Ellipse Questions in Gujarati

(D) રેખાનું સમીકરણ $x + \sqrt{3}y = 2\sqrt{3}$ છે,જેને $y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x + 2$ તરીકે લખી શકાય. અહીં ઢાળ $m = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.
દરેક વક્ર માટે બિંદુ $\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$ ચકાસીએ.
વિકલ્પ $D$ માટે: $x^{2} + 9y^{2} = 9$.
બિંદુ મૂકતા: $\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^{2} + 9\left(\frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{27}{4} + \frac{9}{4} = \frac{36}{4} = 9$. બિંદુ વક્ર પર છે.
ઉપવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ માટે $(x_{1}, y_{1})$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{xx_{1}}{a^{2}} + \frac{yy_{1}}{b^{2}} = 1$ છે.
$x^{2} + 9y^{2} = 9$ માટે,$\frac{x^{2}}{9} + y^{2} = 1$ મળે.
$\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$ આગળ સ્પર્શક: $\frac{x \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}}{9} + y \cdot \frac{1}{2} = 1$.
$\frac{\sqrt{3}x}{6} + \frac{y}{2} = 1 \implies \sqrt{3}x + 3y = 6 \implies x + \sqrt{3}y = 2\sqrt{3}$.
આ આપેલ રેખા સાથે બંધ બેસે છે.

(A) આપેલ વક્રો $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ (ઉપવલય) અને $x^{2} + y^{2} = \frac{31}{4}$ (વર્તુળ) છે.
ધારો કે સામાન્ય સ્પર્શકનો ઢાળ $m$ છે.
ઉપવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{a^{2}m^{2} + b^{2}}$ છે.
અહીં $a^{2} = 9$ અને $b^{2} = 4$,તેથી સ્પર્શક $y = mx \pm \sqrt{9m^{2} + 4}$ છે.
વર્તુળ $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm r\sqrt{1 + m^{2}}$ છે.
અહીં $r^{2} = \frac{31}{4}$,તેથી સ્પર્શક $y = mx \pm \frac{\sqrt{31}}{2}\sqrt{1 + m^{2}}$ છે.
રેખાઓ સમાન હોવા માટે,અચળ પદો સમાન હોવા જોઈએ:
$9m^{2} + 4 = \frac{31}{4}(1 + m^{2})$.
$4$ વડે ગુણતા,આપણને $36m^{2} + 16 = 31 + 31m^{2}$ મળે છે.
$5m^{2} = 15$.
$m^{2} = 3$.

(B) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{4}=1$ છે. અહીં $a^{2}=8$ અને $b^{2}=4$ છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{4}{8}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ મળે.
નાભિઓ $S(-2, 0)$ અને $S'(2, 0)$ છે.
રેખા $x+2y=0$ ને લંબ રેખાનું સમીકરણ $y=2x+k$ છે.
સ્પર્શકની શરત $c^{2}=a^{2}m^{2}+b^{2}$ મુજબ $c^{2} = 8(4)+4 = 36$,તેથી $c=6$ (બીજા ચરણ માટે).
સ્પર્શબિંદુ $P(-\frac{8}{3}, \frac{2}{3})$ મળે.
ત્રિકોણ $SPS'$ નું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$ છે.
તેથી,$(5-e^{2}) \cdot A = (5 - \frac{1}{2}) \cdot \frac{4}{3} = 6$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $x^{2}+9 y^{2}-4 x+3=0$
પદોને ગોઠવતા: $(x^{2}-4 x)+(9 y^{2})+3=0$
$x$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $(x^{2}-4 x+4)+9 y^{2}+3-4=0$
$(x-2)^{2}+(3 y)^{2}=1$
આ ઉપવલયનું સમીકરણ છે: $\frac{(x-2)^{2}}{1^{2}}+\frac{y^{2}}{(1/3)^{2}}=1$
ઉપવલય $\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$ માટે,$x$ નો વિસ્તાર $[h-a, h+a]$ અને $y$ નો વિસ્તાર $[k-b, k+b]$ છે.
અહીં,$h=2, a=1, k=0, b=1/3$.
તેથી,$x \in [2-1, 2+1] = [1, 3]$ અને $y \in [0-1/3, 0+1/3] = [-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}]$.
આમ,$x$ અને $y$ અનુક્રમે $[1, 3]$ અને $[-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}]$ માં આવેલા છે.

(C) ઉપવલય $\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{(2a)^{2}}=1$ ના બિંદુ $(b \cos \theta, 2a \sin \theta)$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x \cos \theta}{b} + \frac{y \sin \theta}{2a} = 1$ છે.
$x$-અંતઃખંડ $A = (\frac{b}{\cos \theta}, 0)$ અને $y$-અંતઃખંડ $B = (0, \frac{2a}{\sin \theta})$ છે.
ત્રિકોણ $\Delta OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = \frac{1}{2} \times |x_{\text{intercept}}| \times |y_{\text{intercept}}| = \frac{1}{2} \times \frac{b}{\cos \theta} \times \frac{2a}{\sin \theta} = \frac{ab}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{2ab}{\sin 2\theta}$ છે.
$\sin 2\theta$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $1$ હોવાથી ($\theta = \frac{\pi}{4}$ માટે),ન્યૂનતમ ક્ષેત્રફળ $2ab$ થાય.
આપેલ છે કે ન્યૂનતમ ક્ષેત્રફળ $kab$ છે,તેથી $kab = 2ab$,જેનો અર્થ છે કે $k = 2$.

(B) આપેલ રેખા $12 x \cos \theta + 5 y \sin \theta = 60$ છે.
$60$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{12 x \cos \theta}{60} + \frac{5 y \sin \theta}{60} = 1$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x \cos \theta}{5} + \frac{y \sin \theta}{12} = 1$ થાય છે.
આને ઉપવલયના સ્પર્શકના સમીકરણ $\frac{x}{a} \cos \theta + \frac{y}{b} \sin \theta = 1$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 5$ અને $b = 12$ મળે છે.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ છે,એટલે કે $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{144} = 1$.
$3600$ વડે ગુણતા,આપણને $144 x^{2} + 25 y^{2} = 3600$ મળે છે.

(C) ધારો કે ઉપવલય પરનું બિંદુ $P(2 \cos \theta, 3 \sin \theta)$ છે.
સ્થિર બિંદુ $Q(-3, -5)$ છે.
ધારો કે $(h, k)$ એ રેખાખંડ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી:
$h = \frac{2 \cos \theta - 3}{2} \implies \cos \theta = \frac{2h + 3}{2}$
$k = \frac{3 \sin \theta - 5}{2} \implies \sin \theta = \frac{2k + 5}{3}$
$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ હોવાથી:
$\left(\frac{2h + 3}{2}\right)^2 + \left(\frac{2k + 5}{3}\right)^2 = 1$
સાદુરૂપ આપતા:
$36h^2 + 16k^2 + 108h + 80k + 145 = 0$
આમ,બિંદુપથ $36x^2 + 16y^2 + 108x + 80y + 145 = 0$ છે.

(A) આપેલ વક્રો $C_1: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ અને $C_2: x^2 + y^2 = ab$ છે.
ધારો કે છેદબિંદુ $(x_1, y_1)$ છે.
$C_1$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $\frac{2x}{a^2} + \frac{2yy'}{b^2} = 0 \implies y'_1 = -\frac{b^2 x_1}{a^2 y_1}$.
$C_2$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $2x + 2yy' = 0 \implies y'_2 = -\frac{x_1}{y_1}$.
છેદબિંદુ માટે સમીકરણો ઉકેલતા: $x_1^2 = \frac{a^2 b}{a+b}$ અને $y_1^2 = \frac{a b^2}{a+b}$.
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{y'_1 - y'_2}{1 + y'_1 y'_2} \right|$ દ્વારા મળે છે.
ઢાળની કિંમતો મૂકતા: $\tan \theta = \left| \frac{-\frac{b^2 x_1}{a^2 y_1} + \frac{x_1}{y_1}}{1 + \frac{b^2 x_1^2}{a^2 y_1^2}} \right| = \left| \frac{x_1 y_1 (a^2 - b^2)}{a^2 y_1^2 + b^2 x_1^2} \right|$.
$x_1^2$ અને $y_1^2$ ની કિંમતો મૂકતા: $\tan \theta = \left| \frac{a-b}{\sqrt{ab}} \right|$.
$a > b$ હોવાથી,$\theta = \tan^{-1} \left( \frac{a-b}{\sqrt{ab}} \right)$.

