Mix Examples - FORCE AND LAWS OF MOTION Questions in Gujarati

(N/A) દડાના વેગમાં $4$ વખત ફેરફાર થાય છે.
$1$. પ્રથમ ખેલાડી દડાને લાત મારે છે: વેગ $0$ થી અમુક મૂલ્યમાં બદલાય છે. એજન્ટ પ્રથમ ખેલાડી છે.
$2$. બીજો ખેલાડી દડાને ગોલ તરફ લાત મારે છે: દિશા બદલાય છે, તેથી વેગ બદલાય છે. એજન્ટ બીજો ખેલાડી છે.
$3$. ગોલકીપર દડાને પકડે છે: દડો સ્થિર થાય છે, તેથી વેગ અમુક મૂલ્યથી $0$ માં બદલાય છે. એજન્ટ ગોલકીપર છે.
$4$. ગોલકીપર દડાને તેના સાથી ખેલાડી તરફ લાત મારે છે: વેગ $0$ થી અમુક મૂલ્યમાં બદલાય છે. એજન્ટ ગોલકીપર છે.

$(A)$ ટ્રકનો પ્રારંભિક વેગ,$u = 0 \, m/s$.
લીધેલ સમય,$t = 20 \, s$.
કાપેલું અંતર,$s = 400 \, m$.
ગતિના બીજા સમીકરણ મુજબ,$s = ut + \frac{1}{2}at^2$.
કિંમતો મૂકતા: $400 = 0 \times 20 + \frac{1}{2} \times a \times (20)^2$.
$400 = 200a$.
તેથી,પ્રવેગ $a = 2 \, m/s^2$.
ટ્રકનું દળ,$m = 7 \, \text{tonnes} = 7000 \, kg$.
બળ $F = m \times a$ દ્વારા મળે છે.
$F = 7000 \times 2 = 14000 \, N$.

(B) પથ્થરનો પ્રારંભિક વેગ,$u = 20\, m/s$.
પથ્થરનો અંતિમ વેગ,$v = 0\, m/s$.
પથ્થરે કાપેલું અંતર,$s = 50\, m$.
ગતિના ત્રીજા સમીકરણ મુજબ,$v^2 = u^2 + 2as$.
કિંમતો મૂકતા: $(0)^2 = (20)^2 + 2 \times a \times 50$.
$0 = 400 + 100a$.
$100a = -400$.
$a = -4\, m/s^2$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે પ્રવેગ પથ્થરની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે.
પથ્થરનું દળ,$m = 1\, kg$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,બળ $F = m \times a$.
$F = 1\, kg \times (-4\, m/s^2) = -4\, N$.
આમ,પથ્થર અને બરફ વચ્ચેનું ઘર્ષણ બળ $-4\, N$ છે.

(D) એક વસ્તુનું દળ,$m_1 = 1.5\, kg$.
બીજી વસ્તુનું દળ,$m_2 = 1.5\, kg$.
અથડામણ પહેલાં $m_1$ નો વેગ,$v_1 = 2.5\, m/s$.
અથડામણ પહેલાં $m_2$ નો વેગ,$v_2 = -2.5\, m/s$ (કારણ કે તે વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે).
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અથડામણ પહેલાંનું કુલ વેગમાન = અથડામણ પછીનું કુલ વેગમાન.
$m_1v_1 + m_2v_2 = (m_1 + m_2)v$
કિંમતો મૂકતા:
$1.5(2.5) + 1.5(-2.5) = (1.5 + 1.5)v$
$3.75 - 3.75 = 3v$
$0 = 3v$
$v = 0\, m/s$.
આમ,અથડામણ પછી સંયુક્ત વસ્તુનો વેગ $0\, m/s$ હશે.

(D) વસ્તુનું દળ,$m_1 = 1\, kg$.
અથડામણ પહેલાં વસ્તુનો વેગ,$v_1 = 10\, m/s$.
સ્થિર લાકડાના બ્લોકનું દળ,$m_2 = 5\, kg$.
અથડામણ પહેલાં લાકડાના બ્લોકનો વેગ,$v_2 = 0\, m/s$.
અથડામણ પહેલાંનું કુલ વેગમાન $= m_1 v_1 + m_2 v_2 = 1(10) + 5(0) = 10\, kg\, m\, s^{-1}$.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કુલ વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે.
તેથી,અથડામણ પછીનું કુલ વેગમાન $= 10\, kg\, m\, s^{-1}$.
સંયુક્ત તંત્રનું કુલ દળ $= m_1 + m_2 = 1 + 5 = 6\, kg$.
ધારો કે સંયુક્ત પદાર્થનો વેગ $v$ છે.
$10 = (m_1 + m_2)v$
$10 = 6v$
$v = 10/6 = 5/3\, m/s$.

(C) વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, અથડામણ દરમિયાન તંત્રનું કુલ વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
$1$. કિરણનું સૂચન: કારની સરખામણીમાં જીવડાના વેગમાં ઘણો મોટો ફેરફાર થાય છે. $p = mv$ હોવાથી, જીવડા માટે વેગમાનમાં ફેરફાર $(\Delta p = m \Delta v)$ તેના દળની સાપેક્ષમાં નોંધપાત્ર છે. કારનું દળ ખૂબ વધારે હોવાથી, તેના વેગમાં થતો ફેરફાર નગણ્ય છે, પરંતુ બંને માટે વેગમાનમાં થતો ફેરફાર સમાન મૂલ્યનો હોય છે.
$2$. અખ્તરનું સૂચન: અખ્તરનું કહેવું આંશિક રીતે સાચું છે કે કાર મોટું બળ લગાડે છે, પરંતુ ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ, કાર દ્વારા જીવડા પર લગાડવામાં આવતું બળ અને જીવડા દ્વારા કાર પર લગાડવામાં આવતું બળ સમાન હોય છે.
$3$. રાહુલનું સૂચન: રાહુલનું સૂચન સાચું છે. ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમ મુજબ, બંને પર લાગતું બળ સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે. અથડામણનો સમય બંને માટે સમાન હોવાથી, વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $(F \times t = \Delta p)$ બંને માટે સમાન હોય છે.

(N/A) સમયના સમાન ગાળામાં વસ્તુ દ્વારા કાપવામાં આવેલું અંતર અસમાન છે (તે સમયના ઘન $d = t^3$ ને અનુસરે છે). આ અનિયમિત ગતિ સૂચવે છે. કારણ કે વેગ (અંતરમાં થતા ફેરફારનો દર) વધતા દરે વધી રહ્યો છે, તેથી પ્રવેગ વધી રહ્યો છે.
$(b)$ ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ, $F = ma$. અહીં વસ્તુનો પ્રવેગ $(a)$ સમય સાથે વધી રહ્યો હોવાથી, વસ્તુ પર લાગતું ચોખ્ખું બળ $(F)$ પણ વધી રહ્યું છે.

