AP EAMCET 2022 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) माना रेखा $x+y=4$ पर स्थित बिंदु $(\alpha, 4-\alpha)$ है।
दिया गया है कि इस बिंदु से रेखा $4x+3y-10=0$ की लंबवत दूरी $1$ है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर: $\left|\frac{4\alpha+3(4-\alpha)-10}{\sqrt{4^2+3^2}}\right|=1$.
$\left|\frac{4\alpha+12-3\alpha-10}{5}\right|=1$.
$|\alpha+2|=5$.
इससे $\alpha+2=5$ या $\alpha+2=-5$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha=3$ या $\alpha=-7$ है।
$\alpha=3$ के लिए,बिंदु $(3, 1)$ है।
$\alpha=-7$ के लिए,बिंदु $(-7, 11)$ है।
बिंदुओं $(3, 1)$ और $(-7, 11)$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(-7-3)^2+(11-1)^2}$ है।
$d=\sqrt{(-10)^2+(10)^2} = \sqrt{100+100} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$.

(C) माना $L_1: \sqrt{3} x-y+2=0$ और $L_2: \sqrt{3} x+y-2=0$ है।
इनका प्रतिच्छेदन बिंदु $A(0,2)$ है।
$P$,$L_1$ या $L_2$ पर इस प्रकार है कि $AP=5$ है।
$L_1$ की ढाल $\sqrt{3}$ है,इसलिए $y$-अक्ष के साथ कोण $30^{\circ}$ है।
माना $Q$,$P$ से $y$-अक्ष पर लंबपाद है।
$\triangle PAQ$ में,$AQ = AP \cos 30^{\circ} = 5 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5 \sqrt{3}}{2}$ है।
$P$ का $y$-निर्देशांक $y_P = y_A + AQ = 2 + \frac{5 \sqrt{3}}{2}$ है।
$y$-अक्ष पर लंबपाद $Q$,$(0, y_P)$ है।
$(0,0)$ से $Q$ की दूरी $|y_P| = 2 + \frac{5 \sqrt{3}}{2}$ है।

(C) $P(1,1)$ से गुजरने वाली चर रेखा का समीकरण $a(x-1) + b(y-1) = 0$ लें,जो $ax + by - (a+b) = 0$ में सरल हो जाता है।
रेखा $ax + by - (a+b) = 0$ से $A(2,0)$ और $B(0,2)$ की दूरियों का बीजगणितीय योग इस प्रकार है:
$d = \frac{a(2) + b(0) - (a+b)}{\sqrt{a^2+b^2}} + \frac{a(0) + b(2) - (a+b)}{\sqrt{a^2+b^2}}$
$d = \frac{2a - a - b}{\sqrt{a^2+b^2}} + \frac{2b - a - b}{\sqrt{a^2+b^2}}$
$d = \frac{a - b}{\sqrt{a^2+b^2}} + \frac{b - a}{\sqrt{a^2+b^2}}$
$d = \frac{a - b + b - a}{\sqrt{a^2+b^2}} = 0$.
अतः,$P(1,1)$ से गुजरने वाली सभी रेखाओं के लिए $d = 0$ है।

(A) माना बिंदु $A(2,4)$ से रेखा $x+y-1=0$ पर लंब का पाद $B(h,k)$ है।
लंब के पाद का सूत्र: $\frac{h-x_1}{a} = \frac{k-y_1}{b} = -\frac{ax_1+by_1+c}{a^2+b^2}$
मान रखने पर:
$\frac{h-2}{1} = \frac{k-4}{1} = -\frac{2+4-1}{1^2+1^2} = -\frac{5}{2}$
इससे हमें प्राप्त होता है:
$h-2 = -\frac{5}{2} \Rightarrow h = -\frac{1}{2}$
$k-4 = -\frac{5}{2} \Rightarrow k = \frac{3}{2}$
अतः लंब का पाद $B(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ है।
रेखा $(0,0)$ और $(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ से गुजरती है।
प्रवणता $m = \frac{\frac{3}{2}-0}{-\frac{1}{2}-0} = -3$.
रेखा का समीकरण $y = -3x$ है।

(B) बिंदु $(x, y, z)$ की $X, Y, Z$-अक्षों से दूरियाँ $d_1 = \sqrt{y^2 + z^2}$,$d_2 = \sqrt{x^2 + z^2}$,और $d_3 = \sqrt{x^2 + y^2}$ द्वारा दी जाती हैं।
बिंदु $(1, 2, 3)$ के लिए:
$d_1 = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13} \implies d_1^2 = 13$.
$d_2 = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10} \implies d_2^2 = 10$.
$d_3 = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} \implies d_3^2 = 5$.
अब,$2 d_2^2 + d_3^2 + 1$ की गणना करने पर:
$2(10) + 5 + 1 = 26$.
चूँकि $d_1^2 = 13$,इसलिए $26 = 2 \times 13 = 2 d_1^2$.

