Arithmetic progression Questions in Hindi

(D) माना कि प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है।
दिया गया है कि $p$ वाँ पद $q$ है:
$a + (p - 1)d = q$ --- $(i)$
दिया गया है कि $q$ वाँ पद $p$ है:
$a + (q - 1)d = p$ --- $(ii)$
$(i)$ में से $(ii)$ को घटाने पर:
$(a + (p - 1)d) - (a + (q - 1)d) = q - p$
$(p - 1 - q + 1)d = q - p$
$(p - q)d = -(p - q)$
$d = -1$
$d = -1$ को $(i)$ में रखने पर:
$a + (p - 1)(-1) = q$
$a - p + 1 = q$
$a = p + q - 1$
$(p + q)$ वाँ पद इस प्रकार है:
$T_{p+q} = a + (p + q - 1)d$
$T_{p+q} = (p + q - 1) + (p + q - 1)(-1)$
$T_{p+q} = p + q - 1 - p - q + 1 = 0$

(C) यहाँ $S_n = cn^2$ है।
$S_{n-1} = c(n-1)^2$.
$n$-वाँ पद $t_n = S_n - S_{n-1} = cn^2 - c(n-1)^2 = c(2n-1)$.
इन $n$ पदों के वर्गों का योग $\sum_{k=1}^{n} t_k^2 = \sum_{k=1}^{n} c^2(2k-1)^2$ है।
$= c^2 \sum_{k=1}^{n} (4k^2 - 4k + 1)$.
$= c^2 [4 \sum k^2 - 4 \sum k + \sum 1]$.
$= c^2 [4 \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 4 \frac{n(n+1)}{2} + n]$.
$= c^2 [\frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} - 2n(n+1) + n]$.
$= \frac{c^2 n}{3} [2(2n^2 + 3n + 1) - 6(n+1) + 3]$.
$= \frac{c^2 n}{3} [4n^2 + 6n + 2 - 6n - 6 + 3]$.
$= \frac{n(4n^2 - 1)c^2}{3}$.

(D) दी गई समांतर श्रेणी $3, 7, 11, \dots, 407$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 3$ और सार्व अंतर $d = 7 - 3 = 4$ है।
मान लीजिए पदों की संख्या $n$ है।
$n$ वां पद $a_n = a + (n - 1)d$ द्वारा दिया जाता है।
$407 = 3 + (n - 1)4$
$404 = (n - 1)4$
$n - 1 = 101 \implies n = 102$।
अंत से $k$ वां पद,शुरुआत से $(n - k + 1)$ वां पद होता है।
यहाँ,$k = 20$ और $n = 102$,इसलिए हमें $(102 - 20 + 1) = 83$ वां पद ज्ञात करना है।
$a_{83} = a + (83 - 1)d = 3 + 82 \times 4 = 3 + 328 = 331$।

(D) माना चार संख्याएँ समांतर श्रेणी में $A_1, A_2, A_3, A_4$ हैं।
दिया गया है $A_1 + A_4 = 8$ $(i)$ और $A_2 \times A_3 = 15$ $(ii)$.
समांतर श्रेणी में,शुरुआत और अंत से समान दूरी पर स्थित पदों का योग स्थिर होता है,इसलिए $A_1 + A_4 = A_2 + A_3 = 8$ $(iii)$.
$(ii)$ और $(iii)$ से,हमारे पास $A_2 + A_3 = 8$ और $A_2 \times A_3 = 15$ है।
$A_3 = 8 - A_2$ को गुणन समीकरण में रखने पर: $A_2(8 - A_2) = 15 \Rightarrow A_2^2 - 8A_2 + 15 = 0$.
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $(A_2 - 3)(A_2 - 5) = 0$,इसलिए $A_2 = 3$ या $A_2 = 5$.
यदि $A_2 = 3$,तो $A_3 = 5$. यदि $A_2 = 5$,तो $A_3 = 3$.
सार्व अंतर $d = A_3 - A_2 = 5 - 3 = 2$ या $3 - 5 = -2$.
स्थिति $1$: $A_2 = 3, A_3 = 5$. तो $d = 2$. $A_1 = A_2 - d = 3 - 2 = 1$ और $A_4 = A_3 + d = 5 + 2 = 7$.
अनुक्रम $1, 3, 5, 7$ है।
स्थिति $2$: $A_2 = 5, A_3 = 3$. तो $d = -2$. $A_1 = A_2 - d = 5 - (-2) = 7$ और $A_4 = A_3 + d = 3 + (-2) = 1$.
अनुक्रम $7, 5, 3, 1$ है।
दोनों स्थितियों में,सबसे छोटी संख्या $1$ है।

(A) दिया गया है कि $a_1, a_2, ..., a_{24}$ एक समांतर श्रेणी में हैं।
हम जानते हैं कि समांतर श्रेणी में शुरुआत और अंत से समान दूरी पर स्थित पदों का योग समान होता है और यह प्रथम पद तथा अंतिम पद के योग के बराबर होता है,अर्थात $a_k + a_{n-k+1} = a_1 + a_n$.
इसलिए,$a_1 + a_{24} = a_5 + a_{20} = a_{10} + a_{15}$.
दिया है $a_1 + a_5 + a_{10} + a_{15} + a_{20} + a_{24} = 225$.
इस गुणधर्म का उपयोग करने पर,$3(a_1 + a_{24}) = 225$.
अतः,$a_1 + a_{24} = 75$.
प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$ होता है।
$n = 24$ के लिए,$S_{24} = \frac{24}{2}(a_1 + a_{24}) = 12 \times 75 = 900$.

