Mix Examples-Conic Sections Questions in Gujarati

(D) ઉપવલય $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{7}=1$ માટે,$a^2=16$ અને $b^2=7$ છે.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e_1 = \sqrt{1 - \frac{7}{16}} = \frac{3}{4}$.
નાભિઓ $(\pm 3, 0)$ છે.
અતિવલય $\frac{x^{2}}{144}-\frac{y^{2}}{\alpha}=\frac{1}{25}$ ને $\frac{x^{2}}{(12/5)^2} - \frac{y^{2}}{(\sqrt{\alpha}/5)^2} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં $a^2 = \frac{144}{25}$ અને $b^2 = \frac{\alpha}{25}$ છે.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e_2 = \frac{\sqrt{144+\alpha}}{12}$.
નાભિઓ $(\pm \frac{\sqrt{144+\alpha}}{5}, 0)$ છે.
નાભિઓ સમાન હોવાથી,$\frac{\sqrt{144+\alpha}}{5} = 3 \Rightarrow \alpha = 81$.
તેથી,$b^2 = \frac{81}{25}$.
નાભિલંબની લંબાઈ $= \frac{2b^2}{a} = \frac{2 \cdot (81/25)}{12/5} = \frac{27}{10}$.

(D) વક્ર $C_{1}: \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{4m^{2} + 9}$ છે.
વક્ર $C_{2}: \frac{x^{2}}{42} - \frac{y^{2}}{143} = 1$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{42m^{2} - 143}$ છે.
સામાન્ય સ્પર્શક માટે,$4m^{2} + 9 = 42m^{2} - 143$.
$38m^{2} = 152$ $\Rightarrow m^{2} = 4$ $\Rightarrow m = \pm 2$.
$m = 2$ માટે,અચળ પદ $c^{2} = 4(4) + 9 = 25$,તેથી $c = \pm 5$.
સ્પર્શક $T$ ચોથા ચરણમાંથી પસાર થતો નથી,તેથી આપણે $y = 2x + 5$ લઈએ છીએ.
$C_{1}$ પર સ્પર્શબિંદુ $(x_{1}, y_{1})$ એ $\frac{xx_{1}}{4} + \frac{yy_{1}}{9} = 1$ દ્વારા મળે છે. $2x - y = -5$ ને $\frac{x_{1}}{4}x + \frac{y_{1}}{9}y = 1$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\frac{x_{1}/4}{2} = \frac{y_{1}/9}{-1} = \frac{1}{-5}$ મળે છે.
આમ,$x_{1} = -8/5$.
$C_{2}$ પર સ્પર્શબિંદુ $(x_{2}, y_{2})$ એ $\frac{xx_{2}}{42} - \frac{yy_{2}}{143} = 1$ દ્વારા મળે છે. $2x - y = -5$ ને $\frac{x_{2}}{42}x - \frac{y_{2}}{143}y = 1$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\frac{x_{2}/42}{2} = \frac{-y_{2}/143}{-1} = \frac{1}{-5}$ મળે છે.
આમ,$x_{2} = -84/5$.
અંતે,$|2x_{1} + x_{2}| = |2(-8/5) - 84/5| = |-16/5 - 84/5| = |-100/5| = 20$.

(B) અતિવલય $H$ એ $\frac{y^{2}}{64} - \frac{x^{2}}{49} = 1$ છે. તેના શિરોબિંદુઓ $(0, \pm 8)$ છે.
ઉપવલય $E: \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ એ $(0, \pm 8)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $b^2 = 64$,એટલે કે $b = 8$.
અતિવલય $H$ ની ઉત્કેન્દ્રતા $e_H = \sqrt{1 + \frac{49}{64}} = \sqrt{\frac{113}{64}} = \frac{\sqrt{113}}{8}$ છે.
ઉપવલય $E$ ની ઉત્કેન્દ્રતા $e_E = \sqrt{1 - \frac{a^2}{b^2}} = \sqrt{1 - \frac{a^2}{64}}$ છે.
આપેલ છે કે $e_E \times e_H = \frac{1}{2}$,તેથી $\sqrt{1 - \frac{a^2}{64}} \times \frac{\sqrt{113}}{8} = \frac{1}{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(1 - \frac{a^2}{64}) \times \frac{113}{64} = \frac{1}{4} \Rightarrow 1 - \frac{a^2}{64} = \frac{16}{113}$.
તેથી,$\frac{a^2}{64} = 1 - \frac{16}{113} = \frac{97}{113}$,એટલે કે $a^2 = \frac{64 \times 97}{113}$.
નાભિલંબની લંબાઈ $l = \frac{2a^2}{b} = \frac{2}{8} \times \frac{64 \times 97}{113} = \frac{1552}{113}$.
તેથી,$113l = 1552$.

(B) અતિવલય $H: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ છે. નાભિઓ $S(ae, 0)$ અને $S'(-ae, 0)$ છે.
પરવલય માટે,નાભિ $(ae, 0)$ છે અને નિયામિકા $x = -ae$ છે.
નાભિ અને નિયામિકા વચ્ચેનું અંતર $2ae$ છે. પરવલય માટે આ અંતર $2p$ છે,તેથી $p = ae$.
પરવલયના નાભિલંબની લંબાઈ $4p = 4ae$ છે.
$H$ ના નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^{2}}{a}$ છે.
આપેલ છે કે $4ae = e \times \frac{2b^{2}}{a}$,તેથી $b^{2} = 2a^{2}$.
બિંદુ $(2\sqrt{2}, -2\sqrt{2})$ એ $H$ પર હોવાથી,$\frac{8}{a^{2}} - \frac{8}{b^{2}} = 1$. $b^{2} = 2a^{2}$ મૂકતા,$a^{2} = 4$ અને $b^{2} = 8$ મળે.
તેથી $e = \sqrt{3}$.
પરવલયનું સમીકરણ $y^{2} = 4(ae)x = 8\sqrt{3}x$ છે.
બિંદુ $(3\sqrt{3}, -6\sqrt{2})$ ચકાસતા,$y^{2} = 72$ અને $8\sqrt{3}x = 72$ મળે છે. તેથી આ બિંદુ પરવલય પર છે.

(D) અતિવલય $H: x^{2} - y^{2} = 1$ માટે,$e_{H} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.
આપેલ છે કે $e_{E} = \frac{1}{e_{H}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$e_{E}^{2} = 1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}$ હોવાથી,$\frac{1}{2} = 1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}$ $\Rightarrow \frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow a^{2} = 2b^{2}$.
રેખા $y = mx + K$ એ $H: x^{2} - y^{2} = 1$ નો સ્પર્શક છે જો $K^{2} = a_{H}^{2}m^{2} - b_{H}^{2} = 1(\frac{5}{2}) - 1 = \frac{3}{2}$.
રેખા $y = mx + K$ એ $E: \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ નો સ્પર્શક છે જો $K^{2} = a^{2}m^{2} + b^{2}$.
$K^{2} = \frac{3}{2} = a^{2}(\frac{5}{2}) + b^{2}$ ને સરખાવતા.
$a^{2} = 2b^{2}$ મૂકતા,$\frac{3}{2} = (2b^{2})(\frac{5}{2}) + b^{2} = 5b^{2} + b^{2} = 6b^{2}$.
આમ,$b^{2} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$ અને $a^{2} = 2(\frac{1}{4}) = \frac{1}{2}$.
તેથી,$4(a^{2} + b^{2}) = 4(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}) = 4(\frac{3}{4}) = 3$.

