Mix Examples - Surface Areas and Volumes Questions in Gujarati

(C) ધારો કે સમઘનની બાજુનું માપ $x \, m$ છે.
સમઘનનું ઘનફળ $x^3$ હોવાથી,$x^3 = 15.625 \, m^3$ મળે.
ઘનમૂળ લેતા,$x = \sqrt[3]{15.625} = 2.5 \, m$ મળે.
ટાંકીની કુલ ક્ષમતા $15.625 \, m^3$ છે અને તેની ઊંચાઈ $2.5 \, m$ છે.
ટાંકીમાં હાલમાં રહેલા $1.3 \, m$ ઊંડાઈના પાણીનું ઘનફળ: $\text{ઘનફળ} = \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} \times \text{ઊંડાઈ} = 2.5 \times 2.5 \times 1.3 = 8.125 \, m^3$.
વપરાઈ ગયેલ પાણીનું ઘનફળ એ કુલ ક્ષમતા અને હાલના પાણીના ઘનફળ વચ્ચેનો તફાવત છે: $15.625 \, m^3 - 8.125 \, m^3 = 7.5 \, m^3$.

$(C)$ નળાકાર ગ્લાસની ત્રિજ્યા $r = \text{વ્યાસ} \div 2 = 7 \div 2 = 3.5 \, cm$.
ગ્લાસમાં દૂધની ઊંચાઈ $h = 12 \, cm$.
એક ગ્લાસમાં દૂધનું ઘનફળ $V = \pi r^2 h = \frac{22}{7} \times (3.5)^2 \times 12$.
$V = \frac{22}{7} \times 12.25 \times 12 = 22 \times 1.75 \times 12 = 462 \, cm^3$.
$1000 \, cm^3 = 1 \, \text{લિટર}$ હોવાથી, એક ગ્લાસમાં દૂધનું પ્રમાણ $462 \div 1000 = 0.462 \, \text{લિટર}$ થાય.
$1600$ વિદ્યાર્થીઓ માટે જરૂરી કુલ દૂધ $= 1600 \times 0.462 \, \text{લિટર} = 739.2 \, \text{લિટર}$.

(A) નળાકાર રોલરની લંબાઈ (ઊંચાઈ) $h = 2.5\, m$ છે અને ત્રિજ્યા $r = 1.75\, m$ છે.
એક પરિભ્રમણમાં રોલર દ્વારા આવરી લેવાયેલ ક્ષેત્રફળ તેની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= 2\pi rh = 2 \times \frac{22}{7} \times 1.75 \times 2.5$.
$= 2 \times \frac{22}{7} \times \frac{175}{100} \times 2.5 = 2 \times 22 \times 0.25 \times 2.5 = 44 \times 0.625 = 27.5\, m^{2}$.
રસ્તા પર આવરી લેવાયેલ કુલ ક્ષેત્રફળ $5500\, m^{2}$ છે.
પરિભ્રમણની સંખ્યા $= \frac{\text{કુલ આવરી લેવાયેલ ક્ષેત્રફળ}}{\text{એક પરિભ્રમણમાં આવરી લેવાયેલ ક્ષેત્રફળ}}$.
પરિભ્રમણની સંખ્યા $= \frac{5500}{27.5} = 200$ પરિભ્રમણ.

(B) ઓવરહેડ ટાંકીનું ઘનફળ $V = 40 \, m \times 25 \, m \times 15 \, m = 15,000 \, m^3$ છે.
$1 \, m^3 = 1,000$ લિટર હોવાથી,લિટરમાં ટાંકીની કુલ ક્ષમતા $15,000 \times 1,000 = 15,000,000$ લિટર થાય.
ગામ માટે દૈનિક પાણીની જરૂરિયાત $5,000 \times 75 = 375,000$ લિટર છે.
ટાંકીનું પાણી કેટલા દિવસ ચાલશે તે શોધવા માટે કુલ ક્ષમતાને દૈનિક જરૂરિયાત વડે ભાગતા:
$\text{દિવસોની સંખ્યા} = \frac{15,000,000}{375,000} = \frac{15,000}{375} = 40$ દિવસ.

(A) લંબચોરસ સપાટીની લંબાઈ $= 6\, m = 600\, cm$.
લંબચોરસ સપાટીની પહોળાઈ $= 4\, m = 400\, cm$.
વરસાદની ઊંડાઈ $= 1\, cm$.
એકત્રિત થયેલ વરસાદના પાણીનું ઘનફળ $= \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} \times \text{ઊંડાઈ} = 600 \times 400 \times 1 = 240,000\, cm^3$.
ધારો કે નળાકાર પાત્રમાં પાણીની ઊંચાઈ $h\, cm$ છે.
નળાકાર પાત્રની આંતરિક ત્રિજ્યા $r = 20\, cm$.
નળાકાર પાત્રમાં પાણીનું ઘનફળ $= \pi r^2 h = 3.14 \times (20)^2 \times h = 3.14 \times 400 \times h = 1256h\, cm^3$.
ઘનફળને સરખાવતા: $1256h = 240,000$.
$h = \frac{240,000}{1256} \approx 191.08\, cm$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,ઊંચાઈ $191\, cm$ થશે.

(B) આ નળી એક પોલો નળાકાર છે.
બહારનો વ્યાસ $= 16 \, cm$, તેથી બહારની ત્રિજ્યા $(R) = 16 / 2 = 8 \, cm$.
લોખંડની શીટની જાડાઈ $= 2 \, cm$.
અંદરની ત્રિજ્યા $(r) = R - \text{જાડાઈ} = 8 \, cm - 2 \, cm = 6 \, cm$.
નળાકારની લંબાઈ (ઊંચાઈ) $(h) = 100 \, cm$.
ઉપયોગમાં લેવાયેલ લોખંડનું ઘનફળ એ નળાકારના બહારના ઘનફળ અને અંદરના ઘનફળ વચ્ચેનો તફાવત છે.
ઘનફળ $= \pi (R^2 - r^2) h$
ઘનફળ $= \frac{22}{7} \times (8^2 - 6^2) \times 100$
ઘનફળ $= \frac{22}{7} \times (64 - 36) \times 100$
ઘનફળ $= \frac{22}{7} \times 28 \times 100$
ઘનફળ $= 22 \times 4 \times 100 = 8800 \, cm^3$.