(A) મોટરકારનું દળ $(m)$ $= 1200 \, kg$ છે.
જ્યારે બે વ્યક્તિઓ કારને અચળ વેગથી ધકેલે છે,ત્યારે ચોખ્ખું બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય છે. આનો અર્થ એ છે કે બે વ્યક્તિઓ દ્વારા લગાડવામાં આવેલું બળ ઘર્ષણ બળ $(f)$ દ્વારા સંતુલિત થાય છે.
તેથી,$2F = f$,જ્યાં $F$ એ દરેક વ્યક્તિ દ્વારા લગાડવામાં આવેલું બળ છે.
જ્યારે ત્રણ વ્યક્તિઓ કારને ધકેલે છે,ત્યારે કુલ લગાડવામાં આવેલું બળ $3F$ છે. પ્રવેગ ઉત્પન્ન કરતું ચોખ્ખું બળ $(F_{net})$ એ કુલ લગાડવામાં આવેલું બળ અને ઘર્ષણ બળનો તફાવત છે:
$F_{net} = 3F - f = 3F - 2F = F$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F_{net} = m \times a$.
અહીં $a = 0.2 \, m \, s^{-2}$ આપેલ છે,તેથી:
$F = 1200 \, kg \times 0.2 \, m \, s^{-2} = 240 \, N$.
આમ,દરેક વ્યક્તિ $240 \, N$ ના બળથી મોટરકારને ધકેલે છે.

(C) મોટરકારનું દળ,$m = 1200\, kg$.
પ્રારંભિક વેગ,$u = 90\, km/h = 90 \times (5/18) = 25\, m/s$.
અંતિમ વેગ,$v = 18\, km/h = 18 \times (5/18) = 5\, m/s$.
લાગતો સમય,$t = 4\, s$.
પ્રવેગ $a = (v - u) / t = (5 - 25) / 4 = -20 / 4 = -5\, m/s^2$.
વેગમાનમાં થતો ફેરફાર = $m(v - u) = 1200 \times (5 - 25) = 1200 \times (-20) = -24000\, kg\, m/s$.
બળ $F = m \times a = 1200 \times (-5) = -6000\, N$.
જરૂરી બળનું મૂલ્ય $6000\, N$ છે.

(N/A) વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ ફક્ત અલગ કરેલી (isolated) સિસ્ટમ માટે જ લાગુ પડે છે જ્યાં સિસ્ટમ પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું ન હોય.
આ કિસ્સામાં,દડો એ અલગ કરેલી સિસ્ટમ નથી કારણ કે તેના પર પૃથ્વીનું બાહ્ય ગુરુત્વાકર્ષણ બળ સતત લાગે છે.
આ બાહ્ય બળ દડાના વેગમાં ફેરફાર કરે છે અને પરિણામે તેના વેગમાનમાં પણ ફેરફાર થાય છે.
તેથી,બાહ્ય બળ હાજર હોવાથી,માત્ર દડાનું વેગમાન સંરક્ષિત રહેતું નથી.

(N/A) આપેલ છે:
દડાનું દળ,$m = 50 \, g = 0.05 \, kg$
પ્રારંભિક વેગ,$u = 80 \, m \, s^{-1}$ ($t = 0 \, s$ સમયે)
અંતિમ વેગ,$v = 0 \, m \, s^{-1}$ ($t = 8 \, s$ સમયે)
લાગતો સમય,$t = 8 \, s$
$1$. પ્રવેગ $(a)$ ની ગણતરી:
$a = \frac{v - u}{t} = \frac{0 - 80 \, m \, s^{-1}}{8 \, s} = -10 \, m \, s^{-2}$
ઋણ નિશાની પ્રતિપ્રવેગ (મંદન) સૂચવે છે.
$2$. ઘર્ષણ બળ $(F)$ ની ગણતરી:
$F = m \times a$
$F = 0.05 \, kg \times (-10 \, m \, s^{-2}) = -0.5 \, N$
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે ઘર્ષણ બળ દડાની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગે છે.

(A) બળનો $SI$ એકમ ન્યૂટન $(N)$ છે,જે ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ $(F = ma)$ મુજબ $kg\, m s^{-2}$ ને સમાન છે.
વેગમાન $(p)$ નો $SI$ એકમ દળ અને વેગનો ગુણાકાર $(p = mv)$ છે,જે $kg\, m s^{-1}$ થાય છે.
તેથી,બળ અને વેગમાન માટેના એકમો અનુક્રમે $kg\, m s^{-2}$ અને $kg\, m s^{-1}$ છે.

(N/A) $(i)$ ડોલ ઊંચકવી; પથ્થર ઊંચકવો.
$(ii)$ દરવાજો ખોલવા માટે ધકેલવો; સામાનની ટ્રોલીને ધકેલવી.
$(iii)$ એન્જિન દ્વારા ટ્રેનને ખેંચવી; ઘોડા દ્વારા ગાડાને ખેંચવું.
$(iv)$ ફુલાવતા પહેલા રબરના ફુગ્ગાને ખેંચવો; સ્પ્રિંગને ખેંચવી.
$(v)$ પિસ્ટન વડે હવાને દબાવવી; ઇન્જેક્શન આપતી વખતે ડૉક્ટર દ્વારા સિરીંજનું પ્લન્જર દબાવવું.
$(vi)$ ઘર્ષણ ગતિને અવરોધે છે; હવા પડતી વસ્તુઓની ગતિને અવરોધે છે.
$(vii)$ ચુંબક દ્વારા લોખંડના ટુકડાને આકર્ષવો; પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પથ્થરનું નીચે પડવું.
$(viii)$ ટ્યુબમાંથી ટૂથપેસ્ટ બહાર કાઢવા માટે દબાવવી; ભીના કપડાં નીચોવવા.

(B) જ્યારે આપણે પેડલ મારવાનું બંધ કરીએ છીએ,ત્યારે ગતિ જાળવી રાખતું બાહ્ય બળ દૂર થઈ જાય છે. સાયકલ ધીમી પડવાનું કારણ એ છે કે ટાયર અને રસ્તા વચ્ચે લાગતું ઘર્ષણ બળ અને હવાનો અવરોધ,જે સાયકલની ગતિનો વિરોધ કરે છે.

(N/A) આ વિધાન કે ઘર્ષણ બળ હંમેશા ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે,તે સંપૂર્ણપણે સાચું નથી. સામાન્ય રીતે ઘર્ષણ બે સપાટીઓ વચ્ચેની સાપેક્ષ ગતિનો વિરોધ કરે છે,પરંતુ કેટલીકવાર તે ગતિની દિશામાં પણ કાર્ય કરી શકે છે.
ઉદાહરણ: ચાલતી વ્યક્તિનું ઉદાહરણ લો. જ્યારે કોઈ વ્યક્તિ ચાલે છે,ત્યારે તે તેના પગ વડે જમીનને પાછળની તરફ ધકેલે છે. ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,જમીન પગ પર આગળની દિશામાં સમાન અને વિરુદ્ધ બળ લગાડે છે. આ આગળની દિશામાં લાગતું બળ એ પગ પર લાગતું સ્થિત ઘર્ષણ બળ છે,જે વ્યક્તિને આગળ વધવામાં મદદ કરે છે. આ કિસ્સામાં,ઘર્ષણ બળ ગતિની દિશામાં કાર્ય કરે છે.

(N/A) $(i)$ ઘર્ષણ બળ પદાર્થની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે.
$(ii)$ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ પૃથ્વીના કેન્દ્ર તરફ નીચેની દિશામાં કાર્ય કરે છે.
$(iii)$ કેન્દ્રગામી બળ તે વર્તુળાકાર માર્ગના કેન્દ્ર તરફ કાર્ય કરે છે જે પર પદાર્થ ગતિ કરી રહ્યો છે.

(N/A) વેગમાન એટલે પદાર્થના દળ અને તેના વેગનો ગુણાકાર. તેને પદાર્થમાં રહેલી ગતિની કુલ માત્રા તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે. તેનો $SI$ એકમ $kg \cdot m \cdot s^{-1}$ છે.
વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ જણાવે છે કે જો કોઈ તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું ન હોય, તો તે તંત્રનું કુલ વેગમાન સંરક્ષિત (અચળ) રહે છે.

