Mix Examples - MOTION Questions in Gujarati

(N/A) શક્ય છે.
જ્યારે કોઈ દડાને શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે તેની મહત્તમ ઊંચાઈએ તેનો વેગ શૂન્ય હોય છે,પરંતુ તેના પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે $9.8\,m/s^2$ જેટલો અચળ પ્રવેગ નીચેની તરફ લાગે છે.
$(b)$ શક્ય છે.
જ્યારે કોઈ પદાર્થ વર્તુળાકાર માર્ગ પર અચળ ઝડપે ગતિ કરે છે,ત્યારે તેની દિશા બદલાવાને કારણે તેનો વેગ સતત બદલાય છે. વેગમાં થતા આ ફેરફારને કારણે કેન્દ્રગામી પ્રવેગ ઉદ્ભવે છે.
$(c)$ શક્ય છે.
વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરતું પદાર્થ તેનું શ્રેષ્ઠ ઉદાહરણ છે. પદાર્થનો વેગ માર્ગને સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે,જ્યારે કેન્દ્રગામી પ્રવેગ વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ લાગે છે,જે ગતિની દિશાને લંબ હોય છે.

(B) ગતિના સમીકરણ $v^2 - u^2 = 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં ઉપરની ગતિ માટે $a = -g$ છે.
આપેલ છે:
પ્રારંભિક વેગ $u = 40 \, m/s$
મહત્તમ ઊંચાઈએ અંતિમ વેગ $v = 0 \, m/s$
પ્રવેગ $g = 10 \, m/s^2$
$v^2 = u^2 - 2gh$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0^2 = (40)^2 - 2(10)h$
$20h = 1600$
$h = 80 \, m$ (મહત્તમ ઊંચાઈ).
કાપેલું કુલ અંતર = ઉપર તરફનું અંતર + નીચે તરફનું અંતર = $80 \, m + 80 \, m = 160 \, m$.
ચોખ્ખું સ્થાનાંતર = અંતિમ સ્થાન - પ્રારંભિક સ્થાન = $0 \, m$ (કારણ કે પથ્થર શરૂઆતના બિંદુએ પાછો ફરે છે).

(A) સમાન ગતિ (uniform motion) એટલે એવી ગતિ જેમાં પદાર્થ સમાન સમયગાળામાં સમાન અંતર કાપે છે.
અંતર-સમયના આલેખમાં,આને ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી અચળ ઢાળવાળી સીધી રેખા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આકૃતિ $(A)$ ઉગમબિંદુથી શરૂ થતી સીધી રેખા દર્શાવે છે,જે સૂચવે છે કે સમયની સાથે અંતર અચળ દરે વધે છે,આમ તે સમાન ગતિ દર્શાવે છે.

(A) પ્રથમ $8 \, s$ માં કાપેલું અંતર $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે. કાર સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતી હોવાથી,$u = 0$ છે.
$x_1 = 0 + \frac{1}{2} \times 5 \times (8)^2 = 160 \, m$.
$t = 8 \, s$ સમયે,વેગ $v$ ની ગણતરી $v = u + at = 0 + (5 \times 8) = 40 \, m/s$ તરીકે થાય છે.
બાકીના સમય માટે,જે $12 \, s - 8 \, s = 4 \, s$ છે,કાર $40 \, m/s$ ના અચળ વેગ સાથે ગતિ કરે છે.
છેલ્લા $4 \, s$ માં કાપેલું અંતર $x_2 = v \times t = 40 \times 4 = 160 \, m$ છે.
તેથી,$12 \, s$ માં કાપેલું કુલ અંતર $x = x_1 + x_2 = 160 \, m + 160 \, m = 320 \, m$ છે.

(D) સરેરાશ વેગ એટલે કુલ સ્થાનાંતર ભાગ્યા કુલ સમય.
સ્થાનાંતર એ પ્રારંભિક બિંદુ $A$ અને અંતિમ બિંદુ $B$ વચ્ચેનું સૌથી ટૂંકું અંતર છે.
સ્થાનાંતર દરેક માર્ગ માટે સમાન હોવાથી,સરેરાશ વેગ માત્ર $A$ થી $B$ સુધી પહોંચવા માટે લાગતા કુલ સમય પર આધાર રાખે છે.
તેથી,આપણે $1, 2$ અથવા $3$ માંથી કોઈપણ માર્ગનો ઉપયોગ કરીને સરેરાશ વેગની ગણતરી કરી શકીએ છીએ,જો આપણને તે ચોક્કસ માર્ગ માટે લાગતો કુલ સમય ખબર હોય.
આમ,સાચો જવાબ ઉપરોક્ત તમામ છે.

(A) $(i)$ હા. અચળ ઝડપથી ગતિ કરતો કણ પ્રવેગિત થઈ શકે છે જો તેની ગતિની દિશા બદલાતી હોય,જેમ કે નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં.
$(ii)$ ના. પ્રવેગ એટલે વેગમાં થતા ફેરફારનો દર. જો વેગ અચળ હોય,તો વેગમાં થતા ફેરફારનો દર શૂન્ય થાય,જેનો અર્થ છે કે પ્રવેગ શૂન્ય છે.

(A) સીધી રેખામાં પ્રવેગી ગતિ કરતા પદાર્થનો વેગ બદલાતો હોવો જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે તેની ઝડપ બદલાઈ શકે છે. ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પ્રવેગ માટે પદાર્થ પર ચોખ્ખું બાહ્ય બળ લાગવું જરૂરી છે. તેથી,વિકલ્પો $B$,$C$ અને $D$ પ્રવેગી ગતિના સાચા લક્ષણો છે. વિકલ્પ $A$ ખોટો છે કારણ કે સીધી રેખામાં પ્રવેગી ગતિ કરતો પદાર્થ હંમેશા પૃથ્વીથી દૂર જતો નથી; તે પૃથ્વી તરફ અથવા આડી દિશામાં પણ ગતિ કરી શકે છે.

(A) વેગમાન $(p)$ એ દળ $(m)$ અને વેગ $(v)$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જે $p = m \times v$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
તેના ગતિપથના સૌથી ઊંચા બિંદુએ,દડો નીચે પડતા પહેલા ક્ષણિક સ્થિર થાય છે,જેનો અર્થ છે કે તેનો વેગ $(v) = 0 \ m/s$ છે.
તેથી,મહત્તમ ઊંચાઈએ વેગમાન $p = m \times 0 = 0$ થાય છે.

(N/A) વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરતો પદાર્થ જે તેના પ્રારંભિક બિંદુ પર પાછો ફરે છે,તે વર્તુળના પરિઘ $(2 \pi r)$ જેટલું અંતર કાપે છે,પરંતુ તેનું સ્થાનાંતર શૂન્ય હોય છે કારણ કે પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન સમાન છે.
બીજું ઉદાહરણ પૃથ્વી છે,જે $24$ કલાકમાં પોતાની ધરી પર પરિભ્રમણ દરમિયાન ખૂબ મોટું અંતર કાપે છે,પરંતુ તેનું સ્થાનાંતર શૂન્ય છે કારણ કે તે તેના મૂળ સ્થાન પર પાછી ફરે છે.

