Mix Examples - Coordinate Geometry Questions in Hindi

(B) मान लीजिए कि बिंदु $A(1,5), B(2,3)$ और $C(-2,-11)$ हैं।
यह जाँचने के लिए कि क्या बिंदु संरेख हैं,हम इन बिंदुओं द्वारा बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके ज्ञात करते हैं:
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
मान रखने पर:
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |1(3 - (-11)) + 2(-11 - 5) + (-2)(5 - 3)|$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |1(14) + 2(-16) + (-2)(2)|$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |14 - 32 - 4|$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |-22| = 11 \text{ वर्ग इकाई}$।
चूँकि त्रिभुज का क्षेत्रफल $0$ नहीं है,इसलिए बिंदु संरेख नहीं हैं।

(C) शीर्षों $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
दिए गए शीर्ष $A(1, -1), B(-4, 6)$ और $C(-3, -5)$ हैं।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |1(6 - (-5)) + (-4)(-5 - (-1)) + (-3)(-1 - 6)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |1(11) + (-4)(-4) + (-3)(-7)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |11 + 16 + 21|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |48| = 24$
अतः,त्रिभुज का क्षेत्रफल $24$ वर्ग इकाई है।

(D) $A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$ और $C(x_3, y_3)$ शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
यहाँ दिए गए बिंदु $A(5, 2)$,$B(4, 7)$ और $C(7, -4)$ हैं।
सूत्र में मान रखने पर:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |5(7 - (-4)) + 4(-4 - 2) + 7(2 - 7)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |5(11) + 4(-6) + 7(-5)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |55 - 24 - 35|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |55 - 59|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |-4|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 4 = 2$ वर्ग इकाई।

(A) शीर्षों $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ वाले त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र इस प्रकार है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
दिए गए निर्देशांकों $P(-1.5, 3)$,$Q(6, -2)$ और $R(-3, 4)$ को सूत्र में रखने पर:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |-1.5(-2 - 4) + 6(4 - 3) + (-3)(3 - (-2))|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |-1.5(-6) + 6(1) - 3(5)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |9 + 6 - 15|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |0| = 0$ वर्ग इकाई।
चूंकि क्षेत्रफल $0$ है,इसलिए बिंदु $P$,$Q$ और $R$ संरेख (collinear) हैं,जिसका अर्थ है कि वे एक ही सीधी रेखा पर स्थित हैं और त्रिभुज नहीं बनाते हैं।

(C) चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम विकर्ण $BD$ खींचकर इसे दो त्रिभुजों में विभाजित कर सकते हैं।
त्रिभुज के शीर्ष $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ होने पर क्षेत्रफल का सूत्र: $\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ है।
$1$. $\Delta ABD$ का क्षेत्रफल,जिसके शीर्ष $A(-5, 7)$,$B(-4, -5)$ और $D(4, 5)$ हैं:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |-5(-5 - 5) + (-4)(5 - 7) + 4(7 - (-5))|$
$= \frac{1}{2} |-5(-10) - 4(-2) + 4(12)|$
$= \frac{1}{2} |50 + 8 + 48| = \frac{106}{2} = 53$ वर्ग इकाई।
$2$. $\Delta BCD$ का क्षेत्रफल,जिसके शीर्ष $B(-4, -5)$,$C(-1, -6)$ और $D(4, 5)$ हैं:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |-4(-6 - 5) + (-1)(5 - (-5)) + 4(-5 - (-6))|$
$= \frac{1}{2} |-4(-11) - 1(10) + 4(1)|$
$= \frac{1}{2} |44 - 10 + 4| = \frac{38}{2} = 19$ वर्ग इकाई।
चतुर्भुज $ABCD$ का कुल क्षेत्रफल = $\text{Area}(\Delta ABD) + \text{Area}(\Delta BCD) = 53 + 19 = 72$ वर्ग इकाई।

(A) त्रिभुज का क्षेत्रफल,जिसके शीर्ष $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ हैं,का सूत्र है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
दिए गए शीर्ष $(x_1, y_1) = (2, 3), (x_2, y_2) = (-1, 0)$ और $(x_3, y_3) = (2, -4)$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |2(0 - (-4)) + (-1)(-4 - 3) + 2(3 - 0)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |2(4) + (-1)(-7) + 2(3)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |8 + 7 + 6|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |21| = 10.5$ वर्ग इकाई।

(B) $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$ और $C(x_3, y_3)$ शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र इस प्रकार है:
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
यहाँ दिए गए शीर्ष $A(3, 0), B(7, 0)$ और $C(8, 4)$ हैं।
अतः,$x_1 = 3, y_1 = 0, x_2 = 7, y_2 = 0, x_3 = 8, y_3 = 4$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |3(0 - 4) + 7(4 - 0) + 8(0 - 0)|$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |3(-4) + 7(4) + 8(0)|$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |-12 + 28 + 0|$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |16|$
$\text{क्षेत्रफल} = 8 \text{ वर्ग इकाई}$.
अतः,त्रिभुज का क्षेत्रफल $8$ है।

(B) माना समांतर चतुर्भुज का चौथा शीर्ष $D(x_4, y_4)$ है।
समांतर चतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,जिसका अर्थ है कि विकर्ण $AC$ का मध्य-बिंदु,विकर्ण $BD$ के मध्य-बिंदु के समान होता है।
$(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ बिंदुओं वाले रेखाखंड के लिए मध्य-बिंदु का सूत्र $\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$ है।
$AC$ का मध्य-बिंदु $= \left(\frac{-2+8}{2}, \frac{3+3}{2}\right) = \left(\frac{6}{2}, \frac{6}{2}\right) = (3,3)$.
$BD$ का मध्य-बिंदु $= \left(\frac{6+x_4}{2}, \frac{7+y_4}{2}\right)$.
चूंकि मध्य-बिंदु समान हैं:
$\frac{6+x_4}{2} = 3 \Rightarrow 6+x_4 = 6 \Rightarrow x_4 = 0$.
$\frac{7+y_4}{2} = 3 \Rightarrow 7+y_4 = 6 \Rightarrow y_4 = -1$.
अतः,चौथा शीर्ष $D$ $(0,-1)$ है।

(C) दिया गया है कि बिंदु $P(2,1)$,बिंदुओं $A(4,2)$ और $B(8,4)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड पर स्थित है।
सबसे पहले,हम दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करके $A(4,2)$ और $P(2,1)$ के बीच की दूरी ज्ञात करते हैं:
$AP = \sqrt{(2 - 4)^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$.
इसके बाद,हम $A(4,2)$ और $B(8,4)$ के बीच की दूरी ज्ञात करते हैं:
$AB = \sqrt{(8 - 4)^2 + (4 - 2)^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
अब,हम $AP$ और $AB$ की तुलना करते हैं:
$AB = 2\sqrt{5} = 2 \times (\sqrt{5}) = 2 AP$.
इसलिए,$AP = \frac{1}{2} AB$.
अतः,सही शर्त $AP = \frac{1}{2} AB$ है।

