે.
સફળતાની સંભાવના $p = \frac{1}{5}$, તેથી નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ છે.
આપણે ઓછામાં ઓછા બે સબ્સ્ક્રાઇબર્સને પ્રમોશન મળે તેની સંભાવના શોધવાની છે, જે $P(X \geq 2)$ છે.
આની ગણતરી $P(X \geq 2) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)]$ તરીકે કરી શકાય છે.
$P(X = 0) = { }^5 C_0 \left(\frac{1}{5}\right)^0 \left(\frac{4}{5}\right)^5 = 1 \times 1 \times \frac{1024}{3125} = \frac{1024}{3125}$.
$P(X = 1) = { }^5 C_1 \left(\frac{1}{5}\right)^1 \left(\frac{4}{5}\right)^4 = 5 \times \frac{1}{5} \times \frac{256}{625} = \frac{256}{625} = \frac{1280}{3125}$.
તેથી, $P(X \geq 2) = 1 - \left(\frac{1024 + 1280}{3125}\right) = 1 - \frac{2304}{3125} = \frac{3125 - 2304}{3125} = \frac{821}{3125}$.

(B) આપેલ છે કે $\lim _{t \rightarrow 0}(1+5t)^{\frac{1}{t}} = K$.
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim _{t \rightarrow 0}(1+at)^{\frac{1}{t}} = e^a$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $K = e^5$ મળે છે.
યાદચ્છિક ચલ $X$ માટે જે $n = 100$ સ્વતંત્ર પ્રયત્નોમાં સફળતાની સંખ્યા દર્શાવે છે અને સફળતાની સંભાવના $p = 0.05$ છે, આ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે.
અહીં $n$ મોટું છે અને $p$ નાનું છે, તેથી આપણે પોઈસન વિતરણનો ઉપયોગ કરીને $\lambda = np = 100 \times 0.05 = 5$ મેળવી શકીએ છીએ.
ઓછામાં ઓછી એક સફળતા મેળવવાની સંભાવના $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$ છે.
પોઈસન સૂત્ર $P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ નો ઉપયોગ કરતા, $P(X = 0) = e^{-5}$ મળે છે.
તેથી, $P(X \geq 1) = 1 - e^{-5} = 1 - \frac{1}{e^5} = 1 - \frac{1}{K} = \frac{K-1}{K}$.

(B) ધારો કે $p$ એ સફળતાની સંભાવના છે અને $q$ એ નિષ્ફળતાની સંભાવના છે. આપેલ છે કે $p = 3q$. $p + q = 1$ હોવાથી, $3q + q = 1$, જેનો અર્થ છે કે $4q = 1$, તેથી $q = \frac{1}{4}$ અને $p = \frac{3}{4}$.
$n = 5$ પ્રયત્નો સાથેના દ્વિપદી વિતરણ માટે, $x$ સફળતાની સંભાવના $P(X = x) = {}^nC_x p^x q^{n-x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે ઓછામાં ઓછી $4$ સફળતા મેળવવાની સંભાવના શોધવાની છે, જે $P(X \ge 4) = P(X = 4) + P(X = 5)$ છે.
$P(X = 4) = {}^5C_4 (\frac{3}{4})^4 (\frac{1}{4})^1 = 5 \cdot \frac{81}{256} \cdot \frac{1}{4} = \frac{405}{1024}$.
$P(X = 5) = {}^5C_5 (\frac{3}{4})^5 (\frac{1}{4})^0 = 1 \cdot \frac{243}{1024} \cdot 1 = \frac{243}{1024}$.
આમ, $P(X \ge 4) = \frac{405}{1024} + \frac{243}{1024} = \frac{648}{1024} = \frac{81}{128}$.

(C) આપેલ છે કે મધ્યક $\mu = np = \frac{5}{2}$ અને વિચરણ $\sigma^2 = npq = \frac{5}{4}$ છે.
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા, આપણને $q = \frac{npq}{np} = \frac{5/4}{5/2} = \frac{1}{2}$ મળે છે.
કારણ કે $p = 1 - q$, તેથી $p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ મળે છે.
$p = \frac{1}{2}$ ને $np = \frac{5}{2}$ માં મૂકતા, આપણને $n \times \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $n = 5$.
આપણે $P(X > 1) = 1 - \{P(X = 0) + P(X = 1)\}$ શોધવાનું છે.
દ્વિપદી સંભાવના સૂત્ર $P(X = k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X = 0) = {}^5C_0 (\frac{1}{2})^0 (\frac{1}{2})^5 = 1 \times 1 \times \frac{1}{32} = \frac{1}{32}$.
$P(X = 1) = {}^5C_1 (\frac{1}{2})^1 (\frac{1}{2})^4 = 5 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{16} = \frac{5}{32}$.
તેથી, $P(X > 1) = 1 - (\frac{1}{32} + \frac{5}{32}) = 1 - \frac{6}{32} = 1 - \frac{3}{16} = \frac{13}{16}$.

(C) આપેલ છે કે વ્યક્તિ $9$ રમતોમાં $4$ વખત નિષ્ફળ જાય છે, તેથી સફળતાની સંખ્યા $9 - 4 = 5$ છે.
આમ, એક રમતમાં સફળતાની સંભાવના $p = \frac{5}{9}$ છે.
પરિણામે, નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$ છે.
$n = 15$ પ્રયત્નો માટે, આપણે વધુમાં વધુ એક સફળતાની સંભાવના શોધીએ છીએ, એટલે કે $P(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1)$.
દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર $P(X = r) = {}^{n}C_{r} p^r q^{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X = 0) = {}^{15}C_{0} \left(\frac{5}{9}\right)^0 \left(\frac{4}{9}\right)^{15} = \left(\frac{4}{9}\right)^{15}$.
$P(X = 1) = {}^{15}C_{1} \left(\frac{5}{9}\right)^1 \left(\frac{4}{9}\right)^{14} = 15 \times \frac{5}{9} \times \left(\frac{4}{9}\right)^{14} = \frac{75}{9} \times \left(\frac{4}{9}\right)^{14}$.
આ સંભાવનાઓનો સરવાળો કરતા:
$P(X \leq 1) = \left(\frac{4}{9}\right)^{15} + \frac{75}{9} \times \left(\frac{4}{9}\right)^{14} = \left(\frac{4}{9}\right)^{14} \left[ \frac{4}{9} + \frac{75}{9} \right] = \frac{79}{9} \left(\frac{4}{9}\right)^{14}$.

