MHT CET 2022 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) શક્ય ઉકેલ પ્રદેશમાં બિંદુ શોધવા માટે,આપણે તપાસવું પડશે કે કયું બિંદુ આપેલી તમામ અસમતાઓનું પાલન કરે છે:
$1$) $x+y \leq 3$
$2$) $2x+5y \geq 10$
$3$) $x \geq 0, y \geq 0$
ચાલો આપેલા વિકલ્પો તપાસીએ:
વિકલ્પ $(A)$ $(2,2)$ માટે: $2+2 = 4 \not\leq 3$. (ખોટું)
વિકલ્પ $(B)$ $(4,2)$ માટે: $4+2 = 6 \not\leq 3$. (ખોટું)
વિકલ્પ $(C)$ $(1,2)$ માટે: $1+2 = 3 \leq 3$ (સાચું),$2(1)+5(2) = 2+10 = 12 \geq 10$ (સાચું),અને $1 \geq 0, 2 \geq 0$ (સાચું). (સાચું)
વિકલ્પ $(D)$ $(2,1)$ માટે: $2(2)+5(1) = 4+5 = 9 \not\geq 10$. (ખોટું)
આમ,બિંદુ $(1,2)$ તમામ અસમતાઓનું પાલન કરે છે અને શક્ય ઉકેલ પ્રદેશમાં આવેલું છે.

(B) રેખીય અવરોધો નક્કી કરવા માટે,આપણે છાયાંકિત વિસ્તાર માટે દરેક રેખા દ્વારા વ્યાખ્યાયિત અર્ધ-સમતલોનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
$1$. રેખા $3x + 4y = 18$ માટે,ઉગમબિંદુ $(0,0)$ એ $3(0) + 4(0) = 0 \leq 18$ નું પાલન કરે છે. છાયાંકિત વિસ્તારમાં આ રેખાની સાપેક્ષમાં ઉગમબિંદુ હોવાથી,અવરોધ $3x + 4y \leq 18$ છે.
$2$. રેખા $2x + 3y = 3$ માટે,ઉગમબિંદુ $(0,0)$ એ $2(0) + 3(0) = 0 \leq 3$ આપે છે. છાયાંકિત વિસ્તાર ઉગમબિંદુથી દૂરની બાજુએ હોવાથી,અવરોધ $2x + 3y \geq 3$ છે.
$3$. રેખા $x - 6y = 3$ માટે,ઉગમબિંદુ $(0,0)$ એ $0 - 0 = 0 \leq 3$ આપે છે. છાયાંકિત વિસ્તાર ઉગમબિંદુ ધરાવતી બાજુએ હોવાથી,અવરોધ $x - 6y \leq 3$ છે.
$4$. રેખા $-x + 2y = 2$ માટે,ઉગમબિંદુ $(0,0)$ એ $0 + 0 = 0 \leq 2$ આપે છે. છાયાંકિત વિસ્તાર ઉગમબિંદુ ધરાવતી બાજુએ હોવાથી,અવરોધ $-x + 2y \leq 2$ છે.
$5$. આ વિસ્તાર પ્રથમ ચરણમાં છે,તેથી $x \geq 0$ અને $y \geq 0$.
આમ,સાચો અવરોધોનો સેટ $3x + 4y \leq 18, 2x + 3y \geq 3, x - 6y \leq 3, -x + 2y \leq 2, x \geq 0, y \geq 0$ છે.

(C) નિશ્ચાયકની કોઈપણ હાર (અથવા સ્તંભ) ના ઘટકોનો તેમના અનુરૂપ સહઅવયવો સાથેનો ગુણાકારનો સરવાળો નિશ્ચાયકના મૂલ્ય જેટલો હોય છે. જો કે,એક હારના ઘટકોનો બીજી હારના સહઅવયવો સાથેનો ગુણાકારનો સરવાળો હંમેશા શૂન્ય થાય છે.
ચોક્કસ રીતે,શ્રેણિક $A$ માટે,ગુણધર્મ જણાવે છે કે $a_{i1}A_{j1} + a_{i2}A_{j2} + a_{i3}A_{j3} = 0$ જ્યારે $i \neq j$ હોય.
અહીં,આપણે $A_{31} + A_{32} + A_{33}$ શોધવાનું છે.
શ્રેણિક $A$ ના નિશ્ચાયકને પ્રથમ હારની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$|A| = a_{11}A_{11} + a_{12}A_{12} + a_{13}A_{13}$.
હવે,પદ $a_{11}A_{31} + a_{12}A_{32} + a_{13}A_{33}$ ને ધ્યાનમાં લો. આ પ્રથમ હારના ઘટકોનો ત્રીજી હારના સહઅવયવો સાથેનો ગુણાકારનો સરવાળો હોવાથી,આ સરવાળો $0$ થવો જોઈએ.
શ્રેણિક $A$ માંથી $a_{11} = 1$,$a_{12} = 1$,અને $a_{13} = 1$ ની કિંમતો મૂકતા:
$1 \cdot A_{31} + 1 \cdot A_{32} + 1 \cdot A_{33} = 0$
તેથી,$A_{31} + A_{32} + A_{33} = 0$.

(C) ધારો કે $P = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$ અને $Q = \begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 5 & -3 \end{bmatrix}$. સમીકરણ $PAQ = I$ છે,જ્યાં $I$ એ એકમ શ્રેણિક છે.
તેથી $A = P^{-1} I Q^{-1} = P^{-1} Q^{-1} = (QP)^{-1}$.
પ્રથમ,$QP$ ની ગણતરી કરો:
$QP = \begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 5 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (-3)(2) + (2)(3) & (-3)(1) + (2)(2) \\ (5)(2) + (-3)(3) & (5)(1) + (-3)(2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$.
હવે,$A = (QP)^{-1}$ શોધો. નિશ્ચાયક $|QP| = (0)(-1) - (1)(1) = -1$.
$A = \frac{1}{-1} \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$.