(D) दिया गया है $P=(3,12,4)$ और $O=(0,0,0)$.
दूरी $OP = \sqrt{3^2 + 12^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 144 + 16} = \sqrt{169} = 13$.
चूंकि $Q$,$OP$ पर स्थित है और $OQ=3$ है,इसलिए $Q$,$OP$ को $3 : 10$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$Q$ के निर्देशांक $\left( \frac{9}{13}, \frac{36}{13}, \frac{12}{13} \right)$ प्राप्त होते हैं।
निर्देशांकों का योग $= \frac{9+36+12}{13} = \frac{57}{13}$.

(A) रेखाओं के युग्म का समीकरण दिया गया है: $a x^2+2 h x y+b y^2+2 g x+2 f y+c=0$.
चूँकि रेखाएँ $x$-अक्ष पर प्रतिच्छेद करती हैं,$x$-अक्ष पर प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए $y=0$ रखने पर:
$a x^2+2 g x+c=0$.
रेखाओं के $x$-अक्ष पर प्रतिच्छेद करने के लिए,इस द्विघात समीकरण का विविक्तकर $D=0$ होना चाहिए:
$(2 g)^2 - 4(a)(c) = 0$ $\Rightarrow 4 g^2 = 4 a c$ $\Rightarrow g^2 = a c$.
सामान्य द्विघात समीकरण के रेखाओं का युग्म होने की शर्त है:
$a b c+2 f g h-a f^2-b g^2-c h^2=0$.
$g^2=a c$ प्रतिस्थापित करने पर:
$a b c+2 f g h-a f^2-b(a c)-c h^2=0$
$a b c+2 f g h-a f^2-a b c-c h^2=0$
$2 f g h = a f^2 + c h^2$.
अतः,$a b c = 2 f g h$ सामान्यतः सत्य नहीं है।

(B) रेखाओं के युग्म का व्यापक समीकरण $Ax^2 + 2Hxy + By^2 + 2Gx + 2Fy + C = 0$ है। दिए गए समीकरण से तुलना करने पर $A=9, H=a/2, B=4, G=3, F=b/2, C=-3$ प्राप्त होता है।
समांतर रेखाओं के लिए $H^2 = AB$,अतः $(a/2)^2 = 9 \times 4 = 36$,जिससे $a^2 = 144$ अर्थात $a = \pm 12$ प्राप्त होता है।
साथ ही,समांतर रेखाओं के लिए $af^2 = bg^2$ शर्त के अनुसार,$9(b/2)^2 = 4(3)^2$ $\Rightarrow 9(b^2/4) = 36$ $\Rightarrow b^2 = 16$ अर्थात $b = \pm 4$ प्राप्त होता है।
$a=12, b=4$ रखने पर समीकरण $(3x + 2y)^2 + 2(3x + 2y) - 3 = 0$ प्राप्त होता है,जो दो समांतर रेखाओं को निरूपित करता है।

(C) मान लीजिए उभयनिष्ठ रेखा की ढाल $m$ है। अन्य दो रेखाओं की ढाल $m_1$ और $m_2$ हैं।
$2x^2 + axy + 3y^2 = 0$ के लिए,$m + m_1 = -a/3$ और $m \cdot m_1 = 2/3$ है।
$2x^2 + bxy - 3y^2 = 0$ के लिए,$m + m_2 = b/3$ और $m \cdot m_2 = -2/3$ है।
चूंकि अन्य दो रेखाएँ लंबवत हैं,$m_1 \cdot m_2 = -1$ है।
हल करने पर $m^2 = 4/9$,अर्थात $m = \pm 2/3$ प्राप्त होता है।
यदि $m = 2/3$ है,तो $a = -5$ और $b = -1$ मिलता है।
यदि $m = -2/3$ है,तो $a = 5$ और $b = 1$ मिलता है।
अतः,$(a, b)$ का मान $(5, 1)$ है।