(D) ધારો કે $p$ એ $A$ થી રવાના થયેલ જહાજ $B$ પર સુરક્ષિત રીતે પહોંચે તેની સંભાવના દર્શાવે છે.
તેથી, $p = \frac{9}{10} = 0.9$.
તેથી, $q = 1 - p = 1 - 0.9 = 0.1$.
ધારો કે $X$ એ $n = 5$ જહાજોમાંથી $B$ પર સુરક્ષિત રીતે પહોંચતા જહાજોની સંખ્યા દર્શાવે છે.
આ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p) = B(5, 0.9)$ ને અનુસરે છે.
જરૂરી સંભાવના $P(X \geq 4) = P(X = 4) + P(X = 5)$ છે.
સૂત્ર $P(X = k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X = 4) = {}^5C_4 (0.9)^4 (0.1)^1 = 5 \times (0.9)^4 \times 0.1 = 0.5 \times (0.9)^4$.
$P(X = 5) = {}^5C_5 (0.9)^5 (0.1)^0 = 1 \times (0.9)^5 \times 1 = 0.9 \times (0.9)^4$.
આ સંભાવનાઓનો સરવાળો કરતા:
$P(X \geq 4) = 0.5(0.9)^4 + 0.9(0.9)^4 = (0.5 + 0.9)(0.9)^4 = 1.4(0.9)^4$.

(C) ધારો કે $X$ એ $100$ ઉછાળમાં મળતી છાપની સંખ્યા છે. $X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે જ્યાં $n = 100$.
$k$ છાપ મળવાની સંભાવના $P(X=k) = {}^{n}C_{k} p^{k} (1-p)^{n-k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $P(X=50) = P(X=51)$, તેથી:
${}^{100}C_{50} p^{50} (1-p)^{50} = {}^{100}C_{51} p^{51} (1-p)^{49}$
બંને બાજુને $p^{50} (1-p)^{49}$ વડે ભાગતા, આપણને મળે છે:
${}^{100}C_{50} (1-p) = {}^{100}C_{51} p$
${}^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{100!}{50! 50!} (1-p) = \frac{100!}{51! 49!} p$
$\frac{1-p}{50} = \frac{p}{51}$
$51(1-p) = 50p$
$51 - 51p = 50p$
$101p = 51$
$p = \frac{51}{101}$

(B) દ્વિપદી વિતરણ માટે, મધ્યક $\mu = np = 4$ અને વિચરણ $\sigma^2 = npq = (\sqrt{3})^2 = 3$ છે.
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા, $\frac{npq}{np} = \frac{3}{4}$, જેનો અર્થ છે કે $q = \frac{3}{4}$.
$p + q = 1$ હોવાથી, $p = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ મળે.
$np = 4$ માં $p = \frac{1}{4}$ મૂકતા, $n(\frac{1}{4}) = 4$, તેથી $n = 16$ મળે.
આપણે $P(X \geq 1)$ શોધવાનું છે. પૂરક ઘટનાના નિયમ મુજબ, $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$.
દ્વિપદી વિતરણ માટે, $P(X = k) = {}^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$.
તેથી, $P(X = 0) = {}^{16}C_{0} (\frac{1}{4})^{0} (\frac{3}{4})^{16} = 1 \times 1 \times (\frac{3}{4})^{16} = (\frac{3}{4})^{16}$.
આમ, $P(X \geq 1) = 1 - (\frac{3}{4})^{16}$.

(C) દ્વિપદી વિતરણ માટે સંભાવનાનું સૂત્ર $P(X=k) = { }^n C_k p^k q^{n-k}$ છે, જ્યાં $q = 1-p$.
અહીં $n=4$ આપેલ છે અને સમીકરણ $P(X=4) = 6 P(X=2)$ છે.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: ${ }^4 C_4 p^4 q^0 = 6 \cdot { }^4 C_2 p^2 q^2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ${ }^4 C_4 = 1$ અને ${ }^4 C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$, તેથી:
$1 \cdot p^4 = 6 \cdot 6 \cdot p^2 q^2$.
$p^4 = 36 p^2 q^2$.
બંને બાજુ $p^2$ વડે ભાગતા ($p \neq 0$ ધારીને):
$p^2 = 36 q^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$p = 6q$ (કારણ કે $p$ અને $q$ સંભાવનાઓ છે, તેથી તે ધન હોવી જોઈએ).
$q = 1-p$ મૂકતા:
$p = 6(1-p)$.
$p = 6 - 6p$.
$7p = 6$.
$p = \frac{6}{7}$.

(A) દ્વિપદી વિતરણ માટે, મધ્યક $E(X) = np = 3$ અને વિચરણ $Var(X) = npq = 2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા, આપણને $\frac{npq}{np} = \frac{2}{3}$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $q = \frac{2}{3}$.
કારણ કે $p + q = 1$, તેથી $p = 1 - q = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
$p = \frac{1}{3}$ ને $np = 3$ માં મૂકતા, આપણને $n \times \frac{1}{3} = 3$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $n = 9$.
આમ, દ્વિપદી વિતરણ $(q + p)^n = \left(\frac{2}{3} + \frac{1}{3}\right)^9$ છે.

(C) ધારો કે $X$ એ $3$ પ્રયત્નોમાં પસંદ થયેલ ગણિતના પુસ્તકોની સંખ્યા દર્શાવતો યાદચ્છિક ચલ છે.
કુલ પુસ્તકોની સંખ્યા = $3 + 2 = 5$.
એક પ્રયત્નમાં ગણિતનું પુસ્તક પસંદ કરવાની સંભાવના $p = \frac{3}{5}$ છે.
ભૌતિકવિજ્ઞાનનું પુસ્તક પસંદ કરવાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$ છે.
પુસ્તકોને દરેક પસંદગી પછી પાછા મૂકવામાં આવતા હોવાથી, પ્રયત્નો સ્વતંત્ર છે અને યાદચ્છિક ચલ $X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે, જ્યાં $n = 3$ અને $p = \frac{3}{5}$ છે.
દ્વિપદી વિતરણનો મધ્યક $E[X] = np$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા, આપણને $E[X] = 3 \times \frac{3}{5} = \frac{9}{5}$ મળે છે.

