Hyperbola Questions in Gujarati

(B) ધારો કે $Q$ ના યામ $(x, y)$ છે.
આપેલ છે કે $A = (1, 0)$ અને $B = (-1, 0)$.
શરત મુજબ $|AQ - BQ| = 1$,એટલે કે $AQ - BQ = \pm 1$.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\sqrt{(x - 1)^2 + y^2} - \sqrt{(x + 1)^2 + y^2} = \pm 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા અને સાદુંરૂપ આપતા,આપણને $12x^2 - 4y^2 = 3$ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણો: $x = b \sec \phi$ અને $y = a \tan \phi$.
તેથી,$\frac{x}{b} = \sec \phi$ અને $\frac{y}{a} = \tan \phi$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sec^2 \phi - \tan^2 \phi = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\left(\frac{x}{b}\right)^2 - \left(\frac{y}{a}\right)^2 = 1$.
આ સમીકરણ $\frac{x^2}{b^2} - \frac{y^2}{a^2} = 1$ મળે છે,જે અતિવલયનું સમીકરણ છે.

(A) અતિવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,તે બિંદુ $P$ નો બિંદુપથ છે કે જેના માટે બે નિશ્ચિત બિંદુઓ (નાભિ $A$ અને $B$) થી તેના અંતરનો તફાવત અચળ રહે છે.
ગાણિતિક રીતે,$|PA - PB| = 2a$,જ્યાં $2a$ એક અચળ છે.
તેથી,$P$ નો બિંદુપથ અતિવલય છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $P(h, k)$ છે.
આપેલ છે કે $|PA - PB| = 4$.
ધારો કે $A = (3, 0)$ અને $B = (-3, 0)$.
$\sqrt{(h - 3)^2 + k^2} - \sqrt{(h + 3)^2 + k^2} = \pm 4$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(h - 3)^2 + k^2 = 16 + (h + 3)^2 + k^2 \mp 8\sqrt{(h + 3)^2 + k^2}$.
$h^2 - 6h + 9 + k^2 = 16 + h^2 + 6h + 9 + k^2 \mp 8\sqrt{(h + 3)^2 + k^2}$.
$-12h - 16 = \mp 8\sqrt{(h + 3)^2 + k^2}$.
$-4$ વડે ભાગતા: $3h + 4 = \pm 2\sqrt{(h + 3)^2 + k^2}$.
ફરીથી વર્ગ કરતા:
$9h^2 + 24h + 16 = 4(h^2 + 6h + 9 + k^2)$.
$9h^2 + 24h + 16 = 4h^2 + 24h + 36 + 4k^2$.
$5h^2 - 4k^2 = 20$.
$20$ વડે ભાગતા: $\frac{h^2}{4} - \frac{k^2}{5} = 1$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1$ મળે છે.

(C) સામાન્ય દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે જો નિશ્ચાયક $\Delta = abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ હોય.
આપેલ સમીકરણ $3x^2 + 7xy + 2y^2 + 5x + 5y + 2 = 0$ ને સરખાવતા:
$a = 3, b = 2, c = 2, h = 7/2, g = 5/2, f = 5/2$.
નિશ્ચાયક $\Delta$ ની ગણતરી કરતા:
$\Delta = 12 + 125/4 - 75/4 - 50/4 - 98/4 = -12.5 \neq 0$.
અહીં $\Delta \neq 0$ હોવાથી તે રેખાઓની જોડી નથી. વિવેચક $h^2 - ab = 6.25 > 0$ હોવાથી,તે અતિવલય (Hyperbola) દર્શાવે છે.

(C) ધારો કે $P(x, y)$ એ શંકુ પરનું કોઈપણ બિંદુ છે.
શંકુની વ્યાખ્યા મુજબ,નાભિ $S(1, -1)$ થી $P(x, y)$ સુધીનું અંતર $SP = e \cdot PM$ છે,જ્યાં $PM$ એ $P$ થી નિયામિકા $x - y + 1 = 0$ પરનું લંબ અંતર છે.
$SP = \sqrt{(x - 1)^2 + (y + 1)^2}$
$PM = \frac{|x - y + 1|}{\sqrt{2}}$
$e = \sqrt{2}$ આપેલ હોવાથી,$SP^2 = e^2 \cdot PM^2$ થાય.
$(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 2 \cdot \frac{(x - y + 1)^2}{2}$
$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 2y + 1) = (x - y + 1)^2$
$x^2 + y^2 - 2x + 2y + 2 = x^2 + y^2 + 1 - 2xy + 2x - 2y$
પદોને ગોઠવતા:
$2xy - 4x + 4y + 1 = 0$.