(D) આપેલ શ્રેણિક સમીકરણ નીચે મુજબના સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને સમાન છે:
$x + y + z = 0$ $\dots (i)$
$x - 2y - 2z = 3$ $\dots (ii)$
$x + 3y + z = 4$ $\dots (iii)$
સમીકરણ $(iii)$ માંથી સમીકરણ $(i)$ બાદ કરતા:
$(x + 3y + z) - (x + y + z) = 4 - 0$
$2y = 4 \implies y = 2$
$y = 2$ ને સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ માં મૂકતા:
$x + 2 + z = 0 \implies x + z = -2$ $\dots (iv)$
$x - 2(2) - 2z = 3 \implies x - 2z = 7$ $\dots (v)$
સમીકરણ $(iv)$ માંથી સમીકરણ $(v)$ બાદ કરતા:
$(x + z) - (x - 2z) = -2 - 7$
$3z = -9 \implies z = -3$
$z = -3$ ને સમીકરણ $(iv)$ માં મૂકતા:
$x - 3 = -2 \implies x = 1$
હવે,$2x - y + z$ ની કિંમત શોધીએ:
$2(1) - 2 + (-3) = 2 - 2 - 3 = -3$

(B) આપેલ છે કે $AX=I$,તેથી $X=A^{-1}$.
$2 \times 2$ શ્રેણિક $A=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ માટે,વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1}=\frac{1}{|A|}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $|A|=ad-bc$.
અહીં,$|A|=(1)(3)-(2)(4)=3-8=-5$.
તેથી,$X=A^{-1}=\frac{1}{-5}\begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 1 \end{bmatrix}$.
$-1$ વડે ગુણતા,આપણને $X=\frac{1}{5}\begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 4 & -1 \end{bmatrix}$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $(A-2I)(A-4I)=0$
ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા: $A^2 - 4A - 2A + 8I = 0$
આનું સાદું રૂપ: $A^2 - 6A + 8I = 0$
પદોને ગોઠવતા: $A^2 + 8I = 6A$
બંને બાજુ $A^{-1}$ વડે ગુણતા (કારણ કે $A$ નોન-સિંગ્યુલર છે,તેથી $A^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે):
$(A^2 + 8I)A^{-1} = 6A A^{-1}$
$A^2 A^{-1} + 8I A^{-1} = 6I$
$A + 8A^{-1} = 6I$
આખા સમીકરણને $6$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{6}A + \frac{8}{6}A^{-1} = \frac{6}{6}I$
$\frac{1}{6}A + \frac{4}{3}A^{-1} = I$

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $n$ કક્ષાના કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,ગુણધર્મ $A(\operatorname{adj} A) = |A| I$ સાચો છે.
આપેલ છે કે $A(\operatorname{adj} A) = K I$,તેથી બંને પદોની સરખામણી કરતા આપણને $K = |A|$ મળે છે.
હવે,આપણે $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = 1(0 - (-25)) - 3(0 - (-10)) - 2(-15 - 0)$
$|A| = 1(25) - 3(10) - 2(-15)$
$|A| = 25 - 30 + 30 = 25$.
આમ,$K$ ની કિંમત $25$ છે.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -4 & 1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^2 = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -4 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -4 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4+12 & -6-3 \\ -8-4 & 12+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 16 & -9 \\ -12 & 13 \end{bmatrix}$ શોધો.
હવે,$3A^2 + 12A = 3 \begin{bmatrix} 16 & -9 \\ -12 & 13 \end{bmatrix} + 12 \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -4 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 48 & -27 \\ -36 & 39 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 24 & -36 \\ -48 & 12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 72 & -63 \\ -84 & 51 \end{bmatrix}$.
$2 \times 2$ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ નો એડજોઈન્ટ (adj) $\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ થાય છે.
તેથી,$\text{adj}\begin{bmatrix} 72 & -63 \\ -84 & 51 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 51 & 63 \\ 84 & 72 \end{bmatrix}$.

(C) શ્રેણિકના ગુણધર્મ મુજબ $A \cdot (\text{adj } A) = |A| I$,જ્યાં $I$ એ $3 \times 3$ કક્ષાનો એકમ શ્રેણિક છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = x(yz - 8) - 3(z - 8) + 2(2 - 2y)$
$|A| = xyz - 8x - 3z + 24 + 4 - 4y$
$|A| = xyz - (8x + 4y + 3z) + 28$
આપેલ કિંમતો $xyz = 60$ અને $8x + 4y + 3z = 20$ મૂકતા:
$|A| = 60 - 20 + 28 = 68$
તેથી,$A \cdot (\text{adj } A) = 68 I = \begin{bmatrix} 68 & 0 & 0 \\ 0 & 68 & 0 \\ 0 & 0 & 68 \end{bmatrix}$.

(B) શ્રેણિક $A$ નો એડજોઈન્ટ (adj) એ કોફેક્ટર શ્રેણિકનો ટ્રાન્સપોઝ છે. કોફેક્ટર $C_{ij}$ એ $(-1)^{i+j} M_{ij}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ શ્રેણિક $A = \left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \\ 3 & 3 & -4\end{array}\right]$ માટે,આપણે એડજોઈન્ટ શ્રેણિકની બીજી અને ત્રીજી હાર માટે કોફેક્ટરની ગણતરી કરીએ છીએ.
ખાસ કરીને,$\operatorname{adj} A$ માં સ્થાન $(2, 3)$ પરના ઘટક માટે,આપણને કોફેક્ટર $C_{32}$ ની જરૂર છે:
$C_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = -1(0 - 2) = 2$. તેથી,$a = 2$.
$\operatorname{adj} A$ માં સ્થાન $(3, 3)$ પરના ઘટક માટે,આપણને કોફેક્ટર $C_{33}$ ની જરૂર છે:
$C_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 1(-1 - (-2)) = 1$. તેથી,$b = 1$.
આમ,$a = 2$ અને $b = 1$ મળે છે.