(B) કુલ પત્તાની સંખ્યા $52$ છે. એક્કાની સંખ્યા $4$ છે. પત્તા પુરવણી સહિત પસંદ કરવામાં આવતા હોવાથી, એક પ્રયત્નમાં એક્કો મળવાની સંભાવના $p = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ છે. એક્કો ન મળવાની સંભાવના $q = 1 - p = \frac{12}{13}$ છે.
આ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ છે જ્યાં $n = 2$ અને $p = \frac{1}{13}$ છે.
દ્વિપદી વિતરણનો મધ્યક $E(X) = np$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મધ્યક $= 2 \times \frac{1}{13} = \frac{2}{13}$.

(A) દ્વિપદી વિતરણ માટે, મધ્યક $np = 16/5$ અને વિચરણ $npq = 48/25$ છે.
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા, આપણને $q = (48/25) / (16/5) = (48/25) \times (5/16) = 3/5$ મળે છે.
કારણ કે $p + q = 1$, તેથી $p = 1 - 3/5 = 2/5$ થાય.
મધ્યકના સમીકરણમાં $p$ ની કિંમત મૂકતા: $n(2/5) = 16/5 \Rightarrow n = 8$.
આપણે $P(X > 1) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)$ શોધવાની જરૂર છે.
$P(X = 0) = ^8C_0 (2/5)^0 (3/5)^8 = (3/5)^8$.
$P(X = 1) = ^8C_1 (2/5)^1 (3/5)^7 = 8 \times (2/5) \times (3/5)^7 = (16/5) \times (3/5)^7$.
આમ, $P(X > 1) = 1 - (3/5)(3/5)^7 - (16/5)(3/5)^7 = 1 - (3/5 + 16/5)(3/5)^7 = 1 - (19/5)(3/5)^7$.
આને $1 - K(3/5)^7$ સાથે સરખાવતા, આપણને $K = 19/5$ મળે છે.
તેથી, $5K = 5 \times (19/5) = 19$.

(A) ધારો કે $X$ એ ખેંચાયેલા કાળીના પત્તાની સંખ્યા દર્શાવતો યાદચ્છિક ચલ છે. પત્તા બદલી સાથે (with replacement) ખેંચવામાં આવતા હોવાથી, આ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે, જ્યાં $n = 2$ અને $p = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$ છે.
સફળતાની સંભાવના (કાળીનું પત્તું મળવું) $p = \frac{1}{4}$ છે અને નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 1 - p = \frac{3}{4}$ છે.
દ્વિપદી વિતરણનું વિચરણ $Var(X) = npq$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $Var(X) = 2 \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$.

(D) $5$ સિક્કા ઉછાળવાના યાદચ્છિક પ્રયોગમાં, છાપની સંખ્યા $X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે, જ્યાં $n = 5$ અને $p = \frac{1}{2}$ (છાપ મળવાની સંભાવના).
દ્વિપદી વિતરણનો મધ્યક $E(X) = np$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા, આપણને $E(X) = 5 \times \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$ મળે છે.
વૈકલ્પિક રીતે, સંભાવના વિતરણ કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરતા:

$X$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$P(X)$	$\frac{1}{32}$	$\frac{5}{32}$	$\frac{10}{32}$	$\frac{10}{32}$	$\frac{5}{32}$	$\frac{1}{32}$

મધ્યકની ગણતરી $\sum X P(X) = (0 \times \frac{1}{32}) + (1 \times \frac{5}{32}) + (2 \times \frac{10}{32}) + (3 \times \frac{10}{32}) + (4 \times \frac{5}{32}) + (5 \times \frac{1}{32})$ તરીકે થાય છે.
$= 0 + \frac{5}{32} + \frac{20}{32} + \frac{30}{32} + \frac{20}{32} + \frac{5}{32} = \frac{80}{32} = \frac{5}{2}$.

(D) સફળતાનું વિતરણ એ દ્વિપદી વિતરણને અનુસરે છે જેના પ્રાચલો $n$ અને $p$ છે.
દ્વિપદી વિતરણનું વિચરણ શોધવાનું સૂત્ર $Var(X) = npq$ છે, જ્યાં $n$ એ પ્રયત્નોની સંખ્યા છે, $p$ એ સફળતાની સંભાવના છે અને $q = 1 - p$ એ નિષ્ફળતાની સંભાવના છે.
પાસાના એક ઉછાળમાં, શક્ય પરિણામો $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે. એકી સંખ્યાઓ $\{1, 3, 5\}$ છે.
તેથી, સફળતાની સંભાવના $p = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ છે.
નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ છે.
અહીં પાસાને $n = 5$ વખત ઉછાળવામાં આવે છે.
આ કિંમતોને વિચરણના સૂત્રમાં મૂકતા:
$Var(X) = n \times p \times q = 5 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{5}{4}$.

(A) આપેલ છે કે પ્રયોગ $n = 5$ વખત કરવામાં આવે છે. ધારો કે $p$ એ સફળતાની સંભાવના છે અને $q = 1 - p$ એ નિષ્ફળતાની સંભાવના છે. દ્વિપદી વિતરણનો મધ્યક $np$ છે અને વિચરણ $npq$ છે.
આપેલ છે કે $np - npq = \frac{5}{9}$.
$n = 5$ મૂકતા: $5p - 5pq = \frac{5}{9} \implies p - pq = \frac{1}{9}$.
$1 - q = p$ હોવાથી, આપણને $p(1 - q) = p^2 = \frac{1}{9}$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $p = \frac{1}{3}$.
તેથી, $q = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
વધુમાં વધુ બે સફળતાઓ મેળવવાની સંભાવના $P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)$ છે.
સૂત્ર $P(X = k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X = 0) = {}^5C_0 (\frac{1}{3})^0 (\frac{2}{3})^5 = 1 \times 1 \times \frac{32}{243} = \frac{32}{243}$.
$P(X = 1) = {}^5C_1 (\frac{1}{3})^1 (\frac{2}{3})^4 = 5 \times \frac{1}{3} \times \frac{16}{81} = \frac{80}{243}$.
$P(X = 2) = {}^5C_2 (\frac{1}{3})^2 (\frac{2}{3})^3 = 10 \times \frac{1}{9} \times \frac{8}{27} = \frac{80}{243}$.
આ સંભાવનાઓનો સરવાળો કરતા: $P(X \leq 2) = \frac{32}{243} + \frac{80}{243} + \frac{80}{243} = \frac{192}{243} = \frac{64}{81}$.