(C) ઉપવલય $E_{1}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ માટે,ઉત્કેન્દ્રતા $e^{2} = 1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}$ છે.
ઉપવલય $E_{2}$ માટે,નાભિઓ $(0, b)$ અને $(0, -b)$ છે,તેથી તે શિરોલંબ ઉપવલય છે જ્યાં $c = b$. શિરોબિંદુઓ $(\pm a, 0)$ પર છે,તેથી અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ $A = a$ છે. $E_{2}$ નું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{B^{2}} + \frac{y^{2}}{A^{2}} = 1$ છે,જ્યાં $A = a$. $c^{2} = A^{2} - B^{2}$ હોવાથી,$b^{2} = a^{2} - B^{2}$,એટલે કે $B^{2} = a^{2} - b^{2}$.
$E_{2}$ ની ઉત્કેન્દ્રતા $e^{2} = 1 - \frac{B^{2}}{A^{2}} = 1 - \frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2}} = \frac{b^{2}}{a^{2}}$ છે.
બંને ઉપવલયોની ઉત્કેન્દ્રતા સમાન હોવાથી,$e^{2} = \frac{b^{2}}{a^{2}}$ મળે છે.
પ્રથમ સમીકરણમાંથી,$e^{2} = 1 - e^{2}$ મળે,જેનો અર્થ છે $2e^{2} = 1$,એટલે કે $e = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
પરંતુ શરત મુજબ,$E_{2}$ ની નાભિઓ $(0, b)$ અને $(0, -b)$ છે,તેથી $c_{2} = b$. $E_{2}$ ના શિરોબિંદુઓ $(\pm a, 0)$ છે,તેથી અર્ધ-ગૌણ અક્ષ $a$ છે. મુખ્ય અક્ષ $y$-અક્ષ પર છે,તેથી $A_{2} = c_{2}/e = b/e$. સંબંધ $c_{2}^{2} = A_{2}^{2} - B_{2}^{2}$ પરથી $b^{2} = (b/e)^{2} - a^{2}$ મળે છે.
આમ $a^{2} = \frac{b^{2}}{e^{2}} - b^{2} = b^{2}(\frac{1-e^{2}}{e^{2}})$.
$1-e^{2} = b^{2}/a^{2}$ હોવાથી,$a^{2} = b^{2}(\frac{b^{2}/a^{2}}{e^{2}}) = \frac{b^{4}}{a^{2}e^{2}}$,તેથી $a^{4}e^{2} = b^{4}$,જેનો અર્થ છે $a^{2}e = b^{2}$.
$b^{2} = a^{2}e$ ને $e^{2} = 1 - b^{2}/a^{2}$ માં મૂકતા,આપણને $e^{2} = 1 - e$,અથવા $e^{2} + e - 1 = 0$ મળે છે.
$e > 0$ માટે ઉકેલતા,$e = \frac{-1 + \sqrt{1 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ મળે છે.

(D) ઉપવલય $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ બિંદુ $\left(\sqrt{\frac{3}{2}}, 1\right)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{3}{2a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} = 1$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{1}{\sqrt{3}}$ હોવાથી,$e^{2} = 1 - \frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{1}{3}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{2}{3}$ અથવા $a^{2} = \frac{3}{2}b^{2}$.
પ્રથમ સમીકરણમાં $a^{2}$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{3}{2(\frac{3}{2}b^{2})} + \frac{1}{b^{2}} = 1$ $\Rightarrow \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{b^{2}} = 1$ $\Rightarrow b^{2} = 2$.
તેથી $a^{2} = \frac{3}{2}(2) = 3$.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ છે.
નાભિ $F(\alpha, 0)$ માટે $\alpha = ae = \sqrt{3} \times \frac{1}{\sqrt{3}} = 1$. તેથી $F = (1, 0)$.
કેન્દ્ર $(1, 0)$ અને ત્રિજ્યા $\frac{2}{\sqrt{3}}$ વાળા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-1)^{2} + y^{2} = \frac{4}{3}$ છે.
ઉપવલયના સમીકરણ પરથી,$y^{2} = 2(1 - \frac{x^{2}}{3})$.
વર્તુળના સમીકરણમાં $y^{2}$ ની કિંમત મૂકતા: $(x-1)^{2} + 2 - \frac{2x^{2}}{3} = \frac{4}{3} \Rightarrow x^{2} - 6x + 5 = 0$.
ઉકેલતા $x=1$ મળે છે. $x=1$ માટે $y^{2} = \frac{4}{3}$,તેથી $y = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$.
બિંદુઓ $P(1, \frac{2}{\sqrt{3}})$ અને $Q(1, -\frac{2}{\sqrt{3}})$ છે.
$PQ^{2} = (\frac{4}{\sqrt{3}})^{2} = \frac{16}{3}$.

(C) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{1} = 1$ છે,જ્યાં $a=2$ અને $b=1$ છે.
ધારો કે સ્પર્શક બિંદુ $P(2 \cos \theta, \sin \theta)$ છે.
$P$ પરના સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x \cos \theta}{2} + y \sin \theta = 1$ છે,અથવા $x \cos \theta + 2y \sin \theta = 2$.
મુખ્ય અક્ષના અંત્યબિંદુઓ પરના સ્પર્શકો $x = -2$ અને $x = 2$ છે.
$B$ માટે,$x = -2$ મૂકતા: $-2 \cos \theta + 2y \sin \theta = 2 \Rightarrow y = \frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta} = \cot \frac{\theta}{2}$. તેથી,$B = (-2, \cot \frac{\theta}{2})$.
$C$ માટે,$x = 2$ મૂકતા: $2 \cos \theta + 2y \sin \theta = 2 \Rightarrow y = \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta} = \tan \frac{\theta}{2}$. તેથી,$C = (2, \tan \frac{\theta}{2})$.
$BC$ ને વ્યાસ તરીકે લેતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - x_B)(x - x_C) + (y - y_B)(y - y_C) = 0$ છે.
$(x + 2)(x - 2) + (y - \cot \frac{\theta}{2})(y - \tan \frac{\theta}{2}) = 0$
$x^{2} - 4 + y^{2} - y(\tan \frac{\theta}{2} + \cot \frac{\theta}{2}) + \tan \frac{\theta}{2} \cot \frac{\theta}{2} = 0$
$x^{2} + y^{2} - y(\tan \frac{\theta}{2} + \cot \frac{\theta}{2}) - 3 = 0$.
બિંદુ $(\sqrt{3}, 0)$ ચકાસતા: $(\sqrt{3})^{2} + 0^{2} - 0 - 3 = 3 - 3 = 0$. આમ,વર્તુળ $(\sqrt{3}, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.

