Geometry of complex numbers Questions in Hindi

(A) दिया है,$|\frac{z-2i}{z+2i}|=1$
$\Rightarrow |z-2i| = |z+2i|$
$z=x+iy$ प्रतिस्थापित करने पर:
$|x+i(y-2)| = |x+i(y+2)|$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$x^2+(y-2)^2 = x^2+(y+2)^2$
$x^2+y^2-4y+4 = x^2+y^2+4y+4$
$-4y = 4y$
$8y = 0$
$y=0$
यह $x$-अक्ष को दर्शाता है।

(B) दिया है $z = x+iy$,इसलिए $z-2-3i = (x-2) + i(y-3)$.
चूंकि $z-2-3i$ का आयाम $\frac{\pi}{4}$ है,इसलिए $\arg((x-2) + i(y-3)) = \frac{\pi}{4}$.
इसका अर्थ है $\tan^{-1}\left(\frac{y-3}{x-2}\right) = \frac{\pi}{4}$.
दोनों पक्षों का टेंजेंट लेने पर,$\frac{y-3}{x-2} = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$.
अतः,$y-3 = x-2$,जिसे सरल करने पर $x-y+1=0$ प्राप्त होता है।

(A) माना $a = x + iy$,जहाँ $x, y \in \mathbb{R}$ है। तब $\bar{a} = x - iy$ होगा।
इन मानों को दिए गए समीकरण $\bar{a} + a + b = 0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(x - iy) + (x + iy) + b = 0$
$2x + b = 0$
$x = -\frac{b}{2}$
चूँकि $b$ एक वास्तविक संख्या है,इसलिए $-\frac{b}{2}$ एक अचर है। समीकरण $x = \text{constant}$ सम्मिश्र तल में एक ऊर्ध्वाधर सरल रेखा को निरूपित करता है।

(C) मान लीजिए $z = x + iy$ है। दी गई शर्त $\operatorname{Arg}\left(\frac{z-3i}{z+2i}\right) = \frac{\pi}{4}$ है।
यह $A(0, 3)$ और $B(0, -2)$ से गुजरने वाले वृत्त का चाप दर्शाता है।
$\frac{z-3i}{z+2i} = \frac{x+i(y-3)}{x+i(y+2)}$ लेने पर और सरल करने पर, हमें $\frac{x(y-3) - x(y+2)}{x^2 + (y-3)(y+2)} = 1$ प्राप्त होता है।
अतः, $-5x = x^2 + y^2 - y - 6$ है।
इसलिए, $x^2 + y^2 + 5x - y - 6 = 0$, जहाँ $(x, y) \neq (0, -2)$ है।

(C) माना $z = x + iy$ है। तब $\frac{z-3}{z+3i} = \frac{(x-3) + iy}{x + i(y+3)}$ है।
हर के संयुग्मी से गुणा करने पर: $x - i(y+3)$।
काल्पनिक भाग $\frac{-3x + 3y + 9}{x^2 + (y+3)^2} = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$-3x + 3y + 9 = 0$ अर्थात $x - y - 3 = 0$ है।
हर शून्य नहीं हो सकता,इसलिए $(x, y) \neq (0, -3)$।

(C) शर्त $\text{arg}\left(\frac{z-3}{z-2i}\right)=-\frac{\pi}{2}$ का अर्थ है कि बिंदु $A(3,0)$ और $B(0,2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड द्वारा बिंदु $P(x,y)$ पर बनाया गया कोण $-\frac{\pi}{2}$ है।
इसका मतलब है कि $P$ एक ऐसे वृत्त के चाप पर स्थित है जो $A(3,0)$ और $B(0,2)$ से होकर गुजरता है।
$z=x+iy$ रखने पर,$\frac{z-3}{z-2i} = \frac{x^2+y^2-3x-2y + i(6-2x-3y)}{x^2+(y-2)^2}$ प्राप्त होता है।
कोणांक $-\frac{\pi}{2}$ होने के लिए,वास्तविक भाग $0$ और काल्पनिक भाग ऋणात्मक होना चाहिए।
वास्तविक भाग: $x^2+y^2-3x-2y=0$,जो एक वृत्त है।
काल्पनिक भाग: $6-2x-3y < 0$,जिसका अर्थ है $2x+3y > 6$।
अतः,बिंदुपथ वृत्त का वह चाप है जहाँ $2x+3y > 6$ है।

(B) माना $z = x + iy$ है। तब $\frac{2z-i}{z-2} = \frac{2(x+iy)-i}{(x+iy)-2} = \frac{2x + i(2y-1)}{(x-2) + iy}$ है।
इसे शुद्ध वास्तविक बनाने के लिए,अंश और हर को हर के संयुग्मी $(x-2) - iy$ से गुणा करें:
$\frac{[2x + i(2y-1)][(x-2) - iy]}{(x-2)^2 + y^2} = \frac{2x(x-2) + y(2y-1) + i[(2y-1)(x-2) - 2xy]}{(x-2)^2 + y^2}$ है।
व्यंजक के शुद्ध वास्तविक होने के लिए,काल्पनिक भाग शून्य होना चाहिए:
$(2y-1)(x-2) - 2xy = 0$ है।
$2xy - 4y - x + 2 - 2xy = 0$ है।
$-x - 4y + 2 = 0$,जो सरल होकर $x + 4y - 2 = 0$ हो जाता है।
चूंकि हर $z-2 \neq 0$ है,इसलिए $(x, y) \neq (2, 0)$ होना चाहिए।