(A) $1$. रेखाखंड $AB$ का मध्य-बिंदु $P$ ज्ञात करें:
$P = \left( \frac{1+4}{2}, \frac{5+6}{2} \right) = \left( \frac{5}{2}, \frac{11}{2} \right)$
$2$. रेखाखंड $AB$ की ढाल $(m_{AB})$ ज्ञात करें:
$m_{AB} = \frac{6-5}{4-1} = \frac{1}{3}$
$3$. लंब समद्विभाजक की ढाल $(m_{\perp})$,$m_{AB}$ का ऋणात्मक व्युत्क्रम है:
$m_{\perp} = -\frac{1}{m_{AB}} = -3$
$4$. लंब समद्विभाजक का समीकरण ज्ञात करने के लिए बिंदु-ढाल रूप का उपयोग करें:
$y - y_1 = m_{\perp}(x - x_1)$
$y - \frac{11}{2} = -3(x - \frac{5}{2})$
$y - \frac{11}{2} = -3x + \frac{15}{2}$
$y = -3x + \frac{15}{2} + \frac{11}{2}$
$y = -3x + \frac{26}{2}$
$y = -3x + 13$
$5$. यह $y$-अक्ष को कहाँ काटता है,यह जानने के लिए $x = 0$ रखें:
$y = -3(0) + 13 = 13$
अतः,लंब समद्विभाजक $y$-अक्ष को $(0, 13)$ पर काटता है।

(B) माना कि बिंदु $P(h, k)$ तीनों शीर्षों $O(0, 0)$,$A(0, 2y)$ और $B(2x, 0)$ से समान दूरी पर स्थित है।
अतः,$PO = PA = PB$.
$\Rightarrow (PO)^2 = (PA)^2 = (PB)^2$ ..........$(i)$
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर:
$[\sqrt{(h-0)^2 + (k-0)^2}]^2 = [\sqrt{(h-0)^2 + (k-2y)^2}]^2 = [\sqrt{(h-2x)^2 + (k-0)^2}]^2$
$\Rightarrow h^2 + k^2 = h^2 + (k-2y)^2 = (h-2x)^2 + k^2$
पहले दो भागों को लेने पर:
$h^2 + k^2 = h^2 + (k-2y)^2$
$k^2 = k^2 + 4y^2 - 4yk$
$4y(y - k) = 0 \Rightarrow k = y$ (चूंकि $y \neq 0$).
पहले और तीसरे भाग को लेने पर:
$h^2 + k^2 = (h-2x)^2 + k^2$
$h^2 = h^2 + 4x^2 - 4xh$
$4x(x - h) = 0 \Rightarrow h = x$ (चूंकि $x \neq 0$).
अतः,अभीष्ट बिंदु $(h, k) = (x, y)$ है।

(A) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(x_1, y_1) = (a, b+c)$,$B(x_2, y_2) = (b, c+a)$ और $C(x_3, y_3) = (c, a+b)$ हैं।
त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र:
$\Delta = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
दिए गए निर्देशांकों को सूत्र में रखने पर:
$\Delta = \frac{1}{2} |a(c+a - (a+b)) + b(a+b - (b+c)) + c(b+c - (c+a))|$
कोष्ठक के अंदर के पदों को सरल करने पर:
$\Delta = \frac{1}{2} |a(c-b) + b(a-c) + c(b-a)|$
पदों का विस्तार करने पर:
$\Delta = \frac{1}{2} |ac - ab + ab - bc + bc - ac|$
सभी पद कट जाते हैं:
$\Delta = \frac{1}{2} |0| = 0$
अतः,त्रिभुज का क्षेत्रफल $0$ है।

(C) माना कि दिए गए बिंदु $A(x_1, y_1) = (1, 2)$,$O(x_2, y_2) = (0, 0)$ और $C(x_3, y_3) = (a, b)$ हैं।
चूंकि बिंदु संरेख हैं,इसलिए इन बिंदुओं द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होना चाहिए।
त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र $\Delta = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ है।
दिए गए निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$0 = \frac{1}{2} |1(0 - b) + 0(b - 2) + a(2 - 0)|$.
$0 = \frac{1}{2} |-b + 0 + 2a|$.
$0 = \frac{1}{2} |2a - b|$.
इसका अर्थ है कि $2a - b = 0$,या $2a = b$.
अतः,आवश्यक संबंध $2a = b$ है।

(A) यह कथन सत्य है।
एक चतुर्भुज समांतर चतुर्भुज होता है यदि उसके विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,जिसका अर्थ है कि उनका मध्य-बिंदु समान होता है।
$1$. विकर्ण $AC$ का मध्य-बिंदु:
मध्य-बिंदु $= (\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}) = (\frac{-1 + 2}{2}, \frac{0 + 2}{2}) = (\frac{1}{2}, 1)$.
$2$. विकर्ण $BD$ का मध्य-बिंदु:
मध्य-बिंदु $= (\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}) = (\frac{3 - 2}{2}, \frac{1 + 1}{2}) = (\frac{1}{2}, 1)$.
चूंकि दोनों विकर्णों $AC$ और $BD$ के मध्य-बिंदु समान $(\frac{1}{2}, 1)$ हैं,इसलिए विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। अतः,बिंदु $A, B, C$ और $D$ एक समांतर चतुर्भुज बनाते हैं।

(B) असत्य।
यह जाँचने के लिए कि बिंदु $A(4,5), B(7,6)$ और $C(6,3)$ संरेख हैं या नहीं,हम इन बिंदुओं द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके ज्ञात करते हैं:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
मान रखने पर:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |4(6 - 3) + 7(3 - 5) + 6(5 - 6)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |4(3) + 7(-2) + 6(-1)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |12 - 14 - 6|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |-8| = 4 \text{ वर्ग इकाई}$।
चूँकि त्रिभुज का क्षेत्रफल $0$ नहीं है,इसलिए बिंदु संरेख नहीं हैं।

(TRUE) सत्य।
विश्लेषणात्मक औचित्य:
$1$. बिंदुओं $A (-4, 6)$ और $B (-4, -6)$ का $x$-निर्देशांक समान है,जो $-4$ है। इसका अर्थ है कि रेखाखंड $AB$ एक ऊर्ध्वाधर रेखा है जिसे समीकरण $x = -4$ द्वारा दर्शाया जाता है।
$2$. बिंदु $P (-4, 2)$ का $x$-निर्देशांक भी $-4$ है,इसलिए यह रेखा $x = -4$ पर स्थित है।
$3$. $P$ के रेखाखंड $AB$ पर स्थित होने के लिए,इसका $y$-निर्देशांक $A$ और $B$ के $y$-निर्देशांकों के बीच होना चाहिए। $A$ और $B$ के $y$-निर्देशांक क्रमशः $6$ और $-6$ हैं।
$4$. चूंकि $-6 < 2 < 6$,इसलिए बिंदु $P$,रेखाखंड $AB$ पर $A$ और $B$ के बीच स्थित है।

(B) असत्य।
मान लीजिए बिंदु $A(0, 5)$,$B(0, -9)$ और $C(3, 6)$ हैं।
बिंदुओं के संरेख होने के लिए,उनके द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होना चाहिए।
$(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2})$ और $(x_{3}, y_{3})$ शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल इस प्रकार है:
$\Delta = \frac{1}{2} |x_{1}(y_{2} - y_{3}) + x_{2}(y_{3} - y_{1}) + x_{3}(y_{1} - y_{2})|$
मान $x_{1}=0, y_{1}=5, x_{2}=0, y_{2}=-9, x_{3}=3, y_{3}=6$ रखने पर:
$\Delta = \frac{1}{2} |0(-9 - 6) + 0(6 - 5) + 3(5 - (-9))|$
$\Delta = \frac{1}{2} |0 + 0 + 3(5 + 9)|$
$\Delta = \frac{1}{2} |3 \times 14| = \frac{42}{2} = 21$
चूंकि त्रिभुज का क्षेत्रफल $21 \neq 0$ है,इसलिए बिंदु संरेख नहीं हैं।