(C) $(2, 1)$ બિંદુનું $y$-અક્ષની સાપેક્ષ પ્રતિબિંબ $(-2, 1)$ છે.
પરાવર્તિત કિરણ $(-2, 1)$ અને $(5, 3)$ માંથી પસાર થાય છે.
પરાવર્તિત કિરણનો ઢાળ $m = \frac{3 - 1}{5 - (-2)} = \frac{2}{7}$ છે.
પરાવર્તિત કિરણનું સમીકરણ $y - 3 = \frac{2}{7}(x - 5)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $2x - 7y + 11 = 0$ થાય છે.
ધારો કે બીજી નિયામિકાનું સમીકરણ $2x - 7y + \lambda = 0$ છે.
ઉપવલયની બે નિયામિકાઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{2a}{e}$ છે.
નિયામિકાથી નાભિનું અંતર $\frac{a}{e} - ae = \frac{a(1 - e^2)}{e} = \frac{8}{\sqrt{53}}$ છે.
$e = \frac{1}{3}$ આપેલ હોવાથી,$\frac{a(1 - 1/9)}{1/3} = \frac{8a}{3} = \frac{8}{\sqrt{53}}$,તેથી $a = \frac{3}{\sqrt{53}}$.
બે નિયામિકાઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{2a}{e} = 2 \times \frac{3}{\sqrt{53}} \times 3 = \frac{18}{\sqrt{53}}$ છે.
સમાંતર રેખાઓ $2x - 7y + 11 = 0$ અને $2x - 7y + \lambda = 0$ વચ્ચેનું અંતર $\frac{|\lambda - 11|}{\sqrt{53}}$ છે.
અંતરને સરખાવતા: $\frac{|\lambda - 11|}{\sqrt{53}} = \frac{18}{\sqrt{53}}$,તેથી $|\lambda - 11| = 18$.
આથી $\lambda - 11 = 18$ અથવા $\lambda - 11 = -18$,એટલે કે $\lambda = 29$ અથવા $\lambda = -7$.
સમીકરણો $2x - 7y + 29 = 0$ અથવા $2x - 7y - 7 = 0$ છે.

(C) ઉપવલયનું કેન્દ્ર $C(3, -4)$ છે.
નાભિ $S(4, -4)$ અને શિરોબિંદુ $A(5, -4)$ છે.
$y$-યામ સમાન હોવાથી,મુખ્ય અક્ષ સમક્ષિતિજ છે.
કેન્દ્રથી શિરોબિંદુનું અંતર $a = |5 - 3| = 2$ છે.
કેન્દ્રથી નાભિનું અંતર $ae = |4 - 3| = 1$ છે.
તેથી,$e = \frac{1}{2}$.
$b^{2} = a^{2}(1 - e^{2})$ નો ઉપયોગ કરતા,$b^{2} = 4(1 - \frac{1}{4}) = 4(\frac{3}{4}) = 3$ મળે.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{(x - 3)^{2}}{4} + \frac{(y + 4)^{2}}{3} = 1$ છે.
રેખા $y = mx - 4$ એ ઉપવલય $\frac{(x - h)^{2}}{a^{2}} + \frac{(y - k)^{2}}{b^{2}} = 1$ નો સ્પર્શક હોવાની શરત $(y - k) = m(x - h) \pm \sqrt{a^{2}m^{2} + b^{2}}$ છે.
અહીં,$h = 3, k = -4, a^{2} = 4, b^{2} = 3$.
રેખા $y + 4 = mx - 3m$ છે,એટલે કે $y - (-4) = m(x - 3) - 3m$.
સ્પર્શકના સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,અચળ પદ $-3m = \pm \sqrt{4m^{2} + 3}$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$9m^{2} = 4m^{2} + 3$.
$5m^{2} = 3$.

(A) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ લો,જ્યાં $b=2$. શિરોબિંદુઓ $(\pm a, 0)$ છે. એક શિરોબિંદુ $(a, 0)$ લો.
બાકીના બે શિરોબિંદુઓ $(-a \cos \theta, 2 \sin \theta)$ અને $(-a \cos \theta, -2 \sin \theta)$ લો.
ત્રિકોણનો પાયો $4 \sin \theta$ અને ઊંચાઈ $a + a \cos \theta = a(1 + \cos \theta)$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} \times (4 \sin \theta) \times a(1 + \cos \theta) = 2a \sin \theta (1 + \cos \theta)$.
$A$ ને મહત્તમ કરવા માટે,$f(\theta) = \sin \theta (1 + \cos \theta)$ લો.
$f'(\theta) = 2 \cos^2 \theta + \cos \theta - 1 = 0$.
$(2 \cos \theta - 1)(\cos \theta + 1) = 0$.
$\theta \neq \pi$ હોવાથી,$\cos \theta = \frac{1}{2}$,તેથી $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$A_{\max} = \frac{3\sqrt{3}}{2} a = 6\sqrt{3} \Rightarrow a = 4$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{4}{16}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

(A) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1$ છે,જે $x^{2}+2y^{2}=4$ તરીકે લખી શકાય.
$y=x+1$ ને ઉપવલયના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^{2}+2(x+1)^{2}=4$
$x^{2}+2(x^{2}+2x+1)=4$
$3x^{2}+4x-2=0$.
ધારો કે બીજ $x_{1}$ અને $x_{2}$ છે. તો $|x_{1}-x_{2}| = \frac{\sqrt{D}}{|a|} = \frac{\sqrt{16 - 4(3)(-2)}}{3} = \frac{\sqrt{40}}{3}$.
જીવા $PQ$ ની લંબાઈ $PQ = |x_{1}-x_{2}| \sqrt{1+m^{2}}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં રેખા $y=x+1$ નો ઢાળ $m=1$ છે.
$PQ = \frac{\sqrt{40}}{3} \sqrt{1+1^{2}} = \frac{\sqrt{40}}{3} \sqrt{2} = \frac{\sqrt{80}}{3}$.
$PQ$ એ વર્તુળનો વ્યાસ હોવાથી,$2r = PQ = \frac{\sqrt{80}}{3}$,તેથી $r = \frac{\sqrt{80}}{6}$.
આમ,$(3r)^{2} = 9r^{2} = 9 \times \frac{80}{36} = \frac{80}{4} = 20$.

(C) ધારો કે $P = (4, 3)$ અને $Q = (2\cos\theta, \sqrt{2}\sin\theta)$ એ ઉપવલય $x^{2} + 2y^{2} = 4$ પરનું બિંદુ છે.
ધારો કે $D(h, k)$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ છે.
તેથી,$h = \frac{4 + 2\cos\theta}{2} = 2 + \cos\theta \implies \cos\theta = h - 2$.
અને $k = \frac{3 + \sqrt{2}\sin\theta}{2} \implies \sqrt{2}\sin\theta = 2k - 3 \implies \sin\theta = \frac{2k - 3}{\sqrt{2}}$.
નિત્યસમ $\cos^{2}\theta + \sin^{2}\theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે:
$(h - 2)^{2} + \left(\frac{2k - 3}{\sqrt{2}}\right)^{2} = 1$
$(h - 2)^{2} + \frac{4(k - 1.5)^{2}}{2} = 1$
$(h - 2)^{2} + 2(k - 1.5)^{2} = 1$
$1$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $\frac{(h - 2)^{2}}{1} + \frac{(k - 1.5)^{2}}{1/2} = 1$.
આ એક ઉપવલય છે જેમાં $a^{2} = 1$ અને $b^{2} = 1/2$ છે.
અહીં $a^{2} > b^{2}$ હોવાથી,ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1 - \frac{1/2}{1}} = \sqrt{1 - 1/2} = \sqrt{1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(B) વર્તુળ $x^{2} + y^{2} = \frac{9}{4}$ છે અને પરવલય $y^{2} = 4x$ છે.
પરવલય $y^{2} = 4x$ નો સ્પર્શક $y = mx + \frac{1}{m}$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી આ સ્પર્શકનું અંતર વર્તુળની ત્રિજ્યા $\frac{3}{2}$ જેટલું હોવું જોઈએ.
$\frac{|m(0) - 0 + 1/m|}{\sqrt{m^{2} + 1}} = \frac{3}{2} \Rightarrow \frac{1}{|m|\sqrt{m^{2} + 1}} = \frac{3}{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{m^{2}(m^{2} + 1)} = \frac{9}{4} \Rightarrow 9m^{4} + 9m^{2} - 4 = 0$.
$m^{2}$ માટે ઉકેલતા: $(3m^{2} - 1)(3m^{2} + 4) = 0$. $m^{2} > 0$ હોવાથી,$m^{2} = \frac{1}{3}$,તેથી $m = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
સામાન્ય સ્પર્શકો $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x + \sqrt{3}$ અને $y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x - \sqrt{3}$ છે.
આ સ્પર્શકો $x$-અક્ષ પર બિંદુ $Q$ માં છેદે છે જ્યાં $y=0$. $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x + \sqrt{3}$ માં $y=0$ મૂકતા $x = -3$ મળે છે. આમ,$Q = (-3, 0)$.
લંબાઈ $OQ = |-3| = 3$. ઉપવલય માટે અર્ધ-લઘુ અક્ષ $b = 3$ અને અર્ધ-ગુરુ અક્ષ $a = 6$ છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e$ માટે $b^{2} = a^{2}(1 - e^{2})$ $\Rightarrow 9 = 36(1 - e^{2})$ $\Rightarrow 1 - e^{2} = \frac{1}{4}$ $\Rightarrow e^{2} = \frac{3}{4}$.
નાભિલંબની લંબાઈ $l = \frac{2b^{2}}{a} = \frac{2 \times 9}{6} = 3$.
તેથી,$\frac{l}{e^{2}} = \frac{3}{3/4} = 4$.