(A) दी गई श्रेणी एक समांतर श्रेणी $(AP)$ है,जिसका प्रथम पद $a = 20$ और सार्व अंतर $d = 19\frac{1}{3} - 20 = -\frac{2}{3}$ है।
चूंकि सार्व अंतर ऋणात्मक है,इसलिए कुछ पदों के बाद पद ऋणात्मक हो जाएंगे।
योग तब अधिकतम होता है जब हम केवल धनात्मक पदों को जोड़ते हैं।
मान लीजिए $n$-वां पद $t_n = a + (n-1)d$ है।
हमें $t_n \geq 0$ की आवश्यकता है,इसलिए $20 + (n-1)(-\frac{2}{3}) \geq 0$.
$20 \geq \frac{2}{3}(n-1) \implies 30 \geq n-1 \implies n \leq 31$.
अतः,पहले $31$ पद ऋणेतर हैं।
अधिकतम योग $S_{31} = \frac{31}{2} [2a + (31-1)d]$ होगा।
$S_{31} = \frac{31}{2} [2(20) + 30(-\frac{2}{3})] = \frac{31}{2} [40 - 20] = \frac{31}{2} \times 20 = 310$.

(C) माना समांतर श्रेणी का प्रथम पद $A$ और सार्व अंतर $D$ है।
$p$ वां पद $a = A + (p - 1)D$ $(i)$
$q$ वां पद $b = A + (q - 1)D$ $(ii)$
$r$ वां पद $c = A + (r - 1)D$ $(iii)$
अब,व्यंजक $E = a(q - r) + b(r - p) + c(p - q)$ पर विचार करें।
$a, b, c$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$E = [A + (p - 1)D](q - r) + [A + (q - 1)D](r - p) + [A + (r - 1)D](p - q)$
$E = A(q - r + r - p + p - q) + D[(p - 1)(q - r) + (q - 1)(r - p) + (r - 1)(p - q)]$
$E = A(0) + D[pq - pr - q + r + qr - qp - r + p + rp - rq - p + q]$
$E = 0 + D[0] = 0$.

(C) प्रथम समांतर श्रेणी $2, 5, 8, \dots$ के लिए,प्रथम पद $a_1 = 2$ और सार्व अंतर $d_1 = 3$ है। प्रथम $2n$ पदों का योग:
$S_{2n} = \frac{2n}{2} [2(2) + (2n - 1)3] = n(4 + 6n - 3) = n(6n + 1) \dots (1)$
दूसरी समांतर श्रेणी $57, 59, 61, \dots$ के लिए,प्रथम पद $a_2 = 57$ और सार्व अंतर $d_2 = 2$ है। प्रथम $n$ पदों का योग:
$S'_n = \frac{n}{2} [2(57) + (n - 1)2] = \frac{n}{2} [114 + 2n - 2] = \frac{n}{2} [2n + 112] = n(n + 56) \dots (2)$
दिया गया है कि $S_{2n} = S'_n$,इसलिए:
$n(6n + 1) = n(n + 56)$
चूँकि $n \neq 0$,$n$ से विभाजित करने पर:
$6n + 1 = n + 56$
$5n = 55$
$n = 11$

(D) माना $S_1$ प्रथम $n$ सम प्राकृतिक संख्याओं का योग है।
$S_1 = 2 + 4 + 6 + \dots + 2n$
यह एक समांतर श्रेणी है जिसमें $a = 2$,$d = 2$ और $n$ पद हैं।
$S_1 = \frac{n}{2} [2(2) + (n-1)2] = \frac{n}{2} [4 + 2n - 2] = \frac{n}{2} [2n + 2] = n(n+1)$.
माना $S_2$ प्रथम $n$ विषम प्राकृतिक संख्याओं का योग है।
$S_2 = 1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1)$
यह एक समांतर श्रेणी है जिसमें $a = 1$,$d = 2$ और $n$ पद हैं।
$S_2 = \frac{n}{2} [2(1) + (n-1)2] = \frac{n}{2} [2 + 2n - 2] = \frac{n}{2} [2n] = n^2$.
दिया गया है कि $S_1 = k \times S_2$,अतः:
$n(n+1) = k \times n^2$
$k = \frac{n(n+1)}{n^2} = \frac{n+1}{n}$.

