Trigonometric Identities Questions in Gujarati

(N/A) ડા.બા. $= \frac{\cos ^{2}\left(45^{\circ}+\theta\right)+\cos ^{2}\left(45^{\circ}-\theta\right)}{\tan \left(60^{\circ}+\theta\right) \cdot \tan \left(30^{\circ}-\theta\right)}$
નિત્યસમ $\cos \theta = \sin(90^{\circ}-\theta)$ અને $\tan \theta = \cot(90^{\circ}-\theta)$ નો ઉપયોગ કરતા:
અંશ: $\cos ^{2}\left(45^{\circ}+\theta\right) + \sin ^{2}\left(90^{\circ}-(45^{\circ}-\theta)\right) = \cos ^{2}\left(45^{\circ}+\theta\right) + \sin ^{2}\left(45^{\circ}+\theta\right) = 1$
છેદ: $\tan \left(60^{\circ}+\theta\right) \cdot \cot \left(90^{\circ}-(30^{\circ}-\theta)\right) = \tan \left(60^{\circ}+\theta\right) \cdot \cot \left(60^{\circ}+\theta\right) = \tan \left(60^{\circ}+\theta\right) \cdot \frac{1}{\tan \left(60^{\circ}+\theta\right)} = 1$
તેથી,$\frac{1}{1} = 1 = \text{જ.બા.}$

(N/A) ડા.બા. ($L$.$H$.$S$.) $= \tan ^{4} \theta + \tan ^{2} \theta$
$= \tan ^{2} \theta (\tan ^{2} \theta + 1)$
$= \tan ^{2} \theta \cdot \sec ^{2} \theta$ (કારણ કે $\sec ^{2} \theta = \tan ^{2} \theta + 1$)
$= (\sec ^{2} \theta - 1) \cdot \sec ^{2} \theta$ (કારણ કે $\tan ^{2} \theta = \sec ^{2} \theta - 1$)
$= \sec ^{4} \theta - \sec ^{2} \theta = \text{જ.બા. (R.H.S.)}$

(N/A) આપેલ છે,$\operatorname{cosec} \theta + \cot \theta = p$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta}$ અને $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે $\frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta} = p$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે $\frac{(1 + \cos \theta)^{2}}{\sin^{2} \theta} = p^{2}$.
નિત્યસમ $\sin^{2} \theta = 1 - \cos^{2} \theta = (1 - \cos \theta)(1 + \cos \theta)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{(1 + \cos \theta)^{2}}{(1 - \cos \theta)(1 + \cos \theta)} = p^{2} \Rightarrow \frac{1 + \cos \theta}{1 - \cos \theta} = p^{2}$.
યોગ-વિયોગની રીત (componendo and dividendo) લાગુ પાડતા:
$\frac{p^{2} - 1}{p^{2} + 1} = \frac{(1 + \cos \theta) - (1 - \cos \theta)}{(1 + \cos \theta) + (1 - \cos \theta)}$.
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{p^{2} - 1}{p^{2} + 1} = \frac{1 + \cos \theta - 1 + \cos \theta}{1 + \cos \theta + 1 - \cos \theta} = \frac{2 \cos \theta}{2} = \cos \theta$.
આમ,$\cos \theta = \frac{p^{2} - 1}{p^{2} + 1}$. આમ સાબિત થાય છે.

(A) $L.H.S. = \sqrt{\sec ^{2} \theta+\operatorname{cosec}^{2} \theta}$
$= \sqrt{\frac{1}{\cos ^{2} \theta}+\frac{1}{\sin ^{2} \theta}}$ $\left[\because \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} \text{ અને } \operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta}\right]$
$= \sqrt{\frac{\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta}{\sin ^{2} \theta \cdot \cos ^{2} \theta}} = \sqrt{\frac{1}{\sin ^{2} \theta \cdot \cos ^{2} \theta}}$ $\left[\because \sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta = 1\right]$
$= \frac{1}{\sin \theta \cdot \cos \theta} = \frac{\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta}{\sin \theta \cdot \cos \theta}$ $\left[\because 1 = \sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta\right]$
$= \frac{\sin ^{2} \theta}{\sin \theta \cdot \cos \theta} + \frac{\cos ^{2} \theta}{\sin \theta \cdot \cos \theta}$
$= \frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ $\left[\because \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \text{ અને } \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}\right]$
$= \tan \theta + \cot \theta = R.H.S.$

