Some Properties of a Triangle Questions in Gujarati

(N/A) $1$. $QS$ ને લંબાવો જેથી તે $PR$ ને બિંદુ $T$ પર મળે.
$2$. $\Delta PQT$ માં,ત્રિકોણની અસમતાના પ્રમેય મુજબ,બે બાજુઓનો સરવાળો ત્રીજી બાજુ કરતા વધારે હોય છે: $PQ + PT > QT$. આને $PQ + PT > QS + ST$ તરીકે લખી શકાય (સમીકરણ $1$).
$3$. $\Delta SRT$ માં,ત્રિકોણની અસમતાના પ્રમેય મુજબ,$ST + TR > SR$ (સમીકરણ $2$).
$4$. સમીકરણ $1$ અને સમીકરણ $2$ નો સરવાળો કરતા: $PQ + PT + ST + TR > QS + ST + SR$.
$5$. બંને બાજુથી $ST$ ને બાદ કરતા: $PQ + (PT + TR) > QS + SR$.
$6$. કારણ કે $PT + TR = PR$,તેથી આપણને $PQ + PR > QS + SR$ મળે છે,જે $SQ + SR < PQ + PR$ ને સમાન છે.

(N/A) આપેલ છે: $\Delta ABC$ માં,$\angle A = 90^{\circ}$ અને $AB = AC$. $AD$ એ $\angle A$ નો દ્વિભાજક છે.
$AB = AC$ હોવાથી,$\Delta ABC$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે. તેથી,$\angle B = \angle C$.
$\Delta ABC$ માં,$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$.
$90^{\circ} + \angle B + \angle B = 180^{\circ} \implies 2 \angle B = 90^{\circ} \implies \angle B = 45^{\circ}$. આમ,$\angle C = 45^{\circ}$.
$AD$ એ $\angle A$ નો દ્વિભાજક હોવાથી,$\angle BAD = \angle CAD = 45^{\circ}$.
$\Delta ABD$ માં,$\angle B = 45^{\circ}$ અને $\angle BAD = 45^{\circ}$. બે ખૂણા સમાન હોવાથી,$AD = BD$.
$\Delta ACD$ માં,$\angle C = 45^{\circ}$ અને $\angle CAD = 45^{\circ}$. બે ખૂણા સમાન હોવાથી,$AD = CD$.
$D$ એ $BC$ પર હોવાથી,$BC = BD + CD$.
$BD = AD$ અને $CD = AD$ મૂકતા,આપણને $BC = AD + AD = 2 AD$ મળે છે.
આમ,$BC = 2 AD$ સાબિત થાય છે.

(N/A) ધારો કે $ABC$ એક ત્રિકોણ છે જેની બાજુઓ $AB$,$BC$ અને $AC$ છે. ધારો કે $AD$ એ બાજુ $BC$ પરની મધ્યગા છે,જેથી $BD = DC = \frac{1}{2} BC$ થાય.
$AD$ ને બિંદુ $E$ સુધી એવી રીતે લંબાવો કે જેથી $AD = DE$ થાય. $CE$ ને જોડો.
$\triangle ABD$ અને $\triangle ECD$ માં:
$1$. $AD = DE$ (રચના મુજબ)
$2$. $\angle ADB = \angle EDC$ (અભિકોણ)
$3$. $BD = DC$ ($AD$ મધ્યગા હોવાથી)
તેથી,$SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ $\triangle ABD \cong \triangle ECD$ થાય.
તેથી,$AB = EC$ ($CPCT$ મુજબ).
$\triangle ACE$ માં,ત્રિકોણની અસમતાના પ્રમેય મુજબ,કોઈપણ બે બાજુઓનો સરવાળો ત્રીજી બાજુ કરતા વધારે હોય છે:
$AC + CE > AE$
અહીં $AE = AD + DE = 2AD$ અને $CE = AB$ હોવાથી,આપણે અસમતામાં કિંમતો મૂકતા:
$AC + AB > 2AD$
આમ,બે બાજુઓનો સરવાળો ત્રીજી બાજુ પરની મધ્યગાના બમણા કરતા વધારે છે.