(B) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{A^2} - \frac{y^2}{B^2} = 1$ છે.
આપણે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$ જાણીએ છીએ.
આને અતિવલયના સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણે $\frac{x}{A} = \sec \theta$ અને $\frac{y}{B} = \tan \theta$ લઈ શકીએ.
તેથી,અતિવલય પરના બિંદુના યામ $(A \sec \theta, B \tan \theta)$ છે.

(A) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે,ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{a^2}}$ છે.
તેથી,$\frac{1}{e^2} = \frac{a^2}{a^2 + b^2}$.
અતિવલય $\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$ માટે,ઉત્કેન્દ્રતા $e_1 = \sqrt{1 + \frac{a^2}{b^2}} = \sqrt{\frac{b^2 + a^2}{b^2}}$ છે.
તેથી,$\frac{1}{e_1^2} = \frac{b^2}{a^2 + b^2}$.
આ બંને પદોનો સરવાળો કરતા,$\frac{1}{e^2} + \frac{1}{e_1^2} = \frac{a^2}{a^2 + b^2} + \frac{b^2}{a^2 + b^2} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 + b^2} = 1$.

(B) અતિવલયનું આપેલ સમીકરણ $16x^2 - 9y^2 = 144$ છે.
$144$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$ મળે,જે $\frac{x^2}{3^2} - \frac{y^2}{4^2} = 1$ છે.
આ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ સ્વરૂપનું પ્રમાણિત અતિવલય છે,જ્યાં $a = 3$.
અતિવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,અતિવલય પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ નું બે નાભિઓ $S_1$ અને $S_2$ થી અંતરનો તફાવત એ તેની મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2a$ જેટલો હોય છે.
તેથી,$|PS_1 - PS_2| = 2a = 2(3) = 6$.

(A) નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a} = 8$ છે,જેનો અર્થ છે કે $b^2 = 4a$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{3}{\sqrt{5}}$ આપેલ છે,તેથી $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2}$ નો ઉપયોગ કરતા.
$e^2 = \frac{9}{5}$ અને $b^2 = 4a$ મૂકતા,$\frac{9}{5} = 1 + \frac{4a}{a^2} = 1 + \frac{4}{a}$ મળે.
આથી $\frac{4}{5} = \frac{4}{a}$,એટલે કે $a = 5$.
તેથી $b^2 = 4(5) = 20$.
અતિવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જે $\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{20} = 1$ થાય.
$100$ વડે ગુણતા,$4x^2 - 5y^2 = 100$ મળે.

(B) ધારો કે અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
તે $(3, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{3^2}{a^2} - \frac{0^2}{b^2} = 1$,જે $a^2 = 9$ આપે છે,તેથી $a = 3$.
તે $(3\sqrt{2}, 2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{(3\sqrt{2})^2}{a^2} - \frac{2^2}{b^2} = 1$.
$a^2 = 9$ મુકતા,આપણને $\frac{18}{9} - \frac{4}{b^2} = 1$ મળે છે,જે $2 - \frac{4}{b^2} = 1$ માં પરિણમે છે.
આમ,$\frac{4}{b^2} = 1$,તેથી $b^2 = 4$.
અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e$ નું સૂત્ર $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ છે.
કિંમતો મુકતા,$e = \sqrt{1 + \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{13}{9}} = \frac{\sqrt{13}}{3}$.

(A) આપેલ છે કે,અનુબદ્ધ અક્ષની લંબાઈ $2b = 5 \implies b = \frac{5}{2}$.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 13 \implies ae = \frac{13}{2}$.
અતિવલય માટે,સંબંધ $b^2 = a^2(e^2 - 1) = a^2e^2 - a^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(\frac{5}{2})^2 = (\frac{13}{2})^2 - a^2$.
$\frac{25}{4} = \frac{169}{4} - a^2$.
$a^2 = \frac{169}{4} - \frac{25}{4} = \frac{144}{4} = 36$.
આમ,$a^2 = 36$ અને $b^2 = \frac{25}{4}$.
અતિવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
$\frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{25/4} = 1$.
$\frac{x^2}{36} - \frac{4y^2}{25} = 1$.
$900$ વડે ગુણતા: $25x^2 - 144y^2 = 900$.

