Multinomial theorem, Number of divisors Questions in Gujarati

(C) $9600$ ના ભાજકોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે પહેલા તેનું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ કરીએ.
$9600 = 96 \times 100 = (32 \times 3) \times (4 \times 25) = (2^5 \times 3) \times (2^2 \times 5^2) = 2^7 \times 3^1 \times 5^2$.
જો કોઈ સંખ્યા $N$ ને $N = p_1^{a} \times p_2^{b} \times p_3^{c}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે,તો ભાજકોની કુલ સંખ્યા $(a + 1)(b + 1)(c + 1)$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a = 7$,$b = 1$,અને $c = 2$ છે.
તેથી,ભાજકોની સંખ્યા $= (7 + 1)(1 + 1)(2 + 1) = 8 \times 2 \times 3 = 48$.

(D) આપેલ સંખ્યા $N = a^1 b^2 c^2 d^1 e^1$ છે.
અહીં $a, b, c, d, e$ અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો હોવાથી,$N$ ના કુલ ભાજકોની સંખ્યા દરેક અવિભાજ્ય અવયવના (ઘાત + $1$) નો ગુણાકાર કરીને મળે છે.
કુલ ભાજકોની સંખ્યા $= (1 + 1)(2 + 1)(2 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 2 \times 3 \times 3 \times 2 \times 2 = 72$.
આપણે $1$ ને અવયવ તરીકે બાકાત રાખીને ભાજકોની સંખ્યા શોધવાની છે.
$1$ ને બાકાત રાખતા ભાજકોની સંખ્યા $= 72 - 1 = 71$.

(A) $960$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ $960 = 2^6 \times 3^1 \times 5^1$ છે.
કોઈ સંખ્યા $N = p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times p_3^{a_3}$ ના તમામ ધન ભાજકોનો સરવાળો શોધવાનું સૂત્ર $\left( \frac{p_1^{a_1+1}-1}{p_1-1} \right) \left( \frac{p_2^{a_2+1}-1}{p_2-1} \right) \left( \frac{p_3^{a_3+1}-1}{p_3-1} \right)$ છે.
કિંમતો $p_1=2, a_1=6, p_2=3, a_2=1, p_3=5, a_3=1$ મૂકતા:
સરવાળો $= \left( \frac{2^{6+1}-1}{2-1} \right) \times \left( \frac{3^{1+1}-1}{3-1} \right) \times \left( \frac{5^{1+1}-1}{5-1} \right)$
સરવાળો $= 127 \times 4 \times 6 = 3048$.

(C) $n!$ માં અવિભાજ્ય સંખ્યા $p$ નો ઘાતાંક શોધવા માટે,આપણે લેજેન્ડ્રના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $E_p(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{p^k} \rfloor$।
અહીં,$n = 100$ અને $p = 3$ છે.
$E_3(100!) = \lfloor \frac{100}{3} \rfloor + \lfloor \frac{100}{3^2} \rfloor + \lfloor \frac{100}{3^3} \rfloor + \lfloor \frac{100}{3^4} \rfloor$
$E_3(100!) = \lfloor \frac{100}{3} \rfloor + \lfloor \frac{100}{9} \rfloor + \lfloor \frac{100}{27} \rfloor + \lfloor \frac{100}{81} \rfloor$
$E_3(100!) = 33 + 11 + 3 + 1 = 48$।
આમ,$100!$ માં $3$ નો ઘાતાંક $48$ છે.

(A) ધારો કે $N = 111...1$ ($91$ વખત).
$N = \sum_{k=0}^{90} 10^k = \frac{10^{91}-1}{10-1} = \frac{10^{91}-1}{9}$.
$91 = 7 \times 13$ હોવાથી,આપણે $10^{91}-1 = (10^7)^{13}-1$ લખી શકીએ.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $x^n-1 = (x-1)(x^{n-1} + x^{n-2} + ... + 1)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$10^{91}-1 = (10^7-1)((10^7)^{12} + (10^7)^{11} + ... + 1)$.
આમ,$N = \frac{10^7-1}{9} \times ((10^7)^{12} + (10^7)^{11} + ... + 1)$.
અહીં $\frac{10^7-1}{9} = 1111111$ અને બીજો અવયવ $1$ કરતા મોટો છે,તેથી $N$ એ $1$ કરતા મોટી બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર છે.
તેથી,$N$ એ વિભાજ્ય સંખ્યા છે,જેનો અર્થ છે કે તે અવિભાજ્ય સંખ્યા નથી.

(A) ફર્માના લિટલ પ્રમેય મુજબ,જો $p$ એક અવિભાજ્ય સંખ્યા હોય,તો કોઈપણ પૂર્ણાંક $n$ માટે,$n^p \equiv n \pmod{p}$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $n^p - n$ એ કોઈપણ પૂર્ણાંક $n$ માટે $p$ વડે વિભાજ્ય છે.
આપેલા વિકલ્પો પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સમૂહ પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરે છે,તેથી આ વિધાન કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n \geq 1$ માટે સાચું છે.
ઉદાહરણ તરીકે,ધારો કે $n = 2$ અને $p = 3$:
$2^3 - 2 = 8 - 2 = 6$,જે $3$ વડે વિભાજ્ય છે.

(A) સૌ પ્રથમ,$n = 38808$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ શોધો:
$38808 = 8 \times 4851 = 2^3 \times 3^2 \times 7^2 \times 11^1$.
ભાજકોની કુલ સંખ્યા $(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે,જ્યાં $a, b, c, d$ એ અવિભાજ્ય અવયવોના ઘાતાંક છે:
કુલ ભાજકો $= (3+1)(2+1)(2+1)(1+1) = 4 \times 3 \times 3 \times 2 = 72$.
પ્રશ્નમાં $1$ અને $n$ સિવાયના ભાજકોની સંખ્યા પૂછવામાં આવી હોવાથી,આપણે કુલ સંખ્યામાંથી $2$ બાદ કરીશું:
જરૂરી ભાજકોની સંખ્યા $= 72 - 2 = 70$.