(B) माना $z = x + iy$ है।
व्यंजक $\frac{2z-i}{z+2i} = \frac{2(x+iy)-i}{(x+iy)+2i} = \frac{2x + i(2y-1)}{x + i(y+2)}$ है।
कोणांक ज्ञात करने के लिए,हर के संयुग्मी से गुणा करने पर:
$\frac{2x + i(2y-1)}{x + i(y+2)} \times \frac{x - i(y+2)}{x - i(y+2)} = \frac{2x^2 + (2y-1)(y+2) + i[x(2y-1) - 2x(y+2)]}{x^2 + (y+2)^2}$।
वास्तविक भाग $R = \frac{2x^2 + 2y^2 + 3y - 2}{x^2 + (y+2)^2}$ और काल्पनिक भाग $I = \frac{-5x}{x^2 + (y+2)^2}$ है।
दिया गया है कि $\text{Arg}\left(\frac{2z-i}{z+2i}\right) = \frac{\pi}{4}$,इसलिए $\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{I}{R} = 1$।
अतः,$I = R$,जिसका अर्थ है $\frac{-5x}{x^2 + (y+2)^2} = \frac{2x^2 + 2y^2 + 3y - 2}{x^2 + (y+2)^2}$।
इसका सरलीकरण $2x^2 + 2y^2 + 5x + 3y - 2 = 0$ है,जहाँ $(x, y) \neq (0, -2)$।

(B) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $z^2+az+b=0$ के मूल हैं।
मूलों के गुणों से,हमारे पास $\alpha+\beta = -a$ और $\alpha\beta = b$ है।
चूंकि मूल बिंदु $(0)$,$\alpha$,और $\beta$ आर्गंड तल में एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं,इसलिए मूल बिंदु पर एक शीर्ष वाले समबाहु त्रिभुज के लिए शर्त $\alpha^2 + \beta^2 = \alpha\beta$ है।
हम इसे $(\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta = \alpha\beta$ के रूप में लिख सकते हैं।
मूलों के योग और गुणनफल के मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(-a)^2 - 2(b) = b$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $a^2 - 2b = b$ मिलता है,जिससे $a^2 = 3b$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण $|z-2i|=2$ आर्गंड समतल में एक वृत्त है जिसका केंद्र $(0, 2)$ और त्रिज्या $2$ है।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल अधिकतम होने के लिए,इसे एक समबाहु त्रिभुज होना चाहिए।
माना $A$ बिंदु $(2, 2)$ है। वृत्त का केंद्र $O'(0, 2)$ है।
समबाहु त्रिभुज के लिए,$A$ से $BC$ पर डाला गया लंब केंद्र $O'(0, 2)$ से होकर गुजरता है।
$M$,$BC$ का मध्य बिंदु है। $M$ के निर्देशांक $(-1, 2)$ प्राप्त होते हैं।
अतः,$M$ का काल्पनिक भाग $2$ है।
चूंकि $M$,$BC$ का मध्य बिंदु है,इसलिए $\frac{\text{Im}(z_2) + \text{Im}(z_3)}{2} = 2$ है।
अतः,$\text{Im}(z_2) + \text{Im}(z_3) = 4$।

(D) आर्गंड समतल में चार बिंदु $A, B, C, D$ के निर्देशांक $(2, 1), (4, 3), (2, 5), (0, 3)$ हैं।
भुजाओं की ढाल की गणना करने पर:
$AB$ की ढाल $= \frac{3-1}{4-2} = 1$.
$BC$ की ढाल $= \frac{5-3}{2-4} = -1$.
चूंकि ढालों का गुणनफल $1 \times (-1) = -1$ है,इसलिए $\angle ABC = 90^\circ$ है।
अतः,$ABCD$ एक आयत है।
वृत्त में स्थित आयत के विकर्ण वृत्त के व्यास होते हैं।
वृत्त का केंद्र विकर्ण $AC$ का मध्य-बिंदु है।
$AC$ का मध्य-बिंदु $= \left(\frac{2+2}{2}, \frac{1+5}{2}\right) = (2, 3)$.
सम्मिश्र रूप में,यह $2+3i$ है।

(C) समीकरण $|z-z_1| + |z-z_2| = \lambda$ दो निश्चित बिंदुओं $z_1$ और $z_2$ से दूरियों का योग अचर होने को दर्शाता है।
यदि $\lambda = |z_1-z_2|$ है,तो बिंदु पथ $z_1$ और $z_2$ को जोड़ने वाला रेखाखंड है।
यदि $\lambda > |z_1-z_2|$ है,तो बिंदु पथ $z_1$ और $z_2$ नाभियों वाला एक दीर्घवृत्त है।
यदि $\lambda < |z_1-z_2|$ है,तो बिंदु पथ एक रिक्त समुच्चय है।
अतः,शर्त $|z_1-z_2| < \lambda$ एक दीर्घवृत्त को दर्शाती है।

(C) हमें दिया गया है कि $|z+4| \geq 3$ है।
त्रिभुज असमिका के अनुसार,हम जानते हैं कि $|z+4| = |(z+3) + 1| \leq |z+3| + |1|$ होता है।
दी गई शर्त को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $3 \leq |z+3| + 1$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $|z+3| \geq 3 - 1$ मिलता है,जिसका अर्थ है कि $|z+3| \geq 2$ है।
अतः,$|z+3|$ का न्यूनतम मान $2$ है।

(D) असमिका $2 < |z-(1+i)| < 3$ केंद्र $(1, 1)$ और त्रिज्याओं $r_1 = 2$ तथा $r_2 = 3$ वाले दो संकेंद्रित वृत्तों के बीच के क्षेत्र को दर्शाती है।
इस क्षेत्र (वलय) का क्षेत्रफल बाहरी वृत्त के क्षेत्रफल और आंतरिक वृत्त के क्षेत्रफल के बीच का अंतर है।
क्षेत्रफल $= \pi r_2^2 - \pi r_1^2$
क्षेत्रफल $= \pi (3)^2 - \pi (2)^2$
क्षेत्रफल $= 9\pi - 4\pi = 5\pi$.

