AP EAMCET 2022 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $x^2+3y^2=6$ है,जिसे $\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना बिंदु का उत्केंद्र कोण $\theta$ है। दीर्घवृत्त पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक $(a \cos \theta, b \sin \theta)$ होते हैं,जहाँ $a^2=6$ और $b^2=2$ है।
अतः,निर्देशांक $(\sqrt{6} \cos \theta, \sqrt{2} \sin \theta)$ हैं।
केंद्र $(0,0)$ से इस बिंदु की दूरी $2$ इकाई है।
इसलिए,$(\sqrt{6} \cos \theta)^2 + (\sqrt{2} \sin \theta)^2 = 2^2$।
$6 \cos^2 \theta + 2 \sin^2 \theta = 4$।
$6 \cos^2 \theta + 2(1 - \cos^2 \theta) = 4$।
$4 \cos^2 \theta + 2 = 4$ $\Rightarrow 4 \cos^2 \theta = 2$ $\Rightarrow \cos^2 \theta = \frac{1}{2}$।
$\cos \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$।
अतः,$\theta = \frac{\pi}{4}$ या $\frac{3\pi}{4}$।

(D) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$ है।
चूँकि $b^2 > a^2$ है,यह एक ऊर्ध्वाधर दीर्घवृत्त है जहाँ $a^2 = 4$ और $b^2 = 9$ है।
उत्केंद्रता $e$ का मान $a^2 = b^2(1 - e^2)$ $\Rightarrow 4 = 9(1 - e^2)$ $\Rightarrow e = \frac{\sqrt{5}}{3}$ है।
नाभियाँ $(0, \pm be) = (0, \pm \sqrt{5})$ हैं।
बिंदु $P = \left(\frac{4}{\sqrt{5}}, \frac{3}{\sqrt{5}}\right)$ के लिए नाभिय दूरियाँ $PS$ और $PS'$ हैं।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर,$PS = 2$ और $PS' = 4$ प्राप्त होता है।

(D) माना नाभियाँ $S_1(-ae, 0)$ और $S_2(ae, 0)$ हैं,और लघु अक्ष का सिरा $A(0, b)$ है।
कोण $\angle S_1 A S_2 = 90^{\circ}$ है।
$\Delta S_1 A S_2$ में,चूंकि $\angle S_1 A S_2 = 90^{\circ}$ है,कर्ण $S_1 S_2$ पर माध्यिका $AO$ कर्ण की लंबाई की आधी होती है।
$AO = \frac{1}{2} S_1 S_2$
$b = \frac{1}{2} (2ae) = ae$
चूंकि $b^2 = a^2(1 - e^2)$,हमें प्राप्त होता है:
$(ae)^2 = a^2(1 - e^2)$
$a^2 e^2 = a^2 - a^2 e^2$
$2a^2 e^2 = a^2$
$e^2 = \frac{1}{2}$
$e = \frac{1}{\sqrt{2}}$

(C) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण: $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{20}=1$ है।
इसे मानक रूप $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ से तुलना करने पर,$a^2=36$ और $b^2=20$ प्राप्त होता है,जिससे $a=6$ मिलता है।
उत्केंद्रता $e$ की गणना इस प्रकार की जाती है: $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{20}{36}} = \sqrt{\frac{16}{36}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$।
जब $a > b$ हो,तो दीर्घवृत्त की नियताओं के समीकरण $x = \pm \frac{a}{e}$ होते हैं।
मान रखने पर,$x = \pm \frac{6}{2/3} = \pm 9$ प्राप्त होता है।
नियताओं के बीच की दूरी इन दो मानों का अंतर है: $|9 - (-9)| = 18$।

(D) माना दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a > b$ है।
नाभिलंब की लंबाई $= \frac{2b^2}{a}$ है।
लघु अक्ष की लंबाई $= 2b$ है।
दी गई शर्त के अनुसार,नाभिलंब लघु अक्ष के आधे के बराबर है:
$\frac{2b^2}{a} = \frac{1}{2} (2b) = b$।
दोनों पक्षों को $b$ से विभाजित करने पर,$\frac{2b}{a} = 1$,जिसका अर्थ है $\frac{b}{a} = \frac{1}{2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{b^2}{a^2} = \frac{1}{4}$।
दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$ द्वारा दी जाती है।
$\frac{b^2}{a^2}$ का मान रखने पर:
$e = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$।

(A) दिया गया है,मुख्य अक्ष की लंबाई $2a = 6 \Rightarrow a = 3$ और लघु अक्ष की लंबाई $2b = 2 \Rightarrow b = 1$.
मुख्य अक्ष $x-y+1=0$ रेखा पर है। लघु अक्ष मुख्य अक्ष के लंबवत है और केंद्र $(5,6)$ से होकर गुजरती है।
मुख्य अक्ष की ढाल $m_1 = 1$ है। इसलिए,लघु अक्ष की ढाल $m_2 = -1$ है।
लघु अक्ष का समीकरण $y - 6 = -1(x - 5) \Rightarrow x + y - 11 = 0$ है।
केंद्र $(h,k) = (5,6)$ वाले दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{(\text{मुख्य अक्ष से दूरी})^2}{b^2} + \frac{(\text{लघु अक्ष से दूरी})^2}{a^2} = 1$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,मुख्य अक्ष $x-y+1=0$ से दूरी $\frac{|x-y+1|}{\sqrt{2}}$ है।
लघु अक्ष $x+y-11=0$ से दूरी $\frac{|x+y-11|}{\sqrt{2}}$ है।
इन मानों को मानक रूप में रखने पर:
$\frac{(\frac{x-y+1}{\sqrt{2}})^2}{1^2} + \frac{(\frac{x+y-11}{\sqrt{2}})^2}{3^2} = 1$
$\frac{(x-y+1)^2}{2} + \frac{(x+y-11)^2}{18} = 1$
$18$ से गुणा करने पर:
$9(x-y+1)^2 + (x+y-11)^2 = 18$.

(A) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $9x^2 + 25y^2 = 225$ है।
दोनों पक्षों को $225$ से विभाजित करने पर,$\frac{9x^2}{225} + \frac{25y^2}{225} = 1$,जो $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ में सरल हो जाता है।
इसे मानक रूप $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के साथ तुलना करने पर,$a^2 = 25$ और $b^2 = 9$ प्राप्त होता है,अतः $a = 5$ और $b = 3$ है।
उत्केंद्रता $e$ का मान $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$ है।
नाभियों के निर्देशांक $(\pm ae, 0)$ होते हैं।
मान रखने पर,$(\pm 5 \times \frac{4}{5}, 0) = (\pm 4, 0)$ प्राप्त होता है।

(D) अंतर्निहित दीर्घवृत्त $E_1: \frac{x^2}{3^2} + \frac{y^2}{2^2} = 1$ के लिए,आयत $R$ के शीर्ष $(\pm 3, \pm 2)$ हैं।
चूंकि $E_2: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ आयत $R$ के परिगत है,इसलिए इसे $R$ के शीर्षों जैसे $(3, 2)$ से होकर गुजरना चाहिए।
$E_2$ के समीकरण में $(3, 2)$ रखने पर: $\frac{3^2}{a^2} + \frac{2^2}{b^2} = 1 \Rightarrow \frac{9}{a^2} + \frac{4}{b^2} = 1$.
दिया गया है कि $E_2$,$(0, 4)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $\frac{0^2}{a^2} + \frac{4^2}{b^2} = 1$,जिससे $b^2 = 16$ प्राप्त होता है,अतः $b = 4$.
$b^2 = 16$ को समीकरण $\frac{9}{a^2} + \frac{4}{16} = 1$ में रखने पर:
$\frac{9}{a^2} + \frac{1}{4} = 1$ $\Rightarrow \frac{9}{a^2} = \frac{3}{4}$ $\Rightarrow a^2 = 12$ $\Rightarrow a = 2\sqrt{3}$.
अतः,$a = 2\sqrt{3}$ और $b = 4$.

(A) बिंदु $(\lambda, \lambda-2)$ दीर्घवृत्त $4x^2+9y^2=36$ के अंदर स्थित है।
दीर्घवृत्त समीकरण में बिंदु रखने पर:
$4\lambda^2 + 9(\lambda-2)^2 < 36$
$4\lambda^2 + 9(\lambda^2 - 4\lambda + 4) < 36$
$13\lambda^2 - 36\lambda < 0$
$\lambda(13\lambda - 36) < 0$
अतः,$0 < \lambda < \frac{36}{13}$ $(i)$.
बिंदु $(\lambda, \lambda-2)$ परवलय $y^2=x$ के बाहर स्थित है।
परवलय की शर्त $y^2 - x > 0$ में बिंदु रखने पर:
$(\lambda-2)^2 - \lambda > 0$
$\lambda^2 - 5\lambda + 4 > 0$
$(\lambda-4)(\lambda-1) > 0$
अतः,$\lambda \in (-\infty, 1) \cup (4, \infty)$ (ii).
$(i)$ और (ii) का प्रतिच्छेदन लेने पर:
$0 < \lambda < 1$ प्राप्त होता है।

(D) चूंकि $(\alpha, -\alpha)$ दीर्घवृत्त $4x^2 + 5y^2 - 1 = 0$ के अंदर स्थित है,इसलिए:
$4(\alpha)^2 + 5(-\alpha)^2 - 1 < 0$
$4\alpha^2 + 5\alpha^2 - 1 < 0$
$9\alpha^2 < 1$
$\alpha^2 < \frac{1}{9}$
$-\frac{1}{3} < \alpha < \frac{1}{3}$
अतः,$\alpha$ के लिए अंतराल $(-\frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ है।
इस अंतराल की लंबाई $\beta = \frac{1}{3} - (-\frac{1}{3}) = \frac{2}{3}$ है।
अब,$\beta = \frac{2}{3}$ को व्यंजक में रखने पर:
$(6\beta - 4)^{201} + 201 = (6 \times \frac{2}{3} - 4)^{201} + 201$
$= (4 - 4)^{201} + 201$
$= 0^{201} + 201 = 201$.

(C) दिया गया दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{49}=1$ है।
यहाँ,$a^2=64 \Rightarrow a=8$ और $b^2=49 \Rightarrow b=7$ है।
किसी बिंदु $(a \cos \theta, b \sin \theta)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x \cos \theta}{a} + \frac{y \sin \theta}{b} = 1$ है।
निर्देशांक अक्षों पर अंतःखंड $x_0 = \frac{a}{\cos \theta}$ और $y_0 = \frac{b}{\sin \theta}$ हैं।
अंतःखंडों का योग $L = a \sec \theta + b \csc \theta$ है।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करके $0$ के बराबर रखते हैं: $\frac{dL}{d\theta} = a \sec \theta \tan \theta - b \csc \theta \cot \theta = 0$।
इससे $\tan^3 \theta = \frac{b}{a}$ प्राप्त होता है,अतः $\tan \theta = (b/a)^{1/3}$।
अंतःखंडों का न्यूनतम योग $a+b = 8+7 = 15$ है।

(B) दिया गया है कि केंद्र $(0, 0)$ है,नाभियाँ $(\pm 3, 0)$ हैं और उत्केंद्रता $e = \frac{3}{2}$ है।
चूँकि नाभियाँ $(\pm ae, 0) = (\pm 3, 0)$ हैं,इसलिए $ae = 3$ है।
$e = \frac{3}{2}$ रखने पर,$a(\frac{3}{2}) = 3$,जिससे $a = 2$ प्राप्त होता है।
संबंध $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ का उपयोग करने पर,$b^2 = 2^2((\frac{3}{2})^2 - 1) = 4(\frac{9}{4} - 1) = 5$ प्राप्त होता है।
अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1$ अर्थात $5x^2 - 4y^2 = 20$ है।
रेखा $y = 2x - 1$ के साथ प्रतिच्छेदन की जाँच करने के लिए,$y$ का मान अतिपरवलय के समीकरण में रखने पर:
$5x^2 - 4(2x - 1)^2 = 20$
$5x^2 - 4(4x^2 - 4x + 1) = 20$
$-11x^2 + 16x - 24 = 0$ या $11x^2 - 16x + 24 = 0$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D = (-16)^2 - 4(11)(24) = 256 - 1056 = -800$ है।
चूँकि $D < 0$ है,इसलिए रेखा अतिपरवलय को नहीं काटती है।