(A) $(i)$ તંબુ દ્વારા રોકાયેલી જમીનનું ક્ષેત્રફળ એ પાયાનું ક્ષેત્રફળ છે:
ક્ષેત્રફળ $= \pi r^{2} = \frac{22}{7} \times 5^{2} = \frac{550}{7} \, m^{2}$.
વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $= \frac{\text{કુલ જમીનનું ક્ષેત્રફળ}}{\text{એક વિદ્યાર્થીનું ક્ષેત્રફળ}} = \frac{550/7}{5/7} = \frac{550}{5} = 110$.
$(ii)$ શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $165 \, m^{2}$ છે.
$\pi r l = 165 \Rightarrow \frac{22}{7} \times 5 \times l = 165$.
$l = \frac{165 \times 7}{110} = 10.5 \, m$.
$l^{2} = r^{2} + h^{2}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે ઊંચાઈ $h$ શોધીએ છીએ:
$h = \sqrt{l^{2} - r^{2}} = \sqrt{(10.5)^{2} - 5^{2}} = \sqrt{110.25 - 25} = \sqrt{85.25} \approx 9.233 \, m$.
શંકુનું ઘનફળ $= \frac{1}{3} \pi r^{2} h = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 25 \times 9.233 \approx 242.1 \, m^{3}$.

(B) આપેલ ત્રિજ્યા $r = 21\, cm$ છે.
$(i)$ અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $2\pi r^2$ છે.
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21\, cm^2$
$= 2 \times 22 \times 3 \times 21\, cm^2 = 2772\, cm^2$.
$(ii)$ અર્ધગોલકની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $3\pi r^2$ છે.
$= 3 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21\, cm^2$
$= 3 \times 22 \times 3 \times 21\, cm^2 = 4158\, cm^2$.

(C) અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા $(r) = 10 \, cm$.
અર્ધગોલકની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ એ તેની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ અને તેના વર્તુળાકાર પાયાના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= \text{વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ} + \text{વર્તુળાકાર પાયાનું ક્ષેત્રફળ}$
$= 2 \pi r^2 + \pi r^2 = 3 \pi r^2$
કિંમતો મૂકતા:
$= 3 \times 3.14 \times (10)^2 \, cm^2$
$= 3 \times 3.14 \times 100 \, cm^2$
$= 3 \times 314 \, cm^2$
$= 942 \, cm^2$
આમ,અર્ધગોલકની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $942 \, cm^2$ છે।

(A) અર્ધગોળાકાર વાટકાનો અંદરનો વ્યાસ $(d) = 10.5 \, cm$.
ત્રિજ્યા $(r) = \frac{d}{2} = \frac{10.5}{2} \, cm = 5.25 \, cm = \frac{21}{4} \, cm$.
અર્ધગોળાકાર વાટકાની અંદરની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= 2 \pi r^2$.
ક્ષેત્રફળ $= 2 \times \frac{22}{7} \times \left(\frac{21}{4}\right)^2 \, cm^2 = 2 \times \frac{22}{7} \times \frac{21}{4} \times \frac{21}{4} \, cm^2$.
ક્ષેત્રફળ $= 11 \times 3 \times \frac{21}{4} \, cm^2 = \frac{693}{4} \, cm^2 = 173.25 \, cm^2$.
કલાઈ કરવાનો દર $= Rs. 16$ પ્રતિ $100 \, cm^2$.
કુલ ખર્ચ $= \left(\frac{173.25}{100}\right) \times 16 = 1.7325 \times 16 = Rs. 27.72$.

(N/A) $(i)$ ગોલક માટે:
ત્રિજ્યા $= r$
$\therefore$ ગોલકની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= 4 \pi r^{2}$
$(ii)$ લંબવૃત્તીય નળાકાર માટે:
નળાકાર ગોલકને બરાબર બંધ કરતું હોવાથી,નળાકારની ત્રિજ્યા એ ગોલકની ત્રિજ્યા જેટલી જ હોય છે.
$\therefore$ નળાકારની ત્રિજ્યા $= r$
નળાકારની ઊંચાઈ એ ગોલકના વ્યાસ જેટલી હોય છે.
$\Rightarrow$ નળાકારની ઊંચાઈ $(h) = 2r$
નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= 2 \pi rh = 2 \pi r(2r) = 4 \pi r^{2}$
$(iii)$ $(i)$ અને $(ii)$ માં મેળવેલા ક્ષેત્રફળોનો ગુણોત્તર:
$\frac{\text{ગોલકની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ}}{\text{નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ}} = \frac{4 \pi r^{2}}{4 \pi r^{2}} = \frac{1}{1}$
આમ,જરૂરી ગુણોત્તર $1:1$ છે.

(B) દીવાલ એક લંબઘન છે. સૌ પ્રથમ,બધા માપને સેન્ટીમીટરમાં ફેરવો:
દીવાલની લંબાઈ $= 10\, m = 1000\, cm$.
દીવાલની જાડાઈ $= 24\, cm$.
દીવાલની ઊંચાઈ $= 4\, m = 400\, cm$.
દીવાલનું ઘનફળ $= 1000\, cm \times 24\, cm \times 400\, cm = 9,600,000\, cm^3$.
એક ઈંટનું ઘનફળ $= 24\, cm \times 12\, cm \times 8\, cm = 2304\, cm^3$.
જરૂરી ઈંટોની સંખ્યા $= \frac{\text{દીવાલનું ઘનફળ}}{\text{એક ઈંટનું ઘનફળ}} = \frac{9,600,000}{2304} \approx 4166.67$.
આપણે ઈંટનો અપૂર્ણાંક ભાગ લઈ શકતા નથી,તેથી આપણે તેને નજીકની પૂર્ણાંક સંખ્યામાં ફેરવીએ,જે $4167$ ઈંટો છે.