(A) આપેલ સમીકરણ: $1+\sin ^{2} \theta=3 \sin \theta \cos \theta$
બંને બાજુ $\cos^{2} \theta$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{\cos^{2} \theta} + \frac{\sin^{2} \theta}{\cos^{2} \theta} = \frac{3 \sin \theta \cos \theta}{\cos^{2} \theta}$
નિત્યસમ $\sec^{2} \theta = \frac{1}{\cos^{2} \theta}$,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$,અને $\sec^{2} \theta = 1 + \tan^{2} \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(1 + \tan^{2} \theta) + \tan^{2} \theta = 3 \tan \theta$
પદોને ગોઠવીને દ્વિઘાત સમીકરણ બનાવતા:
$2 \tan^{2} \theta - 3 \tan \theta + 1 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$2 \tan^{2} \theta - 2 \tan \theta - \tan \theta + 1 = 0$
$2 \tan \theta (\tan \theta - 1) - 1 (\tan \theta - 1) = 0$
$(2 \tan \theta - 1) (\tan \theta - 1) = 0$
તેથી,$\tan \theta - 1 = 0$ અથવા $2 \tan \theta - 1 = 0$
$\tan \theta = 1$ અથવા $\tan \theta = \frac{1}{2}$.
આમ,સાબિત થાય છે.

(N/A) આપેલ છે,$\sin \theta + 2 \cos \theta = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે:
$(\sin \theta + 2 \cos \theta)^2 = 1^2$
$\sin^2 \theta + 4 \cos^2 \theta + 4 \sin \theta \cos \theta = 1$
નિત્યસમ $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ અને $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(1 - \cos^2 \theta) + 4(1 - \sin^2 \theta) + 4 \sin \theta \cos \theta = 1$
$1 - \cos^2 \theta + 4 - 4 \sin^2 \theta + 4 \sin \theta \cos \theta = 1$
$5 - (\cos^2 \theta + 4 \sin^2 \theta - 4 \sin \theta \cos \theta) = 1$
પદોને ગોઠવતા:
$4 \sin^2 \theta + \cos^2 \theta - 4 \sin \theta \cos \theta = 5 - 1$
$4 \sin^2 \theta + \cos^2 \theta - 4 \sin \theta \cos \theta = 4$
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$ ને ઓળખતા,જ્યાં $a = 2 \sin \theta$ અને $b = \cos \theta$ છે:
$(2 \sin \theta - \cos \theta)^2 = 4$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$2 \sin \theta - \cos \theta = 2$
આમ,સાબિત થાય છે.

(A) આપેલ છે: $\tan \theta + \sec \theta = l$ .....$(i)$
આપણે જાણીએ છીએ કે નિત્યસમ: $\sec^{2} \theta - \tan^{2} \theta = 1$.
આને $(\sec \theta - \tan \theta)(\sec \theta + \tan \theta) = 1$ તરીકે લખી શકાય છે.
સમીકરણ $(i)$ માંથી $(\sec \theta + \tan \theta)$ ની કિંમત મૂકતા:
$(\sec \theta - \tan \theta) \cdot l = 1$
$\sec \theta - \tan \theta = \frac{1}{l}$ .....$(ii)$
હવે,સમીકરણ $(i)$ અને સમીકરણ $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$(\tan \theta + \sec \theta) + (\sec \theta - \tan \theta) = l + \frac{1}{l}$
$2 \sec \theta = \frac{l^{2} + 1}{l}$
બંને બાજુ $2$ વડે ભાગતા:
$\sec \theta = \frac{l^{2} + 1}{2l}$.
આમ,સાબિત થાય છે.

(N/A) આપેલ છે: $a \sin \theta + b \cos \theta = c$ $(1)$
ધારો કે $x = a \cos \theta - b \sin \theta$ $(2)$
બંને સમીકરણો $(1)$ અને $(2)$ નો વર્ગ કરીને તેમનો સરવાળો કરતા:
$(a \sin \theta + b \cos \theta)^2 + (a \cos \theta - b \sin \theta)^2 = c^2 + x^2$
$a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta + 2ab \sin \theta \cos \theta + a^2 \cos^2 \theta + b^2 \sin^2 \theta - 2ab \sin \theta \cos \theta = c^2 + x^2$
$a^2(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) + b^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = c^2 + x^2$
કારણ કે $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,તેથી:
$a^2(1) + b^2(1) = c^2 + x^2$
$a^2 + b^2 = c^2 + x^2$
$x^2 = a^2 + b^2 - c^2$
$x = \pm \sqrt{a^2 + b^2 - c^2}$
તેથી,$a \cos \theta - b \sin \theta = \pm \sqrt{a^2 + b^2 - c^2}$ સાબિત થાય છે.

