Mix Examples - Surface Areas and Volumes Questions in Gujarati

(B) આપેલ છે કે સમઘનની ધારની લંબાઈ $a = 16\, cm$ છે.
સમઘનના કુલ પૃષ્ઠફળનું સૂત્ર $6a^2$ છે.
સૂત્રમાં $a$ ની કિંમત મૂકતા:
કુલ પૃષ્ઠફળ $= 6 \times (16)^2\, cm^2$
$= 6 \times 256\, cm^2$
$= 1536\, cm^2$.
તેથી,સમઘનનું કુલ પૃષ્ઠફળ $1536\, cm^2$ છે.

(C) લંબઘન બોક્સ માટે: લંબાઈ $(l) = 30 \, cm$,પહોળાઈ $(b) = 25 \, cm$ અને ઊંચાઈ $(h) = 20 \, cm$.
લંબઘન બોક્સનું કુલ પૃષ્ઠફળ $= 2(lb + bh + hl) = 2(30 \times 25 + 25 \times 20 + 20 \times 30) \, cm^2 = 2(750 + 500 + 600) \, cm^2 = 2(1850) \, cm^2 = 3700 \, cm^2$.
સમઘન બોક્સ માટે: બાજુ $(a) = 25 \, cm$.
સમઘન બોક્સનું કુલ પૃષ્ઠફળ $= 6a^2 = 6(25)^2 \, cm^2 = 6(625) \, cm^2 = 3750 \, cm^2$.
બંનેની સરખામણી કરતા,સમઘન બોક્સમાં વધુ ધાતુની શીટ વપરાય છે.
ક્ષેત્રફળમાં તફાવત $3750 \, cm^2 - 3700 \, cm^2 = 50 \, cm^2$ છે.
આમ,સમઘન બોક્સમાં $50 \, cm^2$ વધુ ધાતુની શીટ વપરાય છે.

(D) આપેલ છે: લંબાઈ $(l) = 2\, m = 200\, cm$,પહોળાઈ $(b) = 1\, m = 100\, cm$ અને ઊંચાઈ $(h) = 80\, cm$.
ટાંકીની પાંચ સપાટીઓ પર ટાઇલ્સ લગાવવાની છે: બે સપાટી $(l \times h)$ માપની,બે સપાટી $(b \times h)$ માપની અને એક ઉપરની સપાટી $(l \times b)$ માપની.
એક ચોરસ ટાઇલનું ક્ષેત્રફળ $= 20\, cm \times 20\, cm = 400\, cm^2$.
$1$. $(l \times h)$ માપની બે સપાટી માટે જરૂરી ટાઇલ્સ $= 2 \times \frac{200 \times 80}{400} = 2 \times \frac{16000}{400} = 2 \times 40 = 80$.
$2$. $(b \times h)$ માપની બે સપાટી માટે જરૂરી ટાઇલ્સ $= 2 \times \frac{100 \times 80}{400} = 2 \times \frac{8000}{400} = 2 \times 20 = 40$.
$3$. ઉપરની $(l \times b)$ માપની સપાટી માટે જરૂરી ટાઇલ્સ $= \frac{200 \times 100}{400} = \frac{20000}{400} = 50$.
કુલ જરૂરી ટાઇલ્સની સંખ્યા $= 80 + 40 + 50 = 170$.

(A) લંબઘનનું કુલ પૃષ્ઠફળ શોધવાનું સૂત્ર $2(lb + bh + lh)$ છે,જ્યાં $l$ એ લંબાઈ,$b$ એ પહોળાઈ અને $h$ એ ઊંચાઈ છે.
આપેલ છે: $l = 20\, cm$,$b = 15\, cm$,$h = 12\, cm$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
કુલ પૃષ્ઠફળ $= 2(20 \times 15 + 15 \times 12 + 20 \times 12)$
$= 2(300 + 180 + 240)$
$= 2(720)$
$= 1440\, cm^2$.

(B) સમઘનનું કુલ પૃષ્ઠફળ શોધવાનું સૂત્ર $6a^2$ છે,જ્યાં $a$ એ સમઘનની ધારની લંબાઈ છે.
આપેલ છે કે,$a = 35\, cm$.
કુલ પૃષ્ઠફળ $= 6 \times (35)^2$
$= 6 \times 1225$
$= 7350\, cm^2$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) લંબઘનના માપ લંબાઈ $(l)$ = $50 \, cm$,પહોળાઈ $(b)$ = $40 \, cm$ અને ઊંચાઈ $(h)$ = $30 \, cm$ છે.
લંબઘનનું પાર્શ્વ પૃષ્ઠફળ શોધવાનું સૂત્ર $2h(l + b)$ છે.
આપેલ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
પાર્શ્વ પૃષ્ઠફળ = $2 \times 30 \times (50 + 40)$
= $60 \times 90$
= $5400 \, cm^2$.