(A) सत्य।
माना निर्देशांक $A(x_1, y_1) = (3, 1)$,$B(x_2, y_2) = (12, -2)$ और $C(x_3, y_3) = (0, 2)$ हैं।
त्रिभुज के शीर्ष $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ होने पर उसका क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र इस प्रकार है:
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |3(-2 - 2) + 12(2 - 1) + 0(1 - (-2))|$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |3(-4) + 12(1) + 0(3)|$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |-12 + 12 + 0|$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |0| = 0$
चूंकि इन बिंदुओं द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $0$ है,इसलिए ये बिंदु संरेख (collinear) हैं (वे एक ही सीधी रेखा पर स्थित हैं)।
अतः,ये बिंदु त्रिभुज नहीं बना सकते हैं। इसलिए,दिया गया कथन सत्य है।

(TRUE) सत्य।
दिया गया है कि वृत्त का केंद्र मूलबिंदु $O(0,0)$ पर है और बिंदु $P(5,0)$ वृत्त पर स्थित है।
वृत्त की त्रिज्या $r$,केंद्र $O(0,0)$ और वृत्त पर स्थित बिंदु $P(5,0)$ के बीच की दूरी है।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करने पर:
$r = OP = \sqrt{(5 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{5^2 + 0^2} = \sqrt{25} = 5$.
अब,हम केंद्र $O(0,0)$ से बिंदु $Q(6,8)$ की दूरी ज्ञात करते हैं:
$OQ = \sqrt{(6 - 0)^2 + (8 - 0)^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.
हम जानते हैं कि यदि केंद्र से किसी बिंदु की दूरी त्रिज्या से अधिक है,तो वह बिंदु वृत्त के बाहर स्थित होता है।
चूंकि $OQ = 10$ और $r = 5$ है,इसलिए $OQ > r$ है।
अतः,बिंदु $Q(6,8)$ वृत्त के बाहर स्थित है। इसलिए,यह कथन सत्य है।

(A) सत्य।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करते हुए:
$1$. भुजाओं की लंबाई:
$AB = \sqrt{(4 - (-1))^2 + (3 - (-2))^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$
$BC = \sqrt{(2 - 4)^2 + (5 - 3)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
$CD = \sqrt{(-3 - 2)^2 + (0 - 5)^2} = \sqrt{(-5)^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$
$DA = \sqrt{(-1 - (-3))^2 + (-2 - 0)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
चूंकि सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं ($AB = CD$ और $BC = DA$),यह एक समांतर चतुर्भुज है।
$2$. विकर्णों की लंबाई:
$AC = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (5 - (-2))^2} = \sqrt{3^2 + 7^2} = \sqrt{9 + 49} = \sqrt{58}$
$BD = \sqrt{(-3 - 4)^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{(-7)^2 + (-3)^2} = \sqrt{49 + 9} = \sqrt{58}$
चूंकि विकर्ण बराबर हैं $(AC = BD)$,इसलिए यह समांतर चतुर्भुज एक आयत है।

(D) माना शीर्ष $B$ और $C$ के निर्देशांक क्रमशः $(a, b)$ और $(x, y)$ हैं।
भुजा $AB$ का मध्य-बिंदु $(2, -1)$ दिया गया है। अतः,$\left(\frac{1+a}{2}, \frac{-4+b}{2}\right) = (2, -1)$.
निर्देशांकों की तुलना करने पर,हमें $1+a = 4 \implies a = 3$ और $-4+b = -2 \implies b = 2$ प्राप्त होता है। अतः,$B = (3, 2)$.
भुजा $AC$ का मध्य-बिंदु $(0, -1)$ दिया गया है। अतः,$\left(\frac{1+x}{2}, \frac{-4+y}{2}\right) = (0, -1)$.
निर्देशांकों की तुलना करने पर,हमें $1+x = 0 \implies x = -1$ और $-4+y = -2 \implies y = 2$ प्राप्त होता है। अतः,$C = (-1, 2)$.
$\triangle ABC$ के शीर्ष $A(1, -4)$,$B(3, 2)$ और $C(-1, 2)$ हैं।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |1(2 - 2) + 3(2 - (-4)) + (-1)(-4 - 2)|$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |0 + 3(6) - 1(-6)| = \frac{1}{2} |18 + 6| = \frac{24}{2} = 12$ $sq. units$.

(B) त्रिभुज के शीर्ष $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ होने पर क्षेत्रफल का सूत्र:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
दिए गए शीर्ष $(x_1, y_1) = (-5, -1)$,$(x_2, y_2) = (3, -5)$ और $(x_3, y_3) = (5, 2)$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |(-5)(-5 - 2) + 3(2 - (-1)) + 5(-1 - (-5))|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |(-5)(-7) + 3(3) + 5(4)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |35 + 9 + 20|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |64| = 32$ वर्ग इकाई।

(B) बिंदुओं के संरेख होने के लिए,उनके द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $0$ होना चाहिए।
$(x_1, y_1), (x_2, y_2),$ और $(x_3, y_3)$ शीर्षों वाले त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 0$ है।
दिए गए बिंदुओं $(7, -2), (5, 1),$ और $(3, k)$ को सूत्र में रखने पर:
$\frac{1}{2} |7(1 - k) + 5(k - (-2)) + 3(-2 - 1)| = 0$
$\frac{1}{2} |7 - 7k + 5(k + 2) + 3(-3)| = 0$
$\frac{1}{2} |7 - 7k + 5k + 10 - 9| = 0$
$|8 - 2k| = 0$
$8 - 2k = 0$
$2k = 8$
$k = 4$

(C) यदि बिंदु संरेख हैं,तो उनके द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $0$ होता है।
$(x_1, y_1), (x_2, y_2),$ और $(x_3, y_3)$ शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 0$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिए गए बिंदुओं $(8,1), (k,-4),$ और $(2,-5)$ को सूत्र में रखने पर:
$\frac{1}{2} |8(-4 - (-5)) + k(-5 - 1) + 2(1 - (-4))| = 0$
$\frac{1}{2} |8(-4 + 5) + k(-6) + 2(1 + 4)| = 0$
$\frac{1}{2} |8(1) - 6k + 2(5)| = 0$
$|8 - 6k + 10| = 0$
$18 - 6k = 0$
$6k = 18$
$k = 3$

(1:4) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(0,-1), B(2,1), C(0,3)$ हैं।
माना $D, E, F$ क्रमशः भुजाओं $AB, AC, BC$ के मध्य-बिंदु हैं। मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करके $D, E$ और $F$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$D = \left(\frac{0+2}{2}, \frac{-1+1}{2}\right) = (1,0)$
$E = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{-1+3}{2}\right) = (0,1)$
$F = \left(\frac{2+0}{2}, \frac{1+3}{2}\right) = (1,2)$
$(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$\Delta DEF$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |1(1-2) + 0(2-0) + 1(0-1)| = \frac{1}{2} |-1 + 0 - 1| = \frac{1}{2} |-2| = 1$ वर्ग इकाई।
$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |0(1-3) + 2(3-(-1)) + 0(-1-1)| = \frac{1}{2} |0 + 2(4) + 0| = \frac{1}{2} |8| = 4$ वर्ग इकाई।
अतः,अभीष्ट अनुपात $1:4$ है।