(A) પગલું $1$: $A$ નો નિશ્ચાયક શોધો.
$|A| = 1(6 - (-3)) - (-1)(0 - (-6)) + 1(0 - 4) = 1(9) + 1(6) + 1(-4) = 9 + 6 - 4 = 11$.
પગલું $2$: ગુણધર્મ $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$ નો ઉપયોગ કરો. જ્યાં $n=3$, $|B| = |\operatorname{adj} A| = |A|^{3-1} = |A|^2 = 11^2 = 121$.
પગલું $3$: $|\operatorname{adj} B|$ ની ગણતરી કરો. ગુણધર્મ $|\operatorname{adj} B| = |B|^{n-1} = |B|^2 = (121)^2 = (11^2)^2 = 11^4$ નો ઉપયોગ કરીને.
પગલું $4$: ગુણોત્તર $\frac{|\operatorname{adj} B|}{|A|^4} = \frac{11^4}{11^4} = 1$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -4 & 1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^2 = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -4 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -4 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4-12 & 6+3 \\ -8-4 & -12+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -8 & 9 \\ -12 & -11 \end{bmatrix}$ ગણો.
હવે,$3A^2 + 12A = 3 \begin{bmatrix} -8 & 9 \\ -12 & -11 \end{bmatrix} + 12 \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -4 & 1 \end{bmatrix}$ ગણો.
$= \begin{bmatrix} -24 & 27 \\ -36 & -33 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 24 & 36 \\ -48 & 12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 63 \\ -84 & -21 \end{bmatrix}$.
ધારો કે $M = \begin{bmatrix} 0 & 63 \\ -84 & -21 \end{bmatrix}$.
$2 \times 2$ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ નો એડજોઈન્ટ (adj) $\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ થાય છે.
તેથી,$\text{adj}(M) = \begin{bmatrix} -21 & -63 \\ 84 & 0 \end{bmatrix}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે શ્રેણિક $A$ નો વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1} = \frac{\operatorname{adj}(A)}{|A|}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આના પરથી,આપણે $A$ નો એડજોઈન્ટ $\operatorname{adj}(A) = |A| \cdot A^{-1}$ તરીકે લખી શકીએ.
આપેલ છે કે $|A| = -3$ અને $A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & \frac{1}{3} & 0 \\ 3 & \frac{2}{3} & -1 \end{bmatrix}$.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\operatorname{adj}(A) = -3 \times \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & \frac{1}{3} & 0 \\ 3 & \frac{2}{3} & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 \times 1 & -3 \times 0 & -3 \times 0 \\ -3 \times (-1) & -3 \times \frac{1}{3} & -3 \times 0 \\ -3 \times 3 & -3 \times \frac{2}{3} & -3 \times (-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 & 0 & 0 \\ 3 & -1 & 0 \\ -9 & -2 & 3 \end{bmatrix}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 4 & 1 \end{bmatrix}$ છે.
$2 \times 2$ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ નો એડજોઈન્ટ (adj) શોધવા માટે,આપણે વિકર્ણના ઘટકો $a$ અને $d$ ની અદલાબદલી કરીએ છીએ અને બાકીના ઘટકો $b$ અને $c$ ના ચિહ્નો બદલીએ છીએ.
તેથી,$\operatorname{adj}(A) = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ -4 & 2 \end{bmatrix}$.
હવે,$A + \operatorname{adj}(A)$ ની ગણતરી કરીએ:
$A + \operatorname{adj}(A) = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 4 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ -4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2+1 & -3+3 \\ 4-4 & 1+2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$.

(B) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 6 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 5 \end{bmatrix}$. શ્રેણિક $A$ નો વ્યસ્ત $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,આપણે નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરીએ:
$|A| = 3(1 \times 5 - 2 \times 2) - 2(1 \times 5 - 2 \times 2) + 6(1 \times 2 - 1 \times 2)$
$|A| = 3(5 - 4) - 2(5 - 4) + 6(2 - 2) = 3(1) - 2(1) + 6(0) = 3 - 2 = 1$.
$A^{-1}$ ની ત્રીજી હાર અને બીજા સ્તંભનો ઘટક $(A^{-1})_{32} = \frac{C_{23}}{|A|}$ છે,જ્યાં $C_{23}$ એ શ્રેણિક $A$ ના બીજા હાર અને ત્રીજા સ્તંભના ઘટકનો સહઅવયવ છે.
સહઅવયવ $C_{23} = (-1)^{2+3} \times M_{23}$,જ્યાં $M_{23}$ એ $(2,3)$ સ્થાન પરના ઘટકનો ઉપનિશ્ચાયક છે.
$M_{23} = \det \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} = (3 \times 2) - (2 \times 2) = 6 - 4 = 2$.
તેથી,$C_{23} = (-1)^5 \times 2 = -2$.
આમ,$(A^{-1})_{32} = \frac{-2}{1} = -2$.

(C) શ્રેણિક $A$ વિસંમિત (skew-symmetric) હોવા માટે,તેણે $A^T = -A$ નું પાલન કરવું આવશ્યક છે.
આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 0 & 1+2i & i-2 \\ -1-2i & 0 & K \\ 2-i & -7 & 0 \end{bmatrix}$ છે.
ઘટકો $A_{ij} = -A_{ji}$ ની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈએ છીએ કે:
$A_{12} = 1+2i$ અને $A_{21} = -1-2i = -(1+2i)$,જે સુસંગત છે.
$A_{13} = i-2$ અને $A_{31} = 2-i = -(i-2)$,જે સુસંગત છે.
$A_{23} = K$ અને $A_{32} = -7$.
વિસંમિતતા માટે,$A_{23} = -A_{32}$ હોવું જોઈએ,તેથી $K = -(-7) = 7$.
જોકે,પ્રશ્નમાં આપેલ છે કે $A^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી,જેનો અર્થ છે કે $\det(A) = 0$.
એકી કક્ષાના $(3 \times 3)$ વિસંમિત શ્રેણિક માટે,નિશ્ચાયક હંમેશા $0$ હોય છે.
આમ,$A^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી તેવી શરત કોઈપણ $K$ માટે સંતોષાય છે જે શ્રેણિકને વિસંમિત બનાવે છે.
તેથી,$K = 7$.

(D) સૌ પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરો:
$|A| = 1(3 \times 3 - 4 \times 4) - 2(1 \times 3 - 4 \times 3) + 3(1 \times 4 - 3 \times 3)$
$|A| = 1(9 - 16) - 2(3 - 12) + 3(4 - 9)$
$|A| = 1(-7) - 2(-9) + 3(-5) = -7 + 18 - 15 = -4$.
ત્યારબાદ,સહઅવયવ શ્રેણિક $C_{ij}$ શોધો:
$C_{11} = +(9-16) = -7, C_{12} = -(3-12) = 9, C_{13} = +(4-9) = -5$
$C_{21} = -(6-12) = 6, C_{22} = +(3-9) = -6, C_{23} = -(4-6) = 2$
$C_{31} = +(8-9) = -1, C_{32} = -(4-3) = -1, C_{33} = +(3-2) = 1$
આમ,$\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} -7 & 6 & -1 \\ 9 & -6 & -1 \\ -5 & 2 & 1 \end{bmatrix}$.
અંતે,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{-4} \begin{bmatrix} -7 & 6 & -1 \\ 9 & -6 & -1 \\ -5 & 2 & 1 \end{bmatrix} = -\frac{1}{4} \begin{bmatrix} -7 & 6 & -1 \\ 9 & -6 & -1 \\ -5 & 2 & 1 \end{bmatrix}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $A \times A^{-1} = I$,જ્યાં $I$ એ એકમ શ્રેણિક છે.
નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરતા:
$|A| = 1(7 - 20) - a(7 - 10) + 3(4 - 2) = -13 + 3a + 6 = 3a - 7$.
ગુણધર્મ $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ નો ઉપયોગ કરીને,$A^{-1}$ ના $(2, 1)$ સ્થાન પરનો ઘટક $-3$ છે.
$A$ નો સહઅવયવ $C_{12} = -(1 \times 7 - 5 \times 2) = -(7 - 10) = 3$.
$(A^{-1})_{21} = \frac{C_{12}}{|A|}$ હોવાથી,$-3 = \frac{3}{3a - 7}$.
$-3(3a - 7) = 3 \Rightarrow -9a + 21 = 3 \Rightarrow 9a = 18 \Rightarrow a = 2$.
હવે,$b$ માટે,જે $A^{-1}$ ના $(2, 2)$ સ્થાન પરનો ઘટક છે:
$(A^{-1})_{22} = \frac{C_{22}}{|A|}$.
સહઅવયવ $C_{22} = (1 \times 7 - 3 \times 2) = 7 - 6 = 1$.
$b = \frac{1}{3(2) - 7} = \frac{1}{6 - 7} = -1$.
આમ,$a = 2$ અને $b = -1$.