(C) दो दी गई रेखाओं के साथ समद्विबाहु त्रिभुज बनाने वाली रेखाओं का परिवार उन दो रेखाओं के बीच के कोण के समद्विभाजक के समानांतर होना चाहिए।
सबसे पहले,हम रेखाओं $L_1: 3x - 4y - 2 = 0$ और $L_2: 12x - 5y + 6 = 0$ के कोण समद्विभाजक ज्ञात करते हैं।
समद्विभाजकों का समीकरण $\frac{3x - 4y - 2}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \pm \frac{12x - 5y + 6}{\sqrt{12^2 + (-5)^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
$\frac{3x - 4y - 2}{5} = \pm \frac{12x - 5y + 6}{13}$.
ऋणात्मक चिह्न लेने पर:
$13(3x - 4y - 2) = -5(12x - 5y + 6)$
$39x - 52y - 26 = -60x + 25y - 30$
$99x - 77y + 4 = 0$.
$11$ से विभाजित करने पर,हमें $9x - 7y + \frac{4}{11} = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,इस समद्विभाजक के समानांतर रेखाओं का परिवार $9x - 7y + c = 0$ है।

(B) रेखाओं के पहले युग्म का गुणनखंड करने पर:
$6x^2 - xy - 12y^2 = 6x^2 - 9xy + 8xy - 12y^2 = 3x(2x - 3y) + 4y(2x - 3y) = (3x + 4y)(2x - 3y) = 0$
रेखाओं के दूसरे युग्म का गुणनखंड करने पर:
$15x^2 + 14xy - 8y^2 = 15x^2 + 20xy - 6xy - 8y^2 = 5x(3x + 4y) - 2y(3x + 4y) = (5x - 2y)(3x + 4y) = 0$
उभयनिष्ठ रेखा $3x + 4y = 0$ है।
इस रेखा की ढाल $m = -\frac{3}{4}$ है।
$(-1, 1)$ से गुजरने वाली और $m = -\frac{3}{4}$ ढाल वाली रेखा का समीकरण:
$y - 1 = -\frac{3}{4}(x + 1)$
$4y - 4 = -3x - 3$
$3x + 4y - 1 = 0$

(C) दिए गए समीकरण $x^2+5x-6=0$ और $y^2-8y-20=0$ हैं।
$x$ के लिए हल करने पर:
$x^2+6x-x-6=0$ $\Rightarrow (x+6)(x-1)=0$ $\Rightarrow x_1=-6, x_2=1$.
$y$ के लिए हल करने पर:
$y^2-10y+2y-20=0$ $\Rightarrow (y-10)(y+2)=0$ $\Rightarrow y_1=10, y_2=-2$.
आयत के शीर्ष $(-6, 10), (1, 10), (1, -2), (-6, -2)$ हैं।
विकर्ण का मध्यबिंदु विपरीत शीर्षों को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्यबिंदु है,जैसे $(-6, 10)$ और $(1, -2)$।
मध्यबिंदु $= \left(\frac{-6+1}{2}, \frac{10-2}{2}\right) = \left(\frac{-5}{2}, \frac{8}{2}\right) = \left(\frac{-5}{2}, 4\right)$.

(A) समीकरण $x^2-4xy+y^2=0$ मूल बिंदु से गुजरने वाली दो सरल रेखाओं का युग्म दर्शाता है।
$ax^2+2hxy+by^2=0$ से तुलना करने पर,$a=1, h=-2, b=1$ प्राप्त होता है।
इन रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b} \right| = \left| \frac{2\sqrt{(-2)^2-(1)(1)}}{1+1} \right| = \sqrt{3}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$\theta = 60^\circ$ है।
तीसरी रेखा $x+y+4\sqrt{6}=0$ है,जिसका ढाल $-1$ है,अर्थात यह $x$-अक्ष के साथ $135^\circ$ का कोण बनाती है।
इस प्रकार,त्रिभुज के तीनों कोण $60^\circ$ हैं,इसलिए यह एक समबाहु त्रिभुज है।