(A) दी गई शर्त $\left|\frac{z-1+i}{z+1-i}\right|=\left|\operatorname{Re}\left(\frac{z-1+i}{z+1-i}\right)\right|$ है, जहाँ $z \neq -1+i$.
माना $w = \frac{z-1+i}{z+1-i}$. शर्त $|w| = |\operatorname{Re}(w)|$ है।
किसी भी सम्मिश्र संख्या $w = u + iv$ के लिए, $|w| = \sqrt{u^2 + v^2}$ और $|\operatorname{Re}(w)| = |u| = \sqrt{u^2}$.
अतः, $\sqrt{u^2 + v^2} = \sqrt{u^2} \implies u^2 + v^2 = u^2 \implies v^2 = 0 \implies v = 0$.
इसका अर्थ है कि $\operatorname{Im}(w) = 0$, इसलिए $w$ एक वास्तविक संख्या होनी चाहिए।
माना $z = x + iy$. तब $w = \frac{(x-1) + i(y+1)}{(x+1) + i(y-1)}$.
अंश और हर को हर के संयुग्मी से गुणा करने पर:
$w = \frac{((x-1) + i(y+1))((x+1) - i(y-1))}{(x+1)^2 + (y-1)^2}$.
$w$ का काल्पनिक भाग शून्य होगा जब अंश का काल्पनिक भाग शून्य हो:
$(x-1)(-(y-1)) + (y+1)(x+1) = 0$.
$-xy + x + y - 1 + xy + x + y + 1 = 0$.
$2x + 2y = 0 \implies x + y = 0$.
चूंकि $z \neq -1+i$, बिंदु $(-1, 1)$ रेखा $x+y=0$ से बाहर है।
अतः, बिंदुपथ एक सीधी रेखा है जिसमें बिंदु $(-1+i)$ शामिल नहीं है।

(D) मान लीजिए बिंदु $A(-3, 5)$,$B(-1, 6)$,$C(-2, 8)$,और $D(-4, 7)$ हैं।
भुजाओं की लंबाई की गणना करने पर:
$AB = \sqrt{(-1 - (-3))^2 + (6 - 5)^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$
$BC = \sqrt{(-2 - (-1))^2 + (8 - 6)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{5}$
$CD = \sqrt{(-4 - (-2))^2 + (7 - 8)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{5}$
$DA = \sqrt{(-3 - (-4))^2 + (5 - 7)^2} = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{5}$
चूंकि सभी भुजाएं समान हैं,यह एक समचतुर्भुज या वर्ग है।
विकर्णों की लंबाई की गणना करने पर:
$AC = \sqrt{(-2 - (-3))^2 + (8 - 5)^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$
$BD = \sqrt{(-4 - (-1))^2 + (7 - 6)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 1^2} = \sqrt{10}$
चूंकि विकर्ण समान हैं $(AC = BD = \sqrt{10})$ और सभी भुजाएं समान हैं,इसलिए यह आकृति एक वर्ग है।

(C) दिया गया है $|Z| \leq 2$ और $-\frac{\pi}{3} \leq \operatorname{amp} Z \leq \frac{\pi}{3}$।
यह एक वृत्त के त्रिज्यखंड को दर्शाता है जिसकी त्रिज्या $r = 2$ इकाई है और केंद्रीय कोण $\theta = \frac{\pi}{3} - (-\frac{\pi}{3}) = \frac{2 \pi}{3}$ है।
आरेख से,$Z$ का बिंदुपथ एक त्रिज्यखंड $OAB$ बनाता है।
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} r^2 \theta$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$A = \frac{1}{2} \times (2)^2 \times \frac{2 \pi}{3}$
$A = \frac{1}{2} \times 4 \times \frac{2 \pi}{3}$
$A = \frac{4 \pi}{3} \text{ वर्ग इकाई}$।

(B) मान लीजिए त्रिभुज के शीर्ष $O(0,0)$,$A(z)$,और $B(z e^{i \alpha})$ हैं।
दूरी $OA = |z - 0| = |z|$.
दूरी $OB = |z e^{i \alpha} - 0| = |z| |e^{i \alpha}| = |z| \times 1 = |z|$.
सदिशों $OA$ और $OB$ के बीच का कोण $\frac{z e^{i \alpha}}{z} = e^{i \alpha}$ का कोणांक है,जो $\alpha$ है।
दो भुजाओं $a$ और $b$ तथा उनके बीच के कोण $\theta$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} ab \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times OA \times OB \times \sin \alpha = \frac{1}{2} |z| |z| \sin \alpha = \frac{1}{2} |z|^2 \sin \alpha$ है।