(A) પગલું $1$: ગુણાકાર $AB$ શોધો.
$AB = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1)(2) + (2)(1) + (1)(1) & (1)(3) + (2)(2) + (1)(2) \\ (3)(2) + (1)(1) + (3)(1) & (3)(3) + (1)(2) + (3)(2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 9 \\ 10 & 17 \end{bmatrix}$.
પગલું $2$: $AB$ નો નિશ્ચાયક શોધો.
$|AB| = (5)(17) - (9)(10) = 85 - 90 = -5$.
પગલું $3$: વ્યસ્ત શ્રેણિક $(AB)^{-1} = \frac{1}{|AB|} \text{adj}(AB)$ શોધો.
$(AB)^{-1} = \frac{1}{-5} \begin{bmatrix} 17 & -9 \\ -10 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{-17}{5} & \frac{9}{5} \\ 2 & -1 \end{bmatrix}$.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,આપણે $A^2 = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & 8 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ શોધીએ.
ત્યારબાદ,$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix} 9 & 8 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 27 & 26 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(A^{-1})^3 = (A^3)^{-1}$.
શ્રેણિક $M = \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & d \end{bmatrix}$ માટે,$M^{-1} = \frac{1}{ad} \begin{bmatrix} d & -b \\ 0 & a \end{bmatrix}$ થાય.
અહીં,$A^3 = \begin{bmatrix} 27 & 26 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ છે,તેથી $a=27, b=26, d=1$.
$(A^3)^{-1} = \frac{1}{27 \times 1} \begin{bmatrix} 1 & -26 \\ 0 & 27 \end{bmatrix} = \frac{1}{27} \begin{bmatrix} 1 & -26 \\ 0 & 27 \end{bmatrix}$.

(C) આપેલ સમીકરણ $A^2 - 4A + 3I = 0$ છે.
બંને બાજુથી $3I$ બાદ કરતા: $A^2 - 4A = -3I$.
બંને બાજુ $A^{-1}$ વડે ગુણતા: $A^{-1}(A^2 - 4A) = A^{-1}(-3I)$.
આનું સાદું રૂપ $A - 4I = -3A^{-1}$ થાય છે.
તેથી,$A^{-1} = -\frac{1}{3}(A - 4I) = \frac{1}{3}(4I - A)$.
$A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$ અને $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ ની કિંમત મૂકતા:
$A^{-1} = \frac{1}{3} \left( \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \right) = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 5 & -7 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A| = (2)(-7) - (-3)(5) = -14 + 15 = 1$ શોધો.
$2 \times 2$ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ નો વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ છે.
તેથી,$A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} -7 & 3 \\ -5 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 & 3 \\ -5 & 2 \end{bmatrix}$.
હવે,$A - A^{-1} = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 5 & -7 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -7 & 3 \\ -5 & 2 \end{bmatrix}$ ની ગણતરી કરો.
$A - A^{-1} = \begin{bmatrix} 2 - (-7) & -3 - 3 \\ 5 - (-5) & -7 - 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & -6 \\ 10 & -9 \end{bmatrix}$.
$3$ સામાન્ય લેતા,આપણને $3 \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ \frac{10}{3} & -3 \end{bmatrix}$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}$. નિશ્ચાયક $|A| = (1)(5) - (2)(3) = 5 - 6 = -1$.
$|A| \neq 0$ હોવાથી $A^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{-1} \begin{bmatrix} 5 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 & 2 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}$.
આપેલ સમીકરણ $A^{-1} = \alpha I + \beta A$ મુજબ:
$\begin{bmatrix} -5 & 2 \\ 3 & -1 \end{bmatrix} = \alpha \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + \beta \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \alpha + \beta & 2\beta \\ 3\beta & \alpha + 5\beta \end{bmatrix}$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$2\beta = 2 \Rightarrow \beta = 1$.
$\alpha + \beta = -5 \Rightarrow \alpha + 1 = -5 \Rightarrow \alpha = -6$.
ચકાસણી: $3\beta = 3(1) = 3$ (સાચું) અને $\alpha + 5\beta = -6 + 5(1) = -1$ (સાચું).
તેથી,$\alpha + \beta + \alpha\beta = -6 + 1 + (-6)(1) = -5 - 6 = -11$.

(B) આપેલ છે કે $(BA)^{-1} = C$.
વ્યસ્ત શ્રેણિકના ગુણધર્મ $(BA)^{-1} = A^{-1}B^{-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $A^{-1}B^{-1} = C$ મળે છે.
બંને બાજુ જમણી બાજુએ $B$ વડે ગુણતા,$A^{-1}B^{-1}B = CB$ મળે છે.
$B^{-1}B = I$ હોવાથી,$A^{-1} = CB$ થાય.
હવે,$CB$ નો ગુણાકાર કરીએ:
$A^{-1} = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 6 & 4 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \end{bmatrix}$
$A^{-1} = \begin{bmatrix} -3 & -5 & -5 \\ 0 & 9 & 2 \\ 2 & 14 & 6 \end{bmatrix}$

(D) શરત $\omega^{r_1}+\omega^{r_2}+\omega^{r_3}=0$ ત્યારે જ સંતોષાય છે જો ${r_1, r_2, r_3}$ ને $3$ વડે ભાગતા મળતી શેષનો ગણ ${0, 1, 2}$ હોય.
પાસા માટે,$n_0 = 2$ (સંખ્યાઓ $3, 6$),$n_1 = 2$ (સંખ્યાઓ $1, 4$),અને $n_2 = 2$ (સંખ્યાઓ $2, 5$).
શેષ $0, 1, 2$ મળવાની સંભાવના $P(0) = \frac{1}{3}, P(1) = \frac{1}{3}, P(2) = \frac{1}{3}$ છે.
$\omega^{r_1}+\omega^{r_2}+\omega^{r_3}=0$ માટે,શેષ એ $(0, 1, 2)$ ના ક્રમચયો હોવા જોઈએ.
આવા કુલ $3! = 6$ ક્રમચયો મળે.
તેથી સંભાવના $6 \times (\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3}) = \frac{6}{27} = \frac{2}{9}$ થાય.

