Geometry of complex numbers Questions in Gujarati

(A) ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્ર ધરાવતા વર્તુળમાં અંતર્ગત સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ પ્રથમ શિરોબિંદુને ઉગમબિંદુની આસપાસ $120^\circ$ ($2\pi/3$ રેડિયન) અને $240^\circ$ ($4\pi/3$ રેડિયન) ફેરવીને મેળવી શકાય છે.
આપેલ છે $z_1 = 1 + i\sqrt{3} = 2e^{i\pi/3}$.
અન્ય શિરોબિંદુઓ $z_2 = z_1 e^{i2\pi/3} = 2e^{i\pi/3} e^{i2\pi/3} = 2e^{i\pi} = -2$ છે.
અને $z_3 = z_1 e^{i4\pi/3} = 2e^{i\pi/3} e^{i4\pi/3} = 2e^{i5\pi/3} = 2(\cos(5\pi/3) + i\sin(5\pi/3)) = 1 - i\sqrt{3}$.
આમ,$z_3$ અને $z_2$ ની કિંમતો $1 - i\sqrt{3}$ અને $-2$ છે. વિકલ્પ $A$ સાચો જવાબ છે.

(A) શરત $|z + \sqrt{2}| = a^2 - 3a + 2$ એ કેન્દ્ર $A(-\sqrt{2}, 0)$ અને ત્રિજ્યા $R_1 = \sqrt{a^2 - 3a + 2}$ ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે.
$R_1$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$a^2 - 3a + 2 \ge 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે $(a-1)(a-2) \ge 0$,તેથી $a \le 1$ અથવા $a \ge 2$.
અસમતા $|z + i\sqrt{2}| < a^2$ એ કેન્દ્ર $B(0, -\sqrt{2})$ અને ત્રિજ્યા $R_2 = a$ ધરાવતા વર્તુળનો અંદરનો ભાગ દર્શાવે છે.
કેન્દ્રો $A$ અને $B$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(-\sqrt{2} - 0)^2 + (0 - (-\sqrt{2}))^2} = \sqrt{2 + 2} = 2$ છે.
બંને પ્રદેશોમાં ઓછામાં ઓછું એક સામાન્ય બિંદુ હોય તે માટે,અંતર $d$ એ ત્રિજ્યાઓના સરવાળા કરતા ઓછું હોવું જોઈએ: $d < R_1 + R_2$.
$2 < \sqrt{a^2 - 3a + 2} + a$.
$2 - a < \sqrt{a^2 - 3a + 2}$.
જો $2 - a < 0$ (એટલે કે $a > 2$),તો અસમતા સાચી છે કારણ કે જમણી બાજુ ધન છે.
જો $2 - a \ge 0$ (એટલે કે $a \le 2$),બંને બાજુ વર્ગ કરતા $4 - 4a + a^2 < a^2 - 3a + 2$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $-a < -2$ અથવા $a > 2$ થાય છે. આ $a \le 2$ સાથે વિરોધાભાસ ધરાવે છે.
આમ,શરત $a > 2$ માટે સંતોષાય છે.

(B) ધારો કે $z = x + iy$. તો $iz = i(x + iy) = -y + ix$ અને $z + iz = (x - y) + i(x + y)$.
આ શિરોબિંદુઓ $A(x, y)$,$B(-y, x)$,અને $C(x - y, x + y)$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x(x - (x + y)) + (-y)((x + y) - y) + (x - y)(y - x)|$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x(-y) - y(x) + (x - y)(-(x - y))|$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |-xy - xy - (x - y)^2| = \frac{1}{2} |-2xy - (x^2 - 2xy + y^2)| = \frac{1}{2} |-x^2 - y^2| = \frac{1}{2} |x^2 + y^2| = \frac{1}{2} |z|^2$.
આપેલ છે કે ક્ષેત્રફળ $2$ છે,તેથી $\frac{1}{2} |z|^2 = 2$.
તેથી,$|z|^2 = 4$,જેનો અર્થ છે કે $|z| = 2$.

(C) આપેલ સમીકરણ: ${z^2} + z|z| + |z|^2 = 0$
$|z|^2$ વડે ભાગતા ($z \neq 0$ ધારીને):
${\left( {\frac{z}{|z|}} \right)^2} + \frac{z}{|z|} + 1 = 0$
ધારો કે $u = \frac{z}{|z|}$. તો $u^2 + u + 1 = 0$.
તેના ઉકેલ $u = \omega$ અથવા $u = \omega^2$ છે,જ્યાં $\omega = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$.
કિસ્સો $1$: $\frac{z}{|z|} = \omega = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$
$z = |z|\left( -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} \right)$
$x + iy = -\frac{1}{2}|z| + i\frac{\sqrt{3}}{2}|z|$
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોની સરખામણી કરતા: $x = -\frac{1}{2}|z|$ અને $y = \frac{\sqrt{3}}{2}|z|$.
આમ,$y = -\sqrt{3}x$,અથવા $y + \sqrt{3}x = 0$.
કિસ્સો $2$: $\frac{z}{|z|} = \omega^2 = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$
$x + iy = -\frac{1}{2}|z| - i\frac{\sqrt{3}}{2}|z|$
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોની સરખામણી કરતા: $x = -\frac{1}{2}|z|$ અને $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}|z|$.
આમ,$y = \sqrt{3}x$,અથવા $y - \sqrt{3}x = 0$.
બંનેને જોડતા,બિંદુપથ બે સીધી રેખાઓની જોડ છે: $(y + \sqrt{3}x)(y - \sqrt{3}x) = 0$,જે $y^2 - 3x^2 = 0$ માં પરિણમે છે.

(A) આપેલ બિંદુ $(x, y) = (-\sqrt{3}, 1)$ છે.
ધ્રુવીય યામ $(r, \theta)$ શોધવા માટે,આપણે $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$r = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.
બિંદુ $(-\sqrt{3}, 1)$ બીજા ચરણમાં હોવાથી,ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = y/x = 1/(-\sqrt{3})$ દ્વારા મળે છે.
આમ,$\theta = \pi - \pi/6 = 5\pi/6$.
તેથી,ધ્રુવીય યામ $(2, 5\pi/6)$ છે.

(A) અસમતા $|z - (-4)| \le 3$ એ એવા તમામ બિંદુઓ $z$ નો સમૂહ દર્શાવે છે જે કેન્દ્ર $C(-4, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = 3$ ધરાવતા વર્તુળ પર અથવા તેની અંદર આવેલા છે.
આપણે $|z - (-1)|$ ની મહત્તમ કિંમત શોધવી છે,જે $z$ અને બિંદુ $A(-1, 0)$ વચ્ચેનું અંતર દર્શાવે છે.
કેન્દ્ર $C(-4, 0)$ અને બિંદુ $A(-1, 0)$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(-1 - (-4))^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{3^2} = 3$ છે.
વર્તુળની અંદર અથવા તેના પરના કોઈપણ બિંદુ $z$ થી બિંદુ $A$ સુધીનું મહત્તમ અંતર $d + r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,મહત્તમ કિંમત $3 + 3 = 6$ છે.