(D)

નિયમિત સુરેખ ગતિ	નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ
$(i)$ પદાર્થ સુરેખ પથ પર ગતિ કરે છે.	$(i)$ પદાર્થ વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરે છે.
$(ii)$ પ્રવેગ શૂન્ય હોય છે,કારણ કે વેગ અચળ રહે છે.	$(ii)$ આ પ્રવેગી ગતિ છે,કારણ કે દિશા બદલાવાને લીધે વેગમાં સતત ફેરફાર થાય છે.

(N/A) પ્રારંભિક વેગ,$u = 0 \, m \, s^{-1}$.
પ્રવેગ,$a = 4 \, m \, s^{-2}$.
સમય,$t = 10 \, s$.
$(i)$ ગતિના પ્રથમ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$v = u + at$:
$v = 0 + (4 \times 10) = 40 \, m \, s^{-1}$.
આમ,પ્રાપ્ત થયેલો વેગ $40 \, m \, s^{-1}$ છે.
$(ii)$ ગતિના બીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$s = ut + \frac{1}{2}at^2$:
$s = (0 \times 10) + \frac{1}{2} \times 4 \times (10)^2$
$s = 0 + 2 \times 100 = 200 \, m$.
આમ,કાપેલું અંતર $200 \, m$ છે.

(N/A) $(i)$ અંતર એ પદાર્થ દ્વારા કાપવામાં આવેલ કુલ પથ લંબાઈ છે,જ્યારે સ્થાનાંતર એ પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર છે. ઉદાહરણ તરીકે,જો કોઈ કાર વાંકાચૂકા રસ્તા પર $100 \, m$ અંતર કાપે,તો તે અંતર $100 \, m$ છે. પરંતુ જો શરૂઆતના બિંદુથી અંતિમ બિંદુ સુધીનું સીધું અંતર ઉત્તર દિશામાં $60 \, m$ હોય,તો સ્થાનાંતર $60 \, m$ ઉત્તર દિશામાં ગણાય.
$(ii)$ ઝડપ એ અંતરના ફેરફારનો દર છે,જ્યારે વેગ એ સ્થાનાંતરના ફેરફારનો દર છે. ઉદાહરણ તરીકે,જો કોઈ પદાર્થ વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરીને ફરી પાછો તેના શરૂઆતના બિંદુ પર આવે,તો તેનું સ્થાનાંતર $0$ થાય,તેથી તેનો સરેરાશ વેગ પણ $0$ થાય. પરંતુ કાપેલું કુલ અંતર $0$ હોતું નથી,તેથી સરેરાશ ઝડપ $0$ હોતી નથી.
$(iii)$ પ્રવેગ એ સમય સાથે વેગમાં થતો વધારો છે,જ્યારે પ્રતિપ્રવેગ (અથવા મંદન) એ સમય સાથે વેગમાં થતો ઘટાડો છે. ઉદાહરણ તરીકે,જ્યારે કોઈ કાર બીજા વાહનને ઓવરટેક કરવા માટે ઝડપ વધારે છે,ત્યારે તે પ્રવેગિત ગતિ કરે છે. જ્યારે ડ્રાઈવર ટ્રાફિક સિગ્નલ પર કારને રોકવા માટે બ્રેક મારે છે,ત્યારે કાર પ્રતિપ્રવેગ અનુભવે છે.

(D) કુલ અંતર $200 \ m \times 4 = 800 \ m$ છે.
$(b)$ રમતવીરો જ્યાંથી શરૂઆત કરી હતી તે જ બિંદુએ પાછા ફરે છે,તેથી તેમનું સ્થાનાંતર $0 \ m$ છે.
$(c)$ સમગ્ર દોડ દરમિયાન રમતવીરોનો વેગ સતત બદલાતો રહે છે,તેથી તેમની ગતિ અનિયમિત છે.
$(d)$ ના,સ્થાનાંતર $(0 \ m)$ અને કાપેલું અંતર $(800 \ m)$ સમાન નથી.

(A-D) હા,આ શક્ય છે જ્યારે કોઈ પદાર્થને શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે ત્યારે તેના મહત્તમ ઊંચાઈના બિંદુએ. મહત્તમ ઊંચાઈએ,પદાર્થનો વેગ $0 \ m/s$ હોય છે,પરંતુ તે નીચેની દિશામાં $9.8 \ m/s^2$ ના ગુરુત્વ પ્રવેગનો અનુભવ કરે છે.
$(b)$ હા,આ પ્રક્ષિપ્ત ગતિ (projectile motion) માટે શક્ય છે. કોઈ ખૂણે ફેંકવામાં આવેલા પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનો સમક્ષિતિજ વેગ અચળ હોય છે,પરંતુ તેની શિરોલંબ દિશાની ગતિ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અચળ પ્રવેગી હોય છે.
$(c)$ હા,આ ત્યારે શક્ય છે જ્યારે કોઈ પદાર્થ વર્તુળાકાર માર્ગ પર અચળ ઝડપે ગતિ કરતો હોય. આ પરિસ્થિતિમાં,ઝડપ અચળ રહે છે,પરંતુ ગતિની દિશા સતત બદલાતી હોવાને કારણે પદાર્થ કેન્દ્રગામી પ્રવેગ ધરાવે છે.

(N/A) કાર નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ કરી રહી છે. તેના પર લાગતું પરિણામી બળ કેન્દ્રગામી બળ છે,જે વર્તુળાકાર ટ્રેકના કેન્દ્ર તરફ હોય છે.
$(b)$ પૃથ્વી સૂર્યની આસપાસ લગભગ વર્તુળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરે છે. પૃથ્વી પર લાગતું પરિણામી બળ સૂર્ય દ્વારા લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ છે,જે સૂર્યની દિશામાં (સૂર્ય તરફ) હોય છે.
$(c)$ દડો ઘાસના મેદાન પર ગતિ કરી રહ્યો છે. તેના પર લાગતું પરિણામી બળ ઘર્ષણ બળ છે,જે ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે,જેના કારણે દડાનો વેગ ઘટે છે અને અંતે તે અટકી જાય છે.

(A) પ્રક્ષિપ્ત ગતિમાં,વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $(u_x = u \cos \theta)$ સમગ્ર ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે.
જોકે,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે વેગનો શિરોલંબ ઘટક $(u_y)$ બદલાય છે.
$(i)$ પ્રક્ષિપ્ત બિંદુએ ઝડપ મહત્તમ હોય છે કારણ કે અહીં શિરોલંબ ઘટક તેનું મહત્તમ મૂલ્ય ધરાવે છે.
$(ii)$ ગતિપથના સૌથી ઊંચા બિંદુએ ઝડપ ન્યૂનતમ હોય છે કારણ કે ત્યાં વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય થઈ જાય છે,અને માત્ર અચળ સમક્ષિતિજ ઘટક $(u \cos \theta)$ બાકી રહે છે.