(N/A) આ ન્યૂટનના ગતિના $\text{બીજા}$ નિયમ $(F = ma)$ પર આધારિત છે. પુસ્તકોથી ભરેલા બોક્સની સરખામણીમાં ખાલી બોક્સનું દળ ઓછું હોય છે, તેથી તેની જડત્વ પણ ઓછી હોય છે. બળ એ દળના સમપ્રમાણમાં હોવાથી, ખાલી બોક્સને પ્રવેગિત કરવા માટે ઓછા બળની જરૂર પડે છે.
$(b)$ આ ન્યૂટનના ગતિના $\text{ત્રીજા}$ નિયમ (આઘાત અને પ્રત્યાઘાત) પર આધારિત છે. જ્યારે નળીમાંથી પાણી ખૂબ જ વેગ સાથે આગળની દિશામાં બહાર આવે છે, ત્યારે તે નળી પર પાછળની દિશામાં સમાન અને વિરુદ્ધ પ્રત્યાઘાતી બળ લગાડે છે. આના કારણે અગ્નિશામક માટે નળીને સ્થિર પકડી રાખવી મુશ્કેલ બને છે.

(N/A) બળને કારણે ફુગ્ગાના આકારમાં ફેરફાર થાય છે.
$(b)$ બળને કારણે દડાની દિશા અને વેગમાં ફેરફાર થાય છે.
$(c)$ બળને કારણે સ્પ્રિંગના આકારમાં ફેરફાર થાય છે.

(N/A) પ્રવેગી અસંતુલિત બળ: વેગ-સમયનો આલેખ અચળ ધન ઢાળ દર્શાવે છે,જે સમાન પ્રવેગ સૂચવે છે. ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$,પ્રવેગ ઉત્પન્ન કરવા માટે અસંતુલિત બળ જરૂરી છે.
$(b)$ કોઈ ચોખ્ખું બળ નથી: વેગ-સમયનો આલેખ એક આડી રેખા છે,જે અચળ વેગ (શૂન્ય પ્રવેગ) સૂચવે છે. ન્યૂટનના ગતિના પ્રથમ નિયમ મુજબ,જો ચોખ્ખું બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય,તો પદાર્થ અચળ વેગથી ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખશે.
$(c)$ પ્રતિપ્રવેગી અસંતુલિત બળ: વેગ-સમયનો આલેખ અચળ ઋણ ઢાળ દર્શાવે છે,જે સમાન પ્રતિપ્રવેગ (મંદન) સૂચવે છે. વેગ ઘટાડવા માટે ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્યરત અસંતુલિત બળ જરૂરી છે.

(N/A) $(i)$ બંને વાહનો સમાન મૂલ્યનું બળ અનુભવે છે. ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,દરેક આઘાત-પ્રત્યાઘાત સમાન અને પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે. તેથી,ટ્રક દ્વારા કાર પર લાગતું બળ અને કાર દ્વારા ટ્રક પર લાગતું બળ સમાન હોય છે.
$(ii)$ ટ્રક વેગમાનમાં વધુ ફેરફાર અનુભવે છે. વેગમાનની વ્યાખ્યા $p = mv$ છે. ટ્રકનું દળ $(M)$ કારના દળ $(m)$ કરતા ઘણું વધારે હોવાથી,અને બંને સ્થિર થતા હોવાથી (અંતિમ વેગ $= 0$),વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta p = |0 - mv| = mv$ ટ્રક માટે વધુ હોય છે.
$(iii)$ કાર વધુ પ્રવેગ અનુભવે છે. ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$,જેનો અર્થ છે કે $a = F/m$. બંને પર લાગતું બળ $(F)$ સમાન હોવાથી,જે વાહનનું દળ $(m)$ ઓછું હોય તે વધુ પ્રવેગ $(a)$ અનુભવશે.

(A) બંને કારનું દળ,$m_1 = m_2 = 1000 \ kg$.
પ્રથમ કારનો પ્રારંભિક વેગ,$u_1 = 5 \ m s^{-1}$.
બીજી કારનો પ્રારંભિક વેગ,$u_2 = -5 \ m s^{-1}$ (કારણ કે તેઓ વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે).
ધારો કે અથડામણ પછી સંયુક્ત કારનો સામાન્ય વેગ $v$ છે.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અથડામણ પહેલાંનું કુલ વેગમાન એ અથડામણ પછીના કુલ વેગમાન જેટલું હોય છે.
$m_1 u_1 + m_2 u_2 = (m_1 + m_2) v$
કિંમતો મૂકતા:
$1000 \times 5 + 1000 \times (-5) = (1000 + 1000) v$
$5000 - 5000 = 2000 v$
$0 = 2000 v$
$v = 0 \ m s^{-1}$.
તેથી,અથડામણ પછી સંયુક્ત કાર સ્થિર થઈ જશે.

(N/A) $(i)$ જો કોઈ વ્યક્તિ ચાલતા વાહનમાંથી કૂદકો મારે,તો તેના પગ જમીનને અડતાની સાથે જ સ્થિર થઈ જાય છે,જ્યારે શરીરનો બાકીનો ભાગ જડત્વને કારણે ગતિમાં રહે છે. આના કારણે વ્યક્તિ આગળની તરફ પડી શકે છે અને ઈજા થઈ શકે છે. આ જોખમને ઘટાડવા માટે,વાહનમાંથી કૂદકો માર્યા પછી વાહનની દિશામાં થોડે દૂર સુધી દોડવું જોઈએ,જેથી શરીર ધીમે ધીમે સ્થિર અવસ્થામાં આવી શકે.
$(ii)$ જ્યારે હોડીવાળો હલેસા વડે પાણીને પાછળની તરફ ધકેલે છે,ત્યારે ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,પાણી હોડી પર સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં બળ લગાડે છે. આ પ્રતિક્રિયા બળ હોડીને આગળની તરફ ગતિ કરવામાં મદદ કરે છે.

(N/A) $(i)$ કાદવવાળી જમીન પર ચાલવું મુશ્કેલ છે કારણ કે જ્યારે આપણે આપણા પગ વડે જમીનને ધકેલીએ છીએ,ત્યારે જમીન નરમ હોવાથી દબાઈ જાય છે અને ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ સમાન અને વિરુદ્ધ પ્રતિક્રિયા બળ આપવામાં નિષ્ફળ જાય છે.
$(ii)$ જ્યારે હવા ભરેલા ફુગ્ગાને નીચેથી કાણું પાડવામાં આવે છે,ત્યારે બહાર નીકળતી હવા નીચેની તરફ બળ લગાડે છે. ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમ મુજબ,હવા ફુગ્ગા પર સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં ઉપરની તરફ પ્રતિક્રિયા બળ લગાડે છે,જેના કારણે તે થોડો ઉપર જાય છે.
$(iii)$ ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,દરેક ક્રિયાબળ સામે સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રતિક્રિયાબળ હોય છે. જ્યારે તરવૈયો પાણીને પાછળની તરફ ધકેલે છે (ક્રિયાબળ),ત્યારે પાણી તરવૈયા પર આગળની દિશામાં સમાન અને વિરુદ્ધ બળ લગાડે છે (પ્રતિક્રિયાબળ),જે તરવૈયાને આગળ વધવામાં મદદ કરે છે.