(B) मान लीजिए कि $a$ और $b$ के बीच $n$ समांतर माध्य $A_1, A_2, \dots, A_n$ हैं।
ये $n$ पद $a$ और $b$ के साथ मिलकर $n+2$ पदों की एक समांतर श्रेणी बनाते हैं।
इन $n$ समांतर माध्यों का योग सूत्र $S = \frac{n}{2}(A_1 + A_n)$ द्वारा दिया जाता है।
समांतर श्रेणी में,शुरुआत और अंत से समान दूरी पर स्थित पदों का योग स्थिर होता है,इसलिए $A_1 + A_n = a + b$।
अतः,$n$ समांतर माध्यों का योग $S = \frac{n}{2}(a + b)$ है।

(C) माना समांतर श्रेणी का प्रथम पद $A$ और सार्व अंतर $D$ है।
अतः,पद इस प्रकार हैं:
$1/a = A + (p - 1)D \dots (1)$
$1/b = A + (q - 1)D \dots (2)$
$1/c = A + (r - 1)D \dots (3)$
$(1)$ में से $(2)$ घटाने पर: $1/a - 1/b = (p - q)D \implies (b - a)/ab = (p - q)D \implies (a - b)/ab = -(p - q)D$
इसी प्रकार,$(b - c)/bc = -(q - r)D$ और $(c - a)/ca = -(r - p)D$ प्राप्त होता है।
$ab, bc$ और $ca$ से गुणा करने पर:
$ab(p - q) = (a - b)/D$
$bc(q - r) = (b - c)/D$
$ca(r - p) = (c - a)/D$
इन समीकरणों को जोड़ने पर:
$ab(p - q) + bc(q - r) + ca(r - p) = \frac{1}{D} (a - b + b - c + c - a) = \frac{1}{D} (0) = 0$.

(D) दिया गया है कि $A = \frac{a + b}{2}$.
$a$ और $b$ के बीच $n$ समांतर माध्यों का योग $S = n \left( \frac{a + b}{2} \right)$ है।
अतः,$\frac{S}{A} = \frac{n \left( \frac{a + b}{2} \right)}{\frac{a + b}{2}} = n$.
इस प्रकार,$S/A$ केवल $n$ पर निर्भर करता है।

(A) माना दो समांतर श्रेणियों के $n$ पदों का योग $S_n$ और $S'_n$ है और उनके $11$ वें पद क्रमशः $T_{11}$ और $T'_{11}$ हैं।
$\frac{S_n}{S'_n} = \frac{\frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]}{\frac{n}{2}[2a' + (n - 1)d']} = \frac{7n + 1}{4n + 27}$
$\frac{a + \frac{n - 1}{2}d}{a' + \frac{n - 1}{2}d'} = \frac{7n + 1}{4n + 27}$
$11$ वें पद का अनुपात ज्ञात करने के लिए,हमें $\frac{a + 10d}{a' + 10d'}$ प्राप्त करना होगा।
$\frac{n - 1}{2} = 10$ रखने पर,$n - 1 = 20$,अतः $n = 21$।
$n = 21$ रखने पर:
$\frac{T_{11}}{T'_{11}} = \frac{7(21) + 1}{4(21) + 27} = \frac{147 + 1}{84 + 27} = \frac{148}{111} = \frac{4}{3}$।

(D) दिया गया है कि $n$ पदों का योग $S_n = nA + n^2B$ है।
$n = 1$ के लिए,$S_1 = A(1) + B(1)^2 = A + B$. अतः,प्रथम पद $a = S_1 = A + B$.
$n = 2$ के लिए,$S_2 = A(2) + B(2)^2 = 2A + 4B$.
दूसरा पद $a_2 = S_2 - S_1 = (2A + 4B) - (A + B) = A + 3B$.
सार्व अंतर $d = a_2 - a = (A + 3B) - (A + B) = 2B$.

(B) दिया है: प्रथम पद $= a$,अंतिम पद $= b$,सार्व अंतर $d = 1$.
$n$-वें पद का सूत्र $T_n = a + (n - 1)d$ है।
मान रखने पर,$b = a + (n - 1)(1)$ प्राप्त होता है।
$b - a = n - 1$,जिससे $n = b - a + 1$ मिलता है।
समांतर श्रेणी के योग का सूत्र $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ है,जहाँ $l$ अंतिम पद है।
$n = b - a + 1$ और $l = b$ रखने पर:
$S_n = \frac{(b - a + 1)(a + b)}{2}$.

(A) दिया गया है कि $n$ पदों का योग $S_n = 3n^2 + 4n$ है।
$n$-वां पद $a_n = S_n - S_{n-1}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$a_n = (3n^2 + 4n) - (3(n-1)^2 + 4(n-1))$.
$a_n = (3n^2 + 4n) - (3(n^2 - 2n + 1) + 4n - 4)$.
$a_n = 3n^2 + 4n - (3n^2 - 6n + 3 + 4n - 4)$.
$a_n = 3n^2 + 4n - (3n^2 - 2n - 1)$.
$a_n = 6n + 1$.
चूंकि $n$-वां पद $a_n = 6n + 1$ एक रैखिक व्यंजक है,इसलिए सार्व अंतर $d = a_n - a_{n-1} = (6n + 1) - (6(n-1) + 1) = 6$ है,जो एक स्थिरांक है।
अतः,यह अनुक्रम एक समांतर श्रेणी है।