(B) પરવલય $P: y^{2}=4x$ છે,તેથી તેની નાભિ $(1, 0)$ છે. $L: y=mx+c$ નાભિ જીવા હોવાથી તે $(1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $0 = m(1) + c$,એટલે કે $c = -m$.
આમ,રેખા $y = m(x-1)$ છે.
અતિવલય $H: x^{2}-y^{2}=4$ છે,એટલે કે $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{4} = 1$. અહીં $a^{2}=4, b^{2}=4$.
રેખા $y=mx+c$ અતિવલયનો સ્પર્શક હોય તેની શરત $c^{2} = a^{2}m^{2} - b^{2}$ છે.
$c = -m$ મૂકતા,$(-m)^{2} = 4m^{2} - 4$,તેથી $m^{2} = 4m^{2} - 4$,જેનો અર્થ છે $3m^{2} = 4$,અથવા $m = \frac{2}{\sqrt{3}}$ ($m>0$ હોવાથી).
તેથી $c = -\frac{2}{\sqrt{3}}$. રેખા $L$ એ $y = \frac{2}{\sqrt{3}}(x-1)$ છે.
છેદબિંદુઓ $M(x_{1}, y_{1})$ અને $N(x_{2}, y_{2})$ મેળવવા માટે $y = \frac{2}{\sqrt{3}}(x-1)$ ને $y^{2}=4x$ માં મૂકતા:
$\frac{4}{3}(x-1)^{2} = 4x \implies (x-1)^{2} = 3x \implies x^{2}-2x+1 = 3x \implies x^{2}-5x+1 = 0$.
બીજ $x_{1}, x_{2}$ છે,તેથી $x_{1}+x_{2}=5$ અને $x_{1}x_{2}=1$.
$y$-યામ $y_{i} = \frac{2}{\sqrt{3}}(x_{i}-1)$ છે.
ચતુષ્કોણ $OMFN$ નું ક્ષેત્રફળ એ $\triangle OMF$ અને $\triangle ONF$ ના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_{F} y_{1} - x_{F} y_{2}| = \frac{1}{2} |x_{F}| |y_{1}-y_{2}|$.
અહીં $x_{F} = 2\sqrt{2}$ ($H$ ની નાભિ $(ae, 0) = (2\sqrt{2}, 0)$ છે).
$|y_{1}-y_{2}| = \frac{2}{\sqrt{3}} |x_{1}-x_{2}| = \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{25-4} = \frac{2\sqrt{21}}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{7}$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} (2\sqrt{2}) (2\sqrt{7}) = 2\sqrt{14}$.

(C) પરવલય $x^2=4ky$ છે. નાભિલંબ $BC$ એ રેખા $y=k$ છે. $B$ અને $C$ ના યામ $(-2k, k)$ અને $(2k, k)$ છે.
$BD=DE=EC$ અને $BC=4k$ હોવાથી,$DE = \frac{4k}{3}$ મળે.
ઉપવલયનું કેન્દ્ર $P$ એ $DE$ નું મધ્યબિંદુ $(0, k)$ છે.
ઉપવલય ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ આગળ પરવલયને સ્પર્શે છે. ધારો કે ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$ છે.
તે $O(0,0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$\frac{0}{a^2} + \frac{(-k)^2}{b^2} = 1$,તેથી $b^2 = k^2$.
ઉપવલય $BC$ (રેખા $y=k$) ને $D$ અને $E$ માં છેદે છે. $y=k$ મુકતા,$\frac{x^2}{a^2} = 1$,તેથી $x = \pm a$.
આમ,$D = (-a, k)$ અને $E = (a, k)$. $DE = 2a = \frac{4k}{3}$ હોવાથી,$a = \frac{2k}{3}$.
અહીં $a < b$ હોવાથી,ઉત્કેન્દ્રતા $e^2 = 1 - \frac{a^2}{b^2} = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$.
તેથી,$e = \frac{\sqrt{5}}{3}$.

(B) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ની નાભિઓ $F_1 = (ae, 0)$ અને $F_2 = (-ae, 0)$ છે.
પરવલય $x^2 = 4(y + b)$ છે. નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $(\pm 2, 1-b)$ છે.
ચોરસ માટે,$2ae = 4 \Rightarrow ae = 2$ અને $|1-b| = 4$.
$b=3$ લેતા,$a^2 e^2 = a^2 - b^2$ $\Rightarrow 4 = a^2 - 9$ $\Rightarrow a^2 = 13$.
તેથી,$e = \sqrt{1 - \frac{9}{13}} = \frac{2}{\sqrt{13}}$.

(B) આપેલ સમીકરણ $(y-ax-b)(bx^2+ay^2-ab)=0$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે કાં તો $y-ax-b=0$ અથવા $bx^2+ay^2-ab=0$.
$1$. $y=ax+b$ એ $a$ ઢાળ અને $b$ $y$-અંતઃખંડ ધરાવતી સીધી રેખા દર્શાવે છે.
$2$. $bx^2+ay^2=ab$ ને $\frac{x^2}{a} + \frac{y^2}{b} = 1$ તરીકે લખી શકાય છે (ધારી લઈએ કે $a, b \neq 0$).
જો $a > 0$ અને $b < 0$ હોય,તો સમીકરણ $\frac{x^2}{a} - \frac{y^2}{|b|} = 1$ બને છે,જે આડા અક્ષ પર ખુલતું અતિવલય (hyperbola) દર્શાવે છે.
જો $a < 0$ અને $b > 0$ હોય,તો સમીકરણ $-\frac{x^2}{|a|} + \frac{y^2}{b} = 1$ બને છે,જે ઊભા અક્ષ પર ખુલતું અતિવલય દર્શાવે છે.
આપેલ આકૃતિઓ જોતા,આકૃતિ $2$ એ રેખા સાથે આડા અક્ષ પર ખુલતું અતિવલય દર્શાવે છે,જે $a > 0$ અને $b < 0$ વાળા કિસ્સાને અનુરૂપ છે. તેથી,આકૃતિ $2$ સાચી રજૂઆત છે.

(A) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 24x$ છે,તેથી $4a = 24$,જે $a = 6$ આપે છે.
આ પરવલયનો કોઈપણ સ્પર્શક $y = mx + \frac{6}{m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે જીવા $AB$ નું મધ્યબિંદુ $(h, k)$ છે.
અતિવલય $xy = 2$ માટે મધ્યબિંદુ $(h, k)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $T = S_1$ છે,એટલે કે $xh + yk = 2hk$.
રેખા $AB$ ના બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણને બિંદુઓનો બિંદુપથ $x^2 = -3y$ મળે છે.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો વિકલ્પ $4x = 3$ છે.

(D) પરવલય $y^2=3x$ માટે,$P(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $2y \frac{dy}{dx} = 3$ દ્વારા મળે છે,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2y}$.
સ્પર્શક રેખા $x+2y=1$ (ઢાળ $= -1/2$) ને સમાંતર હોવાથી,$\frac{3}{2y_1} = -1/2$,જે $y_1 = -3$ આપે છે. $y^2=3x$ માં કિંમત મૂકતા,$x_1 = 3$ મળે. આમ,$P = (3, -3)$.
ઉપવલય $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$ માટે,$(x, y)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{4y}$ છે.
$Q$ અને $R$ આગળના સ્પર્શકો રેખા $x-y=2$ (ઢાળ $= 1$) ને લંબ છે,તેથી તેમનો ઢાળ $-1$ છે. આમ,$-\frac{x}{4y} = -1$,જે $x = 4y$ સૂચવે છે.
$x=4y$ ને ઉપવલયના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{(4y)^2}{4} + y^2 = 1 \Rightarrow 4y^2 + y^2 = 1 \Rightarrow 5y^2 = 1 \Rightarrow y = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$.
તેથી $x = \pm \frac{4}{\sqrt{5}}$. આમ $Q = (\frac{4}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}})$ અને $R = (-\frac{4}{\sqrt{5}}, -\frac{1}{\sqrt{5}})$.
$\triangle PQR$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_P(y_Q - y_R) + x_Q(y_R - y_P) + x_R(y_P - y_Q)|$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |3(\frac{1}{\sqrt{5}} - (-\frac{1}{\sqrt{5}})) + \frac{4}{\sqrt{5}}(-\frac{1}{\sqrt{5}} - (-3)) + (-\frac{4}{\sqrt{5}})(-3 - \frac{1}{\sqrt{5}})| = 3\sqrt{5}$.

(C) અતિવલય $2x^2 - 2y^2 = 1$ માટે,તેને $\frac{x^2}{1/2} - \frac{y^2}{1/2} = 1$ તરીકે લખી શકાય. અહીં $a^2 = 1/2$ અને $b^2 = 1/2$ છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e_H = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.
ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e_E$ એ $e_H$ નો વ્યસ્ત છે,તેથી $e_E = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
ઉપવલય અને અતિવલય લંબકોણીય રીતે છેદતા હોવાથી,તેઓ સહનાભિ (confocal) છે.
અતિવલયની નાભિઓ $(\pm ae, 0) = (\pm 1, 0)$ છે.
ઉપવલય માટે,$ae_E = 1$. $e_E = \frac{1}{\sqrt{2}}$ હોવાથી,$a \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 1$,તેથી $a = \sqrt{2}$.
$e_E^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{2} = 1 - \frac{b^2}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{b^2}{2} = \frac{1}{2}$,તેથી $b^2 = 1$.
નાભિલંબની લંબાઈ $L = \frac{2b^2}{a} = \frac{2(1)}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
નાભિલંબની લંબાઈનો વર્ગ $(\sqrt{2})^2 = 2$ થાય.