(C) એક સમઘનનું ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર: $V = \text{ધાર} \times \text{ધાર} \times \text{ધાર}$.
અહીં ધારની લંબાઈ $3 \, cm$ આપેલી છે, તેથી એક સમઘનનું ઘનફળ $3 \, cm \times 3 \, cm \times 3 \, cm = 27 \, cm^3$ થાય.
આકૃતિમાં આપેલી રચનાનું અવલોકન કરતા, આપણે કુલ સમઘનની સંખ્યા ગણી શકીએ છીએ:
- સ્તંભ $1$ (ડાબી બાજુ): $5$ સમઘન
- સ્તંભ $2$: $4$ સમઘન
- સ્તંભ $3$: $3$ સમઘન
- સ્તંભ $4$: $2$ સમઘન
- સ્તંભ $5$ (જમણી બાજુ): $1$ સમઘન
કુલ સમઘનની સંખ્યા $= 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15$ સમઘન.
રચનાનું કુલ ઘનફળ એ સમઘનની સંખ્યા અને એક સમઘનના ઘનફળનો ગુણાકાર છે:
કુલ ઘનફળ $= 15 \times 27 \, cm^3 = 405 \, cm^3$.

(D) દિવાસળીની પેટી (લંબઘન) ના માપ $l = 4 \,cm$,$b = 2.5 \,cm$ અને $h = 1.5 \,cm$ છે.
એક દિવાસળીની પેટીનું ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર $V = l \times b \times h$ છે.
$V = 4 \,cm \times 2.5 \,cm \times 1.5 \,cm = 15 \,cm^3$.
આવી $12$ પેટીઓ ધરાવતા પેકેટનું કુલ ઘનફળ $= 12 \times V$ થશે.
ઘનફળ $= 12 \times 15 \,cm^3 = 180 \,cm^3$.

(A) આપેલ છે: લંબાઈ $(l) = 6 \,m$,પહોળાઈ $(b) = 5 \,m$,ઊંડાઈ $(h) = 4.5 \,m$.
લંબઘન ટાંકીની ક્ષમતા (ઘનફળ) શોધવાનું સૂત્ર: $\text{ઘનફળ} = l \times b \times h$.
$\text{ઘનફળ} = 6 \,m \times 5 \,m \times 4.5 \,m = 135 \,m^3$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \,m^3 = 1000 \,l$.
તેથી,લિટરમાં ક્ષમતા $135 \times 1000 \,l = 135000 \,l$ થાય.
આમ,ટાંકીમાં $135000 \,l$ પાણી સમાઈ શકે છે.

(B) આપેલ છે: લંબાઈ $(l) = 10 \, m$,પહોળાઈ $(b) = 8 \, m$,ઘનફળ $(V) = 380 \, m^3$.
ધારો કે લંબઘન પાત્રની ઊંચાઈ $h$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે લંબઘનનું ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર: $V = l \times b \times h$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $380 = 10 \times 8 \times h$.
$380 = 80 \times h$.
$h = \frac{380}{80} = \frac{38}{8} = 4.75 \, m$.
તેથી,$380 \, m^3$ પ્રવાહી સમાવવા માટે પાત્રની ઊંચાઈ $4.75 \, m$ હોવી જોઈએ.

(C) લંબાઈ $(l) = 8 \, m$; પહોળાઈ $(b) = 6 \, m$; ઊંડાઈ $(h) = 3 \, m$.
$\therefore$ લંબઘન ખાડાનું ઘનફળ $= l \times b \times h = 8 \times 6 \times 3 \, m^3 = 144 \, m^3$.
ખાડો ખોદવાનો દર $Rs. 30$ પ્રતિ $m^3$ હોવાથી,
$\therefore$ ખોદવાનો કુલ ખર્ચ $= 30 \times 144 = Rs. 4320$.

(D) આપેલ છે: ટાંકીની લંબાઈ $(l) = 2.5\, m$,ટાંકીની ઊંડાઈ $(h) = 10\, m$.
ટાંકીની ક્ષમતા $= 50000\, l$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1000\, l = 1\, m^3$,તેથી ઘન મીટરમાં ક્ષમતા $= 50000 / 1000 = 50\, m^3$ થાય.
ધારો કે ટાંકીની પહોળાઈ $b\, m$ છે.
લંબઘન ટાંકીના ઘનફળનું સૂત્ર $V = l \times b \times h$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $50 = 2.5 \times b \times 10$.
$50 = 25 \times b$.
$b = 50 / 25 = 2\, m$.
આમ,ટાંકીની પહોળાઈ $2\, m$ છે.

(A) ટાંકીની લંબાઈ $(l) = 20 \,m$.
ટાંકીની પહોળાઈ $(b) = 15 \,m$.
ટાંકીની ઊંચાઈ $(h) = 6 \,m$.
ટાંકીનું ઘનફળ $= l \times b \times h = 20 \times 15 \times 6 \,m^3 = 1800 \,m^3$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \,m^3 = 1000 \,l$,તેથી ટાંકીની ક્ષમતા $= 1800 \times 1000 \,l = 1,800,000 \,l$.
ગામની વસ્તી $= 4000$.
વ્યક્તિ દીઠ દરરોજ જરૂરી પાણી $= 150 \,l$.
દરરોજ જરૂરી કુલ પાણી $= 4000 \times 150 \,l = 600,000 \,l$.
ધારો કે પાણી $x$ દિવસ ચાલશે.
$x$ દિવસ માટે જરૂરી કુલ પાણી $= 600,000 \times x$.
ટાંકીની કુલ ક્ષમતા અને જરૂરી પાણીને સરખાવતા: $600,000 \times x = 1,800,000$.
$x = \frac{1,800,000}{600,000} = 3$.
આમ,ટાંકીનું પાણી $3$ દિવસ ચાલશે.

(B) ગોડાઉનનું ઘનફળ $= 60 \,m \times 25 \,m \times 10 \,m = 15000 \,m^3$ (ધારી લેતા કે ઊંચાઈ $10 \,m$ છે).
એક ક્રેટનું ઘનફળ $= 1.5 \,m \times 1.25 \,m \times 0.5 \,m = 0.9375 \,m^3$.
ધારો કે ક્રેટની સંખ્યા $n$ છે.
$n = \frac{\text{ગોડાઉનનું ઘનફળ}}{\text{એક ક્રેટનું ઘનફળ}} = \frac{60 \times 25 \times 10}{1.5 \times 1.25 \times 0.5} = \frac{15000}{0.9375} = 16000$.
આમ,ગોડાઉનમાં $16000$ ક્રેટ સમાઈ શકે.