(B) समांतर श्रेणी में,शुरुआत और अंत से समान दूरी पर स्थित पदों का योग स्थिर होता है।
$a_1 + a_{2n} = a_2 + a_{2n-1} = ... = a_n + a_{n+1} = k$
श्रेणी का प्रत्येक पद $\frac{k}{\sqrt{a_i} + \sqrt{a_{i+1}}}$ के रूप में है।
हर का परिमेयकरण करने पर: $\frac{k(\sqrt{a_i} - \sqrt{a_{i+1}})}{a_i - a_{i+1}} = \frac{k(\sqrt{a_i} - \sqrt{a_{i+1}})}{-d}$,जहाँ $d$ सार्व अंतर है।
योग $\sum_{i=1}^{n} \frac{k(\sqrt{a_i} - \sqrt{a_{i+1}})}{-d} = \frac{k}{-d} (\sqrt{a_1} - \sqrt{a_{n+1}})$ हो जाता है।
चूंकि $a_{n+1} = a_1 + nd$,इसलिए $a_1 - a_{n+1} = -nd$ प्राप्त होता है।
$k = a_1 + a_{2n}$ का मान रखने पर,व्यंजक $\frac{n(a_1 + a_{2n})}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_{n+1}}}$ में सरल हो जाता है।

(A) समांतर श्रेणी के लिए,$n$ वाँ पद $T_n = a + (n - 1)d$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 4$ और सार्व अंतर $d = 9 - 4 = 5$ है।
$15$ वाँ पद ज्ञात करने के लिए $(n = 15)$:
$T_{15} = 4 + (15 - 1) \times 5$
$T_{15} = 4 + 14 \times 5$
$T_{15} = 4 + 70 = 74$.

(B) मान लीजिए कि चतुर्भुज के चार कोण $x, x+10^{\circ}, x+20^{\circ},$ और $x+30^{\circ}$ हैं।
चूंकि चतुर्भुज के कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है,इसलिए:
$x + (x+10^{\circ}) + (x+20^{\circ}) + (x+30^{\circ}) = 360^{\circ}$
$4x + 60^{\circ} = 360^{\circ}$
$4x = 300^{\circ}$
$x = 75^{\circ}$
अतः,कोण $75^{\circ}, 85^{\circ}, 95^{\circ},$ और $105^{\circ}$ हैं।

(A) चूंकि $a, b, c$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2b = a + c$ है।
अब,व्यंजक $(a + 2b - c)(2b + c - a)(a + 2b + c)$ में $2b = a + c$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= (a + (a + c) - c)((a + c) + c - a)(a + (a + c) + c)$
$= (2a)(2c)(2a + 2c)$
$= (2a)(2c)(2(a + c))$
चूंकि $a + c = 2b$,इसलिए:
$= (2a)(2c)(2(2b))$
$= (2a)(2c)(4b) = 16abc$

(A) माना प्रथम पद $a$ है,द्वितीय पद $b$ है और अंतिम पद $c$ है।
सार्व अंतर $d = b - a$ है।
समांतर श्रेणी के $n$ वें पद का सूत्र $l = a + (n - 1)d$ है,जहाँ $l$ अंतिम पद है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $c = a + (n - 1)(b - a)$.
$n$ के लिए हल करने पर:
$c - a = (n - 1)(b - a)$
$n - 1 = \frac{c - a}{b - a}$
$n = \frac{c - a}{b - a} + 1$
$n = \frac{c - a + b - a}{b - a}$
$n = \frac{b + c - 2a}{b - a}$.

(A) समांतर श्रेणी के $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ होता है।
अंश के लिए: $a = 3, d = 2$. योग $= \frac{n}{2}[6 + (n - 1)2] = n(n + 2)$.
हर के लिए: $10$ पद,$a = 5, d = 3$. योग $= \frac{10}{2}[10 + 27] = 185$.
दिया गया है $\frac{n(n + 2)}{185} = 7$.
$n^2 + 2n = 1295$.
$n^2 + 2n - 1295 = 0$.
$(n + 37)(n - 35) = 0$.
चूँकि $n$ धनात्मक होना चाहिए,$n = 35$।

(A) दिया गया है: प्रथम पद $a = 2$,सार्व अंतर $d = 4$,और पदों की संख्या $n = 40$ है।
समांतर श्रेणी के प्रथम $n$ पदों के योग का सूत्र $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ है।
मान रखने पर:
$S_{40} = \frac{40}{2}[2(2) + (40 - 1)4]$
$S_{40} = 20[4 + 39(4)]$
$S_{40} = 20[4 + 156]$
$S_{40} = 20[160]$
$S_{40} = 3200$.

(A) माना प्रथम पद $a$ है और सार्व अंतर $d$ है।
प्रथम $n$ पदों का योगफल $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $S_{10} = 4 \times S_5$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$\frac{10}{2}[2a + 9d] = 4 \times \frac{5}{2}[2a + 4d]$
$5(2a + 9d) = 10(2a + 4d)$
$10a + 45d = 20a + 40d$
$45d - 40d = 20a - 10a$
$5d = 10a$
$\frac{a}{d} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$
अतः,अनुपात $a:d = 1:2$ है।