(A) $L$.$H$.$S$. $= \frac{1+\sec \theta-\tan \theta}{1+\sec \theta+\tan \theta}$
$= \frac{1+\frac{1}{\cos \theta}-\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}{1+\frac{1}{\cos \theta}+\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}$ $\left[\because \sec \theta=\frac{1}{\cos \theta} \text{ અને } \tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\right]$
$= \frac{\cos \theta+1-\sin \theta}{\cos \theta+1+\sin \theta} = \frac{(\cos \theta+1)-\sin \theta}{(\cos \theta+1)+\sin \theta}$
નિત્યસમ $1 = \sec^2 \theta - \tan^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{(\sec^2 \theta - \tan^2 \theta) + (\sec \theta - \tan \theta)}{1 + \sec \theta + \tan \theta}$
$= \frac{(\sec \theta - \tan \theta)(\sec \theta + \tan \theta) + (\sec \theta - \tan \theta)}{1 + \sec \theta + \tan \theta}$
$= \frac{(\sec \theta - \tan \theta)(\sec \theta + \tan \theta + 1)}{1 + \sec \theta + \tan \theta}$
$= \sec \theta - \tan \theta$
$= \frac{1}{\cos \theta} - \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{1-\sin \theta}{\cos \theta} = \text{R.H.S.}$
આમ,સાબિત થાય છે.

(A) ત્રિકોણમિતિમાં,કોટિકોણના ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તર નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:
$\sin (90^\circ - \theta) = \cos \theta$
$\cos (90^\circ - \theta) = \sin \theta$
$\tan (90^\circ - \theta) = \cot \theta$
$\cot (90^\circ - \theta) = \tan \theta$
$\sec (90^\circ - \theta) = \operatorname{cosec} \theta$
$\operatorname{cosec} (90^\circ - \theta) = \sec \theta$
તેથી,કોટિકોણ માટેના પ્રમાણિત ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ મુજબ,$\sin (90^\circ - \theta) = \cos \theta$ થાય છે.

(B) ત્રિકોણમિતિમાં,કોટિકોણના નિત્યસમ મુજબ,$(90^\circ - \theta)$ ખૂણા માટેના ત્રિકોણમિતીય વિધેયો એ $\theta$ ના સહ-વિધેયો સાથે સંબંધિત છે.
ચોક્કસ રીતે,સેકન્ટ (secant) વિધેય માટે,નિત્યસમ $\sec (90^\circ - \theta) = \operatorname{cosec} \theta$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) ત્રિકોણમિતિમાં,કોટિકોણના ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તરો નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:
$\sin (90^\circ - \theta) = \cos \theta$
$\cos (90^\circ - \theta) = \sin \theta$
$\tan (90^\circ - \theta) = \cot \theta$
$\cot (90^\circ - \theta) = \tan \theta$
$\sec (90^\circ - \theta) = \operatorname{cosec} \theta$
$\operatorname{cosec} (90^\circ - \theta) = \sec \theta$
તેથી,$\tan (90^\circ - \theta) = \cot \theta$ થાય છે.