(A) બિંદુ $P(3, \alpha)$ એ પરવલય $y^2=12x$ પર હોવાથી,$\alpha^2 = 12(3) = 36$,તેથી $\alpha = \pm 6$.
સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{6}{y}$ છે. $(3, \alpha)$ આગળ ઢાળ $m_1 = \frac{6}{\alpha}$ છે.
રેખા $2x+2y=3$ નો ઢાળ $m_2 = -1$ છે. સ્પર્શક લંબ હોવાથી $m_1 \times m_2 = -1$,તેથી $\alpha = 6$.
અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{36} = 1$ થાય.
બિંદુ $Q$ એ $(5, 8)$ છે.
અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{9x}{5} + \frac{36y}{8} = 45$ એટલે કે $2x + 5y - 50 = 0$ મળે.
બિંદુ $(6, -4)$ થી રેખાનું અંતર $d = \frac{|2(6) + 5(-4) - 50|}{\sqrt{29}} = \frac{58}{\sqrt{29}}$ છે.
અંતરનો વર્ગ $d^2 = \frac{3364}{29} = 116$ થાય.

(C) અતિવલય $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ માટે,$a^2=16$ અને $b^2=9$ છે. ઉત્કેન્દ્રતા $e_1 = \sqrt{1+\frac{9}{16}} = \frac{5}{4}$ છે.
$e_1 e_2 = 1$ હોવાથી,$e_2 = \frac{4}{5}$ મળે.
અતિવલયની નાભિઓ $(\pm 5, 0)$ છે.
ઉપવલય $(\pm 5, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $a=5$ મળે.
ઉપવલય માટે,$e_2^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$ $\Rightarrow \frac{16}{25} = 1 - \frac{b^2}{25}$ $\Rightarrow b^2 = 9$ મળે.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ છે.
$y=2$ મુકતા,$\frac{x^2}{25} + \frac{4}{9} = 1$ $\Rightarrow x^2 = \frac{125}{9}$ $\Rightarrow x = \pm \frac{5 \sqrt{5}}{3}$ મળે.
જીવાની લંબાઈ $\frac{5 \sqrt{5}}{3} - (-\frac{5 \sqrt{5}}{3}) = \frac{10 \sqrt{5}}{3}$ થાય.

(A) $y^2=3x^2$ ને બંને શંકુના સમીકરણોમાં મૂકતા.
પ્રથમ શંકુ માટે: $x^2+3x^2=4b$ $\Rightarrow 4x^2=4b$ $\Rightarrow x^2=b$.
બીજા શંકુ માટે: $\frac{x^2}{16}+\frac{3x^2}{b^2}=1 \Rightarrow \frac{b}{16}+\frac{3}{b}=1$.
$16b$ વડે ગુણતા,$b^2+48=16b \Rightarrow b^2-16b+48=0$.
અવયવ પાડતા $(b-12)(b-4)=0$,તેથી $b=12$ અથવા $b=4$.
જો $b=4$ હોય,તો શંકુઓ $x^2+y^2=16$ અને $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{16}=1$ થાય,જે એકબીજા પર સંપાતી છે. તેથી,$b=12$.
$b=12$ માટે,$x^2=12 \Rightarrow x = \pm 2\sqrt{3}$ અને $y^2=3(12)=36 \Rightarrow y = \pm 6$.
છેદબિંદુઓ $(\pm 2\sqrt{3}, \pm 6)$ છે.
લંબચોરસના શિરોબિંદુઓ $(\pm 2\sqrt{3}, \pm 6)$ છે,તેથી તેની પહોળાઈ $4\sqrt{3}$ અને ઊંચાઈ $12$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= (4\sqrt{3}) \times 12 = 48\sqrt{3}$.
માંગેલ કિંમત $3\sqrt{3} \times (48\sqrt{3}) = 3 \times 48 \times 3 = 432$ છે.

(C) અતિવલય $x^2 - y^2 \operatorname{cosec}^2 \theta = 5$ ને $\frac{x^2}{5} - \frac{y^2}{5 \sin^2 \theta} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
તેની ઉત્કેન્દ્રતા $e_h = \sqrt{1 + \sin^2 \theta}$ છે.
ઉપવલય $x^2 \operatorname{cosec}^2 \theta + y^2 = 5$ ને $\frac{x^2}{5 \sin^2 \theta} + \frac{y^2}{5} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
તેની ઉત્કેન્દ્રતા $e_c = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \cos \theta$ છે.
આપેલ છે કે $e_h = \sqrt{7} e_c$,તેથી:
$\sqrt{1 + \sin^2 \theta} = \sqrt{7} \cos \theta$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$1 + \sin^2 \theta = 7 \cos^2 \theta = 7(1 - \sin^2 \theta)$.
$8 \sin^2 \theta = 6 \Rightarrow \sin^2 \theta = \frac{3}{4}$.
$0 < \theta < \pi / 2$ હોવાથી,$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$,એટલે કે $\theta = \frac{\pi}{3}$.

(C) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે,ઉત્કેન્દ્રતા $e$ એ $e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $e = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $e^2 = \frac{1}{2}$.
આમ,$1 - \frac{b^2}{a^2} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{b^2}{a^2} = \frac{1}{2}$.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a} = \sqrt{14}$ છે.
$\frac{b^2}{a^2} = \frac{1}{2}$ પરથી,$b^2 = \frac{a^2}{2}$ મળે.
આ કિંમત નાભિલંબના સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{2(a^2/2)}{a} = \sqrt{14} \Rightarrow a = \sqrt{14}$.
તેથી $b^2 = \frac{14}{2} = 7$.
અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે,ઉત્કેન્દ્રતા $e_H$ એ $e_H^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2}$ દ્વારા મળે છે.
$\frac{b^2}{a^2} = \frac{1}{2}$ મૂકતા,$e_H^2 = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ મળે.

(C, B, D) $1.$ $x^2+y^2=9$ અને $y^2=8x$ ઉકેલતા,આપણને $x=1$ મળે છે,તેથી $y=\pm 2\sqrt{2}$. બિંદુઓ $P(1, 2\sqrt{2})$ અને $Q(1, -2\sqrt{2})$ છે.
$P$ આગળ વર્તુળનો સ્પર્શક $x+2\sqrt{2}y=9$ છે,જે $x$-અક્ષને $R(9, 0)$ માં છેદે છે.
$P$ આગળ પરવલયનો સ્પર્શક $2\sqrt{2}y=4(x+1)$ છે,જે $x$-અક્ષને $S(-1, 0)$ માં છેદે છે.
$\triangle PQR$ નું ક્ષેત્રફળ $= 18\sqrt{2}$ અને $\triangle PQS$ નું ક્ષેત્રફળ $= 2\sqrt{2}$ છે. ગુણોત્તર $1:9$ છે (વિકલ્પો મુજબ $C$ પસંદ કરેલ છે).
$2.$ $\triangle PRS$ ના પરિવર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-8x+2\sqrt{2}y-9=0$ મળે છે. તેની ત્રિજ્યા $\sqrt{16+2+9} = 3\sqrt{3}$ છે.
$3.$ $\triangle PQR$ માટે,બાજુઓ $4\sqrt{2}, 6\sqrt{2}, 6\sqrt{2}$ છે. અર્ધ-પરિમિતિ $s=8\sqrt{2}$ અને ક્ષેત્રફળ $\Delta=18\sqrt{2}$ છે. અંતઃત્રિજ્યા $r = \frac{\Delta}{s} = 2.25$ છે,જે વિકલ્પ $D$ ની નજીક છે.

(C) આપેલ ઉપવલય $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{1} = 1$ છે. અહીં $a^2 = 4$ અને $b^2 = 1$ છે.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e$ એ $b^2 = a^2(1 - e^2)$ $\Rightarrow 1 = 4(1 - e^2)$ $\Rightarrow e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ દ્વારા મળે છે.
નાભિના યામ $(\pm ae, 0) = (\pm \sqrt{3}, 0)$ છે.
$P$ અને $Q$ એ નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ હોવાથી અને $y < 0$ હોવાથી,$x = \pm \sqrt{3}$ મળે. ઉપવલયના સમીકરણમાં મૂકતા: $3 + 4y^2 = 4 \Rightarrow y = -\frac{1}{2}$.
તેથી,$P = (\sqrt{3}, -\frac{1}{2})$ અને $Q = (-\sqrt{3}, -\frac{1}{2})$.
નાભિલંબ $PQ$ ની લંબાઈ $2\sqrt{3}$ છે.
પરવલય માટે,નાભિલંબની લંબાઈ $4a' = 2\sqrt{3} \Rightarrow a' = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$PQ$ નું મધ્યબિંદુ $R = (0, -\frac{1}{2})$ છે. પરવલયનું શિરોબિંદુ $(0, y_v)$ છે,જ્યાં $y_v = -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$.
કિસ્સો $1$: શિરોબિંદુ $(0, -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2})$. સમીકરણ $x^2 - 2\sqrt{3}y = 3 + \sqrt{3}$ મળે.
કિસ્સો $2$: શિરોબિંદુ $(0, -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2})$. સમીકરણ $x^2 + 2\sqrt{3}y = 3 - \sqrt{3}$ મળે.
આમ,સાચા સમીકરણો $B$ અને $C$ છે.