(A) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a$,$b$,અને $c$ છે,અને તેમની સામેના ખૂણા અનુક્રમે $A$,$B$,અને $C$ છે.
ધારો કે $a$ સૌથી મોટી બાજુ છે,તેથી $a > b$ અને $a > c$.
ત્રિકોણના ગુણધર્મ મુજબ,સૌથી મોટી બાજુની સામેનો ખૂણો સૌથી મોટો ખૂણો હોય છે,તેથી $A > B$ અને $A > C$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $A + B + C = 180^{\circ}$ થાય છે.
ચૂંક $A > B$ અને $A > C$ હોવાથી,$A + A + A > A + B + C$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $3A > 180^{\circ}$.
તેથી,$A > 60^{\circ}$.
કાટખૂણો $90^{\circ}$ છે,અને કાટખૂણાના $\frac{2}{3}$ ભાગ એટલે $\frac{2}{3} \times 90^{\circ} = 60^{\circ}$ થાય.
આમ,$A > 60^{\circ}$ સાબિત કરે છે કે સૌથી મોટી બાજુની સામેનો ખૂણો કાટખૂણાના $\frac{2}{3}$ ભાગ કરતાં મોટો છે.

(B) ત્રિકોણનો બહિષ્કોણ તેના બે અંતઃસન્મુખ કોણના સરવાળા જેટલો હોય છે.
$\Delta ABC$ માટે,બહિષ્કોણ $\angle ABD = \angle BAC + \angle ACB = 110^{\circ}$.
બહિષ્કોણ $\angle ACE = \angle BAC + \angle ABC = 130^{\circ}$.
અહીં $\angle ACE > \angle ABD$ હોવાથી,$(\angle BAC + \angle ABC) > (\angle BAC + \angle ACB)$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\angle ABC > \angle ACB$.
ત્રિકોણમાં મોટા ખૂણાની સામેની બાજુ મોટી હોય છે. તેથી,$\angle ABC$ ની સામેની બાજુ $(AC)$ એ $\angle ACB$ ની સામેની બાજુ $(AB)$ કરતા મોટી હોવી જોઈએ.
આમ,$AC > AB$,જેનો અર્થ છે કે $AB < AC$.
તેથી,આપેલ વિધાન $AB > AC$ ખોટું છે.

(C) $\Delta ABC$ માં,આપેલ છે કે $AB = AC$.
સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણની સમાન બાજુઓની સામેના ખૂણાઓ સમાન હોય છે.
તેથી,બાજુ $AB$ ની સામેનો ખૂણો $\angle C$ છે અને બાજુ $AC$ ની સામેનો ખૂણો $\angle B$ છે.
જેহেতু $AB = AC$,તેથી $\angle C = \angle B$ થાય.
આપેલ છે કે $\angle B = 75^{\circ}$,તેથી $\angle C = 75^{\circ}$ થાય.

(D) આપેલ છે કે $\Delta PQR$ માં,$PQ = PR$ છે.
સમાન બાજુઓની સામેના ખૂણાઓ સમાન હોય છે.
તેથી,$\angle Q = \angle R$.
અહીં $\angle R = 40^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી $\angle Q = 40^{\circ}$ થશે.
ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$\angle P + \angle Q + \angle R = 180^{\circ}$.
કિંમતો મૂકતા: $\angle P + 40^{\circ} + 40^{\circ} = 180^{\circ}$.
$\angle P + 80^{\circ} = 180^{\circ}$.
$\angle P = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}$.

(A) આપેલ છે કે $\Delta XYZ$ માં,$XY = XZ$ છે.
બે બાજુઓ સમાન હોવાથી,$\Delta XYZ$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.
તેથી,સમાન બાજુઓની સામેના ખૂણાઓ સમાન હોય છે,જેનો અર્થ છે કે $\angle Y = \angle Z$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$\angle X + \angle Y + \angle Z = 180^{\circ}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $80^{\circ} + \angle Y + \angle Y = 180^{\circ}$.
$80^{\circ} + 2\angle Y = 180^{\circ}$.
$2\angle Y = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}$.
$\angle Y = 100^{\circ} / 2 = 50^{\circ}$.

(B) કોઈપણ ત્રિકોણમાં,મોટા ખૂણાની સામેની બાજુ નાના ખૂણાની સામેની બાજુ કરતાં મોટી હોય છે.
આપેલ છે કે $\Delta ABC$ માં $\angle A > \angle B$ છે.
$\angle A$ ની સામેની બાજુ $BC$ છે.
$\angle B$ ની સામેની બાજુ $AC$ છે.
જેহেতু $\angle A > \angle B$ છે,તેથી $\angle A$ ની સામેની બાજુ એ $\angle B$ ની સામેની બાજુ કરતાં મોટી હોવી જોઈએ.
તેથી,$BC > AC$,જેનો અર્થ છે કે $AC < BC$.