(B) माना चतुर्भुज के शीर्ष $A(-4,-2), B(-3,-5), C(3,-2)$ और $D(2,3)$ हैं। दो त्रिभुज $\triangle ABC$ और $\triangle ACD$ बनाने के लिए $AC$ को मिलाइए।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_{1}(y_{2}-y_{3}) + x_{2}(y_{3}-y_{1}) + x_{3}(y_{1}-y_{2})|$
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |(-4){(-5)-(-2)} + (-3){(-2)-(-2)} + 3{(-2)-(-5)}|$
$= \frac{1}{2} |(-4)(-3) + (-3)(0) + 3(3)| = \frac{1}{2} |12 + 0 + 9| = \frac{21}{2} = 10.5$ वर्ग इकाई।
$\triangle ACD$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |(-4){(-2)-(3)} + 3{(3)-(-2)} + 2{(-2)-(-2)}|$
$= \frac{1}{2} |(-4)(-5) + 3(5) + 2(0)| = \frac{1}{2} |20 + 15 + 0| = \frac{35}{2} = 17.5$ वर्ग इकाई।
चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल $= \triangle ABC$ का क्षेत्रफल $+ \triangle ACD$ का क्षेत्रफल
$= 10.5 + 17.5 = 28$ वर्ग इकाई।

(C) माना त्रिभुज के शीर्ष $A (4, -6), B (3, -2)$ और $C (5, 2)$ हैं।
माना $D$,$\triangle ABC$ की भुजा $BC$ का मध्य-बिंदु है। अतः,$AD$,$\triangle ABC$ की माध्यिका है।
बिंदु $D$ के निर्देशांक $= \left(\frac{3+5}{2}, \frac{-2+2}{2}\right) = (4, 0)$ हैं।
$(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ द्वारा दिया जाता है।
$\triangle ABD$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |4(-2 - 0) + 3(0 - (-6)) + 4(-6 - (-2))|$
$= \frac{1}{2} |4(-2) + 3(6) + 4(-4)|$
$= \frac{1}{2} |-8 + 18 - 16| = \frac{1}{2} |-6| = 3$ वर्ग इकाई।
$\triangle ADC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |4(0 - 2) + 4(2 - (-6)) + 5(-6 - 0)|$
$= \frac{1}{2} |4(-2) + 4(8) + 5(-6)|$
$= \frac{1}{2} |-8 + 32 - 30| = \frac{1}{2} |-6| = 3$ वर्ग इकाई।
चूँकि $\triangle ABD$ का क्षेत्रफल $= \triangle ADC$ का क्षेत्रफल $= 3$ वर्ग इकाई है,अतः माध्यिका $AD$ ने $\triangle ABC$ को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित किया है।

(N/A) यदि दिए गए बिंदु संरेख हैं,तो इन बिंदुओं द्वारा बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $0$ होगा।
$(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ शीर्षों वाले त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
दिए गए बिंदुओं $(x, y), (1, 2)$ और $(7, 0)$ को सूत्र में रखने पर:
$0 = \frac{1}{2} |x(2 - 0) + 1(0 - y) + 7(y - 2)|$
$0 = \frac{1}{2} |2x - y + 7y - 14|$
$0 = \frac{1}{2} |2x + 6y - 14|$
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर:
$2x + 6y - 14 = 0$
पूरे समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर:
$x + 3y - 7 = 0$
अतः,$x$ और $y$ के बीच अभीष्ट संबंध $x + 3y - 7 = 0$ है।

(N/A) को मूलबिंदु $(0,0)$,$CB$ को $x$-अक्ष और $CD$ को $y$-अक्ष मानने पर:
$1$. शीर्षों के निर्देशांक मूलबिंदु $C$ से अक्षों पर इकाइयों की गणना करके निर्धारित किए जाते हैं।
$2$. शीर्षों $P, Q,$ और $R$ के निर्देशांक $P(12, 2), Q(13, 6),$ और $R(10, 3)$ हैं।
$3$. $(x_1, y_1), (x_2, y_2),$ और $(x_3, y_3)$ शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल इस प्रकार है:
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
$4$. मान रखने पर:
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |12(6 - 3) + 13(3 - 2) + 10(2 - 6)|$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |12(3) + 13(1) + 10(-4)|$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |36 + 13 - 40|$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |9| = 4.5 \text{ वर्ग इकाई}$.

(C) $P$ भुजा $AB$ का मध्य-बिंदु है। इसलिए,$P$ के निर्देशांक $\left(\frac{-1-1}{2}, \frac{-1+4}{2}\right) = \left(-1, \frac{3}{2}\right)$ हैं।
इसी प्रकार,$Q, R$ और $S$ के निर्देशांक क्रमशः $(2, 4)$,$\left(5, \frac{3}{2}\right)$ और $(2, -1)$ हैं।
$PQ$ की लंबाई $= \sqrt{(-1-2)^2 + \left(\frac{3}{2}-4\right)^2} = \sqrt{(-3)^2 + \left(-\frac{5}{2}\right)^2} = \sqrt{9 + \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{61}{4}}$.
$QR$ की लंबाई $= \sqrt{(2-5)^2 + \left(4-\frac{3}{2}\right)^2} = \sqrt{(-3)^2 + \left(\frac{5}{2}\right)^2} = \sqrt{9 + \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{61}{4}}$.
$RS$ की लंबाई $= \sqrt{(5-2)^2 + \left(\frac{3}{2}-(-1)\right)^2} = \sqrt{3^2 + \left(\frac{5}{2}\right)^2} = \sqrt{9 + \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{61}{4}}$.
$SP$ की लंबाई $= \sqrt{(2-(-1))^2 + \left(-1-\frac{3}{2}\right)^2} = \sqrt{3^2 + \left(-\frac{5}{2}\right)^2} = \sqrt{9 + \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{61}{4}}$.
विकर्ण $PR$ की लंबाई $= \sqrt{(-1-5)^2 + \left(\frac{3}{2}-\frac{3}{2}\right)^2} = \sqrt{(-6)^2 + 0^2} = 6$.
विकर्ण $QS$ की लंबाई $= \sqrt{(2-2)^2 + (4-(-1))^2} = \sqrt{0^2 + 5^2} = 5$.
चूंकि सभी भुजाएं समान हैं $(PQ = QR = RS = SP = \sqrt{\frac{61}{4}})$ और विकर्ण समान नहीं हैं $(PR \neq QS)$,इसलिए चतुर्भुज $PQRS$ एक समचतुर्भुज है।

(N/A) माना कि शीर्ष $D$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
हम जानते हैं कि समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
इसलिए,विकर्ण $AC$ का मध्य-बिंदु,विकर्ण $BD$ के मध्य-बिंदु के बराबर होता है।
$AC$ का मध्य-बिंदु $\left(\frac{x_{1}+x_{3}}{2}, \frac{y_{1}+y_{3}}{2}\right)$ है।
$BD$ का मध्य-बिंदु $\left(\frac{x_{2}+x}{2}, \frac{y_{2}+y}{2}\right)$ है।
निर्देशांकों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{x_{1}+x_{3}}{2} = \frac{x_{2}+x}{2} \implies x_{1}+x_{3} = x_{2}+x \implies x = x_{1}+x_{3}-x_{2}$.
$\frac{y_{1}+y_{3}}{2} = \frac{y_{2}+y}{2} \implies y_{1}+y_{3} = y_{2}+y \implies y = y_{1}+y_{3}-y_{2}$.
अतः,शीर्ष $D$ के निर्देशांक $(x_{1}+x_{3}-x_{2}, y_{1}+y_{3}-y_{2})$ हैं।

