Mix Examples - Surface Areas and Volumes Questions in Gujarati

(B) એક નળાકાર સિક્કા માટે:
ત્રિજ્યા $(r) = 1.4 \, cm = \frac{14}{10} \, cm$
ઊંચાઈ $(h) = 0.1 \, cm = \frac{1}{10} \, cm$
એક સિક્કાનું ઘનફળ $= \pi r^2 h = \frac{22}{7} \times (\frac{14}{10})^2 \times \frac{1}{10} \, cm^3$
$= \frac{22}{7} \times \frac{196}{100} \times \frac{1}{10} = \frac{22 \times 28}{1000} = \frac{616}{1000} \, cm^3 = 0.616 \, cm^3$
આવા $60$ સિક્કાઓને એકબીજા પર ગોઠવીને મોટો નળાકાર બનાવવામાં આવે છે,તેથી કુલ ઘનફળ:
કુલ ઘનફળ $= 60 \times 0.616 \, cm^3 = 36.96 \, cm^3$.

(C) નળાકારના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \pi r^2 h$ છે.
આપેલ છે:
ત્રિજ્યા $(r) = 10 \, cm$
ઊંચાઈ $(h) = 20 \, cm$
$\pi = 3.14$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$V = 3.14 \times (10)^2 \times 20$
$V = 3.14 \times 100 \times 20$
$V = 314 \times 20$
$V = 6280 \, cm^3$
તેથી,નળાકારનું ઘનફળ $6280 \, cm^3$ છે.

(A) નળાકારના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \pi r^2 h$ છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા અને $h$ એ ઊંચાઈ છે.
આપેલ છે: $r = 3.5\,cm = \frac{7}{2}\,cm$ અને $V = 2310\,cm^3$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$2310 = \frac{22}{7} \times (\frac{7}{2})^2 \times h$
$2310 = \frac{22}{7} \times \frac{49}{4} \times h$
$2310 = \frac{11 \times 7}{2} \times h$
$2310 = 38.5 \times h$
$h = \frac{2310}{38.5} = 60\,cm$.
તેથી,નળાકારની ઊંચાઈ $60\,cm$ છે.

(B) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 70 \,cm = 0.7 \,m$ અને ઊંચાઈ $h = 1.5 \,m$.
નળાકારનું ઘનફળ $V$ શોધવાનું સૂત્ર $V = \pi r^2 h$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $V = \frac{22}{7} \times (0.7)^2 \times 1.5$.
$V = \frac{22}{7} \times 0.49 \times 1.5 = 22 \times 0.07 \times 1.5 = 1.54 \times 1.5 = 2.31 \,m^3$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \,m^3 = 1000 \,\text{લિટર}$,તેથી ટાંકીની ક્ષમતા $2.31 \times 1000 = 2310 \,\text{લિટર}$ થશે.

(C) આપેલ છે:
નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ = $8800 \, cm^2$
ત્રિજ્યા $(r)$ = $28 \, cm$
નળાકારની વક્ર સપાટીનું સૂત્ર = $2 \pi r h$
$2 \times \frac{22}{7} \times 28 \times h = 8800$
$2 \times 22 \times 4 \times h = 8800$
$176 \times h = 8800$
$h = \frac{8800}{176} = 50 \, cm$
હવે,નળાકારનું ઘનફળ = $\pi r^2 h$
ઘનફળ = $\frac{22}{7} \times 28 \times 28 \times 50$
ઘનફળ = $22 \times 4 \times 28 \times 50$
ઘનફળ = $88 \times 1400 = 1,23,200 \, cm^3$.

(D) ડૂબાડવામાં આવેલા લંબઘનનું ઘનફળ $V = 22\, cm \times 16\, cm \times 7\, cm = 2464\, cm^3$ છે.
જ્યારે લંબઘનને ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે વિસ્થાપિત થયેલા પાણીનું ઘનફળ લંબઘનના ઘનફળ જેટલું હોય છે.
ધારો કે પાણીની સપાટીમાં થતો વધારો $h\, cm$ છે.
નળાકાર પાત્રમાં વિસ્થાપિત થયેલા પાણીનું ઘનફળ $\pi r^2 h$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $r = 14\, cm$ છે.
તેથી,$\pi r^2 h = 2464$.
$\pi = \frac{22}{7}$ લેતા,$\frac{22}{7} \times 14 \times 14 \times h = 2464$.
$22 \times 2 \times 14 \times h = 2464$.
$616 \times h = 2464$.
$h = \frac{2464}{616} = 4\, cm$.
આમ,પાણીની સપાટીમાં થતો વધારો $4\, cm$ છે.