(C) ત્રિકોણના બહિષ્કોણના પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણના બહિષ્કોણનું માપ તેના બે અંતઃસન્મુખ કોણના માપના સરવાળા જેટલું હોય છે.
$\Delta ABC$ માં,$\angle ACD$ એ શિરોબિંદુ $C$ પાસેનો બહિષ્કોણ છે.
તેના અંતઃસન્મુખ કોણ $\angle A$ અને $\angle B$ છે.
તેથી,$\angle ACD = \angle A + \angle B$.
આપેલ છે કે $\angle A = 50^{\circ}$ અને $\angle B = 65^{\circ}$.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\angle ACD = 50^{\circ} + 65^{\circ} = 115^{\circ}$.

(D) $\Delta ABC$ માં,આપણને આપેલ છે કે $AB = AC$.
સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના ગુણધર્મ મુજબ,સમાન બાજુઓની સામેના ખૂણાઓ સમાન હોય છે.
તેથી,$\angle C = \angle B = 70^{\circ}$.
ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$.
$\angle A + 70^{\circ} + 70^{\circ} = 180^{\circ}$.
$\angle A + 140^{\circ} = 180^{\circ}$,જે આપણને $\angle A = 40^{\circ}$ આપે છે.
બહિષ્કોણના ગુણધર્મ મુજબ,ત્રિકોણનો બહિષ્કોણ તેના અંતઃસન્મુખ ખૂણાઓના સરવાળા જેટલો હોય છે.
તેથી,$\angle ACD = \angle A + \angle B$.
$\angle ACD = 40^{\circ} + 70^{\circ} = 110^{\circ}$.

(A) સમબાજુ ત્રિકોણ એ એવો ત્રિકોણ છે જેમાં ત્રણેય બાજુઓ સમાન હોય છે અને ત્રણેય અંતઃકોણ સમાન હોય છે.
સમબાજુ ત્રિકોણનો દરેક અંતઃકોણ $60^{\circ}$ હોય છે.
અંતઃકોણ અને તેના અનુરૂપ બહિષ્કોણનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે (રૈખિક જોડ).
તેથી,બહિષ્કોણ = $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.
વૈકલ્પિક રીતે,કોઈપણ બહુકોણના તમામ બહિષ્કોણનો સરવાળો $360^{\circ}$ હોય છે. સમબાજુ ત્રિકોણમાં $3$ સમાન બહિષ્કોણ હોવાથી,દરેક બહિષ્કોણ = $360^{\circ} / 3 = 120^{\circ}$.

(B) આપેલ છે કે $\Delta ABC$ માં, $\angle B = \angle C$ છે.
ત્રિકોણના ગુણધર્મ મુજબ, સમાન ખૂણાઓની સામેની બાજુઓ સમાન હોય છે.
તેથી, $\angle B$ ની સામેની બાજુ $AC$ અને $\angle C$ ની સામેની બાજુ $AB$ છે.
આમ, $AC = AB$ થાય.
આપણને $AB = 5 \text{ cm}$ આપેલ છે, તેથી $AC = 5 \text{ cm}$ થશે.
વળી, $BC = 8 \text{ cm}$ આપેલ છે.
$\Delta ABC$ ની પરિમિતિ $= AB + BC + AC$.
પરિમિતિ $= 5 \text{ cm} + 8 \text{ cm} + 5 \text{ cm} = 18 \text{ cm}$.

(C) $\Delta XYZ$ માં,આપણને આપેલ છે કે $\angle Y = 90^{\circ}$.
ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,$\angle X + \angle Y + \angle Z = 180^{\circ}$ થાય.
$\angle Y$ ની કિંમત મૂકતા,$\angle X + 90^{\circ} + \angle Z = 180^{\circ}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\angle X + \angle Z = 90^{\circ}$.
આપણને એ પણ આપેલ છે કે $XY = YZ$. ત્રિકોણમાં સમાન બાજુઓની સામેના ખૂણાઓ સમાન હોય છે.
તેથી,$\angle Z = \angle X$ થાય.
$\angle X + \angle Z = 90^{\circ}$ સમીકરણમાં $\angle Z = \angle X$ મૂકતા,આપણને $\angle X + \angle X = 90^{\circ}$ મળે.
આ સાદું રૂપ આપતા $2\angle X = 90^{\circ}$ થાય,જે દર્શાવે છે કે $\angle X = 45^{\circ}$.