(C) અનુપ્રસ્થ અક્ષની લંબાઈ $2a = 7$ છે,તેથી $a = \frac{7}{2}$ અને $a^2 = \frac{49}{4}$ થાય.
$x$-અક્ષ પર અનુપ્રસ્થ અક્ષ ધરાવતા અતિવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
$a^2 = \frac{49}{4}$ મૂકતા,આપણને $\frac{4x^2}{49} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ મળે.
અતિવલય બિંદુ $(5, -2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી:
$\frac{4(5)^2}{49} - \frac{(-2)^2}{b^2} = 1$
$\frac{100}{49} - \frac{4}{b^2} = 1$
$\frac{4}{b^2} = \frac{100}{49} - 1 = \frac{51}{49}$
$b^2 = \frac{196}{51}$ મળે.
આથી સમીકરણ $\frac{4}{49}x^2 - \frac{51}{196}y^2 = 1$ થાય.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(C) અતિવલયના શિરોબિંદુઓ $(\pm 4, 0)$ આપેલા છે,જે $(\pm a, 0)$ ને અનુરૂપ છે.
તેથી,$a = 4$.
અતિવલયની નાભિઓ $(\pm 6, 0)$ આપેલી છે,જે $(\pm ae, 0)$ ને અનુરૂપ છે.
તેથી,$ae = 6$.
$a$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $4e = 6$ મળે છે.
તેથી,$e = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.

(A) અતિવલયનું આપેલ સમીકરણ $x^2 - y^2 = 25$ છે.
બંને બાજુ $25$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{25} = 1$ મળે છે.
આ પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a^2 = 25$ અને $b^2 = 25$.
તેથી,$a = 5$ અને $b = 5$.
અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e$ શોધવાનું સૂત્ર $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$e = \sqrt{1 + \frac{25}{25}} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $16x^2 - y^2 + 64x + 4y + 44 = 0$
પદોને ગોઠવતા: $16(x^2 + 4x) - (y^2 - 4y) = -44$
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $16(x^2 + 4x + 4) - (y^2 - 4y + 4) = -44 + 64 - 4$
$16(x + 2)^2 - (y - 2)^2 = 16$
$16$ વડે ભાગતા: $\frac{(x + 2)^2}{1} - \frac{(y - 2)^2}{16} = 1$
આ કેન્દ્ર $(-2, 2)$ વાળું આડું અતિવલય છે.
ટ્રાન્સવર્સ અક્ષ $x$-અક્ષને સમાંતર છે,જે $y = 2$ છે.
કોન્જુગેટ અક્ષ $y$-અક્ષને સમાંતર છે,જે $x = -2$ (અથવા $x + 2 = 0$) છે.

(A) અતિવલયની અનુપ્રસ્થ અક્ષની લંબાઈ $2a = 8$ છે,જેનો અર્થ છે કે $a = 4$.
સંયુગ્મી અક્ષની લંબાઈ $2b = 6$ છે,જેનો અર્થ છે કે $b = 3$.
અતિવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,અતિવલય પરના કોઈપણ બિંદુના નાભિ અંતરોનો તફાવત એ અનુપ્રસ્થ અક્ષની લંબાઈ $2a$ જેટલો હોય છે.
તેથી,નાભિ અંતરોનો તફાવત $2a = 8$ થશે.

(C) નાભિઓ $(0, \pm 4)$ આપેલ છે,જે $(0, \pm be)$ ને અનુરૂપ છે. તેથી,$be = 4$.
શિરોબિંદુઓ $(0, \pm 2)$ આપેલ છે,જે $(0, \pm b)$ ને અનુરૂપ છે. તેથી,$b = 2$.
$b = 2$ ને $be = 4$ માં મૂકતા,આપણને $2e = 4$ મળે છે,તેથી $e = 2$.
શિરોલંબ અતિવલય માટે $a^2 = b^2(e^2 - 1)$ સંબંધનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $a^2 = 2^2(2^2 - 1) = 4(4 - 1) = 4(3) = 12$ મળે છે.
શિરોલંબ અતિવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{y^2}{4} - \frac{x^2}{12} = 1$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણો:
$bxt - ayt = ab$ --- $(1)$
$bx + ay = abt$ --- $(2)$
$(2)$ પરથી,$t = \frac{bx + ay}{ab}$ મળે.
$t$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા:
$bx(\frac{bx + ay}{ab}) - ay(\frac{bx + ay}{ab}) = ab$
$ab$ વડે ગુણતા:
$bx(bx + ay) - ay(bx + ay) = (ab)^2$
$(bx - ay)(bx + ay) = (ab)^2$
$(bx)^2 - (ay)^2 = (ab)^2$
$b^2x^2 - a^2y^2 = a^2b^2$
$a^2b^2$ વડે ભાગતા:
$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$
આ અતિવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ છે.