(D) $8 \, cm$ ની ધાર $(a)$ ધરાવતા બે સમઘનને એકબીજા સાથે જોડવાથી લંબઘન બને છે.
આ લંબઘનના પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
લંબાઈ $(l)$ = $8 \, cm + 8 \, cm = 16 \, cm$
પહોળાઈ $(b)$ = $8 \, cm$
ઊંચાઈ $(h)$ = $8 \, cm$
લંબઘનનું કુલ પૃષ્ઠફળ શોધવાનું સૂત્ર: $TSA = 2(lb + bh + lh)$.
કિંમતો મૂકતા:
$TSA = 2(16 \times 8 + 8 \times 8 + 16 \times 8)$
$TSA = 2(128 + 64 + 128)$
$TSA = 2(320)$
$TSA = 640 \, cm^{2}$.

(A) સમઘનનું પાર્શ્વ પૃષ્ઠફળ શોધવાનું સૂત્ર $4a^{2}$ છે,જ્યાં $a$ એ સમઘનની ધારની લંબાઈ છે.
અહીં,$a = 15 \, cm$ આપેલ છે.
પાર્શ્વ પૃષ્ઠફળ $= 4 \times (15)^{2} \, cm^{2}$.
પાર્શ્વ પૃષ્ઠફળ $= 4 \times 225 \, cm^{2}$.
પાર્શ્વ પૃષ્ઠફળ $= 900 \, cm^{2}$.

(B) લંબઘન ટાંકીના માપ નીચે મુજબ છે: લંબાઈ $(l)$ = $10 \, m$,પહોળાઈ $(b)$ = $8 \, m$ અને ઊંચાઈ $(h)$ = $3 \, m$.
બંધ લંબઘન ટાંકીનું કુલ પૃષ્ઠફળ શોધવાનું સૂત્ર: $2(lb + bh + lh)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $2(10 \times 8 + 8 \times 3 + 10 \times 3) = 2(80 + 24 + 30) = 2(134) = 268 \, m^2$.
લોખંડના પતરાની કિંમત શોધવા માટે કુલ પૃષ્ઠફળને પ્રતિ $m^2$ ના ભાવ સાથે ગુણતા:
કિંમત = $268 \, m^2 \times ₹ 50/m^2 = ₹ 13,400$.

(C) $1$. ચાર દીવાલોનું ક્ષેત્રફળ શોધો: $Area = 2(l + b) \times h = 2(7 + 5) \times 4 = 2(12) \times 4 = 96\, m^2$.
$2$. છતનું ક્ષેત્રફળ શોધો: $Area = l \times b = 7 \times 5 = 35\, m^2$.
$3$. રંગકામ માટેનું કુલ ક્ષેત્રફળ (દરવાજા અને બારીઓ બાદ કરતાં): $Total\, Area = (\text{દીવાલોનું}\, \text{ક્ષેત્રફળ }+ \text{છતનું}\, \text{ક્ષેત્રફળ}) - (2\, \text{દરવાજાનું}\, \text{ક્ષેત્રફળ }+ 4\, \text{બારીઓનું}\, \text{ક્ષેત્રફળ})$.
$4$. $2\, \text{દરવાજાનું}\, \text{ક્ષેત્રફળ }= 2 \times (3 \times 2) = 12\, m^2$.
$5$. $4\, \text{બારીઓનું}\, \text{ક્ષેત્રફળ }= 4 \times (2 \times 1) = 8\, m^2$.
$6$. $Total\, Area = (96 + 35) - (12 + 8) = 131 - 20 = 111\, m^2$.
$7$. $Cost = Total\, Area \times Rate = 111 \times 200 = ₹22,200$.

(N/A) ધારો કે લંબઘન પેટીના પરિમાણો $6x$,$4x$ અને $3x$ મીટર છે.
લંબઘનનું કુલ પૃષ્ઠફળ $SA = 2(lb + bh + lh) = 2((6x)(4x) + (4x)(3x) + (6x)(3x)) = 2(24x^2 + 12x^2 + 18x^2) = 2(54x^2) = 108x^2 \, m^2$ છે.
સફેદ કાગળથી ઢાંકવાનો ખર્ચ $₹ 2.00/m^2$ ના દરે $2 \times 108x^2 = 216x^2$ થાય.
રંગીન કાગળથી ઢાંકવાનો ખર્ચ $₹ 2.50/m^2$ ના દરે $2.50 \times 108x^2 = 270x^2$ થાય.
ખર્ચમાં તફાવત $270x^2 - 216x^2 = 54x^2$ છે.
આપેલ છે કે તફાવત $₹ 1350$ છે,તેથી $54x^2 = 1350$.
$x^2 = 1350 / 54 = 25$.
$x = 5$.
આમ,પરિમાણો $6(5) = 30 \, m$,$4(5) = 20 \, m$ અને $3(5) = 15 \, m$ છે.

