Mix Examples - Statistics Questions in Hindi

(52) माध्य ज्ञात करने के लिए,हम वर्ग चिह्न $(x_i)$ और $f_i x_i$ की गणना करते हैं:

वर्ग अंतराल	छात्रों की संख्या $(f_i)$	वर्ग चिह्न $(x_i)$	$f_i x_i$
$10-25$	$2$	$17.5$	$35.0$
$25-40$	$3$	$32.5$	$97.5$
$40-55$	$7$	$47.5$	$332.5$
$55-70$	$6$	$62.5$	$375.0$
$70-85$	$6$	$77.5$	$465.0$
$85-100$	$6$	$92.5$	$555.0$
कुल	$\Sigma f_i = 30$		$\Sigma f_i x_i = 1860.0$

माध्य $\bar{x} = \frac{\Sigma f_i x_i}{\Sigma f_i} = \frac{1860}{30} = 62$.
बहुलक के लिए,अधिकतम आवृत्ति $7$ है,जो बहुलक वर्ग $40-55$ के संगत है।
यहाँ,$l = 40$,$h = 15$,$f_1 = 7$,$f_0 = 3$,$f_2 = 6$.
बहुलक $= l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h = 40 + \left( \frac{7 - 3}{14 - 3 - 6} \right) \times 15 = 40 + \left( \frac{4}{5} \right) \times 15 = 40 + 12 = 52$.
व्याख्या: अधिकतम छात्रों ने $52$ अंक प्राप्त किए (बहुलक),जबकि औसतन एक छात्र ने $62$ अंक प्राप्त किए (माध्य)।

(N/A) वर्ग चिह्नों $(x_{i})$ को ज्ञात करने के लिए,निम्नलिखित संबंध का उपयोग किया जाता है:
$x_{i} = \frac{\text{वर्ग की ऊपरी सीमा} + \text{वर्ग की निचली सीमा}}{2}$
कल्पित माध्य $(a) = 30$ लेने पर,$d_i$ और $f_id_i$ की गणना इस प्रकार है:

आयु (वर्षों में)	रोगियों की संख्या $(f_i)$	वर्ग चिह्न $(x_i)$	$d_i = x_i - 30$	$f_i d_i$
$5$-$15$	$6$	$10$	-$20$	-$120$
$15$-$25$	$11$	$20$	-$10$	-$110$
$25$-$35$	$21$	$30$	$0$	$0$
$35$-$45$	$23$	$40$	$10$	$230$
$45$-$55$	$14$	$50$	$20$	$280$
$55$-$65$	$5$	$60$	$30$	$150$
कुल	$80$	-	-	$430$

तालिका से,हमें $\Sigma f_{i} = 80$ और $\Sigma f_{i} d_{i} = 430$ प्राप्त होता है।
माध्य,$\bar{x} = a + \frac{\Sigma f_{i} d_{i}}{\Sigma f_{i}} = 30 + \frac{430}{80} = 30 + 5.375 = 35.375 \simeq 35.38$.
रोगियों की औसत आयु $35.38 \text{ वर्ष}$ है। यह दर्शाता है कि अस्पताल में भर्ती होने वाले रोगी की औसत आयु $35.38 \text{ वर्ष}$ थी।
यह देखा जा सकता है कि अधिकतम वर्ग आवृत्ति $23$ है,जो वर्ग अंतराल $35-45$ में आती है।
बहुलक वर्ग $= 35-45$,निचली सीमा $(l) = 35$,वर्ग माप $(h) = 10$,आवृत्ति $(f_1) = 23$,आवृत्ति $(f_0) = 21$,आवृत्ति $(f_2) = 14$.
बहुलक $= l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h = 35 + \left( \frac{23 - 21}{2(23) - 21 - 14} \right) \times 10 = 35 + \left( \frac{2}{46 - 35} \right) \times 10 = 35 + \frac{20}{11} = 35 + 1.81 = 36.81$.
बहुलक $36.81$ है। यह दर्शाता है कि अस्पताल में भर्ती होने वाले अधिकतम रोगियों की आयु $36.81 \text{ वर्ष}$ थी।

(N/A) दिए गए डेटा से यह देखा जा सकता है कि अधिकतम वर्ग आवृत्ति $40$ है,जो $1500-2000$ अंतराल में है।
इसलिए,बहुलक वर्ग $= 1500-2000$ है।
बहुलक वर्ग की निचली सीमा $(l) = 1500$ है।
बहुलक वर्ग की आवृत्ति $(f_1) = 40$ है।
बहुलक वर्ग से पहले के वर्ग की आवृत्ति $(f_0) = 24$ है।
बहुलक वर्ग के बाद के वर्ग की आवृत्ति $(f_2) = 33$ है।
वर्ग का आकार $(h) = 500$ है।
बहुलक $= l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h$
$= 1500 + \left( \frac{40 - 24}{2(40) - 24 - 33} \right) \times 500 = 1500 + \frac{8000}{23} \approx 1847.83$.
अतः,बहुलक मासिक खर्च रु. $1847.83$ है।
माध्य ज्ञात करने के लिए,हम पद-विचलन विधि का उपयोग करते हैं:
माध्य $(\bar{x}) = a + h \times \left( \frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i} \right)$
$a = 2750$ और $h = 500$ का उपयोग करने पर,$\sum f_i u_i = -35$ और $\sum f_i = 200$ प्राप्त होता है।
माध्य $= 2750 + 500 \times \left( \frac{-35}{200} \right) = 2750 - 87.5 = 2662.5$.
अतः,औसत मासिक खर्च रु. $2662.5$ है।