(C) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ એ એક એવી વસ્તુ છે જેને હવામાં ફેંકવામાં આવે છે,જેના પર માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણનો પ્રવેગ કાર્ય કરે છે.
જ્યારે કોઈ પદાર્થને સમક્ષિતિજ સાથે અમુક ખૂણે ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે તે ગુરુત્વાકર્ષણની અસર હેઠળ ઉર્ધ્વ સમતલમાં ગતિ કરે છે.
સમક્ષિતિજ વેગ અચળ રહે છે (હવાનો અવરોધ અવગણતા),જ્યારે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉર્ધ્વ વેગ બદલાય છે.
આ બંને ગતિઓના સંયોજનને કારણે જે વક્ર માર્ગ રચાય છે તેને $Parabola$ (પરવલય) કહેવામાં આવે છે.

(A) $(i)$ આલેખ $(a)$ આ કિસ્સાને દર્શાવે છે. દડો પ્રારંભિક વેગ સાથે શરૂ થાય છે,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે સતત પ્રતિપ્રવેગ અનુભવે છે અને મહત્તમ ઊંચાઈએ તેનો વેગ શૂન્ય થઈ જાય છે. ત્યારબાદ,દડો નીચે પડે છે અને તેનો વેગ વિરુદ્ધ દિશામાં વધે છે જ્યાં સુધી તે પાછો હાથમાં ન આવે.
$(ii)$ આલેખ $(d)$ એવા પદાર્થનો કિસ્સો દર્શાવે છે જેનો વેગ ઘટીને અચળ ઝડપ પ્રાપ્ત કરે છે અને ત્યારબાદ તે પ્રવેગિત થાય છે.

(N/A) સરેરાશ વેગ એટલે કુલ સ્થાનાંતર અને તે માટે લાગતા કુલ સમયનો ગુણોત્તર,જ્યારે સરેરાશ ઝડપ એટલે કુલ પથલંબાઈ (અંતર) અને તે માટે લાગતા કુલ સમયનો ગુણોત્તર.
સ્થાનાંતર એ સદિશ રાશિ છે અને જો પદાર્થનું પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન એક જ હોય (દા.ત. વર્તુળાકાર ગતિમાં),તો સ્થાનાંતર શૂન્ય થઈ શકે છે. તેથી,સરેરાશ વેગ શૂન્ય હોઈ શકે છે.
અંતર એ અદિશ રાશિ છે જે પદાર્થે કાપેલા કુલ પથની લંબાઈ દર્શાવે છે અને ગતિ કરતા પદાર્થ માટે તે હંમેશા ધન હોય છે. સરેરાશ ઝડપ કુલ અંતર પર આધારિત હોવાથી,ગતિ કરતા પદાર્થ માટે તે ક્યારેય શૂન્ય હોઈ શકે નહીં.

(N/A) ઝડપ એટલે એકમ સમયમાં કાપેલું અંતર,જ્યારે વેગ એટલે એકમ સમયમાં થયેલું સ્થાનાંતર.
ઝડપ એ અદિશ રાશિ છે,જ્યારે વેગ એ સદિશ રાશિ છે.
ગતિ કરતા પદાર્થ માટે ઝડપ ક્યારેય શૂન્ય હોઈ શકતી નથી,જ્યારે જો સ્થાનાંતર શૂન્ય હોય તો વેગ શૂન્ય હોઈ શકે છે.
$(b)$ ઝડપ અને વેગ બંનેના $SI$ એકમો સમાન છે,જે $m \ s^{-1}$ છે.

(N/A) સંખ્યા રેખા પરથી,સ્થાનો છે: $A = 7 \, m$,$B = -2 \, m$,$C = 3 \, m$.
$(a)$ $A$ થી $B$ સુધીની ગતિ માટે:
કુલ અંતર $= |(-2) - 7| = 9 \, m$.
કુલ સ્થાનાંતર $= -2 - 7 = -9 \, m$.
લીધેલ સમય $= 10 \, s$.
સરેરાશ ઝડપ $= \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{9}{10} = 0.9 \, m/s$.
સરેરાશ વેગ $= \frac{\text{કુલ સ્થાનાંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{-9}{10} = -0.9 \, m/s$.
$(b)$ $A$ થી $C$ સુધીની ગતિ માટે ($B$ દ્વારા):
કુલ અંતર $= |(-2) - 7| + |3 - (-2)| = 9 + 5 = 14 \, m$.
કુલ સ્થાનાંતર $= 3 - 7 = -4 \, m$.
કુલ સમય $= 10 + 5 = 15 \, s$.
સરેરાશ ઝડપ $= \frac{14}{15} \approx 0.933 \, m/s$.
સરેરાશ વેગ $= \frac{-4}{15} \approx -0.267 \, m/s$.

(N/A) $(i)$ મુક્ત પતન કરતો પથ્થર નિયમિત પ્રવેગી ગતિ દર્શાવે છે કારણ કે તે પૃથ્વીના અચળ ગુરુત્વાકર્ષણીય પ્રવેગ $(g \approx 9.8 \ m/s^2)$ ની અસર હેઠળ હોય છે.
$(ii)$ જ્યારે પથ્થરને શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે પૃથ્વી તેના પર નીચેની દિશામાં ગુરુત્વાકર્ષણ બળ લગાડે છે. આ બળ ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે,જેના કારણે મંદન (ઋણ પ્રવેગ) ઉત્પન્ન થાય છે,જે વેગમાં સતત ઘટાડો કરે છે.
$(iii)$ આવી ગતિનું ઉદાહરણ વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરતો પદાર્થ છે જે તેના પ્રારંભિક બિંદુ પર પાછો ફરે છે. સ્થાનાંતર શૂન્ય હોવાથી સરેરાશ વેગ શૂન્ય થાય છે,પરંતુ કાપેલું કુલ અંતર વર્તુળનો પરિઘ હોવાથી સરેરાશ ઝડપ શૂન્ય હોતી નથી.

(N/A) પદાર્થ દ્વારા કાપેલું અંતર એ ઝડપ-સમયના આલેખ નીચેના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
કાર $P$ માટે,આલેખ એક ત્રિકોણ બનાવે છે જેનો પાયો $= 4\, s$ અને ઊંચાઈ $= 6\, m/s$ છે.
અંતર $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times 4\, s \times 6\, m/s = 12\, m$.
કાર $Q$ માટે,આલેખ એક લંબચોરસ બનાવે છે જેની લંબાઈ $= 4\, s$ અને પહોળાઈ $= 3\, m/s$ છે.
અંતર $= \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} = 4\, s \times 3\, m/s = 12\, m$.
બંને કાર દ્વારા કાપવામાં આવેલા અંતરનો તફાવત $12\, m - 12\, m = 0\, m$ છે.
$(b)$ હા,તેઓ તે બિંદુએ સમાન ઝડપે ગતિ કરે છે જ્યાં બંને આલેખ એકબીજાને છેદે છે. આ $t = 2\, s$ સમયે થાય છે,જ્યાં બંને કારની ઝડપ $3\, m/s$ છે.
$(c)$ કાર $P$ સમાન પ્રવેગી ગતિ કરી રહી છે કારણ કે તેનો ઝડપ-સમયનો આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે,જે ઝડપમાં થતા સતત ફેરફારને સૂચવે છે. કાર $Q$ નિયમિત ગતિ (અચળ ઝડપ) કરી રહી છે કારણ કે તેનો ઝડપ-સમયનો આલેખ આડી રેખા છે,જે દર્શાવે છે કે તેની ઝડપ સમય સાથે બદલાતી નથી.