(D) दिया गया है $z_1=2-3i$ और $z_2=-1+i$। शर्त $\arg \left(\frac{z-z_1}{z-z_2}\right)=\frac{\pi}{2}$ का अर्थ है कि सदिश $z-z_1$,सदिश $z-z_2$ के सापेक्ष $\frac{\pi}{2}$ कोण पर वामावर्त दिशा में है। इसका मतलब है कि $\angle z_1 z z_2 = \frac{\pi}{2}$ है।
अतः,$z$ का बिंदुपथ $z_1 z_2$ व्यास वाला एक वृत्त है,जिसमें बिंदु $z_1$ और $z_2$ शामिल नहीं हैं।
व्यास के अंत बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ होता है।
यहाँ,$z_1 = (2, -3)$ और $z_2 = (-1, 1)$ है।
$(x-2)(x+1) + (y+3)(y-1) = 0$
$x^2 - x - 2 + y^2 + 2y - 3 = 0$
$x^2 + y^2 - x + 2y - 5 = 0$.
तर्क (argument) को ठीक $\frac{\pi}{2}$ होने के लिए,बिंदु $z, z_1, z_2$ को वामावर्त क्रम में एक त्रिभुज बनाना चाहिए। यह शर्त बिंदुपथ को $z_1$ और $z_2$ से गुजरने वाली रेखा के एक तरफ के अर्धवृत्त तक सीमित करती है।
$z_1(2, -3)$ और $z_2(-1, 1)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $4x+3y+1=0$ है।
वृत्त के अंदर का बिंदु $(0,0)$ लेने पर: $4(0)+3(0)+1 = 1 > 0$। अतः,शर्त $4x+3y+1 > 0$ है।

(C) माना $z = x + iy$.
व्यंजक में $z$ का मान रखने पर:
$\frac{2z+1}{iz+1} = \frac{2(x+iy)+1}{i(x+iy)+1} = \frac{(2x+1) + i(2y)}{(1-y) + ix}$.
हर के संयुग्मी से गुणा करने पर:
$\frac{[(2x+1) + i(2y)][(1-y) - ix]}{(1-y)^2 + x^2} = \frac{(2x+1)(1-y) + 2xy + i[2y(1-y) - x(2x+1)]}{(1-y)^2 + x^2}$.
काल्पनिक भाग $-2$ दिया गया है:
$\frac{2y - 2y^2 - 2x^2 - x}{(1-y)^2 + x^2} = -2$.
$2y - 2y^2 - 2x^2 - x = -2(1 - 2y + y^2 + x^2)$.
$2y - 2y^2 - 2x^2 - x = -2 + 4y - 2y^2 - 2x^2$.
समीकरण को सरल करने पर:
$-x - 2y = -2$,या $x + 2y - 2 = 0$.
यह एक सीधी रेखा का समीकरण है।

(C) माना $z = x + iy$.
दिया गया समीकरण $|z| + |z - 1| = 3$ है।
यह बिंदु $z$ की $0$ और $1$ बिंदुओं से दूरी का योग अचर $(3)$ दर्शाता है।
चूंकि $3 > |0 - 1| = 1$,इसलिए यह बिंदु पथ $0$ और $1$ नाभियों वाला एक दीर्घवृत्त है।
बीजगणितीय रूप से:
$\sqrt{x^2 + y^2} + \sqrt{(x - 1)^2 + y^2} = 3$
$\sqrt{(x - 1)^2 + y^2} = 3 - \sqrt{x^2 + y^2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(x - 1)^2 + y^2 = 9 + x^2 + y^2 - 6\sqrt{x^2 + y^2}$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 = 9 + x^2 + y^2 - 6\sqrt{x^2 + y^2}$
$-2x + 1 = 9 - 6\sqrt{x^2 + y^2}$
$6\sqrt{x^2 + y^2} = 2x + 8$
$3\sqrt{x^2 + y^2} = x + 4$
पुनः वर्ग करने पर:
$9(x^2 + y^2) = (x + 4)^2$
$9x^2 + 9y^2 = x^2 + 8x + 16$
$8x^2 - 8x + 9y^2 = 16$
$8(x - \frac{1}{2})^2 + 9y^2 = 18$
$\frac{(x - 1/2)^2}{9/4} + \frac{y^2}{2} = 1$
यह एक दीर्घवृत्त का मानक समीकरण है।

(A) माना $z = x + iy$.
दिया है $\arg \left(\frac{z-2}{z+2}\right) = \frac{\pi}{3}$.
गुणधर्म $\arg \left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg(z_1) - \arg(z_2)$ का उपयोग करने पर:
$\arg(z-2) - \arg(z+2) = \frac{\pi}{3}$.
$z = x + iy$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\arg((x-2) + iy) - \arg((x+2) + iy) = \frac{\pi}{3}$.
$\arg(x+iy) = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)$ का उपयोग करने पर:
$\tan^{-1}\left(\frac{y}{x-2}\right) - \tan^{-1}\left(\frac{y}{x+2}\right) = \frac{\pi}{3}$.
$\tan^{-1} A - \tan^{-1} B = \tan^{-1}\left(\frac{A-B}{1+AB}\right)$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$\tan^{-1}\left[\frac{\frac{y}{x-2} - \frac{y}{x+2}}{1 + \frac{y}{x-2} \cdot \frac{y}{x+2}}\right] = \frac{\pi}{3}$.
$\frac{4y}{x^2 + y^2 - 4} = \sqrt{3}$.
$x^2 + y^2 - \frac{4}{\sqrt{3}}y - 4 = 0$.
यह एक वृत्त का समीकरण है।

(A) माना शीर्ष $z_j = \frac{1}{x_j - 2i}$ हैं। चूँकि $x_j$,$x^8 - 1 = 0$ के मूल हैं,वे इकाई वृत्त $|x| = 1$ पर स्थित हैं।
मोबियस रूपांतरण $f(x) = \frac{1}{x - 2i}$ का उपयोग करने पर,वृत्त $|x|=1$ का प्रतिबिंब भी एक वृत्त होता है।
इस वृत्त की त्रिज्या $R = \frac{1}{3}$ प्राप्त होती है।