(A) ધારો કે $z = x + iy$. આપેલ શરત $|z - 1| = |z + 1| = |z - i|$ છે.
$|z - 1| = |z + 1|$ પરથી,આપણને $|x - 1 + iy| = |x + 1 + iy|$ મળે છે,જેનો અર્થ થાય છે $(x - 1)^2 + y^2 = (x + 1)^2 + y^2$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$x^2 - 2x + 1 + y^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2$,જેનું સાદું રૂપ $4x = 0$ થાય છે,તેથી $x = 0$.
હવે,$|z + 1| = |z - i|$ પરથી,આપણને $|x + 1 + iy| = |x + i(y - 1)|$ મળે છે,જેનો અર્થ થાય છે $(x + 1)^2 + y^2 = x^2 + (y - 1)^2$.
$x = 0$ મૂકતા,આપણને $(0 + 1)^2 + y^2 = 0^2 + (y - 1)^2$ મળે છે.
$1 + y^2 = y^2 - 2y + 1$.
આનું સાદું રૂપ $-2y = 0$ થાય છે,તેથી $y = 0$.
આમ,શરતનું પાલન કરતી એકમાત્ર સંકર સંખ્યા $z = 0 + 0i = 0$ છે.
તેથી,આવી માત્ર $1$ સંકર સંખ્યા છે.

(A) આપેલ છે કે $\frac{z^2}{z-1}$ વાસ્તવિક છે,તેથી તે તેના અનુબદ્ધ (conjugate) જેટલું જ હોય: $\frac{z^2}{z-1} = \frac{\overline{z}^2}{\overline{z}-1}$.
ગુણાકાર કરતા: $z^2(\overline{z}-1) = \overline{z}^2(z-1)$.
પદોને વિસ્તૃત કરતા: $z^2\overline{z} - z^2 = \overline{z}^2z - \overline{z}^2$.
પદોને ગોઠવતા: $z^2\overline{z} - \overline{z}^2z - z^2 + \overline{z}^2 = 0$.
અવયવ પાડતા: $z\overline{z}(z-\overline{z}) - (z-\overline{z})(z+\overline{z}) = 0$.
$(z-\overline{z})(z\overline{z} - (z+\overline{z})) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે કાં તો $z-\overline{z} = 0$ અથવા $z\overline{z} - z - \overline{z} = 0$.
$z-\overline{z} = 0$ સૂચવે છે કે $z$ વાસ્તવિક છે (વાસ્તવિક અક્ષ પર છે).
$z\overline{z} - z - \overline{z} = 0$ ને $(z-1)(\overline{z}-1) = 1$ તરીકે લખી શકાય,એટલે કે $|z-1|^2 = 1$,જે $1$ કેન્દ્ર અને $1$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે. આ વર્તુળ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે કારણ કે $|0-1| = 1$.
આમ,$z$ વાસ્તવિક અક્ષ પર અથવા ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળ પર આવેલું છે.

(D) આપેલ છે કે $|z| \ge 2$,જે $(0, 0)$ કેન્દ્ર અને $2$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળ પર અથવા તેની બહારનો વિસ્તાર દર્શાવે છે.
પદ $|z + \frac{1}{2}|$ એ સંકર સંખ્યા $z$ અને બિંદુ $-\frac{1}{2}$ વચ્ચેનું અંતર દર્શાવે છે.
$|z - (-\frac{1}{2})|$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે બિંદુ $-\frac{1}{2}$ થી વર્તુળ $|z| = 2$ ની સીમા સુધીનું અંતર ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી બિંદુ $-\frac{1}{2}$ સુધીનું અંતર $\frac{1}{2}$ છે.
કારણ કે બિંદુ $-\frac{1}{2}$ એ વર્તુળ $|z| = 2$ ની અંદર આવેલું છે,તેથી બિંદુ $-\frac{1}{2}$ થી વર્તુળ પરના કોઈપણ બિંદુ $z$ સુધીનું ન્યૂનતમ અંતર $R - d$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $R = 2$ એ ત્રિજ્યા છે અને $d = \frac{1}{2}$ એ ઉગમબિંદુથી બિંદુનું અંતર છે.
ન્યૂનતમ મૂલ્ય = $2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
આમ,$\frac{3}{2} = 1.5$,જે અંતરાલ $(1, 2)$ માં આવે છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) આપેલ છે કે $\left|\frac{z_1 - 2z_2}{2 - z_1 \overline{z_2}}\right| = 1$.
આનો અર્થ એ છે કે $|z_1 - 2z_2|^2 = |2 - z_1 \overline{z_2}|^2$.
$|w|^2 = w \overline{w}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$(z_1 - 2z_2)(\overline{z_1} - 2\overline{z_2}) = (2 - z_1 \overline{z_2})(2 - \overline{z_1} z_2)$.
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા:
$|z_1|^2 + 4|z_2|^2 = 4 + |z_1|^2 |z_2|^2$.
પદોને ગોઠવતા:
$|z_1|^2 - |z_1|^2 |z_2|^2 + 4|z_2|^2 - 4 = 0$.
$(|z_1|^2 - 4)(1 - |z_2|^2) = 0$.
આપેલ છે કે $z_2$ યુનિમોડ્યુલર નથી,તેથી $|z_2| \neq 1$,એટલે કે $1 - |z_2|^2 \neq 0$.
તેથી,$|z_1|^2 = 4$,જેનો અર્થ છે કે $|z_1| = 2$.
આ $2$ ત્રિજ્યાનું વર્તુળ દર્શાવે છે.

(C) આપેલ છે $\frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3} = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
બંને બાજુ માનાંક લેતા,આપણને મળે $\left| \frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3} \right| = \sqrt{\left( \frac{1}{2} \right)^2 + \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = 1$.
આનો અર્થ એ છે કે $|z_1 - z_3| = |z_2 - z_3|$,એટલે કે ત્રિકોણની બે બાજુઓ સમાન છે.
હવે,સંકર સંખ્યાનો કોણાંક $\text{amp}\left( \frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3} \right) = \tan^{-1}\left( \frac{-\sqrt{3}/2}{1/2} \right) = \tan^{-1}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે બાજુઓ $z_1 - z_3$ અને $z_2 - z_3$ વચ્ચેનો ખૂણો $60^\circ$ છે.
બે બાજુઓ સમાન હોવાથી અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $60^\circ$ હોવાથી,ત્રિકોણ સમબાજુ છે.