(N/A) दिए गए डेटा से यह देखा जा सकता है कि अधिकतम वर्ग आवृत्ति $10$ है जो वर्ग अंतराल $30-35$ में आती है।
इसलिए,बहुलक वर्ग $= 30-35$ है।
वर्ग का आकार $(h) = 5$ है।
बहुलक वर्ग की निचली सीमा $(l) = 30$ है।
बहुलक वर्ग की आवृत्ति $(f_1) = 10$ है।
बहुलक वर्ग से ठीक पहले के वर्ग की आवृत्ति $(f_0) = 9$ है।
बहुलक वर्ग के ठीक बाद के वर्ग की आवृत्ति $(f_2) = 3$ है।
बहुलक $= l + \left(\frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2}\right) \times h = 30 + \left(\frac{10 - 9}{2(10) - 9 - 3}\right) \times 5 = 30 + \left(\frac{1}{8}\right) \times 5 = 30 + 0.625 = 30.625$ है।
बहुलक $\approx 30.6$ है।
यह दर्शाता है कि अधिकांश राज्यों/केंद्र शासित प्रदेशों में शिक्षक-छात्र अनुपात लगभग $30.6$ है।
माध्य ज्ञात करने के लिए,हम पद-विचलन विधि का उपयोग करते हैं।
माध्य $\bar{x} = a + \left(\frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i}\right) \times h$ है।
कल्पित माध्य $a = 32.5$ और $h = 5$ लेने पर,$\sum f_i u_i = -23$ और $\sum f_i = 35$ प्राप्त होता है।
माध्य $\bar{x} = 32.5 + \left(\frac{-23}{35}\right) \times 5 = 32.5 - \frac{23}{7} = 32.5 - 3.2857 \approx 29.21$ है।
अतः,डेटा का माध्य लगभग $29.2$ है।

(N/A) $1$. माध्य: पद-विचलन विधि का उपयोग करते हुए,$\bar{x} = a + h \left( \frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i} \right)$. यहाँ $a = 135, h = 20, \sum f_i u_i = 7, \sum f_i = 68$ लेने पर,$\bar{x} = 135 + 20 \left( \frac{7}{68} \right) = 135 + 2.06 = 137.06$.
$2$. बहुलक: बहुलक वर्ग $125-145$ है $(f_1=20, f_0=13, f_2=14)$. बहुलक $= l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h = 125 + \left( \frac{20 - 13}{40 - 13 - 14} \right) \times 20 = 125 + \left( \frac{7}{13} \right) \times 20 = 125 + 10.77 = 135.77$.
$3$. माध्यक: $n=68, n/2=34$. संचयी बारंबारता तालिका के अनुसार माध्यक वर्ग $125-145$ है। माध्यक $= l + \left( \frac{n/2 - cf}{f} \right) \times h = 125 + \left( \frac{34 - 22}{20} \right) \times 20 = 125 + 12 = 137$. अतः,माध्य $\approx$ माध्यक $\approx$ बहुलक।

(N/A) संचयी आवृत्तियाँ इस प्रकार हैं:

अक्षरों की संख्या	आवृत्ति $(f)$	संचयी आवृत्ति $(cf)$
$1-4$	$6$	$6$
$4-7$	$30$	$36$
$7-10$	$40$	$76$
$10-13$	$16$	$92$
$13-16$	$4$	$96$
$16-19$	$4$	$100$

$1$. माध्यिका: $n=100$,इसलिए $n/2 = 50$। $50$ से ठीक बड़ी संचयी आवृत्ति $76$ है,जो वर्ग $7-10$ के अंतर्गत आती है।
माध्यिका $= l + [(\frac{n}{2} - cf) / f] \times h = 7 + [(50 - 36) / 40] \times 3 = 7 + (14/40) \times 3 = 7 + 1.05 = 8.05$।
$2$. माध्य: कल्पित माध्य $a = 11.5$ और $h = 3$ का उपयोग करके,हम $x_i$ (मध्य बिंदु) की गणना करते हैं: $2.5, 5.5, 8.5, 11.5, 14.5, 17.5$।
$u_i = (x_i - 11.5)/3$: $-3, -2, -1, 0, 1, 2$।
$f_i u_i$: $-18, -60, -40, 0, 4, 8$। योग $\sum f_i u_i = -106$।
माध्य $= a + h \times (\sum f_i u_i / \sum f_i) = 11.5 + 3 \times (-106/100) = 11.5 - 3.18 = 8.32$।
$3$. बहुलक: बहुलक वर्ग $7-10$ है (उच्चतम आवृत्ति $40$)।
बहुलक $= l + [(f_1 - f_0) / (2f_1 - f_0 - f_2)] \times h = 7 + [(40 - 30) / (80 - 30 - 16)] \times 3 = 7 + (10/34) \times 3 = 7 + 0.88 = 7.88$।

(C) $1$. बहुलक वर्ग: सबसे अधिक बारंबारता वाला वर्ग अंतराल बहुलक वर्ग होता है। यहाँ,सबसे अधिक बारंबारता $15$ है,जो $150-155$ वर्ग अंतराल के संगत है। अतः,बहुलक वर्ग की निम्न सीमा $150$ है।
$2$. माध्यक वर्ग: माध्यक वर्ग ज्ञात करने के लिए,हम संचयी बारंबारता $(cf)$ की गणना करते हैं:
- $150-155$: $cf = 15$
- $155-160$: $cf = 15 + 13 = 28$
- $160-165$: $cf = 28 + 10 = 38$
- $165-170$: $cf = 38 + 8 = 46$
- $170-175$: $cf = 46 + 9 = 55$
- $175-180$: $cf = 55 + 5 = 60$
कुल छात्रों की संख्या $N = 60$ है। इसलिए,$N/2 = 30$। $30$ से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता $38$ है,जो $160-165$ वर्ग अंतराल के संगत है। अतः,माध्यक वर्ग की ऊपरी सीमा $165$ है।
$3$. अंतिम गणना: बहुलक वर्ग की निम्न सीमा $(150)$ और माध्यक वर्ग की ऊपरी सीमा $(165)$ का योग $150 + 165 = 315$ है।

(A) माध्य ज्ञात करने के लिए,हम पहले प्रत्येक वर्ग अंतराल के लिए मध्य-बिंदु $(x_i)$ की गणना करते हैं।

वर्ग	बारंबारता $(f_i)$	मध्य-बिंदु $(x_i)$	$d_i = x_i - A$	$u_i = \frac{x_i - A}{c}$	$f_i x_i$	$f_i d_i$	$f_i u_i$
$50-70$	$10$	$60$	$-20$	$-1$	$600$	$-200$	$-10$
$70-90$	$18$	$80 = A$	$0$	$0$	$1440$	$0$	$0$
$90-110$	$7$	$100$	$20$	$1$	$700$	$140$	$7$
$110-130$	$6$	$120$	$40$	$2$	$720$	$240$	$12$
$130-150$	$5$	$140$	$60$	$3$	$700$	$300$	$15$
$150-170$	$4$	$160$	$80$	$4$	$640$	$320$	$16$
कुल	$\Sigma f_i = 50$	-	-	-	$\Sigma f_i x_i = 4800$	$\Sigma f_i d_i = 800$	$\Sigma f_i u_i = 40$