(A) આપેલ સમઘનની બાજુ $= 12 \, cm$.
આપેલ સમઘનનું ઘનફળ $= (12)^3 = 1728 \, cm^3$.
ધારો કે દરેક નવા નાના સમઘનની બાજુ $n \, cm$ છે.
$8$ નાના સમઘનનું કુલ ઘનફળ $= 8 \times n^3$.
ઘનફળ સમાન રહેતું હોવાથી,$8n^3 = 1728$.
$n^3 = \frac{1728}{8} = 216$.
$n = \sqrt[3]{216} = 6 \, cm$.
નવા સમઘનની બાજુ $6 \, cm$ છે.
આપેલ સમઘનનું પૃષ્ઠફળ $= 6 \times (12)^2 = 6 \times 144 = 864 \, cm^2$.
$8$ નાના સમઘનનું કુલ પૃષ્ઠફળ $= 8 \times (6 \times 6^2) = 8 \times 216 = 1728 \, cm^2$.
પૃષ્ઠફળોનો ગુણોત્તર $= \frac{864}{1728} = \frac{1}{2} = 1:2$.

(D) નદીમાં વહેતા પાણીને લંબઘનના સ્વરૂપમાં ગણી શકાય.
આપેલ છે:
ઊંડાઈ $(h) = 3 \,m$
પહોળાઈ $(b) = 40 \,m$
પ્રવાહનો દર ($1$ કલાકમાં લંબાઈ) $(l) = 2 \,km = 2000 \,m$
$1$ કલાક ($60$ મિનિટ) માં વહેતા પાણીનું ઘનફળ = $l \times b \times h$
$= 2000 \,m \times 40 \,m \times 3 \,m = 240000 \,m^3$
$1$ મિનિટમાં સમુદ્રમાં પડતા પાણીનું ઘનફળ = $\frac{60 \text{ મિનિટમાં વહેતું ઘનફળ}}{60}$
$= \frac{240000 \,m^3}{60} = 4000 \,m^3$

(A) સ્તંભો બનાવવા માટે વપરાતું કોંક્રિટ મિશ્રણ સ્તંભની સંપૂર્ણ જગ્યા રોકે છે,તેથી આપણે નળાકારનું ઘનફળ શોધવાની જરૂર છે.
નળાકારના પાયાની ત્રિજ્યા $(r)$ $= 20\, cm = 0.2\, m$.
નળાકાર સ્તંભની ઊંચાઈ $(h)$ $= 10\, m$.
એક નળાકાર સ્તંભનું ઘનફળ $= \pi r^2 h$
$= \frac{22}{7} \times (0.2)^2 \times 10\, m^3$
$= \frac{22}{7} \times 0.04 \times 10\, m^3$
$= \frac{8.8}{7}\, m^3$.
આવા $14$ સ્તંભોનું કુલ ઘનફળ $= 14 \times \text{એક સ્તંભનું ઘનફળ}$
$= 14 \times \frac{8.8}{7}\, m^3$
$= 2 \times 8.8\, m^3$
$= 17.6\, m^3$.
આમ,આવા $14$ સ્તંભો બનાવવા માટે $17.6\, m^3$ કોંક્રિટ મિશ્રણની જરૂર પડશે.

(B) મોટા પાત્રમાં રહેલા રસનું ઘનફળ નળાકારના ઘનફળના સૂત્ર $V = \pi R^2 H$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,ત્રિજ્યા $R = 15 \, cm$ અને ઊંચાઈ $H = 32 \, cm$ છે.
તેથી,રસનું કુલ ઘનફળ $= \pi \times 15 \times 15 \times 32 \, cm^3$.
દરેક નાના ગ્લાસમાં રહેલા રસનું ઘનફળ $v = \pi r^2 h$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,ત્રિજ્યા $r = 3 \, cm$ અને ઊંચાઈ $h = 8 \, cm$ છે.
તેથી,દરેક ગ્લાસનું ઘનફળ $= \pi \times 3 \times 3 \times 8 \, cm^3$.
ભરી શકાય તેવા ગ્લાસની સંખ્યા એ રસના કુલ ઘનફળ અને એક ગ્લાસના ઘનફળનો ગુણોત્તર છે:
ગ્લાસની સંખ્યા $= \frac{\pi \times 15 \times 15 \times 32}{\pi \times 3 \times 3 \times 8} = \frac{225 \times 32}{9 \times 8} = \frac{7200}{72} = 100$.
દરેક ગ્લાસ $Rs. 15$ માં વેચવામાં આવે છે,તેથી સ્ટોલ કીપરને મળતી કુલ રકમ:
કુલ રકમ $= 100 \times 15 = Rs. 1500$.

(C) ધારો કે નળાકાર પાત્રની પાયાની ત્રિજ્યા $r \,cm$ છે.
પાયાનો પરિઘ $2 \pi r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$2 \pi r = 132$
$2 \times \frac{22}{7} \times r = 132$
$r = \frac{132 \times 7}{2 \times 22} = 21 \,cm$.
પાત્રની ઊંચાઈ $h = 25 \,cm$ છે.
નળાકારનું ઘનફળ $V = \pi r^2 h$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$V = \frac{22}{7} \times (21)^2 \times 25$
$V = \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \times 25 = 22 \times 3 \times 21 \times 25 = 34650 \,cm^3$.
કારણ કે $1000 \,cm^3 = 1 \,l$,તેથી લિટરમાં ક્ષમતા $\frac{34650}{1000} = 34.65 \,l$ થાય.
આમ,પાત્ર $34.65 \,l$ પાણી સમાવી શકે છે.

(D) આપેલ છે:
આંતરિક વ્યાસ $= 24 \, cm$,તેથી આંતરિક ત્રિજ્યા $(r) = 12 \, cm$.
બાહ્ય વ્યાસ $= 28 \, cm$,તેથી બાહ્ય ત્રિજ્યા $(R) = 14 \, cm$.
પાઇપની લંબાઈ $(h) = 35 \, cm$.
પાઇપમાં રહેલા લાકડાનું ઘનફળ એ બાહ્ય ઘનફળ અને આંતરિક ઘનફળનો તફાવત છે:
$V = \pi R^2 h - \pi r^2 h = \pi h (R^2 - r^2) = \pi h (R + r)(R - r)$.
કિંમતો મૂકતા:
$V = \frac{22}{7} \times 35 \times (14 + 12) \times (14 - 12) \, cm^3$.
$V = 22 \times 5 \times 26 \times 2 = 5720 \, cm^3$.
લાકડાનું દળ $= \text{ઘનફળ} \times \text{ઘનતા} = 5720 \, cm^3 \times 0.6 \, g/cm^3$.
દળ $= 3432 \, g$.
કિલોગ્રામમાં ફેરવતા: $3432 \, g = 3.432 \, kg$.