(C) આપેલ છે કે ${z_1}$ અને ${z_2}$ એ સમીકરણ ${z^2 + az + b = 0}$ ના બીજ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,${z_1 + z_2 = -a}$ અને ${z_1 z_2 = b}$ મળે છે.
ઉગમબિંદુ $({z_3 = 0})$,${z_1}$,અને ${z_2}$ સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે,તેથી શરત ${z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 = z_1 z_2 + z_2 z_3 + z_3 z_1}$ છે.
${z_3 = 0}$ મૂકતા,${z_1^2 + z_2^2 = z_1 z_2}$ મળે છે.
બંને બાજુ ${2 z_1 z_2}$ ઉમેરતા,${z_1^2 + z_2^2 + 2 z_1 z_2 = 3 z_1 z_2}$ મળે છે.
આથી ${(z_1 + z_2)^2 = 3 z_1 z_2}$ થાય છે.
કિંમતો મૂકતા,${(-a)^2 = 3b}$ એટલે કે ${a^2 = 3b}$ મળે છે.

(C) ધારો કે $z = x + iy$. આપેલ શરત $arg\left( \frac{z - 2}{z + 2} \right) = \frac{\pi}{3}$ છે.
$z = x + iy$ મુકતા, $\frac{(x - 2) + iy}{(x + 2) + iy} = \frac{((x - 2) + iy)((x + 2) - iy)}{(x + 2)^2 + y^2} = \frac{(x^2 + y^2 - 4) + i(4y)}{(x + 2)^2 + y^2}$ મળે.
$arg(w) = \theta$ હોવાથી, $\tan(\theta) = \frac{Im(w)}{Re(w)}$ થાય.
તેથી, $\frac{4y}{x^2 + y^2 - 4} = \tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}$.
$4y = \sqrt{3}(x^2 + y^2 - 4)$.
પદોને ગોઠવતા, $\sqrt{3}x^2 + \sqrt{3}y^2 - 4y - 4\sqrt{3} = 0$ મળે.
આ એક વર્તુળનું સમીકરણ છે.

(B) આપેલ છે $|z + 4| \le 3$.
ધારો કે $w = z + 4$. તો $|w| \le 3$.
આપણે $|z + 1|$ ની રેન્જ શોધવી છે.
નોંધો કે $z + 1 = (z + 4) - 3$.
ત્રિકોણ અસમતા મુજબ,$||z + 4| - |-3|| \le |z + 1| \le |z + 4| + |-3|$.
$|z + 4| \le 3$ મૂકતા:
$|3 - 3| \le |z + 1| \le 3 + 3$.
$0 \le |z + 1| \le 6$.
આમ,મહત્તમ કિંમત $6$ અને ન્યૂનતમ કિંમત $0$ છે.

(D) ધારો કે $z = x + iy$. તો $\frac{z - 1}{z + 1} = \frac{(x - 1) + iy}{(x + 1) + iy}$.
છેદની અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $(x + 1) - iy$ વડે અંશ અને છેદને ગુણતા:
$\frac{z - 1}{z + 1} = \frac{((x - 1) + iy)((x + 1) - iy)}{(x + 1)^2 + y^2} = \frac{(x^2 + y^2 - 1) + i(2y)}{(x + 1)^2 + y^2}$.
આપેલ છે કે કોણાંક $\frac{\pi}{4}$ છે,તેથી $\tan(\frac{\pi}{4}) = \frac{\text{કાલ્પનિક ભાગ}}{\text{વાસ્તવિક ભાગ}} = \frac{2y}{x^2 + y^2 - 1}$.
$\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$ હોવાથી,$1 = \frac{2y}{x^2 + y^2 - 1}$.
તેથી,$x^2 + y^2 - 1 = 2y$,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 - 2y = 1$ થાય છે.

(A) ધારો કે સંકર સંખ્યાઓ $z_1, z_2, z_3$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ $ABC$ ના શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ દર્શાવે છે.
$|z_1| = |z_2| = |z_3|$ હોવાથી,ઉગમબિંદુ $O$ એ બધા શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ થી સમાન અંતરે છે.
આનો અર્થ એ છે કે ઉગમબિંદુ $O$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ $ABC$ નું પરિકેન્દ્ર છે.
સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,પરિકેન્દ્ર,મધ્યકેન્દ્ર અને લંબકેન્દ્ર એક જ બિંદુ પર હોય છે.
જો $G$ એ મધ્યકેન્દ્ર હોય,તો $G = \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}$.
મધ્યકેન્દ્ર $G$ એ પરિકેન્દ્ર $O$ (જે ઉગમબિંદુ $0$ છે) સાથે સંપાતી હોવાથી,$\frac{z_1 + z_2 + z_3}{3} = 0$ મળે.
તેથી,$z_1 + z_2 + z_3 = 0$.

(D) ધારો કે $F_1$ બિંદુ $(1, -1)$ છે અને $F_2$ બિંદુ $(2, 1)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $|z - F_1| - |z - F_2| = 3$ છે,જે બે નિશ્ચિત બિંદુઓથી અંતરનો તફાવત દર્શાવે છે.
નાભિઓ $F_1$ અને $F_2$ વચ્ચેનું અંતર $d = |F_1F_2| = \sqrt{(2 - 1)^2 + (1 - (-1))^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$ છે.
$|PF_1 - PF_2| = 2a$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત અતિવલય માટે,શરત $2a < d$ સંતોષાવી જોઈએ,જ્યાં $2a$ એ અનુપ્રસ્થ ધરીની લંબાઈ છે.
અહીં,$2a = 3$ અને $d = \sqrt{5} \approx 2.236$ છે.
કારણ કે $3 > \sqrt{5}$,તેથી શરત $2a < d$ નું પાલન થતું નથી.
તેથી,આર્ગેન્ડ સમતલમાં એવું કોઈ બિંદુ $z$ અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી જે આપેલ સમીકરણનું સમાધાન કરે.

(D) આપેલ છે કે $x + iy = \sqrt{\phi + i\psi}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(x + iy)^2 = \phi + i\psi$ મળે.
$x^2 - y^2 + 2xyi = \phi + i\psi$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા,$x^2 - y^2 = \phi$ અને $2xy = \psi$ મળે.
આ લંબ અતિવલયના બે કુટુંબો દર્શાવે છે.
ધારો કે $f(x, y) = x^2 - y^2 - \phi = 0$ અને $g(x, y) = 2xy - \psi = 0$.
પ્રથમ વક્રનો ઢાળ $\nabla f = (2x, -2y)$ અને બીજા વક્રનો ઢાળ $\nabla g = (2y, 2x)$ છે.
ઢાળનો ડોટ ગુણાકાર $(2x)(2y) + (-2y)(2x) = 4xy - 4xy = 0$ થાય છે.
ડોટ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,વક્રો લંબ છે,એટલે કે તેઓ $\frac{\pi}{2}$ ના ખૂણે છેદે છે.