(A) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ છે,જ્યાં $a>b$ અને ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{1}{4}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $e^{2} = 1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}$,તેથી $\frac{1}{16} = 1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}$,જે આપણને $\frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{15}{16}$ અથવા $b^{2} = \frac{15}{16}a^{2}$ આપે છે.
ઉપવલય બિંદુ $\left(-4 \sqrt{\frac{2}{5}}, 3\right)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{(-4 \sqrt{2/5})^{2}}{a^{2}} + \frac{3^{2}}{b^{2}} = 1$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{16 \times (2/5)}{a^{2}} + \frac{9}{b^{2}} = 1 \Rightarrow \frac{32}{5a^{2}} + \frac{9}{b^{2}} = 1$.
$b^{2} = \frac{15}{16}a^{2}$ મૂકતા: $\frac{32}{5a^{2}} + \frac{9 \times 16}{15a^{2}} = 1$.
$\frac{32}{5a^{2}} + \frac{144}{15a^{2}} = 1$ $\Rightarrow \frac{96 + 144}{15a^{2}} = 1$ $\Rightarrow \frac{240}{15a^{2}} = 1$.
$16 = a^{2}$.
તેથી $b^{2} = \frac{15}{16} \times 16 = 15$.
આમ,$a^{2} + b^{2} = 16 + 15 = 31$.

(C) પ્રથમ પ્રદેશ એ વર્તુળ $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ અને ઉપવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ વચ્ચેનો વિસ્તાર છે. તેનું ક્ષેત્રફળ $\pi a^{2} - \pi ab = 30\pi$ છે,જેનું સાદું રૂપ $a^{2} - ab = 30$ થાય છે.
બીજો પ્રદેશ એ ઉપવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ અને વર્તુળ $x^{2} + y^{2} = b^{2}$ વચ્ચેનો વિસ્તાર છે. તેનું ક્ષેત્રફળ $\pi ab - \pi b^{2} = 18\pi$ છે,જેનું સાદું રૂપ $ab - b^{2} = 18$ થાય છે.
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(a^{2} - ab) + (ab - b^{2}) = 30 + 18$,તેથી $a^{2} - b^{2} = 48$.
પ્રથમ સમીકરણમાંથી બીજું સમીકરણ બાદ કરતા: $(a^{2} - ab) - (ab - b^{2}) = 30 - 18$,જે આપણને $a^{2} - 2ab + b^{2} = 12$ આપે છે.
આમ,$(a - b)^{2} = 12$ થાય.

(A) ઉપવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ એ $x$-અક્ષ પર રેખા $\frac{x}{7}+\frac{y}{2\sqrt{6}}=1$ ને મળે છે. રેખાના સમીકરણમાં $y=0$ મૂકતા,આપણને $x=7$ મળે છે. તેથી $a=7$.
ઉપવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ એ $y$-અક્ષ પર રેખા $\frac{x}{7}-\frac{y}{2\sqrt{6}}=1$ ને મળે છે. રેખાના સમીકરણમાં $x=0$ મૂકતા,આપણને $y=-2\sqrt{6}$ મળે છે. તેથી $b^{2}=(-2\sqrt{6})^{2}=24$,એટલે કે $b=2\sqrt{6}$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e$ માટેનું સૂત્ર $e^{2}=1-\frac{b^{2}}{a^{2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$e^{2}=1-\frac{24}{49} = \frac{25}{49}$.
તેથી,$e=\frac{5}{7}$.

(B) ઉપવલયનું સમીકરણ $2x^{2} + 3y^{2} = 5$ છે,જેને $\frac{x^{2}}{5/2} + \frac{y^{2}}{5/3} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં $a^{2} = \frac{5}{2}$ અને $b^{2} = \frac{5}{3}$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{\frac{5}{2}m^{2} + \frac{5}{3}}$ છે.
તે $(1, 3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $3 - m = \pm \sqrt{\frac{5}{2}m^{2} + \frac{5}{3}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(3 - m)^{2} = \frac{5}{2}m^{2} + \frac{5}{3}$.
$9m^{2} + 36m - 44 = 0$.
ધારો કે $m_{1}$ અને $m_{2}$ એ સમીકરણના બીજ છે.
$m_{1} + m_{2} = -4$ અને $m_{1}m_{2} = -\frac{44}{9}$.
$\tan \theta = \left|\frac{m_{1} - m_{2}}{1 + m_{1}m_{2}}\right| = \frac{24}{7\sqrt{5}}$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{24}{7\sqrt{5}}\right)$.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^{2} + 4y^{2} + 2x + 8y - \lambda = 0$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$(x + 1)^{2} + 4(y + 1)^{2} = \lambda + 5$ મળે.
પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં ફેરવતા,$\frac{(x + 1)^{2}}{\lambda + 5} + \frac{(y + 1)^{2}}{(\lambda + 5)/4} = 1$ મળે.
અહીં $a^{2} = \lambda + 5$ અને $b^{2} = \frac{\lambda + 5}{4}$ છે.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^{2}}{a} = 4$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{2(\lambda + 5)/4}{\sqrt{\lambda + 5}} = 4 \implies \frac{\sqrt{\lambda + 5}}{2} = 4 \implies \sqrt{\lambda + 5} = 8$.
તેથી,$\lambda + 5 = 64 \implies \lambda = 59$.
પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ $l = 2a = 2\sqrt{64} = 16$ છે.
આમ,$\lambda + l = 59 + 16 = 75$.

(A) આપેલ ઉપવલય $\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ છે. અહીં $a^{2} = 2$ અને $b^{2} = 4$ છે. મુખ્ય અક્ષ $y$-અક્ષ પર છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{2}{4}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
નાભિઓ $(0, \pm \sqrt{2})$ છે. તેથી $S = (0, -\sqrt{2})$.
$R(\sqrt{2}, 2\sqrt{2}-2)$ માંથી દોરેલા સ્પર્શકોની સ્પર્શજીવા $\frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{y(2\sqrt{2}-2)}{4} = 1$ છે,જે $\frac{x}{\sqrt{2}} + \frac{y(\sqrt{2}-1)}{2} = 1$ માં પરિણમે છે.
ઉપવલય સાથે ઉકેલતા,$P$ અને $Q$ ના યામ $(1, \sqrt{2})$ અને $(\sqrt{2}, 0)$ મળે છે.
$SP^{2} = (1-0)^{2} + (\sqrt{2} + \sqrt{2})^{2} = 1 + 8 = 9$.
$SQ^{2} = (\sqrt{2}-0)^{2} + (0 + \sqrt{2})^{2} = 2 + 2 = 4$.
તેથી,$SP^{2} + SQ^{2} = 9 + 4 = 13$.