(A) આપેલ છે કે કાગળનો ટુકડો ચોરસ છે જેની બાજુની લંબાઈ $s = 44 \, cm$ છે.
જ્યારે તેને તેની લંબાઈની દિશામાં વાળીને નળાકાર બનાવવામાં આવે છે,ત્યારે કાગળની લંબાઈ નળાકારના પાયાનો પરિઘ બને છે.
તેથી,પરિઘ $C = 2 \pi r = 44 \, cm$.
$\pi = 22/7$ લેતા,$2 \times (22/7) \times r = 44$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $(44/7) \times r = 44$,જે આપણને $r = 7 \, cm$ આપે છે.
નળાકારની ઊંચાઈ $h$ એ ચોરસની બાજુ જેટલી જ રહેશે,તેથી $h = 44 \, cm$.
નળાકારનું ઘનફળ $V = \pi r^2 h$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$V = (22/7) \times (7)^2 \times 44$.
$V = (22/7) \times 49 \times 44 = 22 \times 7 \times 44$.
$V = 154 \times 44 = 6776 \, cm^3$.

(B) આપેલ છે: પાયાનો પરિઘ $(C)$ = $440\, cm$,ઊંચાઈ $(h)$ = $80\, cm$.
પગલું $1$: $C = 2\pi r$ નો ઉપયોગ કરીને ત્રિજ્યા $(r)$ શોધો.
$440 = 2 \times (22/7) \times r$
$r = (440 \times 7) / 44 = 70\, cm$.
પગલું $2$: માપને મીટરમાં $(m)$ ફેરવો: $r = 0.7\, m$,$h = 0.8\, m$.
પગલું $3$: $V = \pi r^2 h$ નો ઉપયોગ કરીને ઘનફળ $(V)$ શોધો.
$V = (22/7) \times (0.7)^2 \times 0.8$
$V = (22/7) \times 0.49 \times 0.8$
$V = 22 \times 0.07 \times 0.8 = 1.232\, m^3$.

(C) આપેલ છે: નળીની જાડાઈ = $5 \, mm = 0.5 \, cm$. આંતરિક ત્રિજ્યા $(r)$ = $10 \, cm / 2 = 5 \, cm$. લંબાઈ $(h)$ = $70 \, cm$. બાહ્ય ત્રિજ્યા $(R)$ = $r + \text{જાડાઈ} = 5 \, cm + 0.5 \, cm = 5.5 \, cm$. ધાતુનું ઘનફળ = $\pi(R^2 - r^2)h = \frac{22}{7} \times ((5.5)^2 - (5)^2) \times 70 = 22 \times (30.25 - 25) \times 10 = 22 \times 5.25 \times 10 = 1155 \, cm^3$. દળ = $\text{ઘનફળ} \times \text{ઘનતા} = 1155 \, cm^3 \times 8 \, g/cm^3 = 9240 \, g$.

(D) $1$. કૂવામાંથી બહાર કાઢેલી માટીનું ઘનફળ નળાકારના ઘનફળ જેટલું હોય છે: $V = \pi r^2 h$.
$2$. આપેલ વ્યાસ $d = 14\, m$,તેથી ત્રિજ્યા $r = 7\, m$. ઊંડાઈ $h = 50\, m$.
$3$. $V = \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 50 = 22 \times 7 \times 50 = 7700\, m^3$.
$4$. આ માટીને $110\, m \times 100\, m = 11000\, m^2$ ક્ષેત્રફળ ધરાવતા લંબચોરસ ખેતરમાં પાથરવામાં આવે છે.
$5$. ધારો કે ઊંચાઈમાં થતો વધારો $H$ છે. તેથી,$V = A \times H$.
$6$. $7700 = 11000 \times H$.
$7$. $H = \frac{7700}{11000} = 0.7\, m$.
$8$. સેમીમાં ફેરવતા: $0.7 \times 100 = 70\, cm$.

(B) શંકુ માટે આપેલ છે: ત્રિજ્યા $(r) = 7 \, cm$ અને વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= 550 \, cm^2$.
શંકુની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $\pi r l$ છે.
તેથી,$550 = \frac{22}{7} \times 7 \times l$.
$550 = 22 \times l \implies l = \frac{550}{22} = 25 \, cm$.
સંબંધ $l^2 = r^2 + h^2$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે ઊંચાઈ $(h)$ શોધીએ છીએ:
$h^2 = l^2 - r^2 = (25)^2 - (7)^2 = 625 - 49 = 576$.
$h = \sqrt{576} = 24 \, cm$.
શંકુનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 24$.
$V = 22 \times 7 \times 8 = 1232 \, cm^3$.