(N/A) $(i)$ બંને વાહનો સમાન આઘાત બળ અનુભવે છે કારણ કે આઘાત અને પ્રત્યાઘાત સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે (ન્યૂટનનો ગતિનો ત્રીજો નિયમ).
$(ii)$ ટ્રક વેગમાનમાં મોટો ફેરફાર અનુભવે છે કારણ કે વેગમાનમાં ફેરફાર $\Delta p = m \Delta v$ છે. ટ્રકનું દળ કાર કરતા ઘણું વધારે હોવાથી,ટ્રક માટે વેગમાનમાં ફેરફાર વધુ હોય છે.
$(iii)$ કાર વધુ પ્રવેગ (મંદન) અનુભવે છે. $F = ma$ હોવાથી,$a = F/m$ થાય. સમાન બળ માટે,જેનું દળ ઓછું હોય (કાર),તે વાહન વધુ પ્રવેગ અનુભવે છે.
$(iv)$ કારને વધુ નુકસાન થાય છે કારણ કે અથડામણ દરમિયાન તે ખૂબ જ વધારે પ્રમાણમાં મંદન (પ્રવેગ) અનુભવે છે,જેના કારણે તેના માળખા પર વધુ દબાણ આવે છે.

(D) ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ, દરેક આઘાત (action) સામે સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રત્યાઘાત (reaction) હોય છે. તેથી, બસ દ્વારા જીવડા પર લગાડવામાં આવેલું બળ અને જીવડા દ્વારા બસ પર લગાડવામાં આવેલું બળ મૂલ્યમાં સમાન હોય છે।
જેহেতু બળ $(F)$ અને અથડામણનો સમય $(t)$ બંને માટે સમાન છે, તેથી વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $(\Delta p = F \times t)$ પણ જીવડા અને બસ બંને માટે સમાન જ હોય છે।
જોકે, બસનું દળ જીવડાના દળ કરતા ઘણું વધારે હોવાથી, બસના વેગમાં થતો ફેરફાર $(\Delta v = \Delta p / m)$ નહિવત છે, જ્યારે જીવડાના વેગમાં થતો ફેરફાર ખૂબ જ મોટો છે।
પરિણામે, જીવડું ખૂબ જ વધારે પ્રવેગ અનુભવે છે, જેના કારણે તેનું મૃત્યુ થાય છે. રીટાનું વિધાન સાચું છે કે બંને સમાન બળ અને વેગમાનમાં સમાન ફેરફાર અનુભવે છે.

(N/A) વેગમાન એટલે પદાર્થના દળ $(m)$ અને વેગ $(v)$ નો ગુણાકાર. તેને સૂત્ર $p = m \times v$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
$(b)$ દડાની ગતિના મહત્તમ ઊંચાઈના બિંદુએ,તેનો શિરોલંબ વેગ $(v)$ $0 \ m/s$ થઈ જાય છે. વેગમાન $p = m \times v$ હોવાથી,$v = 0$ મૂકતા $p = m \times 0 = 0$ મળે છે. આમ,મહત્તમ ઊંચાઈએ વેગમાન શૂન્ય હોય છે.
$(c)$ વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ જણાવે છે કે,જો કોઈ બાહ્ય અસંતુલિત બળ ન લાગતું હોય,તો પદાર્થોની સિસ્ટમનું કુલ વેગમાન સંરક્ષિત (અચળ) રહે છે.

(B) જો રસ્તાઓ સીધા ઉપર જાય,તો ઢાળનો ખૂણો (એટલે કે,$\theta$) ખૂબ જ મોટો હોય.
ભૌતિક વિજ્ઞાનના નિયમો અનુસાર,વાહનને ઢાળ પર ઉપર લઈ જવા માટે જરૂરી બળ $\sin(\theta)$ ના પ્રમાણમાં હોય છે.
રસ્તાને ધીમે ધીમે વળાંક આપીને,ઢાળનો ખૂણો $\theta$ નોંધપાત્ર રીતે ઘટાડવામાં આવે છે.
$\theta$ માં આ ઘટાડો પર્વત પર ચઢવા માટે જરૂરી બળ ઘટાડે છે,જેનાથી એન્જિન માટે વાહનને ગરમ થયા વગર અથવા લપસ્યા વગર ઉપર ખેંચવું સરળ બને છે.

(N/A) અનિલે સમજાવ્યું કે જેમ વાહનની ગતિ વધે છે,તેમ બ્રેકિંગ અંતર (braking distance) પણ વધે છે. ખાસ કરીને,જો ગતિ બમણી કરવામાં આવે,તો બ્રેકિંગ અંતર ચાર ગણું થઈ જાય છે. કટોકટીની સ્થિતિમાં,જો આગળનું વાહન અચાનક બ્રેક મારે,તો અનિલના પિતા બ્રેક લગાવ્યા પછી પણ ઉપલબ્ધ અંતરમાં તેમની કાર રોકી શક્યા ન હોત. આનાથી જીવલેણ અકસ્માત થવાની શક્યતા હતી.
$(b)$ અનિલ દ્વારા દર્શાવવામાં આવેલા મૂલ્યોમાં તેના પરિવારની સુરક્ષા માટેની ચિંતા,જવાબદારી,ટ્રાફિક સુરક્ષાના નિયમો વિશેની જાગૃતિ અને વાસ્તવિક જીવનની પરિસ્થિતિઓમાં વૈજ્ઞાનિક જ્ઞાનનો ઉપયોગ કરવાની ક્ષમતાનો સમાવેશ થાય છે.

(A) ડાયનેમિક્સ (ગતિવિજ્ઞાન) એ મિકેનિક્સની એવી શાખા છે જે પદાર્થોની ગતિ અને તે ગતિ માટે જવાબદાર બળોનો અભ્યાસ કરે છે.
કાઈનેમેટિક્સ (શુદ્ધ ગતિવિજ્ઞાન) એ મિકેનિક્સની એવી શાખા છે જે ગતિના કારણોને ધ્યાનમાં લીધા વગર માત્ર પદાર્થોની ગતિનું વર્ણન કરે છે.
સ્ટેટિક્સ (સ્થિતિવિજ્ઞાન) એ મિકેનિક્સની એવી શાખા છે જે બળોની અસર હેઠળ સ્થિર અથવા સંતુલિત અવસ્થામાં રહેલા પદાર્થોનો અભ્યાસ કરે છે.
તેથી,ગતિના કારણને ધ્યાનમાં લેતી સાચી શાખા ડાયનેમિક્સ છે.

(N/A) આપેલ છે: દળ $m = 0.5 \, kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 25 \, m s^{-1}$,ગુરુત્વપ્રવેગ $g = -10 \, m s^{-2}$.
$(a)$ પ્રારંભિક વેગમાન $p = m \times u = 0.5 \times 25 = 12.5 \, kg \, m s^{-1}$.
$(b)$ મહત્તમ ઊંચાઈના અડધા માર્ગે વેગમાન શોધવા માટે,સૌ પ્રથમ $v^2 - u^2 = 2gH$ નો ઉપયોગ કરીને મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ શોધો. મહત્તમ ઊંચાઈએ અંતિમ વેગ $v = 0$ થાય.
$0^2 - (25)^2 = 2 \times (-10) \times H$
$-625 = -20 \times H$
$H = 625 / 20 = 31.25 \, m$.
અડધી ઊંચાઈ $h = H / 2 = 31.25 / 2 = 15.625 \, m$.
હવે,$v_h^2 - u^2 = 2gh$ નો ઉપયોગ કરીને ઊંચાઈ $h$ પર વેગ $v_h$ શોધો:
$v_h^2 - (25)^2 = 2 \times (-10) \times 15.625$
$v_h^2 - 625 = -312.5$
$v_h^2 = 312.5$
$v_h = \sqrt{312.5} \approx 17.68 \, m s^{-1}$.
અડધા માર્ગે વેગમાન $p_h = m \times v_h = 0.5 \times 17.68 = 8.84 \, kg \, m s^{-1}$.