(C) આ દ્વિપદી વિતરણનો પ્રશ્ન છે જ્યાં $n = 5$ અને $p = 0.1$ (અથવા $\frac{1}{10}$),તેથી $q = 1 - p = 0.9$ (અથવા $\frac{9}{10}$).
આપણે $P(X \ge 3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)$ શોધવાની જરૂર છે.
સૂત્ર $P(X=k) = {}^nC_k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X=3) = {}^5C_3 \cdot (\frac{1}{10})^3 \cdot (\frac{9}{10})^2 = 10 \cdot \frac{1}{1000} \cdot \frac{81}{100} = \frac{810}{100000} = 0.00810$
$P(X=4) = {}^5C_4 \cdot (\frac{1}{10})^4 \cdot (\frac{9}{10})^1 = 5 \cdot \frac{1}{10000} \cdot \frac{9}{10} = \frac{45}{100000} = 0.00045$
$P(X=5) = {}^5C_5 \cdot (\frac{1}{10})^5 \cdot (\frac{9}{10})^0 = 1 \cdot \frac{1}{100000} \cdot 1 = \frac{1}{100000} = 0.00001$
આ સંભાવનાઓનો સરવાળો: $0.00810 + 0.00045 + 0.00001 = 0.00856$.

(A) આપેલ સમીકરણ $P(A') + P(B') P(A \cup B) = 0.7$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A') = 1 - P(A)$ અને $P(B') = 1 - P(B)$.
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P(A) + P(B) = P(A \cup B) + P(A \cap B)$ મળે.
તેથી,$P(A') + P(B') = 2 - (P(A) + P(B)) = 2 - (P(A \cup B) + P(A \cap B))$.
અહીં $P(A \cap B) = 0.2$ અને $P(A \cup B) = 0.7$ લેતા:
$P(A') + P(B') = 2 - (0.7 + 0.2) = 2 - 0.9 = 1.1$.

(B) ધારો કે $S_1$ એ પ્રથમ કબાટ પસંદ કરવાની ઘટના છે અને $S_2$ એ બીજા કબાટ પસંદ કરવાની ઘટના છે. કબાટ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે,તેથી $P(S_1) = P(S_2) = \frac{1}{2}$.
ધારો કે $P$ એ ભૌતિકવિજ્ઞાનનું પુસ્તક પસંદ કરવાની ઘટના છે.
પ્રથમ કબાટમાંથી ભૌતિકવિજ્ઞાનનું પુસ્તક પસંદ કરવાની સંભાવના $P(P|S_1) = \frac{5}{5+3} = \frac{5}{8}$ છે.
બીજા કબાટમાંથી ભૌતિકવિજ્ઞાનનું પુસ્તક પસંદ કરવાની સંભાવના $P(P|S_2) = \frac{4}{4+2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ છે.
કુલ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,જરૂરી સંભાવના:
$P(P) = P(S_1) \cdot P(P|S_1) + P(S_2) \cdot P(P|S_2)$
$P(P) = \left(\frac{1}{2} \times \frac{5}{8}\right) + \left(\frac{1}{2} \times \frac{2}{3}\right)$
$P(P) = \frac{5}{16} + \frac{1}{3} = \frac{15+16}{48} = \frac{31}{48}$.

(B) ધારો કે $S$ એ $50$ ટિકિટોનો નિદર્શાવકાશ છે: $S = \{00, 01, 02, \ldots, 49\}$,તેથી $n(S) = 50$.
ધારો કે $E_1$ એ ઘટના છે કે અંકોનો સરવાળો $8$ છે: $E_1 = \{08, 17, 26, 35, 44\}$,તેથી $n(E_1) = 5$.
ધારો કે $E_2$ એ ઘટના છે કે અંકોનો ગુણાકાર શૂન્ય છે. આ ત્યારે થાય છે જ્યારે ઓછામાં ઓછો એક અંક $0$ હોય: $E_2 = \{00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 20, 30, 40\}$,તેથી $n(E_2) = 14$.
છેદગણ $E_1 \cap E_2$ એ ટિકિટોનો સમૂહ છે જ્યાં સરવાળો $8$ અને ગુણાકાર $0$ છે: $E_1 \cap E_2 = \{08\}$,તેથી $n(E_1 \cap E_2) = 1$.
શરતી સંભાવના $P(E_1 | E_2) = \frac{n(E_1 \cap E_2)}{n(E_2)} = \frac{1}{14}$ છે.

(A) ધારો કે $p$ એ એક ફેંકમાં છ (six) મેળવવાની સંભાવના છે,તેથી $p = \frac{1}{6}$.
ધારો કે $q$ એ છ (six) ન મેળવવાની સંભાવના છે,તેથી $q = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
$X$ એ બે ફેંકમાં છ (six) ની સંખ્યા દર્શાવે છે. $X$ ની કિંમતો $0, 1, 2$ હોઈ શકે છે.
$P(X = 0) = P(\text{કોઈ છ નથી}) = q \times q = \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{25}{36}$.
$P(X = 1) = P(\text{એક છ}) = pq + qp = \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} + \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{5}{36} + \frac{5}{36} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$.
$P(X = 2) = P(\text{બે છ}) = p \times p = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$.
આમ,સંભાવના વિતરણ નીચે મુજબ છે:

$X = x_i$	$0$	$1$	$2$
$P(x_i)$	$\frac{25}{36}$	$\frac{5}{18}$	$\frac{1}{36}$

(D) સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ:
$\sum P(X=x) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 1$
$\frac{c}{1^3} + \frac{c}{2^3} + \frac{c}{3^3} = 1$
$c \left( 1 + \frac{1}{8} + \frac{1}{27} \right) = 1$
$c \left( \frac{216 + 27 + 8}{216} \right) = 1$
$c \left( \frac{251}{216} \right) = 1 \implies c = \frac{216}{251}$
હવે,અપેક્ષિત મૂલ્ય $E(X) = \sum x \cdot P(X=x)$:
$E(X) = 1 \cdot \frac{c}{1^3} + 2 \cdot \frac{c}{2^3} + 3 \cdot \frac{c}{3^3}$
$E(X) = c \left( 1 + \frac{2}{8} + \frac{3}{27} \right) = c \left( 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} \right)$
$E(X) = c \left( \frac{36 + 9 + 4}{36} \right) = c \left( \frac{49}{36} \right)$
$c = \frac{216}{251}$ મૂકતા:
$E(X) = \frac{216}{251} \times \frac{49}{36} = 6 \times \frac{49}{251} = \frac{294}{251}$