(C) આપેલ શંકુ માટે,વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= 423.9 \, cm^2$ છે.
ત્રિજ્યા : તિર્યક ઊંચાઈ $= 3:5$.
ધારો કે ત્રિજ્યા $r = 3x \, cm$ અને તિર્યક ઊંચાઈ $l = 5x \, cm$ છે.
શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= \pi rl$ છે.
તેથી,$423.9 = 3.14 \times 3x \times 5x$.
$423.9 = 3.14 \times 15x^2$.
$x^2 = \frac{423.9}{47.1} = 9$.
તેથી,$x = 3$.
આમ,ત્રિજ્યા $r = 3(3) = 9 \, cm$ અને તિર્યક ઊંચાઈ $l = 5(3) = 15 \, cm$ મળે.
સંબંધ $l^2 = h^2 + r^2$ નો ઉપયોગ કરીને,ઊંચાઈ $h$ શોધીએ:
$h^2 = l^2 - r^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144$.
$h = \sqrt{144} = 12 \, cm$.
શંકુનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ છે.
$V = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 9^2 \times 12$.
$V = 3.14 \times 81 \times 4 = 1017.36 \, cm^3$.

(D) ધારો કે ત્રિજ્યા $r = 5x$ અને તિર્યક ઊંચાઈ $l = 13x$ છે.
શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ $\pi rl = 1836.9 \, cm^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $3.14 \times 5x \times 13x = 1836.9$.
$3.14 \times 65x^2 = 1836.9$.
$204.1x^2 = 1836.9$.
$x^2 = \frac{1836.9}{204.1} = 9$.
$x = 3$.
તેથી,$r = 5 \times 3 = 15 \, cm$ અને $l = 13 \times 3 = 39 \, cm$.
શંકુની ઊંચાઈ $h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{39^2 - 15^2} = \sqrt{1521 - 225} = \sqrt{1296} = 36 \, cm$.
શંકુનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 15^2 \times 36$.
$V = 3.14 \times 225 \times 12 = 3.14 \times 2700 = 8478 \, cm^3$.

(A) આપેલ ગોળા માટે,ત્રિજ્યા $(r) = 6\, cm$ છે.
આપેલ નળાકાર તાર માટે,વ્યાસ $1\, cm$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $(R) = \frac{1}{2}\, cm$ થાય.
ધારો કે તારની લંબાઈ $H\, cm$ છે.
જ્યારે ગોળાને ઓગાળીને તાર બનાવવામાં આવે ત્યારે તેનું ઘનફળ સમાન રહે છે:
નળાકારનું ઘનફળ = ગોળાનું ઘનફળ
$\pi R^2 H = \frac{4}{3} \pi r^3$
કિંમતો મૂકતા:
$R^2 H = \frac{4}{3} r^3$
$(\frac{1}{2})^2 \times H = \frac{4}{3} \times (6)^3$
$\frac{1}{4} \times H = \frac{4}{3} \times 216$
$\frac{1}{4} \times H = 4 \times 72$
$\frac{1}{4} \times H = 288$
$H = 288 \times 4 = 1152\, cm$.
લંબાઈને મીટરમાં ફેરવતા:
$H = \frac{1152}{100} = 11.52\, m$.
આમ,તારની લંબાઈ $11.52\, m$ છે.

(D) $1$. લાકડાના ગોળાની ત્રિજ્યા $(R) = \frac{21}{2} = 10.5\, cm$.
$2$. એક ગોળાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= 4\pi R^2 = 4 \times \frac{22}{7} \times 10.5 \times 10.5 = 1386\, cm^2$.
$3$. ગોળા પર નળાકાર ટેકા દ્વારા રોકાયેલ ક્ષેત્રફળ $= \pi r^2 = \frac{22}{7} \times 1.5 \times 1.5 \approx 7.07\, cm^2$.
$4$. એક ગોળા માટે સિલ્વર રંગવાનું ક્ષેત્રફળ $= 1386 - 7.07 = 1378.93\, cm^2$.
$5$. $8$ ગોળાઓ માટે કુલ ક્ષેત્રફળ $= 8 \times 1378.93 = 11031.44\, cm^2$.
$6$. સિલ્વર રંગનો ખર્ચ $= 11031.44 \times 0.25 = ₹ 2757.86$.
$7$. એક નળાકાર ટેકાની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= 2\pi rh = 2 \times \frac{22}{7} \times 1.5 \times 7 = 66\, cm^2$.
$8$. $8$ ટેકાઓ માટે કાળો રંગવાનું કુલ ક્ષેત્રફળ $= 8 \times 66 = 528\, cm^2$.
$9$. કાળા રંગનો ખર્ચ $= 528 \times 0.05 = ₹ 26.40$.
$10$. કુલ ખર્ચ $= 2757.86 + 26.40 = ₹ 2784.26$.

(B) આપેલ વ્યાસ $d = 28 \, cm$,તેથી ત્રિજ્યા $r = \frac{d}{2} = 14 \, cm$.
ગોલકની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= 4 \pi r^2 = 4 \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 = 88 \times 28 = 2464 \, cm^2$.
ગોલકનું ઘનફળ $= \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \times 14 = \frac{4}{3} \times 22 \times 2 \times 14 \times 14 = \frac{34496}{3} = 11498 \frac{2}{3} \, cm^3$.