(B) चतुर्भुज का प्रकार निर्धारित करने के लिए,हम दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करके चारों भुजाओं और दोनों विकर्णों की लंबाई ज्ञात करते हैं।
भुजाएँ:
$AB = \sqrt{(7 - 2)^2 + (3 - (-2))^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$
$BC = \sqrt{(11 - 7)^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$
$CD = \sqrt{(6 - 11)^2 + (-6 - (-1))^2} = \sqrt{(-5)^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$
$DA = \sqrt{(2 - 6)^2 + (-2 - (-6))^2} = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$
विकर्ण:
$AC = \sqrt{(11 - 2)^2 + (-1 - (-2))^2} = \sqrt{9^2 + 1^2} = \sqrt{81 + 1} = \sqrt{82}$
$BD = \sqrt{(6 - 7)^2 + (-6 - 3)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-9)^2} = \sqrt{1 + 81} = \sqrt{82}$
यहाँ,सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं ($AB = CD$ और $BC = DA$) और विकर्ण भी बराबर हैं $(AC = BD)$,इसलिए यह चतुर्भुज एक आयत है।

(N/A) बिंदु $A(-5, -2)$ और $B(4, -2)$ हैं।
चूँकि दोनों बिंदुओं के $y$-निर्देशांक समान $(-2)$ हैं,इसलिए रेखाखंड $AB$ एक क्षैतिज रेखा है जो $x$-अक्ष के समांतर है।
एक क्षैतिज रेखा का लंब समद्विभाजक,रेखाखंड के मध्य-बिंदु से होकर गुजरने वाली एक ऊर्ध्वाधर रेखा होती है।
$AB$ का मध्य-बिंदु $R = \left(\frac{-5+4}{2}, \frac{-2-2}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}, -2\right)$ है।
लंब समद्विभाजक ऊर्ध्वाधर रेखा $x = -\frac{1}{2}$ है।
बिंदु $Q$,$x$-अक्ष पर स्थित है,इसलिए इसका $y$-निर्देशांक $0$ है। चूँकि यह लंब समद्विभाजक $x = -\frac{1}{2}$ पर स्थित है,इसलिए $Q$ के निर्देशांक $\left(-\frac{1}{2}, 0\right)$ हैं।
त्रिभुज $QAB$ को पहचानने के लिए,हम भुजाओं की लंबाई ज्ञात करते हैं:
$AB = \sqrt{(4 - (-5))^2 + (-2 - (-2))^2} = \sqrt{9^2 + 0^2} = 9$.
$QA = \sqrt{(-5 - (-0.5))^2 + (-2 - 0)^2} = \sqrt{(-4.5)^2 + (-2)^2} = \sqrt{20.25 + 4} = \sqrt{24.25}$.
$QB = \sqrt{(4 - (-0.5))^2 + (-2 - 0)^2} = \sqrt{(4.5)^2 + (-2)^2} = \sqrt{20.25 + 4} = \sqrt{24.25}$.
चूँकि $QA = QB$ है,इसलिए त्रिभुज $QAB$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

(A) माना बिंदु $A(5, 1)$,$B(-2, -3)$ और $C(8, 2m)$ हैं।
चूंकि बिंदु संरेख हैं,इसलिए उनके द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $0$ होगा।
त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र: $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 0$.
दिए गए निर्देशांकों को रखने पर:
$\frac{1}{2} |5(-3 - 2m) + (-2)(2m - 1) + 8(1 - (-3))| = 0$
$5(-3 - 2m) - 2(2m - 1) + 8(4) = 0$
$-15 - 10m - 4m + 2 + 32 = 0$
$-14m + 19 = 0$
$14m = 19$
$m = \frac{19}{14}$

(C) दिए गए त्रिभुज के शीर्ष $(x_1, y_1) = (-8, 4)$,$(x_2, y_2) = (-6, 6)$ और $(x_3, y_3) = (-3, 9)$ हैं।
त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
सूत्र में मान रखने पर:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |-8(6 - 9) + (-6)(9 - 4) + (-3)(4 - 6)|$
$= \frac{1}{2} |-8(-3) - 6(5) - 3(-2)|$
$= \frac{1}{2} |24 - 30 + 6|$
$= \frac{1}{2} |30 - 30| = \frac{1}{2}(0) = 0$
अतः त्रिभुज का क्षेत्रफल $0$ है,जिसका अर्थ है कि ये बिंदु संरेख (collinear) हैं।

(D) चूंकि $(a, b)$ रेखाखंड $AB$ का मध्य-बिंदु है,हम मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करते हैं:
$(a, b) = \left(\frac{10 + k}{2}, \frac{-6 + 4}{2}\right)$
$(a, b) = \left(\frac{10 + k}{2}, -1\right)$
निर्देशांकों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a = \frac{10 + k}{2}$ ... $(i)$
$b = -1$ ... $(ii)$
दिए गए समीकरण $a - 2b = 18$ में $b = -1$ रखने पर:
$a - 2(-1) = 18$
$a + 2 = 18 \Rightarrow a = 16$
अब,$a = 16$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$16 = \frac{10 + k}{2}$
$32 = 10 + k \Rightarrow k = 22$
अतः,$B$ के निर्देशांक $(22, 4)$ हैं।
अब,दूरी सूत्र का उपयोग करके दूरी $AB$ की गणना करें:
$AB = \sqrt{(22 - 10)^2 + (4 - (-6))^2}$
$AB = \sqrt{(12)^2 + (10)^2}$
$AB = \sqrt{144 + 100} = \sqrt{244}$
$AB = 2\sqrt{61}$ इकाई।

(A-D) दिया गया है कि वृत्त का केंद्र $C(2a, a-7)$ है और यह बिंदु $P(11, -9)$ से होकर गुजरता है।
केंद्र $C$ और वृत्त पर स्थित बिंदु $P$ के बीच की दूरी त्रिज्या $r$ के बराबर होती है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर,$r = \sqrt{(11 - 2a)^2 + (-9 - (a - 7))^2} = \sqrt{(11 - 2a)^2 + (-2 - a)^2}$.
वृत्त का व्यास $10\sqrt{2}$ इकाई है,इसलिए त्रिज्या $r = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$ इकाई होगी।
त्रिज्या के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$5\sqrt{2} = \sqrt{(11 - 2a)^2 + (-2 - a)^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(5\sqrt{2})^2 = (11 - 2a)^2 + (-2 - a)^2$
$50 = (121 - 44a + 4a^2) + (4 + 4a + a^2)$
$50 = 5a^2 - 40a + 125$
$5a^2 - 40a + 75 = 0$.
$5$ से भाग देने पर:
$a^2 - 8a + 15 = 0$
$a^2 - 5a - 3a + 15 = 0$
$a(a - 5) - 3(a - 5) = 0$
$(a - 5)(a - 3) = 0$.
अतः,$a$ के मान $a = 5$ या $a = 3$ हैं।