(D) આપેલ સમીકરણો:
$ax \sec \theta + by \tan \theta = a$ $(1)$
$ax \tan \theta + by \sec \theta = b$ $(2)$
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરતા:
$(ax \sec \theta + by \tan \theta)^2 = a^2$
$(ax \tan \theta + by \sec \theta)^2 = b^2$
પ્રથમમાંથી બીજું સમીકરણ બાદ કરતા:
$(ax \sec \theta + by \tan \theta)^2 - (ax \tan \theta + by \sec \theta)^2 = a^2 - b^2$
$a^2 x^2 (\sec^2 \theta - \tan^2 \theta) + b^2 y^2 (\tan^2 \theta - \sec^2 \theta) = a^2 - b^2$
કારણ કે $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$,તેથી આપણને મળે છે:
$a^2 x^2 - b^2 y^2 = a^2 - b^2$
આ અતિવલયનું સમીકરણ છે.

(C) આપેલ છે: કેન્દ્ર $(h, k) = (0, 0)$,શિરોબિંદુ $(a, 0) = (4, 0)$,અને નાભિ $(ae, 0) = (6, 0)$.
શિરોબિંદુ પરથી,$a = 4$.
નાભિ પરથી,$ae = 6$. $a = 4$ મૂકતા,$4e = 6$,તેથી $e = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.
અતિવલય માટે,$b^2 = a^2(e^2 - 1)$.
$b^2 = 16 \left( (\frac{3}{2})^2 - 1 \right) = 16 (\frac{9}{4} - 1) = 16 (\frac{5}{4}) = 20$.
અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
$a^2 = 16$ અને $b^2 = 20$ મૂકતા,$\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{20} = 1$ મળે.
$80$ વડે ગુણતા,$5x^2 - 4y^2 = 80$ મળે.

(B) કોઈપણ અતિવલય માટે,ઉત્કેન્દ્રતા $e$ એ હંમેશા $e > 1$ ની શરતનું પાલન કરે છે.
આપેલા વિકલ્પો તપાસતા:
$A) \sqrt{\frac{9}{5}} \approx 1.34 > 1$
$B) 2\sqrt{\frac{1}{9}} = 2 \times \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \approx 0.67 < 1$
$C) 3\sqrt{\frac{1}{8}} = 3 \times \frac{1}{2\sqrt{2}} \approx 1.06 > 1$
$D) 2 > 1$
અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $1$ થી ઓછી હોઈ શકે નહીં,તેથી $\frac{2}{3}$ શક્ય નથી. આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો જવાબ છે.

(A) ધારો કે અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
તે $(3, 2)$ માંથી પસાર થાય છે:
$\frac{9}{a^2} - \frac{4}{b^2} = 1$ ..... $(i)$
તે $(-17, 12)$ માંથી પસાર થાય છે:
$\frac{289}{a^2} - \frac{144}{b^2} = 1$ ..... $(ii)$
ધારો કે $u = \frac{1}{a^2}$ અને $v = \frac{1}{b^2}$. સમીકરણો નીચે મુજબ બનશે:
$9u - 4v = 1$ ..... $(iii)$
$289u - 144v = 1$ ..... $(iv)$
સમીકરણ $(iii)$ ને $36$ વડે ગુણતા:
$324u - 144v = 36$ ..... $(v)$
સમીકરણ $(v)$ માંથી $(iv)$ બાદ કરતા:
$(324 - 289)u = 36 - 1$
$35u = 35 \implies u = 1 \implies a^2 = 1 \implies a = 1$.
$u=1$ ને $(iii)$ માં મૂકતા:
$9(1) - 4v = 1 \implies 4v = 8 \implies v = 2 \implies b^2 = \frac{1}{2}$.
મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2a = 2(1) = 2$ છે.