(B) ગણ $S$ એ $x, y \in N$ (પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ) માટે લંબવૃત્ત $\frac{(x-3)^2}{16} + \frac{(y-4)^2}{9} \leq 1$ ની અંદર અથવા તેના પરના બિંદુઓ દર્શાવે છે.
$x, y \geq 1$ હોવાથી,આપણે $x$ અને $y$ માટે પૂર્ણાંક કિંમતો ચકાસીએ છીએ:
$x=1$ માટે: $y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
$x=2$ માટે: $y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
$x=3$ માટે: $y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$.
$x=4$ માટે: $y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
$x=5$ માટે: $y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
હવે ચકાસો કે આમાંથી કયા બિંદુઓ $T: (x-7)^2 + (y-4)^2 \leq 36$ નું પાલન કરે છે.
$x=1$ માટે: $(1, 4)$ ($1$ બિંદુ).
$x=2$ માટે: $y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ($6$ બિંદુઓ).
$x=3$ માટે: $y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ ($7$ બિંદુઓ).
$x=4$ માટે: $y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ($6$ બિંદુઓ).
$x=5$ માટે: $y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ($6$ બિંદુઓ).
કુલ બિંદુઓ $= 1 + 6 + 7 + 6 + 6 = 26$.

(B) રેખાઓ $bx + 10y - 8 = 0$ અને $2x - 3y = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓનું સમીકરણ $(bx + 10y - 8) + \lambda(2x - 3y) = 0$ છે.
રેખા $(1, 1)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$\lambda = b + 2$ મળે છે.
રેખાનું સમીકરણ $(3b + 4)x + (4 - 3b)y - 8 = 0$ મળે છે.
વર્તુળ $x^2 + y^2 = \frac{16}{17}$ માટે,ઉગમબિંદુથી લંબ અંતર $\frac{4}{\sqrt{17}}$ છે.
ગણતરી કરતા $b^2 = 2$ મળે છે.
ઉપવલય $\frac{x^2}{5} + \frac{y^2}{2} = 1$ માટે,ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{2}{5}} = \sqrt{\frac{3}{5}}$ થાય છે.

(C) આપેલ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ જ્યાં $b < a$. યામો $C = (0, b)$,$F_1 = (-ae, 0)$,અને $B = (a, 0)$ છે.
$\angle F_1CB = 90^{\circ}$ હોવાથી,$CF_1$ અને $CB$ ના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય.
$CF_1$ નો ઢાળ = $\frac{0 - b}{-ae - 0} = \frac{b}{ae}$.
$CB$ નો ઢાળ = $\frac{0 - b}{a - 0} = \frac{-b}{a}$.
તેથી,$(\frac{b}{ae}) \times (\frac{-b}{a}) = -1$.
$\frac{b^2}{a^2e} = 1 \Rightarrow b^2 = a^2e$.
સંબંધ $b^2 = a^2(1 - e^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,$a^2e = a^2(1 - e^2)$.
$e = 1 - e^2 \Rightarrow e^2 + e - 1 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $e = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e > 0$ હોવાથી,$e = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$.

(B) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ છે.
બિંદુ $(3 \cos \theta, 2 \sin \theta)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x}{3} \cos \theta + \frac{y}{2} \sin \theta = 1$ છે.
આ સ્પર્શકના અક્ષો પરના અંતઃખંડો $(3 \sec \theta, 0)$ અને $(0, 2 \operatorname{cosec} \theta)$ છે.
ચાર સ્પર્શકો $(\pm 3 \sec \theta, 0)$ અને $(0, \pm 2 \operatorname{cosec} \theta)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો સમબાજુ ચતુષ્કોણ બનાવે છે.
આ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $A(\theta) = 4 \times \left( \frac{1}{2} \times |3 \sec \theta| \times |2 \operatorname{cosec} \theta| \right)$ છે.
$A(\theta) = 12 \sec \theta \operatorname{cosec} \theta = \frac{12}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{24}{2 \sin \theta \cos \theta} = \frac{24}{\sin 2 \theta}$.
$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ હોવાથી,$\sin 2 \theta$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ છે (જ્યારે $\theta = \frac{\pi}{4}$ હોય).
તેથી,$A(\theta)$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $\frac{24}{1} = 24$ થાય.

(D) આપેલ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ છે,જ્યાં $a>b$.
$\triangle ABC$ સમબાજુ હોવાથી,$\angle BAC = 60^{\circ}$ થાય.
ઉપવલયની સંમિતિને કારણે,રેખા $AO$ (y-અક્ષ) એ $\angle BAC$ નો દ્વિભાજક છે,તેથી $\angle OAF_2 = 30^{\circ}$ થાય.
કાટકોણ $\triangle AOF_2$ માં,$\tan(30^{\circ}) = \frac{OF_2}{OA}$ મળે.
અહીં,$OF_2 = ae$ અને $OA = b$ છે.
તેથી,$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{ae}{b}$,જેનો અર્થ છે કે $b = \sqrt{3}ae$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$b^2 = 3a^2e^2$.
સંબંધ $b^2 = a^2(1-e^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,$a^2(1-e^2) = 3a^2e^2$ મળે.
$a^2$ વડે ભાગતા,$1-e^2 = 3e^2$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $4e^2 = 1$ થાય.
આમ,$e^2 = \frac{1}{4}$,અને $e>0$ હોવાથી,$e = \frac{1}{2}$ મળે.

(C) ધારો કે લંબગોળનું સમીકરણ $\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$ છે. બિંદુઓ $(0,0)$,$(1,0)$ અને $(0,2)$ મૂકતા,આપણને કેન્દ્ર $(\frac{1}{2}, 1)$ મળે છે. નાભિ $Y$-અક્ષ પર હોવાથી,$ae = \frac{1}{2}$ મળે. સમીકરણ ઉકેલતા $e^4 - 6e^2 + 1 = 0$ મળે છે,જેનો ઉકેલ $e = \sqrt{2}-1$ છે.

(A) ધારો કે જમીન $x$-અક્ષ છે અને ખૂણાનું શિરોબિંદુ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ છે. દીવાલ જમીન સાથે $135^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે,તેથી તેનું સમીકરણ $y = -x$ છે.
ધારો કે સીડીના અંત્યબિંદુઓ જમીન પર $P(x_1, 0)$ અને દીવાલ પર $Q(x_2, y_2)$ છે. $Q$ એ $y = -x$ પર હોવાથી,$Q$ એ $(x_2, -x_2)$ છે.
સીડીની લંબાઈ $l$ છે,તેથી $(x_1 - x_2)^2 + (0 - (-x_2))^2 = l^2$,જેનું સાદું રૂપ $(x_1 - x_2)^2 + x_2^2 = l^2$ થાય છે.
સીડીનું મધ્યબિંદુ $(h, k)$ એ $\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{0-x_2}{2}\right) = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, -\frac{x_2}{2}\right)$ છે.
આથી,$x_2 = -2k$ અને $x_1+x_2 = 2h$,તેથી $x_1 = 2h + 2k$.
લંબાઈના સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $(2h+2k - (-2k))^2 + (-2k)^2 = l^2$,એટલે કે $(2h+4k)^2 + 4k^2 = l^2$.
વિસ્તરણ કરતા $4h^2 + 16hk + 20k^2 = l^2$ મળે છે.
ઉપવલયનું ક્ષેત્રફળ $\frac{2\pi F}{\sqrt{4AC - B^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં $A=4, B=16, C=20, F=l^2$. છેદ $\sqrt{4(4)(20) - (16)^2} = 8$ થાય છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{2\pi l^2}{8} = \frac{\pi l^2}{4}$.

(D) ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a > b$.
મુખ્ય અક્ષના અંત્યબિંદુઓ $A'(-a, 0)$ અને $A(a, 0)$ છે.
નાભિઓ $S'(-ae, 0)$ અને $S(ae, 0)$ છે.
આપેલ છે કે નાભિઓ અને મુખ્ય અક્ષના અંત્યબિંદુઓ સમાન અંતરે છે,તેથી $A'S'$,$S'S$,અને $SA$ ની લંબાઈ સમાન છે.
$A'S' = S'S = SA = k$ (ધારો).
મુખ્ય અક્ષની કુલ લંબાઈ $A'A = 2a$ છે.
તેથી,$k + k + k = 2a \implies 3k = 2a \implies k = \frac{2a}{3}$.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $S'S = 2ae = k = \frac{2a}{3}$ છે.
તેથી,$e = \frac{1}{3}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $b^2 = a^2(1 - e^2)$.
અહીં $b = 2\sqrt{2}$ આપેલ છે,તેથી $b^2 = 8$.
$8 = a^2(1 - (\frac{1}{3})^2) = a^2(1 - \frac{1}{9}) = a^2(\frac{8}{9})$.
$8 = \frac{8a^2}{9} \implies a^2 = 9 \implies a = 3$.
અર્ધ-મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $3$ છે.