(B) माना $A=(x_1, y_1)$,$B=(x_2, y_2)$ और $C=(x_3, y_3)$ त्रिभुज $\triangle ABC$ के शीर्ष हैं।
दिया गया है कि $D\left(-\frac{1}{2}, \frac{5}{2}\right)$,$E(7, 3)$ और $F\left(\frac{7}{2}, \frac{7}{2}\right)$ क्रमशः भुजाओं $BC$,$CA$ और $AB$ के मध्य-बिंदु हैं।
मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करने पर:
$BC$ के लिए: $\frac{x_2+x_3}{2} = -\frac{1}{2} \Rightarrow x_2+x_3 = -1$ $(i)$ और $\frac{y_2+y_3}{2} = \frac{5}{2} \Rightarrow y_2+y_3 = 5$ $(ii)$.
$CA$ के लिए: $\frac{x_3+x_1}{2} = 7 \Rightarrow x_3+x_1 = 14$ $(iii)$ और $\frac{y_3+y_1}{2} = 3 \Rightarrow y_3+y_1 = 6$ $(iv)$.
$AB$ के लिए: $\frac{x_1+x_2}{2} = \frac{7}{2} \Rightarrow x_1+x_2 = 7$ $(v)$ और $\frac{y_1+y_2}{2} = \frac{7}{2} \Rightarrow y_1+y_2 = 7$ $(vi)$.
$(i), (iii), (v)$ को जोड़ने पर: $2(x_1+x_2+x_3) = 20 \Rightarrow x_1+x_2+x_3 = 10$ $(vii)$.
$(vii)$ में से $(i), (iii), (v)$ को घटाने पर $x_1=11, x_2=-4, x_3=3$ प्राप्त होता है।
$(ii), (iv), (vi)$ को जोड़ने पर: $2(y_1+y_2+y_3) = 18 \Rightarrow y_1+y_2+y_3 = 9$ $(viii)$.
$(viii)$ में से $(ii), (iv), (vi)$ को घटाने पर $y_1=4, y_2=3, y_3=2$ प्राप्त होता है।
शीर्ष $A(11, 4), B(-4, 3), C(3, 2)$ हैं।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|$
$= \frac{1}{2} |11(3-2) + (-4)(2-4) + 3(4-3)| = \frac{1}{2} |11(1) + (-4)(-2) + 3(1)| = \frac{1}{2} |11+8+3| = \frac{22}{2} = 11$ वर्ग इकाई।

(A) दिया गया है कि बिंदु $A(2, 9)$,$B(a, 5)$ और $C(5, 5)$ एक $\triangle ABC$ के शीर्ष हैं जो $B$ पर समकोण है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AC^2 = AB^2 + BC^2$ $(i)$.
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करते हुए:
$AB = \sqrt{(a - 2)^2 + (5 - 9)^2} = \sqrt{a^2 - 4a + 4 + 16} = \sqrt{a^2 - 4a + 20}$.
$BC = \sqrt{(5 - a)^2 + (5 - 5)^2} = \sqrt{(5 - a)^2} = |5 - a|$.
$AC = \sqrt{(5 - 2)^2 + (5 - 9)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$.
इन मानों को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$5^2 = (\sqrt{a^2 - 4a + 20})^2 + (5 - a)^2$.
$25 = a^2 - 4a + 20 + 25 - 10a + a^2$.
$2a^2 - 14a + 20 = 0$.
$a^2 - 7a + 10 = 0$.
$(a - 2)(a - 5) = 0$.
अतः,$a = 2$ या $a = 5$.
यदि $a = 5$ है,तो $B$ और $C$ बिंदु संपाती हो जाएंगे,जो त्रिभुज के लिए संभव नहीं है। इसलिए,$a = 2$.
$a = 2$ के साथ,शीर्ष $A(2, 9)$,$B(2, 5)$ और $C(5, 5)$ हैं।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times BC \times AB$.
$BC = |5 - 2| = 3$ इकाई।
$AB = |9 - 5| = 4$ इकाई।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$ वर्ग इकाई।

(A) हम जानते हैं कि यदि तीन बिंदु संरेख हैं,तो उन बिंदुओं द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होता है।
चूंकि बिंदु $A(k+1, 2k)$,$B(3k, 2k+3)$ और $C(5k-1, 5k)$ संरेख हैं,इसलिए $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= 0$ होगा।
त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र: $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 0$.
यहाँ,$x_1 = k+1, x_2 = 3k, x_3 = 5k-1$ और $y_1 = 2k, y_2 = 2k+3, y_3 = 5k$ है।
मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2} [(k+1)(2k+3 - 5k) + 3k(5k - 2k) + (5k-1)(2k - (2k+3))] = 0$
$\frac{1}{2} [(k+1)(-3k+3) + 3k(3k) + (5k-1)(-3)] = 0$
$(-3k^2 + 3k - 3k + 3) + 9k^2 - 15k + 3 = 0$
$6k^2 - 15k + 6 = 0$
$3$ से भाग देने पर,$2k^2 - 5k + 2 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $2k^2 - 4k - k + 2 = 0 \Rightarrow 2k(k-2) - 1(k-2) = 0$.
$(k-2)(2k-1) = 0$.
अतः,$k = 2$ या $k = \frac{1}{2}$।

(N/A) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2),$ और $C(x_3, y_3)$ हैं। मध्य-बिंदु $AB$ पर $D(3, 4),$ $BC$ पर $E(8, 9)$ और $AC$ पर $F(6, 7)$ दिए गए हैं।
मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करते हुए:
$1) \frac{x_1 + x_2}{2} = 3, \frac{y_1 + y_2}{2} = 4 \implies x_1 + x_2 = 6, y_1 + y_2 = 8$
$2) \frac{x_2 + x_3}{2} = 8, \frac{y_2 + y_3}{2} = 9 \implies x_2 + x_3 = 16, y_2 + y_3 = 18$
$3) \frac{x_1 + x_3}{2} = 6, \frac{y_1 + y_3}{2} = 7 \implies x_1 + x_3 = 12, y_1 + y_3 = 14$
इन समीकरणों को जोड़ने पर:
$(x_1 + x_2) + (x_2 + x_3) + (x_1 + x_3) = 6 + 16 + 12 = 34 \implies 2(x_1 + x_2 + x_3) = 34 \implies x_1 + x_2 + x_3 = 17$
$(y_1 + y_2) + (y_2 + y_3) + (y_1 + y_3) = 8 + 18 + 14 = 40 \implies 2(y_1 + y_2 + y_3) = 40 \implies y_1 + y_2 + y_3 = 20$
प्रत्येक निर्देशांक के लिए हल करने पर:
$x_1 = (x_1 + x_2 + x_3) - (x_2 + x_3) = 17 - 16 = 1$
$x_2 = (x_1 + x_2 + x_3) - (x_1 + x_3) = 17 - 12 = 5$
$x_3 = (x_1 + x_2 + x_3) - (x_1 + x_2) = 17 - 6 = 11$
$y_1 = (y_1 + y_2 + y_3) - (y_2 + y_3) = 20 - 18 = 2$
$y_2 = (y_1 + y_2 + y_3) - (y_1 + y_3) = 20 - 14 = 6$
$y_3 = (y_1 + y_2 + y_3) - (y_1 + y_2) = 20 - 8 = 12$
अतः,त्रिभुज के शीर्ष $A(1, 2), B(5, 6),$ और $C(11, 12)$ हैं।