(N/A) આપેલ છે: વ્યાસ $d = 42\, cm$,તેથી ત્રિજ્યા $r = \frac{42}{2} = 21\, cm$.
$1$. અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ $= 2\pi r^2$
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 = 2 \times 22 \times 3 \times 21 = 2772\, cm^2$.
$2$. અર્ધગોલકની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(TSA)$ $= 3\pi r^2$
$= 3 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 = 3 \times 22 \times 3 \times 21 = 4158\, cm^2$.
$3$. અર્ધગોલકનું ઘનફળ $= \frac{2}{3}\pi r^3$
$= \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \times 21 = 2 \times 22 \times 21 \times 21 = 19404\, cm^3$.

(A) ગોળાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $A = 4 \pi r^2$ છે.
આપેલ છે કે $A = 5544 \, cm^2$,તેથી $4 \times \frac{22}{7} \times r^2 = 5544$.
$r^2 = \frac{5544 \times 7}{4 \times 22} = \frac{5544 \times 7}{88} = 63 \times 7 = 441$.
આમ,$r = \sqrt{441} = 21 \, cm$.
ગોળાનું ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
$V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (21)^3 = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \times 21$.
$V = 4 \times 22 \times 21 \times 21 = 88 \times 441 = 38808 \, cm^3$.

(C) $R = 20\, cm$ ત્રિજ્યા ધરાવતા મોટા ગોળાનું ઘનફળ $V_s = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (20)^3 = \frac{4}{3} \pi (8000)\, cm^3$ છે.
$r = 5\, cm$ ત્રિજ્યા ધરાવતા એક નાના અર્ધગોળાનું ઘનફળ $V_h = \frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \pi (5)^3 = \frac{2}{3} \pi (125)\, cm^3$ છે.
અર્ધગોળાઓની સંખ્યા $n$ એ ગોળાના ઘનફળ અને એક અર્ધગોળાના ઘનફળના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે:
$n = \frac{V_s}{V_h} = \frac{\frac{4}{3} \pi (8000)}{\frac{2}{3} \pi (125)} = \frac{4 \times 8000}{2 \times 125} = \frac{32000}{250} = 128$.
આમ,મળતા અર્ધગોળાઓની કુલ સંખ્યા $128$ છે.

(A) અર્ધગોળાકાર વાટકાનું ઘનફળ $V_h = \frac{2}{3} \pi r^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r = 18\, cm$ છે.
$V_h = \frac{2}{3} \times \pi \times (18)^3 = \frac{2}{3} \times \pi \times 5832 = 3888\pi\, cm^3$.
એક નળાકાર બોટલનું ઘનફળ $V_c = \pi R^2 h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R = 2\, cm$ અને $h = 4\, cm$ છે.
$V_c = \pi \times (2)^2 \times 4 = \pi \times 4 \times 4 = 16\pi\, cm^3$.
જરૂરી બોટલોની સંખ્યા $n = \frac{V_h}{V_c} = \frac{3888\pi}{16\pi} = 243$ છે.
તેથી,$243$ બોટલોની જરૂર પડશે.

(C) ધાતુના ગોળાનું ઘનફળ $V_s = \frac{4}{3} \pi r^3$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $r = 12\, cm$ છે.
$V_s = \frac{4}{3} \pi (12)^3 = \frac{4}{3} \pi (1728) = 2304 \pi\, cm^3$.
એક શંકુનું ઘનફળ $V_c = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $r = 3\, cm$ અને $h = 4\, cm$ છે.
$V_c = \frac{1}{3} \pi (3)^2 (4) = \frac{1}{3} \pi (9)(4) = 12 \pi\, cm^3$.
મળતા શંકુની સંખ્યા એ ગોળાના ઘનફળ અને એક શંકુના ઘનફળનો ગુણોત્તર છે:
$N = \frac{V_s}{V_c} = \frac{2304 \pi}{12 \pi} = 192$.
આમ,$192$ શંકુ મેળવી શકાય છે.

(A) $1$. ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$2$. પાંચેય ગોળાઓનું કુલ ઘનફળ = $\frac{4}{3}\pi (1^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + 8^3) = \frac{4}{3}\pi (1 + 27 + 64 + 125 + 512) = \frac{4}{3}\pi (729)$.
$3$. ધારો કે નવા મોટા ગોળાની ત્રિજ્યા $R$ છે. તેથી $\frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi (729)$,જેનો અર્થ છે કે $R^3 = 729$,તેથી $R = 9\, cm$.
$4$. એક નળાકારનું ઘનફળ = $\pi r^2 h = \pi (3^2)(4) = 36\pi\, cm^3$.
$5$. નળાકારોની સંખ્યા = $\frac{\text{કુલ ઘનફળ}}{\text{એક નળાકારનું ઘનફળ}} = \frac{\frac{4}{3}\pi (729)}{36\pi} = \frac{972\pi}{36\pi} = 27$ નળાકાર.