(B) આપેલ છે કે $X$ એ $n=6$ અને સફળતાની સંભાવના $p$ ધરાવતો દ્વિપદી ચલ છે. ધારો કે $q = 1-p$ એ નિષ્ફળતાની સંભાવના છે.
સંભાવના વિધેય $P(X=r) = {}^{n}C_{r} p^{r} q^{n-r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણને શરત $4 P(X=4) = P(X=2)$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$4 \cdot {}^{6}C_{4} p^{4} q^{6-4} = {}^{6}C_{2} p^{2} q^{6-2}$
$4 \cdot {}^{6}C_{4} p^{4} q^{2} = {}^{6}C_{2} p^{2} q^{4}$
કારણ કે ${}^{6}C_{4} = {}^{6}C_{2} = 15$, તેથી તે ઉડી જશે:
$4 p^{4} q^{2} = p^{2} q^{4}$
બંને બાજુ $p^{2} q^{2}$ વડે ભાગતા ($p, q \neq 0$ ધારીને):
$4 p^{2} = q^{2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$2p = q$
$q = 1-p$ હોવાથી, આપણને મળે:
$2p = 1-p$
$3p = 1$
$p = 1/3$

(B) દ્વિપદી વિતરણ માટે, મધ્યક $np = 2$ અને વિચરણ $npq = 1$ છે.
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા, $\frac{npq}{np} = \frac{1}{2}$, જેનો અર્થ છે કે $q = \frac{1}{2}$.
$p + q = 1$ હોવાથી, $p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ મળે.
$p = \frac{1}{2}$ ને $np = 2$ માં મૂકતા, $n \times \frac{1}{2} = 2$, તેથી $n = 4$ મળે.
સંભાવના વિધેય $P(X = k) = \binom{4}{k} (\frac{1}{2})^4 = \binom{4}{k} \frac{1}{16}$ છે.
આપણે $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$ શોધવાનું છે.
$P(X = 0) = \binom{4}{0} (\frac{1}{2})^4 = 1 \times \frac{1}{16} = \frac{1}{16}$.
તેથી, $P(X \geq 1) = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$.

(B) એક સિક્કાને ઉછાળતા છાપ મળવાની સંભાવના $p = \frac{1}{2}$ છે અને કાંટો મળવાની સંભાવના $q = 1 - p = \frac{1}{2}$ છે.
$n$ વખત સિક્કો ઉછાળતા એક પણ વાર છાપ ન મળે તેની સંભાવના $P(\text{no heads}) = q^n = (\frac{1}{2})^n$ છે.
ઓછામાં ઓછી એક વાર છાપ મળે તેની સંભાવના $P(\text{at least one head}) = 1 - P(\text{no heads}) = 1 - (\frac{1}{2})^n$ છે.
આપેલ છે કે $1 - (\frac{1}{2})^n > 0.8$, તેથી:
$1 - 0.8 > (\frac{1}{2})^n$
$0.2 > (\frac{1}{2})^n$
$\frac{1}{5} > \frac{1}{2^n}$
$2^n > 5$.
$n = 2$ માટે, $2^2 = 4 < 5$.
$n = 3$ માટે, $2^3 = 8 > 5$.
આમ, $n$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $3$ છે.

(D) ધારો કે $X$ એ સાચા જવાબોની સંખ્યા છે. $3$ પ્રશ્નો માટે સફળતાની સંભાવના $p_1 = \frac{1}{4}$ અને નિષ્ફળતા $q_1 = \frac{3}{4}$ છે. $2$ પ્રશ્નો માટે સફળતાની સંભાવના $p_2 = \frac{1}{2}$ અને નિષ્ફળતા $q_2 = \frac{1}{2}$ છે.
આપણે ઓછામાં ઓછા $4$ સાચા જવાબોની સંભાવના શોધીએ છીએ, એટલે કે $P(X=4) + P(X=5)$.
$X=5$ માટે: બધા $5$ સાચા છે. $P(X=5) = (\frac{1}{4})^3 \cdot (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{256}$.
$X=4$ માટે: કાં તો $3$ પ્રશ્નોમાંથી એક ખોટો છે, અથવા $2$ પ્રશ્નોમાંથી એક ખોટો છે.
કિસ્સો $1$: $3$ પ્રશ્નોમાંથી એક ખોટો છે. સંભાવના $= {^3C_2} \cdot (\frac{1}{4})^2 \cdot (\frac{3}{4})^1 \cdot (\frac{1}{2})^2 = \frac{9}{256}$.
કિસ્સો $2$: $2$ પ્રશ્નોમાંથી એક ખોટો છે. સંભાવના $= {^3C_3} \cdot (\frac{1}{4})^3 \cdot {^2C_1} \cdot (\frac{1}{2})^1 \cdot (\frac{1}{2})^1 = \frac{2}{256}$.
કુલ સંભાવના $= \frac{1}{256} + \frac{9}{256} + \frac{2}{256} = \frac{12}{256} = \frac{3}{64}$.

(A) દ્વિપદી વિતરણ માટે, મધ્યક $np = 4$ અને વિચરણ $npq = 2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા, આપણને $q = \frac{npq}{np} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ મળે છે.
$p + q = 1$ હોવાથી, $p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ મળે.
$p = \frac{1}{2}$ ને $np = 4$ માં મૂકતા, $n \times \frac{1}{2} = 4$ મળે, જેનો અર્થ છે કે $n = 8$.
બરાબર $x$ સફળતાની સંભાવના $P(X=x) = {}^{n}C_{x} p^{x} q^{n-x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x = 2$ માટે, $P(X=2) = {}^{8}C_{2} \left(\frac{1}{2}\right)^{2} \left(\frac{1}{2}\right)^{8-2} = {}^{8}C_{2} \left(\frac{1}{2}\right)^{8}$.
કિંમતની ગણતરી કરતા, ${}^{8}C_{2} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$.
આમ, $P(X=2) = 28 \times \frac{1}{256} = \frac{28}{256} = \frac{7}{64}$.