(D) दिया गया है कि शीर्ष $(\pm a, 0) = (\pm 3, 0)$ हैं,इसलिए $a = 3$ है।
नाभियाँ $(\pm ae, 0) = (\pm 4, 0)$ हैं,इसलिए $ae = 4$ है।
$a=3$ प्रतिस्थापित करने पर,$3e = 4$,जिसका अर्थ है $e = \frac{4}{3}$।
हम जानते हैं कि $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ होता है।
मान रखने पर,$b^2 = 3^2 \left( (\frac{4}{3})^2 - 1 \right) = 9 \left( \frac{16}{9} - 1 \right) = 16 - 9 = 7$।
अतः,$b = \sqrt{7}$।
अतिपरवलय का मानक समीकरण $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{7} = 1$ है।
अतिपरवलय के प्राचलिक समीकरण $x = a \sec \theta$ और $y = b \tan \theta$ होते हैं।
$a=3$ और $b=\sqrt{7}$ रखने पर,हमें $x = 3 \sec \theta$ और $y = \sqrt{7} \tan \theta$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया अतिपरवलय $16 x^2 - 9 y^2 = 1$ है।
इसे $\frac{x^2}{(1/4)^2} - \frac{y^2}{(1/3)^2} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2 = \frac{1}{16}$ और $b^2 = \frac{1}{9}$ है।
अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e_1$,$e_1^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = 1 + \frac{1/9}{1/16} = 1 + \frac{16}{9} = \frac{25}{9}$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$e_1 = \frac{5}{3}$।
संयुग्मी अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e_2$,$e_2^2 = 1 + \frac{a^2}{b^2} = 1 + \frac{1/16}{1/9} = 1 + \frac{9}{16} = \frac{25}{16}$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$e_2 = \frac{5}{4}$।
अब,$3 e_1 = 3 \times \frac{5}{3} = 5$।
साथ ही,$4 e_2 = 4 \times \frac{5}{4} = 5$।
इसलिए,$3 e_1 = 4 e_2$।

(A) दिया गया समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} + 1 = 0$ है,जिसे $\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह एक संयुग्मी अतिपरवलय है।
इस अतिपरवलय के लिए नियता का समीकरण $y = \frac{b}{e}$ होता है।
इसे दी गई नियता $\sqrt{5} y - \sqrt{8} = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $y = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{5}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{b}{e} = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{5}}$.
दिया गया है कि $e = \frac{\sqrt{5}}{2}$,इसलिए $b = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{\sqrt{8}}{2} = \sqrt{2}$.
संयुग्मी अतिपरवलय के लिए,$e^2 = 1 + \frac{a^2}{b^2}$ होता है।
मान रखने पर,$(\frac{\sqrt{5}}{2})^2 = 1 + \frac{a^2}{(\sqrt{2})^2} \implies \frac{5}{4} = 1 + \frac{a^2}{2}$.
$\frac{a^2}{2} = \frac{5}{4} - 1 = \frac{1}{4} \implies a^2 = \frac{1}{2} \implies a = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,$\frac{1}{a} = \sqrt{2}$.

(B) नाभि $S$ के निर्देशांक $(ae, 0)$ हैं और प्रथम चतुर्थांश में नाभिलंब का अंतिम बिंदु $L$ के निर्देशांक $(ae, b^2/a)$ हैं।
दिया गया है $S(8, y_1)$,अतः $ae = 8$ है।
दिया गया है $L(x_1, 4)$,अतः $b^2/a = 4$,जिसका अर्थ है $b^2 = 4a$ है।
अतिपरवलय के लिए,$c^2 = a^2 + b^2$,जहाँ $c = ae = 8$ है।
$c = 8$ और $b^2 = 4a$ को $c^2 = a^2 + b^2$ में रखने पर:
$64 = a^2 + 4a$
$a^2 + 4a - 64 = 0$
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर:
$a = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 256}}{2} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{17}}{2} = -2 \pm 2\sqrt{17}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $a > 0$,इसलिए $a = 2\sqrt{17} - 2 = 2(\sqrt{17} - 1)$ है।
अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $2a = 4(\sqrt{17} - 1)$ है।

(A) दिया गया है कि अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $2a = 8$ है,जिसका अर्थ है $a = 4$।
नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 2\sqrt{41}$ है,जिसका अर्थ है $ae = \sqrt{41}$।
संबंध $a^2e^2 = a^2 + b^2$ का उपयोग करने पर:
$(\sqrt{41})^2 = 4^2 + b^2$
$41 = 16 + b^2$
$b^2 = 41 - 16 = 25$।
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a}$ होती है।
मान रखने पर,$\frac{2 \times 25}{4} = \frac{50}{4} = \frac{25}{2}$।

(B) शंकु परिच्छेद की परिभाषा के अनुसार $SP^2 = e^2 PM^2$,जहाँ $S$ नाभि है,$P(x,y)$ वक्र पर एक बिंदु है,$e$ उत्केंद्रता है और $PM$ बिंदु $P$ से नियता की लंबवत दूरी है।
दी गई नाभि $S = (1,2)$,नियता $x+2y=0$,और $e = \sqrt{2}$ है।
$(x-1)^2 + (y-2)^2 = (\sqrt{2})^2 \frac{(x+2y)^2}{1^2+2^2}$
$(x^2-2x+1) + (y^2-4y+4) = 2 \frac{(x+2y)^2}{5}$
$5(x^2+y^2-2x-4y+5) = 2(x^2+4y^2+4xy)$
$5x^2+5y^2-10x-20y+25 = 2x^2+8y^2+8xy$
$3x^2-8xy-3y^2-10x-20y+25 = 0$

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 - 5x - 14 = 0$ है।
समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x - 7)(x + 2) = 0$,अतः मूल $x_1 = 7$ और $x_2 = -2$ हैं।
चूँकि अक्ष की लंबाई धनात्मक होनी चाहिए,हम $b = 7$ लेते हैं।
दूसरे मूल का वर्ग अर्ध-अनुप्रस्थ अक्ष $a = (-2)^2 = 4$ है।
अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,केंद्र से फोकस की दूरी $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ होती है।
मान रखने पर: $c = \sqrt{4^2 + 7^2} = \sqrt{16 + 49} = \sqrt{65}$।
अतः,धनात्मक $x$-अक्ष पर स्थित फोकस $(\sqrt{65}, 0)$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $9x^2-16y^2-72x+96y-144=0$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $9(x^2-8x)-16(y^2-6y)=144$
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $9(x^2-8x+16)-16(y^2-6y+9)=144+144-144$
$9(x-4)^2-16(y-3)^2=144$
$144$ से भाग देने पर: $\frac{(x-4)^2}{16}-\frac{(y-3)^2}{9}=1$
$\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$ से तुलना करने पर,$a^2=16$ और $b^2=9$ प्राप्त होता है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1+\frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$ है।
अतः,कथन $I$ सत्य है और कथन $II$ इसकी सही व्याख्या है।

(A) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ का सहायक वृत्त $x^2+y^2=a^2$ होता है।
$\therefore a^2=16 \Rightarrow a=4$.
अतिपरवलय $(4 \sqrt{2}, 3)$ से होकर गुजरता है,इसलिए:
$\frac{(4 \sqrt{2})^2}{16} - \frac{3^2}{b^2} = 1$
$\Rightarrow \frac{32}{16} - \frac{9}{b^2} = 1$
$\Rightarrow 2 - \frac{9}{b^2} = 1$
$\Rightarrow \frac{9}{b^2} = 1$ $\Rightarrow b^2 = 9$.
उत्केंद्रता $e$ का मान $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
$e = \sqrt{1 + \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$.

(D) अतिपरवलय का समीकरण: $3x^2 - 4y^2 = 300$.
$300$ से भाग देने पर: $\frac{x^2}{100} - \frac{y^2}{75} = 1$.
यहाँ,$a^2 = 100$ और $b^2 = 75$.
रेखा $3x - my + 5 = 0$ को $y = \frac{3}{m}x + \frac{5}{m}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$y = Mx + c$ से तुलना करने पर,$M = \frac{3}{m}$ और $c = \frac{5}{m}$.
स्पर्श रेखा की शर्त $c^2 = a^2M^2 - b^2$ का उपयोग करने पर: $(\frac{5}{m})^2 = 100(\frac{3}{m})^2 - 75$.
$\frac{25}{m^2} = \frac{900}{m^2} - 75$.
$75 = \frac{875}{m^2} \Rightarrow m^2 = \frac{35}{3}$.
$Y$-अंतःखंड का वर्ग $c^2 = \frac{25}{m^2} = 25 \times \frac{3}{35} = \frac{15}{7}$.

(C) रेखा $y=x$ के लंबवत रेखा की ढाल $-1$ है। अतः,स्पर्श रेखा का समीकरण $y = -x + c$ या $x + y - c = 0$ है।
दिए गए अतिपरवलय का समीकरण $x^2 - 2y^2 = 18$ है,जिसे मानक रूप में $\frac{x^2}{18} - \frac{y^2}{9} = 1$ लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2 = 18$ और $b^2 = 9$ है।
अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए स्पर्श रेखा $y = mx + c$ की शर्त $c^2 = a^2m^2 - b^2$ है।
मान रखने पर: $c^2 = 18(-1)^2 - 9 = 18 - 9 = 9$,इसलिए $c = \pm 3$।
स्पर्श रेखाओं के समीकरण $x + y + 3 = 0$ और $x + y - 3 = 0$ हैं।
दो समांतर रेखाओं $Ax + By + C_1 = 0$ और $Ax + By + C_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ होती है।
मान रखने पर: $d = \frac{|3 - (-3)|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$ इकाई।

(C) माना अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ पर स्थित बिंदु $(x_0, y_0)$ है।
बिंदु $(x_0, y_0)$ से अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 2$ पर खींची गई स्पर्श जीवा का समीकरण $\frac{x x_0}{a^2} - \frac{y y_0}{b^2} = 2$ है।
अतिपरवलय के अनंतस्पर्शी $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 0$ और $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0$ हैं।
यह एक ज्ञात गुण है कि अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = k$ पर किसी भी बिंदु के लिए,स्पर्श जीवा और अनंतस्पर्शी द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल स्थिर होता है और यह $a b k$ के बराबर होता है।
यहाँ,$k = 2$ है,इसलिए क्षेत्रफल $a b (2) = 2ab$ होगा।

(B) आयताकार अतिपरवलय का समीकरण $x^2 - y^2 = 1$ है,जहाँ $a=1$ और $b=1$ है।
अतिपरवलय पर बिंदु $P(\theta)$ के निर्देशांक $(\sec \theta, \tan \theta)$ हैं।
$\theta_1 = \frac{\pi}{4}$ पर,बिंदु $P$ $(\sec \frac{\pi}{4}, \tan \frac{\pi}{4}) = (\sqrt{2}, 1)$ है।
स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \sin \theta$ है।
$P$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
$P$ पर अभिलंब की ढाल $-\sqrt{2}$ है।
$P(\sqrt{2}, 1)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - 1 = -\sqrt{2}(x - \sqrt{2})$ अर्थात $y = -\sqrt{2}x + 3$ है।
इसे अतिपरवलय के समीकरण में रखने पर:
$x^2 - (-\sqrt{2}x + 3)^2 = 1$
$x^2 - 6\sqrt{2}x + 10 = 0$ प्राप्त होता है।
चूँकि मूल $x_1 = \sqrt{2}$ है,मूलों का गुणनफल $x_1 x_2 = 10$,इसलिए $x_2 = 5\sqrt{2}$ है।
बिंदु $Q$ के लिए,$x_2 = \sec \theta_2 = 5\sqrt{2}$ है।
अतः $\tan^2 \theta_2 = \sec^2 \theta_2 - 1 = 50 - 1 = 49$,इसलिए $\tan \theta_2 = 7$ है।
इस प्रकार,$\sec^2 \theta_2 + \tan \theta_2 = 50 + 7 = 57$ है।

(D) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ की नाभियाँ $(\pm ae, 0)$ हैं,जहाँ $a^2e^2 = a^2+b^2$ है।
नाभियों को जोड़ने वाली रेखा को व्यास मानकर खींचे गए वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = a^2+b^2$ है।
बिंदु $P(x_1, y_1)$ के लिए स्पर्श जीवा का समीकरण $\frac{xx_1}{a^2} - \frac{yy_1}{b^2} = 1$ है।
यह रेखा वृत्त को स्पर्श करती है,इसलिए केंद्र $(0,0)$ से लंबवत दूरी त्रिज्या $\sqrt{a^2+b^2}$ के बराबर होगी।
$\frac{|-a^2b^2|}{\sqrt{b^4x_1^2 + a^4y_1^2}} = \sqrt{a^2+b^2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{x_1^2}{a^4} + \frac{y_1^2}{b^4} = \frac{1}{a^2+b^2}$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदुपथ $\frac{x^2}{a^4} + \frac{y^2}{b^4} = \frac{1}{a^2+b^2}$ है।