(A) લંબચોરસ પેક માટે:
લંબાઈ $(l) = 5 \, cm$,પહોળાઈ $(b) = 4 \, cm$,ઊંચાઈ $(h) = 15 \, cm$.
ઘનફળ $= l \times b \times h = 5 \times 4 \times 15 = 300 \, cm^3$.
લંબચોરસ પેકની ક્ષમતા $= 300 \, cm^3$.
નળાકાર પેક માટે:
પાયાનો વ્યાસ $= 7 \, cm$,તેથી ત્રિજ્યા $(r) = \frac{7}{2} = 3.5 \, cm$.
ઊંચાઈ $(h) = 10 \, cm$.
ઘનફળ $= \pi r^2 h = \frac{22}{7} \times (3.5)^2 \times 10 = \frac{22}{7} \times 12.25 \times 10 = 385 \, cm^3$.
નળાકાર પેકની ક્ષમતા $= 385 \, cm^3$.
બંનેની સરખામણી કરતા:
$385 \, cm^3 - 300 \, cm^3 = 85 \, cm^3$.
આમ,નળાકાર પેકની ક્ષમતા $85 \, cm^3$ જેટલી વધારે છે.

(B) આપેલ છે: નળાકારની ઊંચાઈ $(h) = 5 \, cm$.
નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= 94.2 \, cm^2$.
ધારો કે પાયાની ત્રિજ્યા $r$ છે.
નળાકારની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $2 \pi rh$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા ($\pi = 3.14$ લેતા):
$2 \times 3.14 \times r \times 5 = 94.2$
$31.4 \times r = 94.2$
$r = \frac{94.2}{31.4}$
$r = 3 \, cm$.
આમ,પાયાની ત્રિજ્યા $3 \, cm$ છે.

(C) નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $A = 2 \pi r h$ છે.
આપેલ છે કે $A = 94.2 \, cm^2$,$h = 5 \, cm$,અને $\pi = 3.14$.
$94.2 = 2 \times 3.14 \times r \times 5$
$94.2 = 31.4 \times r$
$r = \frac{94.2}{31.4} = 3 \, cm$.
હવે,નળાકારનું ઘનફળ $V = \pi r^2 h$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$V = 3.14 \times (3)^2 \times 5$
$V = 3.14 \times 9 \times 5$
$V = 3.14 \times 45 = 141.3 \, cm^3$.
આમ,જરૂરી ઘનફળ $141.3 \, cm^3$ છે.

(D) અંદરની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે કુલ ખર્ચ,દર અને ક્ષેત્રફળ વચ્ચેના સંબંધનો ઉપયોગ કરીશું.
રંગવાનો કુલ ખર્ચ $= Rs. 2200$.
રંગવાનો દર $= Rs. 20$ પ્રતિ $m^2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે,$\text{કુલ ખર્ચ} = \text{ક્ષેત્રફળ} \times \text{દર}$.
તેથી,$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{\text{કુલ ખર્ચ}}{\text{દર}} = \frac{2200}{20} = 110 \, m^2$.
આમ,પાત્રની અંદરની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $110 \, m^2$ છે.

(A) આપેલ છે:
રંગવાનો કુલ ખર્ચ $= Rs. 2200$
રંગવાનો દર $= Rs. 20 \, \text{પ્રતિ} \, m^2$
પાત્રની ઊંડાઈ (ઊંચાઈ) $(h)$ $= 10 \, m$
સૌ પ્રથમ, નળાકાર પાત્રની અંદરની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ શોધો:
$CSA = \frac{\text{કુલ ખર્ચ}}{\text{દર}} = \frac{2200}{20} = 110 \, m^2$
નળાકારની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $CSA = 2 \pi rh$ છે।
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા:
$110 = 2 \times \frac{22}{7} \times r \times 10$
$r$ માટે ઉકેલતા:
$110 = \frac{440}{7} \times r$
$r = \frac{110 \times 7}{440}$
$r = \frac{7}{4} = 1.75 \, m$
આમ, પાયાની ત્રિજ્યા $1.75 \, m$ છે।

(B) આપેલ છે: નળાકાર પાત્રની ઊંડાઈ $(h) = 10\, m$. રંગવાનો કુલ ખર્ચ = $Rs. 2200$. રંગવાનો દર = $Rs. 20/m^2$.
સૌ પ્રથમ,પાત્રની અંદરની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ શોધો:
$CSA = \frac{\text{કુલ ખર્ચ}}{\text{દર}} = \frac{2200}{20} = 110\, m^2$.
નળાકારની વક્ર સપાટીનું સૂત્ર $2\pi rh = 110$ છે.
$2 \times \frac{22}{7} \times r \times 10 = 110$.
$r = \frac{110 \times 7}{2 \times 22 \times 10} = \frac{770}{440} = 1.75\, m$ અથવા $\frac{7}{4}\, m$.
હવે,પાત્રની ક્ષમતા (ઘનફળ) શોધો:
$V = \pi r^2 h = \frac{22}{7} \times (\frac{7}{4})^2 \times 10$.
$V = \frac{22}{7} \times \frac{49}{16} \times 10 = \frac{22 \times 7 \times 10}{16} = \frac{1540}{16} = 96.25\, m^3$.
$1\, m^3 = 1\, kl$ હોવાથી,પાત્રની ક્ષમતા $96.25\, kl$ છે.

(C) નળાકાર પાત્રની ક્ષમતા $= 15.4 \, l$.
$1 \, l = 1000 \, cm^{3}$ હોવાથી,ક્ષમતા $= 15.4 \times 1000 \, cm^{3} = 15400 \, cm^{3}$.
ઘન મીટરમાં ફેરવતા: $15400 \, cm^{3} = \frac{15400}{1000000} \, m^{3} = 0.0154 \, m^{3}$.
નળાકારનું ઘનફળ $= \pi r^{2} h$,જ્યાં $h = 1 \, m$.
$0.0154 = \frac{22}{7} \times r^{2} \times 1$.
$r^{2} = \frac{0.0154 \times 7}{22} = 0.0007 \times 7 = 0.0049$.
$r = \sqrt{0.0049} = 0.07 \, m$.
બંધ નળાકારનું કુલ પૃષ્ઠફળ $= 2 \pi r (h + r)$.
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 0.07 \times (1 + 0.07) \, m^{2}$.
$= 2 \times 22 \times 0.01 \times 1.07 \, m^{2}$.
$= 0.44 \times 1.07 \, m^{2} = 0.4708 \, m^{2}$.