(A) $(p)$ રેખા $hx+ky=1$ એ $x^2+y^2=4$ ને સ્પર્શે છે જો ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $2$ જેટલું હોય.
$\frac{|h(0)+k(0)-1|}{\sqrt{h^2+k^2}}=2 \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{h^2+k^2}}=2 \Rightarrow h^2+k^2=\frac{1}{4}$. આ એક વર્તુળ છે.
$(q)$ $|z+2|-|z-2|=\pm 3$. આ બે નિશ્ચિત બિંદુઓ $(\pm 2, 0)$ થી અંતરનો તફાવત અચળ $3$ દર્શાવે છે. $3 < 4$ હોવાથી,આ એક અતિવલય છે.
$(r)$ $x=\sqrt{3}\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right), y=\frac{2 t}{1+t^2}$. ધારો કે $t=\tan \theta$. તો $x=\sqrt{3}\cos 2\theta$ અને $y=\sin 2\theta$. આમ,$\frac{x^2}{3}+y^2=1$,જે એક ઉપવલય છે.
$(s)$ પરવલય માટે ઉત્કેન્દ્રતા $e=1$ અને અતિવલય માટે $e>1$ હોય છે. તેથી,$1 \leq e < \infty$ એ પરવલય અને અતિવલય બંનેને આવરી લે છે.
$(t)$ ધારો કે $z=x+iy$. $\operatorname{Re}(z+1)^2 = \operatorname{Re}((x+1+iy)^2) = (x+1)^2-y^2$. આપેલ છે કે $(x+1)^2-y^2 = x^2+y^2+1 \Rightarrow x^2+2x+1-y^2 = x^2+y^2+1 \Rightarrow 2x = 2y^2 \Rightarrow x=y^2$. આ એક પરવલય છે.
જોડકાં: $A-p, B-s, t, C-r, D-q, s$.

(C) $1.$ સાચો વિકલ્પ $A \left(-\frac{9}{10}, 0\right)$ છે.
ઉપવલયનું સમીકરણ: $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1$. અહીં $a^2=9, b^2=8$. ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1-\frac{8}{9}} = \frac{1}{3}$. નાભિઓ $(\pm ae, 0) = (\pm 1, 0)$ છે.
શિરોબિંદુ $(0,0)$ અને નાભિ $F_2(1,0)$ ધરાવતા પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4x$ છે.
ઉપવલયના સમીકરણમાં $y^2=4x$ મૂકતા: $\frac{x^2}{9} + \frac{4x}{8} = 1 \Rightarrow 2x^2 + 9x - 18 = 0 \Rightarrow (2x-3)(x+6)=0$. $x>0$ હોવાથી,$x=\frac{3}{2}$. તેથી $y^2 = 4(\frac{3}{2}) = 6$,એટલે કે $y = \pm \sqrt{6}$. આમ $M = (\frac{3}{2}, \sqrt{6})$ અને $N = (\frac{3}{2}, -\sqrt{6})$.
$\triangle F_1 M N$ માં,$M$ માંથી $F_1 N$ પરના વેધનો ઢાળ $m_1 = \frac{\sqrt{6} - 0}{3/2 - (-1)} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$. વેધનો ઢાળ $m_{alt} = -\frac{1}{-2\sqrt{6}/5} = \frac{5}{2\sqrt{6}}$.
$M$ માંથી વેધનું સમીકરણ: $y - \sqrt{6} = \frac{5}{2\sqrt{6}}(x - \frac{3}{2})$. લંબકેન્દ્ર $x$-અક્ષ પર હોવાથી,$y=0$ મૂકતા: $-\sqrt{6} = \frac{5}{2\sqrt{6}}(x - \frac{3}{2}) \Rightarrow -12 = 5x - 7.5 \Rightarrow 5x = -4.5 \Rightarrow x = -\frac{9}{10}$.
$2.$ $M(\frac{3}{2}, \sqrt{6})$ આગળ ઉપવલયનો સ્પર્શક $\frac{x}{6} + \frac{y\sqrt{6}}{8} = 1$ છે. $y=0$ માટે $x=6$,તેથી $R(6,0)$.
$M(\frac{3}{2}, \sqrt{6})$ આગળ પરવલયનો અભિલંબ: સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{2}{\sqrt{6}}$ છે,તેથી અભિલંબનો ઢાળ $-\frac{\sqrt{6}}{2}$ છે. સમીકરણ: $y - \sqrt{6} = -\frac{\sqrt{6}}{2}(x - \frac{3}{2})$. $y=0$ માટે $x = \frac{7}{2}$. તેથી $Q(\frac{7}{2}, 0)$.
ક્ષેત્રફળ $\triangle MQR = \frac{1}{2} \times |6 - 3.5| \times \sqrt{6} = \frac{5\sqrt{6}}{4}$.
ચતુષ્કોણ $MF_1NF_2$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 2 \times 2\sqrt{6} = 2\sqrt{6}$.
ગુણોત્તર $= \frac{5\sqrt{6}/4}{2\sqrt{6}} = \frac{5}{8}$.

(A) પરવલય $y^2 = 12x$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{3}{m}$ છે.
આ રેખા ઉપવલય $\frac{x^2}{6} + \frac{y^2}{3} = 1$ નો સ્પર્શક હોય,તો તે $c^2 = a^2m^2 + b^2$ શરતનું પાલન કરે,જ્યાં $c = \frac{3}{m}$,$a^2 = 6$,અને $b^2 = 3$.
આ કિંમતો મૂકતા: $(\frac{3}{m})^2 = 6m^2 + 3 \implies \frac{9}{m^2} = 6m^2 + 3 \implies 3 = 2m^4 + m^2 \implies 2m^4 + m^2 - 3 = 0$.
ધારો કે $u = m^2$,તો $2u^2 + u - 3 = 0 \implies (2u + 3)(u - 1) = 0$. $u = m^2 > 0$ હોવાથી,$m^2 = 1$,એટલે કે $m = \pm 1$.
સ્પર્શકો $y = x + 3$ અને $y = -x - 3$ છે. બંને $x$-અક્ષને $(-3, 0)$ પર મળે છે. તેથી,વિધાન $(C)$ સાચું છે.
$T_1: y = x + 3$ માટે,$P$ પર સ્પર્શબિંદુ $A_1(3, 6)$ છે અને $E$ પર $A_2(-2, 1)$ છે.
$T_2: y = -x - 3$ માટે,$P$ પર સ્પર્શબિંદુ $A_4(3, -6)$ છે અને $E$ પર $A_3(-2, -1)$ છે.
ચતુષ્કોણ $A_1 A_2 A_3 A_4$ એ સમાંતર બાજુઓ $A_1 A_4$ (લંબાઈ $6 - (-6) = 12$) અને $A_2 A_3$ (લંબાઈ $1 - (-1) = 2$) વાળો સમલંબ ચતુષ્કોણ છે. ઊંચાઈ $x = 3$ અને $x = -2$ વચ્ચેનું અંતર છે,જે $3 - (-2) = 5$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times (12 + 2) \times 5 = \frac{1}{2} \times 14 \times 5 = 35$ ચોરસ એકમ. તેથી,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
સાચા વિધાનો $(A)$ અને $(C)$ છે.

