Mix Examples - Coordinate Geometry Questions in Hindi

(N/A) मान लीजिए त्रिभुज के शीर्ष $A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$ और $C(x_3, y_3)$ हैं।
मान लीजिए मध्य-बिंदु $D(3,1)$,$E(5,6)$ और $F(-3,2)$ हैं।
मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करने पर:
$(x_1+x_2)/2 = 3, (y_1+y_2)/2 = 1 \implies x_1+x_2 = 6, y_1+y_2 = 2$ (समीकरण $1$)
$(x_2+x_3)/2 = 5, (y_2+y_3)/2 = 6 \implies x_2+x_3 = 10, y_2+y_3 = 12$ (समीकरण $2$)
$(x_3+x_1)/2 = -3, (y_3+y_1)/2 = 2 \implies x_3+x_1 = -6, y_3+y_1 = 4$ (समीकरण $3$)
सभी समीकरणों को जोड़ने पर: $2(x_1+x_2+x_3) = 6+10-6 = 10 \implies x_1+x_2+x_3 = 5$.
इसी प्रकार,$y_1+y_2+y_3 = (2+12+4)/2 = 9$.
योग से समीकरण $2$ घटाने पर: $x_1 = 5-10 = -5$ और $y_1 = 9-12 = -3$.
योग से समीकरण $3$ घटाने पर: $x_2 = 5-(-6) = 11$ और $y_2 = 9-4 = 5$.
योग से समीकरण $1$ घटाने पर: $x_3 = 5-6 = -1$ और $y_3 = 9-2 = 7$.
अतः शीर्ष $(-5,-3), (11,5), (-1,7)$ हैं।

(A) समांतर चतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। इसका अर्थ है कि विकर्ण $AC$ का मध्य-बिंदु,विकर्ण $BD$ के मध्य-बिंदु के समान होता है।
$AC$ का मध्य-बिंदु $= ((-2+x)/2, (1+3)/2) = ((-2+x)/2, 2)$.
$BD$ का मध्य-बिंदु $= ((1+1)/2, (0+y)/2) = (1, y/2)$.
मध्य-बिंदुओं के निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$(-2+x)/2 = 1 \implies -2+x = 2 \implies x = 4$.
$y/2 = 2 \implies y = 4$.
अतः,$x=4$ और $y=4$ मान प्राप्त होते हैं।

(D) त्रिभुज के शीर्ष $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ होने पर क्षेत्रफल का सूत्र:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
दिए गए शीर्ष $A(8, 2)$,$B(2, 4)$ और $C(6, 7)$ हैं।
यहाँ,$x_1 = 8, y_1 = 2, x_2 = 2, y_2 = 4, x_3 = 6, y_3 = 7$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |8(4 - 7) + 2(7 - 2) + 6(2 - 4)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |8(-3) + 2(5) + 6(-2)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |-24 + 10 - 12|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |-26|$
क्षेत्रफल $= \frac{26}{2} = 13$.
अतः,$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $13$ वर्ग इकाई है।

(C) त्रिभुज के शीर्ष $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ होने पर,क्षेत्रफल का सूत्र है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
यहाँ दिए गए शीर्ष $A(a, 5), B(6, 7)$ और $C(2, 3)$ हैं और क्षेत्रफल $= 10$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$10 = \frac{1}{2} |a(7 - 3) + 6(3 - 5) + 2(5 - 7)|$
$20 = |a(4) + 6(-2) + 2(-2)|$
$20 = |4a - 12 - 4|$
$20 = |4a - 16|$
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $1$: $4a - 16 = 20 \implies 4a = 36 \implies a = 9$
स्थिति $2$: $4a - 16 = -20 \implies 4a = -4 \implies a = -1$
अतः,$a$ के संभावित मान $9$ या $-1$ हैं।

(B) माना पंचभुज के शीर्ष $A(4,3), B(-5,6), C(-7,-2), D(0,-7)$ और $E(3,-6)$ हैं।
हम पंचभुज को तीन त्रिभुजों में विभाजित कर सकते हैं: $\Delta ABE, \Delta BCE$ और $\Delta CDE$।
त्रिभुज का क्षेत्रफल जिसके शीर्ष $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ हैं,उसका सूत्र $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ है।
$1$. $\Delta ABE$ का क्षेत्रफल,जिसके शीर्ष $A(4,3), B(-5,6), E(3,-6)$ हैं:
$= \frac{1}{2} |4(6 - (-6)) + (-5)(-6 - 3) + 3(3 - 6)|$
$= \frac{1}{2} |4(12) + (-5)(-9) + 3(-3)|$
$= \frac{1}{2} |48 + 45 - 9| = \frac{1}{2} |84| = 42$ वर्ग इकाई।
$2$. $\Delta BCE$ का क्षेत्रफल,जिसके शीर्ष $B(-5,6), C(-7,-2), E(3,-6)$ हैं:
$= \frac{1}{2} |-5(-2 - (-6)) + (-7)(-6 - 6) + 3(6 - (-2))|$
$= \frac{1}{2} |-5(4) + (-7)(-12) + 3(8)|$
$= \frac{1}{2} |-20 + 84 + 24| = \frac{1}{2} |88| = 44$ वर्ग इकाई।
$3$. $\Delta CDE$ का क्षेत्रफल,जिसके शीर्ष $C(-7,-2), D(0,-7), E(3,-6)$ हैं:
$= \frac{1}{2} |-7(-7 - (-6)) + 0(-6 - (-2)) + 3(-2 - (-7))|$
$= \frac{1}{2} |-7(-1) + 0 + 3(5)|$
$= \frac{1}{2} |7 + 15| = \frac{1}{2} |22| = 11$ वर्ग इकाई।
पंचभुज $ABCDE$ का कुल क्षेत्रफल $= \text{Area}(\Delta ABE) + \text{Area}(\Delta BCE) + \text{Area}(\Delta CDE)$
$= 42 + 44 + 11 = 97$ वर्ग इकाई।