(B) रेखाओं के युग्म का समीकरण $ax^2+2hxy+by^2=0$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a=3$,$2h=5$,और $b=4$ है।
कोण समद्विभाजकों का समीकरण $\frac{x^2-y^2}{a-b} = \frac{xy}{h}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $\frac{x^2-y^2}{3-4} = \frac{xy}{5/2}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{x^2-y^2}{-1} = \frac{2xy}{5}$ में सरल हो जाता है।
दोनों पक्षों को $-1$ से गुणा करने पर,हमें $x^2-y^2 = -\frac{2}{5}xy$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $x^2-y^2+\frac{2}{5}xy=0$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि $P$ और $Q$ त्रिभुज की भुजाओं $AB$ और $BC$ के मध्य बिंदु हैं,जिसके शीर्ष $A(1, 3)$,$B(3, 7)$ और $C(7, 15)$ हैं।
$P$ के निर्देशांक = $\left(\frac{1+3}{2}, \frac{3+7}{2}\right) = (2, 5)$.
$Q$ के निर्देशांक = $\left(\frac{3+7}{2}, \frac{7+15}{2}\right) = (5, 11)$.
मान लीजिए $R$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
दी गई शर्त $AC^2 + QR^2 = PR^2$ है,जिसका अर्थ है $PR^2 - QR^2 = AC^2$.
$AC^2 = (7-1)^2 + (15-3)^2 = 6^2 + 12^2 = 36 + 144 = 180$.
$PR^2 - QR^2 = [(x-2)^2 + (y-5)^2] - [(x-5)^2 + (y-11)^2] = 180$.
$(x^2 - 4x + 4 + y^2 - 10y + 25) - (x^2 - 10x + 25 + y^2 - 22y + 121) = 180$.
$(6x + 12y - 117) = 180$.
$6x + 12y = 297$.

(B) दी गई रेखा $x \cos \theta + y \sin \theta = 1$ है।
निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम क्रमशः $y = 0$ और $x = 0$ रखते हैं।
$y = 0$ के लिए,$x = \frac{1}{\cos \theta}$,अतः बिंदु $A = (\frac{1}{\cos \theta}, 0)$ है।
$x = 0$ के लिए,$y = \frac{1}{\sin \theta}$,अतः बिंदु $B = (0, \frac{1}{\sin \theta})$ है।
माना $(h, k)$ $AB$ का मध्य-बिंदु है। तब $h = \frac{1}{2 \cos \theta}$ और $k = \frac{1}{2 \sin \theta}$ है।
इसका अर्थ है $\cos \theta = \frac{1}{2h}$ और $\sin \theta = \frac{1}{2k}$।
सर्वसमिका $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर,हमें $(\frac{1}{2h})^2 + (\frac{1}{2k})^2 = 1$ प्राप्त होता है।
$\frac{1}{4h^2} + \frac{1}{4k^2} = 1$,जो सरल होकर $\frac{1}{h^2} + \frac{1}{k^2} = 4$ हो जाता है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} = 4$ है।

(C) मान लीजिए कि $P(x, y)$ वह बिंदु है।
दिया गया है $BP^2 - AP^2 = 121$।
बिंदुओं $A(2, 5)$ और $B(5, 11)$ के निर्देशांक रखने पर:
$((x - 5)^2 + (y - 11)^2) - ((x - 2)^2 + (y - 5)^2) = 121$
$(x^2 - 10x + 25 + y^2 - 22y + 121) - (x^2 - 4x + 4 + y^2 - 10y + 25) = 121$
$(x^2 + y^2 - 10x - 22y + 146) - (x^2 + y^2 - 4x - 10y + 29) = 121$
$-6x - 12y + 117 = 121$
$-6x - 12y = 4$
$12y = -6x - 4$
$y = -\frac{6}{12}x - \frac{4}{12}$
$y = -\frac{1}{2}x - \frac{1}{3}$
यह समीकरण $y = mx + c$ के रूप में है,जहाँ ढाल $m = -\frac{1}{2}$ है।