(D) दिए गए अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ है।
माना $(h, k)$ अतिपरवलय की जीवा $PQ$ का ध्रुव है।
स्पर्श-जीवा $PQ$ का समीकरण $\frac{xh}{a^2}-\frac{yk}{b^2}=1$ है।
मूल बिंदु को अतिपरवलय और जीवा के प्रतिच्छेदन बिंदुओं से जोड़ने वाली रेखाओं का संयुक्त समीकरण प्राप्त करने के लिए,हम जीवा के समीकरण का उपयोग करके अतिपरवलय के समीकरण को समघातीय बनाते हैं:
$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2} = \left(\frac{xh}{a^2}-\frac{yk}{b^2}\right)^2$.
चूंकि जीवा $PQ$ मूल बिंदु पर समकोण अंतरित करती है,इसलिए $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए।
सरलीकरण करने पर: $\left(\frac{1}{a^2}-\frac{h^2}{a^4}\right) + \left(-\frac{1}{b^2}-\frac{k^2}{b^4}\right) = 0$.
$\Rightarrow \frac{h^2}{a^4} + \frac{k^2}{b^4} = \frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}$.
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $\frac{x^2}{a^4} + \frac{y^2}{b^4} = \frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}$ प्राप्त होता है।

(C) माना $P(h, k)$ अतिपरवलय $x^2 - y^2 = a^2$ की अभिलंब जीवा के सिरों पर स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है। स्पर्श रेखा का समीकरण $hx - ky = a^2$ है। इसे अभिलंब के समीकरण $x \cos \theta + y \cot \theta = 2a$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a^2(y^2 - x^2) = 4x^2y^2$ प्राप्त होता है।

(B) माना $P(h, k)$ अभिलंब जीवा के अंत बिंदुओं पर स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ के लिए अभिलंब जीवा का समीकरण $ax \sec \theta + by \tan \theta = a^2+b^2$ है।
बिंदु $P(h, k)$ के लिए स्पर्श जीवा का समीकरण $\frac{hx}{a^2}-\frac{ky}{b^2}=1$ है।
चूंकि दोनों समीकरण एक ही रेखा को दर्शाते हैं,गुणांकों की तुलना करने पर:
$\frac{a \sec \theta}{h/a^2} = \frac{b \tan \theta}{-k/b^2} = a^2+b^2$
$\sec \theta = \frac{h(a^2+b^2)}{a^3}$ और $\tan \theta = \frac{-k(a^2+b^2)}{b^3}$ प्राप्त होता है।
$\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{a^6}{x^2}-\frac{b^6}{y^2}=(a^2+b^2)^2$ प्राप्त होता है।

(D) दी गई रेखाएँ हैं:
$(i) \sqrt{3}x - y = 4\sqrt{3}k$
$(ii) \sqrt{3}kx + ky = 4\sqrt{3}$
$(i)$ से,$k = \frac{\sqrt{3}x - y}{4\sqrt{3}}$.
$k$ का मान $(ii)$ में रखने पर:
$\sqrt{3}x \left(\frac{\sqrt{3}x - y}{4\sqrt{3}}\right) + y \left(\frac{\sqrt{3}x - y}{4\sqrt{3}}\right) = 4\sqrt{3}$
$\frac{3x^2 - \sqrt{3}xy + \sqrt{3}xy - y^2}{4\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$
$3x^2 - y^2 = 48$
$\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{48} = 1$
यह एक अतिपरवलय है जहाँ $a^2 = 16$ और $b^2 = 48$.
उत्केंद्रता $e$ के लिए $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = 1 + \frac{48}{16} = 4$.
अतः,$4e^2 = 4(4) = 16$.

(D) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ के अनंतस्पर्शी के समीकरण $bx - ay = 0$ और $bx + ay = 0$ हैं।
माना $P(a \sec \theta, b \tan \theta)$ अतिपरवलय पर कोई बिंदु है।
$P$ से अनंतस्पर्शी $bx - ay = 0$ तक की लंबवत दूरी $PQ = \frac{|b(a \sec \theta) - a(b \tan \theta)|}{\sqrt{b^2 + a^2}} = \frac{ab(\sec \theta - \tan \theta)}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ है।
$P$ से अनंतस्पर्शी $bx + ay = 0$ तक की लंबवत दूरी $PR = \frac{|b(a \sec \theta) + a(b \tan \theta)|}{\sqrt{b^2 + a^2}} = \frac{ab(\sec \theta + \tan \theta)}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ है।
इन दूरियों का गुणनफल $6$ दिया गया है:
$\frac{a^2 b^2(\sec^2 \theta - \tan^2 \theta)}{a^2 + b^2} = 6$
चूंकि $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$,इसलिए $\frac{a^2 b^2}{a^2 + b^2} = 6$ है।
$e = \sqrt{3}$ दिया गया है,हम जानते हैं कि $b^2 = a^2(e^2 - 1) = a^2(3 - 1) = 2a^2$ है।
समीकरण में $b^2 = 2a^2$ रखने पर:
$\frac{a^2(2a^2)}{a^2 + 2a^2} = 6$ $\Rightarrow \frac{2a^4}{3a^2} = 6$ $\Rightarrow \frac{2}{3}a^2 = 6$ $\Rightarrow a^2 = 9$।
तब $b^2 = 2(9) = 18$,अतः $b = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$।
संयुग्मी अक्ष की लंबाई $2b = 2(3\sqrt{2}) = 6\sqrt{2}$ है।

(A) हमें सीमा दी गई है: $\lim _{x \rightarrow \frac{-3}{5}} \frac{1}{x}\left[\frac{-1}{x}\right]$.
जैसे $x \rightarrow \frac{-3}{5}$,पद $\frac{-1}{x} \rightarrow \frac{-1}{-3/5} = \frac{5}{3}$ की ओर अग्रसर होता है।
चूंकि $\frac{5}{3} = 1.66...$ अंतराल $[1, 2)$ में स्थित है।
महत्तम पूर्णांक फलन की परिभाषा के अनुसार,$[\frac{5}{3}] = 1$ है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\lim _{x}$ ${\rightarrow \frac{-3}{5}} \frac{1}{x}\left[\frac{-1}{x}\right] = \left(\frac{1}{-3/5}\right) \times [\frac{5}{3}] = \frac{-5}{3} \times 1 = \frac{-5}{3}$।

(C) दिया गया सीमा: $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{(b-c) x^2+(c-a) x+(a-b)}{(a-b) x^2+(b-c) x+(c-a)}=\frac{1}{2}$
अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर:
$\lim _{x}$ ${\rightarrow \infty} \frac{(b-c) + \frac{c-a}{x} + \frac{a-b}{x^2}}{(a-b) + \frac{b-c}{x} + \frac{c-a}{x^2}} = \frac{1}{2}$
जैसे $x \rightarrow \infty$,हर में $x$ वाले पद $0$ की ओर अग्रसर होते हैं:
$\frac{b-c}{a-b} = \frac{1}{2}$
वज्र-गुणन करने पर:
$2(b-c) = a-b$
$2b - 2c = a - b$
$3b = a + 2c$

(B) $x \rightarrow a^{-}$ के लिए,हमारे पास $\frac{x}{a} < 1$ है,इसलिए $\left[\frac{x}{a}\right] = 0$ है।
अतः,$k = \lim _{x \rightarrow a^{-}} \left(\frac{|x|^3}{a} - 0^3\right) = \frac{a^3}{a} = a^2$।
$x \rightarrow a^{+}$ के लिए,हमारे पास $\frac{x}{a} > 1$ है,इसलिए $\left[\frac{x}{a}\right] = 1$ है।
अतः,$l = \lim _{x \rightarrow a^{+}} \left(\frac{|x|^3}{a} - 1^3\right) = \frac{a^3}{a} - 1 = a^2 - 1$।
$k - l$ की गणना करने पर:
$k - l = a^2 - (a^2 - 1) = a^2 - a^2 + 1 = 1$।

(B) दिया गया है $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{((a-n) n x-\tan x) \sin n x}{x^2}=0$.
हम सीमा को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\lim _{x \rightarrow 0} \left[ \frac{(a-n) n x-\tan x}{x} \right] \cdot \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin n x}{x} = 0$.
चूँकि $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin n x}{x} = n$,हमारे पास है:
$n \cdot \lim _{x \rightarrow 0} \left[ (a-n) n - \frac{\tan x}{x} \right] = 0$.
$n [ (a-n) n - 1 ] = 0$.
चूँकि $n > 0$,इसलिए $(a-n) n - 1 = 0$ होना चाहिए।
$(a-n) n = 1 \implies a-n = \frac{1}{n} \implies a = n + \frac{1}{n}$.
$AM-GM$ असमिका के अनुसार,$n > 0$ के लिए,$n + \frac{1}{n} \ge 2$.
अतः $a$ का न्यूनतम मान $2$ है जब $n = 1$ हो।

(B) माना $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n = L$ है।
चूंकि सीमा का अस्तित्व है और यह परिमित है,हम पुनरावृत्ति संबंध को $L = \frac{a + bL}{b + cL}$ के रूप में लिख सकते हैं।
दोनों पक्षों को $(b + cL)$ से गुणा करने पर,हमें $L(b + cL) = a + bL$ प्राप्त होता है।
$bL + cL^2 = a + bL$।
दोनों पक्षों से $bL$ घटाने पर,हमें $cL^2 = a$ प्राप्त होता है।
$L^2 = \frac{a}{c}$।
चूंकि $a, c > 0$ है और अनुक्रम के पद धनात्मक हैं,हम धनात्मक वर्गमूल लेते हैं: $L = \sqrt{\frac{a}{c}}$।

(B) दिया गया सीमा $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(\cos x-1)(\cos x-e^x)}{x^n}$ है।
$x=0$ के निकट टेलर श्रेणी का उपयोग करने पर:
$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots$
$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots$
मान प्रतिस्थापित करने पर:
$(\cos x - 1) = -\frac{x^2}{2} + O(x^4)$
$(\cos x - e^x) = -x - x^2 + O(x^3)$
अंश $= (-\frac{x^2}{2} + O(x^4))(-x - x^2 + O(x^3)) = \frac{x^3}{2} + O(x^4)$.
सीमा को परिमित और शून्येतर होने के लिए,हर में $x$ की घात $3$ होनी चाहिए।
अतः,$n = 3$।

(A) दिया गया है,$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{|x|}{\sqrt{x^4+4 x^2+5}}=k$.
$x=0$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $k = \frac{0}{\sqrt{0+0+5}} = 0$ प्राप्त होता है।
अब,$\lim _{x \rightarrow 0} x^4 \sin \left(\frac{1}{3 \sqrt{x}}\right)=l$ पर विचार करें।
चूंकि जैसे-जैसे $x \rightarrow 0$ होता है,$\sin \left(\frac{1}{3 \sqrt{x}}\right)$ का मान $-1$ और $1$ के बीच दोलन करता है,और $x^4 \rightarrow 0$ होता है,इसलिए स्क्वीज़ प्रमेय (Squeeze Theorem) द्वारा,$0 \times (\text{finite value}) = 0$।
अतः,$l = 0$।
इसलिए,$k+l = 0+0 = 0$।

(C) माना $f(x) = ax^2 + bx + c$ है। चूंकि $l$ और $m$ मूल हैं,$f(x) = a(x-l)(x-m)$ होगा।
यदि $\alpha \in (l, m)$ है,तो $(x-l)$ और $(x-m)$ के चिह्न विपरीत होंगे,इसलिए $f(x)$ का चिह्न $a$ के विपरीत होगा।
अतः,यदि $a > 0$ है तो $f(x) < 0$ और यदि $a < 0$ है तो $f(x) > 0$ होगा।
दोनों स्थितियों में,$x \in (l, m)$ के लिए $\frac{|f(x)|}{f(x)} = -1$ होगा।
इसलिए,$\lim_{x \rightarrow \alpha} \frac{|f(x)|}{f(x)} = \frac{-|a|}{a}$ जब $\alpha \in (l, m)$।

(B) हम जानते हैं कि $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$.
इस मान को सीमा में रखने पर,हमें $\lim _{x \rightarrow-\infty} \log _e \left( \frac{e^x + e^{-x}}{2} \right) + x$ प्राप्त होता है।
$\log(a/b) = \log a - \log b$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,$\lim _{x \rightarrow-\infty} [\log _e(e^x + e^{-x}) - \log _e 2 + x]$ मिलता है।
चूंकि $x \rightarrow -\infty$,इसलिए $e^x \rightarrow 0$. लॉग के अंदर $e^{-x}$ कॉमन लेने पर: $\log _e(e^{-x}(e^{2x} + 1)) = \log _e(e^{-x}) + \log _e(1 + e^{2x}) = -x + \log _e(1 + e^{2x})$.
इसे वापस रखने पर: $\lim _{x \rightarrow-\infty} [-x + \log _e(1 + e^{2x}) - \log _e 2 + x]$.
$x$ और $-x$ पद कट जाते हैं,जिससे $\lim _{x \rightarrow-\infty} [\log _e(1 + e^{2x}) - \log _e 2]$ बचता है।
जैसे $x \rightarrow -\infty$,$e^{2x} \rightarrow 0$,इसलिए $\log _e(1 + 0) - \log _e 2 = 0 - \log _e 2 = -\log _e 2$.