નળાકાર માટે આપેલ છે:
ત્રિજ્યા $(r) = 28 \, cm$
ઊંચાઈ $(h) = 90 \, cm$
નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= 2 \pi r h$
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 28 \times 90 \, cm^2$
$= 2 \times 22 \times 4 \times 90 \, cm^2$
$= 15,840 \, cm^2$
નળાકારની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= 2 \pi r(h + r)$
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 28 \times (90 + 28) \, cm^2$
$= 176 \times 118 \, cm^2$
$= 20,768 \, cm^2$

(B) આપેલ નળાકાર માટે,ઊંચાઈ $(h) = 30 \, cm$ અને વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= 1320 \, cm^2$ છે.
નળાકારની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $A = \pi d h$ છે,જ્યાં $d$ એ વ્યાસ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $1320 = \frac{22}{7} \times d \times 30$.
$d$ માટે ઉકેલતા: $d = \frac{1320 \times 7}{22 \times 30}$.
$d = \frac{1320 \times 7}{660} = 2 \times 7 = 14 \, cm$.
આમ,નળાકારનો વ્યાસ $14 \, cm$ છે.

$(440 \ cm^2)$ ધાતુના પોલા નળાકાર માટે: ઊંચાઈ $(h) = 70\, cm$.
અંદરની ત્રિજ્યા $(r) = 10\, cm$.
બહારની ત્રિજ્યા $(R) = \text{અંદરની ત્રિજ્યા} + \text{ધાતુની જાડાઈ} = 10 + 1 = 11\, cm$.
બહારની અને અંદરની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળનો તફાવત નીચે મુજબ છે:
$\text{તફાવત} = 2\pi Rh - 2\pi rh = 2\pi h(R - r)$.
કિંમતો મૂકતા:
$\text{તફાવત} = 2 \times \frac{22}{7} \times 70 \times (11 - 10) = 2 \times 22 \times 10 \times 1 = 440\, cm^2$.

(D) નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ શોધવાનું સૂત્ર $CSA = 2 \pi rh$ છે.
આપેલ છે:
ઊંચાઈ $(h)$ = $35 \, cm$
ત્રિજ્યા $(r)$ = $15 \, cm$
$\pi = \frac{22}{7}$ લેતા:
$CSA = 2 \times \frac{22}{7} \times 15 \times 35$
$CSA = 2 \times 22 \times 15 \times 5$
$CSA = 44 \times 75$
$CSA = 3300 \, cm^2$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) નળાકારનો વ્યાસ $d = 28 \text{ cm}$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = d/2 = 14 \text{ cm}$ થાય.
નળાકારની ઊંચાઈ $h = 50 \text{ cm}$ છે.
નળાકારની કુલ સપાટીના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $A = 2\pi r(r + h)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $A = 2 \times (22/7) \times 14 \times (14 + 50)$.
$A = 2 \times 22 \times 2 \times 64$.
$A = 88 \times 64 = 5632 \text{ cm}^2$.

(B) નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ શોધવાનું સૂત્ર $CSA = 2\pi rh$ છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $h$ એ ઊંચાઈ છે.
આપેલ છે: $CSA = 3960\, cm^{2}$ અને $r = 21\, cm$.
$\pi = \frac{22}{7}$ લેતા:
$3960 = 2 \times \frac{22}{7} \times 21 \times h$
$3960 = 2 \times 22 \times 3 \times h$
$3960 = 132 \times h$
$h = \frac{3960}{132}$
$h = 30\, cm$.
આમ,નળાકારની ઊંચાઈ $30\, cm$ છે.

(C) નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ શોધવાનું સૂત્ર: $CSA = 2 \pi r h$ છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $h$ એ ઊંચાઈ છે.
આપેલ છે: $CSA = 550 \, cm^2$ અને $h = 50 \, cm$.
કિંમતો મૂકતા: $550 = 2 \times \frac{22}{7} \times r \times 50$.
$550 = \frac{2200}{7} \times r$.
$r = \frac{550 \times 7}{2200} = \frac{7}{4} = 1.75 \, cm$.
વ્યાસ $(d)$ એ $2 \times r = 2 \times 1.75 = 3.5 \, cm$ થાય.

(A) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $(r)$ = $10\,cm$,ઊંચાઈ $(h)$ = $30\,cm$,દર = ₹ $3/cm^2$,$\pi = 3.14$.
નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ શોધવાનું સૂત્ર $2\pi rh$ છે.
$CSA$ = $2 \times 3.14 \times 10 \times 30 = 1884\,cm^2$.
કુલ ખર્ચ = $CSA$ $\times$ દર = $1884 \times 3 = 5652$.
આમ,બહારની વક્ર સપાટીને રંગવાનો ખર્ચ ₹ $5652$ થાય છે.