(A) दिया गया समीकरण $xy-4x-4y+16=0$ है।
गुणनखंड करने पर,$x(y-4)-4(y-4)=0$,जिसका अर्थ है $(x-4)(y-4)=0$।
अतः,दो रेखाएँ $L_1: x=4$ और $L_2: y=4$ हैं।
तीसरी रेखा $L_3: x+y=5$ है।
त्रिभुज के शीर्ष इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं:
$A = L_1 \cap L_2 = (4, 4)$
$B = L_1 \cap L_3 = (4, 1)$
$C = L_2 \cap L_3 = (1, 4)$
भुजाओं की लंबाई:
$c = AB = 3$
$a = BC = 3\sqrt{2}$
$b = CA = 3$
अंतःकेंद्र $I(x, y) = \left(\frac{ax_A+bx_B+cx_C}{a+b+c}, \frac{ay_A+by_B+cy_C}{a+b+c}\right)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$x = \frac{3\sqrt{2}(4) + 3(4) + 3(1)}{3\sqrt{2}+3+3} = \frac{4\sqrt{2}+5}{\sqrt{2}+2}$
$y = \frac{3\sqrt{2}(4) + 3(1) + 3(4)}{3\sqrt{2}+3+3} = \frac{4\sqrt{2}+5}{\sqrt{2}+2}$
चूँकि $x=y$,अंतःकेंद्र का बिंदुपथ $x-y=0$ है।

(A) माना $A = (-1, 0)$ और $B = (0, 2)$ है।
दूरियों का अनुपात $\frac{PA}{PB} = \frac{\sqrt{2}}{1}$ दिया गया है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{PA^2}{PB^2} = 2$ प्राप्त होता है।
$PA^2 = (x+1)^2 + (y-0)^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2$.
$PB^2 = (x-0)^2 + (y-2)^2 = x^2 + y^2 - 4y + 4$.
अनुपात समीकरण में मान रखने पर: $x^2 + 2x + 1 + y^2 = 2(x^2 + y^2 - 4y + 4)$.
$x^2 + 2x + 1 + y^2 = 2x^2 + 2y^2 - 8y + 8$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $x^2 + y^2 - 2x - 8y + 7 = 0$.
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 8y + 16) = -7 + 1 + 16$.
$(x-1)^2 + (y-4)^2 = 10$.

(A) मान लीजिए $A$ के निर्देशांक $(a, 0)$ और $B$ के निर्देशांक $(0, b)$ हैं।
अतः,बिंदु $P$ के निर्देशांक $(a, b)$ हैं।
अंतःखंड रूप में चर रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
चूंकि यह रेखा $(l, m)$ से होकर गुजरती है,इसलिए $\frac{l}{a} + \frac{m}{b} = 1$ है।
$P(a, b)$ का बिंदुपथ ज्ञात करने के लिए $a$ को $x$ और $b$ को $y$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{l}{x} + \frac{m}{y} = 1$ प्राप्त होता है।

(A) माना $Q = (3, 0)$ और $R = (0, 4)$ है। बिंदु $P(x, y)$ जो $Q$ और $R$ से समान दूरी पर है,का बिंदुपथ $PQ = PR$ द्वारा दिया जाता है।
$\sqrt{(x-3)^2 + (y-0)^2} = \sqrt{(x-0)^2 + (y-4)^2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(x-3)^2 + y^2 = x^2 + (y-4)^2$
$x^2 - 6x + 9 + y^2 = x^2 + y^2 - 8y + 16$
$-6x + 8y - 7 = 0 \Rightarrow 6x - 8y + 7 = 0$.
माना $A = (\alpha, \frac{6\alpha + 7}{8})$ और $B = (\beta, \frac{6\beta + 7}{8})$ है।
बिंदु $A$ के लिए,$4\alpha = 3(\frac{6\alpha + 7}{8})$ $\Rightarrow 32\alpha = 18\alpha + 21$ $\Rightarrow 14\alpha = 21$ $\Rightarrow \alpha = \frac{3}{2}$।
अतः,$A = (\frac{3}{2}, 2)$।
बिंदु $B$ के लिए,$\beta = \frac{6\beta + 7}{8}$ $\Rightarrow 8\beta = 6\beta + 7$ $\Rightarrow 2\beta = 7$ $\Rightarrow \beta = \frac{7}{2}$।
अतः,$B = (\frac{7}{2}, \frac{7}{2})$।
दूरी $AB = \sqrt{(\frac{7}{2} - \frac{3}{2})^2 + (\frac{7}{2} - 2)^2} = \sqrt{(2)^2 + (\frac{3}{2})^2} = \sqrt{4 + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}$।