(A) माना $L = \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{3|x|-x}{|x|-2x} - \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log(1+x^3)}{\sin^3 x}$ है।
प्रथम सीमा के लिए,जैसे $x \rightarrow -\infty$,$|x| = -x$ होता है। अतः,$\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{3(-x)-x}{-x-2x} = \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{-4x}{-3x} = \frac{4}{3}$।
दूसरी सीमा के लिए,हम मानक सीमाओं $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log(1+x^3)}{x^3} = 1$ और $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ का उपयोग करते हैं।
अतः,$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log(1+x^3)}{\sin^3 x} = \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{\log(1+x^3)}{x^3} \times \frac{x^3}{\sin^3 x} \right) = 1 \times 1 = 1$।
इसलिए,$L = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$।

(B) माना $L = \lim _{x \rightarrow \pi / 6} \frac{3 \sin x-\sqrt{3} \cos x}{6 x-\pi}$ है।
चूंकि सीमा $\frac{0}{0}$ के रूप में है,हम अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करके $L$'$H$ôpital नियम का उपयोग करते हैं:
$L = \lim _{x \rightarrow \pi / 6} \frac{\frac{d}{dx}(3 \sin x-\sqrt{3} \cos x)}{\frac{d}{dx}(6 x-\pi)}$
$L = \lim _{x \rightarrow \pi / 6} \frac{3 \cos x+\sqrt{3} \sin x}{6}$
$x = \frac{\pi}{6}$ रखने पर:
$L = \frac{3 \cos(\pi/6) + \sqrt{3} \sin(\pi/6)}{6}$
$L = \frac{3(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \sqrt{3}(\frac{1}{2})}{6}$
$L = \frac{\frac{3\sqrt{3} + \sqrt{3}}{2}}{6} = \frac{4\sqrt{3}}{12} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

(D) माना $f(x) = \frac{\sqrt{11+|x|-6 \sqrt{2+|x|}}}{6-2 \sqrt{2+|x|}}$ है।
हम देखते हैं कि $11+|x|-6 \sqrt{2+|x|} = 9 + 2 + |x| - 6\sqrt{2+|x|} = 3^2 + (\sqrt{2+|x|})^2 - 2(3)(\sqrt{2+|x|}) = (3-\sqrt{2+|x|})^2$.
इस मान को सीमा में प्रतिस्थापित करने पर:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{(3-\sqrt{2+|x|})^2}}{2(3-\sqrt{2+|x|})}$
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{|3-\sqrt{2+|x|}|}{2(3-\sqrt{2+|x|})}$.
जैसे $x \rightarrow 0$,$\sqrt{2+|x|} \rightarrow \sqrt{2} \approx 1.414$,इसलिए $3-\sqrt{2+|x|} > 0$.
अतः,$|3-\sqrt{2+|x|}| = 3-\sqrt{2+|x|}$.
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{3-\sqrt{2+|x|}}{2(3-\sqrt{2+|x|})} = \frac{1}{2}$.

(A) माना $L = \lim _{x \rightarrow 0} x^3 \left( \sqrt{x^2 + \sqrt{x^4 + 1}} - \sqrt{2} x \right)$ है।
जैसे $x \rightarrow 0$,व्यंजक का मान $0 \times (\sqrt{0 + \sqrt{0 + 1}} - 0) = 0 \times (1 - 0) = 0$ हो जाता है।
अतः,$\lim _{x \rightarrow 0} x^3 \left( \sqrt{x^2 + \sqrt{x^4 + 1}} - \sqrt{2} x \right) = 0$।

(C) हम मानक सीमा सूत्र का उपयोग करते हैं: $\lim _{x \rightarrow c} \frac{x^n - c^n}{x - c} = n c^{n-1}$.
दिया गया है $\lim _{x \rightarrow -a} \frac{x^7 - (-a)^7}{x - (-a)} = 7$.
$n = 7$ और $c = -a$ के साथ सूत्र लागू करने पर:
$7(-a)^{7-1} = 7$
$7(-a)^6 = 7$
$(-a)^6 = 1$
चूंकि घात सम है,$a^6 = 1$.
दोनों पक्षों का छठा मूल लेने पर,$a = \pm 1$.

(A) हमें सीमा $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2 \log (\cos x)}{\log (1+x^2)}$ दी गई है।
यह एक $\frac{0}{0}$ अनिर्धारित रूप है।
हम मानक सीमा $\lim _{u \rightarrow 0} \frac{\log (1+u)}{u} = 1$ और $\log(\cos x)$ के लिए टेलर श्रेणी विस्तार का उपयोग करते हैं।
सबसे पहले,$x \rightarrow 0$ के लिए $\log(1+x^2) \approx x^2$ है।
इसके बाद,$\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2}$,इसलिए $\log(\cos x) \approx \log(1 - \frac{x^2}{2}) \approx -\frac{x^2}{2}$ है।
सीमा में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2 \cdot (-\frac{x^2}{2})}{x^2} = \lim _{x \rightarrow 0} (-\frac{x^2}{2}) = 0$.

(D) हमें सीमा $\lim _{x \rightarrow \frac{\pi^{+}}{2}} \frac{[\sin x]-[\cos x]+1}{2}$ दी गई है।
जैसे $x \rightarrow \frac{\pi^{+}}{2}$,$x$ का मान $\frac{\pi}{2}$ से थोड़ा अधिक है।
अंतराल $(\frac{\pi}{2}, \pi)$ के लिए,$0 \leq \sin x < 1$ है,इसलिए $[\sin x] = 0$ होगा।
इसी प्रकार,अंतराल $(\frac{\pi}{2}, \pi)$ के लिए,$-1 < \cos x < 0$ है,इसलिए $[\cos x] = -1$ होगा।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\lim _{x \rightarrow \frac{\pi^{+}}{2}} \frac{0 - (-1) + 1}{2} = \frac{1 + 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

(A) माना $L = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \tan(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}) \cdot \frac{1-\sin x}{(\pi-2 x)^3}$.
$x = \frac{\pi}{2} + h$ प्रतिस्थापित करें,जहाँ $h \rightarrow 0$ जब $x \rightarrow \frac{\pi}{2}$.
तब $\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} = -\frac{h}{2}$ और $\pi - 2x = -2h$.
$1 - \sin x = 1 - \cos h = 2\sin^2(\frac{h}{2})$.
इन मानों को सीमा में रखने पर:
$L = \lim _{h \rightarrow 0} \tan(-\frac{h}{2}) \cdot \frac{2\sin^2(\frac{h}{2})}{-8h^3}$.
$L = \lim _{h \rightarrow 0} \frac{\tan(\frac{h}{2})}{h} \cdot \frac{2\sin^2(\frac{h}{2})}{8h^2}$.
$L = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{1}{4} \cdot 1^2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{32}$.

(D) हमें सीमा दी गई है: $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\cos x - e^{nx}}{1 - A e^{nx}}$.
अंश और हर को $e^{nx}$ से विभाजित करने पर:
$= \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{\cos x}{e^{nx}} - 1}{\frac{1}{e^{nx}} - A}$.
चूंकि $x > 0$,जैसे $n \rightarrow \infty$,$e^{nx} \rightarrow \infty$.
अतः,$\frac{\cos x}{e^{nx}} \rightarrow 0$ और $\frac{1}{e^{nx}} \rightarrow 0$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$= \frac{0 - 1}{0 - A} = \frac{-1}{-A} = \frac{1}{A}$.

(A) दिया गया है,$\lim _{n \rightarrow \infty} x^n \log _e x=0$.
हम जानते हैं कि जैसे $n \rightarrow \infty$,$x^n \rightarrow 0$ केवल तब होता है जब $x \in (0, 1)$ हो।
अतः,सीमा $0$ होने के लिए $x \in (0, 1)$ होना आवश्यक है।
चूंकि लघुगणक $\log _x 12$ का आधार $x \in (0, 1)$ है और मान $12 > 1$ है,इसलिए $\log _x 12$ का मान ऋणात्मक होगा।

(D) हम जानते हैं कि दिक्-अनुपात $(a, b, c)$ और दिक्-कोसाइन $(\ell, m, n)$ के बीच संबंध $a = k\ell, b = km, c = kn$ होता है,जहाँ $k$ एक शून्येतर स्थिरांक है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{a^2}{b^2+c^2} = \frac{(k\ell)^2}{(km)^2+(kn)^2} = \frac{k^2\ell^2}{k^2(m^2+n^2)} = \frac{\ell^2}{m^2+n^2}$.
चूंकि $\ell^2 + m^2 + n^2 = 1$,इसलिए $m^2 + n^2 = 1 - \ell^2$ होता है।
अतः,$\frac{a^2}{b^2+c^2} = \frac{\ell^2}{1-\ell^2}$।

(B) दिए गए समीकरण $2l-m+3n=0$ और $l^2+mn-6n^2=0$ हैं।
पहले समीकरण से,$m=2l+3n$।
इस मान को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $l^2+(2l+3n)n-6n^2=0$।
$l^2+2ln+3n^2-6n^2=0 \Rightarrow l^2+2ln-3n^2=0$।
गुणनखंड करने पर $(l+3n)(l-n)=0$ प्राप्त होता है,इसलिए $l=n$ या $l=-3n$।
स्थिति $1$: यदि $l=n$,तो $m=2(n)+3n=5n$। दिक् अनुपात $(n, 5n, n)$ या $(1, 5, 1)$ हैं। दिक्कोज्या $(\frac{1}{\sqrt{1^2+5^2+1^2}}, \frac{5}{\sqrt{27}}, \frac{1}{\sqrt{27}}) = (\frac{1}{3\sqrt{3}}, \frac{5}{3\sqrt{3}}, \frac{1}{3\sqrt{3}})$ हैं।
स्थिति $2$: यदि $l=-3n$,तो $m=2(-3n)+3n=-3n$। दिक् अनुपात $(-3n, -3n, n)$ या $(-3, -3, 1)$ हैं। दिक्कोज्या $(\frac{-3}{\sqrt{(-3)^2+(-3)^2+1^2}}, \frac{-3}{\sqrt{19}}, \frac{1}{\sqrt{19}}) = (\frac{-3}{\sqrt{19}}, \frac{-3}{\sqrt{19}}, \frac{1}{\sqrt{19}})$ हैं।
अतः,$l_1=\frac{1}{3\sqrt{3}}, m_1=\frac{5}{3\sqrt{3}}$ और $l_2=\frac{-3}{\sqrt{19}}, m_2=\frac{-3}{\sqrt{19}}$।
$|l_1 l_2|+|m_1 m_2| = |(\frac{1}{3\sqrt{3}})(\frac{-3}{\sqrt{19}})| + |(\frac{5}{3\sqrt{3}})(\frac{-3}{\sqrt{19}})| = |\frac{-1}{\sqrt{3}\sqrt{19}}| + |\frac{-5}{\sqrt{3}\sqrt{19}}| = \frac{1}{\sqrt{57}} + \frac{5}{\sqrt{57}} = \frac{6}{\sqrt{57}} = \frac{6}{\sqrt{3}\sqrt{19}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{19}}$।

(D) मान लीजिए $AB$ और $AC$ की दिक्कोज्याएँ ($DC$'s) क्रमशः $(l_1, m_1, n_1)$ और $(l_2, m_2, n_2)$ हैं।
सबसे पहले,$AB$ और $AC$ के दिक्-अनुपात ($DR$'s) ज्ञात करें:
$AB$ के $DR's = (3-1, 1-(-2), -3-3) = (2, 3, -6)$.
$AC$ के $DR's = (-3-1, 1-(-2), 3-3) = (-4, 3, 0)$.
अब,दिक्-अनुपातों को उनके परिमाण से विभाजित करके दिक्कोज्याएँ ज्ञात करें:
$AB$ का परिमाण $= \sqrt{2^2 + 3^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
अतः,$l_1 = \frac{2}{7}, m_1 = \frac{3}{7}, n_1 = \frac{-6}{7}$.
$AC$ का परिमाण $= \sqrt{(-4)^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 9 + 0} = \sqrt{25} = 5$.
अतः,$l_2 = \frac{-4}{5}, m_2 = \frac{3}{5}, n_2 = 0$.
चूंकि $\cos A = l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2$:
$\cos A = \left(\frac{2}{7}\right)\left(\frac{-4}{5}\right) + \left(\frac{3}{7}\right)\left(\frac{3}{5}\right) + \left(\frac{-6}{7}\right)(0)$
$\cos A = \frac{-8}{35} + \frac{9}{35} + 0 = \frac{1}{35}$.

