Mix Examples - Triangles Questions in Gujarati

(A) સમબાજુ ચતુષ્કોણ એ એવો ચતુષ્કોણ છે જેની બધી બાજુઓ સમાન હોય છે. ધારો કે બાજુની લંબાઈ $s$ છે.
પરિમિતિ $68$ આપેલી હોવાથી,$4s = 68$,જેનો અર્થ છે કે $s = 17$.
સમબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાને કાટખૂણે $(90^{\circ})$ દુભાગે છે.
ધારો કે વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ બિંદુ $O$ પર છેદે છે.
$AC = 30$ હોવાથી,$AO = AC / 2 = 15$ થાય.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle AOB$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AO^2 + BO^2 = AB^2$.
કિંમતો મૂકતા: $15^2 + BO^2 = 17^2$.
$225 + BO^2 = 289$.
$BO^2 = 289 - 225 = 64$.
$BO = \sqrt{64} = 8$.
વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગતા હોવાથી,$BD = 2 \times BO = 2 \times 8 = 16$.

(C) $\Delta PQR$ માં,$\overline{PM}$ મધ્યગા છે.
એપોલોનિયસના પ્રમેય મુજબ:
$PQ^{2} + PR^{2} = 2(PM^{2} + QM^{2})$
અહીં $PQ^{2} + PR^{2} = 148$ અને $PM = 7$ આપેલ છે:
$148 = 2(7^{2} + QM^{2})$
$74 = 49 + QM^{2}$
$QM^{2} = 74 - 49$
$QM^{2} = 25$
$QM = 5$
$\overline{PM}$ મધ્યગા હોવાથી,$M$ એ $\overline{QR}$ નું મધ્યબિંદુ છે.
તેથી,$QR = 2 \times QM = 2 \times 5 = 10$.

(D) $\Delta XYZ$ માં,$\overline{XN}$ મધ્યગા છે.
એપોલોનિયસના પ્રમેય મુજબ:
$XY^2 + XZ^2 = 2(XN^2 + YN^2)$
$200 = 2(8^2 + YN^2)$
$100 = 64 + YN^2$
$YN^2 = 36$
$YN = 6$
$\overline{XN}$ મધ્યગા હોવાથી,$N$ એ $\overline{YZ}$ નું મધ્યબિંદુ છે.
તેથી,$YZ = 2 \times YN = 2 \times 6 = 12$.

(A) $\Delta ABC$ માં,$\overline{AD}$ એ બાજુ $\overline{BC}$ પરની મધ્યગા છે.
તેથી,$D$ એ $\overline{BC}$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$BD = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2}(16) = 8$.
$\Delta ABC$ માટે એપોલોનિયસના પ્રમેય મુજબ,મધ્યગા $\overline{AD}$ માટે:
$AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$10^2 + AC^2 = 2((\sqrt{58})^2 + 8^2)$
$100 + AC^2 = 2(58 + 64)$
$100 + AC^2 = 2(122)$
$100 + AC^2 = 244$
$AC^2 = 244 - 100$
$AC^2 = 144$
$AC = \sqrt{144} = 12$.

(B) $\Delta ABC$ માં,$\overline{AD}$ મધ્યગા છે.
તેથી $D$ એ $\overline{BC}$ નું મધ્યબિંદુ છે.
તેથી $BC = 2BD = 2(4) = 8.$
$\Delta ABC$ માટે એપોલોનિયસના પ્રમેય મુજબ,મધ્યગા $\overline{AD}$ માટે:
$AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$
$AB^2 + 7^2 = 2(7^2 + 4^2)$
$AB^2 + 49 = 2(49 + 16)$
$AB^2 + 49 = 2(65)$
$AB^2 + 49 = 130$
$AB^2 = 130 - 49 = 81$
$AB = 9$
$\Delta ABC$ ની પરિમિતિ $= AB + BC + AC = 9 + 8 + 7 = 24.$

(N/A) $\Delta ABC$ માં,$\overline{AD}$,$\overline{BE}$ અને $\overline{CF}$ મધ્યગાઓ છે. તેથી,$D$,$E$ અને $F$ એ અનુક્રમે $\overline{BC}$,$\overline{AC}$ અને $\overline{AB}$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
$\Delta ABC$ માં મધ્યગા $\overline{AD}$ માટે એપોલોનિયસના પ્રમેય મુજબ:
$AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$
$BD = \frac{1}{2}BC$ હોવાથી:
$AB^2 + AC^2 = 2AD^2 + 2(\frac{BC}{2})^2 = 2AD^2 + \frac{BC^2}{2}$
$2AD^2 = AB^2 + AC^2 - \frac{BC^2}{2} \quad \dots(1)$
તે જ રીતે,મધ્યગાઓ $\overline{BE}$ અને $\overline{CF}$ માટે:
$2BE^2 = AB^2 + BC^2 - \frac{AC^2}{2} \quad \dots(2)$
$2CF^2 = AC^2 + BC^2 - \frac{AB^2}{2} \quad \dots(3)$
સમીકરણો $(1)$,$(2)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા:
$2(AD^2 + BE^2 + CF^2) = (AB^2 + AB^2 - \frac{AB^2}{2}) + (BC^2 + BC^2 - \frac{BC^2}{2}) + (AC^2 + AC^2 - \frac{AC^2}{2})$
$2(AD^2 + BE^2 + CF^2) = \frac{3}{2}AB^2 + \frac{3}{2}BC^2 + \frac{3}{2}AC^2$
$2(AD^2 + BE^2 + CF^2) = \frac{3}{2}(AB^2 + BC^2 + AC^2)$
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા:
$4(AD^2 + BE^2 + CF^2) = 3(AB^2 + BC^2 + AC^2)$