(A) બંધ નળાકારની કુલ સપાટીના ક્ષેત્રફળ $(TSA)$ નું સૂત્ર $TSA = 2\pi r(r + h)$ છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $h$ એ ઊંચાઈ છે.
આપેલ છે: $TSA = 748\, cm^2$ અને $r = 7\, cm$.
$\pi = \frac{22}{7}$ લેતા:
$748 = 2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times (7 + h)$
$748 = 44 \times (7 + h)$
બંને બાજુ $44$ વડે ભાગતા:
$7 + h = \frac{748}{44}$
$7 + h = 17$
$h = 17 - 7$
$h = 10\, cm$.

(B) કૂવો નળાકાર આકારનો છે.
આપેલ છે: ઊંડાઈ $(h)$ = $20 \, m$,ત્રિજ્યા $(r)$ = $7 \, m$.
નળાકારની અંદરની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ = $2 \pi r h$.
ક્ષેત્રફળ = $2 \times (22/7) \times 7 \times 20 = 2 \times 22 \times 20 = 880 \, m^2$.
સિમેન્ટ લગાવવાનો ખર્ચ ₹ $15$ પ્રતિ $m^2$ છે.
કુલ ખર્ચ = $880 \times 15 = ₹ 13,200$.

(C) ધારો કે બે નળાકારની ત્રિજ્યાઓ $r_1$ અને $r_2$ છે,અને તેમની ઊંચાઈઓ $h_1$ અને $h_2$ છે.
આપેલ છે કે $r_1 : r_2 = 3 : 7$ અને $h_1 : h_2 = 28 : 15$.
નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ શોધવાનું સૂત્ર $CSA = 2\pi rh$ છે.
તેથી,તેમની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર:
$\frac{CSA_1}{CSA_2} = \frac{2\pi r_1 h_1}{2\pi r_2 h_2} = \frac{r_1}{r_2} \times \frac{h_1}{h_2}$
આપેલ ગુણોત્તરની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{CSA_1}{CSA_2} = \frac{3}{7} \times \frac{28}{15}$
$\frac{CSA_1}{CSA_2} = \frac{3}{15} \times \frac{28}{7} = \frac{1}{5} \times 4 = \frac{4}{5}$
આમ,તેમની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $4 : 5$ છે.

(D) ધારો કે નળાકારની ત્રિજ્યા $r$ અને ઊંચાઈ $h$ છે.
નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ $2\pi rh$ છે.
નળાકારની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(TSA)$ $2\pi rh + 2\pi r^2 = 2\pi r(h + r)$ છે.
આપેલ ગુણોત્તર $CSA : TSA = 2 : 5$ મુજબ:
$\frac{2\pi rh}{2\pi r(h + r)} = \frac{2}{5}$
$\frac{h}{h + r} = \frac{2}{5}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $5h = 2(h + r)$ મળે.
$5h = 2h + 2r$
$3h = 2r$
તેથી,ત્રિજ્યા અને ઊંચાઈનો ગુણોત્તર $\frac{r}{h} = \frac{3}{2}$ એટલે કે $3: 2$ થાય.

(A) $1$. ત્રિજ્યાને $cm$ માંથી $m$ માં ફેરવો: $r = 14 \, cm = 0.14 \, m$.
$2$. નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ શોધવાનું સૂત્ર $2 \pi rh$ છે.
$3$. $CSA = 2 \times \frac{22}{7} \times 0.14 \times 5 = 4.4 \, m^2$.
$4$. $20$ સ્તંભો માટે કુલ વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ = $20 \times 4.4 = 88 \, m^2$.
$5$. કુલ ખર્ચ = $\text{કુલ ક્ષેત્રફળ} \times \text{દર} = 88 \times 120 = ₹ 10,560$.

(N/A) આપેલ છે: તિર્યક ઊંચાઈ $(l) = 25 \,cm$,વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA) = 550 \,cm^{2}$.
$1$. ત્રિજ્યા $(r)$ શોધવી:
$CSA = \pi r l$
$550 = \frac{22}{7} \times r \times 25$
$r = \frac{550 \times 7}{22 \times 25} = 7 \,cm$.
$2$. ઊંચાઈ $(h)$ શોધવી:
સંબંધ $l^{2} = h^{2} + r^{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$25^{2} = h^{2} + 7^{2}$
$625 = h^{2} + 49$
$h^{2} = 625 - 49 = 576$
$h = \sqrt{576} = 24 \,cm$.
$3$. કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(TSA)$ શોધવું:
$TSA = \pi r(l + r)$
$TSA = \frac{22}{7} \times 7 \times (25 + 7)$
$TSA = 22 \times 32 = 704 \,cm^{2}$.

(A) આપેલ શંકુ માટે:
ત્રિજ્યા $(r) = 7\, m$ અને તિર્યક ઊંચાઈ $(l) = 12\, m$.
તંબુ બનાવવા માટે વપરાતી તાડપત્રીનું ક્ષેત્રફળ = શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ.
વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r l = \frac{22}{7} \times 7 \times 12 = 264\, m^2$.
તાડપત્રીનું ક્ષેત્રફળ $= l \times b$ થાય,જ્યાં $b = 2\, m$:
$264 = l \times 2 \implies l = \frac{264}{2} = 132\, m$.
આમ,$132\, m$ તાડપત્રીની જરૂર પડશે.
$1\, m$ તાડપત્રીનો ભાવ = ₹ $48$.
કુલ ખર્ચ $= 132 \times 48 = ₹ 6336$.