(N/A) $(i)$ પરિણામી બળ $F_{net}$ એ બે વિરોધી બળો વચ્ચેનો તફાવત છે:
$F_{net} = F_{2} - F_{1} = 30 \, N - 20 \, N = 10 \, N$.
$(ii)$ કારણ કે $F_{2} > F_{1}$,પરિણામી બળ મોટા બળની દિશામાં એટલે કે $F_{2}$ ની દિશામાં (ડાબી તરફ) કાર્ય કરે છે.
$(iii)$ ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$,જ્યાં $m = 10 \, kg$ અને $F = 10 \, N$ છે:
$a = F / m = 10 \, N / 10 \, kg = 1 \, m \, s^{-2}$.

(A) $(i)$ પદાર્થનું જડત્વ તેના દળના સમપ્રમાણમાં હોય છે. તેથી,દડા $A$ અને $B$ ના જડત્વનો ગુણોત્તર $m : 2m = 1 : 2$ છે.
$(ii)$ વેગમાન $p$ એ દળ અને વેગનો ગુણાકાર છે $(p = mv)$. દડા $A$ માટે,$p_A = m \times 2V = 2mV$. દડા $B$ માટે,$p_B = 2m \times V = 2mV$. આમ,તેમના વેગમાનનો ગુણોત્તર $2mV : 2mV = 1 : 1$ છે.
$(iii)$ ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,આપેલ સમય $t$ માં પદાર્થને અટકાવવા માટે જરૂરી બળ $F = \frac{\Delta p}{t}$ છે. બંને દડાઓનું પ્રારંભિક વેગમાન સમાન છે અને તેમને સમાન સમય $t$ માં સ્થિર કરવામાં આવે છે (અંતિમ વેગમાન $= 0$),તેથી વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta p$ બંને માટે સમાન છે. તેથી,તેમને અટકાવવા માટે જરૂરી બળનો ગુણોત્તર $1 : 1$ છે.

(D) વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ જણાવે છે કે જ્યારે કોઈ બાહ્ય અસંતુલિત બળ લાગતું ન હોય,ત્યારે તંત્રનું કુલ રેખીય વેગમાન અચળ (સંરક્ષિત) રહે છે.
$(b)$ આપેલ છે:
પ્રથમ પદાર્થનું દળ,$m_{1} = 2 \, kg$
પ્રથમ પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ,$u_{1} = 10 \, m s^{-1}$
બીજા પદાર્થનું દળ,$m_{2} = 5 \, kg$
બીજા પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ,$u_{2} = 0 \, m s^{-1}$ (સ્થિર)
પ્રથમ પદાર્થનો અંતિમ વેગ,$v_{1} = 1 \, m s^{-1}$
ધારો કે બીજા પદાર્થનો અંતિમ વેગ $v_{2}$ છે.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m_{1}u_{1} + m_{2}u_{2} = m_{1}v_{1} + m_{2}v_{2}$
કિંમતો મૂકતા:
$(2 \times 10) + (5 \times 0) = (2 \times 1) + (5 \times v_{2})$
$20 + 0 = 2 + 5v_{2}$
$20 - 2 = 5v_{2}$
$18 = 5v_{2}$
$v_{2} = \frac{18}{5} = 3.6 \, m s^{-1}$
આમ,અથડામણ પછી બીજા પદાર્થનો વેગ $3.6 \, m s^{-1}$ છે.

(N/A) અકસ્માતના કિસ્સામાં ઈજાઓથી બચવા માટે કારમાં સીટ બેલ્ટ આપવામાં આવે છે. સીટ બેલ્ટ મુસાફરને આગળ પડવા માટે લાગતો સમય વધારે છે,જેનાથી તેમના પર લાગતું બળ ઘટે છે.
$(b)$ જ્યારે કોઈ વ્યક્તિ ચાલતી બસમાંથી બહાર કૂદે છે,ત્યારે તેનું શરીર જડત્વને કારણે ગતિની અવસ્થામાં હોય છે. જમીન પર પડતાની સાથે જ,શરીરનો નીચેનો ભાગ ઘર્ષણને કારણે અચાનક સ્થિર થઈ જાય છે,જ્યારે ઉપરનો ભાગ આગળ વધવાનું ચાલુ રાખે છે,જેના કારણે વ્યક્તિ પડી શકે છે અને ઈજાગ્રસ્ત થઈ શકે છે.
$(c)$ આનું કારણ એ છે કે વાહનનું વેગમાન $(p = mv)$ તેના વેગના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે. વધુ ઝડપે,વેગમાન ઘણું વધારે હોય છે,જે અથડામણ દરમિયાન વધુ આઘાતજનક બળ પેદા કરે છે,જેનાથી વધુ ગંભીર નુકસાન અને ઈજાઓ થાય છે.

$(a-d)$ ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ, ટ્રક દ્વારા બસ પર લાગતું બળ અને બસ દ્વારા ટ્રક પર લાગતું બળ મૂલ્યમાં સમાન હોય છે. તેથી, બંને વાહનો સમાન આઘાત બળ અનુભવે છે.
$(b)$ વેગમાનમાં ફેરફાર $(\Delta p)$ એ $m(v - u)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ટ્રકનું દળ વધારે હોવાથી $(M > m)$, વેગમાનમાં ફેરફારનું મૂલ્ય $|M(0 - V)|$ એ મિની બસના વેગમાનમાં ફેરફાર $|m(0 - V)|$ કરતા વધારે હોય છે.
$(c)$ પ્રવેગ $a = F/m$ દ્વારા મળે છે. બંને પર સમાન બળ $(F)$ લાગે છે, પરંતુ મિની બસનું દળ ઓછું હોવાથી, મિની બસ વધુ પ્રવેગ અનુભવે છે.

(N/A) આનું કારણ એ છે કે પૈડું સતત ફરતું રહે છે,પરંતુ પૈડાં પર ચોંટેલી માટી 'inertia of direction' (દિશાના જડત્વ) ને કારણે સીધી રેખામાં ગતિ કરવાનું વલણ ધરાવે છે. પરિણામે,તે સ્પર્શકની દિશામાં ઉડે છે.
$(b)$ હાથ નીચે લઈ જઈને,ક્રિકેટર બોલ પકડવા માટેનો સમય વધારે છે. આનાથી વેગમાનમાં ફેરફારનો દર ઘટે છે,જેનાથી તેના હાથ પર લાગતું બળ ઓછું થાય છે.
$(c)$ કાંકરાનો ઊંચો વેગ ખૂબ જ ટૂંકા સમયગાળામાં શૂન્ય થઈ જાય છે. ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,આના પરિણામે કાચ પર ખૂબ જ મોટું બળ લાગે છે,જેના કારણે તે તૂટી જાય છે.