(D) એપોલોનિયસના પ્રમેય મુજબ,કોઈપણ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ માટે જેમાં $\overline{BC}$ પર $\overline{AD}$ મધ્યગા હોય,તો નીચે મુજબનો સંબંધ મળે છે:
$AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$
અહીં $AB^2 + AC^2 = 122$ અને $AD = 6$ આપેલ છે,આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$122 = 2(6^2 + BD^2)$
$122 = 2(36 + BD^2)$
બંને બાજુ $2$ વડે ભાગતા:
$61 = 36 + BD^2$
$BD^2 = 61 - 36$
$BD^2 = 25$
$BD = \sqrt{25} = 5$
કારણ કે $\overline{AD}$ મધ્યગા છે,તેથી $D$ એ $\overline{BC}$ નું મધ્યબિંદુ છે,માટે $BC = 2 \times BD$.
$BC = 2 \times 5 = 10$.

(A) $\Delta ABC$ માં મધ્યગા $\overline{AD}$ માટે એપોલોનિયસના પ્રમેય મુજબ:
$AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $18^2 + 14^2 = 2(14^2 + BD^2)$
$324 + 196 = 2(196 + BD^2)$
$520 = 2(196 + BD^2)$
$260 = 196 + BD^2$
$BD^2 = 260 - 196 = 64$
$BD = 8$
$\overline{AD}$ મધ્યગા હોવાથી,$BD = DC = 8$ થાય.
તેથી,$BC = BD + DC = 8 + 8 = 16$.
$\Delta ABC$ ની પરિમિતિ $= AB + AC + BC = 18 + 14 + 16 = 48$.

(C) એપોલોનિયસના પ્રમેય મુજબ,કોઈપણ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ માટે જેમાં $\overline{BC}$ પર $\overline{AD}$ મધ્યગા હોય:
$AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$
અહીં $AB = 8, AC = 15$ અને $AD = 8.5$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$8^2 + 15^2 = 2(8.5^2 + BD^2)$
$64 + 225 = 2(72.25 + BD^2)$
$289 = 2(72.25 + BD^2)$
$144.5 = 72.25 + BD^2$
$BD^2 = 144.5 - 72.25 = 72.25$
$BD = \sqrt{72.25} = 8.5$
કારણ કે $\overline{AD}$ મધ્યગા છે,$D$ એ $\overline{BC}$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $BC = 2 \times BD$.
$BC = 2 \times 8.5 = 17$.

(D) $\Delta XYZ$ માટે એપોલોનિયસના પ્રમેય મુજબ,જ્યાં $\overline{XM}$ એ બાજુ $\overline{YZ}$ પરની મધ્યગા છે:
$XY^2 + XZ^2 = 2(XM^2 + YM^2)$
આપેલ છે કે $XY = 20$,$XZ = 21$ અને $XM = 14.5$.
કિંમતો મૂકતા:
$20^2 + 21^2 = 2(14.5^2 + YM^2)$
$400 + 441 = 2(210.25 + YM^2)$
$841 = 2(210.25 + YM^2)$
$420.5 = 210.25 + YM^2$
$YM^2 = 420.5 - 210.25 = 210.25$
$YM = \sqrt{210.25} = 14.5$
$\overline{XM}$ મધ્યગા હોવાથી,$M$ એ $\overline{YZ}$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $YZ = 2 \times YM$.
$YZ = 2 \times 14.5 = 29$.

(D) $\Delta XYZ$ માં,$\overline{XM}$ એ બાજુ $\overline{YZ}$ પરની મધ્યગા છે.
મધ્યગાની વ્યાખ્યા મુજબ,$M$ એ $\overline{YZ}$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $YM = MZ = 30.5$.
આમ,બાજુ $YZ$ ની લંબાઈ $YZ = YM + MZ = 30.5 + 30.5 = 61$ થાય.
આપણે $\Delta XYZ$ માટે મધ્યગા $\overline{XM}$ સાથે એપોલોનિયસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$XY^2 + XZ^2 = 2(XM^2 + YM^2)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $11^2 + XZ^2 = 2(30.5^2 + 30.5^2)$.
$121 + XZ^2 = 2(930.25 + 930.25)$.
$121 + XZ^2 = 2(1860.5)$.
$121 + XZ^2 = 3721$.
$XZ^2 = 3721 - 121$.
$XZ^2 = 3600$.
$XZ = \sqrt{3600} = 60$.