(D) ધારો કે ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{(y-b)^2}{b^2} = 1$ છે.
અર્ધવર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = r^2$ છે.
ઉપવલયના સમીકરણમાંથી $x^2 = a^2(1 - \frac{(y-b)^2}{b^2})$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$a^2(1 - \frac{(y-b)^2}{b^2}) + y^2 = r^2$
આ સમીકરણને ઉકેલતા અને સ્પર્શકની શરત $D=0$ લાગુ પાડતા,આપણને $b^2 = a^2(1 - \frac{a^2}{r^2})$ મળે છે.
ઉપવલયનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi ab = \pi a^2 \sqrt{1 - \frac{a^2}{r^2}}$ છે.
ક્ષેત્રફળ મહત્તમ કરવા માટે,$\frac{dA}{da} = 0$ લેતા,$a^2 = \frac{2r^2}{3}$ મળે છે.
તેથી $b^2 = \frac{2r^2}{9}$ મળે છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{2r^2/9}{2r^2/3}} = \sqrt{1 - \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$.

(C) આપેલ સમીકરણ $e x^2 + \pi y^2 - 2 e^2 x - 2 \pi^2 y + e^3 + \pi^3 = \pi e$ છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $e(x^2 - 2ex) + \pi(y^2 - 2\pi y) = \pi e - e^3 - \pi^3$ મળે છે.
પૂર્ણ વર્ગ બનાવતા,$e(x^2 - 2ex + e^2) + \pi(y^2 - 2\pi y + \pi^2) = \pi e - e^3 - \pi^3 + e^3 + \pi^3$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $e(x - e)^2 + \pi(y - \pi)^2 = \pi e$ થાય છે.
$\pi e$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{(x - e)^2}{\pi} + \frac{(y - \pi)^2}{e} = 1$ મળે છે.
આ ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a^2 = \pi$ અને $b^2 = e$ છે.
કારણ કે $\pi > e$,મુખ્ય અક્ષ $x$-દિશામાં છે,તેથી $a = \sqrt{\pi}$.
ઉપવલય પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ માટે,નાભિઓથી અંતરનો સરવાળો $P S_1 + P S_2$ અચળ હોય છે અને તે મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2a$ જેટલો હોય છે.
તેથી,$P S_1 + P S_2 = 2 \sqrt{\pi}$.

(A) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ: $4x^2 + 9y^2 - 8x - 36y + 15 = 0$.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $4(x - 1)^2 + 9(y - 2)^2 = 25$.
$25$ વડે ભાગતા: $\frac{(x - 1)^2}{25/4} + \frac{(y - 2)^2}{25/9} = 1$.
ધારો કે $X = x - 1$ અને $Y = y - 2$. પદાવલિ $X^2 + Y^2$ બને છે.
આ કેન્દ્ર $(1, 2)$ થી ઉપવલય પરના કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ સુધીના અંતરનો વર્ગ છે.
અંતરનો વર્ગ $r^2 = X^2 + Y^2$ એ લઘુ અક્ષના વર્ગથી ગુરુ અક્ષના વર્ગ સુધીની કિંમત ધરાવે છે.
અહીં,$a^2 = \frac{25}{4}$ અને $b^2 = \frac{25}{9}$.
તેથી,$\min(X^2 + Y^2) = \frac{25}{9}$ અને $\max(X^2 + Y^2) = \frac{25}{4}$.
સરવાળો: $\frac{25}{9} + \frac{25}{4} = \frac{325}{36}$.

(B) ઉપવલયનું સમીકરણ $9x^2 + 16y^2 = 144$ છે,જેને $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^2 = 16$ અને $b^2 = 9$ છે.
$m$ ઢાળ અને $c$ $y$-અંતઃખંડ વાળી રેખાનું સમીકરણ $y = mx + c$ છે. આપેલ છે કે $c = 5$,તેથી રેખા $y = mx + 5$ છે.
આ રેખા ઉપવલય સાથે સામાન્ય બિંદુ ધરાવે તે માટે,તે છેદિકા અથવા સ્પર્શક હોવી જોઈએ. રેખા $y = mx + c$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ નો સ્પર્શક હોય તેની શરત $c^2 = a^2m^2 + b^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$5^2 = 16m^2 + 9$ મળે છે.
$25 = 16m^2 + 9$ $\Rightarrow 16m^2 = 16$ $\Rightarrow m^2 = 1$.
આમ,$m = \pm 1$.
ધન ઢાળ $m = 1$ છે. $m > 1$ માટે રેખા ઉપવલયને બે બિંદુઓમાં છેદશે અને $m < 1$ માટે તે ઉપવલયને છેદશે નહીં. તેથી,રેખા ઉપવલય સાથે સામાન્ય બિંદુ ધરાવે તે માટેનો સૌથી નાનો ધન ઢાળ $1$ છે.

(C) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
ધારો કે ઉપવલય પરનું બિંદુ $P(a \cos \theta, b \sin \theta)$ છે.
ઉપવલયની નાભિઓ $F_1(ae, 0)$ અને $F_2(-ae, 0)$ છે.
$\triangle P F_1 F_2$ નું મધ્યકેન્દ્ર $(h, k)$ નીચે મુજબ મળે:
$h = \frac{a \cos \theta + ae - ae}{3} = \frac{a \cos \theta}{3}$
$k = \frac{b \sin \theta + 0 + 0}{3} = \frac{b \sin \theta}{3}$
તેથી,$\cos \theta = \frac{3h}{a}$ અને $\sin \theta = \frac{3k}{b}$.
નિત્યસમ $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\left(\frac{3h}{a}\right)^2 + \left(\frac{3k}{b}\right)^2 = 1$
$\frac{9h^2}{a^2} + \frac{9k^2}{b^2} = 1$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $\frac{x^2}{(a/3)^2} + \frac{y^2}{(b/3)^2} = 1$ મળે છે,જે એક ઉપવલય છે.

(B) ઉપવલયની નાભિઓ $S'(5, 15)$ અને $S(21, 15)$ છે.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = \sqrt{(21-5)^2 + (15-15)^2} = 16$,તેથી $ae = 8$.
ઉપવલયનું કેન્દ્ર નાભિઓનું મધ્યબિંદુ છે: $(\frac{5+21}{2}, \frac{15+15}{2}) = (13, 15)$.
$X$-અક્ષ $(y=0)$ એ ઉપવલયનો સ્પર્શક છે. કેન્દ્ર $(13, 15)$ થી સ્પર્શક રેખા $y=0$ નું અંતર $15$ છે.
ઉપવલય માટે,કેન્દ્રથી સ્પર્શક રેખાનું અંતર $b = 15$ (અર્ધ-ગૌણ અક્ષ) છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $b^2 = a^2 - (ae)^2$.
કિંમતો $b = 15$ અને $ae = 8$ મૂકતા:
$15^2 = a^2 - 8^2$
$225 = a^2 - 64$
$a^2 = 289$
$a = 17$
મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2a = 2 \times 17 = 34$ છે.