(C) $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल इस सूत्र द्वारा दिया जाता है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
दिए गए शीर्ष $A(3, 2), B(11, 8)$ और $C(8, 12)$ हैं।
यहाँ,$x_1 = 3, y_1 = 2, x_2 = 11, y_2 = 8, x_3 = 8, y_3 = 12$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |3(8 - 12) + 11(12 - 2) + 8(2 - 8)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |3(-4) + 11(10) + 8(-6)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |-12 + 110 - 48|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |50|$
क्षेत्रफल $= 25$ वर्ग इकाई।

(N/A) $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ शीर्षों वाले त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र इस प्रकार है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
दिए गए शीर्ष $A(5, a)$,$B(2, 5)$ और $C(2, 3)$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |5(5 - 3) + 2(3 - a) + 2(a - 5)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |5(2) + 6 - 2a + 2a - 10|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |10 + 6 - 10|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |6|$
क्षेत्रफल $= 3$ वर्ग इकाई।
चूँकि परिणाम $a$ से स्वतंत्र है,इसलिए प्रत्येक $a \in R$ के लिए त्रिभुज का क्षेत्रफल $3$ वर्ग इकाई है।

(A) माना चतुर्भुज के शीर्ष $A(-1, -1), B(-4, -2), C(-5, -4)$ और $D(-2, -3)$ हैं।
क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम चतुर्भुज को दो त्रिभुजों,$\triangle ABC$ और $\triangle ADC$ में विभाजित करते हैं।
$(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |(-1)(-2 - (-4)) + (-4)(-4 - (-1)) + (-5)(-1 - (-2))|$
$= \frac{1}{2} |(-1)(2) + (-4)(-3) + (-5)(1)| = \frac{1}{2} |-2 + 12 - 5| = \frac{1}{2} |5| = 2.5$.
$\triangle ADC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |(-1)(-4 - (-3)) + (-5)(-3 - (-1)) + (-2)(-1 - (-4))|$
$= \frac{1}{2} |(-1)(-1) + (-5)(-2) + (-2)(3)| = \frac{1}{2} |1 + 10 - 6| = \frac{1}{2} |5| = 2.5$.
कुल क्षेत्रफल = $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल + $\triangle ADC$ का क्षेत्रफल $= 2.5 + 2.5 = 5$ वर्ग इकाई।

(B) $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
दिए गए शीर्ष $A(5, 3)$,$B(4, 5)$ और $C(3, 1)$ हैं।
यहाँ,$x_1 = 5, y_1 = 3, x_2 = 4, y_2 = 5, x_3 = 3, y_3 = 1$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |5(5 - 1) + 4(1 - 3) + 3(3 - 5)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |5(4) + 4(-2) + 3(-2)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |20 - 8 - 6|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |6| = 3 \text{ वर्ग इकाई}$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(N/A) $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल इस सूत्र द्वारा दिया जाता है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
दिए गए शीर्ष $(x_1, y_1) = (t, t-2)$,$(x_2, y_2) = (t+2, t+2)$ और $(x_3, y_3) = (t+3, t)$ हैं।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |t((t+2) - t) + (t+2)(t - (t-2)) + (t+3)((t-2) - (t+2))|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |t(2) + (t+2)(2) + (t+3)(-4)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |2t + 2t + 4 - 4t - 12|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |(2t + 2t - 4t) + (4 - 12)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |0 - 8| = \frac{1}{2} |-8| = 4$ वर्ग इकाई।
चूंकि परिणाम $4$ है,जो एक स्थिरांक है,इसलिए त्रिभुज का क्षेत्रफल $t$ के मान पर निर्भर नहीं करता है।

(D) त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र है: $\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$.
यहाँ,आधार भुजा $\overline{BC}$ की लंबाई है और ऊंचाई $A$ से $\overline{BC}$ पर खींचे गए शीर्षलंब की लंबाई है।
सबसे पहले,दूरी सूत्र का उपयोग करके $\overline{BC}$ की लंबाई ज्ञात करें: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
$B(-2, 1)$ और $C(6, 3)$ के लिए,$BC = \sqrt{(6 - (-2))^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{8^2 + 2^2} = \sqrt{64 + 4} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}$.
दिया गया है कि $\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $= 28$,इसलिए: $28 = \frac{1}{2} \times (2\sqrt{17}) \times h$.
$28 = \sqrt{17} \times h$.
अतः,शीर्षलंब की लंबाई $h = \frac{28}{\sqrt{17}}$।

(A) शीर्षों $(x_1, y_1), (x_2, y_2), \dots, (x_n, y_n)$ वाले बहुभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम शूलेस सूत्र का उपयोग करते हैं:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |(x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_5 + x_5y_1) - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_5 + y_5x_1)|$
दिए गए शीर्ष: $(1, 5), (-2, 4), (-3, -1), (2, -3), (5, 1)$.
योग $1 = (1 \times 4) + (-2 \times -1) + (-3 \times -3) + (2 \times 1) + (5 \times 5) = 4 + 2 + 9 + 2 + 25 = 42$
योग $2 = (5 \times -2) + (4 \times -3) + (-1 \times 2) + (-3 \times 5) + (1 \times 1) = -10 - 12 - 2 - 15 + 1 = -38$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |42 - (-38)| = \frac{1}{2} |42 + 38| = \frac{1}{2} |80| = 40$ वर्ग इकाई।

(B) किसी त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल मूल त्रिभुज के क्षेत्रफल का एक-चौथाई होता है।
सबसे पहले,$D(2, 1), E(-2, 3)$ और $F(4, -3)$ निर्देशांकों का उपयोग करके $\Delta DEF$ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
$\Delta DEF$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
$\Delta DEF$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |2(3 - (-3)) + (-2)(-3 - 1) + 4(1 - 3)|$
$\Delta DEF$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |2(6) + (-2)(-4) + 4(-2)|$
$\Delta DEF$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |12 + 8 - 8| = \frac{1}{2} |12| = 6 \text{ वर्ग इकाई}$.
चूंकि $\text{Area}(\Delta ABC) = 4 \times \text{Area}(\Delta DEF)$,
$\text{Area}(\Delta ABC) = 4 \times 6 = 24 \text{ वर्ग इकाई}$.