(N/A) ધારો કે $ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે જેના વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ બિંદુ $O$ માં છેદે છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના નિયમ મુજબ,ચાર બાજુઓના વર્ગોનો સરવાળો બે વિકર્ણોના વર્ગોના સરવાળા બરાબર હોય છે.
ધારો કે બાજુઓ $AB$,$BC$,$CD$ અને $DA$ છે. $ABCD$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,$AB = CD$ અને $BC = DA$ થાય.
$\triangle ABC$ અને $\triangle ADC$ માં એપોલોનિયસના પ્રમેય મુજબ,જ્યાં $BO$ મધ્યગા છે ($O$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે):
$AB^2 + BC^2 = 2(BO^2 + AO^2)$
$AD^2 + CD^2 = 2(DO^2 + AO^2)$
$O$ એ $BD$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$BO = DO$ થાય.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = 2(BO^2 + AO^2 + DO^2 + AO^2) = 2(2BO^2 + 2AO^2) = 4BO^2 + 4AO^2$.
$BD = 2BO$ અને $AC = 2AO$ હોવાથી,$BD^2 = 4BO^2$ અને $AC^2 = 4AO^2$ થાય.
તેથી,$AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = AC^2 + BD^2$.

(C) આપેલ છે કે $\Delta PQR$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $m \angle Q = 90^\circ$ છે.
$PQ$ અને $QR$ એ કાટખૂણો બનાવતી બાજુઓ છે અને $PR$ એ કર્ણ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $PQ^2 + QR^2 = PR^2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $5^2 + QR^2 = 13^2$.
$25 + QR^2 = 169$.
$QR^2 = 169 - 25 = 144$.
$QR = \sqrt{144} = 12$.
કાટકોણ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$ દ્વારા મળે છે.
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times PQ \times QR = \frac{1}{2} \times 5 \times 12$.
$\text{Area} = 5 \times 6 = 30$.

(B) ધારો કે ચોરસની બાજુની લંબાઈ $s$ છે.
ચોરસની પરિમિતિ $4s$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $4s = 40$, તેથી $s = 10$.
ચોરસના વિકર્ણો સમાન લંબાઈના હોય છે.
$s$ બાજુવાળા ચોરસના વિકર્ણ $d$ ની લંબાઈ $d = s \sqrt{2}$ દ્વારા મળે છે.
આમ, $AC = BD = 10 \sqrt{2}$.
તેથી, $AC + BD = 10 \sqrt{2} + 10 \sqrt{2} = 20 \sqrt{2}$.

(D) $\Delta ABC$ માં $\overline{AD}$ મધ્યગા માટે એપોલોનિયસના પ્રમેય મુજબ:
$AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$
અહીં $AB^2 + AC^2 = 338$ અને $AD = 5$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$338 = 2(5^2 + BD^2)$
$338 = 2(25 + BD^2)$
$169 = 25 + BD^2$
$BD^2 = 169 - 25 = 144$
$BD = \sqrt{144} = 12$
$\overline{AD}$ મધ્યગા હોવાથી,$D$ એ $\overline{BC}$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $BC = 2 \times BD$.
$BC = 2 \times 12 = 24$.

(D) સમબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાને કાટખૂણે દુભાગે છે. ધારો કે $AM = x$ અને $DM = y$.
વિકર્ણો $M$ બિંદુએ $90^{\circ}$ ના ખૂણે છેદે છે,તેથી $\triangle AMB$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AM^2 + BM^2 = AB^2$.
આપેલ છે કે $AM + DM = 17$,તેથી $x + y = 17$,એટલે કે $y = 17 - x$.
$\triangle AMB$ માં,$x^2 + BM^2 = 13^2 = 169$.
$\triangle AMD$ માં,$x^2 + y^2 = AD^2$. સમબાજુ ચતુષ્કોણની બધી બાજુઓ સમાન હોવાથી,$AD = AB = 13$.
તેથી,$x^2 + y^2 = 169$.
$y = 17 - x$ મૂકતા: $x^2 + (17 - x)^2 = 169$.
$x^2 + 289 - 34x + x^2 = 169$.
$2x^2 - 34x + 120 = 0$.
$x^2 - 17x + 60 = 0$.
$(x - 12)(x - 5) = 0$.
તેથી,$x = 12$ અથવા $x = 5$.
જો $x = 12$ હોય,તો $y = 17 - 12 = 5$.
જો $x = 5$ હોય,તો $y = 17 - 5 = 12$.
$AC > BD$ હોવાથી,$AM > DM$,એટલે કે $x > y$. તેથી,$x = 12$ અને $y = 5$.
$DM = y = 5$.
વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગતા હોવાથી,$BD = 2 \times DM = 2 \times 5 = 10$.

(C) ધારો કે $AB = x$.
આપેલ છે કે $BC - AB = 7$,તેથી $BC = x + 7$.
આપેલ છે કે $AC - BC = 2$,તેથી $AC = BC + 2 = (x + 7) + 2 = x + 9$.
$\Delta ABC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ હોવાથી,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$AB^2 + BC^2 = AC^2$
$x^2 + (x + 7)^2 = (x + 9)^2$
$x^2 + x^2 + 14x + 49 = x^2 + 18x + 81$
$2x^2 + 14x + 49 = x^2 + 18x + 81$
$x^2 - 4x - 32 = 0$
$(x - 8)(x + 4) = 0$
લંબાઈ હંમેશા ધન હોય,તેથી $x = 8$.
આમ,$AB = 8$,$BC = 15$,અને $AC = 17$.
$\Delta ABC$ ની પરિમિતિ = $AB + BC + AC = 8 + 15 + 17 = 40$.