(A) ગોળાના પૃષ્ઠફળનું સૂત્ર $S = 4\pi r^{2}$ છે.
અહીં $S = 1256 \, cm^{2}$ અને $\pi = 3.14$ આપેલ છે.
$1256 = 4 \times 3.14 \times r^{2}$
$1256 = 12.56 \times r^{2}$
$r^{2} = \frac{1256}{12.56} = 100$
તેથી,$r = 10 \, cm$.
ગોળાના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{4}{3} \pi r^{3}$ છે.
$V = \frac{4}{3} \times 3.14 \times (10)^{3}$
$V = \frac{4}{3} \times 3.14 \times 1000$
$V = \frac{12560}{3} = 4186 \frac{2}{3} \, cm^{3}$.

(B) ધારો કે ગોલકની ત્રિજ્યા $r_1$ છે અને અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા $r_2$ છે.
ગોલકની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $4\pi r_1^2$ છે અને અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $2\pi r_2^2$ છે.
આપેલ ગુણોત્તર મુજબ: $\frac{4\pi r_1^2}{2\pi r_2^2} = \frac{9}{2}$.
આનું સાદુંરૂપ આપતા,$\frac{2r_1^2}{r_2^2} = \frac{9}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{9}{4}$.
વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $\frac{r_1}{r_2} = \frac{3}{2}$ મળે છે.
ગોલકનું ઘનફળ $V_1 = \frac{4}{3}\pi r_1^3$ છે અને અર્ધગોલકનું ઘનફળ $V_2 = \frac{2}{3}\pi r_2^3$ છે.
તેમના ઘનફળનો ગુણોત્તર $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3}\pi r_1^3}{\frac{2}{3}\pi r_2^3} = 2 \times \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3$ થાય.
ગુણોત્તર $\frac{r_1}{r_2} = \frac{3}{2}$ મૂકતા,આપણને $\frac{V_1}{V_2} = 2 \times \left(\frac{3}{2}\right)^3 = 2 \times \frac{27}{8} = \frac{27}{4}$ મળે છે.
આમ,તેમના ઘનફળનો ગુણોત્તર $27:4$ છે.

(C) સમઘન ટાંકીનું કુલ ઘનફળ $V_{total} = 15.625 \, m^3$ છે।
ટાંકી સમઘન હોવાથી, તેની બાજુની લંબાઈ $s = \sqrt[3]{15.625} = 2.5 \, m$ થાય।
હાલમાં પાણીની ઊંડાઈ $h = 1.3 \, m$ છે।
ટાંકીમાં હાલમાં રહેલા પાણીનું ઘનફળ $V_{current} = \text{બાજુ} \times \text{બાજુ} \times \text{ઊંડાઈ} = 2.5 \times 2.5 \times 1.3 = 6.25 \times 1.3 = 8.125 \, m^3$ થાય।
વપરાઈ ગયેલા પાણીનું ઘનફળ $V_{used} = V_{total} - V_{current} = 15.625 - 8.125 = 7.5 \, m^3$ મળે।

(A) નળાકાર ગ્લાસનો વ્યાસ $d = 7\, cm$ છે, તેથી ત્રિજ્યા $r = 3.5\, cm$ થાય.
ગ્લાસમાં દૂધની ઊંચાઈ $h = 12\, cm$ છે.
એક ગ્લાસમાં દૂધનું ઘનફળ $V = \pi r^2 h$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$V = \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5 \times 12 = 22 \times 0.5 \times 3.5 \times 12 = 462\, cm^3$.
$1000\, cm^3 = 1\, \text{લિટર}$ હોવાથી, એક ગ્લાસમાં દૂધનું ઘનફળ $0.462\, \text{લિટર}$ થાય.
$1600$ વિદ્યાર્થીઓ માટે જરૂરી કુલ દૂધ $1600 \times 0.462 = 739.2\, \text{લિટર}$ છે.

(A) જ્યારે $6 \, cm, 8 \, cm$ અને $10 \, cm$ બાજુઓ ધરાવતા કાટકોણ ત્રિકોણને $8 \, cm$ બાજુની આસપાસ ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે $8 \, cm$ બાજુ એ શંકુની ઊંચાઈ $(h)$ બને છે અને $6 \, cm$ બાજુ એ પાયાની ત્રિજ્યા $(r)$ બને છે. કર્ણ $10 \, cm$ એ શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $(l)$ બને છે.
આપેલ છે: $r = 6 \, cm, h = 8 \, cm, l = 10 \, cm$.
શંકુનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times 3.14 \times (6)^2 \times 8 = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 36 \times 8 = 3.14 \times 12 \times 8 = 301.44 \, cm^3$.
શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $CSA = \pi r l = 3.14 \times 6 \times 10 = 188.4 \, cm^2$.