यहाँ,$A = 80$ और $c = 20$ है।
$1$. प्रत्यक्ष विधि: $\bar{x} = \frac{\Sigma f_i x_i}{\Sigma f_i} = \frac{4800}{50} = 96$.
$2$. कल्पित माध्य विधि: $\bar{x} = A + \frac{\Sigma f_i d_i}{\Sigma f_i} = 80 + \frac{800}{50} = 80 + 16 = 96$.
$3$. पद-विचलन विधि: $\bar{x} = A + \left( \frac{\Sigma f_i u_i}{\Sigma f_i} \right) \times c = 80 + \left( \frac{40}{50} \right) \times 20 = 80 + 16 = 96$.
अतः,डेटा का माध्य $96$ है।

(D) माध्यक वर्ग और बहुलक वर्ग ज्ञात करने के लिए,हम पहले संचयी बारंबारता सारणी तैयार करते हैं:

वर्ग	बारंबारता $(f)$	संचयी बारंबारता $(cf)$
$0-5$	$10$	$10$
$5-10$	$15$	$25$
$10-15$	$12$	$37$
$15-20$	$20$	$57$
$20-25$	$9$	$66$

$1$. कुल बारंबारता $N = 66$ है। अतः,$\frac{N}{2} = \frac{66}{2} = 33$.
$2$. $33$ से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता $37$ है,जो वर्ग अंतराल $10-15$ के अंतर्गत आती है। अतः,माध्यक वर्ग $10-15$ है,और इसकी निम्न सीमा $10$ है।
$3$. सबसे अधिक बारंबारता $20$ है,जो वर्ग अंतराल $15-20$ के अंतर्गत आती है। अतः,बहुलक वर्ग $15-20$ है,और इसकी निम्न सीमा $15$ है।
$4$. निम्न सीमाओं का योग $10 + 15 = 25$ है।

(C) माध्यक वर्ग और बहुलक वर्ग ज्ञात करने के लिए,हम पहले संचयी बारंबारता $(cf)$ की गणना करते हैं:

वर्ग	बारंबारता $(f)$	संचयी बारंबारता $(cf)$
$65-85$	$4$	$4$
$85-105$	$5$	$9$
$105-125$	$13$	$22$
$125-145$	$20$	$42$
$145-165$	$14$	$56$
$165-185$	$7$	$63$
$185-205$	$4$	$67$

कुल बारंबारता $N = 67$ है। अतः,$\frac{N}{2} = \frac{67}{2} = 33.5$ है।
$33.5$ से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता $42$ है,जो वर्ग अंतराल $125-145$ के अंतर्गत आती है। इसलिए,माध्यक वर्ग $125-145$ है। माध्यक वर्ग की ऊपरी सीमा $145$ है।
सबसे अधिक बारंबारता $20$ है,जो वर्ग अंतराल $125-145$ के अंतर्गत आती है। इसलिए,बहुलक वर्ग $125-145$ है। बहुलक वर्ग की निचली सीमा $125$ है।
अभीष्ट अंतर = (माध्यक वर्ग की ऊपरी सीमा) - (बहुलक वर्ग की निचली सीमा) = $145 - 125 = 20$.

(N/A) नहीं,यह कहना सही नहीं है कि वर्गीकृत आंकड़ों का माध्य,बहुलक और माध्यक हमेशा अलग-अलग होंगे।
केंद्रीय प्रवृत्ति के ये तीनों माप आंकड़ों की प्रकृति के आधार पर समान भी हो सकते हैं।
उदाहरण के लिए,एक पूर्णतः सममित वितरण (जैसे कि सामान्य वितरण) में,माध्य,माध्यक और बहुलक समान होते हैं।
अतः,इन तीनों मापों के मान पूरी तरह से आंकड़ों के वितरण पर निर्भर करते हैं।

(N/A) नहीं,वर्गीकृत आंकड़ों का माध्यक वर्ग और बहुलक वर्ग हमेशा अलग नहीं होते हैं। आंकड़ों के वितरण के आधार पर वे समान हो सकते हैं।
औचित्य:
$1$. बहुलक वर्ग वह वर्ग अंतराल है जिसकी बारंबारता सबसे अधिक होती है।
$2$. माध्यक वर्ग वह वर्ग अंतराल है जहाँ संचयी बारंबारता $N/2$ तक पहुँचती है,जहाँ $N$ प्रेक्षणों की कुल संख्या है।
$3$. कई बारंबारता वितरणों में,सबसे अधिक बारंबारता वाला वर्ग अक्सर मध्य प्रेक्षण को समाहित करता है। उदाहरण के लिए,एक सममित वितरण में,माध्य,माध्यक और बहुलक अक्सर एक ही होते हैं,और माध्यक वर्ग तथा बहुलक वर्ग अक्सर एक-दूसरे के समान या एक ही होते हैं।

(N/A) बारंबारता वितरण तालिका बनाने के लिए,हम प्रत्येक वर्ग अंतराल की बारंबारता ज्ञात करने के लिए वर्तमान वर्ग की संचयी बारंबारता में से पिछले वर्ग की संचयी बारंबारता को घटाते हैं।

वर्ग अंतराल	छात्रों की संख्या (बारंबारता)
$0-10$	$10$
$10-20$	$50 - 10 = 40$
$20-30$	$130 - 50 = 80$
$30-40$	$270 - 130 = 140$
$40-50$	$440 - 270 = 170$
$50-60$	$570 - 440 = 130$
$60-70$	$670 - 570 = 100$
$70-80$	$740 - 670 = 70$
$80-90$	$780 - 740 = 40$
$90-100$	$800 - 780 = 20$

(N/A) आवृत्ति वितरण तालिका बनाने के लिए,हम प्रत्येक विशिष्ट वर्ग अंतराल की आवृत्ति ज्ञात करने के लिए क्रमिक अंतरालों की संचयी आवृत्तियों को घटाते हैं।
चूंकि कुल उम्मीदवारों की संख्या $34$ है (जैसा कि '$0$ या उससे अधिक' श्रेणी में देखा गया है),हम प्रत्येक वर्ग अंतराल के लिए आवृत्ति की गणना इस प्रकार करते हैं:

वर्ग अंतराल	आवृत्ति
$0-10$	$34-32 = 2$
$10-20$	$32-30 = 2$
$20-30$	$30-27 = 3$
$30-40$	$27-23 = 4$
$40-50$	$23-17 = 6$
$50-60$	$17-11 = 6$
$60-70$	$11-6 = 5$
$70-80$	$6-4 = 2$
$80-90$	$4$

(N/A) $(i)$ 'से कम' प्रकार का संचयी बारंबारता वितरण बनाने के लिए,हम प्रत्येक वर्ग की बारंबारता में उससे पहले के सभी वर्गों की बारंबारता जोड़ते हैं। चूँकि डेटा $10-20$ से शुरू होता है,हम मानते हैं कि $10$ वर्ष से कम आयु के $0$ रोगी हैं।
$(ii)$ 'से अधिक' प्रकार का संचयी बारंबारता वितरण बनाने के लिए,हम कुल रोगियों की संख्या $(300)$ से शुरू करते हैं और प्रत्येक पिछले वर्ग की बारंबारता को घटाते जाते हैं।

आयु (वर्षों में)	से कम प्रकार (संचयी बारंबारता)	आयु (वर्षों में)	से अधिक प्रकार (संचयी बारंबारता)
$10$ से कम	$0$	$10$ या अधिक	$300$
$20$ से कम	$60$	$20$ या अधिक	$240$
$30$ से कम	$102$	$30$ या अधिक	$198$
$40$ से कम	$157$	$40$ या अधिक	$143$
$50$ से कम	$227$	$50$ या अधिक	$73$
$60$ से कम	$280$	$60$ या अधिक	$20$
$70$ से कम	$300$	$70$ या अधिक	$0$

(N/A) संचयी बारंबारता वितरण को बारंबारता वितरण में बदलने के लिए,हम वर्तमान वर्ग की संचयी बारंबारता में से पिछले वर्ग की संचयी बारंबारता को घटाते हैं।
$1$. वर्ग $0-20$ के लिए,बारंबारता $17$ है।
$2$. वर्ग $20-40$ के लिए,बारंबारता $22 - 17 = 5$ है।
$3$. वर्ग $40-60$ के लिए,बारंबारता $29 - 22 = 7$ है।
$4$. वर्ग $60-80$ के लिए,बारंबारता $37 - 29 = 8$ है।
$5$. वर्ग $80-100$ के लिए,बारंबारता $50 - 37 = 13$ है।
परिणामी बारंबारता वितरण सारणी इस प्रकार है:

अंक	छात्रों की संख्या
$0-20$	$17$
$20-40$	$5$
$40-60$	$7$
$60-80$	$8$
$80-100$	$13$

(D) दी गई कुल बारंबारता $N = 60$ है।
बारंबारताओं का योग: $6 + f_1 + 20 + 15 + f_2 + 4 = 60$
$45 + f_1 + f_2 = 60 \implies f_1 + f_2 = 15$ ---(समीकरण $1$)
वर्ग चिह्न $(x_i)$ और $f_i x_i$ की गणना:
वर्ग $0-10$: $x_i = 5, f_i x_i = 30$
वर्ग $10-20$: $x_i = 15, f_i x_i = 15f_1$
वर्ग $20-30$: $x_i = 25, f_i x_i = 500$
वर्ग $30-40$: $x_i = 35, f_i x_i = 525$
वर्ग $40-50$: $x_i = 45, f_i x_i = 45f_2$
वर्ग $50-60$: $x_i = 55, f_i x_i = 220$
योग $\sum f_i x_i = 30 + 15f_1 + 500 + 525 + 45f_2 + 220 = 1275 + 15f_1 + 45f_2$
माध्य $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{N} = 28.5$
$\frac{1275 + 15f_1 + 45f_2}{60} = 28.5$
$1275 + 15f_1 + 45f_2 = 1710$
$15f_1 + 45f_2 = 435$
$15$ से भाग देने पर: $f_1 + 3f_2 = 29$ ---(समीकरण $2$)
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ घटाने पर:
$(f_1 + 3f_2) - (f_1 + f_2) = 29 - 15$
$2f_2 = 14 \implies f_2 = 7$
समीकरण $1$ में $f_2 = 7$ रखने पर: $f_1 + 7 = 15 \implies f_1 = 8$.
अतः,$f_1 = 8$ और $f_2 = 7$ है।

(N/A) $1$. माध्य: वर्ग चिह्न $(x_i)$ $15, 45, 75, 105, 135, 165$ हैं। बारंबारताओं का योग $(\sum f_i)$ $80$ है। गुणनफलों का योग $(\sum f_i x_i)$ $(8 \times 15) + (15 \times 45) + (16 \times 75) + (20 \times 105) + (12 \times 135) + (9 \times 165) = 120 + 675 + 1200 + 2100 + 1620 + 1485 = 7200$ है। माध्य $= \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{7200}{80} = 90$.
$2$. माध्यिका: $N/2 = 40$। संचयी बारंबारताएँ $8, 23, 39, 59, 71, 80$ हैं। माध्यिका वर्ग $90-120$ है। माध्यिका $= l + \left( \frac{N/2 - cf}{f} \right) \times h = 90 + \left( \frac{40 - 39}{20} \right) \times 30 = 90 + (1/20) \times 30 = 90 + 1.5 = 91.5$.
$3$. बहुलक: बहुलक वर्ग $90-120$ है (अधिकतम बारंबारता $20$)। बहुलक $= l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h = 90 + \left( \frac{20 - 16}{2(20) - 16 - 12} \right) \times 30 = 90 + \left( \frac{4}{40 - 28} \right) \times 30 = 90 + \left( \frac{4}{12} \right) \times 30 = 90 + 10 = 100$.