(B) माना $Z_0 = 3 + 4i$ है। दिया गया समीकरण $|Z_1 - Z_0| = 5$ एक वृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र $C(3, 4)$ और त्रिज्या $r = 5$ है।
केंद्र $C$ की मूल बिंदु $O(0, 0)$ से दूरी $|Z_0| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ है।
वृत्त मूल बिंदु से होकर गुजरता है।
$|Z_2| = 15$ होने के कारण,$|Z_1 - Z_2|$ का अधिकतम मान $10 + 15 = 25$ और न्यूनतम मान $5$ है।
अतः,अधिकतम और न्यूनतम मानों का योग $25 + 5 = 30$ है।

(A) माना $z_1 = e^{i\alpha}$,$z_2 = e^{i\beta}$,और $z_3 = e^{i\gamma}$ है।
दिया है $\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 0$ और $\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 0$,अतः $z_1 + z_2 + z_3 = 0$ है।
चूंकि $|z_1| = |z_2| = |z_3| = 1$,इसलिए $\frac{1}{z_1} + \frac{1}{z_2} + \frac{1}{z_3} = \bar{z_1} + \bar{z_2} + \bar{z_3} = \overline{z_1 + z_2 + z_3} = 0$ है।
अतः,$\frac{z_2z_3 + z_1z_3 + z_1z_2}{z_1z_2z_3} = 0$,जिसका अर्थ है $z_1z_2 + z_2z_3 + z_3z_1 = 0$ है।
अब,$(z_1 + z_2 + z_3)^2 = z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 + 2(z_1z_2 + z_2z_3 + z_3z_1) = 0$ है।
चूंकि $z_1z_2 + z_2z_3 + z_3z_1 = 0$,इसलिए $z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 = 0$ है।
$z_k = \cos k + i \sin k$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(\cos 2\alpha + i \sin 2\alpha) + (\cos 2\beta + i \sin 2\beta) + (\cos 2\gamma + i \sin 2\gamma) = 0$ प्राप्त होता है।
वास्तविक भागों की तुलना करने पर,$\cos 2\alpha + \cos 2\beta + \cos 2\gamma = 0$ प्राप्त होता है।

(B) माना $u = \cos \alpha + i \sin \alpha$,$v = \cos \beta + i \sin \beta$,और $w = \cos \gamma + i \sin \gamma$ है।
दिया है $\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 0$ और $\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 0$,इसलिए $u + v + w = 0$ है।
चूंकि $|u| = |v| = |w| = 1$ है,इसलिए $u \bar{u} = 1$,$v \bar{v} = 1$,और $w \bar{w} = 1$ है।
$u + v + w = 0$ से,हमें $\bar{u} + \bar{v} + \bar{w} = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{1}{u} + \frac{1}{v} + \frac{1}{w} = 0$।
यह सरल होकर $uv + vw + wu = 0$ बन जाता है।
अब,$(u + v + w)^2 = u^2 + v^2 + w^2 + 2(uv + vw + wu) = 0$ पर विचार करें।
चूंकि $uv + vw + wu = 0$ है,इसलिए $u^2 + v^2 + w^2 = 0$ है।
$u^2 = \cos 2 \alpha + i \sin 2 \alpha$,$v^2 = \cos 2 \beta + i \sin 2 \beta$,और $w^2 = \cos 2 \gamma + i \sin 2 \gamma$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(\cos 2 \alpha + \cos 2 \beta + \cos 2 \gamma) + i(\sin 2 \alpha + \sin 2 \beta + \sin 2 \gamma) = 0 + 0i$।
काल्पनिक भागों की तुलना करने पर,हमें $\sin 2 \alpha + \sin 2 \beta + \sin 2 \gamma = 0$ प्राप्त होता है।

(B) दी गई असमिका $|z - 25i| \leq 15$ सम्मिश्र तल में एक वृत्त को दर्शाती है जिसका केंद्र $(0, 25)$ और त्रिज्या $r = 15$ है।
मूल बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करने के लिए, $\sin \theta = \frac{r}{d} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$ लें, जहाँ $d = 25$ मूल बिंदु से केंद्र की दूरी है।
अतः, $\theta = \sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$।
$\arg(z)$ का मान $\frac{\pi}{2} - \theta$ से $\frac{\pi}{2} + \theta$ के बीच होता है।
इसलिए, $\text{Maximum } \arg(z) = \frac{\pi}{2} + \theta$ और $\text{Minimum } \arg(z) = \frac{\pi}{2} - \theta$ है।
अंतर $(\frac{\pi}{2} + \theta) - (\frac{\pi}{2} - \theta) = 2\theta = 2 \sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$ होगा।
चूंकि $\sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$, इसलिए अंतर $2 \cos^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$ है।

(C) दिया गया है $A = \{(z, w) \mid |z| = |w|\}$ और $B = \{(z, w) \mid z^2 = w^2\}$।
किसी भी $(z, w) \in B$ के लिए, $z^2 = w^2$ होता है, जिसका अर्थ है $z^2 - w^2 = 0$, इसलिए $(z - w)(z + w) = 0$।
इसका मतलब है $z = w$ या $z = -w$।
यदि $z = w$ है, तो $|z| = |w|$, इसलिए $(z, w) \in A$।
यदि $z = -w$ है, तो $|z| = |-w| = |w|$, इसलिए $(z, w) \in A$।
इस प्रकार, $B$ का प्रत्येक अवयव $A$ का भी अवयव है, जिसका अर्थ है $B \subseteq A$।
हालाँकि, $(z, w) = (1, i)$ पर विचार करें। यहाँ $|z| = |1| = 1$ और $|w| = |i| = 1$, इसलिए $|z| = |w|$, जिसका अर्थ है $(1, i) \in A$।
लेकिन $z^2 = 1^2 = 1$ और $w^2 = i^2 = -1$, इसलिए $z^2 \neq w^2$, जिसका अर्थ है $(1, i) \notin B$।
चूंकि $A$ में ऐसे अवयव हैं जो $B$ में नहीं हैं, इसलिए $B \subset A$ सही संबंध है।