(A) આપેલ છે કે,નક્કર અર્ધગોલકનો વ્યાસ $7 \, cm$ છે.
ત્રિજ્યા $(r) = \frac{\text{વ્યાસ}}{2} = \frac{7}{2} \, cm = 3.5 \, cm$.
અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= 2 \pi r^2$.
$= 2 \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \, cm^2 = 77 \, cm^2$.
અર્ધગોલકની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= 3 \pi r^2$.
$= 3 \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \, cm^2 = 115.5 \, cm^2$.

(A) આપેલ ત્રિજ્યા $r = 2.1 \, m$ છે.
અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ = $2 \pi r^2$.
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1 = 2 \times 22 \times 0.3 \times 2.1 = 27.72 \, m^2$.
અર્ધગોલકની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ = $3 \pi r^2$.
$= 3 \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1 = 3 \times 22 \times 0.3 \times 2.1 = 41.58 \, m^2$.

(A) આપેલ છે: વ્યાસ $(d)$ = $14 \, cm$.
ત્રિજ્યા $(r)$ = $d / 2 = 14 / 2 = 7 \, cm$.
અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ = $2 \pi r^2$.
$CSA$ = $2 \times (22 / 7) \times 7 \times 7 = 2 \times 22 \times 7 = 308 \, cm^2$.
અર્ધગોલકની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(TSA)$ = $3 \pi r^2$.
$TSA$ = $3 \times (22 / 7) \times 7 \times 7 = 3 \times 22 \times 7 = 462 \, cm^2$.
આમ,અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $308 \, cm^2$ અને કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $462 \, cm^2$ છે.

(N/A) આપેલ વ્યાસ $d = 126 \, cm$,તેથી ત્રિજ્યા $r = \frac{126}{2} = 63 \, cm$.
અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= 2 \pi r^2 = 2 \times \frac{22}{7} \times 63 \times 63 = 2 \times 22 \times 9 \times 63 = 24,948 \, cm^2$.
અર્ધગોલકની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= 3 \pi r^2 = 3 \times \frac{22}{7} \times 63 \times 63 = 3 \times 22 \times 9 \times 63 = 37,422 \, cm^2$.

(A) આપેલ વ્યાસ $d = 2.8\,m$,તેથી ત્રિજ્યા $r = d/2 = 1.4\,m$.
અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ $2\pi r^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$CSA = 2 \times (22/7) \times (1.4)^2 = 2 \times (22/7) \times 1.96 = 2 \times 22 \times 0.28 = 12.32\,m^2$.
અર્ધગોલકની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(TSA)$ $3\pi r^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$TSA = 3 \times (22/7) \times (1.4)^2 = 3 \times (22/7) \times 1.96 = 3 \times 22 \times 0.28 = 18.48\,m^2$.
આમ,અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $12.32\,m^2$ અને કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $18.48\,m^2$ છે.

(D) ગુંબજ અર્ધગોળાકાર છે.
ત્રિજ્યા $(r)$ = $4.2 \, m$.
અર્ધગોળાકાર ગુંબજની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ = વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ = $2 \pi r^2$.
$CSA$ = $2 \times \frac{22}{7} \times 4.2 \times 4.2$.
$CSA$ = $2 \times 22 \times 0.6 \times 4.2 = 110.88 \, m^2$.
રંગવાનો ખર્ચ = ક્ષેત્રફળ $\times$ દર.
ખર્ચ = $110.88 \times 18 = ₹ 1995.84$.

(A) અર્ધગોલકની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $TSA = 3\pi r^2$ છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે કે $TSA = 4158 \, cm^2$.
તેથી,$3 \times \frac{22}{7} \times r^2 = 4158$.
$r^2 = \frac{4158 \times 7}{3 \times 22}$.
$r^2 = \frac{4158 \times 7}{66} = 63 \times 7 = 441$.
$r = \sqrt{441} = 21 \, cm$.
વ્યાસ $d = 2r = 2 \times 21 = 42 \, cm$ થાય.

(A) દરેક લોખંડના પોલા બોક્સ માટે: લંબાઈ $(l) = 30 \, cm$,પહોળાઈ $(b) = 15 \, cm$ અને ઊંચાઈ $(h) = 10 \, cm$.
દરેક લંબઘનનું ઘનફળ $= l \times b \times h$.
$= 30 \times 15 \times 10 \, cm^3 = 4500 \, cm^3$.
તેથી,$60$ આવા લોખંડના બોક્સ ધરાવતા કાર્ટનનું ઘનફળ $= 60 \times 4500 \, cm^3$.
$= 2,70,000 \, cm^3$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \, m^3 = 1,000,000 \, cm^3$,તેથી ઘનફળને ઘન મીટરમાં ફેરવતા:
$= \frac{2,70,000}{1,000,000} \, m^3 = 0.27 \, m^3$.