(B) ધારો કે ફાયર કરેલા રાઉન્ડની સંખ્યા $n$ છે.
એક પ્રયત્નમાં લક્ષ્યને મારવાની સંભાવના $p = 10 \% = 0.1$ છે.
એક પ્રયત્નમાં લક્ષ્ય ચૂકી જવાની સંભાવના $q = 1 - p = 0.9$ છે.
$n$ પ્રયત્નોમાં ઓછામાં ઓછી એક વાર લક્ષ્યને મારવાની સંભાવના $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - q^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે ઇચ્છીએ છીએ કે આ સંભાવના $50 \%$ થી વધુ હોય, તેથી:
$1 - (0.9)^n > 0.5$
$(0.9)^n < 0.5$
હવે, આપણે $n$ માટે કિંમતો ચકાસીએ:
$n = 6$ માટે, $(0.9)^6 = 0.531441 > 0.5$.
$n = 7$ માટે, $(0.9)^7 = 0.4782969 < 0.5$.
આમ, જરૂરી રાઉન્ડની લઘુત્તમ સંખ્યા $n = 7$ છે.

(B) ધારો કે સિક્કાને $n$ વાર ઉછાળવામાં આવે છે.
નિષ્પક્ષ સિક્કા માટે, છાપ મળવાની સંભાવના $p = \frac{1}{2}$ અને કાંટો મળવાની સંભાવના $q = 1 - p = \frac{1}{2}$ છે.
ઓછામાં ઓછી એક વાર છાપ મળે તેની સંભાવના $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં, $P(X = 0)$ એ એક પણ છાપ ન મળે (એટલે કે બધા કાંટા મળે) તેની સંભાવના છે, જે $q^n = (\frac{1}{2})^n$ છે.
આપણને આપેલ છે કે $P(X \geq 1) \geq 0.9$.
તેથી, $1 - (\frac{1}{2})^n \geq 0.9$.
$1 - 0.9 \geq (\frac{1}{2})^n$.
$0.1 \geq \frac{1}{2^n}$.
$\frac{1}{10} \geq \frac{1}{2^n}$.
$2^n \geq 10$.
$n = 3$ માટે, $2^3 = 8 < 10$.
$n = 4$ માટે, $2^4 = 16 \geq 10$.
આમ, જરૂરી સિક્કા ઉછાળવાની ન્યૂનતમ સંખ્યા $4$ છે.

(B) ધારો કે સિક્કાને $n$ વખત ઉછાળવામાં આવે છે.
ધારો કે છાપ મળવી એ સફળતા છે. $\therefore p = \frac{1}{2}, q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
આપેલ છે કે $P(X = 3) = P(X = 5)$.
દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર $P(X = k) = {}^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
${}^{n}C_{3} (\frac{1}{2})^{3} (\frac{1}{2})^{n-3} = {}^{n}C_{5} (\frac{1}{2})^{5} (\frac{1}{2})^{n-5}$.
બંને બાજુ $(\frac{1}{2})$ ના ઘાતાંકોનો સરવાળો $n$ થતો હોવાથી, આપણને ${}^{n}C_{3} = {}^{n}C_{5}$ મળે છે.
ગુણધર્મ ${}^{n}C_{x} = {}^{n}C_{y} \Rightarrow x + y = n$ (જ્યાં $x \neq y$) નો ઉપયોગ કરતા, $n = 3 + 5 = 8$ મળે છે.
હવે, આપણે બરાબર એક છાપ મળવાની સંભાવના $P(X = 1)$ શોધવાની છે:
$P(X = 1) = {}^{8}C_{1} (\frac{1}{2})^{1} (\frac{1}{2})^{8-1} = 8 \times (\frac{1}{2})^{8} = \frac{8}{256} = \frac{1}{32}$.

(D) ધારો કે $n$ એ ઉત્પાદિત ભાગોની સંખ્યા છે. ભાગ ખામીયુક્ત હોવાની સંભાવના $p = 0.05 = \frac{1}{20}$ છે.
ભાગ ખામીયુક્ત ન હોવાની સંભાવના $q = 1 - 0.05 = 0.95 = \frac{19}{20}$ છે.
આપણે ઇચ્છીએ છીએ કે ઓછામાં ઓછો એક ભાગ ખામીયુક્ત હોય તેની સંભાવના $1/2$ થી વધુ હોય, એટલે કે $P(X \geq 1) \geq 1/2$.
આ $1 - P(X = 0) \geq 1/2$ ને સમાન છે, જ્યાં $P(X = 0)$ એ સંભાવના છે કે કોઈ પણ ભાગ ખામીયુક્ત નથી.
$1 - (0.95)^n \geq 0.5 \implies 0.5 \geq (0.95)^n$.
બંને બાજુ $\log_{10}$ લેતા: $\log_{10}(0.5) \geq n \log_{10}(0.95)$.
$-\log_{10}(2) \geq n(\log_{10}(95) - \log_{10}(100))$.
$-0.3 \geq n(1.977 - 2)$.
$-0.3 \geq n(-0.023)$.
ઋણ સંખ્યા વડે ભાગાકાર કરતા અસમતાની નિશાની બદલાશે: $n \geq \frac{0.3}{0.023} = \frac{300}{23} \approx 13.04$.
$n$ એ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ, તેથી સૌથી નાનો પૂર્ણાંક $n = 14$ છે.

(D) કુલ બલ્બ = $100$. ખામીયુક્ત બલ્બની સંખ્યા = $10$. બિન-ખામીયુક્ત બલ્બની સંખ્યા = $90$.
ખામીયુક્ત બલ્બ પસંદ કરવાની સંભાવના $p = \frac{10}{100} = \frac{1}{10}$.
બિન-ખામીયુક્ત બલ્બ પસંદ કરવાની સંભાવના $q = \frac{90}{100} = \frac{9}{10}$.
બલ્બ બદલી સાથે પસંદ કરવામાં આવતા હોવાથી, આ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે જ્યાં $n = 8$ અને $p = 0.1$.
ઓછામાં ઓછા $7$ ખામીયુક્ત બલ્બ મેળવવાની સંભાવના $P(X \ge 7) = P(X = 7) + P(X = 8)$ છે.
$P(X = 7) = \binom{8}{7} \times (0.1)^7 \times (0.9)^1 = 8 \times \frac{1}{10^7} \times \frac{9}{10} = \frac{72}{10^8}$.
$P(X = 8) = \binom{8}{8} \times (0.1)^8 \times (0.9)^0 = 1 \times \frac{1}{10^8} \times 1 = \frac{1}{10^8}$.
કુલ સંભાવના = $\frac{72}{10^8} + \frac{1}{10^8} = \frac{73}{10^8}$.