(D) આપેલ છે કે,$10 \,mm = 1 \,cm$,તેથી $1 \,mm = 0.1 \,cm$.
ગ્રેફાઇટના નળાકાર માટે:
વ્યાસ $= 1 \,mm = 0.1 \,cm$.
ત્રિજ્યા $(r) = \frac{0.1}{2} \,cm = 0.05 \,cm$.
લંબાઈ $(h) = 14 \,cm$.
ગ્રેફાઇટનું ઘનફળ $= \pi r^2 h = \frac{22}{7} \times (0.05)^2 \times 14 \,cm^3 = 22 \times 0.0025 \times 2 \,cm^3 = 0.11 \,cm^3$.
પેન્સિલ માટે:
વ્યાસ $= 7 \,mm = 0.7 \,cm$.
ત્રિજ્યા $(R) = \frac{0.7}{2} \,cm = 0.35 \,cm$.
લંબાઈ $(h) = 14 \,cm$.
પેન્સિલનું ઘનફળ $= \pi R^2 h = \frac{22}{7} \times (0.35)^2 \times 14 \,cm^3 = 22 \times 0.1225 \times 2 \,cm^3 = 5.39 \,cm^3$.
લાકડાનું ઘનફળ = પેન્સિલનું ઘનફળ - ગ્રેફાઇટનું ઘનફળ
$= 5.39 \,cm^3 - 0.11 \,cm^3 = 5.28 \,cm^3$.
આમ,ગ્રેફાઇટનું ઘનફળ $0.11 \,cm^3$ છે અને લાકડાનું ઘનફળ $5.28 \,cm^3$ છે.

$(A)$ વાટકો નળાકાર છે.
પાયાનો વ્યાસ $= 7 \, cm$.
પાયાની ત્રિજ્યા $(r) = \frac{7}{2} \, cm = 3.5 \, cm$.
ઊંચાઈ $(h) = 4 \, cm$.
એક વાટકામાં સૂપનું ઘનફળ $= \pi r^2 h = \frac{22}{7} \times (3.5)^2 \times 4 \, cm^3$.
ઘનફળ $= \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times 4 \, cm^3 = 11 \times 7 \times 2 \, cm^3 = 154 \, cm^3$.
$250$ દર્દીઓ માટે સૂપનું કુલ ઘનફળ $= 250 \times 154 \, cm^3 = 38500 \, cm^3$.
કારણ કે $1000 \, cm^3 = 1 \, \text{લીટર}$, તેથી કુલ ઘનફળ લીટરમાં $= \frac{38500}{1000} \, \text{લીટર} = 38.5 \, \text{લીટર}$.
આમ, હોસ્પિટલે દરરોજ $38.5 \, \text{લીટર}$ સૂપ તૈયાર કરવો પડશે.

(C) કેનવાસનું કુલ ક્ષેત્રફળ $551 \, m^2$ છે. $1 \, m^2$ બગાડમાં જાય છે,તેથી તંબુ બનાવવા માટે ઉપલબ્ધ ક્ષેત્રફળ $551 \, m^2 - 1 \, m^2 = 550 \, m^2$ છે.
શંકુ આકારના તંબુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $\pi rl$ છે. તંબુનો પાયો કેનવાસથી ઢંકાયેલો નથી,તેથી $\pi rl = 550 \, m^2$.
ત્રિજ્યા $r = 7 \, m$ આપેલ છે,તેથી $\frac{22}{7} \times 7 \times l = 550$.
$l$ માટે ઉકેલતા,$22l = 550$,તેથી $l = \frac{550}{22} = 25 \, m$.
સંબંધ $l^2 = r^2 + h^2$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે ઊંચાઈ $h$ શોધીએ: $h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24 \, m$.
શંકુ આકારના તંબુનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 7^2 \times 24 = \frac{1}{3} \times 22 \times 7 \times 24 = 22 \times 7 \times 8 = 1232 \, m^3$.

(A) આપેલ છે: શંકુનું ઘનફળ $(V) = 9856 \, cm^3$ અને પાયાનો વ્યાસ $= 28 \, cm$.
પાયાની ત્રિજ્યા $(r) = \frac{28}{2} = 14 \, cm$.
શંકુના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $9856 = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (14)^2 \times h$.
$9856 = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 196 \times h$.
$9856 = \frac{1}{3} \times 22 \times 28 \times h$.
$h = \frac{9856 \times 3}{22 \times 28} = \frac{29568}{616} = 48 \, cm$.
હવે,તિર્યક ઊંચાઈ $(l) = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{14^2 + 48^2} = \sqrt{196 + 2304} = \sqrt{2500} = 50 \, cm$.
શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $\pi r l$ દ્વારા મળે છે.
વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{22}{7} \times 14 \times 50 = 22 \times 2 \times 50 = 2200 \, cm^2$.

(D) આપેલ છે: શંકુ આકારના ઢગલાનો વ્યાસ $= 10.5\, m$,તેથી ત્રિજ્યા $(r) = \frac{10.5}{2} = 5.25\, m$. ઊંચાઈ $(h) = 3\, m$.
$1$. ઢગલાનું ઘનફળ:
ઘનફળ $= \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (5.25)^2 \times 3 = \frac{22}{7} \times 27.5625 = 86.625\, m^3$.
$2$. કેનવાસનું ક્ષેત્રફળ:
જરૂરી કેનવાસનું ક્ષેત્રફળ એ શંકુની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે,જે $\pi rl$ છે.
પ્રથમ,તિર્યક ઊંચાઈ $(l) = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{(5.25)^2 + 3^2} = \sqrt{27.5625 + 9} = \sqrt{36.5625} = 6.0467\, m$ (આશરે $6.05\, m$).
વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= \pi rl = \frac{22}{7} \times 5.25 \times 6.0467 = 99.825\, m^2$.
આમ,જરૂરી કેનવાસનું ક્ષેત્રફળ $99.825\, m^2$ છે.