(C) $1$. અર્ધગોળાકાર ટાંકીનો આંતરિક વ્યાસ $14\, m$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = 7\, m$ થાય.
$2$. અર્ધગોળાકાર ટાંકીનું ઘનફળ $V = \frac{2}{3} \pi r^3$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$3$. $V = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 7 = \frac{2}{3} \times 22 \times 49 = \frac{2156}{3} = 718 \frac{2}{3}\, m^3$.
$4$. આપણે જાણીએ છીએ કે $1\, m^3 = 1\, kilolitre$. તેથી,ટાંકીમાં $50\, m^3$ પાણી પહેલેથી જ છે.
$5$. પમ્પ કરવાના પાણીનું ઘનફળ = (કુલ ક્ષમતા) - (પહેલેથી રહેલું પાણી).
$6$. પમ્પ કરવાના પાણીનું ઘનફળ = $718 \frac{2}{3} - 50 = 668 \frac{2}{3}\, m^3$.

(D) ધારો કે ગોલક અને નળાકારની ત્રિજ્યા $r$ છે. ધારો કે નળાકારની ઊંચાઈ $h$ છે.
આપેલ છે કે ઘનફળ સમાન છે:
ગોલકનું ઘનફળ = $\frac{4}{3} \pi r^3$
નળાકારનું ઘનફળ = $\pi r^2 h$
બંનેને સરખાવતા: $\frac{4}{3} \pi r^3 = \pi r^2 h$
$h = \frac{4}{3} r$
નળાકારનો વ્યાસ $d = 2r$ છે.
આપણે તે ટકાવારી શોધવાની છે જેના દ્વારા વ્યાસ ઊંચાઈ કરતા વધારે છે:
તફાવત = $d - h = 2r - \frac{4}{3} r = \frac{2}{3} r$
ટકાવારી = $\frac{d - h}{h} \times 100 = \frac{(2/3)r}{(4/3)r} \times 100 = \frac{2}{4} \times 100 = 50\%$.

(B) આ વિધાન ખોટું છે.
કાટકોણ શંકુમાં,ત્રિજ્યા $(r)$,ઊંચાઈ $(h)$ અને તિર્યક ઊંચાઈ $(l)$ એક કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે,જેમાં તિર્યક ઊંચાઈ એ કર્ણ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,સંબંધ $l^2 = r^2 + h^2$ છે.
આપેલ છે: $r = 3 \, cm$,$h = 5 \, cm$ અને $l = 4 \, cm$.
$r^2 + h^2 = 3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34$ ની ગણતરી કરતા.
$l^2 = 4^2 = 16$ ની ગણતરી કરતા.
અહીં $16 \neq 34$ હોવાથી,આપેલ માપ એક કાટકોણ શંકુ બનાવી શકે નહીં,કારણ કે ત્રિજ્યા અને ઊંચાઈ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં તિર્યક ઊંચાઈ સૌથી મોટી બાજુ હોવી જોઈએ.

(B) સમઘનનું પાર્શ્વ પૃષ્ઠફળ $(LSA)$ શોધવાનું સૂત્ર $LSA = 4a^2$ છે,જ્યાં $a$ એ ધારની લંબાઈ છે.
અહીં,ધાર $a = 5 \, cm$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$LSA = 4 \times (5)^2$
$LSA = 4 \times 25$
$LSA = 100 \, cm^2$.
વિધાનમાં પાર્શ્વ પૃષ્ઠફળ $150 \, cm^2$ આપેલ છે,જે ખોટું છે.
તેથી,આ વિધાન ખોટું છે.

(TRUE) નળાકારના ઘનફળનું સૂત્ર છે: $V = \text{પાયાનું ક્ષેત્રફળ} \times \text{ઊંચાઈ}$.
આપેલ છે:
પાયાનું ક્ષેત્રફળ = $154 \, cm^{2}$
ઊંચાઈ = $20 \, cm$
ઘનફળની ગણતરી કરતા:
$V = 154 \, cm^{2} \times 20 \, cm = 3080 \, cm^{3}$.
ગણતરી કરેલ ઘનફળ આપેલ મૂલ્ય સાથે મેળ ખાતું હોવાથી, આ વિધાન ખરું છે.

(B) $l \times b \times h$ માપ ધરાવતા લંબઘન બોક્સમાં મૂકી શકાય તેવા સૌથી લાંબા સળિયાની લંબાઈ વિકર્ણના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $d = \sqrt{l^2 + b^2 + h^2}$.
અહીં આપેલ માપ $l = 12\, cm$,$b = 4\, cm$ અને $h = 3\, cm$ છે.
વિકર્ણની ગણતરી કરતા: $d = \sqrt{12^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{144 + 16 + 9} = \sqrt{169} = 13\, cm$.
બોક્સની અંદર સમાઈ શકે તેવા સળિયાની મહત્તમ લંબાઈ $13\, cm$ છે.
સળિયાની લંબાઈ $15\, cm$ છે અને $15\, cm > 13\, cm$ હોવાથી,સળિયો બોક્સમાં સમાઈ શકશે નહીં.
તેથી,આ વિધાન ખોટું છે.