(D) मान लीजिए समबाहु त्रिभुज के शीर्ष $A(-4,3)$,$B(4,3)$ और $C(x,y)$ हैं।
चूंकि त्रिभुज समबाहु है,$AB = BC = CA$,जिसका अर्थ है $AB^2 = BC^2 = CA^2$।
सबसे पहले,$AB^2 = (4 - (-4))^2 + (3 - 3)^2 = 8^2 + 0^2 = 64$ की गणना करें।
$BC^2 = CA^2$ के लिए,$(x-4)^2 + (y-3)^2 = (x+4)^2 + (y-3)^2$।
इसे सरल करने पर $(x-4)^2 = (x+4)^2$ प्राप्त होता है,जो $x^2 - 8x + 16 = x^2 + 8x + 16$ देता है,इसलिए $16x = 0$,अर्थात $x = 0$।
अब,$x=0$ रखकर $AB^2 = BC^2$ का उपयोग करें: $64 = (0-4)^2 + (y-3)^2$।
$64 = 16 + (y-3)^2$,इसलिए $(y-3)^2 = 48$।
$y-3 = \pm \sqrt{48} = \pm 4\sqrt{3}$।
अतः,$y = 3 \pm 4\sqrt{3}$।
दो संभावित शीर्ष $C_1(0, 3+4\sqrt{3})$ और $C_2(0, 3-4\sqrt{3})$ हैं।
मूल बिंदु $(0,0)$ त्रिभुज के आंतरिक भाग में स्थित है। $(-4,3)$,$(4,3)$ और $(0, y)$ शीर्षों वाले त्रिभुज के लिए,मूल बिंदु के अंदर होने के लिए तीसरे शीर्ष का $y$-निर्देशांक $3$ से कम होना चाहिए। चूंकि $3+4\sqrt{3} > 3$ और $3-4\sqrt{3} < 3$,इसलिए सही शीर्ष $(0, 3-4\sqrt{3})$ है।

(A) दिया गया है कि $A(6,1), B(8,2)$ और $C(9,4)$ एक समांतर चतुर्भुज $ABCD$ के तीन शीर्ष हैं।
माना चौथा शीर्ष $D(x, y)$ है।
चूंकि समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,इसलिए $BD$ का मध्य-बिंदु $AC$ के मध्य-बिंदु के समान होगा।
$AC$ का मध्य-बिंदु $= \left(\frac{6+9}{2}, \frac{1+4}{2}\right) = \left(\frac{15}{2}, \frac{5}{2}\right)$.
$BD$ का मध्य-बिंदु $= \left(\frac{8+x}{2}, \frac{2+y}{2}\right)$.
निर्देशांकों की तुलना करने पर: $\frac{8+x}{2} = \frac{15}{2} \Rightarrow x = 7$ और $\frac{2+y}{2} = \frac{5}{2} \Rightarrow y = 3$.
अतः,चौथा शीर्ष $D(7,3)$ है।
$E, DC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $E = \left(\frac{7+9}{2}, \frac{3+4}{2}\right) = \left(8, \frac{7}{2}\right)$.
$A(6,1), D(7,3)$ और $E(8, 3.5)$ शीर्षों वाले $\triangle ADE$ का क्षेत्रफल:
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |6(3 - 3.5) + 7(3.5 - 1) + 8(1 - 3)|$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |6(-0.5) + 7(2.5) + 8(-2)|$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |-3 + 17.5 - 16|$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |-1.5| = 0.75 = \frac{3}{4} \text{ वर्ग इकाई।}$

(N/A) दिया गया है कि बिंदु $A(x_{1}, y_{1})$,$B(x_{2}, y_{2})$ और $C(x_{3}, y_{3})$ एक $\triangle ABC$ के शीर्ष हैं।
$(i)$ हम जानते हैं कि माध्यिका रेखाखंड को दो बराबर भागों में विभाजित करती है,अर्थात $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है।
$\therefore BC$ के मध्य-बिंदु के निर्देशांक $= \left(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}, \frac{y_{2}+y_{3}}{2}\right)$.
$\Rightarrow D = \left(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}, \frac{y_{2}+y_{3}}{2}\right)$.
$(ii)$ मान लीजिए बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
दिया गया है कि बिंदु $P(x, y)$,$A(x_{1}, y_{1})$ और $D\left(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}, \frac{y_{2}+y_{3}}{2}\right)$ को जोड़ने वाली रेखा को $2 : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र $\left(\frac{m_{1}x_{2}+m_{2}x_{1}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{m_{1}y_{2}+m_{2}y_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right)$ का उपयोग करते हुए:
$P = \left[\frac{2\left(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}\right) + 1(x_{1})}{2+1}, \frac{2\left(\frac{y_{2}+y_{3}}{2}\right) + 1(y_{1})}{2+1}\right] = \left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)$.
$(iii)$ इसी प्रकार,माध्यिका $BE$ के लिए,$E$,$AC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $E = \left(\frac{x_{1}+x_{3}}{2}, \frac{y_{1}+y_{3}}{2}\right)$.
बिंदु $Q$,$BE$ को $2 : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए:
$Q = \left[\frac{2\left(\frac{x_{1}+x_{3}}{2}\right) + 1(x_{2})}{2+1}, \frac{2\left(\frac{y_{1}+y_{3}}{2}\right) + 1(y_{2})}{2+1}\right] = \left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)$.
माध्यिका $CF$ के लिए,$F$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $F = \left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)$.
बिंदु $R$,$CF$ को $2 : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए:
$R = \left[\frac{2\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right) + 1(x_{3})}{2+1}, \frac{2\left(\frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right) + 1(y_{3})}{2+1}\right] = \left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)$.
$(iv)$ त्रिभुज का केंद्रक वह बिंदु है जहाँ सभी माध्यिकाएँ प्रतिच्छेद करती हैं। चूँकि $P, Q,$ और $R$ सभी एक ही बिंदु हैं,इसलिए केंद्रक के निर्देशांक $\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)$ हैं।

(A) समांतर चतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,जिसका अर्थ है कि $AC$ का मध्य-बिंदु $BD$ के मध्य-बिंदु के बराबर है।
$\Rightarrow \left(\frac{1+a}{2}, \frac{-2+2}{2}\right) = \left(\frac{2-4}{2}, \frac{3-3}{2}\right)$
$\Rightarrow \frac{1+a}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
$1+a = -2 \Rightarrow a = -3$
अतः,$a$ का मान $-3$ है।
$AB$ को आधार मानते हुए,मान लीजिए $DP$ ऊँचाई है जहाँ $P$,$D$ से $AB$ पर डाला गया लंब है।
$(1, -2)$ और $(2, 3)$ से गुजरने वाली रेखा $AB$ का समीकरण:
$(y - (-2)) = \frac{3 - (-2)}{2 - 1}(x - 1)$
$y + 2 = 5(x - 1) \Rightarrow 5x - y = 7$ ... $(i)$
$AB$ की ढाल $m_1 = 5$ है। चूँकि $DP \perp AB$,इसलिए $DP$ की ढाल $m_2 = -1/5$ होगी।
$D(-4, -3)$ से गुजरने वाली और $-1/5$ ढाल वाली रेखा $DP$ का समीकरण:
$(y + 3) = -\frac{1}{5}(x + 4)$
$5y + 15 = -x - 4 \Rightarrow x + 5y = -19$ ... $(ii)$
प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ के लिए $(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर:
$x + 5(5x - 7) = -19 \Rightarrow 26x = 16 \Rightarrow x = 8/13$
$y = 5(8/13) - 7 = -51/13$
$P = (8/13, -51/13)$। ऊँचाई $DP$,$D(-4, -3)$ और $P(8/13, -51/13)$ के बीच की दूरी है:
$DP = \sqrt{(\frac{8}{13} + 4)^2 + (-\frac{51}{13} + 3)^2} = \sqrt{(\frac{60}{13})^2 + (-\frac{12}{13})^2} = \frac{1}{13}\sqrt{3600 + 144} = \frac{\sqrt{3744}}{13} = \frac{12\sqrt{26}}{13}$ इकाई।