(N/A) $\text{ન્યૂટનનો ગતિનો બીજો નિયમ જણાવે છે કે પદાર્થના વેગમાનમાં થતા ફેરફારનો દર તેના પર લાગતા અસંતુલિત બળના સમપ્રમાણમાં હોય છે અને આ ફેરફાર બળની દિશામાં જ થાય છે.}$
$\text{ગાણિતિક રીતે, ધારો કે } m \text{ દળ ધરાવતા પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ } u \text{ છે અને } t \text{ સમય પછી અંતિમ વેગ } v \text{ થાય છે, જ્યારે તેના પર } F \text{ બળ લાગે છે.}$
$\text{પ્રારંભિક વેગમાન } p_1 = mu$
$\text{અંતિમ વેગમાન } p_2 = mv$
$\text{વેગમાનમાં ફેરફાર = } p_2 - p_1 = m(v - u)$
$\text{વેગમાનમાં ફેરફારનો દર = } \frac{m(v - u)}{t}$
$\text{નિયમ મુજબ, } F \propto \frac{m(v - u)}{t}$
$F = k \cdot m \cdot \frac{(v - u)}{t}$
$\text{અહીં } \frac{(v - u)}{t} = a \text{ (પ્રવેગ) હોવાથી, } F = kma \text{ મળે છે.}$
$k = 1 \text{ લેતા, } F = ma \text{ મળે છે.}$
$\text{બળનો } SI \text{ એકમ ન્યૂટન } (N) \text{ છે, જ્યાં } 1 \, N = 1 \, kg \cdot m \cdot s^{-2}.$
$(b)$ $\text{અવલોકન: કાર્ડ દૂર ફેંકાઈ જાય છે અને સિક્કો ગ્લાસમાં પડે છે.}$
$\text{કારણ: આ સ્થિરતાના જડત્વને કારણે થાય છે. સિક્કો શરૂઆતમાં સ્થિર અવસ્થામાં હોય છે અને તેના જડત્વને કારણે તે સ્થિર રહેવાનો પ્રયત્ન કરે છે. જ્યારે કાર્ડને ઝટકા સાથે દૂર કરવામાં આવે છે, ત્યારે કાર્ડ ગતિમાં આવે છે, પરંતુ સિક્કો તેના જડત્વને કારણે કાર્ડ સાથે ગતિ કરતો નથી અને ગુરુત્વાકર્ષણ બળને કારણે ગ્લાસમાં નીચે પડે છે.}$

(N/A) વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ જણાવે છે કે બાહ્ય અસંતુલિત બળની ગેરહાજરીમાં, પદાર્થોની સિસ્ટમનું કુલ વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
પદાર્થના વેગમાનને નક્કી કરતા બે પરિબળો નીચે મુજબ છે:
$(i)$ પદાર્થનું દળ $(m)$
$(ii)$ પદાર્થનો વેગ $(v)$
આપેલ છે:
દળ $(m)$ = $0.4 \ kg$
પ્રારંભિક વેગ $(u)$ = $10 \ m s^{-1}$
પ્રારંભિક વેગમાન $(p_i)$ = $m \times u = 0.4 \ kg \times 10 \ m s^{-1} = 4 \ kg \ m s^{-1}$.
તેની મહત્તમ ઊંચાઈએ, દડાનો અંતિમ વેગ $(v)$ $0 \ m s^{-1}$ થાય છે.
તેથી, મહત્તમ ઊંચાઈએ વેગમાન $(p_f)$ = $m \times v = 0.4 \ kg \times 0 \ m s^{-1} = 0 \ kg \ m s^{-1}$.
વેગમાનમાં ફેરફાર $(\Delta p)$ = $p_f - p_i = 0 - 4 = -4 \ kg \ m s^{-1}$.
લાગતો સમય $(t)$ = $1 \ s$.
બળ $(F)$ = $\frac{\Delta p}{t} = \frac{-4 \ kg \ m s^{-1}}{1 \ s} = -4 \ N$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે બળ ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે (પ્રતિપ્રવેગી બળ).
આમ, દડા પર લાગતું પ્રતિપ્રવેગી બળ $4 \ N$ છે.

(C) વેગમાન એટલે પદાર્થના દળ અને વેગનો ગુણાકાર. તેનો $SI$ એકમ $kg\, m s^{-1}$ છે.
$(b)$ બળ $F = m \times a$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $a = (v - u) / t$.
$(i)$ $O$ થી $A$ ના ગાળા માટે: $u = 0\, m s^{-1}$,$v = 40\, m s^{-1}$,$t = 2\, s$. પ્રવેગ $a = (40 - 0) / 2 = 20\, m s^{-2}$. બળ $F = 5\, kg \times 20\, m s^{-2} = 100\, N$.
$(ii)$ $B$ થી $C$ ના ગાળા માટે: $u = 40\, m s^{-1}$,$v = 0\, m s^{-1}$,$t = (10 - 6) = 4\, s$. પ્રવેગ $a = (0 - 40) / 4 = -10\, m s^{-2}$. બળ $F = 5\, kg \times (-10\, m s^{-2}) = -50\, N$ (ઋણ નિશાની પ્રતિપ્રવેગ સૂચવે છે).
$(c)$ $2\, kg$ ના દળ માટે જરૂરી બળ: $F_1 = 2\, kg \times 5\, m s^{-2} = 10\, N$.
$4\, kg$ ના દળ માટે જરૂરી બળ: $F_2 = 4\, kg \times 2\, m s^{-2} = 8\, N$.
આમ,$10\, N > 8\, N$ હોવાથી,$2\, kg$ ના દળને $5\, m s^{-2}$ ના પ્રવેગથી ગતિ કરાવવા માટે વધુ બળની જરૂર પડશે.

(N/A) $(i)$ વેગમાન એટલે પદાર્થના દળ અને તેના વેગનો ગુણાકાર. તેનો $SI$ એકમ $kg \ m/s$ છે.
$(ii)$ આપેલ છે: દળ $(m) = 50 \ kg$,પ્રારંભિક વેગ $(u) = 4 \ m/s$,અંતિમ વેગ $(v) = 8 \ m/s$,સમય $(t) = 8 \ s$.
ગતિના પ્રથમ સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે પ્રવેગ $(a)$ શોધીએ:
$a = (v - u) / t = (8 - 4) / 8 = 4 / 8 = 0.5 \ m/s^2$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ $F = ma$ નો ઉપયોગ કરીને:
$F = 50 \ kg \times 0.5 \ m/s^2 = 25 \ N$.
$(b)$ ન્યૂટનનો ગતિનો પ્રથમ નિયમ જણાવે છે કે જ્યાં સુધી કોઈ પદાર્થ પર બાહ્ય બળ લગાડવામાં ન આવે ત્યાં સુધી તે પદાર્થ પોતાની સ્થિર અવસ્થા અથવા સુરેખ પથ પરની નિયમિત ગતિની અવસ્થા જાળવી રાખે છે.

$(100 \ kg \ m \ s^{-1})$ $(i)$ પદાર્થના દળ અને વેગના ગુણાકારને તેનું વેગમાન કહે છે. વેગમાનનો $SI$ એકમ $kg \ m \ s^{-1}$ છે.
$(ii)$ પદાર્થનું દળ, $m = 10 \ kg$.
ઊંચાઈ, $h = 5 \ m$.
ગુરુત્વપ્રવેગ, $g = 10 \ m \ s^{-2}$.
પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ, $u = 0$.
ગતિના ત્રીજા સમીકરણ મુજબ, $v^2 - u^2 = 2gh$.
$v^2 - 0^2 = 2 \times 10 \times 5$.
$v^2 = 100$.
$v = 10 \ m \ s^{-1}$.
જમીન પર સ્થાનાંતરિત થતું વેગમાન = વેગમાનમાં ફેરફાર = $mv - mu$.
$= (10 \times 10) - (10 \times 0) = 100 \ kg \ m \ s^{-1}$.
$(iii)$ કરાટેનો ખેલાડી ટાઇલ્સ તોડવા માટે તેના હાથને ખૂબ જ ઝડપથી ફેરવે છે. આમ કરવાથી, તેના હાથનું મોટું વેગમાન ખૂબ જ ટૂંકા સમયગાળામાં શૂન્ય થઈ જાય છે. ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ, $F = \frac{\Delta p}{\Delta t}$, સમયગાળો $\Delta t$ ખૂબ જ ઓછો હોવાથી, ટાઇલ્સ પર લાગતું બળ $F$ ખૂબ જ વધી જાય છે, જે તેમને તોડવા માટે પૂરતું છે.