(C) $(1)$ બિંદુ $(\sqrt{3}, 1/2)$ એ ઉપવલય $x^2+4y^2=4$ પર છે,જે $x^2+a^2y^2=a^2$ છે જ્યાં $a=2$. સ્પર્શક $\sqrt{3}x+2y=4$ નો ઢાળ $m=-\sqrt{3}/2$ છે. સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=mx+\sqrt{a^2m^2+1}$ છે. તેથી,$(II)(iv)(R)$ સાચું સંયોજન છે.
$(2)$ બિંદુ $(8, 16)$ એ પરવલય $y^2=4ax$ પર છે. $y^2=4ax$ માટે,$16^2=4a(8) \implies 256=32a \implies a=8$. સ્પર્શક $y=x+8$ નો ઢાળ $m=1$ છે. સમીકરણ $my=m^2x+a \implies y=x+8$ છે. સ્પર્શબિંદુ $(a/m^2, 2a/m) = (8, 16)$ છે. તેથી,$(III)(i)(P)$ સાચું સંયોજન છે.
$(3)$ $a=\sqrt{2}$ માટે,બિંદુ $(-1, 1)$ એ $x^2+y^2=a^2$ પર છે. $x^2+y^2=2$ પર $(-1, 1)$ આગળનો સ્પર્શક $-x+y=2 \implies y=x+2$ છે. $y=mx+a\sqrt{m^2+1}$ સાથે સરખાવતા,$m=1$ અને $a\sqrt{m^2+1} = 2$ મળે છે. સ્પર્શબિંદુ $(-ma/\sqrt{m^2+1}, a/\sqrt{m^2+1}) = (-1, 1)$ છે. તેથી,$(I)(ii)(Q)$ સાચું સંયોજન છે.

(D) આપેલ અતિવલય: $2x^2 - 2y^2 = 1 \Rightarrow \frac{x^2}{1/2} - \frac{y^2}{1/2} = 1$.
અહીં,$a^2 = 1/2, b^2 = 1/2$. ઉત્કેન્દ્રતા $e_h = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.
ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{1}{e_h} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે. $e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2} = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$\frac{b^2}{a^2} = \frac{1}{2} \Rightarrow a^2 = 2b^2$.
ઉપવલયનું સમીકરણ: $x^2 + 2y^2 = 2b^2$.
લંબરૂપે છેદવા માટે,છેદબિંદુ $(x_0, y_0)$ પર સ્પર્શકોના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય.
અતિવલય માટે: $4x - 4y y' = 0 \Rightarrow y' = \frac{x}{y}$.
ઉપવલય માટે: $2x + 4y y' = 0 \Rightarrow y' = -\frac{x}{2y}$.
ગુણાકાર: $(\frac{x_0}{y_0})(-\frac{x_0}{2y_0}) = -1 \Rightarrow x_0^2 = 2y_0^2$.
$x_0^2 = 2y_0^2$ ને અતિવલયના સમીકરણમાં મૂકતા: $2(2y_0^2) - 2y_0^2 = 1$ $\Rightarrow 2y_0^2 = 1$ $\Rightarrow y_0^2 = 1/2$ અને $x_0^2 = 1$.
$(x_0^2, y_0^2) = (1, 1/2)$ ને ઉપવલયના સમીકરણમાં મૂકતા: $1 + 2(1/2) = 2b^2$ $\Rightarrow 2b^2 = 2$ $\Rightarrow b^2 = 1$.
આમ,$a^2 = 2(1) = 2$. સમીકરણ $x^2 + 2y^2 = 2$ છે.
નાભિઓ $(\pm ae, 0) = (\pm \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}, 0) = (\pm 1, 0)$ છે.
તેથી,વિકલ્પો $(A)$ અને $(B)$ સાચા છે.

(A) પરવલય $y^2 = 4 \lambda x$ છે. નાભિલંબનું અંત્યબિંદુ $P(\lambda, 2 \lambda)$ છે.
પરવલયના સ્પર્શકનો ઢાળ $m_1 = 1$ મળે છે.
ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના સ્પર્શકનો ઢાળ $m_2 = -\frac{b^2}{2a^2}$ મળે છે.
સ્પર્શકો લંબ હોવાથી $m_1 \times m_2 = -1$,તેથી $\frac{b^2}{a^2} = 2$ મળે છે.
બિંદુ $P$ ઉપવલય પર હોવાથી,$\frac{\lambda^2}{a^2} + \frac{4 \lambda^2}{b^2} = 1$ મળે છે.
$\frac{b^2}{a^2} = 2$ મૂકતા,$a^2 = 3 \lambda^2$ અને $b^2 = 6 \lambda^2$ મળે છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{a^2}{b^2}} = \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(D) પરવલય $y^2=8x$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=mx+\frac{2}{m}$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2=2$ માટે,કેન્દ્ર $(0,0)$ થી રેખા $mx-y+\frac{2}{m}=0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $\sqrt{2}$ જેટલું હોવું જોઈએ.
$\left|\frac{2/m}{\sqrt{m^2+1}}\right|=\sqrt{2}$ $\Rightarrow m^2=1$ $\Rightarrow m=\pm 1$.
સામાન્ય સ્પર્શકો $y=x+2$ અને $y=-x-2$ છે.
વર્તુળ પરના સ્પર્શબિંદુઓ $P=(-1, 1)$ અને $Q=(-1, -1)$ છે.
પરવલય પરના સ્પર્શબિંદુઓ $R=(2, 4)$ અને $S=(2, -4)$ છે.
ચતુષ્કોણ $PQRS$ એ સમલંબ ચતુષ્કોણ છે.
$PQ = 2$,$RS = 8$ અને ઊંચાઈ $h = 3$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2}(2+8) \times 3 = 15$.

(D) ઉપવલય $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$ માટે,$a^2 = 9$ અને $b^2 = 5$. ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{5}{9}} = \frac{2}{3}$ છે.
નાભિઓ $(\pm ae, 0) = (\pm 3 \times \frac{2}{3}, 0) = (\pm 2, 0)$ છે. તેથી $f_1 = 2$ અને $f_2 = -2$.
પરવલય $P_1$ નું શિરોબિંદુ $(0,0)$ અને નાભિ $(f_1, 0) = (2, 0)$ છે,તેથી તેનું સમીકરણ $y^2 = 8x$ છે.
પરવલય $P_2$ નું શિરોબિંદુ $(0,0)$ અને નાભિ $(2f_2, 0) = (-4, 0)$ છે,તેથી તેનું સમીકરણ $y^2 = -16x$ છે.
$P_1$ નો સ્પર્શક $T_1$ એ $(-4, 0)$ માંથી પસાર થાય છે. $y^2 = 4ax$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = m_1x + \frac{a}{m_1}$ છે. અહીં $a=2$,તેથી $y = m_1x + \frac{2}{m_1}$.
$(-4, 0)$ મૂકતા: $0 = -4m_1 + \frac{2}{m_1}$ $\Rightarrow m_1^2 = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow \frac{1}{m_1^2} = 2$.
$P_2$ નો સ્પર્શક $T_2$ એ $(2, 0)$ માંથી પસાર થાય છે. $y^2 = -4ax$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = m_2x - \frac{a}{m_2}$ છે. અહીં $a=4$,તેથી $y = m_2x - \frac{4}{m_2}$.
$(2, 0)$ મૂકતા: $0 = 2m_2 - \frac{4}{m_2} \Rightarrow m_2^2 = 2$.
તેથી,$\frac{1}{m_1^2} + m_2^2 = 2 + 2 = 4$.

(C) ઉપવલય $E$ માટે,નાભિઓ $(\pm ae, 0)$ છે,તેથી નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 2\sqrt{3} \Rightarrow ae = \sqrt{3}$ છે.
અતિવલય $H$ માટે,નાભિઓ $(\pm Ae', 0)$ છે,તેથી નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2Ae' = 2\sqrt{3} \Rightarrow Ae' = \sqrt{3}$ છે.
આમ,$ae = Ae' \Rightarrow \frac{e}{e'} = \frac{A}{a}$ થાય.
આપેલ છે કે $\frac{e}{e'} = \frac{1}{3}$,તેથી $\frac{A}{a} = \frac{1}{3} \Rightarrow a = 3A$ મળે.
આપેલ છે કે $a - A = 2$,$a = 3A$ મૂકતા $3A - A = 2$ $\Rightarrow 2A = 2$ $\Rightarrow A = 1$ અને $a = 3$ મળે.
$ae = \sqrt{3}$ હોવાથી,$3e = \sqrt{3} \Rightarrow e = \frac{1}{\sqrt{3}}$ મળે. તેથી $b^2 = a^2(1 - e^2) = 9(1 - \frac{1}{3}) = 9(\frac{2}{3}) = 6$ મળે.
$Ae' = \sqrt{3}$ હોવાથી,$1 \cdot e' = \sqrt{3} \Rightarrow e' = \sqrt{3}$ મળે. તેથી $B^2 = A^2((e')^2 - 1) = 1(3 - 1) = 2$ મળે.
$E$ ના લેટસ રેક્ટમની લંબાઈ $L_E = \frac{2b^2}{a} = \frac{2(6)}{3} = 4$ છે.
$H$ ના લેટસ રેક્ટમની લંબાઈ $L_H = \frac{2B^2}{A} = \frac{2(2)}{1} = 4$ છે.
તેમના લેટસ રેક્ટમની લંબાઈનો સરવાળો $4 + 4 = 8$ થાય.