(A) આપેલ છે કે $\sin \theta + \sin^2 \theta = 1$.
આને આપણે $\sin \theta = 1 - \sin^2 \theta$ તરીકે લખી શકીએ.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે $1 - \sin^2 \theta = \cos^2 \theta$.
તેથી,$\sin \theta = \cos^2 \theta$.
હવે,આપણે $\cos^2 \theta + \cos^4 \theta$ ની કિંમત શોધવાની છે.
આ પદમાં $\cos^2 \theta = \sin \theta$ મૂકતા:
$\cos^2 \theta + \cos^4 \theta = \sin \theta + (\cos^2 \theta)^2$.
કારણ કે $\cos^2 \theta = \sin \theta$,તેથી $(\cos^2 \theta)^2 = \sin^2 \theta$.
આમ,પદ $\sin \theta + \sin^2 \theta$ બને છે.
આપેલ છે કે $\sin \theta + \sin^2 \theta = 1$,તેથી અંતિમ જવાબ $1$ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$ અને $\operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta}$ થાય છે.
વળી,$\sin(90^{\circ} - \theta) = \cos \theta$ અને $\cos(90^{\circ} - \theta) = \sin \theta$ થાય છે.
આપેલ પદાવલિ: $\sec 55^{\circ} \cdot \sin 35^{\circ} + \cos 35^{\circ} \cdot \operatorname{cosec} 55^{\circ}$.
$55^{\circ}$ ને $(90^{\circ} - 35^{\circ})$ તરીકે લખતા:
$= \sec(90^{\circ} - 35^{\circ}) \cdot \sin 35^{\circ} + \cos 35^{\circ} \cdot \operatorname{cosec}(90^{\circ} - 35^{\circ})$
$= \operatorname{cosec} 35^{\circ} \cdot \sin 35^{\circ} + \cos 35^{\circ} \cdot \sec 35^{\circ}$
કારણ કે $\operatorname{cosec} 35^{\circ} = \frac{1}{\sin 35^{\circ}}$ અને $\sec 35^{\circ} = \frac{1}{\cos 35^{\circ}}$ હોવાથી:
$= \left(\frac{1}{\sin 35^{\circ}}\right) \cdot \sin 35^{\circ} + \cos 35^{\circ} \cdot \left(\frac{1}{\cos 35^{\circ}}\right)$
$= 1 + 1 = 2$.

(D) આપેલ પદાવલિ: $(1-\cos \theta)(1+\cos \theta)$.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(1-\cos \theta)(1+\cos \theta) = 1^2 - \cos^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$.
મૂળભૂત ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ મુજબ,આપણે $1 - \cos^2 \theta = \sin^2 \theta$ લખી શકીએ છીએ.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\tan ^{2} \theta = \sin ^{2} \theta + \cos ^{2} \theta$.
આપણે જાણીએ છીએ કે મૂળભૂત ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ: $\sin ^{2} \theta + \cos ^{2} \theta = 1$ છે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે: $\tan ^{2} \theta = 1$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\tan \theta = 1$ (લઘુકોણ માટે).
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 45^{\circ} = 1$,તેથી $\theta = 45^{\circ}$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan \theta = \cot(90^{\circ} - \theta)$.
આ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$\tan 48^{\circ} = \tan(90^{\circ} - 42^{\circ}) = \cot 42^{\circ}$
$\tan 67^{\circ} = \tan(90^{\circ} - 23^{\circ}) = \cot 23^{\circ}$
હવે,આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\tan 23^{\circ} \tan 42^{\circ} \tan 48^{\circ} \tan 67^{\circ} = \tan 23^{\circ} \tan 42^{\circ} \cot 42^{\circ} \cot 23^{\circ}$
પદોને ગોઠવતા:
$= (\tan 23^{\circ} \cot 23^{\circ}) \times (\tan 42^{\circ} \cot 42^{\circ})$
કારણ કે $\tan \theta \times \cot \theta = 1$ હોવાથી:
$= 1 \times 1 = 1$

(D) આપેલ છે: $\sec 4A = \operatorname{cosec}(A - 20^\circ)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sec \theta = \operatorname{cosec}(90^\circ - \theta)$.
તેથી,$\operatorname{cosec}(90^\circ - 4A) = \operatorname{cosec}(A - 20^\circ)$.
ખૂણાઓને સરખાવતા: $90^\circ - 4A = A - 20^\circ$.
પદોને ગોઠવતા: $90^\circ + 20^\circ = A + 4A$.
$110^\circ = 5A$.
$A = \frac{110^\circ}{5} = 22^\circ$.

(B) આપેલ છે કે $A+B+C=180^{\circ}$.
આપણે $A+B = 180^{\circ}-C$ લખી શકીએ.
બંને બાજુ $2$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{A+B}{2} = \frac{180^{\circ}-C}{2} = 90^{\circ}-\frac{C}{2}$ મળે છે.
હવે,બંને બાજુ ટેન્જન્ટ લેતા: $\tan \left(\frac{A+B}{2}\right) = \tan \left(90^{\circ}-\frac{C}{2}\right)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\tan(90^{\circ}-\theta) = \cot \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\tan \left(\frac{A+B}{2}\right) = \cot \frac{C}{2}$ મળે છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(90^{\circ}-A) = \cos A$.
તેથી,$\sin(50^{\circ}+\theta) = \cos(90^{\circ}-(50^{\circ}+\theta))$.
$= \cos(90^{\circ}-50^{\circ}-\theta) = \cos(40^{\circ}-\theta)$.
આ કિંમતને મૂળ પદાવલિમાં મૂકતા:
$\cos(40^{\circ}-\theta) - \sin(50^{\circ}+\theta) = \cos(40^{\circ}-\theta) - \cos(40^{\circ}-\theta) = 0$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(90^{\circ}-\theta) = \sin \theta$ અને $\sin(90^{\circ}-\theta) = \cos \theta$.
તેથી,$\cos^{2} 50^{\circ} = \cos^{2}(90^{\circ}-40^{\circ}) = \sin^{2} 40^{\circ}$.
તે જ રીતે,$\sin^{2} 50^{\circ} = \sin^{2}(90^{\circ}-40^{\circ}) = \cos^{2} 40^{\circ}$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{\cos^{2} 40^{\circ} + \sin^{2} 40^{\circ}}{\sin^{2} 40^{\circ} + \cos^{2} 40^{\circ}}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{1}{1} = 1$.