(D) લંબચોરસ $\square ABCD$ માં,સામસામેની બાજુઓ સમાન હોય છે,તેથી $AB = CD$ અને $BC = DA$.
આપેલ સમીકરણ: $AB^{2} + BC^{2} + CD^{2} + DA^{2} = 128$.
સમાન બાજુઓ મૂકતા,આપણને મળે છે: $AB^{2} + BC^{2} + AB^{2} + BC^{2} = 128$.
આનું સાદું રૂપ આપતા: $2(AB^{2} + BC^{2}) = 128$.
$2$ વડે ભાગતા: $AB^{2} + BC^{2} = 64$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle ABC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$.
તેથી,$AC^{2} = 64$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$AC = \sqrt{64} = 8$.

(B) સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ છે,જ્યાં $a$ એ બાજુની લંબાઈ છે.
આપેલ છે કે ક્ષેત્રફળ $36 \sqrt{3}$ છે,તેથી આપણે સમીકરણ બનાવી શકીએ:
$\frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = 36 \sqrt{3}$.
બંને બાજુને $\sqrt{3}$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{4} a^2 = 36$.
બંને બાજુને $4$ વડે ગુણતા:
$a^2 = 36 \times 4 = 144$.
બંને બાજુનું વર્ગમૂળ લેતા:
$a = \sqrt{144} = 12$.
તેથી,તેની બાજુનું માપ $12$ છે.

(D) આપેલ છે કે $\Delta ABC$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે જેમાં $AB = AC = 25$ અને પાયો $BC = 14$ છે.
સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં,શિરોબિંદુમાંથી પાયા પર દોરેલો વેધ $\overline{AM}$ એ મધ્યગા તરીકે પણ કાર્ય કરે છે.
તેથી,$M$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે.
આમ,$BM = MC = \frac{BC}{2} = \frac{14}{2} = 7$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta ABM$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$AB^2 = AM^2 + BM^2$
$25^2 = AM^2 + 7^2$
$625 = AM^2 + 49$
$AM^2 = 625 - 49 = 576$
$AM = \sqrt{576} = 24$.
આમ,વેધ $AM$ ની લંબાઈ $24$ છે.

(B) આકૃતિ પરથી જોઈ શકાય છે કે કુલ $4$ પગથિયાં છે.
કુલ આડી લંબાઈ (પાયો) $= 4 \times 20 \, cm = 80 \, cm = 0.8 \, m$.
કુલ ઊભી લંબાઈ (ઊંચાઈ) $= 4 \times 15 \, cm = 60 \, cm = 0.6 \, m$.
બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચેનું અંતર એ કાટકોણ ત્રિકોણનો કર્ણ બનાવે છે,જેમાં પાયો $0.8 \, m$ અને ઊંચાઈ $0.6 \, m$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $AB = \sqrt{(0.8)^2 + (0.6)^2} = \sqrt{0.64 + 0.36} = \sqrt{1.00} = 1 \, m$.

(N/A) $1$. $\Delta ABC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$ થાય.
$2$. કાટકોણ $\Delta ABD$ માં,$AD^{2} = AB^{2} + BD^{2}$ થાય. $D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$BD = \frac{1}{2} BC$. તેથી,$AD^{2} = AB^{2} + (\frac{1}{2} BC)^{2} = AB^{2} + \frac{1}{4} BC^{2}$.
$3$. કાટકોણ $\Delta CBF$ માં,$CF^{2} = BC^{2} + BF^{2}$ થાય. $F$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$BF = \frac{1}{2} AB$. તેથી,$CF^{2} = BC^{2} + (\frac{1}{2} AB)^{2} = BC^{2} + \frac{1}{4} AB^{2}$.
$4$. બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $AD^{2} + CF^{2} = (AB^{2} + \frac{1}{4} BC^{2}) + (BC^{2} + \frac{1}{4} AB^{2})$.
$5$. સાદુંરૂપ આપતા: $AD^{2} + CF^{2} = (1 + \frac{1}{4}) AB^{2} + (1 + \frac{1}{4}) BC^{2} = \frac{5}{4} AB^{2} + \frac{5}{4} BC^{2}$.
$6$. $\frac{5}{4}$ સામાન્ય લેતા: $AD^{2} + CF^{2} = \frac{5}{4} (AB^{2} + BC^{2})$.
$7$. $AB^{2} + BC^{2} = AC^{2}$ હોવાથી,આપણને $AD^{2} + CF^{2} = \frac{5}{4} AC^{2}$ મળે છે.

(N/A) $\Delta ABC$ માં,$\overline{AM}$ એ બાજુ $\overline{BC}$ પરનો વેધ છે,તેથી $\angle AMB = 90^{\circ}$ અને $\angle AMC = 90^{\circ}$ થાય.
$\Delta AMC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AC^{2} = AM^{2} + MC^{2}$.
અહીં $M$ એ $BC$ પર આવેલું હોવાથી,$MC = BC - BM$ થાય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $AC^{2} = AM^{2} + (BC - BM)^{2}$.
કૌંસનું વિસ્તરણ કરતા: $AC^{2} = AM^{2} + BC^{2} + BM^{2} - 2 \cdot BC \cdot BM$.
$\Delta AMB$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AB^{2} = AM^{2} + BM^{2}$.
સમીકરણમાં $AM^{2} + BM^{2} = AB^{2}$ મૂકતા: $AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} - 2 \cdot BC \cdot BM$.
આમ,પરિણામ સાબિત થાય છે.