(D) दिया गया है कि $l, m, n$ एक रेखा के दिक्कोज्या हैं,इसलिए $l^2+m^2+n^2=1$ $(i)$.
दिए गए संबंध $l-m+n=0$ से,हमें $l=m-n$ प्राप्त होता है।
इसे दूसरे संबंध $lm+mn-4nl=0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(m-n)m + mn - 4n(m-n) = 0$
$m^2 - mn + mn - 4mn + 4n^2 = 0$
$m^2 - 4mn + 4n^2 = 0$
$(m-2n)^2 = 0 \Rightarrow m=2n$.
$l=m-n$ में $m=2n$ रखने पर,हमें $l=2n-n=n$ प्राप्त होता है।
अब,$l=n$ और $m=2n$ को सर्वसमिका $l^2+m^2+n^2=1$ में रखने पर:
$n^2 + (2n)^2 + n^2 = 1$
$n^2 + 4n^2 + n^2 = 1$
$6n^2 = 1 \Rightarrow n = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}$.
अतः,$l = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}$ और $m = \pm \frac{2}{\sqrt{6}}$.
इसलिए दिक्कोज्या $\left(\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}\right)$ या $\left(-\frac{1}{\sqrt{6}}, -\frac{2}{\sqrt{6}}, -\frac{1}{\sqrt{6}}\right)$ हैं।

(D) दी गई रेखाएँ $\vec{r} = 2 \vec{b} + t(6 \vec{c} - \vec{a})$ और $\vec{r} = \vec{a} + s(\vec{b} - 3 \vec{c})$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए,स्थिति सदिश समान होने चाहिए:
$2 \vec{b} + 6t \vec{c} - t \vec{a} = \vec{a} + s \vec{b} - 3s \vec{c}$.
$\vec{a}, \vec{b}, \text{ और } \vec{c}$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$\vec{a}$ के लिए: $-t = 1 \implies t = -1$.
$\vec{b}$ के लिए: $2 = s$.
$\vec{c}$ के लिए: $6t = -3s \implies 6(-1) = -3(2) \implies -6 = -6$,जो सुसंगत है।
$t = -1$ को पहले समीकरण में रखने पर:
$\vec{r} = 2 \vec{b} - 1(6 \vec{c} - \vec{a}) = 2 \vec{b} - 6 \vec{c} + \vec{a} = \vec{a} + 2 \vec{b} - 6 \vec{c}$.

(B) माना बिंदु $P$ रेखाखंड $QR$ को $\lambda : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है। $Q$ के निर्देशांक $(2, 2, 1)$ और $R$ के $(5, 2, -2)$ हैं।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$P$ का $x$-निर्देशांक $x = \frac{5\lambda + 2}{\lambda + 1}$ है।
दिया गया है कि $x = 4$,अतः $4 = \frac{5\lambda + 2}{\lambda + 1} \Rightarrow 4\lambda + 4 = 5\lambda + 2 \Rightarrow \lambda = 2$.
अब,$P$ का $y$-निर्देशांक ज्ञात करते हैं: $y = \frac{2\lambda + 2}{\lambda + 1} = \frac{2(2) + 2}{2 + 1} = \frac{6}{3} = 2$.
इसके बाद,$P$ का $z$-निर्देशांक ज्ञात करते हैं: $z = \frac{-2\lambda + 1}{\lambda + 1} = \frac{-2(2) + 1}{2 + 1} = \frac{-3}{3} = -1$.
निर्देशांकों की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $y = 2$ और $z = -1$ है। अतः,$y = -2(z)$.
इसलिए,$P$ का $y$-निर्देशांक $-2(P \text{ का } z\text{-निर्देशांक})$ है।

(B) बिंदुओं $A(p, -4, 2)$ और $B(3, 2, -4)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्य बिंदु $M$ इस प्रकार है: $M = \left( \frac{p+3}{2}, \frac{-4+2}{2}, \frac{2-4}{2} \right) = \left( \frac{p+3}{2}, -1, -1 \right)$।
चूंकि किरण बिंदु $C(5, q, 1)$ और $M\left( \frac{p+3}{2}, -1, -1 \right)$ से गुजरती है,इसलिए इसके दिक्-अनुपात निर्देशांकों के अंतर के समानुपाती होते हैं: $\left( \frac{p+3}{2} - 5, -1 - q, -1 - 1 \right)$।
दिए गए दिक्-अनुपात $(2, 3, c)$ हैं,अतः तुलना करने पर:
$1) \frac{p+3}{2} - 5 = 2 \implies \frac{p+3}{2} = 7 \implies p+3 = 14 \implies p = 11$.
$2) -1 - q = 3 \implies q = -4$.
$3) -1 - 1 = c \implies c = -2$.
अंत में,$c \cdot (p + 7q) = -2 \cdot (11 + 7(-4)) = -2 \cdot (11 - 28) = -2 \cdot (-17) = 34$।

(A) मान लीजिए कि $\alpha, \beta, \gamma$ किरण द्वारा $X, Y$ और $Z$-अक्ष के साथ बनाए गए कोण हैं।
किरण की दिक्-कोज्याएँ (direction cosines) $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ हैं।
हम जानते हैं कि $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ होता है।
यहाँ $\beta = \frac{\pi}{3}$ और $\gamma = \frac{\pi}{4}$ दिया गया है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos^2 \alpha + \cos^2(\frac{\pi}{3}) + \cos^2(\frac{\pi}{4}) = 1$
$\cos^2 \alpha + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 1$
$\cos^2 \alpha + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = 1$
$\cos^2 \alpha + \frac{3}{4} = 1$
$\cos^2 \alpha = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$
चूँकि $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$,इसलिए:
$\sin^2 \alpha = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
अतः,$\sin \alpha = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

(D) माना बिंदु $P$ $(5, 1, 3)$ है।
रेखा बिंदु $Q(3, 7, 1)$ से होकर गुजरती है और सदिश $\vec{v} = \hat{j} + \hat{k}$ के समानांतर है।
सदिश $\vec{PQ} = (3-5)\hat{i} + (7-1)\hat{j} + (1-3)\hat{k} = -2\hat{i} + 6\hat{j} - 2\hat{k}$ है।
बिंदु से रेखा की दूरी $d = \frac{|\vec{PQ} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
सबसे पहले,क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{PQ} \times \vec{v}$ की गणना करें:
$\vec{PQ} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -2 & 6 & -2 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(6 - (-2)) - \hat{j}(-2 - 0) + \hat{k}(-2 - 0) = 8\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$ है।
इसका परिमाण $|\vec{PQ} \times \vec{v}| = \sqrt{8^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{64 + 4 + 4} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$ है।
सदिश $\vec{v}$ का परिमाण $|\vec{v}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ है।
अतः,$d = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 6$।

(A) माना समतल का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ है।
दिया गया है $a = \frac{5}{2}$,अतः समीकरण $\frac{2x}{5} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ हो जाता है।
चूँकि समतल $(1,1,1)$ से गुजरता है,हमारे पास $\frac{2}{5} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1$ है,जिसका अर्थ है $\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{3}{5}$।
मूल बिंदु $(0,0,0)$ से समतल $\frac{2x}{5} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} - 1 = 0$ की लंबवत दूरी $\frac{|-1|}{\sqrt{(\frac{2}{5})^2 + (\frac{1}{b})^2 + (\frac{1}{c})^2}} = \frac{5}{7}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{4}{25} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = (\frac{7}{5})^2 = \frac{49}{25}$ प्राप्त होता है।
$(\frac{1}{b} + \frac{1}{c})^2 = \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} + \frac{2}{bc}$ का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = \frac{49}{25} - \frac{4}{25} = \frac{45}{25} = \frac{9}{5}$ मिलता है।
अतः,$(\frac{3}{5})^2 = \frac{9}{5} + \frac{2}{bc} \Rightarrow \frac{9}{25} - \frac{45}{25} = \frac{2}{bc} \Rightarrow \frac{2}{bc} = -\frac{36}{25} \Rightarrow bc = -\frac{50}{36} = -\frac{25}{18}$।
अब,$\frac{b+c}{bc} = \frac{3}{5} \Rightarrow b+c = \frac{3}{5} \times (-\frac{25}{18}) = -\frac{5}{6}$।
इस प्रकार $b+c = -\frac{5}{6}$ और $bc = -\frac{25}{18}$ समीकरण $t^2 - (b+c)t + bc = 0$ के मूल हैं,अर्थात $t^2 + \frac{5}{6}t - \frac{25}{18} = 0$।
$18$ से गुणा करने पर,$18t^2 + 15t - 25 = 0$।
$t$ के लिए हल करने पर,$(6t-5)(3t+5) = 0$,इसलिए $t = \frac{5}{6}$ या $t = -\frac{5}{3}$।
चूँकि $y$-अंतःखंड $b$ ऋणात्मक है,$b = -\frac{5}{3}$।

(D) बिंदु $(x_0, y_0, z_0)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $\vec{n} = A\hat{i} + B\hat{j} + C\hat{k}$ के लंबवत समतल का समीकरण $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$ होता है।
यहाँ बिंदु $A(-2, 1, 3)$ और अभिलंब सदिश $\vec{n} = 3\hat{i} + 1\hat{j} + 5\hat{k}$ दिए गए हैं,इसलिए $A=3, B=1, C=5$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$3(x - (-2)) + 1(y - 1) + 5(z - 3) = 0$
$3(x + 2) + (y - 1) + 5(z - 3) = 0$
$3x + 6 + y - 1 + 5z - 15 = 0$
$3x + y + 5z - 10 = 0$
इसे $ax + by + cz + d = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = 3, b = 1, c = 5, d = -10$ प्राप्त होता है।
अब,आवश्यक मान की गणना करने पर:
$\frac{a + b}{c + d} = \frac{3 + 1}{5 - 10} = \frac{4}{-5} = -\frac{4}{5}$.

(A) समतल के अभिलंब के दिक अनुपात $(1, 2, 2)$ हैं।
अतः,समतल का समीकरण $x+2y+2z=d$ होगा।
दिया गया है कि मूल बिंदु से दूरी $\frac{1}{3}$ है,इसलिए लंबवत दूरी के सूत्र का उपयोग करने पर:
$\left|\frac{-d}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}\right| = \frac{1}{3} \Rightarrow \left|\frac{-d}{3}\right| = \frac{1}{3} \Rightarrow |d|=1$.
$d=1$ लेने पर,समतल का समीकरण $x+2y+2z-1=0$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $x+py+qz+r=0$ से करने पर,हमें $p=2, q=2, r=-1$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\sqrt{p^2+q^2+r^2} = \sqrt{2^2+2^2+(-1)^2} = \sqrt{4+4+1} = \sqrt{9} = 3$.