(A) આપણે કોટિકોણના ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીશું:
$\cos (90^{\circ}- A ) = \sin A$
$\sin (90^{\circ}- A ) = \cos A$
$\tan (90^{\circ}- A ) = \cot A$
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{\cos (90^{\circ}- A ) \sin (90^{\circ}- A )}{\tan (90^{\circ}- A )} = \frac{\sin A \cdot \cos A}{\cot A}$
કારણ કે $\cot A = \frac{\cos A}{\sin A}$,તેથી:
$= \frac{\sin A \cdot \cos A}{\frac{\cos A}{\sin A}}$
$= \sin A \cdot \cos A \cdot \frac{\sin A}{\cos A}$
$= \sin A \cdot \sin A = \sin ^{2} A$

(C) આપેલ છે કે $\sin 3 \theta = \cos (\theta - 26^{\circ})$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin A = \cos (90^{\circ} - A)$.
તેથી,$\cos (90^{\circ} - 3 \theta) = \cos (\theta - 26^{\circ})$.
ખૂણાઓને સરખાવતા,આપણને મળે છે $90^{\circ} - 3 \theta = \theta - 26^{\circ}$.
પદોને ગોઠવતા,$90^{\circ} + 26^{\circ} = \theta + 3 \theta$.
$116^{\circ} = 4 \theta$.
$\theta = \frac{116^{\circ}}{4} = 29^{\circ}$.
આમ,$\theta$ ની કિંમત $29^{\circ}$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\tan A = \cot B$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cot B = \tan(90^\circ - B)$ થાય છે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\tan A = \tan(90^\circ - B)$ મળે છે.
ખૂણાઓની સરખામણી કરતા,$A = 90^\circ - B$ મળે.
પદોને ગોઠવતા,$A + B = 90^\circ$ થાય છે.

(D) આપેલ પદાવલિ: $2 \sin ^{2} \theta+4 \sec ^{2} \theta+5 \cot ^{2} \theta+2 \cos ^{2} \theta-4 \tan ^{2} \theta-5 \operatorname{cosec}^{2} \theta$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીને પદોને ગોઠવતા:
$= 2(\sin ^{2} \theta + \cos ^{2} \theta) + 4(\sec ^{2} \theta - \tan ^{2} \theta) - 5(\operatorname{cosec}^{2} \theta - \cot ^{2} \theta)$
મૂળભૂત ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$1) \sin ^{2} \theta + \cos ^{2} \theta = 1$
$2) \sec ^{2} \theta - \tan ^{2} \theta = 1$
$3) \operatorname{cosec}^{2} \theta - \cot ^{2} \theta = 1$
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$= 2(1) + 4(1) - 5(1)$
$= 2 + 4 - 5$
$= 1$

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ: $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$.
તેથી,$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$.
$\cos \theta = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ ની કિંમત મૂકતા:
$\sin^2 \theta = 1 - \left( \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right)^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2 + b^2}$.
લસાઅ લેતા:
$\sin^2 \theta = \frac{(a^2 + b^2) - b^2}{a^2 + b^2} = \frac{a^2}{a^2 + b^2}$.
અહીં $0 < \theta < 90^\circ$ હોવાથી,$\sin \theta$ ધન રહેશે.
આમ,$\sin \theta = \sqrt{\frac{a^2}{a^2 + b^2}} = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$.