(D) પ્રદેશો નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે:
$A_1: x^2 + 2y^2 \leq 1$ (એક ઉપવલય)
$A_2: |x|^3 + 2\sqrt{2}|y|^3 \leq 1$
$A_3: \max(|x|, \sqrt{2}|y|) \leq 1$ (એક લંબચોરસ જેના શિરોબિંદુઓ $(\pm 1, \pm 1/\sqrt{2})$ છે)
ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા,$0 < |x|, |y| < 1$ માટે,$|x|^3 < |x|^2$ અને $|y|^3 < |y|^2$ થાય છે.
આમ,પ્રદેશોનો સમાવેશ $A_1 \subset A_2 \subset A_3$ ક્રમમાં થાય છે,જેનો અર્થ છે કે $A_3 \supset A_2 \supset A_1$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(C) ઉપવલય પ્રથમ ચરણમાં બંને અક્ષોને સ્પર્શતું હોવાથી,તેનું કેન્દ્ર $(a, b)$ છે. નાભિઓ $(a \pm ae, b)$ છે. આપેલ શરતો મુજબ,ત્રિકોણ $OF_1F_2$ સમદ્વિબાજુ છે અને $\angle OF_1F_2 = 120^{\circ}$ છે,જેનાથી ગણતરી કરતા ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{1}{2}$ મળે છે.

(C) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ છે.
ઉપવલય પરનું કોઈપણ બિંદુ $P$ ને $(4 \cos \theta, 3 \sin \theta)$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
$P$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x \cos \theta}{4} + \frac{y \sin \theta}{3} = 1$ છે.
$A$ (જ્યાં $y=0$) ના યામ $(4 \sec \theta, 0)$ અને $B$ (જ્યાં $x=0$) ના યામ $(0, 3 \operatorname{cosec} \theta)$ છે.
રેખાખંડ $AB$ ની લંબાઈ $L$ માટે $L^2 = 16 \sec^2 \theta + 9 \operatorname{cosec}^2 \theta$ થાય.
નિત્યસમ $\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$ અને $\operatorname{cosec}^2 \theta = 1 + \cot^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$L^2 = 16(1 + \tan^2 \theta) + 9(1 + \cot^2 \theta) = 25 + 16 \tan^2 \theta + 9 \cot^2 \theta$ મળે.
$AM$-$GM$ અસમતા મુજબ,$16 \tan^2 \theta + 9 \cot^2 \theta \geq 2 \sqrt{16 \tan^2 \theta \cdot 9 \cot^2 \theta} = 2 \cdot 4 \cdot 3 = 24$.
તેથી,$L^2 \geq 25 + 24 = 49$,જેનો અર્થ છે કે $L \geq 7$.
રેખાખંડ $AB$ ની ન્યૂનતમ લંબાઈ $7$ છે.

(B) ઉપવલય $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના અભિલંબનું સમીકરણ $2x \sec \theta - by \operatorname{cosec} \theta = 4 - b^2$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી લંબ અંતર $d = \frac{|4 - b^2|}{\sqrt{4 \sec^2 \theta + b^2 \operatorname{cosec}^2 \theta}}$ છે.
$d$ ને મહત્તમ કરવા માટે,છેદને ન્યૂનતમ કરવો પડે.
$AM$-$GM$ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા,ન્યૂનતમ કિંમત $(2 + b)^2$ મળે છે.
તેથી,$d_{max} = \frac{4 - b^2}{2 + b} = 2 - b$.
આપેલ છે કે $d_{max} = 1$,તેથી $2 - b = 1 \Rightarrow b = 1$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

(B) આપેલ નિયામિકા $x = \frac{a}{e} = 8$ અને નાભિ $(ae, 0) = (2, 0)$ છે.
આથી,$ae = 2$ અને $\frac{a}{e} = 8$.
ગુણાકાર કરતા $a^2 = 16$,તેથી $a = 4$. પછી $e = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
$b^2 = a^2(1 - e^2) = 16(1 - \frac{1}{4}) = 16(\frac{3}{4}) = 12$,તેથી $b = 2\sqrt{3}$.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{12} = 1$ છે.
બિંદુ $P(4\cos\theta, 2\sqrt{3}\sin\theta)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x\cos\theta}{4} + \frac{y\sin\theta}{2\sqrt{3}} = 1$ છે.
તે $(0, 4\sqrt{3})$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{0}{4} + \frac{4\sqrt{3}\sin\theta}{2\sqrt{3}} = 1$,જે $2\sin\theta = 1$ આપે છે,એટલે કે $\sin\theta = \frac{1}{2}$.
આમ,$\theta = 30^\circ$. બિંદુ $P$ એ $(4\cos 30^\circ, 2\sqrt{3}\sin 30^\circ) = (2\sqrt{3}, \sqrt{3})$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x\sqrt{3}}{8} + \frac{y}{4\sqrt{3}} = 1$ છે.
$Q$ માટે,$y = 0$ લેતા: $\frac{x\sqrt{3}}{8} = 1 \Rightarrow x = \frac{8}{\sqrt{3}}$. તેથી $Q = (\frac{8}{\sqrt{3}}, 0)$.
$PQ^2 = (2\sqrt{3} - \frac{8}{\sqrt{3}})^2 + (\sqrt{3} - 0)^2 = (\frac{6-8}{\sqrt{3}})^2 + 3 = \frac{4}{3} + 3 = \frac{13}{3}$.
$(3PQ)^2 = 9 \times PQ^2 = 9 \times \frac{13}{3} = 39$.

(C) ધારો કે $p$ એ બંને ભાષા બોલતી વ્યક્તિઓની સંખ્યા છે.
આપેલ છે:
$\alpha + p = 75$ (માત્ર અંગ્રેજી)
$\beta + p = 40$ (માત્ર હિન્દી)
$\alpha + \beta + p = 100$ (કુલ વ્યક્તિઓ)
પ્રથમ બે સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $\alpha + \beta + 2p = 115$.
ત્રીજું સમીકરણ બાદ કરતા: $p = 115 - 100 = 15$.
તેથી,$\alpha = 75 - 15 = 60$ અને $\beta = 40 - 15 = 25$.
ઉપવલયનું સમીકરણ $25(\beta^2 x^2 + \alpha^2 y^2) = \alpha^2 \beta^2$ છે.
$25 \alpha^2 \beta^2$ વડે ભાગતા: $\frac{x^2}{\alpha^2} + \frac{y^2}{\beta^2} = \frac{1}{25}$.
આ $\frac{x^2}{(\alpha/5)^2} + \frac{y^2}{(\beta/5)^2} = 1$ છે.
અહીં,$a = \frac{60}{5} = 12$ અને $b = \frac{25}{5} = 5$.
$a > b$ હોવાથી,ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{25}{144}} = \sqrt{\frac{119}{144}} = \frac{\sqrt{119}}{12}$.

(C) ઉપવલય $E : \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{1} = 1$ છે. ધન અક્ષો સાથેના છેદબિંદુઓ $A(3, 0)$ અને $B(0, 1)$ છે.
$E$ ની મુખ્ય અક્ષ $x$-અક્ષ પર છે જેની લંબાઈ $2a = 6$ છે. તેથી,મુખ્ય અક્ષને વ્યાસ તરીકે લેતા વર્તુળ $C$ નું કેન્દ્ર $(0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = 3$ છે. વર્તુળ $C$ નું સમીકરણ $x^2 + y^2 = 9$ છે.
$A(3, 0)$ અને $B(0, 1)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{3} + \frac{y}{1} = 1$ એટલે કે $x + 3y = 3$ છે. વર્તુળના સમીકરણમાં $x = 3 - 3y$ મૂકતા:
$(3 - 3y)^2 + y^2 = 9$
$9 - 18y + 9y^2 + y^2 = 9$
$10y^2 - 18y = 0$
$2y(5y - 9) = 0$
તેથી,$y = 0$ (જે બિંદુ $A$ છે) અથવા $y = \frac{9}{5}$.
જો $y = \frac{9}{5}$ હોય,તો $x = 3 - 3(\frac{9}{5}) = 3 - \frac{27}{5} = -\frac{12}{5}$. આમ,$P = (-\frac{12}{5}, \frac{9}{5})$.
ત્રિકોણ $OAP$ નું ક્ષેત્રફળ જેના શિરોબિંદુઓ $O(0, 0)$,$A(3, 0)$,અને $P(-\frac{12}{5}, \frac{9}{5})$ છે,તે $\frac{1}{2} |x_O(y_A - y_P) + x_A(y_P - y_O) + x_P(y_O - y_A)| = \frac{1}{2} |0 + 3(\frac{9}{5} - 0) + (-\frac{12}{5})(0 - 0)| = \frac{1}{2} |\frac{27}{5}| = \frac{27}{10}$ થાય.
અહીં $m = 27$ અને $n = 10$ છે,જે પરસ્પર અવિભાજ્ય છે. તેથી,$m - n = 27 - 10 = 17$.