(C) આપણને $|z| < 2$ આપેલ છે. આપણે $|iz + 6 - 8i|$ નું મહત્તમ મૂલ્ય શોધવાનું છે.
ત્રિકોણ અસમતા $|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|iz + 6 - 8i| = |iz - (8i - 6)| \leq |iz| + |6 - 8i|$.
અહીં $|iz| = |i| |z| = 1 \cdot |z| < 2$ અને $|6 - 8i| = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.
તેથી,$|iz + 6 - 8i| < 2 + 10 = 12$.
જેમ $|z|$ એ $2$ ની નજીક પહોંચે છે,તેમ $|iz + 6 - 8i|$ નું મૂલ્ય $12$ ની નજીક પહોંચે છે.

(B) આપેલ છે કે $w_k = e^{i \frac{k\pi}{11}}$.
નોંધો કે $|w_{m} - w_{n}| = |e^{i \frac{m\pi}{11}} - e^{i \frac{n\pi}{11}}| = |e^{i \frac{(m-n)\pi}{11}} - 1| = 2 |\sin \frac{(m-n)\pi}{22}|$.
અંશ માટે: $\sum_{k=1}^8 |w_{2k+1} - w_{2k}| = \sum_{k=1}^8 |e^{i \frac{\pi}{11}} - 1| = 8 |e^{i \frac{\pi}{11}} - 1|$.
છેદ માટે: $\sum_{k=1}^4 |w_{3k-1} - w_{3k-2}| = \sum_{k=1}^4 |e^{i \frac{\pi}{11}} - 1| = 4 |e^{i \frac{\pi}{11}} - 1|$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{8 |e^{i \frac{\pi}{11}} - 1|}{4 |e^{i \frac{\pi}{11}} - 1|} = \frac{8}{4} = 2$ થાય.

(A) આપેલ છે કે $\left| \frac{z - 1}{z - 4} \right| = 2$ અને $\left| \frac{w - 4}{w - 1} \right| = 2$.
આપેલ આકૃતિ પરથી,$z$ અને $w$ ના બિંદુઓ વર્તુળો દર્શાવે છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = 4$ છે અને બંને વર્તુળોની ત્રિજ્યા $r_1 = 2$ અને $r_2 = 2$ છે.
તેથી,$|z - w|_{\max} = d + r_1 + r_2 = 4 + 2 + 2 = 8$.
અને $|z - w|_{\min} = |d - (r_1 + r_2)| = |4 - (2 + 2)| = 0$.
તેથી,$|z - w|_{\max} + |z - w|_{\min} = 8 + 0 = 8$.

(A) ધારો કે $z = x + iy$. આપેલી રેખા $z = -i \bar{z}$ છે.
$z = x + iy$ અને $\bar{z} = x - iy$ મૂકતા:
$x + iy = -i(x - iy) = -ix - i^2y = -ix + y$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા,આપણને $x = y$ અને $y = -x$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x + y = 0$.
આપણે રેખા $x + y = 0$ માં બિંદુ $(3, 2)$ નું પ્રતિબિંબ શોધવાનું છે.
ધારો કે પ્રતિબિંબિત બિંદુ $(\alpha, \beta)$ છે.
$(3, 2)$ અને $(\alpha, \beta)$ ને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ રેખા $x + y = 0$ પર આવેલું છે:
$\frac{\alpha + 3}{2} + \frac{\beta + 2}{2} = 0 \Rightarrow \alpha + \beta + 5 = 0$.
$(3, 2)$ અને $(\alpha, \beta)$ ને જોડતી રેખાનો ઢાળ $x + y = 0$ ના ઢાળ (જે $-1$ છે) ને લંબ હોવો જોઈએ:
$\frac{\beta - 2}{\alpha - 3} = 1$ $\Rightarrow \beta - 2 = \alpha - 3$ $\Rightarrow \beta = \alpha - 1$.
$\beta = \alpha - 1$ ને $\alpha + \beta + 5 = 0$ માં મૂકતા:
$\alpha + (\alpha - 1) + 5 = 0$ $\Rightarrow 2\alpha + 4 = 0$ $\Rightarrow \alpha = -2$.
તેથી $\beta = -2 - 1 = -3$.
પ્રતિબિંબિત બિંદુ $(-2, -3)$ છે,જે સંકર સંખ્યા $(-2 - 3i)$ ને અનુરૂપ છે.

(D) આપેલ છે કે $z_1$ અને $z_2$ એ $z^2 + az + b = 0$ ના બીજ છે,તેથી $z_1 + z_2 = -a$ અને $z_1 z_2 = b$ મળે.
$OA = OB$ અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ હોવાથી,આપણે $z_2 = z_1 e^{i \alpha}$ લખી શકીએ.
તેથી $\frac{z_2}{z_1} = e^{i \alpha}$ મળે.
હવે,$\frac{a^2}{b} = \frac{(z_1 + z_2)^2}{z_1 z_2} = \frac{z_1^2 + z_2^2 + 2z_1 z_2}{z_1 z_2} = \frac{z_1}{z_2} + \frac{z_2}{z_1} + 2$.
$\frac{z_2}{z_1} = e^{i \alpha}$ મૂકતા,$\frac{a^2}{b} = e^{-i \alpha} + e^{i \alpha} + 2 = 2 \cos \alpha + 2$ મળે.
નિત્યસમ $1 + \cos \alpha = 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{a^2}{b} = 2(1 + \cos \alpha) = 2(2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}) = 4 \cos^2 \frac{\alpha}{2}$ મળે.
આમ,$a^2 = 4b \cos^2 \frac{\alpha}{2}$.
આને $a^2 = \lambda b \cos^2 \frac{\alpha}{2}$ સાથે સરખાવતા,$\lambda = 4$ મળે.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $3z^2 + 3z + b = 0$ માટે,બીજ $z_1$ અને $z_2$ નો સરવાળો અને ગુણાકાર:
$z_1 + z_2 = -\frac{3}{3} = -1$
$z_1 z_2 = \frac{b}{3}$
ત્રણ સંકર સંખ્યાઓ $z_1, z_2, z_3$ સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે તેની શરત $z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 = z_1 z_2 + z_2 z_3 + z_3 z_1$ છે.
અહીં,શિરોબિંદુઓ $z_1, z_2$ અને ઉગમબિંદુ $z_3 = 0$ છે.
શરતમાં $z_3 = 0$ મૂકતા:
$z_1^2 + z_2^2 + 0^2 = z_1 z_2 + z_2(0) + (0)z_1$
$z_1^2 + z_2^2 = z_1 z_2$
બંને બાજુ $z_1 z_2$ ઉમેરતા:
$(z_1 + z_2)^2 - 2z_1 z_2 = z_1 z_2$
$(z_1 + z_2)^2 = 3z_1 z_2$
બીજના સરવાળા અને ગુણાકારની કિંમતો મૂકતા:
$(-1)^2 = 3 \left(\frac{b}{3}\right)$
$1 = b$
આમ,$b$ ની કિંમત $1$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\mu = \frac{2z + 5i}{z - 3}$ અને $|\mu| = 2$.
બંને બાજુ માનાંક લેતા: $\left| \frac{2z + 5i}{z - 3} \right| = 2$.
આનો અર્થ એ થાય કે $|2z + 5i| = 2|z - 3|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $|2z + 5i|^2 = 4|z - 3|^2$.
ધારો કે $z = x + iy$. તો $|2(x + iy) + 5i|^2 = 4|x + iy - 3|^2$.
$|2x + i(2y + 5)|^2 = 4|(x - 3) + iy|^2$.
$(2x)^2 + (2y + 5)^2 = 4((x - 3)^2 + y^2)$.
$4x^2 + 4y^2 + 20y + 25 = 4(x^2 - 6x + 9 + y^2)$.
$4x^2 + 4y^2 + 20y + 25 = 4x^2 - 24x + 36 + 4y^2$.
$20y + 25 = -24x + 36$.
$24x + 20y - 11 = 0$.
આ એક સીધી રેખાનું સમીકરણ છે.