(C) ધારો કે વર્તુળ $C$ નું કેન્દ્ર $(\alpha, 0)$ છે જ્યાં $\alpha > 0$. વર્તુળ રેખા $x - y + 1 = 0$ ને સ્પર્શતું હોવાથી,ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્રથી રેખાનું લંબ અંતર છે:
$r = \left| \frac{\alpha - 0 + 1}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} \right| = \frac{\alpha + 1}{\sqrt{2}}$
તેથી,$r^2 = \frac{(\alpha + 1)^2}{2} \quad \dots(1)$
વર્તુળ રેખા $3x - 2y + 1 = 0$ પર $L = \frac{4}{\sqrt{13}}$ લંબાઈની જીવા કાપે છે. કેન્દ્ર $(\alpha, 0)$ થી આ રેખાનું લંબ અંતર $d$ છે:
$d = \left| \frac{3\alpha - 2(0) + 1}{\sqrt{3^2 + (-2)^2}} \right| = \frac{3\alpha + 1}{\sqrt{13}}$
સંબંધ $r^2 = d^2 + (L/2)^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$r^2 = \frac{(3\alpha + 1)^2}{13} + \left( \frac{2}{\sqrt{13}} \right)^2 = \frac{(3\alpha + 1)^2 + 4}{13} \quad \dots(2)$
$(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા:
$\frac{(\alpha + 1)^2}{2} = \frac{(3\alpha + 1)^2 + 4}{13}$
$13(\alpha^2 + 2\alpha + 1) = 2(9\alpha^2 + 6\alpha + 1 + 4)$
$13\alpha^2 + 26\alpha + 13 = 18\alpha^2 + 12\alpha + 10$
$5\alpha^2 - 14\alpha - 3 = 0$
$(5\alpha + 1)(\alpha - 3) = 0$
$\alpha > 0$ હોવાથી,$\alpha = 3$. તેથી $r^2 = \frac{(3 + 1)^2}{2} = 8$,એટલે કે $r = 2\sqrt{2}$.
અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે,નાભિ $(\alpha, 0) = (3, 0)$ છે,તેથી $ae = 3$. પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ $2a = 2r = 4\sqrt{2}$ છે,તેથી $a = 2\sqrt{2}$ અને $a^2 = 8$.
$a^2e^2 = 9$ હોવાથી,$8e^2 = 9$,તેથી $e^2 = \frac{9}{8}$.
$b^2 = a^2(e^2 - 1) = 8(\frac{9}{8} - 1) = 8(\frac{1}{8}) = 1$.
આમ,$2a^2 + 3b^2 = 2(8) + 3(1) = 16 + 3 = 19$.

(D) આપેલ છે $x = 3 \tan \left(\theta + \frac{\pi}{3}\right) = 3 \left( \frac{\tan \theta + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3} \tan \theta} \right)$.
ગોઠવતા,$x(1 - \sqrt{3} \tan \theta) = 3 \tan \theta + 3\sqrt{3}$ $\Rightarrow x - 3\sqrt{3} = \tan \theta (3 + \sqrt{3}x)$ $\Rightarrow \tan \theta = \frac{x - 3\sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}x} \dots (1)$.
આપેલ છે $y = 2 \tan \left(\theta + \frac{\pi}{6}\right) = 2 \left( \frac{\tan \theta + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{\tan \theta}{\sqrt{3}}} \right) = 2 \left( \frac{\sqrt{3} \tan \theta + 1}{\sqrt{3} - \tan \theta} \right)$.
ગોઠવતા,$y(\sqrt{3} - \tan \theta) = 2\sqrt{3} \tan \theta + 2 \dots (2)$.
$(1)$ ને $(2)$ માં મૂકતા:
$y \left( \sqrt{3} - \frac{x - 3\sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}x} \right) = 2\sqrt{3} \left( \frac{x - 3\sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}x} \right) + 2$.
$y \left( \frac{3\sqrt{3} + 3x - x + 3\sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}x} \right) = \frac{2\sqrt{3}x - 18 + 6 + 2\sqrt{3}x}{3 + \sqrt{3}x}$.
$y(2x + 6\sqrt{3}) = 4\sqrt{3}x - 12 \Rightarrow 2xy + 6\sqrt{3}y = 4\sqrt{3}x - 12$.
$2$ વડે ભાગતા: $xy - 2\sqrt{3}x + 3\sqrt{3}y + 6 = 0$.
$xy + \alpha x + \beta y + \gamma = 0$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = -2\sqrt{3}$,$\beta = 3\sqrt{3}$,$\gamma = 6$ મળે.
આમ,$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (-2\sqrt{3})^2 + (3\sqrt{3})^2 + (6)^2 = 12 + 27 + 36 = 75$.

(B) ઉપવલય $\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{25} = 1$ માટે,$b < 5$ હોવાથી,મુખ્ય અક્ષ $y$-અક્ષ પર છે. તેથી,$e_1^2 = 1 - \frac{b^2}{25}$.
અતિવલય $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે,$e_2^2 = 1 + \frac{b^2}{16}$.
આપેલ છે કે $e_1 e_2 = 1$,તેથી $e_1^2 e_2^2 = 1$.
$(1 - \frac{b^2}{25})(1 + \frac{b^2}{16}) = 1$.
$1 + \frac{b^2}{16} - \frac{b^2}{25} - \frac{b^4}{400} = 1$.
$\frac{9b^2}{400} = \frac{b^4}{400} \Rightarrow b^2 = 9$.
ઉપવલયની નાભિઓ $(0, \pm ae_1) = (0, \pm \sqrt{25-9}) = (0, \pm 4)$ છે.
અતિવલયની નાભિઓ $(\pm ae_2, 0) = (\pm \sqrt{16+9}, 0) = (\pm 5, 0)$ છે.
$(\pm 5, 0)$ અને $(0, \pm 4)$ માંથી પસાર થતો ઉપવલય $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ છે.
તેની ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$ છે.

(B) આપેલ વક્રો $C_1: x^2-4y^2=2$ અને $C_2: 8x^2+my^2=40$ છે.
$C_1$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2x - 8y \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{x}{4y} = m_1$.
$C_2$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $16x + 2my \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{8x}{my} = m_2$.
વક્રો લંબ હોવાથી,$m_1 \times m_2 = -1$.
$(\frac{x}{4y}) \times (-\frac{8x}{my}) = -1 \implies \frac{8x^2}{4my^2} = 1 \implies 2x^2 = my^2$.
$C_1$ પરથી,$x^2 = 2 + 4y^2$. આ કિંમત શરતમાં મૂકતા: $2(2 + 4y^2) = my^2 \implies 4 + 8y^2 = my^2 \implies (m-8)y^2 = 4$.
વક્રો બિંદુ $(x, y)$ પર છેદે છે,તેથી સમીકરણો ઉકેલતા: $x^2 - 4y^2 = 2$ અને $8x^2 + my^2 = 40$.
પ્રથમ સમીકરણને $8$ વડે ગુણતા: $8x^2 - 32y^2 = 16$.
બીજામાંથી બાદ કરતા: $(m+32)y^2 = 24 \implies y^2 = \frac{24}{m+32}$.
$y^2$ ની કિંમત $x^2 = 2 + 4y^2$ માં મૂકતા: $x^2 = 2 + \frac{96}{m+32} = \frac{2m+160}{m+32}$.
$2x^2 = my^2$ માં મૂકતા: $2(\frac{2m+160}{m+32}) = m(\frac{24}{m+32}) \implies 4m + 320 = 24m \implies 20m = 320 \implies m = 16$.

(D) ધારો કે છેદબિંદુ $(x_1, y_1)$ છે.
વક્ર $y^2 = 6x$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા $2y \frac{dy}{dx} = 6$,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{3}{y_1}$ મળે. ધારો કે $m_1 = \frac{3}{y_1}$.
વક્ર $9x^2 + by^2 = 16$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા $18x + 2by \frac{dy}{dx} = 0$,તેથી $\frac{dy}{dx} = -\frac{9x_1}{by_1}$ મળે. ધારો કે $m_2 = -\frac{9x_1}{by_1}$.
વક્રો કાટખૂણે છેદતા હોવાથી,$m_1 \times m_2 = -1$,જેનો અર્થ છે કે $(\frac{3}{y_1}) \times (-\frac{9x_1}{by_1}) = -1$,તેથી $\frac{27x_1}{by_1^2} = 1$. $y_1^2 = 6x_1$ હોવાથી,$\frac{27x_1}{b(6x_1)} = 1$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{27}{6b} = 1$,તેથી $b = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$ મળે.