(C) त्रिभुज के शीर्ष $(x_1, y_1), (x_2, y_2),$ और $(x_3, y_3)$ होने पर क्षेत्रफल का सूत्र:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
दिए गए शीर्ष $A(h, k), B(1, 1),$ और $C(2, 1)$ हैं।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |h(1 - 1) + 1(1 - k) + 2(k - 1)| = 1$
$\frac{1}{2} |0 + 1 - k + 2k - 2| = 1$
$\frac{1}{2} |k - 1| = 1$
$|k - 1| = 2$
इसका अर्थ है कि $k - 1 = 2$ या $k - 1 = -2$ है।
यदि $k - 1 = 2$ है,तो $k = 3$ होगा।
यदि $k - 1 = -2$ है,तो $k = -1$ होगा।
अतः,$k$ के संभावित मान $3$ या $-1$ हैं।

(A) त्रिभुज के शीर्ष $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ होने पर क्षेत्रफल का सूत्र: $\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ है।
दिए गए शीर्ष $A(2, 1)$,$B(3, -2)$ और $C(x, x+3)$ हैं।
सूत्र में मान रखने पर: $5 = \frac{1}{2} |2(-2 - (x+3)) + 3((x+3) - 1) + x(1 - (-2))|$.
$10 = |2(-x - 5) + 3(x + 2) + 3x|$.
$10 = |-2x - 10 + 3x + 6 + 3x|$.
$10 = |4x - 4|$.
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $1$: $4x - 4 = 10 \Rightarrow 4x = 14 \Rightarrow x = \frac{7}{2}$. अतः $y = \frac{7}{2} + 3 = \frac{13}{2}$.
स्थिति $2$: $4x - 4 = -10 \Rightarrow 4x = -6 \Rightarrow x = -\frac{3}{2}$. अतः $y = -\frac{3}{2} + 3 = \frac{3}{2}$.
अतः,तीसरे शीर्ष के निर्देशांक $(\frac{7}{2}, \frac{13}{2})$ और $(-\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$ हैं।

(A) त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक $(x_1, y_1) = (1, 2)$,$(x_2, y_2) = (3, 3)$ और $(x_3, y_3) = (5, 1)$ हैं।
$(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ शीर्षों वाले त्रिभुज के केंद्रक $(G)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$G = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$G = \left( \frac{1 + 3 + 5}{3}, \frac{2 + 3 + 1}{3} \right)$
$G = \left( \frac{9}{3}, \frac{6}{3} \right)$
$G = (3, 2)$
अतः,त्रिभुज का केंद्रक $(3, 2)$ है।

(A) माना शीर्ष $A(3,0), B(-1,-6),$ और $C(4,-1)$ हैं। माना परिकेंद्र $O(x,y)$ है।
चूँकि $O$ परिकेंद्र है,इसलिए $OA^2 = OB^2 = OC^2$ होगा।
$OA^2 = (x-3)^2 + (y-0)^2 = x^2 - 6x + 9 + y^2$
$OB^2 = (x+1)^2 + (y+6)^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2 + 12y + 36 = x^2 + y^2 + 2x + 12y + 37$
$OC^2 = (x-4)^2 + (y+1)^2 = x^2 - 8x + 16 + y^2 + 2y + 1 = x^2 + y^2 - 8x + 2y + 17$
$OA^2 = OB^2$ को बराबर करने पर: $x^2 - 6x + 9 + y^2 = x^2 + y^2 + 2x + 12y + 37 \implies -8x - 12y = 28 \implies 2x + 3y = -7$ (समीकरण $1$)।
$OB^2 = OC^2$ को बराबर करने पर: $x^2 + y^2 + 2x + 12y + 37 = x^2 + y^2 - 8x + 2y + 17 \implies 10x + 10y = -20 \implies x + y = -2$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ और $2$ को हल करने पर: $2$ से,$x = -2 - y$. इसे $1$ में प्रतिस्थापित करने पर: $2(-2-y) + 3y = -7 \implies -4 - 2y + 3y = -7 \implies y = -3$.
अतः $x = -2 - (-3) = 1$. इसलिए,परिकेंद्र $(1, -3)$ है।
परित्रिज्या $R = OA = \sqrt{(1-3)^2 + (-3-0)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$।

(C) माना परिकेंद्र $O(x, y)$ है। परिकेंद्र त्रिभुज के शीर्षों $A, B$ और $C$ से समान दूरी पर होता है। अतः,$OA^2 = OB^2 = OC^2$ है।
दिया गया है $A(1, 2)$,$B(-2, 2)$ और $C(1, 5)$।
$OA^2 = (x - 1)^2 + (y - 2)^2$
$OB^2 = (x + 2)^2 + (y - 2)^2$
$OC^2 = (x - 1)^2 + (y - 5)^2$
$OA^2 = OB^2$ को बराबर करने पर:
$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = (x + 2)^2 + (y - 2)^2$
$(x - 1)^2 = (x + 2)^2$
$x^2 - 2x + 1 = x^2 + 4x + 4$
$-6x = 3 \implies x = -0.5$
$OA^2 = OC^2$ को बराबर करने पर:
$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = (x - 1)^2 + (y - 5)^2$
$(y - 2)^2 = (y - 5)^2$
$y^2 - 4y + 4 = y^2 - 10y + 25$
$6y = 21 \implies y = 3.5$
अतः,परिकेंद्र $(-0.5, 3.5)$ या $\left(-\frac{1}{2}, \frac{7}{2}\right)$ है।

(D) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(3, -5)$,$B(-7, 4)$ और $C(x, y)$ हैं।
$(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ शीर्षों वाले त्रिभुज के केंद्रक $G(x_g, y_g)$ का सूत्र है:
$x_g = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}$ और $y_g = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}$.
दिया गया है $G = (2, -1)$,इसलिए:
$2 = \frac{3 + (-7) + x}{3} \implies 6 = -4 + x \implies x = 10$.
$-1 = \frac{-5 + 4 + y}{3} \implies -3 = -1 + y \implies y = -2$.
अतः,तीसरे शीर्ष के निर्देशांक $(10, -2)$ हैं।