(D) $\Delta ABC$ માં,અંતઃકોણો $\angle ABC$,$\angle ACB$ અને $\angle BAC$ (અથવા $\angle A$) છે.
બિંદુ $B$ પર $\angle ABD$ બહિષ્કોણ હોવાથી,$\angle ABC + \angle ABD = 180^{\circ}$ (રૈખિક જોડના ખૂણા).
તેથી,$\angle ABC = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}$.
બિંદુ $C$ પર $\angle ACE$ બહિષ્કોણ હોવાથી,$\angle ACB + \angle ACE = 180^{\circ}$ (રૈખિક જોડના ખૂણા).
તેથી,$\angle ACB = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$.
$\Delta ABC$ ના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે,તેથી $\angle A + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}$.
$\angle A + 70^{\circ} + 30^{\circ} = 180^{\circ}$.
$\angle A + 100^{\circ} = 180^{\circ}$.
$\angle A = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}$.

(B) ત્રિકોણની અસમતાના પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણની કોઈપણ બે બાજુઓની લંબાઈનો સરવાળો હંમેશા ત્રીજી બાજુની લંબાઈ કરતા વધારે હોય છે. તેથી,સાચો શબ્દ 'વધારે' છે.

(B) ત્રિકોણની અસમતાના પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણની કોઈપણ બે બાજુઓની લંબાઈનો તફાવત હંમેશા ત્રીજી બાજુની લંબાઈ કરતા ઓછો હોય છે. જો ત્રિકોણની બાજુઓ $a$,$b$ અને $c$ હોય,તો $|a - b| < c$,$|a - c| < b$ અને $|b - c| < a$ થાય.

(D) $\Delta ABC$ માં,ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$.
$\angle A + 50^{\circ} + 85^{\circ} = 180^{\circ}$.
$\angle A + 135^{\circ} = 180^{\circ}$.
$\angle A = 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણમાં મોટા ખૂણાની સામેની બાજુ મોટી હોય છે.
અહીં,$\angle C = 85^{\circ}$ અને $\angle B = 50^{\circ}$ છે.
જેથી $\angle C > \angle B$ હોવાથી,$\angle C$ ની સામેની બાજુ $(AB)$ એ $\angle B$ ની સામેની બાજુ $(AC)$ કરતા મોટી હોય.
આમ,$AB > AC$.

(A) ત્રિકોણની અસમતાના પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણની કોઈપણ બે બાજુઓના માપનો સરવાળો ત્રીજી બાજુના માપ કરતાં હંમેશા વધારે હોય છે.
$\Delta ABC$ માં,બાજુઓ $AB$ અને $BC$ ના માપનો સરવાળો $AC$ કરતાં વધારે હોવો જોઈએ.
તેથી,$AB + BC > AC$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $6 \text{ cm} + 9 \text{ cm} > AC$.
$15 \text{ cm} > AC$,જેનો અર્થ છે કે $AC < 15 \text{ cm}$.
આમ,બાજુ $AC$ નું માપ $15 \text{ cm}$ થી ઓછું હોવું જોઈએ.

(B) ત્રિકોણની અસમતાના પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણની કોઈપણ બે બાજુઓનો સરવાળો હંમેશા ત્રીજી બાજુ કરતા વધારે હોય છે.
વળી,ત્રિકોણની કોઈપણ બે બાજુઓનો તફાવત હંમેશા ત્રીજી બાજુ કરતા ઓછો હોય છે.
ધારો કે બાજુઓ $a = 8 \, cm$,$b = 5 \, cm$ અને $c = AC$ છે.
ગુણધર્મ મુજબ: $|a - b| < c < a + b$.
કિંમતો મૂકતા: $|8 - 5| < AC < 8 + 5$.
$3 < AC < 13$.
તેથી,$AC$ એ $3 \, cm$ કરતા વધારે હોવું જોઈએ.

(C) $\Delta PQR$ માં,આપણને આપેલ છે કે $\angle Q = \angle R$.
પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણના સમાન ખૂણાઓની સામેની બાજુઓ સમાન હોય છે.
તેથી,$\angle Q$ ની સામેની બાજુ $(PR)$ એ $\angle R$ ની સામેની બાજુ $(PQ)$ ને સમાન હોવી જોઈએ.
આમ,$PR = PQ$.
આપેલ છે કે $PQ = 6.5 \, cm$,તેથી $PR = 6.5 \, cm$ થાય.

(D) આપેલ છે કે $\Delta ABC$ માં,$AB = AC$ છે.
સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના ગુણધર્મ મુજબ,સમાન બાજુઓની સામેના ખૂણાઓ સમાન હોય છે.
તેથી,બાજુ $AB$ ની સામેનો ખૂણો $\angle C$ છે અને બાજુ $AC$ ની સામેનો ખૂણો $\angle B$ છે.
જેহেতু $AB = AC$,તેથી $\angle B = \angle C$ થાય.
આપેલ છે કે $\angle C = 75^{\circ}$ છે.
આમ,$\angle B = 75^{\circ}$ થાય.