(B) माना बिंदु $P(x, y)$ है।
दी गई शर्त के अनुसार,$(a, 0)$ और $(-a, 0)$ से दूरियों के वर्गों का योग $2b^2$ है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर:
$((x-a)^2 + (y-0)^2) + ((x+a)^2 + (y-0)^2) = 2b^2$
वर्गों का विस्तार करने पर:
$(x^2 - 2ax + a^2 + y^2) + (x^2 + 2ax + a^2 + y^2) = 2b^2$
समान पदों को जोड़ने पर:
$2x^2 + 2y^2 + 2a^2 = 2b^2$
पूरे समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर:
$x^2 + y^2 + a^2 = b^2$
पदों को व्यवस्थित करने पर,$P$ का बिंदुपथ प्राप्त होता है:
$x^2 + y^2 = b^2 - a^2$

(C) दिया गया है कि $A$,$X$-अक्ष पर स्थित है,मान लीजिए $A \equiv (a, 0)$.
दिया गया है कि $B$,$y=6x$ रेखा पर स्थित है,मान लीजिए $B \equiv (c, 6c)$.
मान लीजिए $C(h, k)$ रेखा $AB$ का मध्य-बिंदु है।
तब,$h = \frac{a+c}{2}$ और $k = \frac{0+6c}{2} = 3c$ है।
$k = 3c$ से,हमें $c = \frac{k}{3}$ प्राप्त होता है।
$h$ के समीकरण में $c$ का मान रखने पर: $h = \frac{a + k/3}{2}$ $\Rightarrow 2h = a + \frac{k}{3}$ $\Rightarrow a = 2h - \frac{k}{3}$।
रेखाखंड की लंबाई $AB = r$ दी गई है,इसलिए $(AB)^2 = r^2$ है।
$(a-c)^2 + (0-6c)^2 = r^2$
$a = 2h - k/3$ और $c = k/3$ रखने पर:
$(2h - k/3 - k/3)^2 + (6(k/3))^2 = r^2$
$(2h - 2k/3)^2 + (2k)^2 = r^2$
$4(h - k/3)^2 + 4k^2 = r^2$
$(h - k/3)^2 + k^2 = \frac{r^2}{4}$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $(x - y/3)^2 + y^2 = \frac{r^2}{4}$ प्राप्त होता है।

(A) दिए गए समीकरण $ax^2+2hxy+by^2=0$ के लिए,ढालों का योग $m_1+m_2 = -\frac{2h}{b}$ और ढालों का गुणनफल $m_1m_2 = \frac{a}{b}$ है।
$m_1m_2-2=0$ से,हमें $\frac{a}{b}=2$ प्राप्त होता है,इसलिए $a=2b$ है।
$3(m_1-m_2)-7=0$ से,हमें $m_1-m_2 = \frac{7}{3}$ प्राप्त होता है।
$(m_1-m_2)^2 = (m_1+m_2)^2 - 4m_1m_2$ का उपयोग करने पर,$(\frac{7}{3})^2 = (-\frac{2h}{b})^2 - 4(\frac{a}{b})$ प्राप्त होता है।
$a=2b$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{49}{9} = \frac{4h^2}{b^2} - 4(2) = \frac{4h^2}{b^2} - 8$ प्राप्त होता है।
$\frac{4h^2}{b^2} = \frac{49}{9} + 8 = \frac{49+72}{9} = \frac{121}{9}$ है।
वर्गमूल लेने पर,$\frac{2h}{b} = \pm \frac{11}{3}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{h}{b} = \pm \frac{11}{6}$ है।
इस प्रकार,$\frac{h}{\pm 11} = \frac{b}{6}$ है।
चूंकि $a=2b$ है,इसलिए $\frac{a}{2} = b$,अतः $\frac{a}{12} = \frac{b}{6}$ है।
इसलिए,$\frac{a}{12} = \frac{b}{6} = \frac{h}{\pm 11}$ सत्य है।