(B) चूंकि $a, b, c$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $a + c = 2b$ है।
दिया गया है $abc = 4$,इसलिए $ac = 4/b$ है।
धनात्मक संख्याओं $a$ और $c$ के लिए समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य $(AM-GM)$ असमिका का उपयोग करने पर:
$\frac{a + c}{2} \geq \sqrt{ac}$
मान रखने पर:
$b \geq \sqrt{\frac{4}{b}}$
$b^2 \geq \frac{4}{b}$
$b^3 \geq 4$
$b^3 \geq 2^2$
$b \geq 2^{2/3}$
अतः,$b$ का न्यूनतम संभव मान $2^{2/3}$ है।

(A) समांतर माध्य $\geq$ गुणोत्तर माध्य $(AM \geq GM)$ असमिका का उपयोग करते हुए:
$\frac{a_1 + a_2 + \dots + a_{n-1} + 2a_n}{n} \geq (a_1 \cdot a_2 \cdot \dots \cdot a_{n-1} \cdot 2a_n)^{1/n}$
दिया गया है कि गुणनफल $a_1 \cdot a_2 \cdot \dots \cdot a_n = c$ है,इसलिए:
$\frac{a_1 + a_2 + \dots + a_{n-1} + 2a_n}{n} \geq (2 \cdot a_1 \cdot a_2 \cdot \dots \cdot a_n)^{1/n}$
$\frac{a_1 + a_2 + \dots + a_{n-1} + 2a_n}{n} \geq (2c)^{1/n}$
अतः,$a_1 + a_2 + \dots + a_{n-1} + 2a_n$ का न्यूनतम मान $n(2c)^{1/n}$ है।

(A) माना समांतर श्रेणी का प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है।
$n$ वां पद $T_n = a + (n-1)d$ द्वारा दिया जाता है।
$p$ वें और $q$ वें पद के बीच का समांतर माध्य $\frac{T_p + T_q}{2} = \frac{(a + (p-1)d) + (a + (q-1)d)}{2} = a + \frac{(p+q-2)d}{2}$ है।
$r$ वें और $s$ वें पद के बीच का समांतर माध्य $\frac{T_r + T_s}{2} = \frac{(a + (r-1)d) + (a + (s-1)d)}{2} = a + \frac{(r+s-2)d}{2}$ है।
चूंकि ये माध्य बराबर हैं:
$a + \frac{(p+q-2)d}{2} = a + \frac{(r+s-2)d}{2}$.
अतः,$p + q - 2 = r + s - 2$,जिसका अर्थ है कि $p + q = r + s$.

(C) दिया गया $n$ वाँ पद $T_n = \frac{2n + 1}{3}$ है।
$n = 1$ के लिए,$a = T_1 = \frac{2(1) + 1}{3} = \frac{3}{3} = 1$।
$n = 2$ के लिए,$T_2 = \frac{2(2) + 1}{3} = \frac{5}{3}$।
सार्व अंतर $d = T_2 - T_1 = \frac{5}{3} - 1 = \frac{2}{3}$।
प्रथम $n$ पदों का योगफल $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
$n = 19$ के लिए,$S_{19} = \frac{19}{2} [2(1) + (19 - 1)(\frac{2}{3})]$।
$S_{19} = \frac{19}{2} [2 + 18 \times \frac{2}{3}] = \frac{19}{2} [2 + 12] = \frac{19}{2} \times 14 = 19 \times 7 = 133$।

(A) समांतर माध्य और गुणोत्तर माध्य के संबंध $(AM \geq GM)$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}}{3} \geq \left( \frac{a}{b} \times \frac{b}{c} \times \frac{c}{a} \right)^{1/3}$
चूँकि $\frac{a}{b} \times \frac{b}{c} \times \frac{c}{a} = 1$,इसलिए:
$\frac{\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}}{3} \geq 1^{1/3}$
$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq 3$

(B) कुल नोटों की संख्या $4500$ है।
पहले $10$ मिनट के लिए,वह प्रति मिनट $150$ नोट गिनता है,इसलिए कुल नोट $= 150 \times 10 = 1500$।
शेष नोट $= 4500 - 1500 = 3000$।
मान लीजिए पहले $10$ मिनट के बाद अतिरिक्त $n$ मिनट लगते हैं।
$11$ वें मिनट से गिने गए नोटों की श्रृंखला एक समांतर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 148$ और सार्व अंतर $d = -2$ है।
$n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]$ द्वारा दिया जाता है।
$3000 = \frac{n}{2} [2(148) + (n-1)(-2)]$.
$3000 = n(149 - n)$.
$n^2 - 149n + 3000 = 0$.
$(n - 24)(n - 125) = 0$.
यहाँ $n = 24$ लेने पर,कुल समय $= 10 + 24 = 34$ मिनट।

(C) दिया गया है $ab^2c^3 = 64$। हमें $S = \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c}$ का न्यूनतम मान ज्ञात करना है।
$AM$-$GM$ असमिका का उपयोग करते हुए:
$S = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{c} + \frac{1}{c} \geq 6 \sqrt[6]{\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b^2} \cdot \frac{1}{c^3}}$.
$S \geq 6 \sqrt[6]{\frac{1}{64}} = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$.
अतः,न्यूनतम मान $3$ है।