(A) મધ્યક $\bar{X} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં, $\sum f_i = \sum_{k=0}^n {}^nC_k = 2^n$.
કિંમતો $x_k = k(k-1)$ છે જ્યાં $k=0, 1, ..., n$.
સરવાળો $\sum_{k=0}^n k(k-1) {}^nC_k = n(n-1) 2^{n-2}$ થાય છે.
તેથી, $\bar{X} = \frac{n(n-1) 2^{n-2}}{2^n} = \frac{n(n-1)}{4} = 60$.
$n^2 - n - 240 = 0 \implies (n-16)(n+15) = 0$. $n > 0$ હોવાથી, $n = 16$.
કુલ આવૃત્તિ $2^{16} = 65536$ છે. મધ્યસ્થ એ $\frac{65536+1}{2} \approx 32768$ મા ક્રમની કિંમત છે.
આવૃત્તિઓનું વિતરણ $(1+1)^n$ ના દ્વિપદી વિસ્તરણને અનુસરે છે. $p=0.5$ સાથેના દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ નો મધ્યસ્થ આશરે $np = 16 \times 0.5 = 8$ થાય છે. $k=8$ માટેની કિંમત $8(8-1) = 56$ છે.

(C) દ્વિપદી વિતરણ $X \sim B(n, p)$ માટે, $E(X) = np = 2$ અને $Var(X) = npq = 1$ છે.
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા: $q = \frac{npq}{np} = \frac{1}{2} = 0.5$.
$p + q = 1$ હોવાથી, $p = 1 - 0.5 = 0.5$.
$p$ ની કિંમત $np = 2$ માં મુકતા: $n(0.5) = 2 \implies n = 4$.
આપણે $P(X \le 1) = P(X = 0) + P(X = 1)$ શોધવાનું છે.
$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$.
$P(X = 0) = \binom{4}{0} (0.5)^0 (0.5)^4 = 1 \times 1 \times 0.0625 = 0.0625$.
$P(X = 1) = \binom{4}{1} (0.5)^1 (0.5)^3 = 4 \times 0.5 \times 0.125 = 0.25$.
$P(X \le 1) = 0.0625 + 0.25 = 0.3125$.

(A) આપેલ સંભાવના દળ વિધેય $P(X = x) = \frac{^5C_x}{2^5}$ છે.
આ $n = 5$ અને $p = 0.5$ સાથેનું દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ છે.
$P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = \frac{^5C_0 + ^5C_1 + ^5C_2}{2^5} = \frac{1 + 5 + 10}{32} = \frac{16}{32} = 0.5$ ની ગણતરી કરો.
$P(X \geq 3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) = \frac{^5C_3 + ^5C_4 + ^5C_5}{2^5} = \frac{10 + 5 + 1}{32} = \frac{16}{32} = 0.5$ ની ગણતરી કરો.
કારણ કે $P(X \leq 2) = 0.5$ અને $P(X \geq 3) = 0.5$ છે, તેથી $P(X \leq 2) = P(X \geq 3)$ થાય છે.

(A) દ્વિપદી વિતરણ $X \sim B(n, p)$ નું સંભાવના દળ વિધેય $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $q = 1 - p$ છે.
આપણી પાસે $P(X = k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} p^k q^{n-k}$ અને $P(X = k-1) = \frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!} p^{k-1} q^{n-k+1}$ છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{P(X = k)}{P(X = k - 1)} = \frac{n!}{k!(n-k)!} p^k q^{n-k} \times \frac{(k-1)!(n-k+1)!}{n! p^{k-1} q^{n-k+1}}$.
પદોનું સાદુંરૂપ આપતા: $\frac{P(X = k)}{P(X = k - 1)} = \frac{(k-1)!}{k!} \times \frac{(n-k+1)!}{(n-k)!} \times \frac{p^k}{p^{k-1}} \times \frac{q^{n-k}}{q^{n-k+1}}$.
આનાથી $\frac{1}{k} \times (n-k+1) \times p \times \frac{1}{q} = \frac{n-k+1}{k} \cdot \frac{p}{q}$ મળે છે.

(C) દ્વિપદી વિતરણ $X \sim B(n, p)$ માટે, સંભાવના દળ વિધેય $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં, $n = 6$ અને $p = 1/2$ છે.
$p = 1/2$ હોવાથી, વિતરણ સંમિત (symmetric) છે.
સંમિત દ્વિપદી વિતરણ માટે, મહત્તમ સંભાવના મધ્યક પર મળે છે, જે $E[X] = np = 6 \times (1/2) = 3$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે, $k=3$ માટે ગણતરી કરતા: $P(X=3) = \binom{6}{3} (1/2)^3 (1/2)^3 = 20 \times (1/64) = 20/64$.
$k=2$ અથવા $k=4$ માટે: $P(X=2) = P(X=4) = \binom{6}{2} (1/2)^6 = 15 \times (1/64) = 15/64$.
$20/64 > 15/64$ હોવાથી, મહત્તમ સંભાવના $X = 3$ પર મળે છે.

(C) ધારો કે $x$ એ સાચા જવાબોની સંખ્યા છે અને $y$ એ ખોટા જવાબોની સંખ્યા છે.
કુલ પ્રશ્નો $x + y = 10$ છે.
મેળવેલા ગુણ $4x - y = 30$ છે.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $5x = 40 \implies x = 8$.
તેથી $y = 10 - 8 = 2$.
સાચા જવાબની સંભાવના $p = 1/4$ છે અને ખોટા જવાબની સંભાવના $q = 3/4$ છે.
$8$ સાચા અને $2$ ખોટા જવાબો મેળવવાની સંભાવના દ્વિપદી વિતરણ સૂત્ર $P(X=8) = \binom{10}{8} p^8 q^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$P(X=8) = \binom{10}{2} (1/4)^8 (3/4)^2 = 45 \times \frac{1}{4^8} \times \frac{9}{4^2} = \frac{45 \times 9}{4^{10}} = \frac{405}{4^{10}}$.