(A) આપેલ છે કે,સમઘનની ધાર $a = 6 \, cm$ છે.
$1$. સમઘનનું કુલ પૃષ્ઠફળ:
સૂત્ર: $TSA = 6a^2$
$TSA = 6 \times (6)^2 = 6 \times 36 = 216 \, cm^2$.
$2$. સમઘનનું ઘનફળ:
સૂત્ર: $V = a^3$
$V = (6)^3 = 6 \times 6 \times 6 = 216 \, cm^3$.

(C) આપેલ ઓરડા માટે,પરિમાણો છે: લંબાઈ $(l) = 12 \, m$,પહોળાઈ $(b) = 4 \, m$ અને ઊંચાઈ $(h) = 3 \, m$.
ઓરડામાં મૂકી શકાય તેવા સૌથી લાંબા સળિયાની લંબાઈ એ લંબઘનના વિકર્ણની લંબાઈ જેટલી હોય છે.
વિકર્ણની લંબાઈનું સૂત્ર $d = \sqrt{l^2 + b^2 + h^2}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$d = \sqrt{12^2 + 4^2 + 3^2} \, m$
$d = \sqrt{144 + 16 + 9} \, m$
$d = \sqrt{169} \, m$
$d = 13 \, m$.
આમ,સૌથી લાંબા સળિયાની લંબાઈ $13 \, m$ છે.

(N/A) ધારો કે લંબઘનની લંબાઈ,પહોળાઈ અને ઊંચાઈ અનુક્રમે $l \, cm$,$b \, cm$ અને $h \, cm$ છે.
એક શિરોબિંદુએ મળતી ત્રણ પાસપાસેની સપાટીઓના ક્ષેત્રફળ $lb$,$bh$ અને $hl$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
$lb = 700 \, cm^2$ --- $(i)$
$bh = 300 \, cm^2$ --- $(ii)$
$hl = 525 \, cm^2$ --- $(iii)$
$(i)$,$(ii)$ અને $(iii)$ નો ગુણાકાર કરતા:
$(lb) \times (bh) \times (hl) = 700 \times 300 \times 525$
$l^2 b^2 h^2 = 110,250,000$
$(lbh)^2 = (10,500)^2$
$lbh = 10,500 \, cm^3$ (આ લંબઘનનું ઘનફળ છે).
પરિમાણો શોધવા માટે:
$(i)$ અને $(iii)$ પરથી,$lb = 700$ અને $hl = 525$. $(i)$ ને $(iii)$ વડે ભાગતા $b/h = 700/525 = 4/3$ મળે,તેથી $b = 4h/3$.
$b$ ની કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા:
$(4h/3) \times h = 300$
$h^2 = 300 \times 3 / 4 = 225$
$h = 15 \, cm$.
હવે,$b = 4(15)/3 = 20 \, cm$.
અને $l = 700/20 = 35 \, cm$.
આમ,લંબઘનના પરિમાણો $35 \, cm$,$20 \, cm$ અને $15 \, cm$ છે અને તેનું ઘનફળ $10,500 \, cm^3$ છે.

(A) આપેલ છે કે, ટાંકીની ક્ષમતા = $60,000$ લિટર.
$1$ મીટર$^3 = 1,000$ લિટર હોવાથી, ટાંકીનું ઘનફળ મીટર$^3$ માં $60,000 / 1,000 = 60$ મીટર$^3$ થાય.
લંબઘનનું ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર $V = \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} \times \text{ઊંચાઈ}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $60 = 5 \times 4 \times h$.
$60 = 20 \times h$.
$h = 60 / 20 = 3$ મીટર.
તેથી, ટાંકીની ઊંચાઈ $3$ મીટર છે.

(B) $1$. ટાંકીનું કુલ ઘનફળ શોધો: $V = \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} \times \text{ઊંચાઈ} = 20\, \text{મીટર} \times 13\, \text{મીટર} \times 10\, \text{મીટર} = 2600\, \text{મીટર}^3$.
$2$. ઘનફળને લીટરમાં ફેરવો: $1\, \text{મીટર}^3 = 1000\, \text{લીટર}$ હોવાથી, કુલ ક્ષમતા $2600 \times 1000 = 2,600,000\, \text{લીટર}$ થાય.
$3$. ગામની દૈનિક પાણીની જરૂરિયાત શોધો: $5000 \times 130\, \text{લીટર/દિવસ} = 650,000\, \text{લીટર/દિવસ}$.
$4$. પાણી કેટલા દિવસ ચાલશે તે શોધો: $\frac{2,600,000}{650,000} = 4\, \text{દિવસ}$.