(D) दिए गए शीर्ष $A(8,6)$,$B(8,-2)$ और $C(2,-2)$ हैं।
सबसे पहले,त्रिभुज की प्रकृति का निरीक्षण करें। भुजा $AB$ ऊर्ध्वाधर है $(x=8)$ और भुजा $BC$ क्षैतिज है $(y=-2)$।
चूंकि $AB$,$BC$ पर लंबवत है,इसलिए त्रिभुज $ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसका समकोण शीर्ष $B(8,-2)$ पर है।
एक समकोण त्रिभुज में,परिकेंद्र कर्ण का मध्य-बिंदु होता है।
कर्ण वह भुजा $AC$ है जो शीर्ष $A(8,6)$ और $C(2,-2)$ को जोड़ती है।
$AC$ का मध्य-बिंदु $(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}) = (\frac{8+2}{2}, \frac{6-2}{2}) = (\frac{10}{2}, \frac{4}{2}) = (5,2)$ के रूप में परिकलित किया जाता है।
अतः,परिकेंद्र $(5,2)$ है।

(A) $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ शीर्षों वाले त्रिभुज के केंद्रक $(G)$ का सूत्र है: $G = (\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3})$।
दिए गए शीर्ष $(-5, 3), (a, -1)$ और $(6, b)$ हैं और केंद्रक $(1, -1)$ है।
$x$-निर्देशांकों की तुलना करने पर: $\frac{-5 + a + 6}{3} = 1 \implies a + 1 = 3 \implies a = 2$।
$y$-निर्देशांकों की तुलना करने पर: $\frac{3 - 1 + b}{3} = -1 \implies 2 + b = -3 \implies b = -5$।
अतः,$a = 2$ और $b = -5$ है।

(N/A) $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ शीर्षों वाले त्रिभुज के केंद्रक $(G)$ का सूत्र है: $G = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)$।
दिए गए शीर्षों $(1, a), (2, b), (c^2, -3)$ के लिए,केंद्रक का $x$-निर्देशांक $x_G = \frac{1 + 2 + c^2}{3} = \frac{3 + c^2}{3} = 1 + \frac{c^2}{3}$ है।
यदि केंद्रक $Y$-अक्ष पर स्थित है,तो इसका $x$-निर्देशांक $0$ होना चाहिए।
$x_G = 0$ रखने पर,हमें $1 + \frac{c^2}{3} = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{c^2}{3} = -1$ या $c^2 = -3$।
चूंकि किसी भी वास्तविक संख्या $c$ का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता $(c^2 \geq 0)$,इसलिए $c$ का ऐसा कोई वास्तविक मान नहीं है जिसके लिए $x_G = 0$ हो।
अतः,केंद्रक $Y$-अक्ष पर स्थित नहीं हो सकता।

(N/A) माना $\Delta ABC$ के शीर्ष $A(3h, 3k)$,$B(-3a, 0)$ और $C(3a, 0)$ हैं।
केंद्रक $G$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$G = \left( \frac{3h - 3a + 3a}{3}, \frac{3k + 0 + 0}{3} \right) = (h, k)$।
अब,भुजाओं के वर्गों का योग ज्ञात करते हैं:
$AB^2 = (3h - (-3a))^2 + (3k - 0)^2 = (3h + 3a)^2 + 9k^2 = 9(h+a)^2 + 9k^2 = 9(h^2 + 2ha + a^2 + k^2)$
$BC^2 = (3a - (-3a))^2 + (0 - 0)^2 = (6a)^2 = 36a^2$
$AC^2 = (3h - 3a)^2 + (3k - 0)^2 = 9(h-a)^2 + 9k^2 = 9(h^2 - 2ha + a^2 + k^2)$
इनका योग करने पर:
$AB^2 + BC^2 + AC^2 = 9(h^2 + 2ha + a^2 + k^2) + 36a^2 + 9(h^2 - 2ha + a^2 + k^2)$
$= 9(2h^2 + 2a^2 + 2k^2) + 36a^2 = 18h^2 + 18k^2 + 18a^2 + 36a^2 = 18(h^2 + k^2 + 3a^2)$ ... $(1)$
अब,$3(GA^2 + GB^2 + GC^2)$ की गणना करते हैं:
$GA^2 = (h - 3h)^2 + (k - 3k)^2 = (-2h)^2 + (-2k)^2 = 4h^2 + 4k^2$
$GB^2 = (h - (-3a))^2 + (k - 0)^2 = (h + 3a)^2 + k^2 = h^2 + 6ha + 9a^2 + k^2$
$GC^2 = (h - 3a)^2 + (k - 0)^2 = (h - 3a)^2 + k^2 = h^2 - 6ha + 9a^2 + k^2$
इनका योग करने पर:
$GA^2 + GB^2 + GC^2 = (4h^2 + 4k^2) + (h^2 + 6ha + 9a^2 + k^2) + (h^2 - 6ha + 9a^2 + k^2) = 6h^2 + 6k^2 + 18a^2$
$3(GA^2 + GB^2 + GC^2) = 3(6h^2 + 6k^2 + 18a^2) = 18(h^2 + k^2 + 3a^2)$ ... $(2)$
$(1)$ और $(2)$ से,$AB^2 + BC^2 + AC^2 = 3(GA^2 + GB^2 + GC^2)$ सिद्ध होता है।