(B) यहाँ $1, \log_9(3^{1-x} + 2), \log_3(4 \cdot 3^x - 1)$ समांतर श्रेणी में हैं।
इसलिए,$2 \log_9(3^{1-x} + 2) = 1 + \log_3(4 \cdot 3^x - 1)$.
$\log_9 b = \frac{1}{2} \log_3 b$ का उपयोग करने पर,$2 \cdot \frac{1}{2} \log_3(3^{1-x} + 2) = \log_3 3 + \log_3(4 \cdot 3^x - 1)$.
$\log_3(3^{1-x} + 2) = \log_3(3(4 \cdot 3^x - 1))$.
$3^{1-x} + 2 = 12 \cdot 3^x - 3$.
माना $y = 3^x$. तब $\frac{3}{y} + 2 = 12y - 3$.
$12y^2 - 5y - 3 = 0$.
$(4y - 3)(3y + 1) = 0$.
चूँकि $y = 3^x > 0$,इसलिए $y = \frac{3}{4}$.
$3^x = \frac{3}{4}$.
दोनों तरफ $\log_3$ लेने पर,$x = \log_3(\frac{3}{4}) = 1 - \log_3 4$.

(C) माना कि प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है।
दिया गया है कि $m$-वाँ पद $a + (m - 1)d = 1/n$ (समीकरण $1$)।
दिया गया है कि $n$-वाँ पद $a + (n - 1)d = 1/m$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ में से समीकरण $2$ घटाने पर $(m - n)d = 1/n - 1/m = (m - n)/mn$,अतः $d = 1/(mn)$।
$d$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर: $a + (m - 1)(1/mn) = 1/n$ $\Rightarrow a + 1/n - 1/(mn) = 1/n$ $\Rightarrow a = 1/(mn)$।
प्रथम $mn$ पदों का योग $S_{mn} = \frac{mn}{2} [2a + (mn - 1)d]$ है।
$a = 1/(mn)$ और $d = 1/(mn)$ रखने पर:
$S_{mn} = \frac{mn}{2} [2(1/mn) + (mn - 1)(1/mn)] = \frac{mn}{2} [\frac{2 + mn - 1}{mn}] = \frac{mn}{2} [\frac{mn + 1}{mn}] = \frac{1}{2}(mn + 1)$।

(D) दिया गया है कि $\log_{3} 2, \log_{3} (2^{x} - 5), \log_{3} (2^{x} - \frac{7}{2})$ समांतर श्रेणी में हैं।
माना $a = 2^{x}$। पद $\log_{3} 2, \log_{3} (a - 5), \log_{3} (a - 3.5)$ हैं।
चूंकि वे समांतर श्रेणी में हैं,$2 \log_{3} (a - 5) = \log_{3} 2 + \log_{3} (a - 3.5)$।
$\log m + \log n = \log (mn)$ और $n \log m = \log (m^{n})$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$\log_{3} (a - 5)^{2} = \log_{3} [2(a - 3.5)]$।
$(a - 5)^{2} = 2a - 7$।
$a^{2} - 10a + 25 = 2a - 7$।
$a^{2} - 12a + 32 = 0$।
$(a - 8)(a - 4) = 0$।
अतः,$a = 8$ या $a = 4$।
यदि $2^{x} = 8$,तो $x = 3$।
यदि $2^{x} = 4$,तो $x = 2$।
दिए गए विकल्पों में से कोई भी सही नहीं है,इसलिए उत्तर $D$ है।

(D) माना $1$ और $31$ के बीच $m$ समांतर माध्य $x_1, x_2, \dots, x_m$ हैं।
तब $1, x_1, x_2, \dots, x_m, 31$ एक समांतर श्रेणी बनाते हैं जिसमें $(m + 2)$ पद हैं।
यहाँ,प्रथम पद $a = 1$ और अंतिम पद $T_{m+2} = 31$ है।
सूत्र $T_n = a + (n - 1)d$ का उपयोग करने पर,$31 = 1 + (m + 2 - 1)d$.
$30 = (m + 1)d \implies d = \frac{30}{m + 1}$.
$k$ वाँ समांतर माध्य $x_k = a + kd$ है।
दिया गया है कि $\frac{x_7}{x_{m-1}} = \frac{5}{9}$.
मान रखने पर: $\frac{1 + 7d}{1 + (m - 1)d} = \frac{5}{9}$.
$9(1 + 7d) = 5(1 + (m - 1)d)$.
$9 + 63d = 5 + 5(m - 1)d$.
$4 = (5m - 5 - 63)d = (5m - 68)d$.
$4 = (5m - 68) \times \frac{30}{m + 1}$.
$4(m + 1) = 30(5m - 68)$.
$4m + 4 = 150m - 2040$.
$146m = 2044$.
$m = \frac{2044}{146} = 14$.