(A) આપેલ વક્રો $y^2=6x$ $(i)$ અને $9x^2+by^2=16$ $(ii)$ છે.
$(i)$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $2y \frac{dy}{dx} = 6 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{3}{y}$.
$(ii)$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $18x + 2by \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{9x}{by}$.
વક્રો કાટખૂણે છેદતા હોવાથી,તેમના સ્પર્શકોના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય:
$(\frac{3}{y}) \times (-\frac{9x}{by}) = -1$
$\frac{27x}{by^2} = 1 \Rightarrow by^2 = 27x$.
આ સમીકરણમાં $y^2 = 6x$ મૂકતા:
$b(6x) = 27x \Rightarrow 6b = 27 \Rightarrow b = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$.

(D) આપેલ અતિવલય $\frac{x^{2}}{144}-\frac{y^{2}}{81}=\frac{1}{25}$ છે.
પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં: $\frac{x^{2}}{144/25} - \frac{y^{2}}{81/25} = 1$.
અહીં,$a^{2} = \frac{144}{25}$ અને $b^{2} = \frac{81}{25}$.
અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 + \frac{81}{144}} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$.
અતિવલયના નાભિઓ $(\pm ae, 0) = (\pm 3, 0)$ છે.
ઉપવલય $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ માટે,$a^{2} = 16$. ધારો કે તેની ઉત્કેન્દ્રતા $e'$ છે.
ઉપવલયના નાભિઓ $(\pm 4e', 0)$ છે.
નાભિઓ સમાન હોવાથી,$4e' = 3 \Rightarrow e' = \frac{3}{4}$.
ઉપવલય માટે $e'^{2} = 1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\frac{3}{4})^{2} = 1 - \frac{b^{2}}{16} \Rightarrow \frac{9}{16} = 1 - \frac{b^{2}}{16}$.
$\frac{b^{2}}{16} = \frac{7}{16} \Rightarrow b^{2} = 7$.

(A) ઉપવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ (જ્યાં $a > b$) માટે,ઉત્કેન્દ્રતા $e_{1}$ એ $e_{1}^{2} = 1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}$ દ્વારા મળે છે.
અતિવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ માટે,ઉત્કેન્દ્રતા $e_{2}$ એ $e_{2}^{2} = 1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}$ દ્વારા મળે છે.
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા,$e_{1}^{2} + e_{2}^{2} = (1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}) + (1 + \frac{b^{2}}{a^{2}})$.
તેથી,$e_{1}^{2} + e_{2}^{2} = 1 + 1 = 2$.

(A) આપેલ પરવલય $y^{2}=8x$ છે,તેથી $4a=8 \Rightarrow a=2$.
પરવલયનો કોઈપણ સ્પર્શક $y=mx+\frac{a}{m}$ સ્વરૂપમાં હોય છે,જે $y=mx+\frac{2}{m}$ અથવા $mx-y+\frac{2}{m}=0$ છે.
આ રેખા વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=2$ (કેન્દ્ર $(0,0)$ અને ત્રિજ્યા $r=\sqrt{2}$) નો સ્પર્શક હોય,તો કેન્દ્રથી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા જેટલું હોવું જોઈએ.
$\frac{|m(0)-(0)+\frac{2}{m}|}{\sqrt{m^{2}+(-1)^{2}}}=\sqrt{2}$
$\frac{2}{|m|\sqrt{m^{2}+1}}=\sqrt{2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{4}{m^{2}(m^{2}+1)}=2 \Rightarrow m^{2}(m^{2}+1)=2$
$m^{4}+m^{2}-2=0$
$(m^{2}+2)(m^{2}-1)=0$
$m$ વાસ્તવિક હોવાથી,$m^{2}=1 \Rightarrow m=\pm 1$.
$m=1$ માટે,સ્પર્શક $y=x+2$ છે.
$m=-1$ માટે,સ્પર્શક $y=-x-2$ છે.

(A) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$ છે.
અહીં,$a^{2}=4$ અને $b^{2}=3$.
ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e_{1}=\sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{1-\frac{3}{4}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$ છે.
આપેલ અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{3}=1$ છે.
અહીં,$a^{2}=4$ અને $b^{2}=3$.
અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e_{2}=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{1+\frac{3}{4}}=\sqrt{\frac{7}{4}}=\frac{\sqrt{7}}{2}$ છે.
ઉત્કેન્દ્રતાઓના વર્ગોનો સરવાળો $e_{1}^{2}+e_{2}^{2} = (\frac{1}{2})^{2} + (\frac{\sqrt{7}}{2})^{2} = \frac{1}{4} + \frac{7}{4} = \frac{8}{4} = 2$ થાય.

(A) ઉપવલય $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1$ માટે,$a^2=16$ અને $b^2=4$ છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e_1$ માટે $b^2 = a^2(1-e_1^2)$,તેથી $4 = 16(1-e_1^2)$,જે $1-e_1^2 = \frac{1}{4}$ આપે છે,તેથી $e_1^2 = \frac{3}{4}$,$e_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
નાભિઓ $(\pm a_1 e_1, 0) = (\pm 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}, 0) = (\pm 2\sqrt{3}, 0)$ છે.
અતિવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{9}=1$ માટે,$A^2=a^2$ અને $B^2=9$ છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e_2$ માટે $B^2 = A^2(e_2^2-1)$,તેથી $9 = a^2(e_2^2-1) = a^2 e_2^2 - a^2$.
નાભિઓ $(\pm A e_2, 0) = (\pm a e_2, 0)$ છે.
નાભિઓ સમાન હોવાથી,$a e_2 = 2\sqrt{3}$,તેથી $a^2 e_2^2 = 12$.
અતિવલયના સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $9 = 12 - a^2$.
આમ,$a^2 = 3$,જેનો અર્થ છે કે $a = \sqrt{3}$.

(C) આપેલ વક્રોના સમીકરણો:
$y^{2}=4x$ $(i)$
$x^{2}+y^{2}=12$ (ii)
પ્રથમ,$(i)$ ને (ii) માં મૂકીને છેદબિંદુઓ શોધો:
$x^{2}+4x=12 \Rightarrow x^{2}+4x-12=0$
$(x+6)(x-2)=0$
$y^{2}=4x$ હોવાથી,$x \ge 0$ હોવું જોઈએ,તેથી $x=2$.
$x=2$ માટે,$y^{2}=8 \Rightarrow y=\pm 2\sqrt{2}$.
છેદબિંદુઓ $(2, 2\sqrt{2})$ અને $(2, -2\sqrt{2})$ છે.
હવે,વિકલન કરીને ઢાળ $m_{1}$ અને $m_{2}$ શોધો:
$(i)$ માટે: $2y \frac{dy}{dx} = 4 \Rightarrow m_{1} = \frac{2}{y}$.
(ii) માટે: $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow m_{2} = -\frac{x}{y}$.
બિંદુ $(2, 2\sqrt{2})$ આગળ:
$m_{1} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $m_{2} = -\frac{2}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \theta = \left| \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}} \right|$.
$\tan \theta = \left| \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} - (-\frac{1}{\sqrt{2}})}{1 + (\frac{1}{\sqrt{2}})(-\frac{1}{\sqrt{2}})} \right| = \left| \frac{\frac{2}{\sqrt{2}}}{1 - \frac{1}{2}} \right| = \left| \frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} \right| = 2\sqrt{2}$.
આમ,$\theta = \tan^{-1}(2\sqrt{2})$.