(B) $\text{Arg}\left(\frac{z+i}{z-i}\right) = \frac{2\pi}{3}$ નું પાલન કરતા $z$ નો બિંદુપથ એક વર્તુળનો ચાપ છે.
ધારો કે $z = x + iy$. બિંદુઓ $A(0, -1)$ અને $B(0, 1)$ નિશ્ચિત છે.
ચાપ પરના કોઈપણ બિંદુ $z$ પર જીવા $AB$ દ્વારા બનતો ખૂણો $\alpha = \frac{2\pi}{3}$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર વાસ્તવિક અક્ષ પર $C\left(-\cot\left(\frac{2\pi}{3}\right), 0\right) = C\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}, 0\right)$ પર આવેલું છે.
ત્રિજ્યા $R = \frac{AB}{2\sin(\alpha)} = \frac{2}{2\sin(2\pi/3)} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ છે.
વર્તુળાકાર ખંડનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2}R^2(\theta - \sin \theta)$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $\theta$ એ કેન્દ્રિય ખૂણો છે.
કેન્દ્રિય ખૂણો $\theta = 2(\pi - \alpha) = 2(\pi - 2\pi/3) = 2\pi/3$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 \left(\frac{2\pi}{3} - \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)\right) = \frac{2}{3} \left(\frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{4\pi}{9} - \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(C) ધારો કે ત્રિકોણ $\triangle Z_1 Z_2 Z_3$ છે. આપેલ છે કે $|z_1 - z_2| = |z_1 - z_3|$,તેથી ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ છે.
ધારો કે $M$ એ પાયા $Z_2 Z_3$ નું મધ્યબિંદુ છે. $M$ ને દર્શાવતી સંકર સંખ્યા $z_M = \frac{z_2 + z_3}{2}$ છે.
સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં,શિરોબિંદુ $Z_1$ માંથી પાયા $Z_2 Z_3$ પર દોરેલો મધ્યગા પાયાને લંબ હોય છે.
તેથી,સદિશ $Z_1 - M$ એ સદિશ $Z_3 - Z_2$ ને લંબ છે.
સંકર સંખ્યા $z_1 - z_M = \frac{2z_1 - z_2 - z_3}{2}$ એ $M$ થી $Z_1$ સુધીનો સદિશ દર્શાવે છે.
સદિશ $z_3 - z_2$ એ પાયો $Z_2 Z_3$ દર્શાવે છે.
મધ્યગા પાયાને લંબ હોવાથી,આ બે સંકર સંખ્યાઓના ગુણોત્તરનો કોણાંક (argument) $\pm \frac{\pi}{2}$ થાય.
તેથી,$\arg \left( \frac{2z_1 - z_2 - z_3}{z_3 - z_2} \right) = \pm \frac{\pi}{2}$.

(A) આપેલ છે કે $|z_1| = 2$,$|z_2| = 3$,$|z_3| = 4$ અને $|2z_1 + 3z_2 + 4z_3| = 9$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ સંકર સંખ્યા $z$ માટે,$z\bar{z} = |z|^2$,તેથી $\bar{z} = \frac{|z|^2}{z}$.
$|8z_2z_3 + 27z_3z_1 + 64z_1z_2|$ પદને ધ્યાનમાં લો.
$z_1z_2z_3$ ને સામાન્ય લેતા:
$|z_1z_2z_3| \left| \frac{8}{z_1} + \frac{27}{z_2} + \frac{64}{z_3} \right|$.
$|z_1|=2, |z_2|=3, |z_3|=4$ હોવાથી,$|z_1|^2=4, |z_2|^2=9, |z_3|^2=16$ થાય.
$8 = 2|z_1|^2$,$27 = 3|z_2|^2$,અને $64 = 4|z_3|^2$ મૂકતા:
$|z_1z_2z_3| \left| \frac{2|z_1|^2}{z_1} + \frac{3|z_2|^2}{z_2} + \frac{4|z_3|^2}{z_3} \right| = |z_1z_2z_3| |2\bar{z}_1 + 3\bar{z}_2 + 4\bar{z}_3|$.
$|z| = |\bar{z}|$ હોવાથી,$|2\bar{z}_1 + 3\bar{z}_2 + 4\bar{z}_3| = |\overline{2z_1 + 3z_2 + 4z_3}| = |2z_1 + 3z_2 + 4z_3| = 9$.
તેથી,મૂલ્ય $|z_1| |z_2| |z_3| \times 9 = 2 \times 3 \times 4 \times 9 = 216$ થાય.

(A) શરત $\arg \left( \frac{z - z_1}{z_2 - z} \right) = \frac{\pi}{2}$ સૂચવે છે કે $z_1$ અને $z_2$ ને જોડતા રેખાખંડ દ્વારા $z$ પર બનતો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $z$ એવા વર્તુળ પર આવેલું છે જેનો વ્યાસ $z_1z_2$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $C$ એ $z_1$ અને $z_2$ નું મધ્યબિંદુ છે:
$C = \frac{z_1 + z_2}{2} = \frac{(6 + i) + (4 - 3i)}{2} = \frac{10 - 2i}{2} = 5 - i$.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ એ $z_1$ અને $z_2$ વચ્ચેના અંતર કરતા અડધી છે:
$r = \frac{|z_1 - z_2|}{2} = \frac{|(6 + i) - (4 - 3i)|}{2} = \frac{|2 + 4i|}{2} = |1 + 2i| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$.
આમ,વર્તુળનું સમીકરણ $|z - C| = r$ છે,જે $|z - (5 - i)| = \sqrt{5}$ થાય છે.