(A) त्रिभुज असमिका के अनुसार, किन्हीं भी सम्मिश्र संख्याओं $z_1$ और $z_2$ के लिए, $|z_1| + |z_2| \geq |z_1 + z_2|$ होता है।
माना $z_1 = z$ और $z_2 = 1 - z$ है।
तब $|z| + |1 - z| \geq |z + (1 - z)|$ होगा।
चूंकि $|1 - z| = |z - 1|$, इसलिए $|z| + |z - 1| \geq |1|$ है।
अतः, $|z| + |z - 1| \geq 1$ है।
न्यूनतम मान $1$ है।

(D) मान लीजिए $w = \frac{z_{1}+z_{2}}{z_{1}-z_{2}}$.
यह जाँचने के लिए कि क्या $w$ शुद्ध काल्पनिक है, हम $w + \bar{w}$ का मूल्यांकन करते हैं।
$w + \bar{w} = \frac{z_{1}+z_{2}}{z_{1}-z_{2}} + \frac{\bar{z}_{1}+\bar{z}_{2}}{\bar{z}_{1}-\bar{z}_{2}}$
$= \frac{(z_{1}+z_{2})(\bar{z}_{1}-\bar{z}_{2}) + (\bar{z}_{1}+\bar{z}_{2})(z_{1}-z_{2})}{(z_{1}-z_{2})(\bar{z}_{1}-\bar{z}_{2})}$
$= \frac{(z_{1}\bar{z}_{1} - z_{1}\bar{z}_{2} + z_{2}\bar{z}_{1} - z_{2}\bar{z}_{2}) + (\bar{z}_{1}z_{1} - \bar{z}_{1}z_{2} + \bar{z}_{2}z_{1} - \bar{z}_{2}z_{2})}{|z_{1}-z_{2}|^2}$
चूँकि $|z_{1}| = |z_{2}|$, हमारे पास $z_{1}\bar{z}_{1} = z_{2}\bar{z}_{2} = |z_{1}|^2 = |z_{2}|^2$ है।
इसे प्रतिस्थापित करने पर, अंश शून्य हो जाता है:
$|z_{1}|^2 - z_{1}\bar{z}_{2} + z_{2}\bar{z}_{1} - |z_{2}|^2 + |z_{1}|^2 - \bar{z}_{1}z_{2} + \bar{z}_{2}z_{1} - |z_{2}|^2$
$= 2|z_{1}|^2 - 2|z_{2}|^2 = 0$.
चूँकि $w + \bar{w} = 0$, इसलिए $w$ शुद्ध काल्पनिक है।

(D) दिया गया है $z = x + iy$। तब $\frac{z+i}{z-i} = \frac{x + iy + i}{x + iy - i} = \frac{x + i(y+1)}{x + i(y-1)}$.
हर के संयुग्मी से गुणा करने पर:
$\frac{z+i}{z-i} = \frac{[x + i(y+1)][x - i(y-1)]}{x^2 + (y-1)^2} = \frac{x^2 + y^2 - 1 + 2xi}{x^2 + (y-1)^2}$.
शुद्ध काल्पनिक होने के लिए, वास्तविक भाग शून्य होना चाहिए:
$\frac{x^2 + y^2 - 1}{x^2 + (y-1)^2} = 0$.
अतः $x^2 + y^2 = 1$, जो एक वृत्त का समीकरण है।

(C) माना $z = x + iy$.
तब व्यंजक $|x+iy|^2 + |(x-3)+iy|^2 + |x+i(y-1)|^2$ हो जाता है।
$= (x^2 + y^2) + ((x-3)^2 + y^2) + (x^2 + (y-1)^2)$.
$= x^2 + y^2 + x^2 - 6x + 9 + y^2 + x^2 + y^2 - 2y + 1$.
$= 3x^2 - 6x + 3y^2 - 2y + 10$.
$= 3(x-1)^2 + 3(y - \frac{1}{3})^2 + \frac{20}{3}$.
यह व्यंजक न्यूनतम तब होता है जब $x-1 = 0$ और $y - \frac{1}{3} = 0$ हो।
अतः, $x = 1$ और $y = \frac{1}{3}$.
इस प्रकार, $z = 1 + \frac{i}{3}$.

(C) दिया गया है, $z_{1}=2+3i$ और $z_{2}=3+4i$.
हमारे पास समीकरण $|z-z_{1}|^{2}+|z-z_{2}|^{2}=|z_{1}-z_{2}|^{2}$ है।
माना $z=x+iy$.
तब $|(x-2)+i(y-3)|^{2}+|(x-3)+i(y-4)|^{2}=|(2-3)+i(3-4)|^{2}$.
$(x-2)^{2}+(y-3)^{2}+(x-3)^{2}+(y-4)^{2}=|-1-i|^{2}$.
$(x^{2}-4x+4)+(y^{2}-6y+9)+(x^{2}-6x+9)+(y^{2}-8y+16)=1+1$.
$2x^{2}+2y^{2}-10x-14y+38=2$.
$2x^{2}+2y^{2}-10x-14y+36=0$.
$x^{2}+y^{2}-5x-7y+18=0$.
यह एक वृत्त का समीकरण है जिसका केंद्र $(\frac{5}{2}, \frac{7}{2})$ और त्रिज्या $\frac{1}{\sqrt{2}}$ है।