(A) ભાગ $1$: પ્રવેગનો તબક્કો
પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \, m/s$,અંતિમ વેગ $v = 36 \, km/h = 10 \, m/s$,સમય $t_1 = 10 \, s$.
પ્રવેગ $a_1 = (v - u) / t_1 = (10 - 0) / 10 = 1 \, m/s^2$.
અંતર $s_1 = ut_1 + 0.5 a_1 t_1^2 = 0 + 0.5 \times 1 \times 10^2 = 50 \, m$.
ભાગ $2$: પ્રતિપ્રવેગનો તબક્કો
પ્રારંભિક વેગ $u = 10 \, m/s$,અંતિમ વેગ $v = 0 \, m/s$,સમય $t_2 = 20 \, s$.
પ્રવેગ $a_2 = (v - u) / t_2 = (0 - 10) / 20 = -0.5 \, m/s^2$.
અંતર $s_2 = ut_2 + 0.5 a_2 t_2^2 = 10 \times 20 + 0.5 \times (-0.5) \times 20^2 = 200 - 100 = 100 \, m$.
કુલ અંતર = $s_1 + s_2 = 50 + 100 = 150 \, m$.

(N/A) $(i)$ વ્યક્તિ $B$ અચળ ઝડપે ગતિ કરી રહ્યો છે કારણ કે તે સમાન સમયના ગાળામાં (દરેક $5\, \text{મિનિટમાં}$) સમાન અંતર $(5\, km)$ કાપે છે。
$(ii)$ વ્યક્તિ $C$ એ સૌથી વધુ અંતર કાપ્યું છે, જે $8.00\, am$ થી $8.05\, am$ વચ્ચે $10\, km$ છે。
$(iii)$ વ્યક્તિ $A$ ની સરેરાશ ઝડપ $= \frac{\text{વ્યક્તિ } A \text{ દ્વારા કપાયેલ કુલ અંતર}}{\text{લીધેલ કુલ સમય}}$
$= \frac{25\, km}{20\, min} = \frac{25\, km}{(20/60)\, h} = \frac{25 \times 60}{20}\, km\, h^{-1} = 75\, km\, h^{-1}$.

(N/A) $(i)$ જ્યારે કોઈ કાર સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય અને ચોક્કસ સમયગાળામાં તેનો વેગ સતત વધારતી હોય ત્યારે તેની ગતિ.
$(ii)$ જ્યારે કોઈ ટ્રેન સ્ટેશન પર પહોંચતી વખતે ધીમી પડે ત્યારે તેની ગતિ.
$(iii)$ મુક્ત પતન કરતા દડાની ગતિ.

(N/A) પ્રવેગ એટલે પદાર્થના વેગમાં સમયની સાપેક્ષે થતા ફેરફારનો દર. ગાણિતિક રીતે,$a = \frac{v - u}{t}$. તેનો $SI$ એકમ $m s^{-2}$ છે.
$(b)$ વેગ-સમયના આલેખ નીચે મુજબ છે:
$(i)$ નિયમિત પ્રવેગી ગતિ માટે,આલેખ ઉગમબિંદુથી ઉપરની તરફ જતી સીધી રેખા છે,જે દર્શાવે છે કે સમય સાથે વેગમાં સમાન દરે વધારો થાય છે.
$(ii)$ નિયમિત પ્રતિપ્રવેગી ગતિ માટે,આલેખ નીચેની તરફ જતી સીધી રેખા છે,જે દર્શાવે છે કે સમય સાથે વેગમાં સમાન દરે ઘટાડો થાય છે જ્યાં સુધી તે શૂન્ય ન થાય.

(N/A) પ્રથમ $2 \ s$ માં કાર દ્વારા કપાયેલું અંતર એ વેગ-સમયના આલેખમાં $t = 0$ થી $t = 2 \ s$ સુધીના ભાગનું ક્ષેત્રફળ છે,જે $\Delta ABE$ નું ક્ષેત્રફળ છે.
અંતર $= \Delta ABE$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$
$= \frac{1}{2} \times 2 \ s \times 15 \ m/s = 15 \ m$.
$(ii)$ બ્રેકિંગ બળ શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ $t = 5 \ s$ થી $t = 6 \ s$ સુધીનો પ્રવેગ (મંદન) રેખા $CD$ ના ઢાળનો ઉપયોગ કરીને ગણીશું.
$t = 5 \ s$ પર પ્રારંભિક વેગ $u = 15 \ m/s$ છે.
$t = 6 \ s$ પર અંતિમ વેગ $v = 0 \ m/s$ છે.
સમયગાળો $\Delta t = 6 \ s - 5 \ s = 1 \ s$.
પ્રવેગ $a = \frac{v - u}{\Delta t} = \frac{0 - 15 \ m/s}{1 \ s} = -15 \ m/s^2$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = m \times a$.
$F = 1000 \ kg \times (-15 \ m/s^2) = -15000 \ N$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે આ બળ ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગતું બ્રેકિંગ બળ છે. આમ,બ્રેકિંગ બળનું મૂલ્ય $15000 \ N$ છે.

(B) ઓટોમોબાઈલનું ઓડોમીટર વાહન દ્વારા કાપેલું અંતર માપે છે.
ઝડપની સરખામણી કરવા માટે,આપણે બંનેને $m \, s^{-1}$ માં ફેરવીએ છીએ:
$(i)$ સ્કૂટરની ઝડપ $= 300 \, m / 60 \, s = 5 \, m \, s^{-1}$.
$(ii)$ કારની ઝડપ $= 36 \, km/h = 36 \times (1000 \, m / 3600 \, s) = 36 \times (5/18) \, m \, s^{-1} = 10 \, m \, s^{-1}$.
અહીં $10 \, m \, s^{-1} > 5 \, m \, s^{-1}$ હોવાથી,કાર સ્કૂટર કરતા વધુ ઝડપથી ગતિ કરી રહી છે.