(D) ની એક રમત જીતવાની સંભાવના $p = \frac{1}{1+2} = \frac{1}{3}$ છે.
$A$ ની એક રમત હારવાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ છે.
ધારો કે $X$ એ $n=3$ રમતોમાં $A$ દ્વારા જીતેલી રમતોની સંખ્યા છે. $X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p) = B(3, 1/3)$ ને અનુસરે છે.
$A$ દ્વારા ઓછામાં ઓછી બે રમતો જીતવાની સંભાવના $P(X \ge 2) = P(X=2) + P(X=3)$ છે.
$P(X=2) = \binom{3}{2} p^2 q^1 = 3 \times (\frac{1}{3})^2 \times (\frac{2}{3}) = 3 \times \frac{1}{9} \times \frac{2}{3} = \frac{6}{27}$.
$P(X=3) = \binom{3}{3} p^3 q^0 = 1 \times (\frac{1}{3})^3 \times 1 = \frac{1}{27}$.
$P(X \ge 2) = \frac{6}{27} + \frac{1}{27} = \frac{7}{27}$.

(B) આ દ્વિપદી વિતરણ (binomial distribution) નો પ્રશ્ન છે જ્યાં $n = 8$, $p = 0.8$, અને $q = 1 - p = 0.2$ છે.
બરાબર $k$ સફળતાઓની સંભાવના $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$k = 4$ માટે:
$P(X = 4) = \binom{8}{4} (0.8)^4 (0.2)^{8-4}$
$P(X = 4) = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \times (0.8)^4 \times (0.2)^4$
$P(X = 4) = 70 \times (0.8)^4 \times (0.2)^4$
કારણ કે $70 \times (0.2)^4 = 70 \times 0.0016 = 0.112$, તેથી સંભાવના $(0.112)(0.8)^4$ છે.

(D) $1$. બે પાસા ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
$2$. ડબલેટ $(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)$ છે. આવા $6$ પરિણામો છે.
$3$. સફળતાની સંભાવના $p = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ છે.
$4$. નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ છે.
$5$. પ્રયત્નોની સંખ્યા $n = 4$ છે. ઓછામાં ઓછી $1$ સફળતા મેળવવાની સંભાવના $P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)$ છે.
$6$. $P(X = 0) = ^nC_0 \cdot p^0 \cdot q^n = 1 \cdot 1 \cdot (\frac{5}{6})^4 = \frac{625}{1296}$ છે.
$7$. $P(X \ge 1) = 1 - \frac{625}{1296} = \frac{1296 - 625}{1296} = \frac{671}{1296}$ છે.

(B) નિષ્પક્ષ સિક્કા માટે, છાપ મળવાની સંભાવના $p = 1/2$ અને કાંટો મળવાની સંભાવના $q = 1/2$ છે. પ્રયત્નોની સંખ્યા $n = 8$ છે.
દ્વિપદી વિતરણ સૂત્ર $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરીને, આપણે $P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ શોધવાનું છે.
$P(X=0) = \binom{8}{0} (1/2)^8 = 1 \times (1/256) = 1/256$.
$P(X=1) = \binom{8}{1} (1/2)^8 = 8 \times (1/256) = 8/256$.
$P(X=2) = \binom{8}{2} (1/2)^8 = 28 \times (1/256) = 28/256$.
આ સંભાવનાઓનો સરવાળો: $P(X \le 2) = (1 + 8 + 28) / 256 = 37/256$.

(B) દ્વિપદી વિતરણ માટે, મધ્યક $\mu = np = 1$ અને વિચરણ $\sigma^2 = npq = 0.75$ છે.
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા: $\frac{npq}{np} = \frac{0.75}{1} \implies q = 0.75 = \frac{3}{4}$.
કારણ કે $p + q = 1$, તેથી $p = 1 - 0.75 = 0.25 = \frac{1}{4}$.
$np = 1$ નો ઉપયોગ કરતા, $n(\frac{1}{4}) = 1 \implies n = 4$.
સંભાવના દળ વિધેય $P(X = k) = \binom{4}{k} (\frac{1}{4})^k (\frac{3}{4})^{4-k}$ છે.
વિકલ્પ $(B)$ તપાસતા: $P(X = 1) = \binom{4}{1} (\frac{1}{4})^1 (\frac{3}{4})^3 = 4 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{27}{64} = \frac{27}{64}$.
$P(X = 2) = \binom{4}{2} (\frac{1}{4})^2 (\frac{3}{4})^2 = 6 \cdot \frac{1}{16} \cdot \frac{9}{16} = \frac{54}{256} = \frac{27}{128}$.
તેથી $P(X = 1) = 2 \cdot P(X = 2)$, તેથી વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.

(D) ધારો કે $n = 6$ એ પ્રયત્નોની સંખ્યા છે અને $p = 1/10$ એ વ્યક્તિના વ્યસ્ત હોવાની સંભાવના છે. તેથી $q = 1 - p = 9/10$ છે.
દ્વિપદી વિતરણ સૂત્ર $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
ઓછામાં ઓછી $5$ વ્યક્તિઓ વ્યસ્ત હોય તે માટે, આપણે $P(X \ge 5) = P(X = 5) + P(X = 6)$ ની જરૂર છે.
$P(X = 5) = \binom{6}{5} (1/10)^5 (9/10)^1 = 6 \times (1/10^5) \times (9/10) = 54/10^6$.
$P(X = 6) = \binom{6}{6} (1/10)^6 (9/10)^0 = 1 \times (1/10^6) \times 1 = 1/10^6$.
$P(X \ge 5) = 54/10^6 + 1/10^6 = 55/10^6$.