(A) ત્રિકોણની અસમતાના પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણની કોઈપણ બે બાજુઓનો સરવાળો ત્રીજી બાજુ કરતા વધારે હોવો જોઈએ.
ધારો કે ત્રીજી બાજુ $AC = x \text{ cm}$ છે.
તેથી,$AB + BC > AC \implies 8 + 10 > x \implies x < 18$.
વળી,$AB + AC > BC \implies 8 + x > 10 \implies x > 2$.
અને $BC + AC > AB \implies 10 + x > 8$,જે તમામ $x > 0$ માટે સાચું છે.
આમ,$2 < x < 18$.
પરિમિતિ $P = AB + BC + AC = 8 + 10 + x = 18 + x$.
કારણ કે $x < 18$,તેથી પરિમિતિ $P < 18 + 18 = 36 \text{ cm}$.
તેથી,પરિમિતિ $36 \text{ cm}$ કરતા ઓછી છે.

(B) કોઈપણ ત્રિકોણમાં,કોઈપણ બે બાજુઓની લંબાઈનો સરવાળો ત્રીજી બાજુની લંબાઈ કરતા વધારે હોવો જોઈએ (ત્રિકોણની અસમતાનો પ્રમેય).
ધારો કે $\Delta XYZ$ ની બાજુઓ $XY = 7 \, cm$,$YZ = 10 \, cm$ અને $XZ = z \, cm$ છે.
ત્રિકોણની અસમતાના પ્રમેય મુજબ:
$XY + YZ > XZ \implies 7 + 10 > z \implies z < 17$
$XY + XZ > YZ \implies 7 + z > 10 \implies z > 3$
$YZ + XZ > XY \implies 10 + z > 7 \implies z > -3$ (જે લંબાઈ માટે હંમેશા સાચું છે).
આમ,ત્રીજી બાજુ $z$ એ $3 < z < 17$ શરતનું પાલન કરવું જોઈએ.
ત્રિકોણની પરિમિતિ $P = XY + YZ + XZ = 7 + 10 + z = 17 + z$ છે.
જેহেতু $z > 3$,તેથી $P = 17 + z > 17 + 3 = 20$.
તેથી,$\Delta XYZ$ ની પરિમિતિ $20 \, cm$ કરતા વધારે છે.

(D) કોઈપણ ત્રિકોણમાં,સૌથી લાંબી બાજુની સામેનો ખૂણો સૌથી મોટો ખૂણો હોય છે.
આપેલ છે કે બાજુઓની લંબાઈ અસમતા $AC > AB > BC$ નું પાલન કરે છે.
બાજુ $AC$ એ $\Delta ABC$ ની સૌથી લાંબી બાજુ છે.
બાજુ $AC$ ની સામેનો ખૂણો $\angle B$ છે.
તેથી,$\angle B$ એ ત્રિકોણનો સૌથી મોટો ખૂણો છે.

(A) ત્રિકોણની અસમતાના પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણની કોઈપણ બે બાજુઓનો સરવાળો ત્રીજી બાજુ કરતાં હંમેશા વધારે હોય છે અને કોઈપણ બે બાજુઓનો તફાવત ત્રીજી બાજુ કરતાં હંમેશા ઓછો હોય છે.
આપેલ બાજુઓ $PQ = 7.5 \, cm$ અને $QR = 6.2 \, cm$ છે.
ધારો કે ત્રીજી બાજુ $PR$ છે.
$1$. બે બાજુઓનો તફાવત ત્રીજી બાજુ કરતાં ઓછો હોવો જોઈએ: $PR > |PQ - QR| = |7.5 - 6.2| = 1.3 \, cm$.
$2$. બે બાજુઓનો સરવાળો ત્રીજી બાજુ કરતાં વધારે હોવો જોઈએ: $PR < PQ + QR = 7.5 + 6.2 = 13.7 \, cm$.
તેથી,$1.3 < PR < 13.7$.
આને $a < PR < b$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1.3$ અને $b = 13.7$ મળે છે.

(B) કોઈપણ ત્રિકોણમાં,સૌથી મોટા ખૂણાની સામેની બાજુ સૌથી લાંબી હોય છે અને સૌથી નાના ખૂણાની સામેની બાજુ સૌથી ટૂંકી હોય છે.
આપેલ છે કે ખૂણાઓ $\angle Y > \angle X > \angle Z$ છે.
$\angle Y$ ની સામેની બાજુ $XZ$ છે.
$\angle X$ ની સામેની બાજુ $YZ$ છે.
$\angle Z$ ની સામેની બાજુ $XY$ છે.
અહીં $\angle Z$ સૌથી નાનો ખૂણો હોવાથી,તેની સામેની બાજુ $XY$ એ ત્રિકોણની સૌથી નાની બાજુ થશે.