(A) થેલીમાં કુલ દડાની સંખ્યા $5 + 3 = 8$ છે.
આપણે બદલ્યા વગર બે પ્રયત્નોમાં એક લાલ અને એક લીલો દડો પસંદ કરવાની સંભાવના શોધવાની છે.
આ બે રીતે થઈ શકે છે: (લાલ પછી લીલો) અથવા (લીલો પછી લાલ).
$\text{જરૂરી સંભાવના} = P(R_1 \cap G_2) + P(G_1 \cap R_2)$
$= P(R_1) \cdot P(G_2 | R_1) + P(G_1) \cdot P(R_2 | G_1)$
$= \left(\frac{5}{8} \cdot \frac{3}{7}\right) + \left(\frac{3}{8} \cdot \frac{5}{7}\right)$
$= \frac{15}{56} + \frac{15}{56}$
$= \frac{30}{56} = \frac{15}{28}$

(C) ધારો કે $X$ એ $2$ પ્રયત્નોમાં મળતા રાજાઓની સંખ્યા દર્શાવે છે. પત્તા બદલી સાથે (with replacement) ખેંચવામાં આવતા હોવાથી,આ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે જ્યાં $n = 2$.
એક પત્તું ખેંચતા રાજા મળવાની સંભાવના $p = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ છે.
રાજા ન મળવાની સંભાવના $q = 1 - p = \frac{12}{13}$ છે.
દ્વિપદી વિતરણનો મધ્યક $E[X] = np$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
મધ્યક $= 2 \times \frac{1}{13} = \frac{2}{13}$.

(D) કુલ દડાની સંખ્યા $= 4 + 3 = 7$.
કાળો દડો નીકળવાની સંભાવના,$p = \frac{3}{7}$.
લાલ દડો (કાળો નહીં) નીકળવાની સંભાવના,$q = 1 - p = 1 - \frac{3}{7} = \frac{4}{7}$.
દડો પાછો મૂકવામાં આવતો હોવાથી,પ્રયત્નો સ્વતંત્ર છે અને આપણે દ્વિપદી વિતરણ $P(X = x) = {}^nC_x p^x q^{n-x}$ નો ઉપયોગ કરીશું,જ્યાં $n = 3$.
$X = 0$ માટે: $P(X = 0) = {}^3C_0 (\frac{3}{7})^0 (\frac{4}{7})^3 = (\frac{4}{7})^3$.
$X = 1$ માટે: $P(X = 1) = {}^3C_1 (\frac{3}{7})^1 (\frac{4}{7})^2 = 3 \times \frac{3}{7} \times (\frac{4}{7})^2 = \frac{9}{7} (\frac{4}{7})^2$.
$X = 2$ માટે: $P(X = 2) = {}^3C_2 (\frac{3}{7})^2 (\frac{4}{7})^1 = 3 \times (\frac{3}{7})^2 \times \frac{4}{7} = \frac{12}{7} (\frac{3}{7})^2$.
$X = 3$ માટે: $P(X = 3) = {}^3C_3 (\frac{3}{7})^3 (\frac{4}{7})^0 = (\frac{3}{7})^3$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $D$ ગણતરી કરેલા વિતરણ સાથે મેળ ખાય છે.

(A) આ પ્રશ્ન દ્વિપદી વિતરણને અનુસરે છે જ્યાં $n = 5$ પ્રયત્નો છે અને સફળતાની સંભાવના $p = 0.3$ (વિજ્ઞાનનો વિદ્યાર્થી) છે. નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 1 - p = 0.7$ છે.
$x = 2$ વિજ્ઞાનના વિદ્યાર્થીઓ હોવાની સંભાવના સૂત્ર $P(X = x) = {}^nC_x \cdot p^x \cdot q^{n-x}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $P(X = 2) = {}^5C_2 \cdot (0.3)^2 \cdot (0.7)^3$.
ગણતરી કરતા:
${}^5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$.
$(0.3)^2 = 0.09$.
$(0.7)^3 = 0.343$.
તેથી,$P(X = 2) = 10 \times 0.09 \times 0.343 = 0.9 \times 0.343 = 0.3087$.

(D) અહીં,$n=5$,$p=\frac{1}{2}$,$q=\frac{1}{2}$ છે.
ઓછામાં ઓછી $4$ સફળતા મેળવવાની સંભાવના $P(X \ge 4) = P(X=4) + P(X=5)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર $P(X=r) = {}^nC_r p^r q^{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X=4) = {}^5C_4 \left(\frac{1}{2}\right)^4 \left(\frac{1}{2}\right)^1 = 5 \times \frac{1}{16} \times \frac{1}{2} = \frac{5}{32}$.
$P(X=5) = {}^5C_5 \left(\frac{1}{2}\right)^5 \left(\frac{1}{2}\right)^0 = 1 \times \frac{1}{32} \times 1 = \frac{1}{32}$.
તેથી,$P(X \ge 4) = \frac{5}{32} + \frac{1}{32} = \frac{6}{32} = \frac{3}{16}$.

(C) દ્વિપદી વિતરણ માટે,પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{npq}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,પ્રયત્નોની સંખ્યા $n = 500$ છે.
એક ઉછાળમાં છગ્ગો આવવાની સંભાવના $p = \frac{1}{6}$ છે.
છગ્ગો ન આવવાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\sigma = \sqrt{500 \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6}}$
$\sigma = \sqrt{\frac{2500}{36}}$
$\sigma = \frac{50}{6} = \frac{25}{3}$.

(C) દ્વિપદી વિતરણ માટે સંભાવનાનું સૂત્ર $P(X=k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ છે,જ્યાં $p+q=1$.
અહીં $n=6$ આપેલ છે,તેથી $P(X=4) = {}^6C_4 p^4 q^2$ અને $P(X=2) = {}^6C_2 p^2 q^4$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ,$9 P(X=4) = P(X=2)$.
કિંમતો મૂકતા: $9 \times {}^6C_4 p^4 q^2 = {}^6C_2 p^2 q^4$.
અહીં ${}^6C_4 = 15$ અને ${}^6C_2 = 15$ હોવાથી,સમીકરણ આ મુજબ બનશે:
$9 \times 15 p^4 q^2 = 15 p^2 q^4$.
બંને બાજુ $15 p^2 q^2$ વડે ભાગતા:
$9 p^2 = q^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $3p = q$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $p+q=1$,તેથી $p = 1-q$ મૂકતા:
$3(1-q) = q \Rightarrow 3 - 3q = q \Rightarrow 4q = 3 \Rightarrow q = \frac{3}{4}$.