(C) આપેલ રેખાઓ:
$L_1: \sqrt{3}x - y = 4\sqrt{3}k$ $(i)$
$L_2: \sqrt{3}kx + ky = 4\sqrt{3}$ (ii)
$(i)$ પરથી,$k = \frac{\sqrt{3}x - y}{4\sqrt{3}}$.
$k$ ની કિંમત (ii) માં મૂકતા:
$\sqrt{3}x(\frac{\sqrt{3}x - y}{4\sqrt{3}}) + y(\frac{\sqrt{3}x - y}{4\sqrt{3}}) = 4\sqrt{3}$
$4\sqrt{3}$ વડે ગુણતા:
$\sqrt{3}x(\sqrt{3}x - y) + y(\sqrt{3}x - y) = 48$
$3x^2 - \sqrt{3}xy + \sqrt{3}xy - y^2 = 48$
$3x^2 - y^2 = 48$
$48$ વડે ભાગતા:
$\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{48} = 1$
આ અતિવલયનું સમીકરણ છે.

(A) અતિવલયનું આપેલ સમીકરણ $9x^2 - 16y^2 = 144$ છે.
બંને બાજુ $144$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$ મળે છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^2 = 16$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a = 4$.
અતિવલય પરના કોઈપણ બિંદુના નાભિ અંતરનો તફાવત તેની મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2a$ જેટલો હોય છે.
તેથી,તફાવત $2 \times 4 = 8$ છે.

(C) અતિવલયનું આપેલ સમીકરણ $4x^2 - 9y^2 = 16$ છે.
$16$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{16/9} = 1$ મળે છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^2 = 4$ અને $b^2 = \frac{16}{9}$ મળે.
તેથી,$a = 2$ અને $b = \frac{4}{3}$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e$ માટેનું સૂત્ર $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{16}{9} = 4(e^2 - 1)$.
$\frac{4}{9} = e^2 - 1$.
$e^2 = 1 + \frac{4}{9} = \frac{13}{9}$.
તેથી,$e = \frac{\sqrt{13}}{3}$.

(D) આપેલ શંકુનું સમીકરણ ${x^2} - 4{y^2} = 1$ છે,જેને અતિવલયના પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{1^2} - \frac{y^2}{(1/2)^2} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^2 = 1$ અને $b^2 = \frac{1}{4}$ છે.
અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e$ માટેનું સૂત્ર $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{1}{4} = 1(e^2 - 1)$ મળે.
$e^2 = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$.
તેથી,$e = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

(A) આપેલ સમીકરણ $2x^2 - 3y^2 = 5$ છે.
$5$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^2}{5/2} - \frac{y^2}{5/3} = 1$ મળે છે.
આ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ સ્વરૂપનું છે,જ્યાં $a^2 = \frac{5}{2}$ અને $b^2 = \frac{5}{3}$ છે.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{5/3}{5/2}} = \sqrt{1 + \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{5}{3}}$ છે.
નાભિઓ $(\pm ae, 0)$ પર છે.
$ae = \sqrt{\frac{5}{2}} \times \sqrt{\frac{5}{3}} = \sqrt{\frac{25}{6}} = \frac{5}{\sqrt{6}}$.
તેથી,નાભિઓ $\left( \pm \frac{5}{\sqrt{6}}, 0 \right)$ છે.

(B) અતિવલયનું આપેલ સમીકરણ $16x^2 - 9y^2 = 144$ છે.
બંને બાજુ $144$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^2 = 9$ અને $b^2 = 16$ મળે છે.
તેથી,$a = 3$ અને $b = 4$.
નાભિલંબની લંબાઈનું સૂત્ર $\frac{2b^2}{a}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$L.R. = \frac{2 \times 16}{3} = \frac{32}{3}$.

(C) અતિવલયનું આપેલ સમીકરણ $9x^2 - 16y^2 = 144$ છે.
બંને બાજુ $144$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$ મળે છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^2 = 16$ અને $b^2 = 9$ મળે છે,તેથી $a = 4$ અને $b = 3$.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e$ એ $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$ દ્વારા મળે છે.
નાભિઓના યામ $(\pm ae, 0)$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $(\pm 4 \times \frac{5}{4}, 0) = (\pm 5, 0)$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $3x^2 - 4y^2 = 32$ છે.
બંને બાજુ $32$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{3x^2}{32} - \frac{4y^2}{32} = 1$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x^2}{32/3} - \frac{y^2}{8} = 1$ થાય છે.
આ અતિવલયના પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ જેવું છે,જ્યાં $a^2 = \frac{32}{3}$.
તેથી,$a = \sqrt{\frac{32}{3}} = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.
અનુપ્રસ્થ અક્ષની લંબાઈ $2a$ છે.
તેથી,$2a = 2 \times \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.