(B) समतल $\pi$ का अभिलंब सदिश $\vec{n}$ दिए गए समतलों के अभिलंब सदिशों $\vec{n}_1 = (2,3,-1)$ और $\vec{n}_2 = (1,-1,2)$ के लंबवत है।
$\vec{n} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-1) - \hat{j}(4+1) + \hat{k}(-2-3) = 5\hat{i} - 5\hat{j} - 5\hat{k}$.
हम अभिलंब सदिश को $\vec{n} = (1, -1, -1)$ के रूप में ले सकते हैं।
बिंदु $(1,0,1)$ से गुजरने वाले समतल $\pi$ का समीकरण $1(x-1) - 1(y-0) - 1(z-1) = 0$ है,जो सरल होकर $x-y-z=0$ हो जाता है।
बिंदु $(11,7,5)$ से गुजरने वाले और $\pi$ के समांतर समतल का समीकरण $x-y-z = k$ है। बिंदु $(11,7,5)$ रखने पर,हमें $11-7-5 = k$ प्राप्त होता है,इसलिए $k = -1$.
समीकरण $x-y-z = -1$ या $x-y-z+1=0$ है।
इसकी तुलना $ax+by-z-d=0$ से करने पर,हमें $a=1, b=-1, d=-1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{a}{b} + \frac{b}{d} = \frac{1}{-1} + \frac{-1}{-1} = -1 + 1 = 0$.

(C) $3x + 4y - 5z = 0$ के समानांतर समतल का समीकरण $3x + 4y - 5z + k = 0$ के रूप का होता है।
चूंकि यह समतल बिंदु $(1, 2, 3)$ से गुजरता है,इसलिए हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$3(1) + 4(2) - 5(3) + k = 0$
$3 + 8 - 15 + k = 0$
$k - 4 = 0 \Rightarrow k = 4$.
अतः,समतल का समीकरण $3x + 4y - 5z + 4 = 0$ है,जिसे $3x + 4y - 5z = -4$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$-4$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{3x}{-4} + \frac{4y}{-4} - \frac{5z}{-4} = 1$
$\frac{x}{-4/3} + \frac{y}{-1} + \frac{z}{4/5} = 1$.
इसे अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a = -4/3, b = -1, c = 4/5$.
अब,$3a + b + 5c$ की गणना करने पर:
$3(-4/3) + (-1) + 5(4/5) = -4 - 1 + 4 = -1$.

(A) समतल $\pi$ का अभिलंब सदिश बिंदु $P(-2,3,6)$ और लंब के पाद $F(3,4,-7)$ को जोड़ने वाला सदिश है।
अतः,अभिलंब के दिक अनुपात $(3 - (-2), 4 - 3, -7 - 6) = (5, 1, -13)$ हैं।
बिंदु $(3,4,-7)$ से गुजरने वाले और $(5, 1, -13)$ अभिलंब वाले समतल का समीकरण $5(x - 3) + 1(y - 4) - 13(z + 7) = 0$ है।
$5x - 15 + y - 4 - 13z - 91 = 0$
$5x + y - 13z = 110$.
अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण को अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ में लिखते हैं:
$\frac{5x}{110} + \frac{y}{110} - \frac{13z}{110} = 1$
$\frac{x}{22} + \frac{y}{110} + \frac{z}{-\frac{110}{13}} = 1$.
$X$-अंतःखंड $a = 22$ है और $Y$-अंतःखंड $b = 110$ है।
$X$ और $Y$-अंतःखंडों का योग $22 + 110 = 132$ है।

(B) चरण-$1$: बिंदुओं $P(4,-3,1)$ और $Q(2,3,-5)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्यबिंदु $M$ ज्ञात करें।
$M = \left(\frac{4+2}{2}, \frac{-3+3}{2}, \frac{1-5}{2}\right) = (3, 0, -2)$.
चरण-$2$: समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,सदिश $\vec{PQ} = (2-4, 3-(-3), -5-1) = (-2, 6, -6)$ है।
हम अभिलंब सदिश को $-2$ से विभाजित करके इसे सरल बना सकते हैं,जिससे $\vec{n}' = (1, -3, 3)$ प्राप्त होता है।
अतः,समतल का समीकरण $1(x-3) - 3(y-0) + 3(z+2) = 0$ होगा।
$x - 3y + 3z - 3 + 6 = 0 \Rightarrow x - 3y + 3z + 3 = 0$.
यहाँ,$a=1, b=-3, c=3, d=3$.
चरण-$3$: $(a^2+b^2+c^2+d^2)$ की गणना करें: $(1)^2 + (-3)^2 + (3)^2 + (3)^2 = 1 + 9 + 9 + 9 = 28$.

(D) माना बिंदुओं के निर्देशांक $A = (a, 0, 0)$,$B = (0, b, 0)$,और $C = (0, 0, c)$ हैं।
चूंकि $\triangle ABC$ का केंद्रक $(\frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3}) = (2, -3, 5)$ दिया गया है,इसलिए $a = 6$,$b = -9$,और $c = 15$ है।
समतल का समीकरण अंतःखंड रूप में $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ है,जो $\frac{x}{6} - \frac{y}{9} + \frac{z}{15} = 1$ हो जाता है।
इसे $\frac{x}{6} - \frac{y}{9} + \frac{z}{15} - 1 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$A = \frac{1}{6}$,$B = -\frac{1}{9}$,$C = \frac{1}{15}$,और $D = -1$ है।
$d = \frac{|-1|}{\sqrt{(\frac{1}{6})^2 + (-\frac{1}{9})^2 + (\frac{1}{15})^2}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{36} + \frac{1}{81} + \frac{1}{225}}}$.
हर की गणना करने पर: $\frac{1}{36} + \frac{1}{81} + \frac{1}{225} = \frac{225 + 100 + 36}{8100} = \frac{361}{8100}$.
अतः,$d = \frac{1}{\sqrt{\frac{361}{8100}}} = \frac{90}{19}$.

(D) मान लीजिए समतल $P$ रेखाखंड $AB$ को बिंदु $Q$ पर $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$Q$ के निर्देशांक हैं:
$Q = \left( \frac{2(3) + 1(-3)}{2+1}, \frac{2(1) + 1(-2)}{2+1}, \frac{2(-2) + 1(7)}{2+1} \right) = \left( \frac{6-3}{3}, \frac{2-2}{3}, \frac{-4+7}{3} \right) = (1, 0, 1)$.
रेखाखंड $AB$ के दिक अनुपात (DRs) $(3 - (-3), 1 - (-2), -2 - 7) = (6, 3, -9)$ हैं।
चूंकि समतल $AB$ के लंबवत है,इसलिए समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (6, 3, -9)$ है,जिसे $(2, 1, -3)$ के रूप में सरल किया जा सकता है।
बिंदु $Q(1, 0, 1)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $(2, 1, -3)$ वाले समतल का समीकरण है:
$2(x-1) + 1(y-0) - 3(z-1) = 0$
$2x - 2 + y - 3z + 3 = 0$
$2x + y - 3z + 1 = 0$
$2x + y - 3z = -1$
$-1$ से विभाजित करने पर:
$-2x - y + 3z = 1$
$\frac{x}{-1/2} + \frac{y}{-1} + \frac{z}{1/3} = 1$.
इसे अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ के साथ तुलना करने पर,$y$-अंतःखंड $b = -1$ है।

(C) समतल $\pi$ बिंदु $(3,-3,1)$ से गुजरता है और बिंदुओं $(3,4,-1)$ तथा $(2,-1,5)$ को जोड़ने वाली रेखा के लंबवत है।
समतल $\pi$ के अभिलंब के दिक अनुपात $(3-2, 4-(-1), -1-5) = (1, 5, -6)$ हैं।
अतः,समतल $\pi$ का समीकरण $1(x-3) + 5(y+3) - 6(z-1) = 0$ है,जो सरल करने पर $x+5y-6z+18=0$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए दूसरा समतल $P_2: ax+y+cz-d=0$ है। यह समतल बिंदुओं $(3,4,-1)$ और $(-1,2,5)$ को समाहित करता है।
चूंकि $(3,4,-1)$,$P_2$ पर स्थित है,इसलिए $3a+4+c(-1)-d=0 \Rightarrow 3a-c-d=-4$ ... $(i)$.
चूंकि $(-1,2,5)$,$P_2$ पर स्थित है,इसलिए $-a+2+5c-d=0 \Rightarrow -a+5c-d=-2$ ... (ii).
$(i)$ में से (ii) घटाने पर,$4a-6c=-2 \Rightarrow 2a-3c=-1$ ... (iii).
$P_2$ का अभिलंब सदिश $\vec{n_2} = (a, 1, c)$ है और $\pi$ का अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (1, 5, -6)$ है।
चूंकि $P_2 \perp \pi$,उनके अभिलंब परस्पर लंबवत हैं: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0 \Rightarrow a(1) + 1(5) + c(-6) = 0 \Rightarrow a-6c=-5$ ... (iv).
(iv) से,$a = 6c-5$. इसे (iii) में रखने पर: $2(6c-5)-3c=-1 \Rightarrow 12c-10-3c=-1 \Rightarrow 9c=9 \Rightarrow c=1$.
तब $a = 6(1)-5 = 1$.
$a=1, c=1$ को $(i)$ में रखने पर: $3(1)-1-d=-4 \Rightarrow 2-d=-4 \Rightarrow d=6$.
अंत में,$3(a+c) = 3(1+1) = 6$. चूंकि $d=6$,इसलिए $3(a+c) = d$.

(A) मान लीजिए $O$ एक विषम संख्या और $E$ एक सम संख्या को दर्शाता है। समुच्चय $\{1, 2, \dots, 100\}$ में,$50$ विषम और $50$ सम संख्याएँ हैं। अतः,$P(O) = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}$ और $P(E) = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}$।
तीन संख्याओं का योग विषम होने के लिए,हमारे पास विषम संख्या में विषम गेंदें होनी चाहिए। संभावित स्थितियाँ हैं:
$1$. तीन विषम गेंदें: $P(O, O, O) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$
$2$. एक विषम और दो सम गेंदें: विषम गेंद $3$ में से किसी भी स्थान पर हो सकती है $(OEE, EOE, EEO)$।
$P(O, E, E) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$
$P(E, O, E) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$
$P(E, E, O) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$
कुल प्रायिकता $= \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$।

(C) सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार:
$P(\bar{A} \mid \bar{B}) = \frac{P(\bar{A} \cap \bar{B})}{P(\bar{B})}$
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\bar{A} \cap \bar{B} = \overline{A \cup B}$ होता है।
अतः,$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)$.
इस मान को सूत्र में रखने पर:
$P(\bar{A} \mid \bar{B}) = \frac{1 - P(A \cup B)}{P(\bar{B})}$

(A) मान लीजिए $R$ लाल गेंदों की संख्या है और $B$ काली गेंदों की संख्या है। प्रारंभ में,$R = 19$ और $B = 19$ है।
प्रत्येक चरण में,दो गेंदें हटाई जाती हैं:
$1$. यदि दो लाल गेंदें हटाई जाती हैं,तो $R$ में $2$ की कमी होती है $(R \to R-2, B \to B)$।
$2$. यदि दो काली गेंदें हटाई जाती हैं,तो $B$ में $2$ की कमी होती है $(R \to R, B \to B-2)$।
$3$. यदि एक लाल और एक काली गेंद हटाई जाती है,तो काली गेंद को हटा दिया जाता है और लाल गेंद को वापस डाल दिया जाता है $(R \to R, B \to B-1)$।
ध्यान दें कि लाल गेंदों की संख्या हमेशा विषम रहेगी क्योंकि उन्हें केवल जोड़े में ही हटाया जा सकता है। इसलिए,प्रक्रिया हमेशा $1$ लाल गेंद के साथ समाप्त होगी। अतः,प्रायिकता $1$ है।

(D) दिया गया है कि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
हम जानते हैं कि $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $0.44 = 0.3 + x - (0.3 \cdot x)$.
$0.44 - 0.3 = x - 0.3x$.
$0.14 = 0.7x$.
$x = \frac{0.14}{0.7} = 0.2$.