(C) આંતરિક ત્રિજ્યા $(r) = 1 \,m$.
જાડાઈ $= 1 \,cm = 0.01 \,m$.
બાહ્ય ત્રિજ્યા $(R) = 1 \,m + 0.01 \,m = 1.01 \,m$.
વપરાયેલ લોખંડનું ઘનફળ એ અર્ધગોળાકાર કવચના બાહ્ય ઘનફળ અને આંતરિક ઘનફળ વચ્ચેનો તફાવત છે.
લોખંડનું ઘનફળ $= \frac{2}{3} \pi R^3 - \frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \pi (R^3 - r^3)$.
ઘનફળ $= \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times ((1.01)^3 - (1)^3) \,m^3$.
ઘનફળ $= \frac{44}{21} \times (1.030301 - 1) \,m^3$.
ઘનફળ $= \frac{44}{21} \times 0.030301 \,m^3 \approx 0.06348 \,m^3$.

(D) ધારો કે ગોલકની ત્રિજ્યા $r$ છે.
ગોલકની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $4 \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે,$4 \pi r^2 = 154$.
$r^2 = \frac{154}{4 \pi} = \frac{154 \times 7}{4 \times 22} = \frac{7 \times 7}{4} = \left(\frac{7}{2}\right)^2$.
તેથી,$r = \frac{7}{2} \, cm$.
હવે,ગોલકનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \left(\frac{7}{2}\right)^3 \, cm^3$.
$V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \, cm^3$.
$V = \frac{11 \times 7 \times 7}{3} \, cm^3 = \frac{539}{3} \, cm^3 = 179 \frac{2}{3} \, cm^3$.
આમ,ગોલકનું જરૂરી ઘનફળ $179 \frac{2}{3} \, cm^3$ છે.

(A) રંગકામનો કુલ ખર્ચ $= Rs. 4989.60$
રંગકામનો દર $= Rs. 20$ પ્રતિ $m^2$
આપણે જાણીએ છીએ કે,$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{\text{કુલ ખર્ચ}}{\text{દર}}$
$\text{અંદરની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ} = \frac{4989.60}{20} = 249.48 \, m^2$
આમ,ગુંબજની અંદરની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $249.48 \, m^2$ છે.

(B) રંગકામનો કુલ ખર્ચ $= Rs. 4989.60$; રંગકામનો દર $= Rs. 20$ પ્રતિ $m^2$.
$\therefore \text{આંતરિક સપાટીનું ક્ષેત્રફળ} = \frac{\text{કુલ ખર્ચ}}{\text{દર}} = \frac{4989.60}{20} = 249.48 \, m^2$.
ધારો કે અર્ધગોળાકાર ગુંબજની ત્રિજ્યા $r$ છે.
$\therefore$ આંતરિક સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= 2 \pi r^2 = 249.48$.
$2 \times \frac{22}{7} \times r^2 = 249.48 \Rightarrow r^2 = \frac{249.48 \times 7}{2 \times 22} = 39.69$.
$r = \sqrt{39.69} = 6.3 \, m$.
ગુંબજની અંદરની હવાનું ઘનફળ $= \frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times (6.3)^3$.
$= \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 6.3 \times 6.3 \times 6.3 = 523.908 \, m^3$.
આમ,ગુંબજની અંદરની હવાનું ઘનફળ આશરે $523.9 \, m^3$ છે.

(A) $1$. પોલિશ કરવા માટેની બાહ્ય સપાટીનું ક્ષેત્રફળ:
બાહ્ય પરિમાણો: $H = 110\, cm, B = 85\, cm, D = 25\, cm$.
બાહ્ય સપાટીનું ક્ષેત્રફળ (આગળની સપાટી સિવાય) $= 2(H \times D) + (B \times D) + 2(H \times B) = 2(110 \times 25) + (85 \times 25) + 2(110 \times 85) = 5500 + 2125 + 18700 = 26325\, cm^2$.
આગળની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ (ઓપનિંગ સિવાય) $= 2(110 \times 25) + (85 \times 25) + 2(110 \times 85) - 3(100 \times 75) = 3825\, cm^2$.
$2$. રંગવા માટેની આંતરિક સપાટીનું ક્ષેત્રફળ:
દરેક ખાનાના આંતરિક પરિમાણો: $H' = 30\, cm, B' = 75\, cm, D' = 20\, cm$.
$3$ ખાનાનું ક્ષેત્રફળ $= 3 \times [2(H' \times D') + (B' \times D') + 2(H' \times B')] = 3 \times [2(30 \times 20) + (75 \times 20) + 2(30 \times 75)] = 3 \times [1200 + 1500 + 4500] = 3 \times 7200 = 21600\, cm^2$.
$3$. કુલ ખર્ચ:
પોલિશ કરવાનો ખર્ચ $= 3825 \times 0.20 = ₹ 765$.
રંગવાનો ખર્ચ $= 21600 \times 0.10 = ₹ 2160$.
કુલ ખર્ચ $= 765 + 2160 = ₹ 2925$.

(N/A) $1$. ગોળાઓ માટે:
દરેક ગોળાનો વ્યાસ = $21 \, cm$,તેથી ત્રિજ્યા $r = 10.5 \, cm$.
એક ગોળાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ = $4 \pi r^2 = 4 \times \frac{22}{7} \times 10.5 \times 10.5 = 1386 \, cm^2$.
જોકે,ગોળાનો એક નાનો ભાગ ટેકા દ્વારા ઢંકાયેલો છે. ટેકો $1.5 \, cm$ ત્રિજ્યાનો નળાકાર છે. ગોળા પર ઢંકાયેલા વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ = $\pi \times (1.5)^2 = \frac{22}{7} \times 2.25 \approx 7.07 \, cm^2$.
દરેક ગોળા માટે સિલ્વર રંગવાનું ક્ષેત્રફળ = $1386 - 7.07 = 1378.93 \, cm^2$.
$8$ ગોળાઓ માટે,કુલ સિલ્વર ક્ષેત્રફળ = $8 \times 1378.93 = 11031.44 \, cm^2$.
સિલ્વર રંગનો ખર્ચ = $11031.44 \times 0.25 = ₹ 2757.86$.
$2$. ટેકાઓ માટે:
દરેક ટેકો $r = 1.5 \, cm$ ત્રિજ્યા અને $h = 7 \, cm$ ઊંચાઈ ધરાવતો નળાકાર છે.
એક નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ = $2 \pi rh = 2 \times \frac{22}{7} \times 1.5 \times 7 = 66 \, cm^2$.
$8$ ટેકાઓ માટે કાળો રંગવાનું કુલ ક્ષેત્રફળ = $8 \times 66 = 528 \, cm^2$.
કાળા રંગનો ખર્ચ = $528 \times 0.05 = ₹ 26.40$.
કુલ ખર્ચ = $2757.86 + 26.40 = ₹ 2784.26$.