(C) આપેલ છે કે $\sec \theta = \frac{5}{3}$.
આપણે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1$ નો ઉપયોગ કરીશું.
$\sec \theta$ ની કિંમત મૂકતા:
$\tan^2 \theta = \left(\frac{5}{3}\right)^2 - 1$
$\tan^2 \theta = \frac{25}{9} - 1$
$\tan^2 \theta = \frac{25 - 9}{9} = \frac{16}{9}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\tan \theta = \sqrt{\frac{16}{9}} = \frac{4}{3}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1}{\cos ^{2} \theta} = \sec ^{2} \theta$ અને $\frac{1}{\cot ^{2} \theta} = \tan ^{2} \theta$ થાય છે.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને $\sec ^{2} \theta - \tan ^{2} \theta$ મળે છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 + \tan ^{2} \theta = \sec ^{2} \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\sec ^{2} \theta - \tan ^{2} \theta = 1$ મળે છે.

(B) આપણે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ જાણીએ છીએ:
$1 + \tan^{2} \theta = \sec^{2} \theta$ અને $1 - \cos^{2} \theta = \sin^{2} \theta$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$(1 + \tan^{2} \theta)(1 - \cos^{2} \theta) = \sec^{2} \theta \cdot \sin^{2} \theta$.
કારણ કે $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$,તેથી:
$\sec^{2} \theta \cdot \sin^{2} \theta = \frac{1}{\cos^{2} \theta} \cdot \sin^{2} \theta = \frac{\sin^{2} \theta}{\cos^{2} \theta} = \tan^{2} \theta$.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$a \sin \theta = 3$ --- $(1)$
$a \cos \theta = 4$ --- $(2)$
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરતા:
$(a \sin \theta)^2 = 3^2 \implies a^2 \sin^2 \theta = 9$ --- $(3)$
$(a \cos \theta)^2 = 4^2 \implies a^2 \cos^2 \theta = 16$ --- $(4)$
સમીકરણ $(3)$ અને $(4)$ નો સરવાળો કરતા:
$a^2 \sin^2 \theta + a^2 \cos^2 \theta = 9 + 16$
$a^2 (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = 25$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,તેથી:
$a^2 (1) = 25$
$a^2 = 25$
અહીં $a > 0$ હોવાથી,ધન વર્ગમૂળ લેતા:
$a = 5$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ અને $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ થાય છે.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા: $\tan \theta + \cot \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$.
છેદ સમાન કરતા: $\frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta}$ મળે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{\sin \theta \cos \theta}$ મળે.
આમ,$\frac{1}{\sin \theta} = \operatorname{cosec} \theta$ અને $\frac{1}{\cos \theta} = \sec \theta$ હોવાથી,પદાવલિનું સાદું રૂપ $\operatorname{cosec} \theta \cdot \sec \theta$ થાય છે.

(B) આપેલ પદાવલિ: $(\sin \theta + \cos \theta)^2 + (\sin \theta - \cos \theta)^2$.
બીજગણિતના નિત્યસમ $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ અને $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ નો ઉપયોગ કરીને વિસ્તરણ કરતા:
$= (\sin^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta) + (\sin^2 \theta - 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta)$.
સમાન પદોને ભેગા કરતા,$2 \sin \theta \cos \theta$ અને $-2 \sin \theta \cos \theta$ ઉડી જશે:
$= \sin^2 \theta + \cos^2 \theta + \sin^2 \theta + \cos^2 \theta$.
$= 2 \sin^2 \theta + 2 \cos^2 \theta$.
$= 2(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ હોવાથી,આ કિંમત મૂકતા:
$= 2(1) = 2$.

(A) આપણે મૂળભૂત ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ જાણીએ છીએ: $\sin ^{2} A + \cos ^{2} A = 1$.
આપેલ સમીકરણ $\sin ^{2} 35^{\circ} + \cos ^{2} \theta = 1$ ને નિત્યસમ $\sin ^{2} A + \cos ^{2} A = 1$ સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે સરવાળો $1$ થવા માટે ખૂણા સમાન હોવા જોઈએ.
તેથી,$\theta = 35^{\circ}$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\tan ^{2} \theta = \sin ^{2} \theta + \cos ^{2} \theta$
આપણે જાણીએ છીએ કે મૂળભૂત ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ: $\sin ^{2} \theta + \cos ^{2} \theta = 1$
આ નિત્યસમનો ઉપયોગ સમીકરણમાં કરતા,આપણને મળે છે: $\tan ^{2} \theta = 1$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા અને $0 < \theta < 90^{\circ}$ (જ્યાં $\tan \theta$ ધન છે) ને ધ્યાનમાં લેતા: $\tan \theta = 1$
કારણ કે $\tan 45^{\circ} = 1$,તેથી $\theta = 45^{\circ}$ થાય.