(A) माना बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
दिया गया है कि $PA = PB$,इसलिए $PA^2 = PB^2$ होगा।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर: $(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = (x - 6)^2 + (y - 6)^2$.
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर: $x^2 - 4x + 4 + y^2 - 4y + 4 = x^2 - 12x + 36 + y^2 - 12y + 36$.
सरल करने पर: $8x + 8y = 64$,जिससे $x + y = 8$ प्राप्त होता है (समीकरण $1$)।
$\Delta PAB$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 4$ है।
बिंदुओं $P(x, y)$,$A(2, 2)$,और $B(6, 6)$ के मान रखने पर: $\frac{1}{2} |x(2 - 6) + 2(6 - y) + 6(y - 2)| = 4$.
$\frac{1}{2} |-4x + 12 - 2y + 6y - 12| = 4$.
$\frac{1}{2} |-4x + 4y| = 4$,जो सरल होकर $|-x + y| = 2$ हो जाता है।
इसका अर्थ है कि $-x + y = 2$ या $-x + y = -2$ (समीकरण $2$)।
$x + y = 8$ और $-x + y = 2$ को हल करने पर $2y = 10 \Rightarrow y = 5$ और $x = 3$ प्राप्त होता है।
$x + y = 8$ और $-x + y = -2$ को हल करने पर $2y = 6 \Rightarrow y = 3$ और $x = 5$ प्राप्त होता है।
अतः,$P$ के निर्देशांक $(3, 5)$ या $(5, 3)$ हैं।

(N/A) मान लीजिए कि चतुर्भुज $\square ABCD$ के शीर्ष $A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$,$C(x_3, y_3)$ और $D(x_4, y_4)$ हैं।
मान लीजिए कि $P, Q, R$ और $S$ क्रमशः भुजाओं $\overline{AB}$,$\overline{BC}$,$\overline{CD}$ और $\overline{DA}$ के मध्य बिंदु हैं।
मध्य बिंदु सूत्र का उपयोग करते हुए,निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$P = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$,$Q = \left(\frac{x_2+x_3}{2}, \frac{y_2+y_3}{2}\right)$,$R = \left(\frac{x_3+x_4}{2}, \frac{y_3+y_4}{2}\right)$,$S = \left(\frac{x_4+x_1}{2}, \frac{y_4+y_1}{2}\right)$.
एक चतुर्भुज समांतर चतुर्भुज होता है यदि उसके विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,अर्थात उनका मध्य बिंदु समान होता है।
विकर्ण $\overline{PR}$ का मध्य बिंदु:
$= \left( \frac{\frac{x_1+x_2}{2} + \frac{x_3+x_4}{2}}{2}, \frac{\frac{y_1+y_2}{2} + \frac{y_3+y_4}{2}}{2} \right) = \left( \frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}, \frac{y_1+y_2+y_3+y_4}{4} \right)$.
विकर्ण $\overline{QS}$ का मध्य बिंदु:
$= \left( \frac{\frac{x_2+x_3}{2} + \frac{x_4+x_1}{2}}{2}, \frac{\frac{y_2+y_3}{2} + \frac{y_4+y_1}{2}}{2} \right) = \left( \frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}, \frac{y_1+y_2+y_3+y_4}{4} \right)$.
चूंकि विकर्णों $\overline{PR}$ और $\overline{QS}$ के मध्य बिंदु समान हैं,इसलिए विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
अतः,$\square PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है।

(A) माना $C$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
$\Delta ABC$ के केंद्रक $G$ के निर्देशांक $\left(\frac{2+3+x}{3}, \frac{-3-2+y}{3}\right) = \left(\frac{x+5}{3}, \frac{y-5}{3}\right)$ हैं।
दिया गया है कि केंद्रक का $Y$-निर्देशांक इसके $X$-निर्देशांक के तीन गुने से $8$ कम है:
$\frac{y-5}{3} = 3\left(\frac{x+5}{3}\right) - 8$
$\frac{y-5}{3} = x + 5 - 8$
$\frac{y-5}{3} = x - 3$
$y - 5 = 3x - 9 \implies 3x - y = 4$ ... $(1)$
$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = \frac{3}{2}$ है।
$\frac{1}{2} |2(-2 - y) + 3(y - (-3)) + x(-3 - (-2))| = \frac{3}{2}$
$|-4 - 2y + 3y + 9 - x| = 3$
$|y - x + 5| = 3$
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं: $y - x + 5 = 3$ या $y - x + 5 = -3$.
स्थिति $1$: $y - x = -2 \implies x - y = 2$ ... $(2)$
स्थिति $2$: $y - x = -8 \implies x - y = 8$ ... $(3)$
$(1)$ और $(2)$ को हल करने पर: $3x - y = 4$ और $x - y = 2$. घटाने पर $2x = 2 \implies x = 1$. अतः $y = -1$.
$(1)$ और $(3)$ को हल करने पर: $3x - y = 4$ और $x - y = 8$. घटाने पर $2x = -4 \implies x = -2$. अतः $y = -10$.
अतः,$C$ के निर्देशांक $(1, -1)$ या $(-2, -10)$ हैं।

(N/A) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$ और $C(x_3, y_3)$ हैं।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ द्वारा दिया जाता है।
माना $D, E$ और $F$ क्रमशः भुजाओं $BC, AC$ और $AB$ के मध्य-बिंदु हैं।
मध्य-बिंदुओं के निर्देशांक $D = (\frac{x_2+x_3}{2}, \frac{y_2+y_3}{2})$,$E = (\frac{x_1+x_3}{2}, \frac{y_1+y_3}{2})$ और $F = (\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})$ हैं।
$\triangle DEF$ के लिए क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग करते हुए,हम क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_D(y_E - y_F) + x_E(y_F - y_D) + x_F(y_D - y_E)|$ के रूप में गणना करते हैं।
निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करने और सरल करने पर,हमें $\triangle DEF$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{4} \times \triangle ABC$ का क्षेत्रफल प्राप्त होता है।
वैकल्पिक रूप से,मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$\triangle AFE \sim \triangle ABC$ अनुपात $1:2$ के साथ,इसलिए $\text{Area}(\triangle AFE) = \frac{1}{4} \text{Area}(\triangle ABC)$। अन्य छोटे त्रिभुजों के लिए भी इसी प्रकार,केंद्रीय त्रिभुज $\triangle DEF$ का क्षेत्रफल भी $\frac{1}{4} \text{Area}(\triangle ABC)$ के बराबर होता है।