(N/A) $t=0$ સમયે,ઝડપ $0$ છે અને આલેખનો ઢાળ $0$ છે. તેથી,પ્રારંભિક પ્રવેગ $0 \, m/s^2$ છે.
$(b)$ $t=5 \, s$ અને $t=60 \, s$ ની વચ્ચે,ઝડપ-સમયના આલેખનો ઢાળ વધી રહ્યો છે. ઝડપ-સમયના આલેખનો ઢાળ પ્રવેગ દર્શાવે છે,તેથી આ સમયગાળા દરમિયાન રોકેટનો પ્રવેગ વધી રહ્યો છે.
$(c)$ $t=80 \, s$ સમયે,આલેખ એક સીધી રેખા છે. આ રેખાનો ઢાળ અચળ છે. $t=60 \, s$ $(v \approx 480 \, m/s)$ અને $t=100 \, s$ $(v = 1400 \, m/s)$ વચ્ચે ઢાળની ગણતરી કરતા: $a = \frac{1400 - 480}{100 - 60} = \frac{920}{40} = 23 \, m/s^2$. આ પ્રદેશમાં આલેખ રેખીય હોવાથી પ્રવેગ અચળ છે.
$(d)$ ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$F = ma$. આપેલ છે કે $m = 1.6 \times 10^{6} \, kg$ અને $a = 23 \, m/s^2$,તેથી પરિણામી બળ $F = 1.6 \times 10^{6} \times 23 = 3.68 \times 10^{7} \, N$. બળ શૂન્ય નથી કારણ કે રોકેટ પ્રવેગિત ગતિ કરી રહ્યું છે.

(N/A) ધારો કે એક વેગ$-$સમયનો આલેખ છે જેમાં પદાર્થ $t=0$ સમયે $u$ જેટલા પ્રારંભિક વેગથી ગતિ શરૂ કરે છે અને $t$ સમયે $v$ જેટલો અંતિમ વેગ પ્રાપ્ત કરે છે. વેગ$-$સમયના આલેખનો ઢાળ પ્રવેગ $(a)$ દર્શાવે છે.
ઢાળ $= \frac{\text{વેગમાં થતો ફેરફાર}}{\text{લાગતો સમય}} = \frac{v - u}{t}$.
તેથી,$a = \frac{v - u}{t}$,જે આપણને $at = v - u$ અથવા $v = u + at$ આપે છે.
$(b)$ વાહન દ્વારા કાપેલું અંતર માપવા માટે વપરાતા સાધનને ઓડોમીટર કહેવામાં આવે છે.
$(c)$ હા,ગતિમાન પદાર્થનું સ્થાનાંતર શૂન્ય હોઈ શકે છે. જો પદાર્થ તેની ગતિ પૂર્ણ કર્યા પછી તેના મૂળ સ્થાને પાછો ફરે,તો તેનું સ્થાનાંતર શૂન્ય થાય છે,કારણ કે સ્થાનાંતર એ પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર છે.

$(a)$ પ્રવેગ એ વેગ-સમયના આલેખનો ઢાળ છે.
કાર $B$ માટે, $t = 2 \, s$ અને $t = 4 \, s$ ની વચ્ચે, વેગ $20 \, m/s$ થી બદલાઈને $40 \, m/s$ થાય છે।
$a = \frac{v_2 - v_1}{t_2 - t_1} = \frac{40 - 20}{4 - 2} = \frac{20}{2} = 10 \, m/s^2$.
$(b)$ બંને કારનો વેગ ત્યારે સમાન હોય છે જ્યાં તેમના આલેખ એકબીજાને છેદે છે. આલેખ જોતા, છેદબિંદુ $t = 2 \, s$ (વેગ $= 20 \, m/s$) અને $t = 6 \, s$ (વેગ $= 60 \, m/s$) પર છે.
$(c)$ કાપેલું અંતર એ વેગ-સમયના આલેખની નીચેનું ક્ષેત્રફળ છે.
કાર $A$ માટે: ક્ષેત્રફળ એ $t = 1$ થી $t = 4$ સુધીનું સમલંબ ચતુષ્કોણ અને $t = 4$ થી $t = 8$ સુધીનું લંબચોરસ છે.
ક્ષેત્રફળ $= (\frac{1}{2} \times (4 - 1) \times 60) + (60 \times (8 - 4)) = (\frac{1}{2} \times 3 \times 60) + (60 \times 4) = 90 + 240 = 330 \, m$.
કાર $B$ માટે: ક્ષેત્રફળ એ $t = 0$ થી $t = 8$ સુધીનો ત્રિકોણ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 8 \times 80 = 320 \, m$.
$(d)$ $8 \, s$ પછી, કાર $A$ એ $330 \, m$ અંતર કાપ્યું છે અને કાર $B$ એ $320 \, m$ અંતર કાપ્યું છે.
તેથી, કાર $A$ એ $330 - 320 = 10 \, m$ જેટલી આગળ છે.

(N/A) $(i)$ આલેખ જોતા,છોકરી $14$ મિનિટે $50 \ m$ ના અંતરે (મિત્રના ઘરે) પહોંચે છે.
$(ii)$ $0$ થી $2$ મિનિટમાં,અંતર $= 20 \ m$. $2$ થી $4$ મિનિટમાં,અંતર $= 0 \ m$. $4$ થી $6$ મિનિટમાં,અંતર $= 40 - 20 = 20 \ m$. $6$ થી $8$ મિનિટમાં,અંતર $= 0 \ m$. $8$ થી $10$ મિનિટમાં,અંતર $= 40 - 20 = 20 \ m$. $10$ થી $12$ મિનિટમાં,અંતર $= 0 \ m$. કુલ અંતર $= 20 + 0 + 20 + 0 + 20 + 0 = 60 \ m$.
$(iii)$ તે તેના ઘર તરફ ત્યારે ગતિ કરે છે જ્યારે ઘરથી અંતર ઘટે છે. આ $8$ થી $10$ મિનિટ અને $14$ થી $16$ મિનિટના સમયગાળા દરમિયાન થાય છે.
$(iv)$ તે ત્યારે સ્થિર હોય છે જ્યારે અંતર અચળ રહે છે (આડી રેખા). આ $2-4$ મિનિટ ($2$ મિનિટ),$6-8$ મિનિટ ($2$ મિનિટ),અને $10-12$ મિનિટ ($2$ મિનિટ) દરમિયાન થાય છે. સ્થિર રહેવાનો કુલ સમય $= 2 + 2 + 2 = 6$ મિનિટ.
$(v)$ તે $14$ થી $16$ મિનિટ દરમિયાન ઘરે પાછી ફરે છે. કાપેલું અંતર $= 50 \ m$. લીધેલ સમય $= 2$ મિનિટ. ઝડપ $= \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{50 \ m}{2 \ min} = 25 \ m/min$.