(B) નળાકારની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $A = 2\pi rh$ છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $h$ એ ઊંચાઈ છે.
આપેલ છે: $r = 10\, cm$,$A = 440\, cm^{2}$ અને $\pi = 22/7$ લેતા.
કિંમતો મૂકતા: $440 = 2 \times (22/7) \times 10 \times h$.
$440 = (440/7) \times h$.
$h = (440 \times 7) / 440$.
$h = 7\, cm$.
તેથી,નળાકારની ઊંચાઈ $7\, cm$ છે.

(C) લંબાઈની ધાર ધરાવતા સમઘનનું કુલ પૃષ્ઠફળ $(TSA)$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$TSA = 6a^2$
અહીં આપેલ છે કે $TSA = 864 \, cm^2$,તેથી આપણે સમીકરણ બનાવી શકીએ:
$6a^2 = 864$
બંને બાજુ $6$ વડે ભાગતા:
$a^2 = \frac{864}{6}$
$a^2 = 144$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$a = \sqrt{144}$
$a = 12 \, cm$
આમ,સમઘનની ધાર $12 \, cm$ છે.

(D) લંબઘનનું ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર: $V = \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} \times \text{ઊંચાઈ}$.
આપેલ છે:
લંબાઈ $(l)$ = $30 \, cm$
પહોળાઈ $(b)$ = $20 \, cm$
ઊંચાઈ $(h)$ = $15 \, cm$
સૂત્રમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$V = 30 \, cm \times 20 \, cm \times 15 \, cm$
$V = 600 \, cm^2 \times 15 \, cm$
$V = 9000 \, cm^3$.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) ધારો કે બે નળાકારની ત્રિજ્યાઓ $r_1$ અને $r_2$ છે અને તેમની ઊંચાઈ $h_1$ અને $h_2$ છે. આપેલ છે કે $h_1 = h_2 = h$ અને $r_1:r_2 = 4:5$.
નળાકારના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \pi r^2 h$ છે.
તેમના ઘનફળનો ગુણોત્તર $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi r_1^2 h}{\pi r_2^2 h} = \frac{r_1^2}{r_2^2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2$ થાય.
આપેલ ગુણોત્તરની કિંમત મૂકતા: $\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{16}{25}$.
તેથી,તેમના ઘનફળનો ગુણોત્તર $16:25$ થાય.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \, m = 100 \, cm$.
તેથી,$1 \, m^3 = (100 \, cm) \times (100 \, cm) \times (100 \, cm) = 1,000,000 \, cm^3$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1000 \, cm^3 = 1 \, \text{લિટર}$,તેથી $1 \, cm^3 = \frac{1}{1000} \, \text{લિટર}$ લખી શકાય.
આમ,$1,000,000 \, cm^3 = \frac{1,000,000}{1000} \, \text{લિટર} = 1000 \, \text{લિટર}$.
તેથી,$1 \, m^3 = 1000 \, \text{લિટર}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \text{ litre}$ એ $10 \text{ cm}$ બાજુની લંબાઈ ધરાવતા સમઘનનું ઘનફળ છે.
સમઘનનું ઘનફળ $(\text{બાજુ})^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી:
$1 \text{ litre} = (10 \text{ cm})^3 = 10 \text{ cm} \times 10 \text{ cm} \times 10 \text{ cm} = 1000 \text{ cm}^3$.
આમ,$1 \text{ litre} = 1000 \text{ cm}^3$ થાય.

(C) ધારો કે બે નળાકારની ત્રિજ્યાઓ $r_1$ અને $r_2$ છે,અને તેમની ઊંચાઈઓ $h_1$ અને $h_2$ છે.
આપેલ છે કે $r_1:r_2 = 3:2$ અને $h_1:h_2 = 8:11$.
નળાકારના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \pi r^2 h$ છે.
બંને નળાકારના ઘનફળનો ગુણોત્તર $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi r_1^2 h_1}{\pi r_2^2 h_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 \times \left(\frac{h_1}{h_2}\right)$ થાય.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 \times \left(\frac{8}{11}\right) = \frac{9}{4} \times \frac{8}{11}$.
પરિણામની ગણતરી કરતા: $\frac{9 \times 8}{4 \times 11} = \frac{72}{44} = \frac{18}{11}$.
આમ,તેમના ઘનફળનો ગુણોત્તર $18:11$ છે.