(B) माना कि चार समांतर माध्य $A_1, A_2, A_3$ और $A_4$ हैं।
तब,$3, A_1, A_2, A_3, A_4, 23$ समांतर श्रेणी में हैं।
यहाँ,प्रथम पद $a = 3$ और $6^{th}$ पद $t_6 = 23$ है।
सूत्र $t_n = a + (n-1)d$ का उपयोग करने पर:
$23 = 3 + (6-1)d$
$23 = 3 + 5d$
$5d = 20$
$d = 4$
अब,माध्यों की गणना करने पर:
$A_1 = a + d = 3 + 4 = 7$
$A_2 = a + 2d = 3 + 8 = 11$
$A_3 = a + 3d = 3 + 12 = 15$
$A_4 = a + 4d = 3 + 16 = 19$
अतः,चार समांतर माध्य $7, 11, 15, 19$ हैं।

(C) दी गई समांतर श्रेणी में प्रथम पद $a = 2$ और सार्व अंतर $d = 5 - 2 = 3$ है।
$n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $60100 = \frac{n}{2}[2(2) + (n - 1)3]$.
$120200 = n[4 + 3n - 3]$.
$120200 = n(3n + 1)$.
$3n^2 + n - 120200 = 0$.
द्विघात सूत्र $n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$n = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(3)(-120200)}}{2(3)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1442401}}{6} = \frac{-1 \pm 1201}{6}$.
चूंकि $n > 0$,इसलिए $n = \frac{1200}{6} = 200$ प्राप्त होता है।

(D) प्रथम $n$ सम प्राकृतिक संख्याएँ $2, 4, 6, \ldots, 2n$ हैं।
इन $n$ संख्याओं का योग $S_n = 2 + 4 + 6 + \ldots + 2n = 2(1 + 2 + 3 + \ldots + n)$ है।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के योग के सूत्र का उपयोग करते हुए,$S_n = 2 \times \frac{n(n + 1)}{2} = n(n + 1)$।
समांतर माध्य $\frac{S_n}{n} = \frac{n(n + 1)}{n} = n + 1$ द्वारा प्राप्त होता है।

(B) .$P$. के प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ द्वारा दिया जाता है।
माध्य को $\frac{S_n}{n}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
माध्य $= \frac{\frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]}{n} = \frac{2a + (n - 1)d}{2}$.
माध्य $= a + \frac{(n - 1)d}{2}$.

(D) $A.P.$ के प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d]$ होता है।
दिया है $\frac{S_p}{S_q} = \frac{p^2}{q^2}$,अतः $\frac{\frac{p}{2} [2a_1 + (p-1)d]}{\frac{q}{2} [2a_1 + (q-1)d]} = \frac{p^2}{q^2}$।
सरल करने पर,$\frac{2a_1 + (p-1)d}{2a_1 + (q-1)d} = \frac{p}{q}$ प्राप्त होता है।
$\frac{a_6}{a_{21}}$ ज्ञात करने के लिए,$a_n = a_1 + (n-1)d$ का उपयोग करते हुए,$\frac{a_6}{a_{21}} = \frac{a_1 + 5d}{a_1 + 20d}$।
$\frac{p-1}{2} = 5 \Rightarrow p = 11$ और $\frac{q-1}{2} = 20 \Rightarrow q = 41$ रखने पर।
अतः,$\frac{a_6}{a_{21}} = \frac{11}{41}$।

(A) पहले $10$ मिनट में गिने गए नोट $= 150 \times 10 = 1500$.
शेष नोट $= 4500 - 1500 = 3000$.
मान लीजिए पहले $10$ मिनट के बाद $n$ मिनट लगते हैं।
$11^{th}$ मिनट से गिने गए नोटों की श्रृंखला एक $A.P.$ है जिसका प्रथम पद $a = 148$ और सार्व अंतर $d = -2$ है।
$n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ द्वारा दिया जाता है।
$3000 = \frac{n}{2}[2(148) + (n-1)(-2)]$.
$3000 = 149n - n^2$.
$n^2 - 149n + 3000 = 0$.
$(n - 24)(n - 125) = 0$.
यहाँ $n = 125$ संभव नहीं है क्योंकि नोटों की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती।
अतः,$n = 24$.
कुल समय $= 10 + 24 = 34$ मिनट।

(C) पहले तीन महीनों के लिए बचत: $200, 200, 200$। कुल = $600$।
महीना $4$ से, बचत एक समांतर श्रेणी $(AP)$ बनाती है जिसका प्रथम पद $a = 240$ और सार्व अंतर $d = 40$ है।
माना कुल महीनों की संख्या $n$ है। $AP$ में महीनों की संख्या $(n-3)$ है।
$AP$ का योग $S_{n-3} = \frac{n-3}{2} [2a + (n-3-1)d]$ है।
कुल बचत = $600 + \frac{n-3}{2} [2(240) + (n-4)40] = 11040$।
$600 + (n-3) [240 + (n-4)20] = 11040$।
$(n-3) [240 + 20n - 80] = 10440$।
$(n-3) [20n + 160] = 10440$।
$(n-3) [n + 8] = 522$।
$n^2 + 5n - 24 = 522 \implies n^2 + 5n - 546 = 0$।
द्विघात सूत्र $n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$n = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 4(1)(-546)}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{2209}}{2} = \frac{-5 \pm 47}{2}$।
धनात्मक मान लेने पर, $n = \frac{42}{2} = 21$।
अतः, $21$ महीनों के बाद कुल बचत $11040$ होगी।