(A) આપેલ છે કે $X \sim B\left(8, \frac{1}{2}\right)$,તેથી $n=8$,$p=\frac{1}{2}$,અને $q=1-p=\frac{1}{2}$ છે.
આપણે $P(|X-4| \leq 2)$ શોધવાનું છે.
આ અસમતા $-2 \leq X-4 \leq 2$ ને સમાન છે,જેનું સાદું રૂપ $2 \leq X \leq 6$ થાય છે.
તેથી,$P(2 \leq X \leq 6) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + P(X=6)$.
વૈકલ્પિક રીતે,$P(2 \leq X \leq 6) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=7) + P(X=8)]$.
દ્વિપદી સંભાવના સૂત્ર $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k} = \binom{8}{k} \left(\frac{1}{2}\right)^8$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X=0) = \binom{8}{0} \left(\frac{1}{2}\right)^8 = 1 \cdot \frac{1}{256} = \frac{1}{256}$.
$P(X=1) = \binom{8}{1} \left(\frac{1}{2}\right)^8 = 8 \cdot \frac{1}{256} = \frac{8}{256}$.
$P(X=7) = \binom{8}{7} \left(\frac{1}{2}\right)^8 = 8 \cdot \frac{1}{256} = \frac{8}{256}$.
$P(X=8) = \binom{8}{8} \left(\frac{1}{2}\right)^8 = 1 \cdot \frac{1}{256} = \frac{1}{256}$.
સરવાળો $= \frac{1+8+8+1}{256} = \frac{18}{256} = \frac{9}{128}$.
તેથી,$P(2 \leq X \leq 6) = 1 - \frac{9}{128} = \frac{119}{128}$.

(D) દ્વિપદી વિતરણ માટે સંભાવના દળ વિધેય $P(X=k) = {n \choose k} p^k q^{n-k}$ છે,જ્યાં $p+q=1$.
આપેલ છે કે $n=4$ અને $2 P(X=3) = 3 P(X=2)$,તેથી:
$2 \times {4 \choose 3} p^3 q^1 = 3 \times {4 \choose 2} p^2 q^2$
અહીં ${4 \choose 3} = 4$ અને ${4 \choose 2} = 6$ હોવાથી:
$2 \times 4 \times p^3 q = 3 \times 6 \times p^2 q^2$
$8 p^3 q = 18 p^2 q^2$
બંને બાજુ $2 p^2 q$ વડે ભાગતા:
$4 p = 9 q$
$p = 1-q$ મૂકતા:
$4(1-q) = 9q$
$4 - 4q = 9q$
$4 = 13q$
$q = \frac{4}{13}$

(C) આપેલ છે કે દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $np = 2$ અને વિચરણ $npq = 1$ છે.
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા,આપણને $q = \frac{npq}{np} = \frac{1}{2}$ મળે છે.
$p + q = 1$ હોવાથી,$p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ મળે.
$p = \frac{1}{2}$ ને $np = 2$ માં મૂકતા,$n(\frac{1}{2}) = 2$,તેથી $n = 4$ મળે છે.
સંભાવના $P(X=0)$ એ સૂત્ર $P(X=k) = { }^n C_k p^k q^{n-k}$ દ્વારા મળે છે.
$X=0$ માટે,$P(X=0) = { }^4 C_0 (\frac{1}{2})^0 (\frac{1}{2})^4 = 1 \times 1 \times \frac{1}{16} = \frac{1}{16}$.
ઘટના $E$ ની તરફેણમાં અવરોધ (odds) $P(E) : (1 - P(E))$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$X=0$ ની તરફેણમાં અવરોધ $\frac{1}{16} : (1 - \frac{1}{16}) = \frac{1}{16} : \frac{15}{16} = 1 : 15$ છે.

(C) ધારો કે $n = 100$ એ પ્રયત્નોની સંખ્યા છે,$p = \frac{1}{2}$ એ છાપ મળવાની સંભાવના છે,અને $q = \frac{1}{2}$ એ કાંટો મળવાની સંભાવના છે.
છાપ એકી સંખ્યામાં મળે તેની સંભાવના $r = 1, 3, 5, \dots, 99$ માટેની સંભાવનાઓનો સરવાળો છે.
$P(r \text{ is odd}) = \sum_{r \in \{1, 3, \dots, 99\}} \binom{100}{r} p^r q^{100-r}$
$P(r \text{ is odd}) = \sum_{r \in \{1, 3, \dots, 99\}} \binom{100}{r} \left(\frac{1}{2}\right)^r \left(\frac{1}{2}\right)^{100-r}$
$P(r \text{ is odd}) = \left(\frac{1}{2}\right)^{100} \sum_{r \in \{1, 3, \dots, 99\}} \binom{100}{r}$
આપણે જાણીએ છીએ કે એકી $r$ માટે દ્વિપદી સહગુણકોનો સરવાળો $2^{n-1}$ થાય છે. તેથી,$\sum_{r \in \{1, 3, \dots, 99\}} \binom{100}{r} = 2^{100-1} = 2^{99}$.
તેથી,$P(r \text{ is odd}) = \left(\frac{1}{2}\right)^{100} \times 2^{99} = \frac{2^{99}}{2^{100}} = \frac{1}{2}$.

(D) દ્વિપદી વિતરણ માટે,$P(X=k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$,જ્યાં $q = 1-p$ છે.
આપેલ છે કે $n=6$ અને સંબંધ $4 P(X=4) = P(X=2)$ છે.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $4 \cdot {}^6C_4 p^4 q^{6-4} = {}^6C_2 p^2 q^{6-2}$.
$4 \cdot {}^6C_4 p^4 q^2 = {}^6C_2 p^2 q^4$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ${}^6C_4 = {}^6C_2 = 15$,તેથી:
$4 \cdot 15 \cdot p^4 q^2 = 15 \cdot p^2 q^4$.
બંને બાજુ $15 p^2 q^2$ વડે ભાગતા:
$4 p^2 = q^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $2p = q$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $p + q = 1$,તેથી $q = 2p$ મૂકતા:
$p + 2p = 1 \Rightarrow 3p = 1 \Rightarrow p = \frac{1}{3}$.