(A) $n!$ માં અવિભાજ્ય સંખ્યા $p$ નો મહતમ ઘાતાંક શોધવા માટે લેજેન્ડ્રના સૂત્રનો ઉપયોગ થાય છે: $E_p(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{p^k} \rfloor$.
અહીં,$n = 100$ અને $p = 3$ છે.
$E_3(100!) = \lfloor \frac{100}{3} \rfloor + \lfloor \frac{100}{9} \rfloor + \lfloor \frac{100}{27} \rfloor + \lfloor \frac{100}{81} \rfloor$.
$E_3(100!) = 33 + 11 + 3 + 1 = 48$.

(A) $9000$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ:
$9000 = 2^3 \times 3^2 \times 5^3$.
ભાજકોનો સરવાળો શોધવાનું સૂત્ર:
$S = (2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3) \times (3^0 + 3^1 + 3^2) \times (5^0 + 5^1 + 5^2 + 5^3)$.
$S = (1 + 2 + 4 + 8) \times (1 + 3 + 9) \times (1 + 5 + 25 + 125)$.
$S = (15) \times (13) \times (156) = 30420$.

(C) $9600$ ના ભાજકોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે પહેલા તેનું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ કરીએ.
$9600 = 96 \times 100 = (32 \times 3) \times (10^2) = (2^5 \times 3^1) \times (2^2 \times 5^2) = 2^7 \times 3^1 \times 5^2$.
જો કોઈ સંખ્યા $N$ ને $p_1^{a} \times p_2^{b} \times p_3^{c}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે,તો ભાજકોની કુલ સંખ્યા $(a+1)(b+1)(c+1)$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a=7$,$b=1$,અને $c=2$.
ભાજકોની કુલ સંખ્યા = $(7+1)(1+1)(2+1) = 8 \times 2 \times 3 = 48$.

(A) પ્રથમ,$38808$ ના અવિભાજ્ય અવયવો શોધો:
$38808 = 8 \times 4851 = 8 \times 9 \times 539 = 8 \times 9 \times 7 \times 77 = 8 \times 9 \times 7 \times 7 \times 11 = 2^3 \times 3^2 \times 7^2 \times 11^1$.
ભાજકોની કુલ સંખ્યા દરેક અવિભાજ્ય અવયવના ઘાતાંકમાં $1$ ઉમેરીને તેમનો ગુણાકાર કરવાથી મળે છે:
કુલ ભાજકો = $(3+1)(2+1)(2+1)(1+1) = 4 \times 3 \times 3 \times 2 = 72$.
આપણે $1$ અને $n$ (સંખ્યા પોતે) ને બાદ કરવાના હોવાથી,કુલ સંખ્યામાંથી $2$ બાદ કરીશું:
$1$ અને $n$ સિવાયના ભાજકોની સંખ્યા = $72 - 2 = 70$.

(B) બહુપદી $(a_1 + a_2 + \dots + a_k)^n$ ના વિસ્તરણમાં પદોની સંખ્યા $\binom{n+k-1}{k-1}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં $(1 - \frac{2}{x} + \frac{4}{x^2})^n$ માટે,$k=3$ પદો છે.
તેથી,પદોની સંખ્યા $\binom{n+3-1}{3-1} = \binom{n+2}{2} = \frac{(n+2)(n+1)}{2}$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{(n+2)(n+1)}{2} = 28$,તેથી $(n+2)(n+1) = 56$.
$8 \times 7 = 56$ હોવાથી,$n+2 = 8$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $n = 6$.
વિસ્તરણમાં સહગુણકોનો સરવાળો મેળવવા માટે ચલની જગ્યાએ $1$ મૂકવામાં આવે છે.
સહગુણકોનો સરવાળો $= (1 - 2 + 4)^n = (3)^n$.
$n = 6$ માટે,સરવાળો $3^6 = 729$ થાય.

(D) $843^{843}$ નો એકમનો અંક શોધવા માટે,આપણે $3^{843}$ નો એકમનો અંક જોઈએ છીએ. $3$ ની ઘાત $4$ ના ચક્રમાં પુનરાવર્તિત થાય છે: $3^1=3, 3^2=9, 3^3=27, 3^4=81$.
$843 \div 4$ કરતા શેષ $3$ વધે છે,તેથી $3^{843}$ નો એકમનો અંક $3^3$ એટલે કે $7$ છે.
$492^{295}$ નો એકમનો અંક શોધવા માટે,આપણે $2^{295}$ નો એકમનો અંક જોઈએ છીએ. $2$ ની ઘાત $4$ ના ચક્રમાં પુનરાવર્તિત થાય છે: $2^1=2, 2^2=4, 2^3=8, 2^4=16$.
$295 \div 4$ કરતા શેષ $3$ વધે છે,તેથી $2^{295}$ નો એકમનો અંક $2^3$ એટલે કે $8$ છે.
સરવાળાનો એકમનો અંક $(7 + 8) = 15$ નો એકમનો અંક એટલે કે $5$ છે.

(C) $n!$ ને ભાગતા અવિભાજ્ય $p$ ની મહત્તમ ઘાત શોધવા માટે લેજેન્ડ્રેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ: $E_p(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{p^k} \rfloor$.
$n=33$ અને $p=2$ માટે,$33!$ માં $2$ નો ઘાતાંક:
$E_2(33!) = \lfloor \frac{33}{2} \rfloor + \lfloor \frac{33}{4} \rfloor + \lfloor \frac{33}{8} \rfloor + \lfloor \frac{33}{16} \rfloor + \lfloor \frac{33}{32} \rfloor$
$E_2(33!) = 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31$.
આમ,$33!$ એ $n \in \{1, 2, 3, \ldots, 31\}$ માટે $2^n$ વડે વિભાજ્ય છે.
$n$ ના તમામ શક્ય મૂલ્યોનો સરવાળો પ્રથમ $31$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો છે:
$S = \frac{31(31+1)}{2} = \frac{31 \times 32}{2} = 31 \times 16 = 496$.