(A) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$ છે.
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^2 = 9$ અને $b^2 = 4$ મળે છે.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{13}{9}} = \frac{\sqrt{13}}{3}$ થાય.
નિયામિકાનું સમીકરણ $x = \pm \frac{a}{e}$ છે.
કિંમતો મુકતા,$x = \pm \frac{3}{\sqrt{13}/3} = \pm \frac{9}{\sqrt{13}}$.
આમ,નિયામિકા $x = 9/\sqrt{13}$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણો:
$\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = m$ .....$(i)$
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = \frac{1}{m}$ .....$(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો ગુણાકાર કરતા:
$\left( \frac{x}{a} - \frac{y}{b} \right) \left( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} \right) = m \times \frac{1}{m}$
નિત્યસમ $(A-B)(A+B) = A^2 - B^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$
આ અતિવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ છે.

(D) વ્યાખ્યા મુજબ,અતિવલય એ સમતલના એવા બિંદુનો બિંદુપથ છે કે જેથી બે નિશ્ચિત બિંદુઓ (જેને નાભિ કહેવાય છે) થી તેના અંતરનો તફાવત હંમેશા અચળ હોય છે,જે તેની મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $(2a)$ જેટલો હોય છે.

(D) અતિવલયનું આપેલ સમીકરણ $2x^2 - y^2 = 6$ છે.
બંને બાજુ $6$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{6} = 1$ મળે છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^2 = 3$ અને $b^2 = 6$ મળે છે.
અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e$ શોધવાનું સૂત્ર $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$e = \sqrt{1 + \frac{6}{3}} = \sqrt{1 + 2} = \sqrt{3}$.
આમ,ઉત્કેન્દ્રતા $\sqrt{3}$ છે.

(C) ધારો કે અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
આપેલ શરત મુજબ,નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર શિરોબિંદુઓ વચ્ચેના અંતર કરતાં બમણું છે: $2ae = 2(2a) \implies ae = 2a \implies e = 2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2}$,તેથી $4 = 1 + \frac{b^2}{a^2} \implies \frac{b^2}{a^2} = 3 \implies b^2 = 3a^2$.
અનુબદ્ધ અક્ષની લંબાઈ $2b = 6$ છે,જેનો અર્થ છે કે $b = 3$,તેથી $b^2 = 9$.
$b^2 = 9$ ને $b^2 = 3a^2$ માં મૂકતા,આપણને $9 = 3a^2 \implies a^2 = 3$ મળે છે.
અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{9} = 1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $3x^2 - y^2 = 9$ થાય છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $13[(x - 1)^2 + (y - 2)^2] = 3(2x + 3y - 2)^2$ છે.
આ $SP^2 = e^2 PM^2$ સ્વરૂપનું છે,જ્યાં $S$ નાભિ છે,$P$ એ બિંદુ $(x, y)$ છે,અને $PM$ એ $P$ થી નિયામિકાનું લંબ અંતર છે.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા:
$13(x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4) = 3(4x^2 + 9y^2 + 4 + 12xy - 8x - 12y)$
$13x^2 + 13y^2 - 26x - 52y + 65 = 12x^2 + 27y^2 + 36xy - 24x - 36y + 12$
$x^2 - 36xy - 14y^2 - 2x - 16y + 53 = 0$.
આને સામાન્ય દ્વિઘાત સમીકરણ $Ax^2 + 2Hxy + By^2 + 2Gx + 2Fy + C = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A = 1$,$H = -18$,અને $B = -14$ મળે છે.
વિવેચક $H^2 - AB = (-18)^2 - (1)(-14) = 324 + 14 = 338$.
$H^2 - AB > 0$ હોવાથી,આ શંકુછેદ અતિવલય દર્શાવે છે.