(N/A) $(i)$ $0$ થી $8\, s$ વચ્ચે કાર $A$ નો પ્રવેગ એ રેખાનો ઢાળ છે:
$a = \frac{v_f - v_i}{t_f - t_i} = \frac{80 - 0}{8 - 0} = 10\, m/s^2$.
$(ii)$ $2$ થી $4\, s$ વચ્ચે કાર $B$ નો પ્રવેગ એ રેખાનો ઢાળ છે:
$a = \frac{v_f - v_i}{t_f - t_i} = \frac{60 - 20}{4 - 2} = \frac{40}{2} = 20\, m/s^2$.
$(iii)$ બંને કારનો વેગ ત્યારે સમાન હોય છે જ્યાં બંને રેખાઓ એકબીજાને છેદે છે,જે $t = 2\, s$ અને $t = 6\, s$ સમયે થાય છે.
$(iv)$ કાપેલું અંતર એ $v-t$ આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ છે.
$8\, s$ માં કાર $A$ દ્વારા કપાયેલું અંતર = ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ (પાયો $8\, s$ અને વેધ $80\, m/s$) = $\frac{1}{2} \times 8 \times 80 = 320\, m$.
$8\, s$ માં કાર $B$ દ્વારા કપાયેલું અંતર = ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ ($t=1$ થી $2$) + સમલંબ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ ($t=2$ થી $4$) + લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ ($t=4$ થી $8$).
ક્ષેત્રફળ = $(\frac{1}{2} \times 1 \times 20) + (\frac{20+60}{2} \times 2) + (4 \times 60) = 10 + 80 + 240 = 330\, m$.
$330\, m > 320\, m$ હોવાથી,કાર $B$ એ $330 - 320 = 10\, m$ જેટલી આગળ છે.

(N/A) મોટરસાયકલ $A$ માટે:
પ્રારંભિક વેગ $u = 36 \, km \, h^{-1} = \frac{36 \times 5}{18} = 10 \, m \, s^{-1}$.
અંતિમ વેગ $v = 0 \, m \, s^{-1}$.
સમય $t = 10 \, s$.
મોટરસાયકલ $B$ માટે:
પ્રારંભિક વેગ $u = 18 \, km \, h^{-1} = \frac{18 \times 5}{18} = 5 \, m \, s^{-1}$.
અંતિમ વેગ $v = 0 \, m \, s^{-1}$.
સમય $t = 20 \, s$.
કાપેલું અંતર એ ઝડપ-સમયના આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
અટકતા પહેલા $A$ દ્વારા કાપેલું અંતર = ત્રિકોણ $OPQ$ નું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 10 \, s \times 10 \, m \, s^{-1} = 50 \, m$.
અટકતા પહેલા $B$ દ્વારા કાપેલું અંતર = ત્રિકોણ $OMN$ નું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 20 \, s \times 5 \, m \, s^{-1} = 50 \, m$.
નિષ્કર્ષ: બંને મોટરસાયકલ અટકતા પહેલા સમાન અંતર કાપે છે.

(N/A) $(i)$ વેગ-સમયના આલેખનું અવલોકન કરતા, $t = 2.5 \ s$ સમયે, વેગ $7 \ m s^{-1}$ છે।
$(ii)$ પ્રવેગ $(a)$ એ વેગ-સમયના આલેખનો ઢાળ છે।
$a = \frac{v - u}{t} = \frac{14 - 2}{6 - 0} = \frac{12}{6} = 2 \ m s^{-2}$.
$(iii)$ છેલ્લા $4 \ s$ માં ($t = 2 \ s$ થી $t = 6 \ s$ સુધી) કપાયેલું અંતર એ આ સમયગાળા દરમિયાન વેગ-સમયના આલેખ નીચે ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
આ ક્ષેત્રફળ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ $ABCD$ બનાવે છે, જ્યાં સમાંતર બાજુઓ $t = 2 \ s$ $(6 \ m s^{-1})$ અને $t = 6 \ s$ $(14 \ m s^{-1})$ પરના વેગ છે, અને ઊંચાઈ એ સમયગાળો $(6 - 2 = 4 \ s)$ છે।
$S = \text{Area of trapezium } ABCD = \frac{1}{2} \times (\text{sum of parallel sides}) \times (\text{height})$
$S = \frac{1}{2} \times (6 + 14) \times 4 = \frac{1}{2} \times 20 \times 4 = 40 \ m$.

(C) પ્રવેગ એટલે વેગમાં થતા ફેરફારનો દર,જ્યારે વેગ એટલે સ્થાનાંતરમાં થતા ફેરફારનો દર.
$(b)$ હા. નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,વેગનું મૂલ્ય (ઝડપ) અચળ રહે છે,પરંતુ દિશા સતત બદલાતી રહે છે. પ્રવેગ એ સદિશ રાશિ હોવાથી,દિશામાં થતા આ ફેરફારને કારણે કેન્દ્રગામી પ્રવેગ ઉદ્ભવે છે.
$(c)$ આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \, m s^{-1}$,પ્રવેગ $a = 3 \, m s^{-2}$,સમય $t = 8 \, s$.
ગતિના બીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $S = ut + \frac{1}{2}at^2$
$S = (0 \times 8) + \frac{1}{2} \times 3 \times (8)^2$
$S = 0 + \frac{1}{2} \times 3 \times 64$
$S = 3 \times 32 = 96 \, m$.
આ સમય દરમિયાન બોટ $96 \, m$ અંતર કાપશે.

(N/A) ઝડપ-સમયનો આલેખ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
$(i)$ $0-100\, s$ ના સમયગાળા દરમિયાન પ્રવેગ એ આલેખના ઢાળ જેટલો હોય છે:
$a = \frac{\text{ઝડપમાં ફેરફાર}}{\text{લીધેલ સમય}} = \frac{10\, m s^{-1} - 0\, m s^{-1}}{100\, s} = 0.1\, m s^{-2}$.
$(ii)$ $350-400\, s$ ના સમયગાળા દરમિયાન પ્રતિપ્રવેગ એ આલેખના ઋણ ઢાળના મૂલ્ય જેટલો હોય છે:
$a = \frac{0\, m s^{-1} - 10\, m s^{-1}}{50\, s} = -0.2\, m s^{-2}$.
આમ,પ્રતિપ્રવેગ $0.2\, m s^{-2}$ છે.
$(iii)$ કાપેલું કુલ અંતર એ ઝડપ-સમયના આલેખ નીચે ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ (સમલંબ ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ) જેટલું હોય છે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times (\text{સમાંતર બાજુઓનો સરવાળો}) \times \text{ઊંચાઈ}$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times (AD + BC) \times BF$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times (400\, s + 250\, s) \times 10\, m s^{-1} = \frac{1}{2} \times 650\, s \times 10\, m s^{-1} = 3250\, m$.

(N/A) એકમ સમયમાં પદાર્થે કાપેલા અંતરને ઝડપ કહે છે,જ્યારે એકમ સમયમાં થયેલા સ્થાનાંતરને વેગ કહે છે. ઝડપ એ અદિશ રાશિ છે અને તે હંમેશા ધન હોય છે,જ્યારે વેગ એ સદિશ રાશિ છે અને તે શૂન્ય,ધન કે ઋણ હોઈ શકે છે.
$(b)$ જો કોઈ પદાર્થ સમાન સમયગાળામાં સમાન સ્થાનાંતર કરતો હોય,તો તે પદાર્થનો વેગ નિયમિત છે તેમ કહેવાય.
$(c)$ પદાર્થનું સ્થાન કોઈ નિશ્ચિત સંદર્ભ બિંદુ (ઉગમબિંદુ) ની સાપેક્ષમાં વર્ણવી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે,ઉડતા પક્ષીનું સ્થાન પૃથ્વીની સપાટી પરના કોઈ ચોક્કસ વૃક્ષ કે સ્થળની સાપેક્ષમાં દર્શાવી શકાય છે.