(D) माना $E$ वह घटना है कि खिलौना खराब है। माना $A, B, C$ वे घटनाएँ हैं कि खिलौना क्रमशः मशीनों $A, B, C$ द्वारा निर्मित है।
दी गई प्रायिकताएँ:
$P(A) = \frac{30}{100}, P(B) = \frac{40}{100}, P(C) = \frac{30}{100}$
$P(E|A) = \frac{2}{100}, P(E|B) = \frac{3}{100}, P(E|C) = \frac{1}{100}$
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,खराब खिलौने के मशीन $B$ द्वारा निर्मित होने की प्रायिकता है:
$P(B|E) = \frac{P(B) \times P(E|B)}{P(A) \times P(E|A) + P(B) \times P(E|B) + P(C) \times P(E|C)}$
$P(B|E) = \frac{\frac{40}{100} \times \frac{3}{100}}{\frac{30}{100} \times \frac{2}{100} + \frac{40}{100} \times \frac{3}{100} + \frac{30}{100} \times \frac{1}{100}}$
$P(B|E) = \frac{120}{60 + 120 + 30} = \frac{120}{210} = \frac{4}{7}$

(A) माना एक दिन में भारी कोहरे की प्रायिकता $p = 0.6 = \frac{3}{5}$ है।
अतः,भारी कोहरा न होने की प्रायिकता $q = 1 - 0.6 = 0.4 = \frac{2}{5}$ है।
एक सप्ताह में कुल दिनों की संख्या $n = 7$ है।
द्विपद वितरण सूत्र $P(X = k) = {n \choose k} p^k q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए,$k = 2$ के लिए:
$P(X = 2) = {7 \choose 2} \times (\frac{3}{5})^2 \times (\frac{2}{5})^5$
$P(X = 2) = 21 \times \frac{9}{25} \times \frac{32}{3125} = \frac{6048}{5^7}$.

(A) हम जानते हैं कि सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार:
$P(\frac{B}{A}) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$
$\Rightarrow P(A) P(\frac{B}{A}) = P(A \cap B)$
अब,डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए:
$P(\bar{A} \cup \bar{B}) = P(\overline{A \cap B})$
पूरक घटनाओं के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$P(\bar{E}) = 1 - P(E)$:
$P(\overline{A \cap B}) = 1 - P(A \cap B)$
पहले चरण से $P(A \cap B)$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$P(\bar{A} \cup \bar{B}) = 1 - P(A) P(\frac{B}{A})$
अतः,विकल्प $A$ सही कथन है।

(A) दिया गया है: $P(P) = 1/4$,$P(P|Q) = 1/2$,और $P(Q|P) = 1/3$.
हमें $P(\bar{P}|\bar{Q})$ ज्ञात करना है।
सबसे पहले,सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा का उपयोग करके $P(P \cap Q)$ ज्ञात करते हैं:
$P(Q|P) = \frac{P(P \cap Q)}{P(P)} \implies P(P \cap Q) = P(Q|P) \times P(P) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$.
इसके बाद,$P(Q)$ ज्ञात करते हैं:
$P(P|Q) = \frac{P(P \cap Q)}{P(Q)} \implies P(Q) = \frac{P(P \cap Q)}{P(P|Q)} = \frac{1/12}{1/2} = \frac{1}{6}$.
अब,पूरक घटनाओं की प्रायिकता ज्ञात करते हैं:
$P(\bar{P}) = 1 - P(P) = 1 - 1/4 = 3/4$.
$P(\bar{Q}) = 1 - P(Q) = 1 - 1/6 = 5/6$.
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करके,$P(\bar{P} \cup \bar{Q}) = 1 - P(P \cap Q) = 1 - 1/12 = 11/12$.
तब,$P(\bar{P} \cap \bar{Q}) = P(\bar{P}) + P(\bar{Q}) - P(\bar{P} \cup \bar{Q}) = \frac{3}{4} + \frac{5}{6} - \frac{11}{12} = \frac{9 + 10 - 11}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.
अंत में,सप्रतिबंध प्रायिकता है:
$P(\bar{P}|\bar{Q}) = \frac{P(\bar{P} \cap \bar{Q})}{P(\bar{Q})} = \frac{2/3}{5/6} = \frac{2}{3} \times \frac{6}{5} = \frac{4}{5}$.

(A) दिया गया है कि $P(\overline{F}) = 0.7$ और $P(E \cap F) = 0.2$ है।
सबसे पहले,हम पूरक घटना के नियम का उपयोग करके $P(F)$ ज्ञात करते हैं: $P(F) = 1 - P(\overline{F}) = 1 - 0.7 = 0.3$।
सप्रतिबंध प्रायिकता का सूत्र $P(E \mid F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)}$ है।
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $P(E \mid F) = \frac{0.2}{0.3} = \frac{2}{3}$।

(B) दिया गया है कि,$P(A) = 0.6$ और $P(B) = 0.8$।
अतः,$P(A') = 0.4$ और $P(B') = 0.2$।
$A$ जीतता है यदि $A$ पहले शॉट में लक्ष्य भेद दे,या $A$ चूक जाए,$B$ चूक जाए और $A$ तीसरे शॉट में लक्ष्य भेद दे,या $A$ चूक जाए,$B$ चूक जाए,$A$ चूक जाए,$B$ चूक जाए और $A$ पांचवें शॉट में लक्ष्य भेद दे,इत्यादि।
$A$ के जीतने की प्रायिकता $= P(A) + P(A')P(B')P(A) + P(A')P(B')P(A')P(B')P(A) + \dots$
$= 0.6 + (0.4)(0.2)(0.6) + (0.4)^2(0.2)^2(0.6) + \dots$
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 0.6$ और सार्व अनुपात $r = (0.4)(0.2) = 0.08$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r}$ होता है।
$P(A \text{ जीतता है}) = \frac{0.6}{1 - 0.08} = \frac{0.6}{0.92} = \frac{60}{92} = \frac{15}{23}$।

(B) दिया गया है कि $X$ और $Y$ स्वतंत्र असतत यादृच्छिक चर हैं।
द्विपद वितरण $X \sim B(n, p)$ के लिए,प्रसरण $Var(X) = npq$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q = 1 - p$ है।
यहाँ,$n = 16$ और $p = 0.25$ है,इसलिए $q = 1 - 0.25 = 0.75$ है।
अतः,$Var(X) = 16 \times 0.25 \times 0.75 = 4 \times 0.75 = 3$.
पॉइसन वितरण $Y \sim P(\lambda)$ के लिए,प्रसरण $Var(Y) = \lambda$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$\lambda = 2$ है,इसलिए $Var(Y) = 2$.
प्रसरणों का योग $Var(X) + Var(Y) = 3 + 2 = 5$ है।

(D) एक लाल गेंद दो परस्पर अपवर्जी तरीकों से निकाली जा सकती है।
$(i)$ थैला $I$ चुनना और फिर उसमें से लाल गेंद निकालना।
(ii) थैला $II$ चुनना और फिर उसमें से लाल गेंद निकालना।
मान लीजिए $E_1$,$E_2$ और $A$ निम्नलिखित घटनाएँ हैं:
$E_1 = \text{थैला } I \text{ चुनना}$
$E_2 = \text{थैला } II \text{ चुनना}$
चूँकि दो थैलों में से एक को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है,इसलिए:
$P(E_1) = \frac{1}{2}$ और $P(E_2) = \frac{1}{2}$
अब,$P(A|E_1) = \text{पहला थैला चुने जाने पर लाल गेंद निकालने की प्रायिकता} = \frac{4}{7}$
$P(A|E_2) = \text{दूसरा थैला चुने जाने पर लाल गेंद निकालने की प्रायिकता} = \frac{2}{5}$
कुल प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए:
$P(A) = P(E_1)P(A|E_1) + P(E_2)P(A|E_2)$
$P(A) = \frac{1}{2} \times \frac{4}{7} + \frac{1}{2} \times \frac{2}{5}$
$P(A) = \frac{2}{7} + \frac{1}{5} = \frac{10 + 7}{35} = \frac{17}{35}$

(A) मान लीजिए कि तीन उछालों के परिणाम $(T_1, T_2, T_3)$ हैं। कुल प्रतिदर्श समष्टि $S$ में $2^3 = 8$ परिणाम हैं: $\{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$.
यह दिया गया है कि तीसरी उछाल चित $(T_3 = H)$ है,इसलिए संक्षिप्त प्रतिदर्श समष्टि $S'$ में वे परिणाम शामिल हैं जहाँ तीसरी उछाल $H$ है: $S' = \{HHH, HTH, THH, TTH\}$.
संक्षिप्त प्रतिदर्श समष्टि में अवयवों की संख्या $n(S') = 4$ है।
हमें पहली दो उछालों में कम से कम एक और चित प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है। $S'$ में अनुकूल परिणाम $\{HHH, HTH, THH\}$ हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 3$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $P = \frac{n(E)}{n(S')} = \frac{3}{4}$ है।

(A) दिया गया है कि पॉइसन वितरण का माध्य $\lambda = 6$ है।
पॉइसन वितरण का प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}$ द्वारा दिया जाता है।
हमें $P(X \geq 3)$ ज्ञात करना है।
पूरक नियम का उपयोग करते हुए,$P(X \geq 3) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]$।
मान रखने पर:
$P(X=0) = \frac{e^{-6} 6^0}{0!} = e^{-6}$।
$P(X=1) = \frac{e^{-6} 6^1}{1!} = 6e^{-6}$।
$P(X=2) = \frac{e^{-6} 6^2}{2!} = \frac{36e^{-6}}{2} = 18e^{-6}$।
अतः,$P(X \geq 3) = 1 - [e^{-6} + 6e^{-6} + 18e^{-6}] = 1 - 25e^{-6} = 1 - \frac{25}{e^6}$।

(C) द्विपद वितरण के गुण निम्नलिखित हैं:
- इसमें $n$ निश्चित स्वतंत्र परीक्षण होते हैं।
- प्रत्येक परीक्षण में केवल दो संभावित परिणाम होते हैं: सफलता या विफलता।
- सफलता की संभावना $(p)$ और विफलता की संभावना $(q = 1 - p)$ प्रत्येक परीक्षण के लिए समान रहती है।
- प्रत्येक परीक्षण स्वतंत्र होता है,जिसका अर्थ है कि एक परीक्षण का परिणाम दूसरे परीक्षण के परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।
इसलिए,यह कथन कि 'दो परिणामों की संभावनाएं एक परीक्षण से दूसरे परीक्षण में बदल सकती हैं' गलत है और यह द्विपद वितरण का गुण नहीं है।

(C) द्विपद वितरण के लिए,माध्य $\mu = np = 15$ द्वारा दिया जाता है।
प्रसरण $\sigma^2 = np(1-p) = 10$ द्वारा दिया जाता है।
प्रसरण समीकरण में $np$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$15(1-p) = 10$.
$1-p = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$.
अतः,$p = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
अब,माध्य समीकरण में $p$ का मान रखने पर:
$n \times \frac{1}{3} = 15$.
$n = 15 \times 3 = 45$.
इस प्रकार,प्राचल $n$ का मान $45$ है।

(B) दिया गया है कि $X \sim B(n, p)$,प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ है,जहाँ $q = 1-p$ है।
चूँकि $P(X=2) = P(X=3)$ है,हमारे पास है:
$\binom{n}{2} p^2 q^{n-2} = \binom{n}{3} p^3 q^{n-3}$
$\frac{n!}{2!(n-2)!} p^2 q^{n-2} = \frac{n!}{3!(n-3)!} p^3 q^{n-3}$
दोनों पक्षों को $n! p^2 q^{n-3}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{q}{2} = \frac{p}{6(n-2)}$
$3q = p(n-2)$
$q = 1-p$ प्रतिस्थापित करने पर:
$3(1-p) = np - 2p$
$3 - 3p = np - 2p$
$np = 3 - p$
द्विपद बंटन का माध्य $E(X) = np$ होता है।
अतः,माध्य $3-p$ है।

(C) पॉइसन वितरण के लिए,प्रसरण $\lambda$ द्वारा दिया जाता है। यहाँ,$\lambda = 3$ है।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(x=n) = \frac{\lambda^n \cdot e^{-\lambda}}{n!}$ है।
हमें $P(1 < x < 4) = P(x=2) + P(x=3)$ ज्ञात करना है।
$P(x=2) = \frac{3^2 \cdot e^{-3}}{2!} = \frac{9 \cdot e^{-3}}{2}$।
$P(x=3) = \frac{3^3 \cdot e^{-3}}{3!} = \frac{27 \cdot e^{-3}}{6} = \frac{9 \cdot e^{-3}}{2}$।
अतः,$P(1 < x < 4) = \frac{9 \cdot e^{-3}}{2} + \frac{9 \cdot e^{-3}}{2} = 9 \cdot e^{-3}$।

(B) दिया गया है कि $X$ एक यादृच्छिक चर है जिसका वितरण $B(n=20, p=0.4)$ है।
अतः,$n=20$,$p=0.4 = \frac{2}{5}$,और $q = 1 - p = \frac{3}{5}$ है।
हमें $5 - 5 P(X \geq 2)$ का मान ज्ञात करना है।
$P(X \geq 2) = 1 - (P(X=0) + P(X=1))$ होता है।
इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$5 - 5(1 - (P(X=0) + P(X=1))) = 5 - 5 + 5(P(X=0) + P(X=1)) = 5(P(X=0) + P(X=1))$.
द्विपद प्रायिकता सूत्र $P(X=k) = {}^{n}C_{k} p^k q^{n-k}$ का उपयोग करने पर:
$P(X=0) = {}^{20}C_{0} (\frac{2}{5})^0 (\frac{3}{5})^{20} = (\frac{3}{5})^{20}$.
$P(X=1) = {}^{20}C_{1} (\frac{2}{5})^1 (\frac{3}{5})^{19} = 20 \times \frac{2}{5} \times (\frac{3}{5})^{19} = 8 \times (\frac{3}{5})^{19}$.
अब,$5(P(X=0) + P(X=1)) = 5 [(\frac{3}{5})^{20} + 8(\frac{3}{5})^{19}]$
$= 5 [(\frac{3}{5}) \times (\frac{3}{5})^{19} + 8(\frac{3}{5})^{19}]$
$= 5 [(\frac{3}{5} + 8) \times (\frac{3}{5})^{19}]$
$= 5 [(\frac{3+40}{5}) \times (\frac{3}{5})^{19}]$
$= 5 [\frac{43}{5} \times (\frac{3}{5})^{19}] = 43 \times (\frac{3}{5})^{19}$.