(N/A) $1$. माध्य: $\sum f_i = 100$. मध्य-बिंदु $(x_i)$: $5, 15, 25, 35, 45, 55, 65$. $\sum f_i x_i = (5 \times 5) + (12 \times 15) + (18 \times 25) + (40 \times 35) + (15 \times 45) + (7 \times 55) + (3 \times 65) = 25 + 180 + 450 + 1400 + 675 + 385 + 195 = 3310$. माध्य $= \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{3310}{100} = 33.1$.
$2$. माध्यिका: $N=100, N/2 = 50$. संचयी बारंबारता: $5, 17, 35, 75, 90, 97, 100$. माध्यिका वर्ग $30-40$ है। $l=30, cf=35, f=40, h=10$. माध्यिका $= l + \left( \frac{N/2 - cf}{f} \right) \times h = 30 + \left( \frac{50 - 35}{40} \right) \times 10 = 30 + \left( \frac{15}{4} \right) = 30 + 3.75 = 33.75$.
$3$. बहुलक: बहुलक वर्ग $30-40$ है (अधिकतम बारंबारता $40$)। $l=30, f_1=40, f_0=18, f_2=15, h=10$. बहुलक $= l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h = 30 + \left( \frac{40 - 18}{2(40) - 18 - 15} \right) \times 10 = 30 + \left( \frac{22}{80 - 33} \right) \times 10 = 30 + \left( \frac{220}{47} \right) \approx 30 + 4.68 = 34.68$.

(N/A) कुल विद्यार्थियों की संख्या $N = 400$ है।
अतः,$26 + 26 + x + 110 + 84 + y + 36 + 32 = 400$.
$314 + x + y = 400 \implies x + y = 86$ ---$(i)$
माध्य $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = 41.2$.
वर्गों के मध्य-बिंदु $(x_i)$ हैं: $5, 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75$.
$f_i x_i$ का योग: $(26 \times 5) + (26 \times 15) + (x \times 25) + (110 \times 35) + (84 \times 45) + (y \times 55) + (36 \times 65) + (32 \times 75)$.
$= 130 + 390 + 25x + 3850 + 3780 + 55y + 2340 + 2400 = 12890 + 25x + 55y$.
अतः,$\frac{12890 + 25x + 55y}{400} = 41.2$.
$12890 + 25x + 55y = 16480 \implies 25x + 55y = 3590$.
$5$ से भाग देने पर,$5x + 11y = 718$ ---(ii).
समीकरण $(i)$ से $x = 86 - y$. इसे $(ii)$ में रखने पर:
$5(86 - y) + 11y = 718 \implies 430 - 5y + 11y = 718$.
$6y = 288 \implies y = 48$.
अतः,$x = 86 - 48 = 38$.
उत्तर: $x = 38, y = 48$.

(A) दी गई कुल बारंबारता $N = 60$ है।
बारंबारताओं का योग: $6 + x + 17 + y + 8 = 60 \implies x + y + 31 = 60 \implies x + y = 29$ (समीकरण $1$)।
वर्ग चिह्न $(x_i)$ $5, 15, 25, 35, 45$ हैं।
माध्य $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = 26.5$ है।
$\sum f_i x_i = (6 \times 5) + (x \times 15) + (17 \times 25) + (y \times 35) + (8 \times 45) = 30 + 15x + 425 + 35y + 360 = 815 + 15x + 35y$।
$\frac{815 + 15x + 35y}{60} = 26.5 \implies 815 + 15x + 35y = 1590 \implies 15x + 35y = 775$।
$5$ से भाग देने पर: $3x + 7y = 155$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ से,$x = 29 - y$। इसे समीकरण $2$ में रखने पर: $3(29 - y) + 7y = 155 \implies 87 - 3y + 7y = 155 \implies 4y = 68 \implies y = 17$।
अतः $x = 29 - 17 = 12$।
इस प्रकार,$x = 12$ और $y = 17$।

(A) दी गई कुल आवृत्ति $N = 20$ है।
आवृत्तियों का योग: $3 + x + 7 + 7 + y = 20 \implies x + y + 17 = 20 \implies x + y = 3$ (समीकरण $1$)।
वर्ग चिह्न $(x_i)$ $35, 45, 55, 65, 75$ हैं।
$f_i x_i$ का योग = $(3 \times 35) + (x \times 45) + (7 \times 55) + (7 \times 65) + (y \times 75) = 105 + 45x + 385 + 455 + 75y = 945 + 45x + 75y$।
माध्य $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = 55.5$।
$\frac{945 + 45x + 75y}{20} = 55.5 \implies 945 + 45x + 75y = 1110 \implies 45x + 75y = 165$।
$15$ से भाग देने पर: $3x + 5y = 11$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ से,$x = 3 - y$। समीकरण $2$ में प्रतिस्थापित करने पर: $3(3 - y) + 5y = 11 \implies 9 - 3y + 5y = 11 \implies 2y = 2 \implies y = 1$।
अतः $x = 3 - 1 = 2$।
इस प्रकार,$x = 2$ और $y = 1$।

(N/A) $1$. माध्य: $\sum f_i = 50$. मध्य-बिंदु $(x_i)$: $5, 15, 25, 35, 45, 55, 65$. $\sum f_i x_i = (4 \times 5) + (6 \times 15) + (8 \times 25) + (12 \times 35) + (10 \times 45) + (5 \times 55) + (5 \times 65) = 1780$. माध्य $\bar{x} = \frac{1780}{50} = 35.6$.
$2$. माध्यिका: $N/2 = 25$. संचयी बारंबारता: $4, 10, 18, 30, 40, 45, 50$. माध्यिका वर्ग $30-40$ है। $l=30, f=12, cf=18, h=10$. माध्यिका $= l + \left( \frac{N/2 - cf}{f} \right) \times h = 30 + \left( \frac{25 - 18}{12} \right) \times 10 = 35.83$.
$3$. बहुलक: बहुलक वर्ग $30-40$ है (अधिकतम बारंबारता $12$)। $l=30, f_1=12, f_0=8, f_2=10, h=10$. बहुलक $= l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h = 30 + \left( \frac{4}{6} \right) \times 10 = 36.67$.