(A) શંકુચ્છેદની વ્યાખ્યા મુજબ,બિંદુ $P(x, y)$ થી નાભિ $S(2, 1)$ સુધીનું અંતર એ $e$ ગુણ્યા બિંદુ $P$ થી નિયામિકા $x + 2y - 1 = 0$ સુધીના લંબ અંતર જેટલું હોય છે.
$SP^2 = e^2 \times \text{dist}(P, \text{directrix})^2$
$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 2^2 \times \left[ \frac{x + 2y - 1}{\sqrt{1^2 + 2^2}} \right]^2$
$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 2y + 1) = 4 \times \frac{(x + 2y - 1)^2}{5}$
$5(x^2 + y^2 - 4x - 2y + 5) = 4(x^2 + 4y^2 + 1 + 4xy - 2x - 4y)$
$5x^2 + 5y^2 - 20x - 10y + 25 = 4x^2 + 16y^2 + 4 + 16xy - 8x - 16y$
$x^2 - 16xy - 11y^2 - 12x + 6y + 21 = 0$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $x^2 + 2x - y^2 + 5 = 0$
$x$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $(x^2 + 2x + 1) - y^2 + 5 - 1 = 0$
$(x + 1)^2 - y^2 = -4$
$-4$ વડે ભાગતા: $\frac{y^2}{4} - \frac{(x + 1)^2}{4} = 1$
આ $\frac{y^2}{b^2} - \frac{(x-h)^2}{a^2} = 1$ પ્રકારનું અતિવલય છે,જ્યાં $a^2 = 4$ અને $b^2 = 4$.
અહીં,$a = 2$ અને $b = 2$.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 + \frac{a^2}{b^2}} = \sqrt{1 + \frac{4}{4}} = \sqrt{2}$.
આ અતિવલય માટે નિયામિકાઓના સમીકરણો $y - k = \pm \frac{b}{e}$ છે.
$k = 0$ હોવાથી,$y = \pm \frac{2}{\sqrt{2}} = \pm \sqrt{2}$.

(B) અતિવલયનું આપેલ સમીકરણ $9x^2 - 16y^2 + 18x + 32y - 151 = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા:
$9(x^2 + 2x) - 16(y^2 - 2y) = 151$.
$x$ અને $y$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$9(x^2 + 2x + 1) - 16(y^2 - 2y + 1) = 151 + 9 - 16$.
$9(x + 1)^2 - 16(y - 1)^2 = 144$.
$144$ વડે ભાગતા:
$\frac{(x + 1)^2}{16} - \frac{(y - 1)^2}{9} = 1$.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,કેન્દ્ર $(h, k) = (-1, 1)$ મળે છે.

(A) નાભિઓ $(6, 4)$ અને $(-4, 4)$ છે.
કેન્દ્ર $(1, 4)$ છે.
$ae = 5$ અને $e = 2$ હોવાથી $a = 5/2$.
$b^2 = a^2(e^2 - 1) = 75/4$.
સમીકરણ: $\frac{(x - 1)^2}{25/4} - \frac{(y - 4)^2}{75/4} = 1$.
જેનું સાદું રૂપ $12x^2 - 4y^2 - 24x + 32y - 127 = 0$ થાય છે.

(A) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ નું સહાયક વર્તુળ એ અતિવલયની મુખ્ય અક્ષ (transverse axis) ને વ્યાસ તરીકે લઈને દોરવામાં આવતું વર્તુળ છે.
મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2a$ હોવાથી,સહાયક વર્તુળની ત્રિજ્યા $a$ થાય.
અતિવલયનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર છે.
તેથી,સહાયક વર્તુળનું સમીકરણ $(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = a^2$ થાય,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 = a^2$ છે.

(C) દ્વિઘાત વક્રનું સામાન્ય સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
આપેલ સમીકરણ ${x^2} - 16xy - 11{y^2} - 12x + 6y + 21 = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a = 1, h = -8, b = -11, g = -6, f = 3, c = 21$.
પ્રથમ,આપણે નિશ્ચાયક $\Delta = abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$\Delta = (1)(-11)(21) + 2(3)(-6)(-8) - (1)(3)^2 - (-11)(-6)^2 - (21)(-8)^2 = -1000 \ne 0$.
હવે,આપણે $h^2 - ab$ ની શરત તપાસીએ:
$h^2 - ab = (-8)^2 - (1)(-11) = 64 + 11 = 75$.
કારણ કે $h^2 - ab > 0$,તેથી આ સમીકરણ અતિવલય દર્શાવે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $9x^2 - 16y^2 - 18x - 32y - 151 = 0$
પદોને ગોઠવતા: $9(x^2 - 2x) - 16(y^2 + 2y) = 151$
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $9(x^2 - 2x + 1) - 16(y^2 + 2y + 1) = 151 + 9 - 16$
$9(x - 1)^2 - 16(y + 1)^2 = 144$
$144$ વડે ભાગતા: $\frac{(x - 1)^2}{16} - \frac{(y + 1)^2}{9} = 1$
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^2 = 16$ અને $b^2 = 9$ મળે,તેથી $a = 4$ અને $b = 3$.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 9}{4} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}$ થાય.