(A) પરવલય $y^2=4x$ માટે $(t^2, 2t)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $yt = x + t^2$ છે,જે $y = \frac{1}{t}x + t$ તરીકે લખી શકાય ... $(i)$.
ઉપવલયનું સમીકરણ $4x^2+5y^2=20$ છે,અથવા $\frac{x^2}{5} + \frac{y^2}{4} = 1$.
ઉપવલય પર બિંદુ $(x_1, y_1) = (\sqrt{5} \cos \theta, 2 \sin \theta)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{a^2x}{x_1} - \frac{b^2y}{y_1} = a^2 - b^2$ છે.
અહીં $a^2=5$ અને $b^2=4$ છે,તેથી $\frac{5x}{\sqrt{5} \cos \theta} - \frac{4y}{2 \sin \theta} = 5 - 4 = 1$.
$\sqrt{5} \sec \theta \cdot x - 2 \csc \theta \cdot y = 1$.
$y$ માટે ગોઠવતા: $2 \csc \theta \cdot y = \sqrt{5} \sec \theta \cdot x - 1$ $\Rightarrow y = \frac{\sqrt{5}}{2} \tan \theta \cdot x - \frac{1}{2} \sin \theta$ ... $(ii)$.
$(i)$ અને $(ii)$ ની સરખામણી કરતા:
$\frac{1}{t} = \frac{\sqrt{5}}{2} \tan \theta$ ... $(iii)$
$t = -\frac{1}{2} \sin \theta \Rightarrow \sin \theta = -2t$ ... $(iv)$
$(iv)$ પરથી,$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - 4t^2$,તેથી $\tan^2 \theta = \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{4t^2}{1-4t^2}$.
$(iii)$ માં મૂકતા: $\frac{1}{t^2} = \frac{5}{4} \tan^2 \theta = \frac{5}{4} \cdot \frac{4t^2}{1-4t^2} = \frac{5t^2}{1-4t^2}$.
$1 - 4t^2 = 5t^4 \Rightarrow 5t^4 + 4t^2 = 1$.

(A) ધારો કે છેદબિંદુ $(x_0, y_0)$ છે. પરવલય $y^2=4ax$ માટે,સ્પર્શકનો ઢાળ $m_1 = \frac{2a}{y_0}$ છે.
ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ માટે,સ્પર્શકનો ઢાળ $m_2 = -\frac{b^2 x_0}{a^2 y_0}$ છે.
તેઓ કાટખૂણે છેદે છે,તેથી $m_1 m_2 = -1$,એટલે કે $\left(\frac{2a}{y_0}\right) \left(-\frac{b^2 x_0}{a^2 y_0}\right) = -1 \Rightarrow \frac{2b^2 x_0}{a y_0^2} = 1$.
$y_0^2 = 4ax_0$ મૂકતા,$\frac{2b^2 x_0}{a(4ax_0)} = 1$ $\Rightarrow \frac{b^2}{2a^2} = 1$ $\Rightarrow b^2 = 2a^2$.
ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e$ માટે $a^2 = b^2(1-e^2)$ $\Rightarrow a^2 = 2a^2(1-e^2)$ $\Rightarrow 1 = 2(1-e^2)$ $\Rightarrow 2e^2 = 1$.

(A) બિંદુ $(\lambda, \lambda-2)$ એ ઉપવલય $4x^2+9y^2=36$ ની અંદર આવેલું છે.
ઉપવલયના સમીકરણમાં બિંદુ મૂકતા:
$4\lambda^2 + 9(\lambda-2)^2 < 36$
$4\lambda^2 + 9(\lambda^2 - 4\lambda + 4) < 36$
$13\lambda^2 - 36\lambda < 0$
$\lambda(13\lambda - 36) < 0$
તેથી,$0 < \lambda < \frac{36}{13}$ $(i)$.
બિંદુ $(\lambda, \lambda-2)$ એ પરવલય $y^2=x$ ની બહાર આવેલું છે.
પરવલયની શરત $y^2 - x > 0$ માં બિંદુ મૂકતા:
$(\lambda-2)^2 - \lambda > 0$
$\lambda^2 - 5\lambda + 4 > 0$
$(\lambda-4)(\lambda-1) > 0$
તેથી,$\lambda \in (-\infty, 1) \cup (4, \infty)$ (ii).
$(i)$ અને (ii) નો છેદગણ લેતા:
$0 < \lambda < 1$ મળે છે.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = \frac{25}{4}$ છે,તેથી $r^2 = \frac{25}{4}$.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ છે,તેથી $a^2 = 9$ અને $b^2 = 4$.
રેખા $y = mx + c$ વર્તુળનો સ્પર્શક હોય તેની શરત $c^2 = r^2(1 + m^2) = \frac{25}{4}(1 + m^2)$ છે.
તે જ રેખા ઉપવલયનો સ્પર્શક હોય તેની શરત $c^2 = a^2m^2 + b^2 = 9m^2 + 4$ છે.
$c^2$ માટે બંને પદોને સરખાવતા:
$\frac{25}{4}(1 + m^2) = 9m^2 + 4$
$25 + 25m^2 = 36m^2 + 16$
$11m^2 = 9$
$m^2 = \frac{9}{11}$.

(D) ઉપવલય $3x^2+4y^2=19$ પરના બિંદુ $(1,2)$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $3x(1) + 4y(2) = 19$ છે,જે $3x + 8y = 19$ થાય છે.
આને $x = \frac{19-8y}{3}$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખા પરવલય $y^2 = kx$ નો પણ સ્પર્શક હોવાથી,આપણે $x$ ની કિંમત પરવલયના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$y^2 = k \left( \frac{19-8y}{3} \right)$
$3y^2 = 19k - 8ky$
$3y^2 + 8ky - 19k = 0$.
રેખા સ્પર્શક હોવાથી,$y$ માંના દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ સમાન હોવા જોઈએ,એટલે કે તેનો વિવેચક $D = 0$ થાય.
$D = (8k)^2 - 4(3)(-19k) = 0$
$64k^2 + 228k = 0$
$4k(16k + 57) = 0$.
અહીં $k \neq 0$ હોવાથી,$16k + 57 = 0$,તેથી $k = \frac{-57}{16}$.

(A) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{a^2 x}{x_1} - \frac{b^2 y}{y_1} = a^2 - b^2$ છે.
અહીં $a^2 = 4$ અને $b^2 = 3$ છે,તેથી અભિલંબ $\frac{4x}{x_1} - \frac{3y}{y_1} = 1$ થાય.
આ અભિલંબનો ઢાળ $m = \frac{4y_1}{3x_1}$ છે.
આ રેખા અતિવલય $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{3} = 1$ નો સ્પર્શક છે.
રેખા $y = mx + c$ એ $\frac{x^2}{A^2} - \frac{y^2}{B^2} = 1$ નો સ્પર્શક હોય તેની શરત $c^2 = A^2 m^2 - B^2$ છે.
અભિલંબને $y = \frac{4y_1}{3x_1} x - \frac{y_1}{3}$ તરીકે લખતા,$m = \frac{4y_1}{3x_1}$ અને $c = -\frac{y_1}{3}$ મળે.
શરતમાં કિંમત મૂકતા: $(-\frac{y_1}{3})^2 = 4(\frac{4y_1}{3x_1})^2 - 3$.
$(x_1, y_1)$ ઉપવલય પર હોવાથી,$\frac{x_1^2}{4} + \frac{y_1^2}{3} = 1$,તેથી $x_1^2 = \frac{4(3 - y_1^2)}{3}$.
આ કિંમત મૂકતા $m^2 = 3$ મળે છે.

(D) આપેલ ઉપવલય: $4x^2 + 9y^2 = 36$,જેને $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^2 = 9$ અને $b^2 = 4$.
ઉપવલય માટે,$e^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$.
નાભિઓ $(\pm \sqrt{5}, 0)$ છે.
અતિવલય માટે,પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ $2$ છે,તેથી $a_h = 1$.
અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{1} - \frac{y^2}{b_h^2} = 1$ છે.
સમનાભિ હોવાથી,$a_h^2 + b_h^2 = 5 \implies 1 + b_h^2 = 5 \implies b_h^2 = 4$.
અતિવલયનું સમીકરણ $4x^2 - y^2 = 4$ છે.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $8x^2 + 8y^2 = 40 \implies x^2 + y^2 = 5$.

(D) ઉપવલય $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{b^2}=1$ માટે,ઉત્કેન્દ્રતા $e_1 = \sqrt{1 - \frac{b^2}{16}}$.
અતિવલય $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=-1$ ને $\frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{9}=1$ તરીકે લખી શકાય,જ્યાં $e_2 = \sqrt{1 + \frac{9}{16}} = \frac{5}{4}$.
આપેલ છે કે $e_1 \cdot e_2 = 1$,તેથી $\sqrt{1 - \frac{b^2}{16}} \cdot \frac{5}{4} = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(1 - \frac{b^2}{16}) \cdot \frac{25}{16} = 1$.
$1 - \frac{b^2}{16} = \frac{16}{25}$.
$\frac{b^2}{16} = \frac{9}{25}$.
$b^2 = \frac{144}{25}$.