(N/A) $1$. माध्य की गणना:
वर्ग चिह्न $(x_i)$: $5, 15, 25, 35, 45$.
आवृत्तियों का योग $(\sum f_i)$ $= 5 + 27 + 58 + 20 + 10 = 120$.
गुणनफलों का योग $(\sum f_i x_i)$ $= (5 \times 5) + (27 \times 15) + (58 \times 25) + (20 \times 35) + (10 \times 45) = 25 + 405 + 1450 + 700 + 450 = 3030$.
माध्य $(\bar{x}) = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{3030}{120} = 25.25$.
$2$. माध्यिका की गणना:
संचयी आवृत्ति $(cf)$: $5, 32, 90, 110, 120$.
$N/2 = 120/2 = 60$. माध्यिका वर्ग $20-30$ है।
$l = 20, cf = 32, f = 58, h = 10$.
माध्यिका $= l + \left( \frac{N/2 - cf}{f} \right) \times h = 20 + \left( \frac{60 - 32}{58} \right) \times 10 = 20 + \left( \frac{280}{58} \right) \approx 20 + 4.83 = 24.83$.
$3$. बहुलक की गणना:
बहुलक वर्ग $20-30$ है (उच्चतम आवृत्ति $58$)।
$l = 20, f_1 = 58, f_0 = 27, f_2 = 20, h = 10$.
बहुलक $= l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h = 20 + \left( \frac{58 - 27}{116 - 27 - 20} \right) \times 10 = 20 + \left( \frac{31}{69} \right) \times 10 \approx 20 + 4.49 = 24.49$.

(A) $1$. माध्य: $\sum f_i = 100$. वर्ग चिह्न $(x_i)$: $25, 75, 125, 175, 225, 275, 325$. $\sum f_i x_i = 250 + 1125 + 3750 + 3500 + 3375 + 2200 + 650 = 14850$. माध्य $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{14850}{100} = 148.5$.
$2$. माध्यक: $N/2 = 50$. संचयी बारंबारता: $10, 25, 55, 75, 90, 98, 100$. माध्यक वर्ग $100-150$ है। $l=100, cf=25, f=30, h=50$. माध्यक $= l + \left( \frac{N/2 - cf}{f} \right) \times h = 100 + \left( \frac{50-25}{30} \right) \times 50 = 100 + \frac{25 \times 50}{30} = 100 + 41.67 = 141.67$.
$3$. बहुलक: बहुलक वर्ग $100-150$ है $(f_1=30, f_0=15, f_2=20)$. बहुलक $= l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h = 100 + \left( \frac{30-15}{60-15-20} \right) \times 50 = 100 + \left( \frac{15}{25} \right) \times 50 = 100 + 30 = 130$.

(N/A) $1$. माध्य: वर्ग चिह्न $(x_i)$ $7.5, 12.5, 17.5, 22.5, 27.5, 32.5$ हैं। बारंबारताओं का योग $(\sum f_i)$ $100$ है। गुणनफलों का योग $(\sum f_i x_i)$ $(11 \times 7.5) + (20 \times 12.5) + (35 \times 17.5) + (20 \times 22.5) + (8 \times 27.5) + (6 \times 32.5) = 1810$ है। माध्य $= \frac{1810}{100} = 18.1$.
$2$. माध्यिका: $N/2 = 50$। संचयी बारंबारताएँ $11, 31, 66, 86, 94, 100$ हैं। माध्यिका वर्ग $15-20$ है। माध्यिका $= l + \left( \frac{N/2 - cf}{f} \right) \times h = 15 + \left( \frac{50 - 31}{35} \right) \times 5 = 17.71$.
$3$. बहुलक: बहुलक वर्ग $15-20$ है (अधिकतम बारंबारता $35$)। बहुलक $= l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h = 15 + \left( \frac{35 - 20}{70 - 40} \right) \times 5 = 17.5$.

(N/A) $1$. माध्य: कुल बारंबारता $N = 50$ है। मध्य बिंदु $(x_i)$ $35, 45, 55, 65, 75, 85, 95$ हैं। योग $\sum f_i x_i = (5 \times 35) + (7 \times 45) + (12 \times 55) + (10 \times 65) + (8 \times 75) + (6 \times 85) + (2 \times 95) = 175 + 315 + 660 + 650 + 600 + 510 + 190 = 3100$ है। माध्य $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{N} = \frac{3100}{50} = 62$ है।
$2$. माध्यिका: $N/2 = 25$ है। संचयी बारंबारताएँ $5, 12, 24, 34, 42, 48, 50$ हैं। माध्यिका वर्ग $60-70$ है। माध्यिका $= l + \left( \frac{N/2 - cf}{f} \right) \times h = 60 + \left( \frac{25 - 24}{10} \right) \times 10 = 60 + 1 = 61$ है।
$3$. बहुलक: बहुलक वर्ग $50-60$ है (अधिकतम बारंबारता $12$)। बहुलक $= l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h = 50 + \left( \frac{12 - 7}{2(12) - 7 - 10} \right) \times 10 = 50 + \left( \frac{5}{24 - 17} \right) \times 10 = 50 + \frac{50}{7} \approx 50 + 7.14 = 57.14$ है।

(D) माध्य $(\bar{x})$,माध्यक $(M)$ और बहुलक $(Z)$ के बीच का आनुभविक संबंध इस प्रकार है: $Z = 3M - 2\bar{x}$।
इस सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$Z - M = (3M - 2\bar{x}) - M$
$Z - M = 2M - 2\bar{x}$
$Z - M = 2(M - \bar{x})$
दिए गए समीकरण $Z - M = \ldots \ldots \ldots \quad (M - \bar{x})$ के साथ तुलना करने पर,लुप्त मान $2$ है।

(A) माध्य $(\bar{x})$,माध्यक $(M)$ और बहुलक $(Z)$ के बीच का आनुभविक संबंध निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$Z = 3M - 2\bar{x}$
यहाँ दिए गए मान $Z = 16$ और $M = 18$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$16 = 3(18) - 2\bar{x}$
$16 = 54 - 2\bar{x}$
$2\bar{x} = 54 - 16$
$2\bar{x} = 38$
$\bar{x} = 19$
अतः,माध्य का मान $19$ है।

(B) माध्य $(\bar{x})$,माध्यक $(M)$ और बहुलक $(Z)$ के बीच का आनुभविक संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $Z = 3M - 2\bar{x}$.
दिया गया है: $Z = 95$ और $\bar{x} = 98$.
सूत्र में मान रखने पर:
$95 = 3M - 2(98)$
$95 = 3M - 196$
$3M = 95 + 196$
$3M = 291$
$M = \frac{291}{3} = 97$.
अतः,$M$ का मान $97$ है।