(D) ધારો કે ત્રિકોણની ત્રીજી બાજુ $AC = b$ છે.
ત્રિકોણની અસમતાના પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણની કોઈપણ બે બાજુઓનો સરવાળો ત્રીજી બાજુ કરતાં મોટો હોય છે અને કોઈપણ બે બાજુઓનો તફાવત ત્રીજી બાજુ કરતાં નાનો હોય છે.
$1$. $AB + BC > AC \implies 9 + 12 > b \implies b < 21$.
$2$. $BC - AB < AC \implies 12 - 9 < b \implies b > 3$.
તેથી,$3 < b < 21$.
પરિમિતિ $P = AB + BC + AC = 9 + 12 + b = 21 + b$.
કારણ કે $3 < b < 21$,આપણે અસમતાના તમામ ભાગોમાં $21$ ઉમેરીએ:
$3 + 21 < 21 + b < 21 + 21$
$24 < P < 42$.
આને $x < P < y$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 24$ અને $y = 42$ મળે છે.

(N/A) $1$. $\Delta ABC$ માં,$AD$ મધ્યગા છે. મધ્યગા ત્રિકોણને સમાન ક્ષેત્રફળવાળા બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે,તેથી $ar(ABD) = ar(ACD) = \frac{1}{2} ar(ABC)$.
$2$. તેવી જ રીતે,$\Delta GBC$ માં,$GD$ મધ્યગા છે,તેથી $ar(GBD) = ar(GCD)$.
$3$. મોટા ત્રિકોણમાંથી આ ક્ષેત્રફળો બાદ કરતા: $ar(GAB) = ar(ABD) - ar(GBD)$ અને $ar(GAC) = ar(ACD) - ar(GCD)$. $ar(ABD) = ar(ACD)$ અને $ar(GBD) = ar(GCD)$ હોવાથી,$ar(GAB) = ar(GAC)$ મળે છે.
$4$. સંમિતિ દ્વારા,$BE$ અથવા $CF$ મધ્યગાનો ઉપયોગ કરીને,આપણે દર્શાવી શકીએ કે $ar(GAB) = ar(GBC) = ar(GCA)$.
$5$. આ ત્રણેય ક્ષેત્રફળોનો સરવાળો $ar(ABC)$ હોવાથી,દરેકનું મૂલ્ય $\frac{1}{3} ar(ABC)$ થાય.

(A) $1$. કાટકોણ $\Delta ABC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AB^2 + BC^2 = AC^2$.
$2$. $AB^2 + 8^2 = 17^2 \implies AB^2 + 64 = 289 \implies AB^2 = 225 \implies AB = 15 \, \text{cm}$.
$3$. $\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 15 \times 8 = 60 \, \text{cm}^2$.
$4$. $BE$ મધ્યગા હોવાથી,તે ત્રિકોણને બે સમાન ક્ષેત્રફળવાળા ભાગમાં વહેંચે છે: $\text{Area}(\Delta BCE) = \frac{1}{2} \times \text{Area}(\Delta ABC) = \frac{60}{2} = 30 \, \text{cm}^2$.
$5$. $\Delta BCE$ માં,$M$ એ $BE$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $CM$ એ $\Delta BCE$ ની મધ્યગા છે.
$6$. મધ્યગા ત્રિકોણને બે સમાન ક્ષેત્રફળમાં વહેંચે છે,તેથી $\text{Area}(\Delta BMC) = \frac{1}{2} \times \text{Area}(\Delta BCE) = \frac{30}{2} = 15 \, \text{cm}^2$.

(B) $1$. આપેલ છે કે $AD$ એ $\Delta ABC$ ની મધ્યગા છે,તેથી તે ત્રિકોણને સમાન ક્ષેત્રફળ ધરાવતા બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે. આમ,$Area(\Delta ABD) = Area(\Delta ADC) = \frac{1}{2} \times Area(\Delta ABC)$.
$2$. $\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times BC \times AM = \frac{1}{2} \times 16 \times 8 = 64\, cm^2$.
$3$. તેથી,$Area(\Delta ABD) = \frac{1}{2} \times 64 = 32\, cm^2$.
$4$. $\Delta EBD$ માં,$DA$ મધ્યગા છે કારણ કે $AB = AE$ (આપેલ છે),જે સૂચવે છે કે $A$ એ $BE$ નું મધ્યબિંદુ છે. આમ,$\Delta ABD$ અને $\Delta AED$ સમાન પાયા અને સમાન ઊંચાઈ ધરાવે છે.
$5$. $AB = AE$ હોવાથી,$\Delta ABD$ અને $\Delta AED$ ના ક્ષેત્રફળ સમાન છે. તેથી,$Area(\Delta ABD) = Area(\Delta AED) = 32\, cm^2$.
$6$. $\Delta EBD$ નું કુલ ક્ષેત્રફળ $= Area(\Delta ABD) + Area(\Delta AED) = 32 + 32 = 64\, cm^2$.