(B) આપેલ સમીકરણ $\sin ^{2}(3 x+30^{\circ})+\cos ^{2}(2 x+45^{\circ})=1$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે મૂળભૂત ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta=1$ છે.
આપેલ સમીકરણને નિત્યસમ સાથે સરખાવતા,આપણને $3 x+30^{\circ} = 2 x+45^{\circ}$ મળે છે.
બંને બાજુથી $2x$ બાદ કરતા,$x+30^{\circ} = 45^{\circ}$ મળે છે.
બંને બાજુથી $30^{\circ}$ બાદ કરતા,$x = 15^{\circ}$ મળે છે.

(D) આપણે કોટિકોણના ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ જાણીએ છીએ: $\tan(90^\circ - A) = \cot A$ અને $\sec(90^\circ - A) = \operatorname{cosec} A$.
પ્રથમ,પદ $\tan(65^\circ - \theta)$ ને ધ્યાનમાં લો:
$\tan(65^\circ - \theta) = \cot(90^\circ - (65^\circ - \theta)) = \cot(25^\circ + \theta)$.
ત્યારબાદ,પદ $\sec(55^\circ - \theta)$ ને ધ્યાનમાં લો:
$\sec(55^\circ - \theta) = \operatorname{cosec}(90^\circ - (55^\circ - \theta)) = \operatorname{cosec}(35^\circ + \theta)$.
હવે,આ કિંમતોને આપેલ પદાવલિમાં મૂકતા:
$\tan(65^\circ - \theta) - \cot(25^\circ + \theta) - \sec(55^\circ - \theta) + \operatorname{cosec}(35^\circ + \theta)$
$= \cot(25^\circ + \theta) - \cot(25^\circ + \theta) - \operatorname{cosec}(35^\circ + \theta) + \operatorname{cosec}(35^\circ + \theta)$
$= 0$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1}{\cos \theta} = \sec \theta$ થાય.
તેથી,$\frac{1}{\cos ^{2} \theta} = \sec ^{2} \theta$ થાય.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 + \tan ^{2} \theta = \sec ^{2} \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે લખી શકીએ કે $\sec ^{2} \theta - 1 = \tan ^{2} \theta$.
આમ,$\frac{1}{\cos ^{2} \theta} - 1 = \tan ^{2} \theta$ થાય.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1}{\sin \theta} = \operatorname{cosec} \theta$ થાય છે.
તેથી,$\frac{1}{\sin ^{2} \theta} = \operatorname{cosec}^{2} \theta$ થાય.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા: $\operatorname{cosec}^{2} \theta - 1$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 + \cot^{2} \theta = \operatorname{cosec}^{2} \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\operatorname{cosec}^{2} \theta - 1 = \cot^{2} \theta$ મળે છે.

(A) આપણે મૂળભૂત ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ જાણીએ છીએ: $\sec ^{2} \theta - \tan ^{2} \theta = 1$.
$\tan ^{2} \theta - \sec ^{2} \theta$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે નિત્યસમને $-1$ વડે ગુણી શકીએ છીએ.
$-1 \times (\sec ^{2} \theta - \tan ^{2} \theta) = -1 \times 1$.
તેથી,$\tan ^{2} \theta - \sec ^{2} \theta = -1$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ છે.
આ નિત્યસમનો ઉપયોગ $\sec ^{4} \theta-\tan ^{4} \theta$ પદાવલિમાં કરતા,આપણને મળે છે:
$\sec ^{4} \theta-\tan ^{4} \theta = (\sec ^{2} \theta - \tan ^{2} \theta)(\sec ^{2} \theta + \tan ^{2} \theta)$.
ત્રિકોણમિતીય મૂળભૂત નિત્યસમ મુજબ,આપણે જાણીએ છીએ કે $\sec ^{2} \theta - \tan ^{2} \theta = 1$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\sec ^{4} \theta - \tan ^{4} \theta = (1) \times \left(\frac{13}{12}\right) = \frac{13}{12}$.