(N/A) વેગ$-$સમય આલેખની નીચેનું ક્ષેત્રફળ સ્થાનાંતર (અથવા જો ગતિ સુરેખ હોય તો અંતર) દર્શાવે છે.
$(b)$ ઉદાહરણ તરીકે,વર્તુળાકાર કક્ષામાં ફરતો ઉપગ્રહ અથવા નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ,જેમાં પ્રવેગ કેન્દ્ર તરફ (કેન્દ્રગામી પ્રવેગ) હોય છે જ્યારે વેગ સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે.
$(c)$ જ્યારે પદાર્થ પોતાની દિશા બદલ્યા વગર સુરેખ માર્ગ પર ગતિ કરતો હોય,ત્યારે સરેરાશ વેગનું મૂલ્ય સરેરાશ ઝડપ જેટલું હોય છે.
$(d)$ ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ મુક્ત પતન કરતા પદાર્થની ગતિ એ નિયમિત પ્રવેગી ગતિનું ઉદાહરણ છે.
$(e)$ $r$ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળાકાર માર્ગ માટે,અડધા પરિભ્રમણ પછી કાપેલું અંતર પરિઘનું અડધું એટલે કે $\pi r$ થાય છે. સ્થાનાંતર એ પ્રારંભિક અને અંતિમ બિંદુ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર છે,જે વર્તુળનો વ્યાસ એટલે કે $2r$ થાય છે.

(N/A) સમાન ગતિમાં રહેલા પદાર્થનો પથ સીધી રેખા હોય છે.
$(b)$ અસમાન ગતિનું એક ઉદાહરણ ભીડવાળા રસ્તા પર ચાલતી કાર છે,જ્યાં તેની ઝડપ વારંવાર બદલાતી રહે છે.
$(c)$ વેગ એ $x-t$ આલેખના ઢાળ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. વધુ ઢાળ એટલે વધુ વેગ. રેખા $A$ નો ઢાળ રેખા $B$ ના ઢાળ કરતા વધારે હોવાથી,કાર $A$ નો વેગ વધારે છે.
$(d)$ વેગ-સમય આલેખની નીચેનું ક્ષેત્રફળ પદાર્થના સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય દર્શાવે છે.
$(e)$ સમાન ગતિમાં,પદાર્થનો વેગ સમય સાથે બદલાતો નથી. તેથી,જો પદાર્થ $10 \, m/s$ ના વેગથી ગતિ કરતો હોય,તો $10 \, s$ પછી પણ તેનો વેગ $10 \, m/s$ જ રહેશે.

(N/A) જ્યારે કોઈ પદાર્થ અચળ ઝડપ સાથે વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરતું હોય,ત્યારે તે પદાર્થ નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં છે તેમ કહેવાય.
$(b)$ આપેલ છે:
સમય $(t) = 4 \text{ મિનિટ} = 4 \times 60 = 240 \text{ સેકન્ડ}$
વ્યાસ $(d) = 420 \text{ મીટર}$
ત્રિજ્યા $(r) = d / 2 = 420 / 2 = 210 \text{ મીટર}$
એક આંટામાં કાપેલું કુલ અંતર $(S) = 2 \pi r = 2 \times (22 / 7) \times 210 = 1320 \text{ મીટર}$
ઝડપ $(v) = \text{અંતર} / \text{સમય} = 1320 / 240 = 5.5 \text{ મીટર/સેકન્ડ}$
$(c)$ સુરેખ પથ પર નિયમિત ગતિ માટે વેગ$-$સમયનો આલેખ સમયની ધરીને સમાંતર એક સીધી રેખા મળે છે. વેગ$-$સમયના આલેખની નીચે ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ પદાર્થે કાપેલું અંતર દર્શાવે છે.

(N/A) સમાન પ્રવેગ માટે વેગ-સમયનો આલેખ સમયની ધરી સાથે નમેલી એક સીધી રેખા છે. વેગ-સમયના આલેખની નીચેનું ક્ષેત્રફળ કાપેલું અંતર દર્શાવે છે. સમલંબ ચતુષ્કોણ (અથવા લંબચોરસ + ત્રિકોણ) ના ક્ષેત્રફળનો ઉપયોગ કરીને,આપણે ગતિનું સમીકરણ તારવી શકીએ છીએ: $S = ut + \frac{1}{2}at^2$.
$(b)$ આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 0.7 \, m$. પરિભ્રમણની સંખ્યા $n = 2$.
અંતર એ કાપેલા કુલ પથની લંબાઈ છે: $\text{અંતર} = n \times (2\pi r) = 2 \times 2 \times \frac{22}{7} \times 0.7 = 8.8 \, m$.
સ્થાનાંતર એ પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર છે. પથ્થર બે પૂર્ણ પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરતું હોવાથી,તે ફરીથી શરૂઆતના બિંદુ પર પાછું આવે છે. તેથી,$\text{સ્થાનાંતર} = 0 \, m$.

(N/A) વેગ-સમય આલેખ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
$(b)$ વેગ-સમય આલેખનો ઢાળ ગતિનો પ્રવેગ આપે છે.
ઢાળ $= \frac{\text{વેગમાં ફેરફાર}}{\text{લીધેલ સમય}} = \frac{v - u}{t - 0} = \frac{v - u}{t}$
પ્રવેગ $a = \text{ઢાળ}$ હોવાથી,આપણી પાસે $a = \frac{v - u}{t}$ છે.
આને ફરીથી ગોઠવતા $at = v - u$,અથવા $v = u + at$ મળે છે.
$(c)$ આપેલ છે:
પ્રારંભિક વેગ $u = 2 \, m s^{-1}$
અંતિમ વેગ $v = 10 \, m s^{-1}$
સમય $t = 5 \, s$
ગતિના પ્રથમ સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા:
$10 = 2 + a(5)$
$10 - 2 = 5a$
$8 = 5a$
$a = \frac{8}{5} = 1.6 \, m s^{-2}$
આમ,પ્રવેગ $1.6 \, m s^{-2}$ છે.