(C) ક્રમિત જોડી $(x, y)$ ની સંખ્યા શોધવા માટે જ્યાં $xy = n$ અને $n$ એ $72$ નો અવયવ છે,આપણે $xy$ એ $72$ ને ભાગે તેવી જોડીઓ શોધવી પડે.
$72 = 2^3 \times 3^2$.
આપણે $(x, y)$ ની એવી જોડીઓ શોધવી છે કે જેથી $xy = 2^a 3^b$ થાય,જ્યાં $0 \le a \le 3$ અને $0 \le b \le 2$.
ધારો કે $x = 2^{a_1} 3^{b_1}$ અને $y = 2^{a_2} 3^{b_2}$.
તેથી $xy = 2^{a_1+a_2} 3^{b_1+b_2} = 2^a 3^b$.
ચોક્કસ $n = 2^a 3^b$ માટે,$a_1 + a_2 = a$ ના ઉકેલોની સંખ્યા $(a+1)$ છે અને $b_1 + b_2 = b$ ના ઉકેલોની સંખ્યા $(b+1)$ છે.
કુલ જોડીઓ = $\sum_{a=0}^{3} \sum_{b=0}^{2} (a+1)(b+1) = (1+2+3+4)(1+2+3) = 10 \times 6 = 60$.

(D) પદાવલિ $N = n(n+1)(n+2)(n+3)$ એ ચાર ક્રમિક પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર છે.
કોઈપણ ચાર ક્રમિક પૂર્ણાંકોમાં,એક $4$ વડે વિભાજ્ય છે,બીજો $2$ વડે વિભાજ્ય છે,અને ઓછામાં ઓછો એક $3$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,$N$ હંમેશા $4 \times 2 \times 3 = 24$ વડે વિભાજ્ય છે.
આપણે $N$ ને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$N = [n(n+3)] \times [(n+1)(n+2)]$
$N = (n^2 + 3n)(n^2 + 3n + 2)$
ધારો કે $x = n^2 + 3n$. તો $N = x(x+2) = x^2 + 2x = (x+1)^2 - 1$.
કારણ કે $N = (n^2 + 3n + 1)^2 - 1$,$N$ એ પૂર્ણ વર્ગ કરતાં એક ઓછી સંખ્યા છે.
કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n \ge 1$ માટે,$N > 0$. કારણ કે $N$ પૂર્ણ વર્ગ નથી,$N$ ના ભાજકોની સંખ્યા $d$ હંમેશા બેકી હશે (કારણ કે પૂર્ણ વર્ગ ન હોય તેવી સંખ્યાના ભાજકો હંમેશા જોડીમાં $(a, b)$ આવે છે જેથી $ab = N$ અને $a \neq b$).

(A) આપેલ સમીકરણ $xyz = 2^5 \times 3^2 \times 5^2$ છે.
ધારો કે $x = 2^{a_1} 3^{b_1} 5^{c_1}$,$y = 2^{a_2} 3^{b_2} 5^{c_2}$,અને $z = 2^{a_3} 3^{b_3} 5^{c_3}$,જ્યાં $a_i, b_i, c_i \ge 0$.
ઘાતાંકો માટે:
$a_1 + a_2 + a_3 = 5$
$b_1 + b_2 + b_3 = 2$
$c_1 + c_2 + c_3 = 2$
સ્ટાર્સ અને બાર્સના સૂત્ર મુજબ,ઉકેલોની સંખ્યા $\binom{n+k-1}{k-1}$ છે.
$a_1 + a_2 + a_3 = 5$ માટે: $\binom{7}{2} = 21$.
$b_1 + b_2 + b_3 = 2$ માટે: $\binom{4}{2} = 6$.
$c_1 + c_2 + c_3 = 2$ માટે: $\binom{4}{2} = 6$.
કુલ ઉકેલોની સંખ્યા $21 \times 6 \times 6 = 756$ છે.

(B) $2^5 \times 3^4 \times 5^2$ નો કોઈપણ ભાજક $2^a \times 3^b \times 5^c$ સ્વરૂપમાં હોય છે,જ્યાં $0 \le a \le 5$,$0 \le b \le 4$,અને $0 \le c \le 2$ છે.
ભાજકોનો સરવાળો દરેક અવિભાજ્ય અવયવ માટે ભૌમિતિક શ્રેણીના ગુણાકાર દ્વારા મળે છે:
સરવાળો $= (1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5) \times (1 + 3 + 3^2 + 3^3 + 3^4) \times (1 + 5 + 5^2)$
ભૌમિતિક શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર $\frac{r^n - 1}{r - 1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
સરવાળો $= \left( \frac{2^6 - 1}{2 - 1} \right) \times \left( \frac{3^5 - 1}{3 - 1} \right) \times \left( \frac{5^3 - 1}{5 - 1} \right)$
સરવાળો $= 63 \times 121 \times 31 = 3^2 \times 7^1 \times 11^2 \times 31$.

(A) પ્રથમ,$480$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ શોધો:
$480 = 2^5 \times 3^1 \times 5^1$.
કોઈપણ ભાજક $d = 2^a \times 3^b \times 5^c$ સ્વરૂપમાં હોય,જ્યાં $0 \leq a \leq 5$,$0 \leq b \leq 1$,અને $0 \leq c \leq 1$.
આપણે ભાજક $4n + 2$ સ્વરૂપમાં જોઈએ છે,જેનો અર્થ છે કે $d$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય હોવો જોઈએ પણ $4$ વડે નહીં.
આનો અર્થ એ છે કે $a$ ની કિંમત $1$ હોવી જોઈએ.
$b$ માટે,આપણી પાસે $2$ વિકલ્પો છે ($0$ અથવા $1$).
$c$ માટે,આપણી પાસે $2$ વિકલ્પો છે ($0$ અથવા $1$).
આવા કુલ ભાજકોની સંખ્યા = $1 \times 2 \times 2 = 4$.

(B) આપેલ પદાવલિ $(1 + x^n + x^{253})^{10}$ છે.
મલ્ટિનોમિયલ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,સામાન્ય પદ $\frac{10!}{a!b!c!} (1)^a (x^n)^b (x^{253})^c$ છે,જ્યાં $a + b + c = 10$.
આપણે $x^{1012}$ નો સહગુણક જોઈએ છે,તેથી $x$ નો ઘાતાંક $1012$ લઈએ:
$nb + 253c = 1012$.
$c \leq 10$ અને $253 \times 4 = 1012$ હોવાથી,$c$ માટે કિંમતો ચકાસીએ:
જો $c = 4$ હોય,તો $nb = 1012 - 253(4) = 0$. $n$ ધન પૂર્ણાંક હોવાથી,$b = 0$ મળે.
તેથી $a = 10 - b - c = 10 - 0 - 4 = 6$.
સહગુણક $\frac{10!}{6!0!4!} = ^{10}C_4$ થાય.
જો $c < 4$ હોય,તો $nb = 253(4-c)$. $c=3$ માટે,$nb = 253$,જે $n \leq 22$ અને $b \leq 10$ માટે શક્ય નથી.
આમ,એકમાત્ર ઉકેલ $a=6, b=0, c=4$ છે.
સહગુણક $^{10}C_4$ છે.