(N/A) $\Delta AMC$ માં,$\angle AMC = 90^{\circ}$ છે. પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AC^{2} = AM^{2} + MC^{2}$.
અહીં $MC = MB + BC$ હોવાથી,$AC^{2} = AM^{2} + (MB + BC)^{2}$ થાય.
કૌંસનું વિસ્તરણ કરતા,$AC^{2} = AM^{2} + MB^{2} + BC^{2} + 2 \cdot MB \cdot BC$.
$\Delta AMB$ માં,$\angle AMB = 90^{\circ}$ છે. પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AB^{2} = AM^{2} + MB^{2}$.
આ કિંમત ઉપરના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} + 2 \cdot BC \cdot BM$ મળે છે.

(D) જો ત્રિકોણની સૌથી મોટી બાજુનો વર્ગ બાકીની બે બાજુઓના વર્ગોના સરવાળા જેટલો હોય (પાયથાગોરસનો પ્રમેય: $a^2 + b^2 = c^2$),તો તે કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
વિકલ્પ $A$ માટે: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$. આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
વિકલ્પ $B$ માટે: $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$. આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
વિકલ્પ $C$ માટે: $7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$. આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
વિકલ્પ $D$ માટે: $8^2 + 24^2 = 64 + 576 = 640$,જ્યારે $26^2 = 676$. અહીં $640 \neq 676$ હોવાથી,આ કાટકોણ ત્રિકોણ નથી.

(D) આપેલ છે કે $\Delta XYZ$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $m\angle X = 90^{\circ}$ છે.
અહીં,$YZ$ એ કર્ણ છે અને $XY$ એ એક બાજુ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $XY^2 + XZ^2 = YZ^2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $8^2 + XZ^2 = 17^2$.
$64 + XZ^2 = 289$.
$XZ^2 = 289 - 64 = 225$.
$XZ = \sqrt{225} = 15$.
કાટકોણ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times XY \times XZ$.
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times 8 \times 15 = 4 \times 15 = 60$.

(A) $\Delta ABC$ માં મધ્યગા $\overline{AD}$ માટે એપોલોનિયસના પ્રમેય મુજબ:
$AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$
અહીં $\overline{AD}$ એ બાજુ $\overline{BC}$ પરની મધ્યગા હોવાથી,$D$ એ $\overline{BC}$ નું મધ્યબિંદુ છે.
તેથી,$BD = DC = \frac{BC}{2} = \frac{18}{2} = 9$.
આ કિંમતો પ્રમેયમાં મૂકતા:
$8^2 + AC^2 = 2(7^2 + 9^2)$
$64 + AC^2 = 2(49 + 81)$
$64 + AC^2 = 2(130)$
$64 + AC^2 = 260$
$AC^2 = 260 - 64$
$AC^2 = 196$
$AC = \sqrt{196} = 14$.

(C) સૌ પ્રથમ,$\Delta ABC$ ની સૌથી મોટી બાજુ નક્કી કરો. અહીં $AB = 4$,$BC = 2\sqrt{3} \approx 3.46$ અને $AC = 2\sqrt{7} \approx 5.29$ છે. તેથી,$AC$ એ સૌથી મોટી બાજુ છે,આપણે બાજુ $AC$ પર દોરેલી મધ્યગા $BD$ ની લંબાઈ શોધવાની છે.
$\Delta ABC$ માટે એપોલોનિયસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$AB^2 + BC^2 = 2(BD^2 + AD^2)$
અહીં $D$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$AD = AC/2 = (2\sqrt{7})/2 = \sqrt{7}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $4^2 + (2\sqrt{3})^2 = 2(BD^2 + (\sqrt{7})^2)$
$16 + 12 = 2(BD^2 + 7)$
$28 = 2(BD^2 + 7)$
$14 = BD^2 + 7$
$BD^2 = 7$
$BD = \sqrt{7}$.

(C) સમબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો એકબીજાને કાટખૂણે દુભાગે છે.
આ વિભાજન સમબાજુ ચતુષ્કોણની અંદર ચાર એકરૂપ ત્રિકોણ બનાવે છે.
તેથી,$\Delta OAB \cong \Delta OCB \cong \Delta OCD \cong \Delta OAD$.
આ ચાર ત્રિકોણ એકરૂપ હોવાથી,તેમના ક્ષેત્રફળ સમાન છે:
$\text{Area}(\Delta OAB) = \text{Area}(\Delta OCB) = \text{Area}(\Delta OCD) = \text{Area}(\Delta OAD)$.
સમબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું કુલ ક્ષેત્રફળ આ ચાર ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળોનો સરવાળો છે:
$\text{Area}(\square ABCD) = \text{Area}(\Delta OAB) + \text{Area}(\Delta OCB) + \text{Area}(\Delta OCD) + \text{Area}(\Delta OAD)$.
સમાન ક્ષેત્રફળો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\text{Area}(\square ABCD) = 4 \times \text{Area}(\Delta OAB)$.
આમ,$\text{Area}(\Delta OAB) = \frac{1}{4} \times \text{Area}(\square ABCD)$.