(B) माना वर्ग के शीर्ष $A(-4, 3)$,$B(10, 5)$,$C(12, -9)$ और $D(x, y)$ हैं।
एक वर्ग में,विकर्ण एक दूसरे को समान मध्य-बिंदु पर समद्विभाजित करते हैं।
माना विकर्ण $AC$ और $BD$ हैं।
$AC$ का मध्य-बिंदु $= ((-4 + 12)/2, (3 - 9)/2) = (8/2, -6/2) = (4, -3)$ है।
$BD$ का मध्य-बिंदु $= ((10 + x)/2, (5 + y)/2)$ है।
मध्य-बिंदुओं की तुलना करने पर: $(10 + x)/2 = 4 \implies 10 + x = 8 \implies x = -2$ है।
$(5 + y)/2 = -3 \implies 5 + y = -6 \implies y = -11$ है।
अतः,चौथा शीर्ष $(-2, -11)$ है।

(C) $1$. चूंकि $PA = PB$,बिंदु $P(x, y)$ रेखाखंड $AB$ के लंब समद्विभाजक पर स्थित है।
$2$. $AB$ का मध्य-बिंदु $M = (\frac{3+5}{2}, \frac{4-2}{2}) = (4, 1)$ है।
$3$. $AB$ की ढाल $m_{AB} = \frac{-2-4}{5-3} = \frac{-6}{2} = -3$ है।
$4$. लंब समद्विभाजक की ढाल $m_{\perp} = -\frac{1}{-3} = \frac{1}{3}$ है।
$5$. लंब समद्विभाजक का समीकरण $y - 1 = \frac{1}{3}(x - 4) \implies 3y - 3 = x - 4 \implies x = 3y + 1$ है।
$6$. $\Delta PAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 10$ है।
$7$. $P(3y+1, y)$,$A(3, 4)$,और $B(5, -2)$ का मान रखने पर: $10 = \frac{1}{2} |(3y+1)(4 - (-2)) + 3(-2 - y) + 5(y - 4)|$.
$8$. $20 = |(3y+1)(6) - 6 - 3y + 5y - 20| = |18y + 6 - 26 + 2y| = |20y - 20|$.
$9$. $|20y - 20| = 20 \implies |y - 1| = 1$.
$10$. स्थिति $1: y - 1 = 1 \implies y = 2$. अतः $x = 3(2) + 1 = 7$. बिंदु $P = (7, 2)$ है।
$11$. स्थिति $2: y - 1 = -1 \implies y = 0$. अतः $x = 3(0) + 1 = 1$. बिंदु $P = (1, 0)$ है।

(N/A) माना शीर्ष $A(7,9), B(10,8)$ और $C(12,10)$ हैं।
$1$. त्रिभुज का क्षेत्रफल: सूत्र $\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ का उपयोग करने पर,$\text{Area} = \frac{1}{2} |7(8 - 10) + 10(10 - 9) + 12(9 - 8)| = \frac{1}{2} |-14 + 10 + 12| = \frac{1}{2} |8| = 4 \text{ वर्ग इकाई}$.
$2$. परिकेंद्र $(h, k)$: परिकेंद्र शीर्षों से समान दूरी पर होता है। अतः,$(h-7)^2 + (k-9)^2 = (h-10)^2 + (k-8)^2 = (h-12)^2 + (k-10)^2$.
$(h-7)^2 + (k-9)^2 = (h-10)^2 + (k-8)^2$ को हल करने पर $6h - 2k = 32$ या $3h - k = 16$ प्राप्त होता है।
$(h-10)^2 + (k-8)^2 = (h-12)^2 + (k-10)^2$ को हल करने पर $4h + 4k = 84$ या $h + k = 21$ प्राप्त होता है।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $4h = 37 \implies h = \frac{37}{4}$.
$h$ का मान रखने पर: $\frac{37}{4} + k = 21 \implies k = 21 - \frac{37}{4} = \frac{47}{4}$.
अतः,परिकेंद्र $(\frac{37}{4}, \frac{47}{4})$ है और क्षेत्रफल $4$ है।

(A) माना शीर्ष $A$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
त्रिभुज के शीर्ष $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ होने पर केंद्रक $G(x_g, y_g) = (\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3})$ होता है।
दिए गए $G(3, 3)$,$B(-1, 2)$,और $C(2, -3)$ से:
$3 = \frac{x - 1 + 2}{3} \implies 9 = x + 1 \implies x = 8$.
$3 = \frac{y + 2 - 3}{3} \implies 9 = y - 1 \implies y = 10$.
अतः,शीर्ष $A$ के निर्देशांक $(8, 10)$ हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |8(2 - (-3)) + (-1)(-3 - 10) + 2(10 - 2)|$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |8(5) + (-1)(-13) + 2(8)|$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |40 + 13 + 16| = \frac{1}{2} |69| = \frac{69}{2}$ वर्ग इकाई।

(C) माना $\Delta ABC$ के शीर्ष $A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$ और $C(x_3, y_3)$ हैं।
दिए गए मध्य-बिंदु $D(1, 2)$,$E(2, 1)$ और $F(3, 3)$ हैं।
$\Delta ABC$ का केंद्रक $G = (\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3})$ द्वारा दिया जाता है।
त्रिभुज का एक प्रमुख गुण यह है कि त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं से बनने वाले त्रिभुज का केंद्रक मूल त्रिभुज के केंद्रक के समान ही होता है।
अतः,केंद्रक $G$,मध्य-बिंदुओं $D, E$ और $F$ के निर्देशांकों का औसत है।
$G = (\frac{1+2+3}{3}, \frac{2+1+3}{3}) = (\frac{6}{3}, \frac{6}{3}) = (2, 2)$.