(N/A) વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ જણાવે છે કે જો કણોની કોઈ સિસ્ટમ પર કોઈ બાહ્ય બળ કાર્ય કરતું ન હોય,તો સિસ્ટમનું કુલ રેખીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
ધારો કે $m_{1}$ અને $m_{2}$ દળ ધરાવતા બે કણો $A$ અને $B$ એક સીધી રેખામાં ગતિ કરે છે. ધારો કે તેમના પ્રારંભિક વેગ અનુક્રમે $u_{1}$ અને $u_{2}$ છે,જ્યાં $u_{1} > u_{2}$. તેઓ $t$ સમય માટે અથડાય છે. અથડામણ પછી,તેમના અંતિમ વેગ અનુક્રમે $v_{1}$ અને $v_{2}$ થાય છે.
કણ $A$ નું પ્રારંભિક વેગમાન = $m_{1}u_{1}$
કણ $B$ નું પ્રારંભિક વેગમાન = $m_{2}u_{2}$
કણ $A$ નું અંતિમ વેગમાન = $m_{1}v_{1}$
કણ $B$ નું અંતિમ વેગમાન = $m_{2}v_{2}$
કણ $A$ ના વેગમાનમાં ફેરફારનો દર ($B$ દ્વારા $A$ પર લાગતું બળ,$F_{AB}$) = $\frac{m_{1}(v_{1} - u_{1})}{t}$
કણ $B$ ના વેગમાનમાં ફેરફારનો દર ($A$ દ્વારા $B$ પર લાગતું બળ,$F_{BA}$) = $\frac{m_{2}(v_{2} - u_{2})}{t}$
ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,$A$ દ્વારા $B$ પર લાગતું બળ એ $B$ દ્વારા $A$ પર લાગતા બળ જેટલું અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે:
$F_{AB} = -F_{BA}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{m_{1}(v_{1} - u_{1})}{t} = -\frac{m_{2}(v_{2} - u_{2})}{t}$
બંને બાજુ $t$ વડે ગુણતા:
$m_{1}v_{1} - m_{1}u_{1} = -(m_{2}v_{2} - m_{2}u_{2})$
$m_{1}v_{1} - m_{1}u_{1} = -m_{2}v_{2} + m_{2}u_{2}$
પદોને ગોઠવતા:
$m_{1}u_{1} + m_{2}u_{2} = m_{1}v_{1} + m_{2}v_{2}$
આ દર્શાવે છે કે સિસ્ટમનું કુલ પ્રારંભિક વેગમાન એ સિસ્ટમના કુલ અંતિમ વેગમાન જેટલું છે,જે વેગમાન સંરક્ષણના નિયમને સાબિત કરે છે.

(D) પ્રથમ નિયમ: આ નિયમ મુજબ, "દરેક પદાર્થ જ્યાં સુધી તેના પર કોઈ બાહ્ય બળ ન લાગે ત્યાં સુધી તે પોતાની સ્થિર અવસ્થા અથવા સુરેખ પથ પર અચળ ગતિની અવસ્થા જાળવી રાખે છે."
ત્રીજો નિયમ: આ નિયમ મુજબ, "દરેક આઘાત (action) સામે સમાન મૂલ્યની અને વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રત્યાઘાત (reaction) હોય છે." બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, આઘાત અને પ્રત્યાઘાત સમાન અને વિરુદ્ધ હોય છે.
$(b)$ આપેલ છે: દળ $m = 1800 \, kg$, પ્રારંભિક વેગ $u = 10 \, m s^{-1}$, અંતિમ વેગ $v = 0$, અને અંતર $S = 50 \, m$.
ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $v^2 - u^2 = 2aS$
$0^2 - (10)^2 = 2 \times a \times 50$
$-100 = 100a$
$a = -1 \, m s^{-2}$ (ઋણ નિશાની પ્રતિપ્રવેગ સૂચવે છે).
હવે, ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ બળની ગણતરી કરતા: $F = ma$
$F = 1800 \times (-1)$
$F = -1800 \, N$
કાર પર લાગતું બળ $1800 \, N$ છે, જે ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગે છે.

(D) ન્યૂટનનો ગતિનો બીજો નિયમ જણાવે છે કે પદાર્થના વેગમાનમાં થતો ફેરફારનો દર તેના પર લાગતા અસંતુલિત બળના સમપ્રમાણમાં હોય છે અને આ ફેરફાર બળની દિશામાં જ થાય છે.
ગાણિતિક રીતે,જો $F$ બળ હોય,$m$ દળ હોય,$v$ અંતિમ વેગ હોય,$u$ પ્રારંભિક વેગ હોય અને $t$ સમય હોય:
$F \propto \frac{m(v-u)}{t}$
કારણ કે $\frac{v-u}{t} = a$ (પ્રવેગ),તેથી આપણને $F = kma$ મળે છે. અચળાંક $k = 1$ લેતા,બળ માપવાનું સૂત્ર મળે છે: $F = ma$.
$(b)$ આપેલ છે:
રાઈફલનું દળ $(M)$ = $4 \ kg$
ગોળીનું દળ $(m)$ = $50 \ g = 0.05 \ kg$
ગોળીનો વેગ $(v)$ = $40 \ m \ s^{-1}$
તંત્રનો પ્રારંભિક વેગ = $0$
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$MV + mv = 0$
$4 \times V + 0.05 \times 40 = 0$
$4V + 2 = 0$
$4V = -2$
$V = -0.5 \ m \ s^{-1}$
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે રાઈફલ ગોળીની વિરુદ્ધ દિશામાં પાછળ તરફ ધકેલાય છે.

$(c)$ ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ, પદાર્થના વેગમાનમાં થતા ફેરફારનો દર તેના પર લાગતા અસંતુલિત બળના સમપ્રમાણમાં હોય છે અને તે બળની દિશામાં હોય છે.
ધારો કે $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે અને $t$ સમય પછી તેનો અંતિમ વેગ $v$ થાય છે, જ્યારે તેના પર $F$ બળ લાગે છે.
પ્રારંભિક વેગમાન $p_1 = mu$.
અંતિમ વેગમાન $p_2 = mv$.
વેગમાનમાં થતો ફેરફાર = $p_2 - p_1 = m(v - u)$.
વેગમાનમાં થતા ફેરફારનો દર = $\frac{m(v - u)}{t}$.
નિયમ મુજબ, $F \propto \frac{m(v - u)}{t}$.
પ્રવેગ $a = \frac{v - u}{t}$ હોવાથી, આપણને $F \propto ma$ મળે છે, અથવા $F = kma$. બળના એકમને એવી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે કે $k = 1$ થાય, તેથી $F = ma$.
$(b)$ એક ન્યૂટન એટલે $1 \, kg$ દળ ધરાવતા પદાર્થમાં $1 \, m s^{-2}$ નો પ્રવેગ ઉત્પન્ન કરવા માટે જરૂરી બળ.
$(c)$ પ્રથમ કિસ્સા માટે: $F_1 = m_1 \times a_1 = 0.5 \, kg \times 5 \, m s^{-2} = 2.5 \, N$.
બીજા કિસ્સા માટે: $F_2 = m_2 \times a_2 = 4 \, kg \times 2 \, m s^{-2} = 8 \, N$.
અહીં $8 \, N$ > $2.5 \, N$ હોવાથી, $4 \, kg$ દળ માટે વધુ બળની જરૂર પડશે.