(C) दिया गया समीकरण: $9(25a^2 + b^2) + 25(c^2 - 3ac) = 15b(3a + c)$
पदों का विस्तार करने पर: $225a^2 + 9b^2 + 25c^2 - 75ac = 45ab + 15bc$
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $225a^2 + 9b^2 + 25c^2 - 45ab - 15bc - 75ac = 0$
$2$ से गुणा करने पर: $450a^2 + 18b^2 + 50c^2 - 90ab - 30bc - 150ac = 0$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $(15a - 3b)^2 + (3b - 5c)^2 + (5c - 15a)^2 = 0$
वर्गों का योग शून्य होने के लिए,प्रत्येक पद को शून्य होना चाहिए:
$15a - 3b = 0$ $\Rightarrow 3b = 15a$ $\Rightarrow b = 5a$
$3b - 5c = 0 \Rightarrow 3b = 5c$
$5c - 15a = 0$ $\Rightarrow 5c = 15a$ $\Rightarrow c = 3a$
अब अनुक्रम $b, c, a$ की जाँच करें:
$b = 5a, c = 3a, a = a$
सार्व अंतर $d_1 = c - b = 3a - 5a = -2a$
सार्व अंतर $d_2 = a - c = a - 3a = -2a$
चूंकि $d_1 = d_2$,इसलिए पद $b, c, a$ $A.P.$ में हैं।

(B) दिया गया है $\sum_{k = 0}^{12} {a_{4k + 1}} = 416$। यह $A.P.$ में $13$ पदों का योग है,जिसका प्रथम पद $a_1$ और सार्व अंतर $4d$ है।
$\frac{13}{2} [2a_1 + (13-1)4d] = 416$ $\Rightarrow \frac{13}{2} [2a_1 + 48d] = 416$ $\Rightarrow a_1 + 24d = 32 \dots (1)$
दिया गया है ${a_9} + {a_{43}} = 66$ $\Rightarrow (a_1 + 8d) + (a_1 + 42d) = 66$ $\Rightarrow 2a_1 + 50d = 66$ $\Rightarrow a_1 + 25d = 33 \dots (2)$
$(2)$ में से $(1)$ घटाने पर,$d = 1$ प्राप्त होता है। $(1)$ में $d=1$ रखने पर,$a_1 + 24 = 32 \Rightarrow a_1 = 8$।
अब,$\sum_{r = 1}^{17} a_r^2 = \sum_{r = 1}^{17} [8 + (r-1)1]^2 = \sum_{r = 1}^{17} (r+7)^2 = \sum_{r = 1}^{17} (r^2 + 14r + 49) = 140m$।
योग सूत्रों का उपयोग करने पर: $n=17$ के लिए,$\frac{17 \times 18 \times 35}{6} + 14 \times \frac{17 \times 18}{2} + 49 \times 17 = 1785 + 2142 + 833 = 4760$।
$140m = 4760 \Rightarrow m = \frac{4760}{140} = 34$।

(A) दिया गया है $\frac{S_n}{S_m} = \frac{n^4}{m^4}$.
चूँकि $S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d]$,इसलिए $\frac{\frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d]}{\frac{m}{2}[2a_1 + (m-1)d]} = \frac{n^4}{m^4}$.
सरल करने पर,$\frac{2a_1 + (n-1)d}{2a_1 + (m-1)d} = \frac{n^3}{m^3}$.
इस समीकरण से $a_{m+1} = a_1 + md$ और $a_{n+1} = a_1 + nd$ का उपयोग करने पर,सही विकल्प $A$ प्राप्त होता है।

(C) माना मूल दिनों की संख्या $n$ है। कुल कार्य $150n$ मानव-दिन है।
प्रत्येक दिन श्रमिकों की संख्या एक समांतर श्रेणी $(AP)$ बनाती है जिसका प्रथम पद $a = 150$ और सार्व अंतर $d = -4$ है।
कार्य $n + 8$ दिनों में पूरा होता है।
$n + 8$ दिनों में श्रमिकों का योग $S_k = \frac{k}{2} [2a + (k - 1)d]$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k = n + 8$ है।
$S_{n+8} = \frac{n+8}{2} [2(150) + (n + 8 - 1)(-4)] = 150n$
$(n+8)(68 - n) = 75n$
$n^2 + 15n - 544 = 0$
$(n + 32)(n - 17) = 0$
चूँकि $n > 0$,इसलिए $n = 17$ है।
कुल दिनों की संख्या $17 + 8 = 25$ है।

(D) और $2b$ के बीच $m^{th}$ समांतर माध्य $A_m = a + \frac{m(2b - a)}{n + 1}$ है।
$2a$ और $b$ के बीच $m^{th}$ समांतर माध्य $A'_m = 2a + \frac{m(b - 2a)}{n + 1}$ है।
दिया गया है कि $A_m = A'_m$,इसलिए:
$a + \frac{m(2b - a)}{n + 1} = 2a + \frac{m(b - 2a)}{n + 1}$
दोनों पक्षों से $a$ घटाने पर:
$\frac{m(2b - a)}{n + 1} = a + \frac{m(b - 2a)}{n + 1}$
$(n + 1)$ से गुणा करने पर:
$m(2b - a) = a(n + 1) + m(b - 2a)$
$2bm - am = an + a + bm - 2am$
$bm = a(n - m + 1)$
अतः,अनुपात $\frac{a}{b} = \frac{m}{n - m + 1}$ है।