(C) ધારો કે $X$ એ સફળ આગાહીઓની (છાપ) સંખ્યા છે. સિક્કો નિષ્પક્ષ હોવાથી, છાપની સંભાવના $p = 1/2$ અને કાંટાની સંભાવના $q = 1/2$ છે. ઉછાળની સંખ્યા $n = 9$ છે.
$X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(9, 1/2)$ ને અનુસરે છે.
આપણે એવી સંભાવના શોધી રહ્યા છીએ કે જ્યાં સફળ આગાહીઓની સંખ્યા નિષ્ફળ આગાહીઓની સંખ્યા કરતા વધારે હોય.
ધારો કે $S$ એ સફળતાઓની સંખ્યા છે અને $F$ એ નિષ્ફળતાઓની સંખ્યા છે. આપણી પાસે $S + F = 9$ છે અને આપણે $S > F$ જોઈએ છે.
$F = 9 - S$ હોવાથી, શરત $S > 9 - S$ નો અર્થ છે $2S > 9$, અથવા $S > 4.5$.
$S$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ, તેથી આપણને $S \in \{5, 6, 7, 8, 9\}$ જોઈએ છે.
$p = 1/2$ માટે વિતરણ સંમિત હોવાથી, $P(S \ge 5) = P(S \le 4)$ થાય.
$P(S \le 9) = 1$ હોવાથી, આપણી પાસે $P(S \le 4) + P(S \ge 5) = 1$ છે.
તેથી, $2 \cdot P(S \ge 5) = 1$, જે આપણને $P(S \ge 5) = 1/2$ આપે છે.

(A) $1$. એક નિષ્પક્ષ પાસાનો નિદર્શ અવકાશ $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે, તેથી કુલ પરિણામો $n(S) = 6$ છે.
$2$. પાસા પરની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $\{2, 3, 5\}$ છે, તેથી સફળ પરિણામોની સંખ્યા $3$ છે.
$3$. એક વાર ફેંકતા સફળતાની સંભાવના, $p = 3/6 = 1/2$ છે.
$4$. એક વાર ફેંકતા નિષ્ફળતાની સંભાવના, $q = 1 - p = 1 - 1/2 = 1/2$ છે.
$5$. પાસાને $n = 4$ વખત ફેંકવામાં આવે છે. એક પણ સફળતા ન મળવાની (એટલે કે $0$ સફળતા) સંભાવના દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ દ્વારા મળે છે.
$6$. $k = 0$ માટે, $P(X = 0) = \binom{4}{0} (1/2)^0 (1/2)^{4-0} = 1 \times 1 \times (1/2)^4 = 1/16$.

(D) દ્વિપદી વિતરણ માટે, $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$, જ્યાં $n = 6$, $p$ સફળતાની સંભાવના છે, અને $q = 1 - p$ નિષ્ફળતાની સંભાવના છે.
આપેલ છે કે $9P(X = 4) = P(X = 2)$, તેથી $9 \binom{6}{4} p^4 q^2 = \binom{6}{2} p^2 q^4$ છે.
કારણ કે $\binom{6}{4} = \binom{6}{2} = 15$, સમીકરણ સરળ બનીને $9 \cdot 15 \cdot p^4 q^2 = 15 \cdot p^2 q^4$ થાય છે.
બંને બાજુને $15 p^2 q^2$ વડે ભાગતા (ધારીને કે $p, q \neq 0$), આપણને $9p^2 = q^2$ મળે છે.
બંને બાજુનું વર્ગમૂળ લેતા, $3p = q$ મળે છે.
કારણ કે $p + q = 1$, સમીકરણમાં $q = 3p$ મૂકતા: $p + 3p = 1 \implies 4p = 1 \implies p = 0.25$.
નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - 0.25 = 0.75$ છે.

(D) ધારો કે $p$ એ બોમ્બ લક્ષ્યને અથડાય તેની સંભાવના છે, તેથી $p = 0.8 = 4/5$ છે.
ધારો કે $q$ એ બોમ્બ લક્ષ્ય ચૂકી જાય તેની સંભાવના છે, તેથી $q = 1 - p = 1 - 0.8 = 0.2 = 1/5$ છે.
આપણે $n = 6$ બોમ્બ ફેંકીએ છીએ. ધારો કે $X$ એ લક્ષ્ય ચૂકી ગયેલા બોમ્બની સંખ્યા છે.
આપણે ઓછામાં ઓછો $1$ બોમ્બ લક્ષ્ય ચૂકી જાય તેની સંભાવના શોધવી છે, જે $P(X \ge 1)$ છે.
પૂરક ઘટનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, $P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)$ મળે.
$P(X = 0)$ એ સંભાવના છે કે એક પણ બોમ્બ લક્ષ્ય ચૂકતો નથી, એટલે કે બધા $6$ બોમ્બ લક્ષ્યને અથડાય છે.
$P(X = 0) = p^6 = (4/5)^6$ છે.
તેથી, $P(X \ge 1) = 1 - (4/5)^6$ થાય.

(C) ધારો કે $n = 4$ એ પ્રયત્નોની સંખ્યા છે.
એક પ્રયત્નમાં 'ક્લબ'નું પત્તું ખેંચવાની સંભાવના $p = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$ છે.
'ક્લબ'નું પત્તું ન ખેંચવાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ છે.
દ્વિપદી વિતરણ સૂત્ર $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં $k = 2$:
$P(X = 2) = \binom{4}{2} \left(\frac{1}{4}\right)^2 \left(\frac{3}{4}\right)^{4-2}$
$P(X = 2) = 6 \times \left(\frac{1}{16}\right) \times \left(\frac{9}{16}\right)$
$P(X = 2) = \frac{54}{256} = \frac{27}{128}$।

(A) દ્વિપદી વિતરણ માટે સંભાવના દળ વિધેય $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ છે.
આપેલ છે $n = 6$, તેથી $P(X = 4) = \binom{6}{4} p^4 (1-p)^2 = 15 p^4 (1-p)^2$ અને $P(X = 2) = \binom{6}{2} p^2 (1-p)^4 = 15 p^2 (1-p)^4$ છે.
આપેલ છે $9P(X = 4) = P(X = 2)$, પદોને મૂકતા:
$9 \times 15 p^4 (1-p)^2 = 15 p^2 (1-p)^4$.
બંને બાજુને $15 p^2 (1-p)^2$ વડે ભાગતા (ધારી લો કે $p \neq 0, 1$):
$9 p^2 = (1-p)^2$.
બંને બાજુનું વર્ગમૂળ લેતા:
$3p = 1-p$ અથવા $3p = -(1-p)$.
$3p = 1-p$ માટે, આપણને $4p = 1$ મળે છે, તેથી $p = 1/4$ છે.
$3p = p-1$ માટે, આપણને $2p = -1$ મળે છે, જે $p = -1/2$ આપે છે (જે શક્ય નથી કારણ કે $0 \le p \le 1$).
તેથી, $p = 1/4$ છે.