(C) माध्य $(\bar{x})$,माध्यक $(M)$ और बहुलक $(Z)$ के बीच का आनुभविक संबंध निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$Z = 3M - 2\bar{x}$
दिया गया है:
$M = 62.5$
$\bar{x} = 64$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$Z = 3(62.5) - 2(64)$
$Z = 187.5 - 128$
$Z = 59.5$
अतः,$Z$ का मान $59.5$ है।

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$M + \bar{x} = 32$ --- $(1)$
$M - \bar{x} = 2$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(M + \bar{x}) + (M - \bar{x}) = 32 + 2$
$2M = 34$
$M = 17$
$M = 17$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$17 + \bar{x} = 32$
$\bar{x} = 32 - 17 = 15$
माध्य,माध्यिका और बहुलक के बीच अनुभवजन्य संबंध का उपयोग करने पर:
$Z = 3M - 2\bar{x}$
$M$ और $\bar{x}$ के मान रखने पर:
$Z = 3(17) - 2(15)$
$Z = 51 - 30$
$Z = 21$
अतः,$Z$ का मान $21$ है।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$Z + M = 108$ --- $(1)$
$Z - M = -6$ --- $(2)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(Z + M) + (Z - M) = 108 - 6$
$2Z = 102$
$Z = 51$
$Z = 51$ का मान $(1)$ में रखने पर:
$51 + M = 108$
$M = 108 - 51 = 57$
माध्य,माध्यिका और बहुलक के बीच अनुभवजन्य संबंध का उपयोग करने पर:
$\text{बहुलक }= 3 \times \text{माध्यिका }- 2 \times \text{माध्य}$
$Z = 3M - 2\bar{x}$
$51 = 3(57) - 2\bar{x}$
$51 = 171 - 2\bar{x}$
$2\bar{x} = 171 - 51$
$2\bar{x} = 120$
$\bar{x} = 60$

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$(1)$ $\bar{x} + Z = 37.5$
$(2)$ $\bar{x} - Z = 1.5$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर: $2\bar{x} = 39 \implies \bar{x} = 19.5$
$(1)$ में से $(2)$ को घटाने पर: $2Z = 36 \implies Z = 18$
माध्य,माध्यिका और बहुलक के बीच अनुभवजन्य संबंध का उपयोग करने पर: $Z = 3M - 2\bar{x}$
$18 = 3M - 2(19.5)$
$18 = 3M - 39$
$3M = 18 + 39 = 57$
$M = 57 / 3 = 19$
अतः,माध्यिका $M = 19$ है।

(C) माध्य $(\bar{x})$,माध्यिका $(M)$ और बहुलक $(Z)$ के बीच का आनुभविक संबंध सूत्र द्वारा दिया जाता है: $Z = 3M - 2\bar{x}$.
दिया गया है,$Z - M = 2$,जिसका अर्थ है $M = Z - 2$.
साथ ही,$\bar{x} = 33.5$.
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$Z = 3(Z - 2) - 2(33.5)$
$Z = 3Z - 6 - 67$
$Z = 3Z - 73$
$73 = 3Z - Z$
$73 = 2Z$
$Z = 36.5$.

(D) माध्य $(\bar{x})$, माध्यक $(M)$ और बहुलक $(Z)$ के बीच का आनुभविक संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $Z = 3M - 2\bar{x}$.
दिए गए मान $M = 15.4$ और $\bar{x} = 14.5$ हैं।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$Z = 3(15.4) - 2(14.5)$
$Z = 46.2 - 29.0$
$Z = 17.2$.
अतः, $Z$ का मान $17.2$ है।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$(1)$ $M + \bar{x} = 165$
$(2)$ $M - \bar{x} = 1$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2M = 166 \implies M = 83$
समीकरण $(1)$ में से $(2)$ को घटाने पर:
$2\bar{x} = 164 \implies \bar{x} = 82$
माध्य,माध्यक और बहुलक के बीच अनुभवजन्य संबंध का उपयोग करने पर:
$Z = 3M - 2\bar{x}$
$Z = 3(83) - 2(82)$
$Z = 249 - 164$
$Z = 85$

(B) माध्य $(\bar{x})$,माध्यिका $(M)$ और बहुलक $(Z)$ के बीच का आनुभविक संबंध सूत्र द्वारा दिया जाता है: $Z = 3M - 2\bar{x}$।
दिया गया है कि $Z - M = 12$,जिसे हम $Z = M + 12$ लिख सकते हैं।
इस मान को आनुभविक सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$M + 12 = 3M - 2\bar{x}$
$12 = 3M - M - 2\bar{x}$
$12 = 2M - 2\bar{x}$
$12 = 2(M - \bar{x})$
दोनों पक्षों को $2$ से विभाजित करने पर:
$M - \bar{x} = 6$।

(D) एक अपवर्जी वर्ग अंतराल (या सतत श्रेणी) में,निचली सीमा को वर्ग में शामिल किया जाता है,लेकिन ऊपरी सीमा को शामिल नहीं किया जाता है।
वर्ग अंतराल $30-45$ के लिए:
- निचली सीमा $30$ है,जिसे इस वर्ग में शामिल किया जाता है।
- ऊपरी सीमा $45$ है,जिसे इस वर्ग में शामिल नहीं किया जाता है और इसे अगले वर्ग अंतराल (जैसे,$45-60$) में शामिल किया जाता है।
इसलिए,मान $45$ वर्ग $30-45$ में शामिल नहीं है।

(C) माध्य $(\bar{x})$,माध्यक $(M)$ और बहुलक $(Z)$ के बीच का आनुभविक संबंध इस प्रकार है:
$Z = 3M - 2\bar{x}$
यहाँ दिए गए मान $Z = 12$ और $M = 16$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$12 = 3(16) - 2\bar{x}$
$12 = 48 - 2\bar{x}$
$\bar{x}$ के लिए समीकरण को हल करने पर:
$2\bar{x} = 48 - 12$
$2\bar{x} = 36$
$\bar{x} = \frac{36}{2}$
$\bar{x} = 18$