(B) આપેલ છે $z = \frac{3}{2 + \cos \theta + i \sin \theta}$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,$2 + \cos \theta + i \sin \theta = \frac{3}{z}$ મળે.
$\cos \theta + i \sin \theta = \frac{3}{z} - 2 = \frac{3 - 2z}{z}$.
બંને બાજુ માનાંક લેતા,$|\cos \theta + i \sin \theta| = \left| \frac{3 - 2z}{z} \right|$.
કારણ કે $|\cos \theta + i \sin \theta| = 1$,તેથી $1 = \frac{|3 - 2z|}{|z|}$,જેનો અર્થ છે કે $|z| = |3 - 2z|$.
ધારો કે $z = x + iy$. તો $|x + iy| = |3 - 2(x + iy)| = |(3 - 2x) - i(2y)|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $x^2 + y^2 = (3 - 2x)^2 + (-2y)^2$.
$x^2 + y^2 = 9 - 12x + 4x^2 + 4y^2$.
$3x^2 + 3y^2 - 12x + 9 = 0$.
$3$ વડે ભાગતા: $x^2 + y^2 - 4x + 3 = 0$.
આ એક વર્તુળનું સમીકરણ છે જેનું કેન્દ્ર $(2, 0)$ છે,જે $x$-અક્ષ પર આવેલું છે.

(A) ધારો કે $z = x + iy$.
તેથી,$\frac{2z + 1}{iz + 1} = \frac{(2x + 1) + 2iy}{(1 - y) + ix}$.
છેદના અનુબદ્ધ વડે ગુણતા:
કાલ્પનિક ભાગ $\frac{2y(1 - y) - x(2x + 1)}{(1 - y)^2 + x^2} = -3$ મળે છે.
સાદુરૂપ આપતા $x^2 + y^2 - x - 4y + 3 = 0$ મળે છે.
આ એક વર્તુળનું સમીકરણ છે.

(A) આપેલ છે $|z_1|=1, |z_2|=2, |z_3|=3$.
આનો અર્થ છે $|z_1|^2 = 1 \Rightarrow z_1 \bar{z}_1 = 1$,$|z_2|^2 = 4 \Rightarrow z_2 \bar{z}_2 = 4$,અને $|z_3|^2 = 9 \Rightarrow z_3 \bar{z}_3 = 9$.
આપણને $|9z_1z_2 + 4z_1z_3 + z_2z_3| = 12$ આપેલ છે.
કિંમતો $9 = z_3 \bar{z}_3$,$4 = z_2 \bar{z}_2$,અને $1 = z_1 \bar{z}_1$ ને પદાવલિમાં મૂકતા:
$|z_3 \bar{z}_3 z_1 z_2 + z_2 \bar{z}_2 z_1 z_3 + z_1 \bar{z}_1 z_2 z_3| = 12$.
$|z_1 z_2 z_3|$ સામાન્ય કાઢતા:
$|z_1 z_2 z_3| |\bar{z}_3 + \bar{z}_2 + \bar{z}_1| = 12$.
કારણ કે $|z_1 z_2 z_3| = |z_1| |z_2| |z_3| = 1 \times 2 \times 3 = 6$,તેથી:
$6 |\bar{z}_1 + \bar{z}_2 + \bar{z}_3| = 12$.
$|\bar{z}_1 + \bar{z}_2 + \bar{z}_3| = 2$.
$|\bar{z}| = |z|$ હોવાથી,$|z_1 + z_2 + z_3| = 2$ મળે છે.

(B) ધારો કે $z = x + iy$. સમીકરણ $z + \overline{z} = 2|z - 1|$ એ $2x = 2\sqrt{(x-1)^2 + y^2}$ બને છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$x^2 = (x-1)^2 + y^2$,જેનું સાદું રૂપ $y^2 = 2x - 1$ થાય છે.
ધારો કે $z_1 = x_1 + iy_1$ અને $z_2 = x_2 + iy_2$. $y^2 = 2x - 1$ હોવાથી,આપણે $z$ ને $z = \frac{t^2 + 1}{2} + it$ તરીકે દર્શાવી શકીએ.
તેથી $z_1 - z_2 = \frac{t_1^2 - t_2^2}{2} + i(t_1 - t_2) = \frac{(t_1 - t_2)(t_1 + t_2)}{2} + i(t_1 - t_2)$.
આપેલ છે કે $\arg(z_1 - z_2) = \frac{\pi}{3}$,તેથી $\tan(\frac{\pi}{3}) = \frac{t_1 - t_2}{\frac{(t_1 - t_2)(t_1 + t_2)}{2}} = \frac{2}{t_1 + t_2} = \sqrt{3}$.
આમ,$t_1 + t_2 = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
કારણ કે $\text{Im}(z_1 + z_2) = t_1 + t_2$,તેથી કિંમત $\frac{2}{\sqrt{3}} = \csc \frac{\pi}{3}$ થાય છે.

(C) આપેલ છે $|z - \omega| = |z + \omega|$.
આ $z$ નો બિંદુપથ $\omega$ અને $-\omega$ ને જોડતા રેખાખંડનો લંબદ્વિભાજક દર્શાવે છે.
$\omega = e^{i2\pi/3} = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ હોવાથી,બિંદુઓ $\omega$ અને $-\omega = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$ છે.
$\omega$ અને $-\omega$ ને જોડતો રેખાખંડ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને ધન $x$-અક્ષ સાથે $120^{\circ}$ (અથવા $2\pi/3$) નો ખૂણો બનાવે છે.
આ રેખાખંડનો લંબદ્વિભાજક ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને ધન $x$-અક્ષ સાથે $120^{\circ} + 90^{\circ} = 210^{\circ}$ અથવા $120^{\circ} - 90^{\circ} = 30^{\circ}$ (એટલે કે $\frac{\pi}{6}$) નો ખૂણો બનાવે છે.
આમ,$arg(z) = \frac{\pi}{6}$ અથવા $arg(z) = \frac{7\pi}{6}$.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો જવાબ $\frac{\pi}{6}$ છે.

(B) ધારો કે $z = x + iy$. તો $|z|^2 = x^2 + y^2$,$z + \bar{z} = 2x$,અને $z - \bar{z} = 2iy$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $x^2 + y^2 - 2x + i(2iy) + 2 = 0$.
$x^2 + y^2 - 2x - 2y + 2 = 0$.
$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 0$.
$x$ અને $y$ વાસ્તવિક હોવાથી,$x - 1 = 0$ અને $y - 1 = 0$.
તેથી,$x = 1$ અને $y = 1$.
આમ,$z = 1 + i$ એ ઉકેલ છે.