(D) આપેલ છે કે $y+z=5$ અને $\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{5}{6}$.
બીજા સમીકરણ પરથી,$\frac{y+z}{yz} = \frac{5}{6}$.
$y+z=5$ મૂકતા,આપણને $\frac{5}{yz} = \frac{5}{6}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $yz = 6$.
આપણી પાસે $y+z=5$ અને $yz=6$ છે. દ્વિઘાત સમીકરણ $t^2 - 5t + 6 = 0$ ના બીજ $t=2$ અને $t=3$ છે.
$y > z$ હોવાથી,$y=3$ અને $z=2$ મળે.
સંખ્યા $n = 2^{x} \cdot 3^{3} \cdot 5^{2}$ છે.
$n$ નો એકી ભાજક $3^{a} \cdot 5^{b}$ સ્વરૂપમાં હોવો જોઈએ,જ્યાં $0 \le a \le 3$ અને $0 \le b \le 2$.
$a$ માટેની પસંદગીની સંખ્યા $(3+1) = 4$ છે.
$b$ માટેની પસંદગીની સંખ્યા $(2+1) = 3$ છે.
એકી ભાજકોની કુલ સંખ્યા $= 4 \times 3 = 12$.

(A) ધારો કે $N$ એ $4$-અંકની સંખ્યા છે જેથી $\gcd(N, 18) = 3$ થાય.
$\gcd(N, 18) = 3$ હોવાથી,$N$ એ $3$ નો ગુણક હોવો જોઈએ પરંતુ $2$ નો ગુણક ન હોવો જોઈએ (કારણ કે $18 = 2 \times 3^2$) અને $9$ નો ગુણક પણ ન હોવો જોઈએ.
આમ,$N$ એ $3$ નો એકી ગુણક હોવો જોઈએ જે $9$ વડે વિભાજ્ય ન હોય.
પ્રથમ,$4$-અંકના $3$ ના એકી ગુણકોની સંખ્યા શોધો:
સૌથી નાની સંખ્યા $1005$ અને સૌથી મોટી $9999$ છે.
આ સમાંતર શ્રેણી છે: $1005, 1011, \dots, 9999$.
પદોની સંખ્યા $\frac{9999 - 1005}{6} + 1 = 1500$ છે.
હવે,$4$-અંકના $9$ ના એકી ગુણકોની સંખ્યા શોધો:
સૌથી નાની સંખ્યા $1017$ અને સૌથી મોટી $9999$ છે.
પદોની સંખ્યા $\frac{9999 - 1017}{18} + 1 = 500$ છે.
આથી,આવી સંખ્યાઓ $N = 1500 - 500 = 1000$ થાય.

(A) આપેલ સંખ્યા $N = 2^{10} \cdot 5^{10} \cdot 11^{11} \cdot 13^{13}$ છે.
ભાજક $d = 2^a \cdot 5^b \cdot 11^c \cdot 13^d$ સ્વરૂપમાં હોય,જ્યાં $0 \le a \le 10, 0 \le b \le 10, 0 \le c \le 11, 0 \le d \le 13$.
$4n+1$ સ્વરૂપ માટે $d$ એકી હોવો જોઈએ,તેથી $a=0$.
$d = 5^b \cdot 11^c \cdot 13^d \equiv (-1)^c \pmod{4}$.
$d \equiv 1 \pmod{4}$ માટે $c$ બેકી હોવો જોઈએ.
$c$ માટે $6$ વિકલ્પો,$b$ માટે $11$ વિકલ્પો અને $d$ માટે $14$ વિકલ્પો છે.
કુલ ભાજકોની સંખ્યા $11 \times 6 \times 14 = 924$ છે.

(D) મલ્ટિનોમિયલ વિસ્તરણનું સામાન્ય પદ:
$T_{r_1, r_2, r_3} = \frac{10!}{r_1! r_2! r_3!} (3)^{r_1} (-2)^{r_2} (5)^{r_3} x^{3r_1 + 2r_2 - 5r_3}$
અચળ પદ માટે $x$ નો ઘાતાંક $0$ હોવો જોઈએ:
$3r_1 + 2r_2 - 5r_3 = 0$ અને $r_1 + r_2 + r_3 = 10$
સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $(r_1, r_2, r_3) = (1, 6, 3)$ મળે છે.
અચળ પદ $= \frac{10!}{1! 6! 3!} (3)^1 (-2)^6 (5)^3$
$= 840 \times 3 \times 64 \times 125 = 2^9 \times (3^2 \times 5^4 \times 7^1)$
અહીં $l = 3^2 \times 5^4 \times 7^1$ એ એકી પૂર્ણાંક છે.
તેથી,$k = 9$.

(B) ધારો કે ત્રણ ખેલાડીઓ દ્વારા જીતવામાં આવેલી રમતોની સંખ્યા અનુક્રમે $x, y,$ અને $z$ છે.
આપણને આપેલ છે કે રમતોની કુલ સંખ્યા $x + y + z = 9$ છે.
અંતે દરેક ખેલાડીનો કુલ સ્કોર શૂન્ય હોવો જોઈએ.
જે ખેલાડી $x$ રમતો જીતે છે અને બાકીની $(9-x)$ રમતો હારે છે,તેનો કુલ સ્કોર $2x - 1(9-x) = 3x - 9$ થાય.
સ્કોર શૂન્ય કરવા માટે,આપણને $3x - 9 = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = 3$.
તે જ રીતે,$y = 3$ અને $z = 3$.
આમ,દરેક ખેલાડીએ $9$ માંથી બરાબર $3$ રમતો જીતવી આવશ્યક છે.
ત્રણ ખેલાડીઓ વચ્ચે જીતની વહેંચણી કરવાની રીતોની સંખ્યા મલ્ટિનોમિયલ સહગુણક દ્વારા મળે છે:
$\frac{9!}{3!3!3!} = \frac{362880}{6 \times 6 \times 6} = \frac{362880}{216} = 1680$.