(N/A) ધારો કે સમઘનની બાજુનું માપ $a$ છે. સમઘનનું ઘનફળ $V = a^{3}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $a^{3} = 3375\, cm^{3}$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા,$a = \sqrt[3]{3375} = 15\, cm$.
સમઘનનું કુલ પૃષ્ઠફળ $TSA = 6a^{2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$TSA = 6 \times (15)^{2} = 6 \times 225 = 1350\, cm^{2}$.
આમ,સમઘનની બાજુનું માપ $15\, cm$ અને કુલ પૃષ્ઠફળ $1350\, cm^{2}$ છે.

(N/A) ધારો કે લંબાઈ $l = 30\, cm$,પહોળાઈ $b = 25\, cm$ અને ઊંચાઈ $h\, cm$ છે.
લંબઘનનું પાર્શ્વ પૃષ્ઠફળ $(LSA)$ $= 2h(l + b) = 2h(30 + 25) = 110h\, cm^2$.
લંબઘનનું કુલ પૃષ્ઠફળ $(TSA)$ $= 2(lb + bh + lh) = 2(30 \times 25 + 25h + 30h) = 2(750 + 55h) = 1500 + 110h\, cm^2$.
પ્રશ્ન મુજબ,$TSA = 2 \times LSA$.
$1500 + 110h = 2(110h)$.
$1500 + 110h = 220h$.
$110h = 1500$.
$h = \frac{1500}{110} = \frac{150}{11}\, cm$.
ઘનફળ $V = l \times b \times h = 30 \times 25 \times \frac{150}{11} = 750 \times \frac{150}{11} = \frac{112500}{11}\, cm^3$.

(N/A) $a, b, c$ પરિમાણો ધરાવતા લંબઘનનું ઘનફળ $V = abc$ છે.
લંબઘનનું કુલ પૃષ્ઠફળ $S = 2(ab + bc + ca)$ છે.
હવે,પદની જમણી બાજુ $(RHS)$ ધ્યાનમાં લો:
$RHS = \frac{2}{S} \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right)$
$S$ ની કિંમત મૂકતા:
$RHS = \frac{2}{2(ab + bc + ca)} \left( \frac{bc + ac + ab}{abc} \right)$
પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$RHS = \frac{1}{ab + bc + ca} \cdot \frac{ab + bc + ca}{abc}$
સામાન્ય પદ $(ab + bc + ca)$ ને છેદતા:
$RHS = \frac{1}{abc}$
કારણ કે $V = abc$,તેથી:
$RHS = \frac{1}{V}$
આમ,$\frac{1}{V} = \frac{2}{S} \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right)$ સાબિત થાય છે.

(A) ધારો કે લંબઘનના પરિમાણો $l, b$ અને $h$ છે. ત્રણ પાસપાસેની સપાટીઓના ક્ષેત્રફળ $lb = 4000$,$bh = 2000$ અને $hl = 3200$ આપેલા છે.
આ ત્રણેય સમીકરણોનો ગુણાકાર કરતા: $(lb)(bh)(hl) = 4000 \times 2000 \times 3200$.
$(lbh)^2 = 25,600,000,000$.
$lbh = \sqrt{25,600,000,000} = 160,000 \, cm^3$.
હવે,પરિમાણો શોધવા માટે:
$l = (lbh) / (bh) = 160,000 / 2000 = 80 \, cm$.
$b = (lbh) / (hl) = 160,000 / 3200 = 50 \, cm$.
$h = (lbh) / (lb) = 160,000 / 4000 = 40 \, cm$.
આમ,લંબઘનના પરિમાણો $80 \, cm, 50 \, cm, 40 \, cm$ છે અને તેનું ઘનફળ $160,000 \, cm^3$ છે.

(C) ધારો કે લંબઘનની બાજુઓ $4x$,$3x$ અને $1x$ છે.
લંબઘનનું કુલ પૃષ્ઠફળ શોધવાનું સૂત્ર: $TSA = 2(lb + bh + lh)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $3800 = 2((4x)(3x) + (3x)(x) + (4x)(x))$.
$3800 = 2(12x^{2} + 3x^{2} + 4x^{2})$.
$3800 = 2(19x^{2})$.
$3800 = 38x^{2}$.
$x^{2} = 100$,જેનો અર્થ છે કે $x = 10 \, cm$.
તેથી બાજુઓ $4(10) = 40 \, cm$,$3(10) = 30 \, cm$ અને $1(10) = 10 \, cm$ છે.
લંબઘનનું ઘનફળ $V = l \times b \times h = 40 \times 30 \times 10 = 12,000 \, cm^{3}$ થાય.