(D) ધારો કે પ્રારંભિક બિંદુ $P = \alpha + i\beta$ છે.
$(I)$ $\text{amp}(z) = \frac{\pi}{4}$ ની સાપેક્ષમાં $z = x + iy$ નું પરાવર્તન $z' = i\bar{z} = y + ix$ છે. તેથી,$P_1 = \beta + i\alpha$.
$(II)$ $P_1$ ને વાસ્તવિક અક્ષ પર $\beta$ એકમ ખસેડતા $P_2 = 2\beta + i\alpha$ મળે.
$(III)$ $P_2$ ને ઉગમબિંદુની આસપાસ $\frac{\pi}{4}$ ખૂણે પરિભ્રમણ કરાવતા $Q = (2\beta + i\alpha) \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + i\frac{1}{\sqrt{2}} \right)$ મળે.
$Q = -\sqrt{2} + i\sqrt{6}$ આપેલ હોવાથી:
$2\beta - \alpha = -2$ અને $2\beta + \alpha = 2\sqrt{3}$.
ઉકેલતા,$\beta = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ અને $\alpha = \sqrt{3} + 1$ મળે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) $|z| \leq 4$ ની શરત એ ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત અને $4$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળની અંદરના અથવા તેની સીમા પરના તમામ બિંદુઓનો સમૂહ દર્શાવે છે.
$\operatorname{Arg}(z) = \frac{\pi}{3}$ ની શરત એ ઉગમબિંદુમાંથી નીકળતું એક કિરણ દર્શાવે છે (ઉગમબિંદુ સિવાય) જે ધન વાસ્તવિક અક્ષ સાથે $\frac{\pi}{3}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
આ બંને સમૂહોનો છેદગણ એ કિરણનો તે ભાગ છે જે વર્તુળની અંદર આવેલો છે,જે ઉગમબિંદુથી શરૂ થઈને $4$ એકમના અંતરે વર્તુળની સીમા સુધી વિસ્તરેલો રેખાખંડ છે. આ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે.

(B) ધારો કે $|z_1| = |z_2| = |z_3| = R = 2$.
ધારો કે $a = |z_1 - z_2|$,$b = |z_2 - z_3|$,અને $c = |z_3 - z_1|$.
આપણે જાણીએ છીએ કે વર્તુળ પરના કોઈપણ સંકર સંખ્યાઓ $z_1, z_2, z_3$ માટે,પદાવલિ $ab + bc + ca$ નું મૂલ્ય ત્યારે મહત્તમ થાય છે જ્યારે બિંદુઓ વર્તુળમાં અંતર્ગત સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે.
$R$ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળમાં અંતર્ગત સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,બાજુની લંબાઈ $s = R\sqrt{3}$ છે.
અહીં,$R = 2$,તેથી $s = 2\sqrt{3}$.
તેથી $a = b = c = 2\sqrt{3}$.
પદાવલિ $a^2 + a^2 + a^2 = 3a^2$ બને છે.
$a = 2\sqrt{3}$ મૂકતા,આપણને $3(2\sqrt{3})^2 = 3(4 \times 3) = 3(12) = 36$ મળે છે.
આમ,મહત્તમ મૂલ્ય $36$ છે.

(C) આપેલ છે કે $|z_1| = 1$ અને $|z_2| = 1$.
સંકર સંખ્યાઓ માટે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $|z_1 + z_2|^2 + |z_1 - z_2|^2 = 2(|z_1|^2 + |z_2|^2)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $(\sqrt{3})^2 + |z_1 - z_2|^2 = 2(1^2 + 1^2)$.
$3 + |z_1 - z_2|^2 = 2(1 + 1)$.
$3 + |z_1 - z_2|^2 = 4$.
$|z_1 - z_2|^2 = 4 - 3 = 1$.
તેથી,$|z_1 - z_2| = \sqrt{1} = 1$.

(A) શરત $|z - 3| \leq 5$ એ સંકર સમતલમાં $A = (3, 0)$ કેન્દ્ર અને $R = 5$ ત્રિજ્યા ધરાવતો એક ડિસ્ક (વર્તુળ અને તેનો અંદરનો ભાગ) દર્શાવે છે.
આપણે $|z - (-3i)|$ નો વિસ્તાર શોધવા માંગીએ છીએ,જે ડિસ્કમાં રહેલા બિંદુઓ $z$ નું બિંદુ $C = (0, -3)$ થી અંતર દર્શાવે છે.
ડિસ્કના કેન્દ્ર $A(3, 0)$ અને બિંદુ $C(0, -3)$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(3 - 0)^2 + (0 - (-3))^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ છે.
કારણ કે બિંદુ $C(0, -3)$ એ ડિસ્કની અંદર આવેલું છે (કારણ કે અંતર $d = 3\sqrt{2} \approx 4.24 < 5$),તેથી $C$ થી ડિસ્કના કોઈપણ બિંદુનું લઘુત્તમ અંતર $0$ છે.
$C$ થી ડિસ્કના કોઈપણ બિંદુનું મહત્તમ અંતર $R + d = 5 + 3\sqrt{2}$ છે.
આમ,$|z + 3i|$ નો વિસ્તાર $[0, 5 + 3\sqrt{2}]$ છે.

(A) આપેલ શરત $Arg\left( \frac{\omega - z_1}{z_2 - z_3} \right) = \frac{\pi}{2}$ સૂચવે છે કે સદિશ $(\omega - z_1)$ એ $(z_2 - z_3)$ ને લંબ છે.
તે જ રીતે,$(\omega - z_2) \perp (z_3 - z_1)$ અને $(\omega - z_3) \perp (z_1 - z_2)$.
આ દર્શાવે છે કે $\omega$ એ $z_1, z_2, z_3$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું લંબકેન્દ્ર છે.
ધારો કે $\Delta = \Delta z_1 z_2 z_3$. $\Delta z_1 z_2 z_3$ ના પરિવર્તુળની ત્રિજ્યા $R_1$ અને કેન્દ્ર $z_0$ છે.
$\Delta z_2 \omega z_3$ ના પરિવર્તુળની ત્રિજ્યા $R_2$ અને કેન્દ્ર $z'_0$ છે.
લંબકેન્દ્રનો એક જાણીતો ગુણધર્મ છે કે લંબકેન્દ્ર અને બે શિરોબિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણની પરિત્રિજ્યા એ મૂળ ત્રિકોણની પરિત્રિજ્યા જેટલી જ હોય છે.
તેથી,$R_1 = R_2$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{R_1}{R_2} = 1$.

(D) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(z_1)$,$B(z_2)$,અને $C(z_3)$ છે,જ્યાં $z_3 = -\omega z_1 - \omega^2 z_2$ છે.
ત્રિકોણ સમબાજુ હોવા માટેની શરત $z_1 + \omega z_2 + \omega^2 z_3 = 0$ છે.
આપેલ છે કે $z_3 = -\omega z_1 - \omega^2 z_2$,જેને $z_3 + \omega z_1 + \omega^2 z_2 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
આ શરત દર્શાવે છે કે ત્રિકોણ સમબાજુ છે.