(A) ધારો કે સંખ્યા $N$ છે. જ્યારે $N$ ની પાછળ શૂન્યતર અંક $c$ ઉમેરવામાં આવે,ત્યારે નવી સંખ્યા $10N + c$ બને છે.
આપેલ છે કે $10N + c$ એ દરેક $c \in \{1, 2, \dots, 9\}$ માટે $c$ વડે વિભાજ્ય છે.
આનો અર્થ એ છે કે $10N$ એ દરેક $c \in \{1, 2, \dots, 9\}$ માટે $c$ વડે વિભાજ્ય હોવું જોઈએ.
તેથી,$10N$ એ અંકો $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ ના લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
$LCM(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) = 2^3 \times 3^2 \times 5 \times 7 = 2520$.
તેથી,$10N$ એ $2520$ નો ગુણક હોવો જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $N$ એ $252$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
સૌથી નાનો ધન પૂર્ણાંક $N = 252$ છે.
$N$ ના અંકોનો સરવાળો $2 + 5 + 2 = 9$ થાય છે.

(B) અપૂર્ણાંક $\frac{1}{n}$ નું દશાંશ નિરૂપણ ત્યારે જ શાંત હોય જો છેદ $n$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2^a \times 5^b$ સ્વરૂપમાં હોય,જ્યાં $a, b \ge 0$ અને $a+b > 0$.
આપણે $n \in \{2, 3, \ldots, 200\}$ માટે $2^a \times 5^b$ સ્વરૂપના પૂર્ણાંકો શોધવાના છે.
શક્ય કિંમતો:
- $2^a$: $2, 4, 8, 16, 32, 64, 128$
- $5^b$: $5, 25, 125$
- $2^a \times 5^b$: $10, 20, 40, 80, 160, 50, 100, 200$
કુલ સંખ્યાઓ: $2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 32, 40, 50, 64, 80, 100, 125, 128, 160, 200$.
આમ,કુલ $18$ કિંમતો મળે છે.

(A) $n$ થી નાની અને $n$ સાથે પરસ્પર અવિભાજ્ય હોય તેવી પૂર્ણાંક સંખ્યાઓની સંખ્યા આઈલરના ટોશિયન્ટ વિધેય $\phi(n)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $n = p_1 \times p_2$,જ્યાં $p_1$ અને $p_2$ ભિન્ન અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે,તેથી $\phi(n) = (p_1-1)(p_2-1)$ સૂત્રનો ઉપયોગ થાય છે.
આપણને $\phi(43361) = 42900$ આપેલ છે.
તેથી,$(p_1-1)(p_2-1) = 42900$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$p_1 p_2 - p_1 - p_2 + 1 = 42900$.
કારણ કે $p_1 p_2 = 43361$,તેથી $43361 - (p_1+p_2) + 1 = 42900$.
$43362 - (p_1+p_2) = 42900$.
$p_1+p_2 = 43362 - 42900 = 462$.
આમ,બે અવિભાજ્ય અવયવોનો સરવાળો $462$ છે.

(B) $24^k$ એ $13!$ ને ભાગી શકે તેવી સૌથી મોટી $k$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે પહેલા $13!$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ કરીએ.
$13! = 2^{10} \times 3^5 \times 5^2 \times 7 \times 11 \times 13$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $24^k = (2^3 \times 3)^k = 2^{3k} \times 3^k$.
$24^k$ એ $13!$ ને ભાગી શકે તે માટે,$3k \le 10$ અને $k \le 5$ હોવું જોઈએ.
$3k \le 10$ પરથી,આપણને $k \le \frac{10}{3} \approx 3.33$ મળે છે.
$k \le 5$ પરથી,આપણને $k \le 5$ મળે છે.
બંને શરતોનું પાલન કરતી સૌથી મોટી પૂર્ણાંક સંખ્યા $k = 3$ છે.

(C) $6$-અંકી સંખ્યા $ababab$ સ્વરૂપની છે.
$ababab = 10^5 a + 10^4 b + 10^3 a + 10^2 b + 10a + b$
$= 10101(10a + b)$
$= (3 \times 7 \times 13 \times 37)(10a + b)$
સંખ્યા બરાબર $6$ ભિન્ન અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો ગુણાકાર હોય તે માટે,$(10a + b)$ એ $2$ ભિન્ન અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો ગુણાકાર હોવો જોઈએ અને તે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $\{3, 7, 13, 37\}$ માં ન હોવી જોઈએ.
આવી શક્યતાઓ તપાસતા કુલ $13$ સંખ્યાઓ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $\frac{m}{12} = \frac{12}{n}$ છે.
બંને બાજુ ગુણાકાર કરતા,આપણને $mn = 144$ મળે છે.
$144$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ $2^4 \times 3^2$ છે.
$144$ ના ધન ભાજકોની સંખ્યા $(4+1)(2+1) = 5 \times 3 = 15$ છે.
$m$ અને $n$ પૂર્ણાંક હોવાથી,તે બંને ધન અથવા બંને ઋણ હોઈ શકે છે.
જો $m, n > 0$ હોય,તો $15$ શક્ય જોડીઓ $(m, n)$ મળે.
જો $m, n < 0$ હોય,તો પણ $15$ શક્ય જોડીઓ $(m, n)$ મળે.
તેથી,$(m, n)$ ની કુલ ક્રમિત જોડીઓની સંખ્યા $15 + 15 = 30$ છે.