(A) ઉપવલયનું સમીકરણ $kx^{2} + k^{2}y^{2} = 1$ છે,જેને $\frac{x^{2}}{1/k} + \frac{y^{2}}{1/k^{2}} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અક્ષો પરના અંતિમ બિંદુઓ $(\pm 1/\sqrt{k}, 0)$ અને $(0, \pm 1/k)$ છે.
પ્રથમ ચરણમાં $(1/\sqrt{k}, 0)$ અને $(0, 1/k)$ ને જોડતી જીવાનું સમીકરણ $\frac{x}{1/\sqrt{k}} + \frac{y}{1/k} = 1$ છે,જે $\sqrt{k}x + ky = 1$ માં સરળ બને છે.
વર્તુળ $C_{k}$ ની ત્રિજ્યા $r_{k}$ એ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી આ રેખાનું લંબ અંતર છે:
$r_{k} = \frac{|0 + 0 - 1|}{\sqrt{(\sqrt{k})^{2} + k^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{k + k^{2}}}$.
તેથી,$\frac{1}{r_{k}^{2}} = k + k^{2}$.
આપણે $\sum_{k=1}^{20} \frac{1}{r_{k}^{2}} = \sum_{k=1}^{20} (k + k^{2}) = \sum_{k=1}^{20} k + \sum_{k=1}^{20} k^{2}$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$n=20$ માટે સરવાળાના સૂત્રો $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ અને $\sum_{k=1}^{n} k^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sum_{k=1}^{20} k = \frac{20 \times 21}{2} = 210$.
$\sum_{k=1}^{20} k^{2} = \frac{20 \times 21 \times 41}{6} = 10 \times 7 \times 41 = 2870$.
આમ,$\sum_{k=1}^{20} \frac{1}{r_{k}^{2}} = 210 + 2870 = 3080$.

(C) કેન્દ્ર $(2,0)$ અને ત્રિજ્યા $r$ ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-2)^2 + y^2 = r^2$ છે.
ઉપવલયનું સમીકરણ $x^2 + 4y^2 = 36$ છે,જેનો અર્થ છે કે $y^2 = \frac{36-x^2}{4}$.
$y^2$ ની કિંમત વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(x-2)^2 + \frac{36-x^2}{4} = r^2$
$4(x^2 - 4x + 4) + 36 - x^2 = 4r^2$
$4x^2 - 16x + 16 + 36 - x^2 = 4r^2$
$3x^2 - 16x + 52 - 4r^2 = 0$.
વર્તુળ અંતર્ગત હોવા માટે,સ્પર્શકતા માટે વિવેચક $D = 0$ હોવો જોઈએ:
$D = (-16)^2 - 4(3)(52 - 4r^2) = 0$
$256 - 12(52 - 4r^2) = 0$
$256 - 624 + 48r^2 = 0$
$48r^2 = 368$
$12r^2 = \frac{368}{4} = 92$.

(C) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$ છે.
$PQ$ અને $RS$ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી જીવાઓ હોવાથી,$O$ એ $PQ$ અને $RS$ નું મધ્યબિંદુ છે.
તેથી,$PQ = 2OP$ અને $RS = 2OR$.
$\frac{1}{(PQ)^2} + \frac{1}{(RS)^2} = \frac{1}{4(OP)^2} + \frac{1}{4(OR)^2} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{(OP)^2} + \frac{1}{(OR)^2} \right)$.
$P = (2 \cos \alpha, 3 \sin \alpha)$ અને $R = (2 \cos \theta, 3 \sin \theta)$ લો.
$OP \perp OR$ હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય: $\left( \frac{3 \sin \alpha}{2 \cos \alpha} \right) \left( \frac{3 \sin \theta}{2 \cos \theta} \right) = -1$ $\Rightarrow \tan \alpha \tan \theta = -\frac{4}{9}$.
$P = \left( \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{7}}, \frac{6}{\sqrt{7}} \right)$ આપેલ છે,તેથી $\tan \alpha = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
તેથી $\tan \theta = -\frac{2 \sqrt{3}}{9}$.
$(OP)^2 = \frac{48}{7}$ અને $(OR)^2 = \frac{144}{31}$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{4} \left( \frac{7}{48} + \frac{31}{144} \right) = \frac{13}{144}$.
આમ $p=13, q=144$,તેથી $p+q = 157$.

(A) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{(x-1)^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a} = \frac{1}{2}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $4b^2 = a$ (સમીકરણ $1$).
ગૌણ અક્ષના અંત્યબિંદુઓ $(1, b)$ અને $(1, -b)$ છે,અને નાભિઓ $(1 \pm ae, 0)$ છે. ગૌણ અક્ષ દ્વારા નાભિ આગળ આંતરેલો ખૂણો $60^{\circ}$ છે.
નાભિ $(1+ae, 0)$ અને ગૌણ અક્ષના અંત્યબિંદુઓ $(1, b)$ અને $(1, -b)$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણને ધ્યાનમાં લેતા,નાભિ આગળનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે,તેથી અડધો ખૂણો $30^{\circ}$ થાય.
આમ,$\tan(30^{\circ}) = \frac{b}{ae} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,જેનો અર્થ છે કે $ae = b\sqrt{3}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$a^2e^2 = 3b^2$. કારણ કે $a^2e^2 = a^2 - b^2$,તેથી $a^2 - b^2 = 3b^2$,એટલે કે $a^2 = 4b^2$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ પરથી,$b^2 = \frac{a}{4}$. આને સમીકરણ $2$ માં મૂકતા,$a^2 = 4(\frac{a}{4}) = a$.
$a > 0$ હોવાથી,$a = 1$ મળે. તેથી $b^2 = \frac{1}{4}$,એટલે કે $b = \frac{1}{2}$.
મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2a = 2(1) = 2$ છે,અને ગૌણ અક્ષની લંબાઈ $2b = 2(\frac{1}{2}) = 1$ છે.
લંબાઈના સરવાળાનો વર્ગ $(2a + 2b)^2 = (2 + 1)^2 = 3^2 = 9$ થાય.

(A) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ માટે મધ્યબિંદુ $(x_1, y_1)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $T=S_1$ છે.
અહીં $a^2=25, b^2=16$ અને $(x_1, y_1) = (1, \frac{2}{5})$ છે.
$T=S_1$ નો ઉપયોગ કરતા,જીવાનું સમીકરણ $\frac{x}{25}+\frac{y}{40} = -\frac{19}{20}$ મળે છે.
આ સમીકરણ અને ઉપવલયના સમીકરણને ઉકેલતા,જીવાની લંબાઈ $\frac{\sqrt{1691}}{5}$ મળે છે.

(D) ધારો કે ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a > b$.
ગૌણ અક્ષની લંબાઈ $2b$ છે.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$2b = \frac{1}{2} (2ae) = ae$.
તેથી,$\frac{b}{a} = \frac{e}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ઉપવલય માટે,$b^2 = a^2(1 - e^2)$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{b^2}{a^2} = 1 - e^2$.
$\frac{b}{a} = \frac{e}{2}$ મૂકતા,આપણને $(\frac{e}{2})^2 = 1 - e^2$ મળે છે.
$\frac{e^2}{4} = 1 - e^2$.
$e^2 + \frac{e^2}{4} = 1$.
$\frac{5e^2}{4} = 1$.
$e^2 = \frac{4}{5}$.
$e = \frac{2}{\sqrt{5}}$.