(D) दिया गया है कि $\angle A = 90^\circ$,इसलिए रेखाखंड $AB$ और $AC$ एक-दूसरे पर लंब हैं।
अतः,उनकी प्रवणताओं (slopes) का गुणनफल $-1$ होना चाहिए,अर्थात $m_{AB} \times m_{AC} = -1$।
$AB$ की प्रवणता $m_{AB} = \frac{4 - 7}{2 - 1} = \frac{-3}{1} = -3$ है।
$AC$ की प्रवणता $m_{AC} = \frac{5 - 7}{k - 1} = \frac{-2}{k - 1}$ है।
इन मानों को शर्त में रखने पर: $(-3) \times \left( \frac{-2}{k - 1} \right) = -1$।
$\frac{6}{k - 1} = -1$।
$6 = -(k - 1)$।
$6 = -k + 1$।
$k = 1 - 6 = -5$।

(D) त्रिभुज के शीर्ष $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ होने पर क्षेत्रफल का सूत्र:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
दिए गए शीर्ष $(a, 5), (6, 7)$ और $(2, 3)$ हैं और क्षेत्रफल $10$ है।
मान रखने पर:
$10 = \frac{1}{2} |a(7 - 3) + 6(3 - 5) + 2(5 - 7)|$
$20 = |a(4) + 6(-2) + 2(-2)|$
$20 = |4a - 12 - 4|$
$20 = |4a - 16|$
इसके दो मामले बनते हैं:
स्थिति $1$: $4a - 16 = 20 \implies 4a = 36 \implies a = 9$
स्थिति $2$: $4a - 16 = -20 \implies 4a = -4 \implies a = -1$
चूंकि $a \in N$ (प्राकृत संख्या) दिया गया है,इसलिए $a = -1$ को छोड़ देंगे।
अतः,$a = 9$।

(A) त्रिभुज के शीर्ष $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ होने पर,उसके केंद्रक $(G)$ के निर्देशांक ज्ञात करने का सूत्र इस प्रकार है:
$G = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)$
यहाँ दिए गए शीर्ष $(x_1, y_1) = (2, 3)$,$(x_2, y_2) = (4, 7)$ और $(x_3, y_3) = (-3, 2)$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$x = \frac{2 + 4 + (-3)}{3} = \frac{3}{3} = 1$
$y = \frac{3 + 7 + 2}{3} = \frac{12}{3} = 4$
अतः,केंद्रक के निर्देशांक $(1, 4)$ हैं।

(B) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(3, 1)$,$B(1, 5)$ और $C(x, y)$ हैं।
त्रिभुज के शीर्ष $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ होने पर,केंद्रक $G$ का सूत्र $G = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)$ होता है।
चूंकि केंद्रक $G$ मूल बिंदु $(0, 0)$ है,इसलिए:
$\frac{3 + 1 + x}{3} = 0 \implies 4 + x = 0 \implies x = -4$.
$\frac{1 + 5 + y}{3} = 0 \implies 6 + y = 0 \implies y = -6$.
अतः,तीसरा शीर्ष $(-4, -6)$ है।

(D) त्रिभुज के शीर्ष $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ होने पर क्षेत्रफल का सूत्र:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
दिए गए शीर्ष $A(-4, -1)$,$B(1, 2)$ और $C(4, -3)$ हैं।
यहाँ,$x_1 = -4, y_1 = -1, x_2 = 1, y_2 = 2, x_3 = 4, y_3 = -3$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |-4(2 - (-3)) + 1(-3 - (-1)) + 4(-1 - 2)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |-4(5) + 1(-2) + 4(-3)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |-20 - 2 - 12|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |-34|$
क्षेत्रफल $= \frac{34}{2} = 17$ वर्ग इकाई।

(B) एक रेखाखंड $Y$-अक्ष के समांतर तभी होता है जब उस पर स्थित सभी बिंदुओं का $x$-निर्देशांक समान हो।
चूंकि $\overline{CD}$,$Y$-अक्ष के समांतर है और बिंदु $C$ के निर्देशांक $(4, -5)$ हैं,इसलिए इस रेखा पर स्थित किसी भी बिंदु $D$ का $x$-निर्देशांक $4$ होना चाहिए।
अतः,$D$ के निर्देशांक $(4, y)$ के रूप में होने चाहिए,जहाँ $y$ कोई भी वास्तविक संख्या है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,विकल्प $(B)$ $(4, 6)$ ही एकमात्र बिंदु है जिसका $x$-निर्देशांक $4$ है।

(C) $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ शीर्षों वाले त्रिभुज के केंद्रक $(G)$ के निर्देशांक का सूत्र है:
$G = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)$
दिए गए शीर्ष $(a, 2)$,$(2, -a)$ और $(0, 2)$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$G = \left( \frac{a + 2 + 0}{3}, \frac{2 - a + 2}{3} \right) = \left( \frac{a + 2}{3}, \frac{4 - a}{3} \right)$
प्रश्न के अनुसार,केंद्रक के दोनों निर्देशांक समान हैं:
$\frac{a + 2}{3} = \frac{4 - a}{3}$
$a + 2 = 4 - a$
$2a = 2$
$a = 1$

(C) दिए गए दोनों बिंदुओं के $x$-निर्देशांक समान हैं $(x = 2)$।
इसलिए,इन दो बिंदुओं से होकर गुजरने वाली रेखा $Y$-अक्ष के समानांतर एक ऊर्ध्वाधर रेखा है,जिसका समीकरण $x = 2$ है।
यदि कोई तीसरा बिंदु इन दो बिंदुओं के साथ संरेख है,तो उसे भी रेखा $x = 2$ पर स्थित होना चाहिए। इसका अर्थ है कि तीसरे बिंदु का $x$-निर्देशांक $2$ होना चाहिए।
दिए गए विकल्पों में से,केवल बिंदु $(2,-4)$ का $x$-निर्देशांक $2$ है।
अतः,बिंदु $(2,3)$,$(2,5)$ और $(2,-4)$ संरेख हैं।

(A) दिए गए दोनों बिंदुओं $(3,4)$ और $(-1,4)$ के $y$-निर्देशांक $4$ समान हैं।
इसका अर्थ है कि इन दो बिंदुओं से होकर गुजरने वाली रेखा $y = 4$ समीकरण द्वारा परिभाषित एक क्षैतिज रेखा है।
किसी तीसरे बिंदु को इन दो बिंदुओं के साथ संरेख होने के लिए,उसे भी उसी रेखा $y = 4$ पर स्थित होना चाहिए।
दिए गए विकल्पों में से,केवल $(-5,4)$ बिंदु का $y$-निर्देशांक $4$ है।
अतः,बिंदु $(-5,4)$ दिए गए बिंदुओं के साथ संरेख है।