(C) આપણને આપેલ છે કે $(n+3)$ એ $(n^3-3)$ નો ભાજક છે.
બહુપદીના ભાગાકારનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{n^3-3}{n+3} = \frac{n^3+27-30}{n+3} = (n^2-3n+9) - \frac{30}{n+3}$.
પદાવલિ પૂર્ણાંક હોય તે માટે,$(n+3)$ એ $30$ નો ભાજક હોવો જોઈએ.
$n$ એ ધન પૂર્ણાંક હોવાથી,$n \ge 1$,તેથી $n+3 \ge 4$.
$30$ ના ભાજકો $1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30$ છે.
શરત $n+3 \ge 4$ ને ધ્યાનમાં લેતા,$(n+3)$ ની શક્ય કિંમતો $5, 6, 10, 15, 30$ છે.
દરેક કિસ્સા માટે $n$ ની કિંમત:
$n+3 = 5 \Rightarrow n = 2$
$n+3 = 6 \Rightarrow n = 3$
$n+3 = 10 \Rightarrow n = 7$
$n+3 = 15 \Rightarrow n = 12$
$n+3 = 30 \Rightarrow n = 27$
આમ,આવા $5$ ધન પૂર્ણાંકો $n$ મળે છે.

(B) $\frac{1}{q}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત હોવા માટે,$q$ એ $2^m 5^n$ સ્વરૂપમાં હોવું જોઈએ જ્યાં $m, n \in \mathbb{W}$.
$\sqrt{q}$ સંમેય હોવા માટે,$q$ પૂર્ણવર્ગ હોવું જોઈએ.
જો $q = 2^m 5^n$ પૂર્ણવર્ગ હોય,તો $m$ અને $n$ બંને બેકી સંખ્યા હોવી જોઈએ.
ધારો કે $m = 2a$ અને $n = 2b$ જ્યાં $a, b \in \mathbb{W}$.
તેથી $q = 2^{2a} 5^{2b} = (2^a 5^b)^2$.
આપણને $1 \leq q \leq 2021$ આપેલ છે,તેથી $1 \leq (2^a 5^b)^2 \leq 2021$,જેનો અર્થ છે $1 \leq 2^a 5^b \leq \sqrt{2021} \approx 44.95$.
$2^a 5^b \leq 44$ માટે શક્ય કિંમતો:
જો $b=0$: $2^a \leq 44 \Rightarrow a \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ (કિંમતો: $1, 2, 4, 8, 16, 32$)
જો $b=1$: $2^a \cdot 5 \leq 44$ $\Rightarrow 2^a \leq 8.8$ $\Rightarrow a \in \{0, 1, 2, 3\}$ (કિંમતો: $5, 10, 20, 40$)
જો $b=2$: $2^a \cdot 25 \leq 44$ $\Rightarrow 2^a \leq 1.76$ $\Rightarrow a = 0$ (કિંમત: $25$)
કુલ $2^a 5^b$ માટેની કિંમતો $6 + 4 + 1 = 11$ છે.
આમ,આવા $11$ પૂર્ણાંકો $q$ મળે છે.

(B) મલ્ટિનોમિયલ વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $\frac{5!}{n_1! n_2! n_3!} (2x)^{n_1} (x^{-7})^{n_2} (3x^2)^{n_3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $n_1 + n_2 + n_3 = 5$ છે.
આનું સાદું રૂપ $\frac{5!}{n_1! n_2! n_3!} 2^{n_1} 3^{n_3} x^{n_1 - 7n_2 + 2n_3}$ થાય છે.
અચળ પદ માટે, $x$ નો ઘાતાંક શૂન્ય હોવો જોઈએ, તેથી $n_1 - 7n_2 + 2n_3 = 0$.
$n_1 + n_2 + n_3 = 5$ હોવાથી, $n_1 = 5 - n_2 - n_3$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(5 - n_2 - n_3) - 7n_2 + 2n_3 = 0 \Rightarrow 5 - 8n_2 + n_3 = 0 \Rightarrow n_3 = 8n_2 - 5$.
જો $n_2 = 1$ હોય, તો $n_3 = 3$, જેનો અર્થ છે કે $n_1 = 5 - 1 - 3 = 1$.
આ કિંમતોને સહગુણકના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{5!}{1! 1! 3!} (2)^1 (3)^3 = \frac{120}{6} \times 2 \times 27 = 20 \times 54 = 1080$.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = 2x^n + \lambda$ છે.
આપેલ કિંમતોનો ઉપયોગ કરતા:
$f(4) = 2(4^n) + \lambda = 133$ --- $(1)$
$f(5) = 2(5^n) + \lambda = 255$ --- $(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા:
$2(5^n - 4^n) = 255 - 133 = 122$
$5^n - 4^n = 61$
$n \in N$ માટે કિંમતો ચકાસતા:
$n = 3$ માટે,$5^3 - 4^3 = 125 - 64 = 61$. તેથી,$n = 3$.
$n = 3$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$2(4^3) + \lambda = 133$
$2(64) + \lambda = 133$
$128 + \lambda = 133 \Rightarrow \lambda = 5$.
હવે,$f(3) - f(2)$ ની ગણતરી કરતા:
$f(3) = 2(3^3) + 5 = 2(27) + 5 = 59$
$f(2) = 2(2^3) + 5 = 2(8) + 5 = 21$
$f(3) - f(2) = 59 - 21 = 38$.
$38$ ના ભાજકો $1, 2, 19, 38$ છે.
આ ભાજકોનો સરવાળો $1 + 2 + 19 + 38 = 60$ થાય છે.

(A) ધારો કે $N$ એ $4$-અંકી સંખ્યા છે. આપણને આપેલ છે કે $\gcd(N, 54) = 2$.
$54 = 2 \times 3^3$ હોવાથી,$\gcd(N, 54) = 2$ નો અર્થ એ છે કે $N$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય હોવી જોઈએ પરંતુ $3$ વડે નહીં.
$4$-અંકી કુલ સંખ્યાઓ $1000$ થી $9999$ સુધીની છે,એટલે કે કુલ $9000$ સંખ્યાઓ છે.
$2$ વડે વિભાજ્ય $4$-અંકી સંખ્યાઓની સંખ્યા $\lfloor \frac{9999}{2} \rfloor - \lfloor \frac{999}{2} \rfloor = 4500$ છે.
$6$ વડે વિભાજ્ય (એટલે કે $2$ અને $3$ બંને વડે વિભાજ્ય) $4$-અંકી સંખ્યાઓની સંખ્યા $\lfloor \frac{9999}{6} \rfloor - \lfloor \frac{999}{6} \rfloor = 1500$ છે.
તેથી,$2$ વડે વિભાજ્ય હોય પણ $3$ વડે નહીં તેવી $4$-અંકી સંખ્યાઓ $4500 - 1500 = 3000$ છે.