(B) સંભાવના વિતરણ માટે,બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવો જોઈએ.
તેથી,$\sum P(X) = 1$.
$K + \frac{1}{6} + \frac{3}{8} + 2K + \frac{1}{12} = 1$
$K$ વાળા પદો અને અચળ અપૂર્ણાંકોને ભેગા કરતા:
$3K + (\frac{1}{6} + \frac{3}{8} + \frac{1}{12}) = 1$
અપૂર્ણાંકો માટે સામાન્ય છેદ $24$ લેતા:
$3K + (\frac{4}{24} + \frac{9}{24} + \frac{2}{24}) = 1$
$3K + \frac{15}{24} = 1$
$3K + \frac{5}{8} = 1$
$3K = 1 - \frac{5}{8}$
$3K = \frac{3}{8}$
$K = \frac{1}{8}$

(D) જ્યારે સિક્કાને બે વાર ઉછાળવામાં આવે છે,ત્યારે નિદર્શાવકાશ $S = \{HH, HT, TH, TT\}$ મળે છે.
અહીં,$X$ એ કાંટા (tails) ની સંખ્યા દર્શાવે છે.
$X=0$ (કોઈ કાંટો નહીં) માટે,પરિણામ $\{HH\}$ છે,તેથી $P(X=0) = 1/4$.
$X=1$ (એક કાંટો) માટે,પરિણામો $\{HT, TH\}$ છે,તેથી $P(X=1) = 2/4 = 1/2$.
$X=2$ (બે કાંટા) માટે,પરિણામ $\{TT\}$ છે,તેથી $P(X=2) = 1/4$.
આમ,સંભાવના વિતરણ નીચે મુજબ છે:

$X=x_i$	$0$	$1$	$2$
$P_i$	$1/4$	$1/2$	$1/4$

આ વિકલ્પ $D$ સાથે સુસંગત છે.

(A) સંભાવના વિતરણ માટે,બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
$\sum P(X) = k + 3k + 5k + 7k + 9k + 11k + 13k = 49k = 1$
તેથી,$k = \frac{1}{49}$.
આપણે $P(X \ge 2)$ શોધવાનું છે.
$P(X \ge 2) = 1 - P(X < 2)$
$P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) = k + 3k = 4k$
$P(X \ge 2) = 1 - 4k = 1 - 4(\frac{1}{49}) = 1 - \frac{4}{49} = \frac{45}{49}$.

(C) પ્રથમ $6$ ધન પૂર્ણાંકોમાંથી $2$ સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^6C_2 = \frac{6 \times 5}{2} = 15$ છે.
ધારો કે $X$ એ બે સંખ્યાઓમાંથી મોટી સંખ્યા દર્શાવતો યાદચ્છિક ચલ છે. $X$ માટે શક્ય કિંમતો $2, 3, 4, 5, 6$ છે.
સંભાવના વિતરણ નીચે મુજબ છે:
$X=2$ માટે: જોડીઓ $(1,2)$ છે,તેથી $P(X=2) = \frac{1}{15}$.
$X=3$ માટે: જોડીઓ $(1,3), (2,3)$ છે,તેથી $P(X=3) = \frac{2}{15}$.
$X=4$ માટે: જોડીઓ $(1,4), (2,4), (3,4)$ છે,તેથી $P(X=4) = \frac{3}{15}$.
$X=5$ માટે: જોડીઓ $(1,5), (2,5), (3,5), (4,5)$ છે,તેથી $P(X=5) = \frac{4}{15}$.
$X=6$ માટે: જોડીઓ $(1,6), (2,6), (3,6), (4,6), (5,6)$ છે,તેથી $P(X=6) = \frac{5}{15}$.
$E(X) = \sum x_i P_i = 2(\frac{1}{15}) + 3(\frac{2}{15}) + 4(\frac{3}{15}) + 5(\frac{4}{15}) + 6(\frac{5}{15}) = \frac{2+6+12+20+30}{15} = \frac{70}{15} = \frac{14}{3}$.
$E(X^2) = \sum x_i^2 P_i = 4(\frac{1}{15}) + 9(\frac{2}{15}) + 16(\frac{3}{15}) + 25(\frac{4}{15}) + 36(\frac{5}{15}) = \frac{4+18+48+100+180}{15} = \frac{350}{15} = \frac{70}{3}$.
$\operatorname{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{70}{3} - (\frac{14}{3})^2 = \frac{70}{3} - \frac{196}{9} = \frac{210-196}{9} = \frac{14}{9}$.

(A) સંભાવના વિતરણ માટે,તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવો જોઈએ.
$\sum P(x) = k + 0.3 + 0.15 + 0.15 + 0.1 + 2k = 1$
$3k + 0.7 = 1$
$3k = 0.3$
$k = 0.1$
હવે,અપેક્ષિત મૂલ્ય $E(x)$ ની ગણતરી $\sum x_i P(x_i)$ તરીકે કરવામાં આવે છે:
$E(x) = (0 \times k) + (1 \times 0.3) + (2 \times 0.15) + (3 \times 0.15) + (4 \times 0.1) + (5 \times 2k)$
$k = 0.1$ મૂકતા:
$E(x) = (0 \times 0.1) + (1 \times 0.3) + (2 \times 0.15) + (3 \times 0.15) + (4 \times 0.1) + (5 \times 0.2)$
$E(x) = 0 + 0.3 + 0.3 + 0.45 + 0.4 + 1.0$
$E(x) = 2.45$

(D) યાદચ્છિક ચલ $X$ દરેક $i$ માટે $p_i = \frac{1}{n}$ સંભાવના સાથે $1, 2, \ldots, n$ કિંમતો લે છે.
અપેક્ષિત કિંમત $E(X) = \sum p_i x_i = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} i = \frac{1}{n} \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n+1}{2}$.
વિચરણ $V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \sum p_i x_i^2 - [E(X)]^2$.
$E(X^2) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{1}{n} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{(n+1)(2n+1)}{6}$.
$V(X) = \frac{(n+1)(2n+1)}{6} - \left(\frac{n+1}{2}\right)^2 = \frac{(n+1)}{2} \left[ \frac{2n+1}{3} - \frac{n+1}{2} \right] = \frac{(n+1)}{2} \left[ \frac{4n+2-3n-3}{6} \right] = \frac{(n+1)(n-1)}{12} = \frac{n^2-1}{12}$.
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{V(X)}{E(X)} = 4$ હોવાથી,$\frac{(n^2-1)/12}{(n+1)/2} = 4$.
$\frac{(n-1)(n+1)}{12} \cdot \frac{2}{n+1} = 4$.
$\frac{n-1}{6} = 4 \Rightarrow n-1 = 24 \Rightarrow n = 25$.