(B) माना $n = 5$ प्रश्नों की कुल संख्या है।
माना $p$ प्रश्न का गलत उत्तर देने की प्रायिकता है। चूंकि $4$ में से $3$ गलत उत्तर हैं,इसलिए $p = \frac{3}{4}$।
माना $q$ प्रश्न का सही उत्तर देने की प्रायिकता है,इसलिए $q = 1 - p = \frac{1}{4}$।
हमें कम से कम $3$ प्रश्नों के गलत उत्तर देने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(X \ge 3)$ है,जहाँ $X$ द्विपद बंटन $B(n, p)$ का पालन करता है।
$P(X \ge 3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)$
$P(X=k) = \binom{5}{k} (\frac{3}{4})^k (\frac{1}{4})^{5-k}$
$P(X=3) = \binom{5}{3} (\frac{3}{4})^3 (\frac{1}{4})^2 = 10 \times \frac{27}{64} \times \frac{1}{16} = \frac{270}{1024}$
$P(X=4) = \binom{5}{4} (\frac{3}{4})^4 (\frac{1}{4})^1 = 5 \times \frac{81}{256} \times \frac{1}{4} = \frac{405}{1024}$
$P(X=5) = \binom{5}{5} (\frac{3}{4})^5 (\frac{1}{4})^0 = 1 \times \frac{243}{1024} \times 1 = \frac{243}{1024}$
$P(X \ge 3) = \frac{270 + 405 + 243}{1024} = \frac{918}{1024} = \frac{459}{512}$

(A) $n$ और $p$ प्राचलों वाले द्विपद वितरण के लिए,मान लीजिए $q = 1 - p$ असफलता की प्रायिकता है।
माध्य $= np$
प्रसरण $= npq$
चूंकि सफलता एक असंभव घटना नहीं है,इसलिए $p > 0$ है। चूंकि असफलता भी एक असंभव घटना नहीं है (द्विपद वितरण के संदर्भ में जहाँ $0 < p < 1$),हमारे पास $0 < q < 1$ है।
चूंकि $q < 1$ है,इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि $npq < np$ है।
अतः,माध्य हमेशा प्रसरण से अधिक होता है।

(B) द्विपद बंटन का प्रसरण $\sigma^2 = n p q$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q = 1 - p$ है।
प्रसरण का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम इसे $p$ के फलन के रूप में व्यक्त करते हैं: $f(p) = n p(1 - p) = n(p - p^2)$।
$p$ के सापेक्ष अवकलन करने पर और इसे शून्य के बराबर रखने पर: $f'(p) = n(1 - 2p) = 0$।
इससे $1 - 2p = 0$,या $p = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $q = 1 - p$,इसलिए $q = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$।
इन मानों को प्रसरण के सूत्र में रखने पर: $\sigma^2_{\max} = n \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{n}{4}$।

(D) दिया गया है,$p=q$।
चूँकि $p+q=1$,इसलिए $p=q=\frac{1}{2}$ है।
अब,द्विपद वितरण के लिए प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = { }^n C_k p^k q^{n-k}$ होता है।
$k=5$ और $p=q=\frac{1}{2}$ रखने पर:
$P(X=5) = { }^n C_5 \left(\frac{1}{2}\right)^5 \left(\frac{1}{2}\right)^{n-5} = { }^n C_5 \left(\frac{1}{2}\right)^n$।
अतः,$2^n P(X=5) = 2^n \cdot { }^n C_5 \left(\frac{1}{2}\right)^n = { }^n C_5$।

(A) माना $X$ एक द्विपद चर है जिसके लिए माध्य $= 4$ और प्रसरण $= 3$ है।
अतः $np = 4$ और $npq = 3$ है।
प्रसरण को माध्य से विभाजित करने पर,हमें $q = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $p = 1 - q$,इसलिए $p = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ है।
$np = 4$ में $p$ का मान रखने पर,$n \times \frac{1}{4} = 4$,जिससे $n = 16$ प्राप्त होता है।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = {}^{n}C_k p^k q^{n-k}$ है।
हमें $2^{32} P\left(X=\frac{16}{2}\right) = 2^{32} P(X=8)$ की गणना करनी है।
$P(X=8) = {}^{16}C_8 \left(\frac{1}{4}\right)^8 \left(\frac{3}{4}\right)^{16-8} = {}^{16}C_8 \left(\frac{1}{4}\right)^8 \left(\frac{3}{4}\right)^8 = {}^{16}C_8 \frac{3^8}{4^{16}}$।
चूंकि $4^{16} = (2^2)^{16} = 2^{32}$,इसलिए $P(X=8) = {}^{16}C_8 \frac{3^8}{2^{32}}$।
अतः,$2^{32} P(X=8) = 2^{32} \times {}^{16}C_8 \frac{3^8}{2^{32}} = {}^{16}C_8 (3^8)$।

(B) पॉइसन वितरण के लिए,माध्य और प्रसरण समान होते हैं।
दिया गया है कि माध्य $= l$ और प्रसरण $= m$,इसलिए $l = m$ है।
$l + m = 8$ दिया गया है,$l = m$ रखने पर $2l = 8$ प्राप्त होता है,अतः $l = 4$ और $m = 4$ है।
हमें $e^4[1 - P(X > 2)]$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $1 - P(X > 2) = P(X \leq 2)$,इसलिए:
$e^4[P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)]$।
पॉइसन प्रायिकता सूत्र $P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\lambda = 4$:
$P(X = 0) = \frac{e^{-4} \times 4^0}{0!} = e^{-4}$।
$P(X = 1) = \frac{e^{-4} \times 4^1}{1!} = 4e^{-4}$।
$P(X = 2) = \frac{e^{-4} \times 4^2}{2!} = \frac{16e^{-4}}{2} = 8e^{-4}$।
इन प्रायिकताओं का योग करने पर:
$P(X \leq 2) = e^{-4}(1 + 4 + 8) = 13e^{-4}$।
अंततः,$e^4 \times 13e^{-4} = 13$।

(D) द्विपद वितरण $B(n, p)$ के लिए,प्रसरण $\operatorname{Var}(X) = npq$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q = 1 - p$ है।
यहाँ $n = 15$ और $\operatorname{Var}(X) = 3.15$ दिया गया है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $15 \times p(1 - p) = 3.15$।
$15$ से भाग देने पर,$p(1 - p) = \frac{3.15}{15} = 0.21$ प्राप्त होता है।
यह समीकरण $p - p^2 = 0.21$ या $p^2 - p + 0.21 = 0$ में बदल जाता है।
गुणनखंड विधि का उपयोग करके द्विघात समीकरण को हल करने पर:
$p^2 - 0.7p - 0.3p + 0.21 = 0$
$p(p - 0.7) - 0.3(p - 0.7) = 0$
$(p - 0.7)(p - 0.3) = 0$।
अतः,$p$ के संभावित मान $0.7$ और $0.3$ हैं।

(C) कुल पृष्ठों की संख्या $600$ है और कुल त्रुटियों की संख्या $40$ है।
प्रति पृष्ठ त्रुटियों की औसत संख्या,जिसे $\lambda$ द्वारा दर्शाया गया है,$\lambda = \frac{40}{600} = \frac{1}{15}$ है।
प्रति पृष्ठ त्रुटियों की संख्या $\lambda = \frac{1}{15}$ पैरामीटर के साथ पॉइसन वितरण का पालन करती है।
एक पृष्ठ में कोई त्रुटि न होने की प्रायिकता $P(X=0) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^0}{0!} = e^{-\lambda} = e^{-1/15}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि हम यादृच्छिक रूप से $10$ पृष्ठ चुन रहे हैं,इसलिए सभी $10$ पृष्ठों में कोई त्रुटि न होने की प्रायिकता $(P(X=0))^{10} = (e^{-1/15})^{10} = e^{-10/15} = e^{-2/3}$ है।

(B) पॉइसन वितरण के लिए,प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = \frac{\lambda^k \cdot e^{-\lambda}}{k!}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\lambda = 3$ दिया गया है,हमें $P(|X-3| < 2)$ ज्ञात करना है।
असमिका $|X-3| < 2$ का अर्थ है $-2 < X-3 < 2$,जो सरल होकर $1 < X < 5$ हो जाता है।
चूंकि $X$ एक असतत यादृच्छिक चर है जो गैर-ऋणात्मक पूर्णांक मान लेता है,इसलिए $X$ के संभावित मान $2, 3, 4$ हैं।
अतः,$P(|X-3| < 2) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)$।
सूत्र में मान रखने पर:
$P(X=2) = \frac{3^2 \cdot e^{-3}}{2!} = \frac{9}{2} e^{-3}$
$P(X=3) = \frac{3^3 \cdot e^{-3}}{3!} = \frac{27}{6} e^{-3} = \frac{9}{2} e^{-3}$
$P(X=4) = \frac{3^4 \cdot e^{-3}}{4!} = \frac{81}{24} e^{-3} = \frac{27}{8} e^{-3}$
इन प्रायिकताओं का योग करने पर:
$P(|X-3| < 2) = e^{-3} \left( \frac{9}{2} + \frac{9}{2} + \frac{27}{8} \right) = e^{-3} \left( 9 + \frac{27}{8} \right) = e^{-3} \left( \frac{72+27}{8} \right) = \frac{99}{8 e^3}$।

(A) द्विपद बंटन $X \sim B(n, p)$ के लिए,प्रसरण $Var(X) = n \times p \times q$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q = 1 - p$ है।
दिया गया है कि $X \sim B(n_1, 0.5)$,इसलिए $p_1 = 0.5$ और $q_1 = 1 - 0.5 = 0.5$ है।
प्रसरण $n_1 \times 0.5 \times 0.5 = 6$ है।
$n_1 \times 0.25 = 6 \Rightarrow n_1 = \frac{6}{0.25} = 24$।
दिया गया है कि $Y \sim B(n_2, 0.4)$,इसलिए $p_2 = 0.4$ और $q_2 = 1 - 0.4 = 0.6$ है।
प्रसरण $n_2 \times 0.4 \times 0.6 = 6$ है।
$n_2 \times 0.24 = 6 \Rightarrow n_2 = \frac{6}{0.24} = 25$।
अतः,$\sqrt{n_1 + n_2} = \sqrt{24 + 25} = \sqrt{49} = 7$।

(C) मान लीजिए दिनों की संख्या $n = 7$ है।
मान लीजिए $A$ के अलार्म बजने से पहले जागने की प्रायिकता $p = 0.4$ है।
मान लीजिए $A$ के अलार्म बजने से पहले न जागने की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - 0.4 = 0.6$ है।
यह द्विपद बंटन $B(n, p)$ का पालन करता है।
द्विपद बंटन का माध्य $E(X) = n \cdot p$ द्वारा दिया जाता है।
माध्य $= 7 \times 0.4 = 2.8$.
द्विपद बंटन का प्रसरण $Var(X) = n \cdot p \cdot q$ द्वारा दिया जाता है।
प्रसरण $= 7 \times 0.4 \times 0.6 = 2.8 \times 0.6 = 1.68$.
अतः,माध्य और प्रसरण क्रमशः $2.8$ और $1.68$ हैं।