(B) $\Delta ABC$ માં,$D$,$E$ અને $F$ એ અનુક્રમે બાજુઓ $BC$,$CA$ અને $AB$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણ ચાર એકરૂપ ત્રિકોણોમાં વિભાજિત થાય છે: $\Delta AFE$,$\Delta FBD$,$\Delta EDC$ અને $\Delta DEF$.
તેથી,$\text{Area}(\Delta AFE) = \text{Area}(\Delta FBD) = \text{Area}(\Delta EDC) = \text{Area}(\Delta DEF) = \frac{1}{4} \text{Area}(\Delta ABC)$.
ચતુષ્કોણ $BDEF$ એ $\Delta FBD$ અને $\Delta DEF$ થી બનેલો છે.
આમ,$\text{Area}(BDEF) = \text{Area}(\Delta FBD) + \text{Area}(\Delta DEF) = \frac{1}{4} \text{Area}(\Delta ABC) + \frac{1}{4} \text{Area}(\Delta ABC) = \frac{1}{2} \text{Area}(\Delta ABC)$.

(D) $\Delta ABC$ માં,$P, Q$ અને $R$ એ અનુક્રમે બાજુઓ $BC, CA$ અને $AB$ ના મધ્યબિંદુઓ હોવાથી,ત્રિકોણ ચાર એકરૂપ ત્રિકોણોમાં વિભાજિત થાય છે: $\Delta ARQ, \Delta RBP, \Delta QPC$ અને $\Delta PQR$.
તેથી,$Area(\Delta ARQ) = Area(\Delta RBP) = Area(\Delta QPC) = Area(\Delta PQR) = \frac{1}{4} Area(\Delta ABC)$.
ચતુષ્કોણ $BCQR$ એ આ ત્રણ ત્રિકોણોનો બનેલો છે: $\Delta RBP, \Delta QPC$ અને $\Delta PQR$.
આમ,$Area(BCQR) = Area(\Delta RBP) + Area(\Delta QPC) + Area(\Delta PQR) = \frac{1}{4} Area(\Delta ABC) + \frac{1}{4} Area(\Delta ABC) + \frac{1}{4} Area(\Delta ABC) = \frac{3}{4} Area(\Delta ABC)$.

(A) ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$.
$\Delta ABC$ માટે,ક્ષેત્રફળને બે રીતે દર્શાવી શકાય:
$1. \text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times BC \times AM$
$2. \text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times AB \times CN$
બંને ક્ષેત્રફળોને સરખાવતા:
$\frac{1}{2} \times BC \times AM = \frac{1}{2} \times AB \times CN$
$BC \times AM = AB \times CN$
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $15 \times 9.6 = 12 \times CN$
$144 = 12 \times CN$
$CN = \frac{144}{12} = 12$
આમ,$CN = 12$.

(C) $\Delta ABC$ માં,$E$ એ $\overline{AC}$ નું મધ્યબિંદુ છે.
તેથી,$AC = 2EC$ $(1)$.
$\Delta BEC$ માં,રેખા $DK$ એ $\overline{BC}$ ના મધ્યબિંદુ $D$ માંથી પસાર થાય છે અને $\overline{BE}$ ને સમાંતર છે.
મધ્યબિંદુ પ્રમેયના પ્રતિપ પ્રમેય મુજબ,$K$ એ $\overline{EC}$ નું મધ્યબિંદુ છે.
તેથી,$EC = 2EK$ $(2)$.
$(2)$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા,આપણને $AC = 2(2EK) = 4EK$ મળે છે.

(C) $\triangle OPQ$ અને $\triangle OSR$ માં,આપણને $OQ = OR$ આપેલ છે.
વળી,$\angle POQ = \angle SOR$ કારણ કે તે અભિકોણો છે.
$SAS$ (બાજુ-ખૂણો-બાજુ) એકરૂપતાની શરત દ્વારા ત્રિકોણો એકરૂપ છે તેમ સાબિત કરવા માટે,આપણને ખૂણા $\angle POQ$ અને $\angle SOR$ ની પાસેની બીજી બાજુ સમાન હોવી જરૂરી છે.
ખૂણાઓની પાસેની બાજુઓ $\triangle OPQ$ માં $OP$ અને $OQ$ છે,અને $\triangle OSR$ માં $OS$ અને $OR$ છે.
આપણી પાસે પહેલેથી જ $OQ = OR$ છે,તેથી $SAS$ શરત સંતોષવા માટે આપણને $OP = OS$ ની જરૂર છે.
તેથી,$OP = OS$ ની શરત પૂરતી છે.

(D) $\Delta ABC$ માં,$m \angle A = 90^{\circ}$ અને $\overline{AD}$ એ કર્ણ $\overline{BC}$ પરનો વેધ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ માટેના ભૂમિતિના મધ્યક પ્રમેય મુજબ,$AB^{2} = BD \cdot BC$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $(\sqrt{5})^{2} = 2 \cdot BC$.
$5 = 2 \cdot BC$.
$BC = \frac{5}{2} = 2.5$.
તેથી,કર્ણ $\overline{BC}$ ની લંબાઈ $2.5$ છે.