(D) આપણને પદાવલિ $\frac{\sec \theta-1}{\sec \theta+1}$ આપેલી છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$,તેથી અંશ અને છેદને $\cos \theta$ વડે ગુણતા:
$\frac{\sec \theta-1}{\sec \theta+1} = \frac{(\sec \theta-1) \cdot \cos \theta}{(\sec \theta+1) \cdot \cos \theta}$
$= \frac{\sec \theta \cdot \cos \theta - \cos \theta}{\sec \theta \cdot \cos \theta + \cos \theta}$
$= \frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}$ (કારણ કે $\sec \theta \cdot \cos \theta = 1$)
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$ થાય છે.
આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\cot \theta \cdot \tan \theta = \left( \frac{1}{\tan \theta} \right) \cdot \tan \theta = 1$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\tan 7 \theta \cdot \tan 3 \theta = 1$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 3 \theta = \frac{1}{\cot 3 \theta}$,તેથી $\tan 7 \theta = \frac{1}{\tan 3 \theta} = \cot 3 \theta$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cot \alpha = \tan(90^{\circ} - \alpha)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan 7 \theta = \tan(90^{\circ} - 3 \theta)$
ખૂણાઓને સરખાવતા:
$7 \theta = 90^{\circ} - 3 \theta$
બંને બાજુ $3 \theta$ ઉમેરતા:
$10 \theta = 90^{\circ}$
$10$ વડે ભાગતા:
$\theta = 9^{\circ}$

(C) આપેલ પદાવલિ: $\tan 5^{\circ} \cdot \tan 25^{\circ} \cdot \tan 45^{\circ} \cdot \tan 65^{\circ} \cdot \tan 85^{\circ}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 45^{\circ} = 1$ અને $\tan(90^{\circ} - \theta) = \cot \theta$ થાય છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$= \tan 5^{\circ} \cdot \tan 25^{\circ} \cdot 1 \cdot \tan(90^{\circ} - 25^{\circ}) \cdot \tan(90^{\circ} - 5^{\circ})$
$= \tan 5^{\circ} \cdot \tan 25^{\circ} \cdot 1 \cdot \cot 25^{\circ} \cdot \cot 5^{\circ}$
કારણ કે $\tan \theta \cdot \cot \theta = 1$ થાય છે,તેથી પદોને જૂથમાં ગોઠવતા:
$= (\tan 5^{\circ} \cdot \cot 5^{\circ}) \cdot (\tan 25^{\circ} \cdot \cot 25^{\circ}) \cdot 1$
$= 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(90^{\circ} - \theta) = \cos \theta$.
તેથી,$\sin 75^{\circ} = \sin(90^{\circ} - 15^{\circ}) = \cos 15^{\circ}$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\sin^{2} 15^{\circ} + \sin^{2} 75^{\circ} = \sin^{2} 15^{\circ} + (\cos 15^{\circ})^{2}$
$= \sin^{2} 15^{\circ} + \cos^{2} 15^{\circ}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$= 1$.

(C) આપેલ પદાવલિ: $\sin ^{2} 1^{\circ} + \sin ^{2} 3^{\circ} + \sin ^{2} 87^{\circ} + \sin ^{2} 89^{\circ}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(90^{\circ} - \theta) = \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin ^{2} 87^{\circ} = \sin ^{2}(90^{\circ} - 3^{\circ}) = \cos ^{2} 3^{\circ}$
$\sin ^{2} 89^{\circ} = \sin ^{2}(90^{\circ} - 1^{\circ}) = \cos ^{2} 1^{\circ}$
આ કિંમતોને મૂળ પદાવલિમાં મૂકતા:
$= \sin ^{2} 1^{\circ} + \sin ^{2} 3^{\circ} + \cos ^{2} 3^{\circ} + \cos ^{2} 1^{\circ}$
સમાન ખૂણાવાળા પદોને સાથે લેતા:
$= (\sin ^{2} 1^{\circ} + \cos ^{2} 1^{\circ}) + (\sin ^{2} 3^{\circ} + \cos ^{2} 3^{\circ})$
નિત્યસમ $\sin ^{2} \theta + \cos ^{2} \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 1 + 1 = 2$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan \theta$ નો વ્યસ્ત $\cot \theta$ છે,તેથી $\frac{1}{\tan \theta} = \cot \theta$ થાય.
તેથી,$\frac{1}{\tan^{2} \theta} = \cot^{2} \theta$ થાય.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને $\cot^{2} \theta + 1$ મળે છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 + \cot^{2} \theta = \operatorname{cosec}^{2} \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,અંતિમ જવાબ $\operatorname{cosec}^{2} \theta$ મળે છે.