(D) हाँ,आकृति से हम देख सकते हैं कि चार विद्यार्थियों $A, B, C$ और $D$ की स्थितियाँ क्रमशः $(3, 5), (7, 9), (11, 5)$ और $(7, 1)$ हैं। ये एक चतुर्भुज के चार शीर्ष हैं।
सबसे पहले,हम दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करके भुजाओं की लंबाई ज्ञात करते हैं:
$AB = \sqrt{(7 - 3)^2 + (9 - 5)^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$
$BC = \sqrt{(11 - 7)^2 + (5 - 9)^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$
$CD = \sqrt{(7 - 11)^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$
$DA = \sqrt{(3 - 7)^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$
चूँकि सभी भुजाएँ बराबर हैं,यह एक समचतुर्भुज है।
अब,हम विकर्णों की लंबाई ज्ञात करते हैं:
$AC = \sqrt{(11 - 3)^2 + (5 - 5)^2} = \sqrt{8^2 + 0^2} = 8$
$BD = \sqrt{(7 - 7)^2 + (1 - 9)^2} = \sqrt{0^2 + (-8)^2} = 8$
चूँकि विकर्ण भी बराबर हैं $(AC = BD)$,इसलिए चतुर्भुज $ABCD$ एक वर्ग है।
एक वर्ग में,चारों शीर्षों से समान दूरी पर स्थित बिंदु विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु होता है,जो किसी भी विकर्ण का मध्य-बिंदु होता है।
$AC$ के लिए मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करते हुए:
$P = \left(\frac{3 + 11}{2}, \frac{5 + 5}{2}\right) = \left(\frac{14}{2}, \frac{10}{2}\right) = (7, 5)$
अतः,जस्पाल की स्थिति $(7, 5)$ होनी चाहिए।

(A) माना कि शीर्ष $A(-2,-3), B(6,3), C(3,7)$ और $D(-5,1)$ हैं।
सबसे पहले,दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ का उपयोग करके भुजाओं की लंबाई ज्ञात करते हैं:
$AB^2 = (-2-6)^2 + (-3-3)^2 = (-8)^2 + (-6)^2 = 64 + 36 = 100 \implies AB = 10$
$BC^2 = (6-3)^2 + (3-7)^2 = (3)^2 + (-4)^2 = 9 + 16 = 25 \implies BC = 5$
$CD^2 = (3 - (-5))^2 + (7-1)^2 = (8)^2 + (6)^2 = 64 + 36 = 100 \implies CD = 10$
$DA^2 = (-5 - (-2))^2 + (1 - (-3))^2 = (-3)^2 + (4)^2 = 9 + 16 = 25 \implies DA = 5$
चूंकि सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं ($AB=CD=10$ और $BC=DA=5$),यह चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है।
अब,विकर्ण $AC$ की जाँच करते हैं:
$AC^2 = (-2-3)^2 + (-3-7)^2 = (-5)^2 + (-10)^2 = 25 + 100 = 125$
$\triangle ABC$ में,$AB^2 + BC^2 = 100 + 25 = 125 = AC^2$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के विलोम से,$\angle B = 90^\circ$ है।
चूंकि समांतर चतुर्भुज का एक कोण समकोण है,इसलिए यह एक आयत है।

(D) तीन बिंदु $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ संरेख होते हैं यदि पहले दो बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड की ढाल अंतिम दो बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड की ढाल के बराबर हो।
$(-8, -4)$ और $(-2, 4)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड की ढाल $m_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{4 - (-4)}{-2 - (-8)} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$ है।
$(-2, 4)$ और $(5, a)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड की ढाल $m_2 = \frac{a - 4}{5 - (-2)} = \frac{a - 4}{7}$ है।
चूंकि बिंदु संरेख हैं,इसलिए $m_1 = m_2$।
अतः,$\frac{4}{3} = \frac{a - 4}{7}$।
दोनों पक्षों को $21$ से गुणा करने पर,$4 \times 7 = 3(a - 4)$।
$28 = 3a - 12$।
$3a = 28 + 12 = 40$।
$a = \frac{40}{3}$।

(D) दिया गया है कि $\angle A = 90^{\circ}$,अतः भुजाएँ $AB$ और $AC$ एक-दूसरे पर लंब हैं।
इसलिए,उनकी प्रवणताओं (slopes) का गुणनफल $-1$ होना चाहिए,अर्थात $m_{AB} \times m_{AC} = -1$.
$(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ से गुजरने वाली रेखा की प्रवणता $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ द्वारा दी जाती है।
$AB$ की प्रवणता $(m_{AB})$ = $\frac{4 - 7}{2 - 1} = \frac{-3}{1} = -3$.
$AC$ की प्रवणता $(m_{AC})$ = $\frac{5 - 7}{k - 1} = \frac{-2}{k - 1}$.
चूंकि $m_{AB} \times m_{AC} = -1$,इसलिए $(-3) \times \left( \frac{-2}{k - 1} \right) = -1$.
$\frac{6}{k - 1} = -1$.
$6 = -(k - 1)$.
$6 = -k + 1$.
$k = 1 - 6 = -5$.

(A) माना $A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$,और $C(x_3, y_3)$ $\Delta ABC$ के शीर्ष हैं। दिया गया है कि $P(0, 1/2)$,$Q(1/2, 1/2)$,और $R(1/2, 0)$ क्रमशः भुजाओं $\overline{AB}$,$\overline{BC}$,और $\overline{CA}$ के मध्य-बिंदु हैं।
$x$-निर्देशांक के लिए:
$(x_1 + x_2)/2 = 0 \implies x_1 + x_2 = 0$ $(i)$
$(x_2 + x_3)/2 = 1/2 \implies x_2 + x_3 = 1$ (ii)
$(x_3 + x_1)/2 = 1/2 \implies x_3 + x_1 = 1$ (iii)
$(i)$,(ii),और (iii) को जोड़ने पर: $2(x_1 + x_2 + x_3) = 2 \implies x_1 + x_2 + x_3 = 1$.
योग में से (ii) घटाने पर: $x_1 = 1 - 1 = 0$.
योग में से (iii) घटाने पर: $x_2 = 1 - 1 = 0$.
योग में से $(i)$ घटाने पर: $x_3 = 1 - 0 = 1$.
$y$-निर्देशांक के लिए:
$(y_1 + y_2)/2 = 1/2 \implies y_1 + y_2 = 1$ (iv)
$(y_2 + y_3)/2 = 1/2 \implies y_2 + y_3 = 1$ $(v)$
$(y_3 + y_1)/2 = 0 \implies y_3 + y_1 = 0$ (vi)
(iv),$(v)$,और (vi) को जोड़ने पर: $2(y_1 + y_2 + y_3) = 2 \implies y_1 + y_2 + y_3 = 1$.
योग में से $(v)$ घटाने पर: $y_1 = 1 - 1 = 0$.
योग में से (vi) घटाने पर: $y_2 = 1 - 0 = 1$.
योग में से (iv) घटाने पर: $y_3 = 1 - 1 = 0$.
अतः,शीर्ष $A(0, 0)$,$B(0, 1)$,और $C(1, 0)$ हैं।