(A) $\Delta ABC$ માં,$m \angle B = 90^{\circ}$ અને $\overline{BM}$ એ કર્ણ $AC$ પરનો વેધ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ માટેના ભૂમિતિના મધ્યક પ્રમેય મુજબ,$AB^2 = AM \cdot AC$.
અહીં $AB = \sqrt{10}$ અને $AM = 2.5$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(\sqrt{10})^2 = 2.5 \cdot AC$.
$10 = 2.5 \cdot AC$.
$AC = \frac{10}{2.5} = 4$.
આમ,$AC = AM + MC$ હોવાથી,$4 = 2.5 + MC$.
$MC = 4 - 2.5 = 1.5$.

(C) $\Delta PQR$ માં,$m\angle Q = 90^{\circ}$ હોવાથી,આ ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$PR^{2} = PQ^{2} + QR^{2}$.
તેથી,$PQ^{2} = PR^{2} - QR^{2}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$PQ^{2} = (a^{2} + b^{2})^{2} - (a^{2} - b^{2})^{2}$.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(x + y)^{2} - (x - y)^{2} = 4xy$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $x = a^{2}$ અને $y = b^{2}$ છે:
$PQ^{2} = 4(a^{2})(b^{2}) = 4a^{2}b^{2}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$PQ = \sqrt{4a^{2}b^{2}} = 2ab$.

(B) ધારો કે $AB = AC = x$.
$\Delta ABC$ માં,$m \angle A = 90^\circ$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AB^2 + AC^2 = BC^2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $x^2 + x^2 = (\sqrt{2} a)^2$.
$2x^2 = 2a^2$.
$x^2 = a^2$,તેથી $x = a$ (કારણ કે $a \in R^+$).
આમ,$AB = AC = a$.
$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times AB \times AC$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times a \times a = \frac{1}{2} a^2$.

(C) $\Delta ABC$ માં,$m \angle B = 90^{\circ}$ અને $\overline{BM}$ એ કર્ણ $\overline{AC}$ પરનો વેધ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં કર્ણ પરના વેધના ગુણધર્મ મુજબ:
$AB^{2} = AM \cdot AC$ અને $BC^{2} = MC \cdot AC$
આ બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$AB^{2} - BC^{2} = AM \cdot AC - MC \cdot AC$
$AB^{2} - BC^{2} = AC(AM - MC)$
અહીં $AB^{2} - BC^{2} = 175$ અને $AM - MC = 7$ આપેલ છે,તેથી કિંમતો મૂકતા:
$175 = AC(7)$
$AC = \frac{175}{7}$
$AC = 25$

(A) આપેલ છે કે $\square PQRS$ એક લંબચોરસ છે.
લંબચોરસ $PQRS$ નું ક્ષેત્રફળ $= PQ \cdot QR = 12$.
પાસેની બાજુઓનો સરવાળો $PQ + QR = 7$.
$\triangle PQR$ માં,$\angle Q = 90^\circ$.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$PR^2 = PQ^2 + QR^2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(PQ + QR)^2 = PQ^2 + QR^2 + 2(PQ \cdot QR)$.
તેથી,$PQ^2 + QR^2 = (PQ + QR)^2 - 2(PQ \cdot QR)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $PR^2 = (7)^2 - 2(12)$.
$PR^2 = 49 - 24 = 25$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$PR = 5$.

(B) આપેલ છે કે $\Delta ABC$ માં,$m \angle A = m \angle B + m \angle C$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે,તેથી $m \angle A + m \angle B + m \angle C = 180^{\circ}$.
$m \angle B + m \angle C$ ની જગ્યાએ $m \angle A$ મૂકતા,આપણને $m \angle A + m \angle A = 180^{\circ}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $2 m \angle A = 180^{\circ}$,તેથી $m \angle A = 90^{\circ}$.
$\Delta ABC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં ખૂણો $A$ કાટખૂણો છે,તેથી $BC$ એ કર્ણ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$BC^2 = AB^2 + AC^2$.
$AB = 7$ અને $BC = 25$ આપેલ હોવાથી,$25^2 = 7^2 + AC^2$.
$625 = 49 + AC^2$,તેથી $AC^2 = 625 - 49 = 576$.
આમ,$AC = \sqrt{576} = 24$.
$\Delta ABC$ ની પરિમિતિ = $AB + BC + AC = 7 + 25 + 24 = 56$.

(D) ધારો કે $\overline{AC}$ એ સીડી છે અને $\overline{AB}$ એ દીવાલની ઊંચાઈ છે.
$\Delta ABC$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AC^2 = AB^2 + BC^2$.
અહીં $AC = 6.5 \, m$ અને $AB = 6 \, m$ આપેલ છે.
$6.5^2 = 6^2 + BC^2$
$42.25 = 36 + BC^2$
$BC^2 = 42.25 - 36 = 6.25$
$BC = \sqrt{6.25} = 2.5 \, m$.
આમ,સીડીનો નીચેનો છેડો દીવાલથી $2.5 \, m$ દૂર રહેશે.

(C) $\Delta ABC$ માં,$D$ એ $\overline{BC}$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી,$\overline{AD}$ એ મધ્યગા છે.
એપોલોનિયસના પ્રમેય મુજબ:
$AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$
$7^2 + 5^2 = 2(5^2 + BD^2)$
$49 + 25 = 2(25 + BD^2)$
$74 = 2(25 + BD^2)$
$37 = 25 + BD^2$
$BD^2 = 12$
$BD = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$
અહીં $D$ એ $\overline{BC}$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$BC = 2 \times BD = 2 \times 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$.