(D) माध्य,माध्यिका और बहुलक के बीच का आनुभविक संबंध निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$Z = 3M - 2\bar{x}$
जहाँ $Z$ बहुलक है,$M$ माध्यिका है और $\bar{x}$ माध्य है।
दिया गया है: $Z = 25$ और $\bar{x} = 19$।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$25 = 3M - 2(19)$
$25 = 3M - 38$
$3M = 25 + 38$
$3M = 63$
$M = \frac{63}{3} = 21$
अतः,माध्यिका $21$ है।

(B) माध्य,माध्यक और बहुलक के बीच का आनुभविक संबंध निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$Z = 3M - 2\bar{x}$
यहाँ $M = 72$ और $\bar{x} = 70$ दिया गया है,इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$Z = 3(72) - 2(70)$
$Z = 216 - 140$
$Z = 76$
अतः,$Z$ का मान $76$ है।

(A) हम जानते हैं कि माध्य,माध्यिका और बहुलक के बीच का आनुभविक संबंध इस प्रकार है: $Z = 3M - 2\bar{x}$.
हम इस समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$Z - M = 3M - 2\bar{x} - M$
$Z - M = 2M - 2\bar{x}$
$Z - M = 2(M - \bar{x})$
दिया गया है कि $Z - M = 4$,इसलिए इस मान को समीकरण में रखने पर:
$4 = 2(M - \bar{x})$
दोनों पक्षों को $2$ से विभाजित करने पर:
$M - \bar{x} = \frac{4}{2}$
$M - \bar{x} = 2$

(C) माध्य $(\bar{x})$,माध्यिका $(M)$ और बहुलक $(Z)$ के बीच का अनुभवजन्य संबंध सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$Z = 3M - 2\bar{x}$
दिए गए मान $Z = 36.8$ और $M = 33.6$ हैं।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$36.8 = 3(33.6) - 2\bar{x}$
$3 \times 33.6$ की गणना करने पर:
$36.8 = 100.8 - 2\bar{x}$
$\bar{x}$ के लिए समीकरण को हल करने पर:
$2\bar{x} = 100.8 - 36.8$
$2\bar{x} = 64$
$2$ से विभाजित करने पर:
$\bar{x} = \frac{64}{2} = 32$
अतः,$\bar{x}$ का मान $32$ है।

(C) हम जानते हैं कि माध्य $(\bar{x})$,माध्यिका $(M)$ और बहुलक $(Z)$ के बीच का आनुभविक संबंध इस प्रकार है: $Z = 3M - 2\bar{x}$।
दिए गए समीकरण:
$1) Z + M = 34 \implies Z = 34 - M$
$2) M + \bar{x} = 40 \implies \bar{x} = 40 - M$
इन मानों को आनुभविक सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$34 - M = 3M - 2(40 - M)$
$34 - M = 3M - 80 + 2M$
$34 - M = 5M - 80$
$34 + 80 = 5M + M$
$114 = 6M$
$M = \frac{114}{6} = 19$
अतः,$M$ का मान $19$ है।

(B) माध्य $(\bar{x})$,माध्यक $(M)$ और बहुलक $(Z)$ के बीच का आनुभविक संबंध सूत्र द्वारा दिया जाता है: $Z = 3M - 2\bar{x}$।
दिया गया है कि $\bar{x} = Z - 3$,इसलिए हम बहुलक को $Z = \bar{x} + 3$ के रूप में लिख सकते हैं।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\bar{x} + 3 = 3(22) - 2\bar{x}$
$\bar{x} + 3 = 66 - 2\bar{x}$
दोनों पक्षों में $2\bar{x}$ जोड़ने पर:
$3\bar{x} + 3 = 66$
दोनों पक्षों से $3$ घटाने पर:
$3\bar{x} = 63$
$3$ से भाग देने पर:
$\bar{x} = 21$।
अतः,माध्य $21$ है।

(A) माध्य $( \bar{x})$,माध्यिका $(M)$ और बहुलक $(Z)$ के बीच का अनुभवजन्य संबंध सूत्र द्वारा दिया जाता है: $Z = 3M - 2\bar{x}$।
दिया गया है कि $M - \bar{x} = 2$,इसलिए हम माध्य को $\bar{x} = M - 2$ के रूप में लिख सकते हैं।
इस मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$Z = 3M - 2(M - 2)$
$20.5 = 3M - 2M + 4$
$20.5 = M + 4$
$M = 20.5 - 4$
$M = 16.5$
अतः,माध्यिका $M$ का मान $16.5$ है।

(C) दिया गया संबंध $3 \bar{x} = 2 M = 60$ है।
इससे,हम माध्य $(\bar{x})$ और माध्यिका $(M)$ के मान ज्ञात कर सकते हैं:
$\bar{x} = \frac{60}{3} = 20$
$M = \frac{60}{2} = 30$
माध्य,माध्यिका और बहुलक $(Z)$ के बीच का अनुभवजन्य संबंध सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$Z = 3 M - 2 \bar{x}$
सूत्र में $M$ और $\bar{x}$ के मान रखने पर:
$Z = 3(30) - 2(20)$
$Z = 90 - 40$
$Z = 50$

(B) माध्य,माध्यिका और बहुलक के बीच का आनुभविक संबंध निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\text{बहुलक }= 3 \times \text{माध्यिका} - 2 \times \text{माध्य}$.
दिया गया है:
माध्य $(\bar{x})$ = $72.5$
माध्यिका $(M)$ = $73.9$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\text{बहुलक }= 3(73.9) - 2(72.5)$
$\text{बहुलक }= 221.7 - 145.0$
$\text{बहुलक }= 76.7$
अतः,आंकड़ों का बहुलक $76.7$ है।

(D) माध्य $( \bar{x})$,माध्यक $(M)$ और बहुलक $(Z)$ के बीच का आनुभविक संबंध इस प्रकार है: $Z = 3M - 2 \bar{x}$।
$Z - M = \ldots \times (M - \bar{x})$ में लुप्त मान ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करते हैं:
$Z = 3M - 2 \bar{x}$
दोनों पक्षों से $M$ घटाने पर:
$Z - M = 3M - 2 \bar{x} - M$
$Z - M = 2M - 2 \bar{x}$
$2$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$Z - M = 2(M - \bar{x})$
अतः,दिए गए समीकरण के साथ तुलना करने पर,लुप्त मान $2$ है।