(N/A) $1$. ધારો કે $\Delta XYZ$ નો પાયો $YZ$ એ બિંદુઓ $A, B, C, D, E, F,$ અને $G$ દ્વારા $8$ સમાન ભાગોમાં વહેંચાયેલ છે.
$2$. $YA = AB = BC = CD = DE = EF = FG = GZ$ હોવાથી,દરેક રેખાખંડની લંબાઈ કુલ લંબાઈ $YZ$ ના $\frac{1}{8}$ ભાગ જેટલી છે.
$3$. ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $ar = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$ છે.
$4$. તમામ ત્રિકોણો $\Delta XYZ, \Delta XBE$ વગેરે એક જ શિરોબિંદુ $X$ ધરાવે છે અને એક જ પાયા $YZ$ પર આવેલા છે,તેથી તેમની ઊંચાઈ $h$ સમાન છે.
$5$. $\Delta XBE$ નો પાયો $BE$ છે. $BE = BC + CD + DE$ હોવાથી અને દરેક ભાગ $\frac{1}{8} YZ$ હોવાથી,$BE = \frac{3}{8} YZ$ થાય.
$6$. તેથી,$ar(XBE) = \frac{1}{2} \times BE \times h = \frac{1}{2} \times (\frac{3}{8} YZ) \times h$.
$7$. આનું સાદુરૂપ આપતા $ar(XBE) = \frac{3}{8} \times (\frac{1}{2} \times YZ \times h) = \frac{3}{8} ar(XYZ)$ મળે છે.

(C) કાટકોણ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$ છે.
$\Delta ABC$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$ હોવાથી,બાજુઓ $AB$ અને $BC$ એ પાયો અને વેધ તરીકે કાર્ય કરે છે.
આપેલ છે: $AB = 8\, \text{cm}$ (વેધ) અને $BC = 15\, \text{cm}$ (પાયો).
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times 15 \times 8$.
$\text{ક્ષેત્રફળ} = 15 \times 4 = 60\, \text{cm}^2$.

(D) ત્રિકોણની મધ્યગા તેને સમાન ક્ષેત્રફળ ધરાવતા બે ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે.
અહીં $AD$ એ $\Delta ABC$ ની મધ્યગા હોવાથી,તે $\Delta ABC$ ને બે સમાન ક્ષેત્રફળ ધરાવતા ત્રિકોણો $\Delta ABD$ અને $\Delta ADC$ માં વિભાજિત કરે છે.
તેથી,$ar(\Delta ADC) = \frac{1}{2} \times ar(\Delta ABC)$.
આપેલ છે કે $ar(\Delta ABC) = 50 \, cm^2$.
આમ,$ar(\Delta ADC) = \frac{1}{2} \times 50 \, cm^2 = 25 \, cm^2$.

(C) $1$. $AD$ એ $\Delta ABC$ ની મધ્યગા હોવાથી,તે ત્રિકોણને સમાન ક્ષેત્રફળ ધરાવતા બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે.
$\operatorname{ar}(\Delta ABD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta ABC) = \frac{1}{2} \times 72 = 36 \, \text{cm}^2$.
$2$. $\Delta ABD$ માં,$Q$ એ $AD$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી,$BQ$ એ $\Delta ABD$ ની મધ્યગા છે.
$\operatorname{ar}(\Delta ABQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta ABD) = \frac{1}{2} \times 36 = 18 \, \text{cm}^2$.
$3$. $\Delta ABQ$ માં,$P$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી,$QP$ એ $\Delta ABQ$ ની મધ્યગા છે.
$\operatorname{ar}(\Delta APQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta ABQ) = \frac{1}{2} \times 18 = 9 \, \text{cm}^2$.

(D) આપેલ છે કે $\Delta PQR$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $\angle Q = 90^{\circ}$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$PQ^2 + QR^2 = PR^2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $PQ^2 + 21^2 = 29^2$.
$PQ^2 + 441 = 841$.
$PQ^2 = 841 - 441 = 400$.
$PQ = \sqrt{400} = 20 \text{ cm}$.
કાટકોણ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$\text{પાયો} = QR = 21 \text{ cm}$ અને $\text{વેધ} = PQ = 20 \text{ cm}$ છે.
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times 21 \times 20 = 21 \times 10 = 210 \text{ cm}^2$.