(C) सबसे पहले,हम दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ का उपयोग करके भुजाओं की लंबाई ज्ञात करते हैं।
$AB = \sqrt{(0-3)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{9} = 3$.
$BC = \sqrt{(1-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$.
$CD = \sqrt{(4-1)^2 + (3-3)^2} = \sqrt{3^2 + 0^2} = 3$.
$AD = \sqrt{(4-3)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$.
चूंकि सम्मुख भुजाएं समान हैं ($AB = CD = 3$ और $BC = AD = \sqrt{10}$),इसलिए यह एक समांतर चतुर्भुज है।
अब,विकर्णों की लंबाई की जांच करते हैं:
$AC = \sqrt{(1-3)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 3^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}$.
$BD = \sqrt{(4-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$.
चूंकि विकर्ण समान नहीं हैं $(AC \neq BD)$,इसलिए यह आयत नहीं है।
अतः,$\square ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है।

(D) माना बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
चूंकि $P$,$A(0, 0)$,$B(4, 0)$ और $C(0, 6)$ से समान दूरी पर है,इसलिए $PA = PB = PC$,जिसका अर्थ है $PA^2 = PB^2 = PC^2$।
$PA^2 = PB^2$ से,हमें प्राप्त होता है $x^2 + y^2 = (x - 4)^2 + (y - 0)^2$।
$x^2 + y^2 = x^2 - 8x + 16 + y^2$।
$8x = 16 \implies x = 2$।
$PA^2 = PC^2$ से,हमें प्राप्त होता है $x^2 + y^2 = (x - 0)^2 + (y - 6)^2$।
$x^2 + y^2 = x^2 + y^2 - 12y + 36$।
$12y = 36 \implies y = 3$।
अतः,बिंदु $P$ के निर्देशांक $(2, 3)$ हैं।

(A) बिंदुओं के निर्देशांक $A(2, 2)$ और $B(2, -2)$ हैं।
चूंकि दोनों बिंदुओं का $x-$निर्देशांक $2$ है,इसलिए इन बिंदुओं को जोड़ने वाला रेखाखंड ऊर्ध्वाधर रेखा $x = 2$ पर स्थित है।
यदि किसी रेखाखंड के $x-$निर्देशांक समान होते हैं,तो वह $Y-$ अक्ष के समांतर होती है।
यह $X-$ अक्ष को कहाँ प्रतिच्छेद करता है,यह ज्ञात करने के लिए हम रेखा $x = 2$ पर $y = 0$ रखते हैं।
अतः,$X-$ अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, 0)$ है क्योंकि रेखा $x = 2$,$X-$ अक्ष को $y = 0$ पर काटती है।

(B) $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ शीर्षों वाले त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र इस प्रकार है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
दिए गए शीर्ष $A(3, 0)$,$B(0, 3)$ और $C(3, 3)$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |3(3 - 3) + 0(3 - 0) + 3(0 - 3)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |3(0) + 0(3) + 3(-3)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |0 + 0 - 9|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |-9| = \frac{9}{2} = 4.5$ वर्ग इकाई।

(D) त्रिभुज के शीर्ष $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ होने पर क्षेत्रफल का सूत्र:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
दिए गए शीर्ष $A(2, 4)$,$B(5, 0)$ और $C(5, 4)$ हैं।
सूत्र में मान रखने पर:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |2(0 - 4) + 5(4 - 4) + 5(4 - 0)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |2(-4) + 5(0) + 5(4)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |-8 + 0 + 20|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |12| = 6$ वर्ग इकाई।
वैकल्पिक रूप से,चूंकि $AC$ एक क्षैतिज रेखा है $(y=4)$ और $BC$ एक ऊर्ध्वाधर रेखा है $(x=5)$,यह एक समकोण त्रिभुज है।
आधार $AC = |5 - 2| = 3$ इकाई।
ऊंचाई $BC = |4 - 0| = 4$ इकाई।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$ वर्ग इकाई।

(C) त्रिभुज के शीर्षों $(x_1, y_1), (x_2, y_2),$ और $(x_3, y_3)$ के लिए क्षेत्रफल का सूत्र इस प्रकार है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$.
यह सूत्र शीर्षों से $x$-अक्ष पर लंब डालकर बनाए गए समलंब चतुर्भुजों के क्षेत्रफल की गणना करके प्राप्त किया जाता है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,विकल्प $C$ सही उत्तर है।

(A) त्रिभुज के शीर्ष $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ होने पर,उसके केंद्रक के निर्देशांक का सूत्र इस प्रकार है:
केंद्रक $= \left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right)$
दिए गए शीर्ष $A(3, 2)$,$B(7, 5)$ और $C(2, 2)$ हैं।
सूत्र में मान रखने पर:
केंद्रक $= \left(\frac{3 + 7 + 2}{3}, \frac{2 + 5 + 2}{3}\right)$
केंद्रक $= \left(\frac{12}{3}, \frac{9}{3}\right)$
केंद्रक $= (4, 3)$

(C) $1$. दिए गए निर्देशांक: $A(3, 0)$,$B(0, 0)$,$C(0, -4)$।
$2$. दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ का उपयोग करके लंबाई ज्ञात करें:
$AB = \sqrt{(0-3)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{9} = 3$।
$BC = \sqrt{(0-0)^2 + (-4-0)^2} = \sqrt{16} = 4$।
$AC = \sqrt{(0-3)^2 + (-4-0)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$।
$3$. समकोण त्रिभुज की जाँच करें: $AB^2 + BC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = AC^2$। अतः,$\Delta ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जहाँ $\angle B$ समकोण है। (विकल्प $A$ सही है)।
$4$. $\overline{AC}$ का मध्यबिंदु $= (\frac{3+0}{2}, \frac{0-4}{2}) = (\frac{3}{2}, -2)$। (विकल्प $B$ सही है)।
$5$. $\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$। (विकल्प $C$ में क्षेत्रफल $12$ दिया गया है,जो गलत है)।
$6$. $AB=3, BC=4, AC=5$ सही है। (विकल्प $D$ सही है)।
अतः,गलत कथन $C$ है।