(N/A) આ નિયમ મુજબ,જો પદાર્થોની સિસ્ટમ પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું ન હોય,તો સિસ્ટમનું કુલ વેગમાન અચળ રહે છે.
$(b)$ પદાર્થના વેગમાન $(p)$ ને નક્કી કરતા બે પરિબળો નીચે મુજબ છે:
$1$. પદાર્થનું દળ $(m)$.
$2$. પદાર્થનો વેગ $(v)$.
$(c)$ ધારો કે બે પદાર્થો $A$ અને $B$ છે,જેમના દળ અનુક્રમે $m_{1}$ અને $m_{2}$ છે. તેઓ એક જ દિશામાં $u_{1}$ અને $u_{2}$ ના પ્રારંભિક વેગથી ગતિ કરે છે,જ્યાં $u_{1} > u_{2}$. તેઓ $t$ સમય માટે અથડાય છે. અથડામણ દરમિયાન,$A$ એ $B$ પર $F_{AB}$ બળ લગાડે છે અને $B$ એ $A$ પર $F_{BA}$ બળ લગાડે છે.
$A$ નું પ્રારંભિક વેગમાન = $m_{1}u_{1}$
$B$ નું પ્રારંભિક વેગમાન = $m_{2}u_{2}$
$A$ નું અંતિમ વેગમાન = $m_{1}v_{1}$
$B$ નું અંતિમ વેગમાન = $m_{2}v_{2}$
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$A$ દ્વારા $B$ પર લાગતું બળ $F_{AB} = m_{2} \frac{(v_{2} - u_{2})}{t}$ છે.
$B$ દ્વારા $A$ પર લાગતું બળ $F_{BA} = m_{1} \frac{(v_{1} - u_{1})}{t}$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,$F_{AB} = -F_{BA}$.
$m_{2} \frac{(v_{2} - u_{2})}{t} = -m_{1} \frac{(v_{1} - u_{1})}{t}$
$m_{2}(v_{2} - u_{2}) = -m_{1}(v_{1} - u_{1})$
$m_{2}v_{2} - m_{2}u_{2} = -m_{1}v_{1} + m_{1}u_{1}$
$m_{1}u_{1} + m_{2}u_{2} = m_{1}v_{1} + m_{2}v_{2}$
આ સાબિત કરે છે કે કુલ પ્રારંભિક વેગમાન એ કુલ અંતિમ વેગમાન જેટલું જ છે.

(N/A) આપેલ છે: દળ $m = 10 \ kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \ m s^{-1}$,પ્રવેગ $a = g = 10 \ m s^{-2}$,અને સ્થાનાંતર $S = 0.8 \ m$.
ગતિના સમીકરણ $v^2 - u^2 = 2aS$ નો ઉપયોગ કરતા:
$v^2 - 0^2 = 2 \times 10 \times 0.8$
$v^2 = 16$
$v = 4 \ m s^{-1}$
હવે,વેગમાન $p = m \times v = 10 \ kg \times 4 \ m s^{-1} = 40 \ kg \ m s^{-1}$.
$(b)$ ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,દરેક ક્રિયાબળની સામે સમાન મૂલ્યનું અને વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રતિક્રિયાબળ હોય છે. જ્યારે હોસ પાઇપમાંથી પાણી ખૂબ જ વેગથી બહાર નીકળે છે,ત્યારે તે આગળની દિશામાં બળ (ક્રિયાબળ) લગાડે છે. તેના બદલામાં,હોસ પાઇપ ફાયરમેન પર પાછળની દિશામાં સમાન અને વિરુદ્ધ બળ (પ્રતિક્રિયાબળ) લગાડે છે. આ પ્રતિક્રિયાબળને રોકવા માટે ફાયરમેને હોસ પાઇપને ખૂબ જ જોરથી પકડી રાખવી પડે છે,જેના કારણે તેને પકડી રાખવી મુશ્કેલ બને છે.

(C) આ ગતિની દિશાના જડત્વને કારણે થાય છે. ન્યૂટનના પ્રથમ નિયમ મુજબ,જ્યાં સુધી કોઈ બાહ્ય બળ ન લાગે ત્યાં સુધી પદાર્થ પોતાની મૂળ દિશામાં ગતિ ચાલુ રાખે છે. જ્યારે કાર વળાંક લે છે,ત્યારે આપણું શરીર તેની મૂળ સીધી રેખાની ગતિ જાળવી રાખવાનો પ્રયત્ન કરે છે,જેના કારણે આપણે એક તરફ નમી જઈએ છીએ.
$(b)$ ન્યૂટનનો ગતિનો પ્રથમ નિયમ જણાવે છે કે જ્યાં સુધી કોઈ બાહ્ય બળ ન લાગે ત્યાં સુધી પદાર્થ સ્થિર અવસ્થામાં અથવા સીધી રેખામાં અચળ વેગથી ગતિ કરતો રહે છે. ન્યૂટનનો ગતિનો ત્રીજો નિયમ જણાવે છે કે દરેક આઘાત (action) સામે હંમેશા સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રત્યાઘાત (reaction) હોય છે.
$(c)$ આપેલ છે: બળ $F = 5 \ N$,પ્રવેગ $a = 10 \ m \ s^{-2}$.
ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ,$F = m \times a$,તેથી $m = F / a$.
$m = 5 \ N / 10 \ m \ s^{-2} = 0.5 \ kg$.
$1 \ kg = 1000 \ g$ હોવાથી,દળ $0.5 \times 1000 = 500 \ g$ થાય.

(N/A) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ, $F = ma$, જેનો અર્થ છે કે $a = F/m$. જો બળ $F$ અચળ રહે અને દળ $m$ બમણું $(2m)$ થાય, તો નવો પ્રવેગ $a' = F/(2m) = a/2$ થાય. આમ, પ્રવેગ અડધો થઈ જાય છે.
$(b)$ વેગમાન એ દળ અને વેગનો ગુણાકાર છે $(p = mv)$. ટેનિસના દડાનું દળ ક્રિકેટના દડા કરતા ઓછું હોવાથી, સમાન ઝડપે ગતિ કરતા હોવા છતાં તેનું વેગમાન ઓછું હોય છે। તેથી, તેને અટકાવવા માટે ઓછા બળની જરૂર પડે છે, જે તેને અટકાવવાનું સરળ બનાવે છે.
$(c)$ વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, જ્યાં સુધી કોઈ બાહ્ય અસંતુલિત બળ કાર્ય કરતું ન હોય, ત્યાં સુધી આંતરક્રિયા પહેલાનું કુલ વેગમાન અને આંતરક્રિયા પછીનું કુલ વેગમાન સમાન રહે છે.
પ્રારંભિક વેગમાન = $(m_{\text{છોકરી}} \times v_{\text{છોકરી}}) + (m_{\text{ગાડી}} \times v_{\text{ગાડી}}) = (40 \times 5) + (10 \times 0) = 200 \, kg \, m s^{-1}$.
અંતિમ વેગમાન = $(m_{\text{છોકરી}} + m_{\text{ગાડી}}) \times v_{\text{અંતિમ}} = (40 + 10) \times v = 50v$.
બંનેને સરખાવતા: $50v = 200$.
$v = 200 / 50 = 4 \, m s^{-1}$.