(B) माना $\omega = \frac{z-1}{z+1}$ एक शुद्ध काल्पनिक संख्या है।
एक सम्मिश्र संख्या $\omega$ शुद्ध काल्पनिक होती है यदि और केवल यदि $\omega + \overline{\omega} = 0$ (जहाँ $\omega \neq 0$)।
अतः, $\frac{z-1}{z+1} + \overline{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)} = 0$
$\frac{z-1}{z+1} + \frac{\overline{z}-1}{\overline{z}+1} = 0$
$(z-1)(\overline{z}+1) + (\overline{z}-1)(z+1) = 0$
$(z\overline{z} + z - \overline{z} - 1) + (z\overline{z} - z + \overline{z} - 1) = 0$
$2z\overline{z} - 2 = 0$
$z\overline{z} = 1$
चूँकि $|z|^2 = z\overline{z}$, इसलिए $|z|^2 = 1$, जिसका अर्थ है कि $|z| = 1$।

(B) त्रिभुज असमिका के अनुसार, किन्हीं भी सम्मिश्र संख्याओं $z_1$ और $z_2$ के लिए, $|z_1| + |z_2| \geq |z_1 - z_2|$ होता है।
मान लीजिए $z_1 = z$ और $z_2 = 1 - z$ है।
तब $|z| + |1 - z| \geq |z + (1 - z)| = |1| = 1$ होगा।
चूंकि $|z - 1| = |1 - z|$, इसलिए $|z| + |z - 1| \geq 1$ है।
न्यूनतम मान $1$ है, जो तब प्राप्त होता है जब $z$ सम्मिश्र तल में $0$ और $1$ को जोड़ने वाले रेखाखंड पर स्थित होता है।

(B) दिया गया है कि $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ इकाई वृत्त $|z| = 1$ में अंतर्निहित एक समबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।
चूंकि त्रिभुज समबाहु है और मूल बिंदु पर केंद्रित वृत्त में स्थित है, इसलिए शीर्ष $z_{2}$ और $z_{3}$ को $z_{1}$ को क्रमशः $\frac{2\pi}{3}$ और $\frac{4\pi}{3}$ रेडियन के कोण पर घुमाकर प्राप्त किया जा सकता है।
अतः, $z_{2} = z_{1}\omega$ और $z_{3} = z_{1}\omega^{2}$, जहाँ $\omega$ इकाई का घनमूल है।
इसलिए, गुणनफल $z_{1} z_{2} z_{3} = z_{1} \times (z_{1}\omega) \times (z_{1}\omega^{2}) = z_{1}^{3} \omega^{3}$।
चूंकि $\omega^{3} = 1$, इसलिए $z_{1} z_{2} z_{3} = z_{1}^{3}$।

(B) दिया गया समीकरण $1+z+z^{3}+z^{4}=0$ है।
व्यंजक का गुणनखंड करने पर: $(1+z) + z^{3}(1+z) = 0$.
$(1+z)(1+z^{3}) = 0$.
इसका अर्थ है $1+z=0$ या $1+z^{3}=0$.
अतः, $z = -1$ या $z^{3} = -1$.
$z^{3} = -1$ के मूल $e^{i\pi/3}, e^{i\pi}, e^{i5\pi/3}$ हैं।
इस प्रकार, भिन्न मूल $z = -1, e^{i\pi/3}, e^{i5\pi/3}$ हैं।
ये तीन बिंदु आर्गंड समतल में एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं।

(D) माना $z = e^{i \theta}$, जहाँ $\theta \in \mathbb{R}$ और $\theta \neq n\pi$ $(n \in \mathbb{Z})$।
माना $w = \frac{z}{1-z^2}$ है।
$z = e^{i \theta}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$w = \frac{e^{i \theta}}{1 - e^{i 2 \theta}}$
अंश और हर को $e^{i \theta}$ से विभाजित करने पर:
$w = \frac{1}{e^{-i \theta} - e^{i \theta}}$
चूँकि $e^{-i \theta} - e^{i \theta} = -2i \sin \theta$ है,
अतः $w = \frac{1}{-2i \sin \theta} = \frac{i}{2 \sin \theta}$।
यहाँ $w$ का वास्तविक भाग $0$ है।
इसलिए, $w$ का बिंदु पथ $y$-अक्ष है।

(A) दिया गया है कि $|Z_1|=|Z_2|=|Z_3|=1$, अतः बिंदु $Z_1, Z_2, Z_3$ आर्गंड समतल में इकाई वृत्त पर स्थित हैं।
चूँकि $Z_1+Z_2+Z_3=0$ है, $Z_1, Z_2, Z_3$ द्वारा निर्मित त्रिभुज का केंद्रक मूल बिंदु $(0,0)$ पर है।
इकाई वृत्त पर स्थित बिंदुओं के लिए, मूल बिंदु से प्रत्येक शीर्ष की दूरी $R=1$ (परित्रिज्या) है।
$R$ त्रिज्या वाले वृत्त में अंतर्निहित समबाहु त्रिभुज की भुजा की लंबाई $s = R\sqrt{3}$ होती है।
यहाँ, $s = 1 \times \sqrt{3} = \sqrt{3}$ है।
$s$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{4}s^2$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
क्षेत्रफल $= \frac{\sqrt{3}}{4}(\sqrt{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 3 = \frac{3\sqrt{3}}{4}$.