(C) $\Delta ABC$ માં,$\overline{AD}$ એ $\overline{BC}$ પરની મધ્યગા છે.
એપોલોનિયસના પ્રમેય મુજબ,$AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$.
આપેલ છે કે $AB^2 + AC^2 = 148$ અને $AD = 7$.
કિંમતો મૂકતા: $148 = 2(7^2 + BD^2)$.
$148 = 2(49 + BD^2)$.
$74 = 49 + BD^2$.
$BD^2 = 74 - 49 = 25$.
$BD = \sqrt{25} = 5$.
$\overline{AD}$ મધ્યગા હોવાથી,$D$ એ $\overline{BC}$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $BC = 2 \times BD$.
$BC = 2 \times 5 = 10$.

(B) $\Delta ADC$ માં,$\angle D = 90^{\circ}$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AC^{2} = AD^{2} + CD^{2}$.
$25^{2} = AD^{2} + 7^{2}$.
$625 = AD^{2} + 49$.
$AD^{2} = 625 - 49 = 576$.
$AD = \sqrt{576} = 24$.
લંબચોરસ $ABCD$ ની પરિમિતિ $= 2(AD + CD) = 2(24 + 7) = 2(31) = 62$.

(B) સમબાજુ ચતુષ્કોણ $XYZW$ માં,ધારો કે વિકર્ણો $XZ$ અને $YW$ બિંદુ $O$ માં છેદે છે.
સમબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો એકબીજાને કાટખૂણે દુભાગે છે.
તેથી,$OX = \frac{1}{2} XZ = \frac{1}{2} \times 14 = 7$ અને $OY = \frac{1}{2} YW = \frac{1}{2} \times 48 = 24$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta XOY$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$XY^2 = OX^2 + OY^2$
$XY^2 = 7^2 + 24^2$
$XY^2 = 49 + 576 = 625$
$XY = \sqrt{625} = 25$.

(C) આપેલ છે કે $\Delta PQR$ માં,$m \angle Q : m \angle R : m \angle P = 1 : 2 : 1$ છે.
ધારો કે ખૂણાઓ $x, 2x, x$ છે.
ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,$x + 2x + x = 180^{\circ}$,તેથી $4x = 180^{\circ}$,એટલે કે $x = 45^{\circ}$.
આમ,$m \angle Q = 45^{\circ}$,$m \angle R = 90^{\circ}$ અને $m \angle P = 45^{\circ}$ મળે.
અહીં $m \angle P = m \angle Q$ હોવાથી,તેમની સામેની બાજુઓ સમાન થાય,એટલે કે $QR = PR$.
કાટકોણ $\Delta PQR$ માં $(m \angle R = 90^{\circ})$,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$PQ^2 = PR^2 + QR^2$
$QR = PR$ હોવાથી,$PQ^2 = PR^2 + PR^2 = 2PR^2$.
આપેલ છે કે $PQ = 2 \sqrt{6}$,તેથી $PQ^2 = (2 \sqrt{6})^2 = 4 \times 6 = 24$.
તેથી,$24 = 2PR^2$,જેનો અર્થ છે કે $PR^2 = 12$.
વર્ગમૂળ લેતા,$PR = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3}$.

(D) $\Delta ABC$ માં,$\overline{AB} \cong \overline{AC}$,જેનો અર્થ છે કે $\Delta ABC$ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.
સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં,પાયા પરની મધ્યગા એ પાયા પરનો વેધ પણ હોય છે.
તેથી,$\overline{AD} \perp \overline{BC}$,એટલે કે $\overline{AD}$ એ પાયા $\overline{BC}$ ને અનુરૂપ ત્રિકોણની ઊંચાઈ છે.
$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times BC \times AD$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 18 \times 12$
ક્ષેત્રફળ $= 9 \times 12 = 108$.

(A) $\Delta ABC$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $m \angle A + m \angle B + m \angle C = 180^\circ$ થાય.
આપેલ છે કે $m \angle A + m \angle C = m \angle B$,તેથી $m \angle B + m \angle B = 180^\circ$,એટલે કે $2 m \angle B = 180^\circ$,જેનો અર્થ છે કે $m \angle B = 90^\circ$.
$\Delta ABC$ એ $B$ પાસે કાટકોણ ત્રિકોણ હોવાથી,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AC^2 = AB^2 + BC^2$.
ધારો કે $AC = 17x$ અને $AB = 15x$. આપેલ છે કે $BC = 8$,તેથી $(17x)^2 = (15x)^2 + 8^2$.
$289x^2 = 225x^2 + 64$.
$64x^2 = 64$,તેથી $x^2 = 1$,એટલે કે $x = 1$.
આમ,$AB = 15(1) = 15$ અને $AC = 17(1) = 17$.
કાટકોણ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times BC \times AB$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 8 \times 15 = 4 \times 15 = 60$.

(B) સમબાજુ ત્રિકોણની પરિમિતિનું સૂત્ર: $P = 3 \times \text{બાજુ}$.
અહીં $P = 12$ આપેલ છે,તેથી $12 = 3 \times \text{બાજુ}$.
તેથી,બાજુની લંબાઈ $\text{બાજુ} = \frac{12}{3} = 4$ મળે.
સમબાજુ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \text{બાજુ}^2$.
બાજુની કિંમત મૂકતા: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 4^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 16 = 4\sqrt{3}$.