(B) ધારો કે $z = x + iy$.
તો $iz + 1 = i(x + iy) + 1 = (1 - y) + ix$ અને $iz - 1 = i(x + iy) - 1 = -(1 + y) + ix$.
પદ $\frac{iz + 1}{iz - 1} = \frac{(1 - y) + ix}{-(1 + y) + ix}$ ને ધ્યાનમાં લો.
અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ સંખ્યા $-(1 + y) - ix$ વડે ગુણો.
છેદ $(-(1 + y))^2 + x^2 = (1 + y)^2 + x^2$ બને છે.
અંશનો વાસ્તવિક ભાગ $(1 - y)(-(1 + y)) + x^2 = -(1 - y^2) + x^2 = x^2 + y^2 - 1$ છે.
આમ, $\operatorname{Re} \left( \frac{iz + 1}{iz - 1} \right) = \frac{x^2 + y^2 - 1}{x^2 + (y + 1)^2} = 2$.
આનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 - 1 = 2(x^2 + y^2 + 2y + 1)$ થાય છે, જે $x^2 + y^2 - 1 = 2x^2 + 2y^2 + 4y + 2$ છે.
પુનઃગોઠવણી કરતા $x^2 + y^2 + 4y + 3 = 0$ મળે છે.
આ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + (y + 2)^2 = 1$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $\left| \frac{z - 5i}{z + 5i} \right| = 1$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $|z - 5i| = |z + 5i|$.
ધારો કે $z = x + iy$.
સમીકરણમાં $z$ ની કિંમત મૂકતા: $|x + i(y - 5)| = |x + i(y + 5)|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $x^2 + (y - 5)^2 = x^2 + (y + 5)^2$.
વર્ગનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2 + y^2 - 10y + 25 = x^2 + y^2 + 10y + 25$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $-10y = 10y$,જે $20y = 0$ આપે છે,તેથી $y = 0$.
સમીકરણ $y = 0$ એ વાસ્તવિક અક્ષ દર્શાવે છે.

(C) ધારો કે $z = x + iy$. ગણ $A$ એ $y \ge 1$ છે.
ગણ $B$ માટે,$(x-2)^2 + (y-1)^2 = 9$.
ગણ $C$ માટે,$x + y = \sqrt{2}$.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,$A \cap B \cap C$ એક બિંદુ મળે છે.
$z_1 = -1+i$ અને $z_2 = 5+i$ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $|(5+i) - (-1+i)| = 6$ છે.
વર્તુળ પરના બિંદુ માટે,અંતરના વર્ગોનો સરવાળો $(6)^2 = 36$ થાય છે.
તેથી,કિંમત $36$ છે,જે $35$ અને $39$ ની વચ્ચે છે.

(A) આપેલ અસમતા $|z - 3i| \le 5$ એ સંકર સમતલમાં કેન્દ્ર $C = (0, 3)$ અને ત્રિજ્યા $R = 5$ ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે.
આપણે $|z - (-2)|$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધવું છે,જે બિંદુ $z$ અને બિંદુ $A = (-2, 0)$ વચ્ચેનું અંતર દર્શાવે છે.
કેન્દ્ર $C(0, 3)$ અને બિંદુ $A(-2, 0)$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$ છે.
કારણ કે બિંદુ $A(-2, 0)$ વર્તુળની અંદર આવેલું છે (કારણ કે $d = \sqrt{13} < 5$),તેથી $A$ થી વર્તુળના કોઈપણ બિંદુ $z$ સુધીનું ન્યૂનતમ અંતર $0$ થાય.

(A) આપેલ સમીકરણ $|z - (3 + 4i)| = 4$ છે.
આ સંકર સમતલમાં એક વર્તુળ દર્શાવે છે જેનું કેન્દ્ર $C = (3, 4)$ અને ત્રિજ્યા $r = 4$ છે.
ઉગમબિંદુથી કેન્દ્રનું અંતર $|3 + 4i| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ છે.
વર્તુળ પરના બિંદુ માટે $|z|$ ની મહત્તમ કિંમત એ ઉગમબિંદુથી કેન્દ્રનું અંતર વત્તા ત્રિજ્યા જેટલી હોય છે.
$|z|_{max} = |3 + 4i| + 4 = 5 + 4 = 9$.

(B) $|z_1| = 12$ એ ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ પર કેન્દ્રિત અને $R_1 = 12$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે.
$|z_2 - (3 + 4i)| = 5$ એ $C(3, 4)$ પર કેન્દ્રિત અને $R_2 = 5$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે.
કેન્દ્રો $O$ અને $C$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = 5$ એ નાના વર્તુળની ત્રિજ્યા $R_2 = 5$ જેટલું હોવાથી,નાનું વર્તુળ ઉગમબિંદુ $O$ માંથી પસાર થાય છે.
$R_1 = 12$ અને $d + R_2 = 5 + 5 = 10 < 12$ હોવાથી,નાનું વર્તુળ મોટા વર્તુળની અંદર સંપૂર્ણપણે આવેલું છે.
બે વર્તુળો પરના બિંદુઓ વચ્ચેનું ન્યૂનતમ અંતર $R_1 - (d + R_2) = 12 - (5 + 5) = 12 - 10 = 2$ થાય.

(A) છાયાંકિત પ્રદેશ $A(-1, 0)$ પર કેન્દ્રિત છે,જે સંકર સંખ્યા $z_0 = -1$ ને અનુરૂપ છે.
તેથી,$A$ થી અંતર $|z - (-1)| = |z + 1|$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આ પ્રદેશ $A$ પર કેન્દ્રિત $2$ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળની બહાર છે,તેથી $|z + 1| > 2$.
કોણીય પ્રદેશ $A$ માંથી પસાર થતી રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ છે જેનો ઢાળ $\pm 1$ છે,જે $\pm \pi/4$ ખૂણાને અનુરૂપ છે.
તેથી,આર્ગ્યુમેન્ટની શરત $|\arg(z + 1)| < \pi/4$ છે.
આ બંનેને જોડતા,બિંદુપથ $z: |z + 1| > 2, |\arg(z + 1)| < \pi/4$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $\frac{|3z - i|}{|4z - 2 + 3i|} = K$ છે.
આપણે તેને $\frac{3|z - i/3|}{4|z - (2-3i)/4|} = K$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
આનું સાદું રૂપ $\frac{|z - i/3|}{|z - (1/2 - 3i/4)|} = K \cdot \frac{4}{3}$ થાય છે.
$\frac{|z - z_1|}{|z - z_2|} = \lambda$ નું બિંદુઓ $z$ નું બિંદુપથ એક સીધી રેખા ત્યારે જ હોય જો $\lambda = 1$ હોય.
તેથી,$K \cdot \frac{4}{3} = 1$,જે $K = \frac{3}{4}$ આપે છે.