(A) चूंकि $z_{1}, z_{2}$ और $z_{3}$ एक समबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं, इसलिए $|z_{1} - z_{2}| = |z_{2} - z_{3}| = |z_{3} - z_{1}| = k$ है।
दिया गया है $\alpha = \frac{1}{2}(\sqrt{3} + i)$, इसलिए $|\alpha| = \frac{1}{2} \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \frac{1}{2} \sqrt{4} = 1$ है।
मान लीजिए $A = \alpha z_{1} + \beta$, $B = \alpha z_{2} + \beta$, और $C = \alpha z_{3} + \beta$ है।
अब $A$ और $B$ के बीच की दूरी $|A - B| = |(\alpha z_{1} + \beta) - (\alpha z_{2} + \beta)| = |\alpha(z_{1} - z_{2})| = |\alpha| |z_{1} - z_{2}| = 1 \cdot k = k$ है।
इसी प्रकार, $|B - C| = |\alpha(z_{2} - z_{3})| = k$ और $|C - A| = |\alpha(z_{3} - z_{1})| = k$ है।
चूंकि नए बिंदुओं के बीच की दूरियां समान हैं, इसलिए वे एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं।

(C) समीकरण $z^{2}+pz+q=0$ के मूल $z_{1}$ और $z_{2}$ हैं।
आर्गंड समतल में बिंदुओं $z_{1}, z_{2}$ और मूल बिंदु $(0)$ द्वारा एक समबाहु त्रिभुज बनाने की शर्त $z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+0^{2} = z_{1}z_{2} + z_{2}(0) + (0)z_{1}$ है, जो $z_{1}^{2}+z_{2}^{2} = z_{1}z_{2}$ में सरल हो जाती है।
दोनों पक्षों में $2z_{1}z_{2}$ जोड़ने पर, हमें $(z_{1}+z_{2})^{2} = 3z_{1}z_{2}$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण के गुणों से, $z_{1}+z_{2} = -p$ और $z_{1}z_{2} = q$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें $(-p)^{2} = 3q$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $p^{2} = 3q$।

(C) हम जानते हैं कि यदि $z_{1}, z_{2}$ और $z_{3}$ एक समबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं, तो $z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}-z_{1}z_{2}-z_{2}z_{3}-z_{3}z_{1}=0$ होता है।
दिया गया है कि $\frac{z_{1}}{z_{2}}+\frac{z_{2}}{z_{1}}=1$, जिसे हल करने पर $z_{1}^{2}+z_{2}^{2}=z_{1}z_{2}$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-z_{1}z_{2}=0$।
यदि हम मूल बिंदु को तीसरे बिंदु $z_{3}=0$ के रूप में लें, तो शर्त $z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+0^{2}-z_{1}z_{2}-z_{2}(0)-0(z_{1})=0$ बन जाती है, जो $z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-z_{1}z_{2}=0$ में सरल हो जाती है।
यह समबाहु त्रिभुज की शर्त को पूरा करता है।
अतः, मूल बिंदु और $z_{1}$ तथा $z_{2}$ बिंदु एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं।

(C) हमारे पास है, $|z-i|=|z+1|=1$.
माना $z=x+iy$.
तब $|z-i|=1$ $\Rightarrow |x+i(y-1)|=1$ $\Rightarrow x^2+(y-1)^2=1$ $(i)$.
साथ ही, $|z+1|=1$ $\Rightarrow |(x+1)+iy|=1$ $\Rightarrow (x+1)^2+y^2=1$ (ii).
$(i)$ का विस्तार करने पर: $x^2+y^2-2y+1=1 \Rightarrow x^2+y^2=2y$.
(ii) का विस्तार करने पर: $x^2+2x+1+y^2=1 \Rightarrow x^2+y^2=-2x$.
दोनों की तुलना करने पर: $2y=-2x \Rightarrow y=-x$.
$y=-x$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $x^2+(-x-1)^2=1$ $\Rightarrow x^2+x^2+2x+1=1$ $\Rightarrow 2x^2+2x=0$ $\Rightarrow 2x(x+1)=0$.
अतः, $x=0$ या $x=-1$.
यदि $x=0$, तो $y=0$, इसलिए $z=0$.
यदि $x=-1$, तो $y=1$, इसलिए $z=-1+i$.
अतः, सम्मिश्र संख्याएँ $0$ और $-1+i$ हैं।

(A) समीकरण $|z-z_{1}|+|z-z_{2}|=k$ एक दीर्घवृत्त को दर्शाता है यदि $k > |z_{1}-z_{2}|$ हो।
दिए गए समीकरण में, $k = 2|z_{1}-z_{2}|$ है।
चूंकि $2|z_{1}-z_{2}| > |z_{1}-z_{2}|$, इसलिए दीर्घवृत्त की शर्त पूरी होती है।
अतः, $z$ का बिंदुपथ $z_{1}$ और $z_{2}$ पर नाभियों वाला एक दीर्घवृत्त है।

(B) मूल बिंदु $O(0)$, $z_1$ और $z_2$ एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं यदि $z_1^2 + z_2^2 = z_1 z_2$ हो।
हम जानते हैं कि समीकरण $z^2+az+b=0$ के लिए, मूलों का योग $z_1+z_2 = -a$ और मूलों का गुणनफल $z_1 z_2 = b$ है।
मूल बिंदु, $z_1$ और $z_2$ के समबाहु त्रिभुज बनाने की शर्त $z_1^2 + z_2^2 = z_1 z_2$ है।
दोनों पक्षों में $2z_1 z_2$ जोड़ने पर, हमें $z_1^2 + z_2^2 + 2z_1 z_2 = 3z_1 z_2$ प्राप्त होता है।
यह $(z_1+z_2)^2 = 3z_1 z_2$ में सरल हो जाता है।
मूलों के योग और गुणनफल के मान रखने पर, हमें $(-a)^2 = 3b$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $a^2 = 3b$।