(B) $n!$ ને ભાગતી અવિભાજ્ય સંખ્યા $p$ ની સૌથી મોટી ઘાત શોધવા માટે,આપણે લેજેન્ડ્રેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $E_p(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \left[ \frac{n}{p^k} \right]$.
અહીં,$n = 66$ અને $p = 3$ છે.
$E_3(66!) = \left[ \frac{66}{3} \right] + \left[ \frac{66}{3^2} \right] + \left[ \frac{66}{3^3} \right]$
$E_3(66!) = \left[ \frac{66}{3} \right] + \left[ \frac{66}{9} \right] + \left[ \frac{66}{27} \right]$
$E_3(66!) = 22 + 7 + 2 = 31$.
આમ,સૌથી મોટી પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ એ $31$ છે.

(A) $(1-x+2x^3)^{10}$ ના બહુપદી વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $\frac{10!}{r_1! r_2! r_3!} (1)^{r_1} (-x)^{r_2} (2x^3)^{r_3} = \frac{10!}{r_1! r_2! r_3!} (-1)^{r_2} (2)^{r_3} x^{r_2+3r_3}$ છે.
અહીં $r_1+r_2+r_3=10$ અને $r_2+3r_3=7$ હોવું જરૂરી છે, જ્યાં $r_1, r_2, r_3 \ge 0$ છે.
$(r_1, r_2, r_3)$ માટે શક્ય અઋણ પૂર્ણાંક ઉકેલો છે:
$1$. જો $r_3=0$, તો $r_2=7$, તેથી $r_1=3$ છે.
$2$. જો $r_3=1$, તો $r_2=4$, તેથી $r_1=5$ છે.
$3$. જો $r_3=2$, તો $r_2=1$, તેથી $r_1=7$ છે.
સહગુણક એ આ કિસ્સાઓના પદોનો સરવાળો છે:
કિસ્સો $1$: $\frac{10!}{3! 7! 0!} (-1)^7 (2)^0 = 120 \times (-1) \times 1 = -120$ છે.
કિસ્સો $2$: $\frac{10!}{5! 4! 1!} (-1)^4 (2)^1 = 1260 \times 1 \times 2 = 2520$ છે.
કિસ્સો $3$: $\frac{10!}{7! 1! 2!} (-1)^1 (2)^2 = 360 \times (-1) \times 4 = -1440$ છે.
તેમનો સરવાળો: $-120 + 2520 - 1440 = 960$ છે.

(C) $3$-અંકની કુલ સંખ્યાઓ $999 - 99 = 900$ છે.
કોઈ સંખ્યા $2$ અને $3$ બંને વડે વિભાજ્ય હોય તો તે $\text{lcm}(2, 3) = 6$ વડે વિભાજ્ય હોય.
$6$ વડે વિભાજ્ય $3$-અંકની સંખ્યાઓ $\frac{900}{6} = 150$ છે.
કોઈ સંખ્યા $4$ અને $9$ બંને વડે વિભાજ્ય હોય તો તે $\text{lcm}(4, 9) = 36$ વડે વિભાજ્ય હોય.
$36$ વડે વિભાજ્ય $3$-અંકની સંખ્યાઓ $\frac{900}{36} = 25$ છે.
$36$ વડે વિભાજ્ય દરેક સંખ્યા $6$ વડે પણ વિભાજ્ય હોવાથી,$2$ અને $3$ વડે વિભાજ્ય પરંતુ $4$ અને $9$ વડે વિભાજ્ય ન હોય તેવી સંખ્યાઓ $150 - 25 = 125$ છે.

(B) $50!$ ને $3^n$ વડે ભાગી શકાય તે માટે સૌથી મોટી ઘાત $n$ શોધવા માટે,આપણે લેજેન્ડ્રના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $E_p(m!) = \sum_{k=1}^{\infty} \left[ \frac{m}{p^k} \right]$.
અહીં,$m = 50$ અને $p = 3$ છે.
$n = \left[ \frac{50}{3} \right] + \left[ \frac{50}{3^2} \right] + \left[ \frac{50}{3^3} \right] + \left[ \frac{50}{3^4} \right]$
$n = 16 + 5 + 1 + 0$
$n = 22$.
આમ,સૌથી મોટી $n$ ની કિંમત $22$ છે.

(C) આપણે $0, 1, 2$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને $10$ પદોની શ્રેણી બનાવવાની છે જેમાં બરાબર પાંચ $1$,ત્રણ $2$ અને બાકીના બે $0$ $(10 - 5 - 3 = 2)$ હોય.
આ મલ્ટિસેટના ક્રમચયનો પ્રશ્ન છે.
$5$ એકડા,$3$ બગડા અને $2$ શૂન્યની ગોઠવણી કરવાની રીતો:
$\text{શ્રેણીઓની સંખ્યા} = \frac{10!}{5! \times 3! \times 2!}$
ગણતરી:
$\frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5!}{5! \times 6 \times 2} = 2520$.

(B) ધારો કે $3$-અંકની સંખ્યા $n$ છે. આપેલ છે કે $\text{gcd}(n, 36) = 2$.
$36 = 2^2 \times 3^2$ હોવાથી,$\text{gcd}(n, 36) = 2$ નો અર્થ એ છે કે $n$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય હોવી જોઈએ પણ $4$ વડે નહીં,અને $n$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય ન હોવી જોઈએ.
ધારો કે $n = 2k$. તો $\text{gcd}(2k, 36) = 2 \implies \text{gcd}(k, 18) = 1$.
આનો અર્થ એ છે કે $k$ એ $2$ કે $3$ વડે વિભાજ્ય નથી.
$3$-અંકની સંખ્યાઓ $[100, 999]$ ની વચ્ચે છે.
તેથી,$100 \le 2k \le 999 \implies 50 \le k \le 499.5$.
આમ,$k \in \{50, 51, \dots, 499\}$.
$k$ ના કુલ મૂલ્યોની સંખ્યા $450$ છે.
આપણે $k$ ના એવા મૂલ્યો બાદ કરવાના છે જે $2$ અથવા $3$ વડે વિભાજ્ય હોય.
$S = \{50, 51, \dots, 499\}$ લો.
$S$ માં $2$ ના ગુણકો: $225$.
$S$ માં $3$ ના ગુણકો: $150$.
$S$ માં $6$ ના ગુણકો: $75$.
ગણતરી મુજબ,$2$ અથવા $3$ વડે વિભાજ્ય $k$ ની સંખ્યા $225 + 150 - 75 = 300$ છે.
તેથી,$\text{gcd}(k, 6) = 1$ હોય તેવા $k$ ની સંખ્યા $450 - 300 = 150$ છે.