(B) ત્રિકોણની મધ્યગા તેને સમાન ક્ષેત્રફળ ધરાવતા બે ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે.
અહીં $AD$ એ $\Delta ABC$ ની મધ્યગા હોવાથી,તે ત્રિકોણને બે ત્રિકોણો $\Delta ADB$ અને $\Delta ADC$ માં વિભાજિત કરે છે,જેથી $\operatorname{ar}(ADB) = \operatorname{ar}(ADC)$ થાય.
આપેલ છે કે $\operatorname{ar}(ADB) = 53 \, cm^2$,તેથી $\operatorname{ar}(ADC) = 53 \, cm^2$ થાય.
$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ એ $\Delta ADB$ અને $\Delta ADC$ ના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
$\operatorname{ar}(ABC) = \operatorname{ar}(ADB) + \operatorname{ar}(ADC) = 53 \, cm^2 + 53 \, cm^2 = 106 \, cm^2$.

(C) ત્રિકોણની મધ્યગા તેને સમાન ક્ષેત્રફળ ધરાવતા બે ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે.
$\Delta PQR$ માં,$PM$ એ બાજુ $QR$ પરની મધ્યગા છે.
તેથી,$\text{ar}(\Delta PMQ) = \text{ar}(\Delta PMR)$.
આપેલ છે કે $\text{ar}(\Delta PMQ) = 36 \text{ cm}^2$.
આમ,$\text{ar}(\Delta PMR) = 36 \text{ cm}^2$.

(D) આપેલ છે કે $\Delta ABC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $\angle B = 90^{\circ}$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AC^2 = AB^2 + BC^2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $50^2 = 14^2 + BC^2$.
$2500 = 196 + BC^2$.
$BC^2 = 2500 - 196 = 2304$.
$BC = \sqrt{2304} = 48 \, cm$.
કાટકોણ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 14 \times 48$.
$\text{Area} = 7 \times 48 = 336 \, cm^2$.

(A) $\Delta ABC$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$ હોવાથી,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AC^2 = AB^2 + BC^2$.
કિંમતો મૂકતા,$AC^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400$.
તેથી,$AC = \sqrt{400} = 20 \, cm$.
$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$ તરીકે ગણી શકાય.
$AB$ અને $BC$ ને પાયો અને વેધ તરીકે લેતા,ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 12 \times 16 = 96 \, cm^2$.
વૈકલ્પિક રીતે,$AC$ ને પાયો અને $BM$ ને વેધ તરીકે લેતા,ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times AC \times BM$.
ક્ષેત્રફળ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{1}{2} \times 20 \times BM = 96$.
$10 \times BM = 96$.
$BM = 9.6 \, cm$.

(B) બાજુની લંબાઈ ધરાવતા સમબાજુ ત્રિકોણમાં,વેધ પાયાને $\frac{a}{2}$ લંબાઈના બે સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$h^{2} + (\frac{a}{2})^{2} = a^{2}$
$h^{2} + \frac{a^{2}}{4} = a^{2}$
$h^{2} = a^{2} - \frac{a^{2}}{4}$
$h^{2} = \frac{3a^{2}}{4}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$h = \frac{\sqrt{3}}{2} a$
આમ,વેધની લંબાઈ $\frac{\sqrt{3}}{2} a$ છે.

(B) સૌ પ્રથમ,નોંધો કે $AB^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2 = AC^2$ થાય છે.
બે બાજુઓના વર્ગોનો સરવાળો ત્રીજી બાજુના વર્ગ જેટલો હોવાથી,$\Delta ABC$ એ $B$ આગળ કાટખૂણો ધરાવતો કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24 \, cm^2$ તરીકે ગણી શકાય.
વૈકલ્પિક રીતે,$AC$ ને પાયો અને $BM$ ને વેધ તરીકે લેતા,ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times AC \times BM = \frac{1}{2} \times 10 \times BM = 5 \times BM$ થાય.
બંને ક્ષેત્રફળોને સરખાવતા: $5 \times BM = 24$.
તેથી,$BM = \frac{24}{5} = 4.8 \, cm$ મળે છે.

(B) ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર છે: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કાટખૂણો બનાવતી બે બાજુઓ પાયો અને વેધ તરીકે કાર્ય કરે છે.
તેથી,કાટકોણ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{કાટખૂણો બનાવતી બાજુઓનો ગુણાકાર}$ થાય છે.