(A) $1$. લંબઘનનું ઘનફળ = $\text{લંબાઈ }\times \text{પહોળાઈ }\times \text{ઊંચાઈ }= 5 \,cm \times 4 \,cm \times 3 \,cm = 60 \,cm^3$.
$2$. એક સમઘનનું ઘનફળ = $(\text{બાજુ})^3 = (1 \,cm)^3 = 1 \,cm^3$.
$3$. સમઘનોની સંખ્યા = $\frac{\text{લંબઘનનું ઘનફળ}}{\text{એક સમઘનનું ઘનફળ}} = \frac{60 \,cm^3}{1 \,cm^3} = 60$.
$4$. લંબઘનનું કુલ પૃષ્ઠફળ = $2(lb + bh + lh) = 2(5 \times 4 + 4 \times 3 + 3 \times 5) = 2(20 + 12 + 15) = 2(47) = 94 \,cm^2$.
$5$. એક સમઘનનું કુલ પૃષ્ઠફળ = $6(\text{બાજુ})^2 = 6(1)^2 = 6 \,cm^2$.
$6$. $60$ સમઘનોનું કુલ પૃષ્ઠફળ = $60 \times 6 \,cm^2 = 360 \,cm^2$.
$7$. ગુણોત્તર = $\frac{94}{360} = \frac{47}{180}$ અથવા $47:180$.

(A) આપેલ છે:
લંબાઈ $(l)$ = $10\, cm$
પહોળાઈ $(b)$ = $6\, cm$
ઊંચાઈ $(h)$ = $4\, cm$
ઘનતા $(\rho)$ = $7.8\, g/cm^3$
પગલું $1$: લંબઘનનું ઘનફળ $(V)$ શોધો.
$V = l \times b \times h$
$V = 10\, cm \times 6\, cm \times 4\, cm = 240\, cm^3$
પગલું $2$: લંબઘનનું દળ $(m)$ શોધો.
દળ = ઘનતા $\times$ ઘનફળ
$m = 7.8\, g/cm^3 \times 240\, cm^3$
$m = 1872\, g$
આમ,લંબઘનનું દળ $1872\, g$ છે.

(B) ધારો કે ચોથા સમઘનની ધાર $x\, cm$ છે.
સમઘનનું ઘનફળ $V = a^3$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ સમઘનનું ઘનફળ $1^3 = 1\, cm^3$,$9^3 = 729\, cm^3$ અને $10^3 = 1000\, cm^3$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$9\, cm$ અને $10\, cm$ ધારવાળા સમઘનનું કુલ ઘનફળ એ $1\, cm$ અને $x\, cm$ ધારવાળા સમઘનના ઘનફળના સરવાળા જેટલું છે.
તેથી,$9^3 + 10^3 = 1^3 + x^3$.
$729 + 1000 = 1 + x^3$.
$1729 = 1 + x^3$.
$x^3 = 1728$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા,$x = \sqrt[3]{1728} = 12\, cm$.
આમ,ચોથા સમઘનની ધાર $12\, cm$ છે.

(C) નક્કર નળાકાર માટે આપેલ છે:
ત્રિજ્યા $(r) = 7 \, cm$
ઘનફળ $(V) = 4620 \, cm^{3}$
નળાકારના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \pi r^{2} h$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$4620 = \frac{22}{7} \times (7)^{2} \times h$
$4620 = \frac{22}{7} \times 49 \times h$
$4620 = 22 \times 7 \times h$
$4620 = 154 \times h$
ઊંચાઈ $(h)$ શોધતા:
$h = \frac{4620}{154}$
$h = 30 \, cm$
આમ,નળાકારની ઊંચાઈ $30 \, cm$ છે.

(D) નળાકાર માટે આપેલ છે: ત્રિજ્યા $(r) = 14 \, cm$ અને વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA) = 4400 \, cm^2$.
નળાકારની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $CSA = 2 \pi r h$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $4400 = 2 \times \frac{22}{7} \times 14 \times h$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $4400 = 2 \times 22 \times 2 \times h = 88 \times h$.
તેથી,$h = \frac{4400}{88} = 50 \, cm$.
નળાકારના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \pi r^2 h$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $V = \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \times 50$.
$V = 22 \times 2 \times 14 \times 50 = 44 \times 700 = 30800 \, cm^3$.

(N/A) નળાકાર માટે આપેલ છે:
વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ $= 3960 \, cm^{2}$
ઘનફળ $(V)$ $= 41580 \, cm^{3}$
આપણે જાણીએ છીએ કે:
$CSA = 2 \pi r h = 3960 \, cm^{2}$ --- $(1)$
$V = \pi r^{2} h = 41580 \, cm^{3}$ --- $(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને સમીકરણ $(1)$ વડે ભાગતા:
$\frac{V}{CSA} = \frac{\pi r^{2} h}{2 \pi r h} = \frac{41580}{3960}$
$\frac{r}{2} = 10.5$
$r = 21 \, cm$
હવે,$r = 21 \, cm$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$2 \times \frac{22}{7} \times 21 \times h = 3960$
$2 \times 22 \times 3 \times h = 3960$
$132 \times h = 3960$
$h = \frac{3960}{132} = 30 \, cm$
આમ,નળાકારની ત્રિજ્યા $21 \, cm$ અને ઊંચાઈ $30 \, cm$ છે.