(A) આપેલ છે કે,નક્કર અર્ધગોલકનો વ્યાસ $d = 21 \, cm$ છે.
તેથી,ત્રિજ્યા $r = \frac{d}{2} = \frac{21}{2} \, cm = 10.5 \, cm$ થાય.
અર્ધગોલકના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{2}{3} \pi r^3$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$V = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times (10.5)^3$ મળે.
$V = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 10.5 \times 10.5 \times 10.5$.
$V = \frac{44}{21} \times 1157.625$.
$V = 2425.5 \, cm^3$.

(B) ધારો કે સમઘનની બાજુની લંબાઈ $x \ cm$ છે.
સમઘનનું પૃષ્ઠફળ શોધવાનું સૂત્ર $S = 6x^2 \ cm^2$ છે.
સમઘનનું ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર $V = x^3 \ cm^3$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,પૃષ્ઠફળ અને ઘનફળના આંકડાકીય મૂલ્યો સમાન છે:
$6x^2 = x^3$
બંને બાજુ $x^2$ વડે ભાગતા (કારણ કે $x \neq 0$):
$6 = x$
તેથી,સમઘનની બાજુની લંબાઈ $6 \ cm$ છે.

(A) સમઘનને $6$ સમાન ચોરસ બાજુઓ હોય છે.
જો સમઘનની દરેક ધારની લંબાઈ $a$ હોય,તો એક બાજુનું ક્ષેત્રફળ $a \times a = a^{2}$ થાય.
આવી $6$ બાજુઓ હોવાથી,સમઘનનું કુલ પૃષ્ઠફળ $6 \times a^{2} = 6 a^{2}$ થાય.

(B) લંબઘનને $6$ લંબચોરસ સપાટીઓ હોય છે.
ધારો કે લંબાઈ $l$,પહોળાઈ $b$ અને ઊંચાઈ $h$ છે.
સામેની સપાટીઓનું ક્ષેત્રફળ $(l \times b)$,$(b \times h)$ અને $(h \times l)$ થાય છે.
દરેક સપાટી બબ્બે હોવાથી,કુલ પૃષ્ઠફળ $2(lb + bh + hl)$ થાય છે.

(D) સમઘનને કુલ $6$ બાજુઓ હોય છે. પાર્શ્વ પૃષ્ઠફળ એટલે ઉપરની અને નીચેની બાજુઓને બાદ કરતાં બાકીની ચાર બાજુઓનું ક્ષેત્રફળ. જો સમઘનની બાજુની લંબાઈ $a$ હોય,તો એક બાજુનું ક્ષેત્રફળ $a^{2}$ થાય. તેથી,પાર્શ્વ પૃષ્ઠફળ $4 \times a^{2} = 4 a^{2}$ થાય.

(A) નળાકારની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ એ બે વર્તુળાકાર પાયાના ક્ષેત્રફળ અને વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
બે વર્તુળાકાર પાયાનું ક્ષેત્રફળ $= 2 \times (\pi r^2) = 2 \pi r^2$.
નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= 2 \pi rh$.
કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= 2 \pi r^2 + 2 \pi rh$.
$2 \pi r$ સામાન્ય લેતા,આપણને $2 \pi r(r + h)$ અથવા $2 \pi r(h + r)$ મળે છે.

(D) લંબઘનનું પાર્શ્વ પૃષ્ઠફળ એટલે તેની ચાર ઊભી બાજુઓનું કુલ ક્ષેત્રફળ (ઉપરની અને નીચેની સપાટીને બાદ કરતાં).
જો લંબઘનની લંબાઈ $l$,પહોળાઈ $b$ અને ઊંચાઈ $h$ હોય,તો ચાર ઊભી બાજુઓનું ક્ષેત્રફળ એ પાયાની પરિમિતિ અને ઊંચાઈના ગુણાકાર જેટલું થાય છે.
પાર્શ્વ પૃષ્ઠફળ $= (2l + 2b) \times h = 2h(l + b)$.

(B) નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ તેના પાયાના પરિઘ $(2 \pi r)$ ને તેની ઊંચાઈ $(h)$ સાથે ગુણીને મેળવવામાં આવે છે.
તેથી,નળાકારની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $2 \pi r h$ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \, m = 100 \, cm$.
તેથી,$1 \, m^{2} = 1 \, m \times 1 \, m$.
$1 \, m$ ની કિંમત સેન્ટિમીટરમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$1 \, m^{2} = (100 \, cm) \times (100 \, cm) = 10000 \, cm^{2}$.
આમ,$1 \, m^{2} = 10000 \, cm^{2}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $1\, m = 100\, cm$.
તેથી,$1\, m^{3} = (1\, m) \times (1\, m) \times (1\, m)$.
$1\, m$ ની કિંમત સેન્ટિમીટરમાં મૂકતા: $1\, m^{3} = (100\, cm) \times (100\, cm) \times (100\, cm)$.
$1\, m^{3} = 100 \times 100 \times 100\, cm^{3}$.
$1\, m^{3} = 1000000\, cm^{3}$.