(NONE) આ આલેખ દર્શાવે છે કે સમય વધવાની સાથે અંતર પહેલા વધે છે અને પછી ઘટે છે. જોકે,અંતર એ અદિશ રાશિ છે અને ગતિ કરતા કણ માટે સમય સાથે ક્યારેય ઘટી શકતું નથી,તેથી આ આલેખ શક્ય નથી.
$(B)$ આ આલેખ દર્શાવે છે કે ચોક્કસ સમય $t_{1}$ પર,પદાર્થ એકસાથે બે અલગ-અલગ સ્થાનો પર હાજર છે. કારણ કે એક કણ એક જ સમયે બે જગ્યાએ હોઈ શકે નહીં,તેથી આ આલેખ શક્ય નથી.
$(C)$ આ આલેખ દર્શાવે છે કે સમયના અમુક અંતરાલ માટે ઝડપ ઋણ છે. ઝડપ એ વેગનું મૂલ્ય છે અને તે હંમેશા અન-ઋણ (non-negative) હોય છે,તેથી આ આલેખ શક્ય નથી.
$(D)$ આ આલેખ દર્શાવે છે કે સમયની કોઈ ચોક્કસ ક્ષણે,કણ પાસે બે અલગ-અલગ વેગ છે. વધુમાં,તે દર્શાવે છે કે અમુક સમયે,તેનો પ્રવેગ અનંત છે (જ્યાં આલેખ વેગ અક્ષને સમાંતર છે). આ બંને પરિસ્થિતિઓ વ્યવહારમાં પ્રાપ્ત કરી શકાતી નથી; તેથી,આ આલેખ પણ શક્ય નથી.
નિષ્કર્ષ: આપેલા આલેખોમાંથી કોઈ પણ પ્રકૃતિમાં અવલોકન કરેલ કણની ગતિનું નિરૂપણ કરતું નથી.

(N/A) જ્યારે રસ્તા પર કારની ઝડપ વધે છે,ત્યારે કારનો પ્રવેગ ગતિની દિશામાં હોય છે.
$(b)$ જ્યારે ગતિમાન કારમાં બ્રેક લગાવવામાં આવે છે,ત્યારે તેની ઝડપ ઘટે છે. કારમાં ઉત્પન્ન થતો પ્રવેગ ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.
$(c)$ જ્યારે કોઈ પદાર્થ ગુરુત્વાકર્ષણની અસર હેઠળ મુક્ત પતન કરે છે,ત્યારે તેનો પ્રવેગ અચળ $g = 9.8 \ m \ s^{-2}$ હોય છે.
$(d)$ જ્યારે કોઈ કાર શહેરના ટ્રાફિકમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે ટ્રાફિકના પ્રમાણને આધારે તેનો પ્રવેગ અથવા પ્રતિપ્રવેગ અસમાન હોય છે.

(N/A) $(i)$ આલેખ $(a)$ દર્શાવે છે કે પદાર્થની ઝડપ સમય સાથે ઘટે છે,શૂન્ય થાય છે અને પછી ફરીથી વધવાનું શરૂ કરે છે. તેથી,આ આલેખ શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવેલા અને પછી ફેંકનાર દ્વારા પકડાયેલા દડાના કિસ્સાને રજૂ કરે છે. શરૂઆતમાં,દડાને અમુક ઝડપ સાથે ફેંકવામાં આવે છે. જેમ જેમ દડો ઉપર જાય છે તેમ તેની ઝડપ અચળ દરે ઘટે છે અને મહત્તમ ઊંચાઈએ શૂન્ય થઈ જાય છે. ત્યારબાદ દડો સમાન પ્રવેગ સાથે નીચે પડે છે જ્યાં સુધી તેની ઝડપ પ્રક્ષેપણની ઝડપ જેટલી ન થાય.
(ii) આલેખ $(c)$ પદાર્થની પ્રતિપ્રવેગી ગતિ કરીને અમુક અચળ ઝડપ પ્રાપ્ત કરવી અને ત્યારબાદ અમુક સમય પછી પ્રવેગી ગતિ કરવાનું દર્શાવે છે.

(N/A) આપેલ છે:
પ્રારંભિક વેગ $u = 216 \ km \ h^{-1} = 216 \times \frac{5}{18} \ m \ s^{-1} = 60 \ m \ s^{-1}$.
અંતિમ વેગ $v = 0 \ m \ s^{-1}$ (કારણ કે તે સ્થિર થાય છે).
કાપેલું અંતર $S = 2 \ km = 2000 \ m$.
$(i)$ પ્રવેગ $(a)$ શોધવા માટે,આપણે $v^{2} - u^{2} = 2aS$ સમીકરણનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$(0)^{2} - (60)^{2} = 2 \times a \times 2000$
$-3600 = 4000 \times a$
$a = -\frac{3600}{4000} = -0.9 \ m \ s^{-2}$.
$(ii)$ સમય $(t)$ શોધવા માટે,આપણે $v = u + at$ સમીકરણનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$0 = 60 + (-0.9) \times t$
$0.9t = 60$
$t = \frac{60}{0.9} \approx 66.67 \ s$.

(N/A) પ્રારંભિક વેગ $u = 90\, km h^{-1} = 90 \times \frac{5}{18} = 25\, m s^{-1}$.
અંતિમ વેગ $v = 18\, km h^{-1} = 18 \times \frac{5}{18} = 5\, m s^{-1}$.
સમય $t = 2.5\, s$.
$(i)$ ગતિના પ્રથમ સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા:
$5 = 25 + a \times 2.5$
$5 - 25 = 2.5a$
$-20 = 2.5a$
$a = \frac{-20}{2.5} = -8\, m s^{-2}$.
આમ,પ્રવેગ $-8\, m s^{-2}$ છે (જે મંદન દર્શાવે છે).
$(ii)$ ગતિના ત્રીજા સમીકરણ $v^2 - u^2 = 2aS$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(5)^2 - (25)^2 = 2 \times (-8) \times S$
$25 - 625 = -16S$
$-600 = -16S$
$S = \frac{600}{16} = 37.5\, m$.
આમ,કાપેલું અંતર $37.5\, m$ છે.

(N/A) કિસ્સો $1$: પ્રારંભિક વેગ $u = 90 \, km \, h^{-1} = 90 \times \frac{5}{18} = 25 \, m \, s^{-1}$.
અંતિમ વેગ $v = 54 \, km \, h^{-1} = 54 \times \frac{5}{18} = 15 \, m \, s^{-1}$.
અંતર $S = 40 \, m$.
સમીકરણ $v^2 - u^2 = 2aS$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(15)^2 - (25)^2 = 2 \times a \times 40$
$225 - 625 = 80a$
$-400 = 80a \implies a = -5 \, m \, s^{-2}$.
કિસ્સો $2$: બાઈક $90 \, km \, h^{-1}$ $(u = 25 \, m \, s^{-1})$ થી સ્થિર થાય છે,તેથી $v = 0$.
$(i)$ કુલ સમય $t$ શોધવા માટે,$v = u + at$ નો ઉપયોગ કરો:
$0 = 25 + (-5)t$
$5t = 25 \implies t = 5 \, s$.
$(ii)$ કુલ અંતર $S$ શોધવા માટે,$v^2 - u^2 = 2aS$ નો ઉપયોગ કરો:
$0^2 - (25)^2 = 2 \times (-5) \times S$
$-625 = -10S \implies S = 62.5 \, m$.