(C) આપેલ સમીકરણ: $x^2 - 4y^2 - 2x + 16y - 40 = 0$
પદોને ગોઠવતા:
$(x^2 - 2x) - 4(y^2 - 4y) = 40$
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$(x^2 - 2x + 1) - 4(y^2 - 4y + 4) = 40 + 1 - 16$
$(x - 1)^2 - 4(y - 2)^2 = 25$
$25$ વડે ભાગતા:
$\frac{(x - 1)^2}{25} - \frac{(y - 2)^2}{25/4} = 1$
આ $\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$ સ્વરૂપમાં છે,જે અતિવલય (Hyperbola) દર્શાવે છે.

(C) આપેલ પ્રાચલ સમીકરણો $x = 8 \sec \theta$ અને $y = 8 \tan \theta$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\left(\frac{x}{8}\right)^2 - \left(\frac{y}{8}\right)^2 = 1$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x^2}{64} - \frac{y^2}{64} = 1$ થાય છે.
આ એક લંબ અતિવલય છે જ્યાં $a^2 = 64$ અને $b^2 = 64$,તેથી $a = 8$ અને $b = 8$.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e$ એ $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{64}{64}} = \sqrt{2}$ દ્વારા મળે છે.
અતિવલયની નિયામિકાઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{2a}{e}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{2 \times 8}{\sqrt{2}} = \frac{16}{\sqrt{2}} = 8 \sqrt{2}$ મળે છે.

(B) અતિવલયનું આપેલ સમીકરણ $5x^2 - 4y^2 + 20x + 8y = 4$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$5(x^2 + 4x) - 4(y^2 - 2y) = 4$ મળે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$5(x^2 + 4x + 4) - 4(y^2 - 2y + 1) = 4 + 20 - 4$ મળે.
આથી $5(x + 2)^2 - 4(y - 1)^2 = 20$ થાય.
$20$ વડે ભાગતા,$\frac{(x + 2)^2}{4} - \frac{(y - 1)^2}{5} = 1$ મળે.
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^2 = 4$ અને $b^2 = 5$ મળે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e$ નું સૂત્ર $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ છે.
$e = \sqrt{1 + \frac{5}{4}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$.

(A) અતિવલયનું આપેલ સમીકરણ $9x^2 - 16y^2 + 72x - 32y - 16 = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$9(x^2 + 8x) - 16(y^2 + 2y) = 16$ મળે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$9(x^2 + 8x + 16) - 16(y^2 + 2y + 1) = 16 + 144 - 16$ મળે.
આ સાદું રૂપ આપતા $9(x + 4)^2 - 16(y + 1)^2 = 144$ થાય.
$144$ વડે ભાગતા,$\frac{(x + 4)^2}{16} - \frac{(y + 1)^2}{9} = 1$ મળે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^2 = 16$ (તેથી $a = 4$) અને $b^2 = 9$ મળે.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 9}{4} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}$ થાય.

(C) આપેલ અતિવલય $5x^2 - 9y^2 = 45$ છે. $45$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{5} = 1$ મળે છે.
$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^2 = 9$ અને $b^2 = 5$ મળે છે.
સ્પર્શક રેખા $y = mx + c$ છે,જ્યાં $m = 1$ અને $c = 2$ છે.
અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે સ્પર્શક $y = mx + c$ નું સ્પર્શબિંદુ $(x_1, y_1) = \left( \frac{-a^2m}{c}, \frac{-b^2}{c} \right)$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $x_1 = \frac{-9(1)}{2} = -\frac{9}{2}$ અને $y_1 = \frac{-5}{2}$.
આમ,સ્પર્શબિંદુ $(-9/2, -5/2)$ છે.

(A) રેખા $y = Mx + C$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ નો સ્પર્શક હોવાની શરત $C^2 = a^2M^2 - b^2$ છે.
આપેલ રેખા $lx + my + n = 0$ ને $y = -\frac{l}{m}x - \frac{n}{m}$ તરીકે લખી શકાય.
આને $y = Mx + C$ સાથે સરખાવતા,આપણને $M = -\frac{l}{m}$ અને $C = -\frac{n}{m}$ મળે છે.
આ કિંમતોને $C^2 = a^2M^2 - b^2$ માં મૂકતા:
$(-\frac{n}{m})^2 = a^2(-\frac{l}{m})^2 - b^2$
$\frac{n^2}{m^2} = \frac{a^2l^2}{m^2} - b^2$
બંને બાજુ $m^2$ વડે ગુણતા,આપણને $n^2 = a^2l^2 - b^2m^2$ મળે છે,જેને $a^2l^2 - b^2m^2 = n^2$ તરીકે લખી શકાય.