(A) ધારો કે બે ગોળાઓના ઘનફળ $V_{1}$ અને $V_{2}$ છે.
$\therefore \frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{64}{27}$
$\Rightarrow \frac{\frac{4}{3} \pi r_{1}^{3}}{\frac{4}{3} \pi r_{2}^{3}} = \frac{64}{27}$
$\Rightarrow \frac{r_{1}^{3}}{r_{2}^{3}} = \frac{64}{27}$
$\Rightarrow \left(\frac{r_{1}}{r_{2}}\right)^{3} = \left(\frac{4}{3}\right)^{3}$
$\Rightarrow \frac{r_{1}}{r_{2}} = \frac{4}{3} \quad ...(1)$
હવે,ધારો કે બે ગોળાઓની સપાટીના ક્ષેત્રફળ $SA_{1}$ અને $SA_{2}$ છે.
$\therefore \frac{SA_{1}}{SA_{2}} = \frac{4 \pi r_{1}^{2}}{4 \pi r_{2}^{2}}$
$\Rightarrow \frac{SA_{1}}{SA_{2}} = \left(\frac{r_{1}}{r_{2}}\right)^{2}$
$\Rightarrow \frac{SA_{1}}{SA_{2}} = \left(\frac{4}{3}\right)^{2} \quad [(1) \text{ નો ઉપયોગ કરતા}]$
$\Rightarrow \frac{SA_{1}}{SA_{2}} = \frac{16}{9}$
$\therefore SA_{1} : SA_{2} = 16 : 9$
આમ,બે ગોળાઓની સપાટીના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $16 : 9$ છે.

(B) સમઘનની બાજુ $a = 4 \, cm$.
સમઘનનું ઘનફળ $V_{cube} = a^3 = (4)^3 = 64 \, cm^3$.
જેহেতু ગોલક સમઘનની બાજુઓને સ્પર્શે છે,તેથી ગોલકનો વ્યાસ સમઘનની બાજુ જેટલો થાય,$d = 4 \, cm$.
ગોલકની ત્રિજ્યા $r = d / 2 = 4 / 2 = 2 \, cm$.
ગોલકનું ઘનફળ $V_{sphere} = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (2)^3$.
$V_{sphere} = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 8 = \frac{704}{21} \approx 33.52 \, cm^3$.
વચ્ચેની ખાલી જગ્યાનું ઘનફળ = $V_{cube} - V_{sphere} = 64 - 33.52 = 30.48 \, cm^3$.

(C) ગોલકનું ઘનફળ $V_s = \frac{4}{3} \pi r^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લંબવૃત્તીય નળાકારનું ઘનફળ $V_c = \pi r^2 h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે ઘનફળ સમાન છે,તેથી $\frac{4}{3} \pi r^3 = \pi r^2 h$.
આને સાદું રૂપ આપતા,આપણને $h = \frac{4}{3} r$ મળે છે.
નળાકારનો વ્યાસ $d = 2r$ છે.
વ્યાસ અને ઊંચાઈ વચ્ચેનો તફાવત $d - h = 2r - \frac{4}{3} r = \frac{2}{3} r$ છે.
વ્યાસ ઊંચાઈ કરતા કેટલા ટકા વધારે છે તે શોધવા માટે: $\frac{d - h}{h} \times 100 = \frac{\frac{2}{3} r}{\frac{4}{3} r} \times 100 = \frac{2}{4} \times 100 = 50 \%$.

(N/A) એક વર્તુળાકાર પ્લેટની ત્રિજ્યા $(r)$ $= 14\,cm$.
એક વર્તુળાકાર પ્લેટની જાડાઈ $= 3\,cm$.
પ્લેટોને એકબીજાની ઉપર ગોઠવવામાં આવતી હોવાથી,$30$ પ્લેટો દ્વારા બનતા નળાકારની ઊંચાઈ $(h)$ $= 30 \times 3 = 90\,cm$.
$(i)$ નળાકારનું કુલ પૃષ્ઠફળ $= 2\pi r(r + h) = 2 \times \frac{22}{7} \times 14 \times (14 + 90) = 44 \times 2 \times 104 = 88 \times 104 = 9152\,cm^2$.
$(ii)$ નળાકારનું ઘનફળ $= \pi r^2 h = \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \times 90 = 22 \times 2 \times 14 \times 90 = 44 \times 1260 = 55440\,cm^3$.

(A) સિંધુ ખીણની સભ્યતામાં,બાંધકામ માટે વપરાતી ઈંટોના પરિમાણોનો ગુણોત્તર પ્રમાણિત હતો.
પુરાતત્વીય ખોદકામ દર્શાવે છે કે આ ઈંટોની લંબાઈ,પહોળાઈ અને ઊંચાઈનો ગુણોત્તર $4: 2: 1$ હતો.

(A) આપેલ લંબઘન પેટી માટે:
લંબાઈ $(l) = 25 \, cm$
પહોળાઈ $(b) = 20 \, cm$
ઊંચાઈ $(h) = 10 \, cm$
લંબઘનનું કુલ પૃષ્ઠફળ શોધવાનું સૂત્ર:
કુલ પૃષ્ઠફળ $= 2(lb + bh + hl)$
આપેલ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$= 2(25 \times 20 + 20 \times 10 + 10 \times 25) \, cm^2$
$= 2(500 + 200 + 250) \, cm^2$
$= 2(950) \, cm^2$
$= 1900 \, cm^2$
આમ,લંબઘન પેટીનું કુલ પૃષ્ઠફળ $1900 \, cm^2$ છે.