(D) ધારો કે $d$ એ સંયુક્ત સંખ્યા $a$ નો સૌથી નાનો ભાજક છે જેથી $1 < d < a$ થાય.
જો $d > \sqrt{a}$ હોય,તો બીજો ભાજક $a/d$ પણ $\sqrt{a}$ કરતા મોટો હોવો જોઈએ કારણ કે $a/d < a/\sqrt{a} = \sqrt{a}$.
આ સૂચવે છે કે $a/d$ એ $d$ કરતા નાનો ભાજક છે,જે $d$ એ $1$ કરતા મોટો સૌથી નાનો ભાજક છે તેવી ધારણાનો વિરોધાભાસ કરે છે.
તેથી,સૌથી નાનો ભાજક $d$ એ $d \leq \sqrt{a}$ નું પાલન કરે છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે,જો $a = p_{1}^{\alpha_{1}} \cdot p_{2}^{\alpha_{2}} \cdot p_{3}^{\alpha_{3}} \dots$ હોય
તો $a$ ના કુલ ધન ભાજકોની સંખ્યા $T(a) = (\alpha_{1} + 1)(\alpha_{2} + 1)(\alpha_{3} + 1) \dots$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે,$252 = 2^{2} \times 3^{2} \times 7^{1}$
અહીં,$\alpha_{1} = 2, \alpha_{2} = 2, \alpha_{3} = 1$
$\therefore T(252) = (2 + 1)(2 + 1)(1 + 1)$
$= 3 \cdot 3 \cdot 2$
$= 18$

(B) ગુસાઅ $(24, 92)$ શોધવા માટે,આપણે યુક્લિડની ભાગવિધિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$92 = 3 \times 24 + 20$
$24 = 1 \times 20 + 4$
$20 = 5 \times 4 + 0$
આમ,$(24, 92) = 4$.
હવે,$4$ ને $24$ અને $92$ ના સુરેખ સંયોજન તરીકે દર્શાવો:
$4 = 24 - 1 \times 20$
$20 = 92 - 3 \times 24$ મૂકતા:
$4 = 24 - 1 \times (92 - 3 \times 24)$
$4 = 24 - 92 + 3 \times 24$
$4 = 4 \times 24 - 1 \times 92$
આને $24m + 92n = 4$ સાથે સરખાવતા,આપણને $m = 4$ અને $n = -1$ મળે છે.
તેથી,$(m, n) = (4, -1)$.

(A) $7^{886}$ નો છેલ્લો અંક શોધવા માટે,આપણે $7$ ના ઘાતાંકોના છેલ્લા અંકની પેટર્ન જોઈએ:
$7^{1} = 7$
$7^{2} = 49$ (છેલ્લો અંક $9$)
$7^{3} = 343$ (છેલ્લો અંક $3$)
$7^{4} = 2401$ (છેલ્લો અંક $1$)
છેલ્લા અંકનું ચક્ર $(7, 9, 3, 1)$ છે,જેની આવર્તકાળ $4$ છે.
આપણે ઘાતાંક $886$ ને $4$ વડે ભાગીએ:
$886 = 4 \times 221 + 2$
આમ,$7^{886} = (7^{4})^{221} \times 7^{2}$.
$(7^{4})^{221}$ નો છેલ્લો અંક $1^{221} = 1$ છે.
$7^{2}$ નો છેલ્લો અંક $9$ છે.
તેથી,$7^{886}$ નો છેલ્લો અંક $1 \times 9 = 9$ છે.

(A) $242$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ $2 \times 11^2$ છે.
$242$ ના ભાજકો $1, 2, 11, 22, 121, 242$ છે.
$1$ અને $242$ સિવાયના ભાજકો $2, 11, 22, 121$ છે.
આ ભાજકોનો સરવાળો $2 + 11 + 22 + 121 = 156$ થાય છે.

(D) આપણે $5$ ની ઘાતનું અવલોકન કરીએ:
$5^{1} = 5$
$5^{2} = 25$
$5^{3} = 125$
$5^{4} = 625$
તે સ્પષ્ટ છે કે કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે,$5^{n}$ નો એકમનો અંક હંમેશા $5$ હોય છે.
તેથી,$5^{834}$ ના એકમના સ્થાનનો અંક $5$ છે.

(A) $(x_1 + x_2 + \dots + x_r)^n$ ના વિસ્તરણમાં પદોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $\binom{n+r-1}{r-1}$ છે.
અહીં,$n = 10$ અને $r = 3$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\binom{10+3-1}{3-1} = \binom{12}{2}$.
કિંમતની ગણતરી કરતા: $\binom{12}{2} = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 66$.

(C) શરત $a \equiv b \pmod{x}$ નો અર્થ છે કે $x$ એ $(a - b)$ નો ભાજક છે.
પ્રથમ સમશેષતા માટે: $21 \equiv 385 \pmod{x}$,તેથી $x$ એ $(385 - 21) = 364$ નો ભાજક છે.
$364$ ના ભાજકો $1, 2, 4, 7, 13, 14, 26, 28, 52, 91, 182, 364$ છે.
બીજી સમશેષતા માટે: $587 \equiv 167 \pmod{x}$,તેથી $x$ એ $(587 - 167) = 420$ નો ભાજક છે.
$420$ ના ભાજકો $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 12, 14, 15, 20, 21, 28, 30, 35, 42, 60, 70, 84, 105, 140, 210, 420$ છે.
$364$ અને $420$ નો ગુરુત્તમ સામાન્ય ભાજક $gcd(364, 420) = 28$ છે.
આમ,$x$ ની મહત્તમ કિંમત $28$ છે.