(A) दी गई रेखाओं का समीकरण $a^2 x^2 + 2hxy + b^2 y^2 = 0$ है।
माना रेखाओं के ढाल $m$ और $2m$ हैं।
समीकरण $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ के गुणों से,ढालों का योग $m_1 + m_2 = -\frac{2H}{B}$ और गुणनफल $m_1 m_2 = \frac{A}{B}$ होता है।
यहाँ,$A = a^2$,$2H = 2h$,और $B = b^2$ है।
अतः,$m + 2m = -\frac{2h}{b^2}$ $\Rightarrow 3m = -\frac{2h}{b^2}$ $\Rightarrow m = -\frac{2h}{3b^2}$ $(i)$।
साथ ही,$m \times 2m = \frac{a^2}{b^2} \Rightarrow 2m^2 = \frac{a^2}{b^2}$ (ii)।
$(i)$ का मान (ii) में रखने पर: $2 \left(-\frac{2h}{3b^2}\right)^2 = \frac{a^2}{b^2}$।
$2 \left(\frac{4h^2}{9b^4}\right) = \frac{a^2}{b^2} \Rightarrow \frac{8h^2}{9b^4} = \frac{a^2}{b^2}$।
$\frac{h^2}{a^2 b^2} = \frac{9}{8} \Rightarrow \frac{h}{ab} = \sqrt{\frac{9}{8}} = \frac{3}{2\sqrt{2}}$।
हर का परिमेयकरण करने पर: $\frac{3}{2\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$।

(C) दी गई रेखाओं का समीकरण $y^2-8xy-9x^2=0$ है।
गुणनखंड करने पर,$(y-9x)(y+x)=0$ प्राप्त होता है।
अतः,दो रेखाएँ $L_1: y=9x$ और $L_2: y=-x$ हैं।
शीर्ष $V(\alpha, \beta)$ मानिए। $V$ से गुजरने वाली भुजाएँ $VA$ और $VB$ हैं।
रेखा $L_1: y=9x$,$VA$ का लंब समद्विभाजक है। $L_1$ की ढाल $9$ है,इसलिए $VA$ की ढाल $-1/9$ है।
$VA$ का समीकरण $y-\beta = -\frac{1}{9}(x-\alpha) \Rightarrow x+9y = \alpha+9\beta$ है।
$VA$ और $L_1$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $VA$ का मध्य बिंदु $M$ है। $y=9x$ और $x+9y=\alpha+9\beta$ को हल करने पर,$x+81x = \alpha+9\beta \Rightarrow x = \frac{\alpha+9\beta}{82}$ और $y = \frac{9\alpha+81\beta}{82}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $M$,$VA$ का मध्य बिंदु है,यदि $A$ का निर्देशांक $(x_A, y_A)$ है,तो $\frac{x_A+\alpha}{2} = \frac{\alpha+9\beta}{82} \Rightarrow x_A = \frac{-40\alpha+9\beta}{41}$ और $\frac{y_A+\beta}{2} = \frac{9\alpha+81\beta}{82} \Rightarrow y_A = \frac{9\alpha+40\beta}{41}$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,$L_2: y=-x$,$VB$ का लंब समद्विभाजक है। $L_2$ की ढाल $-1$ है,इसलिए $VB$ की ढाल $1$ है।
$VB$ का समीकरण $y-\beta = 1(x-\alpha) \Rightarrow x-y = \alpha-\beta$ है।
$VB$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $VB$ का मध्य बिंदु $N$ है। $y=-x$ और $x-y=\alpha-\beta$ को हल करने पर,$x+x = \alpha-\beta \Rightarrow x = \frac{\alpha-\beta}{2}$ और $y = \frac{\beta-\alpha}{2}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $N$,$VB$ का मध्य बिंदु है,यदि $B$ का निर्देशांक $(x_B, y_B)$ है,तो $\frac{x_B+\alpha}{2} = \frac{\alpha-\beta}{2} \Rightarrow x_B = -\beta$ और $\frac{y_B+\beta}{2} = \frac{\beta-\alpha}{2} \Rightarrow y_B = -\alpha$ प्राप्त होता है।
$\triangle VAB$ का केंद्रक $G$,$(\frac{\alpha+x_A+x_B}{3}, \frac{\beta+y_A+y_B}{3})$ है।
गणना करने पर,$G = \frac{1}{123}(\alpha-32\beta, \beta+32\alpha)$ प्राप्त होता है। अतः विकल्प $C$ सही है।

(A) $12x^2+7xy-12y^2=0$ का गुणनखंड करने पर:
$12x^2+16xy-9xy-12y^2=0$
$4x(3x+4y)-3y(3x+4y)=0$
$(4x-3y)(3x+4y)=0$
अतः,रेखाएं $4x-3y=0$ और $3x+4y=0$ हैं। चूंकि उनकी ढाल $4/3$ और $-3/4$ है,वे परस्पर लंबवत हैं।
$12x^2+7xy-12y^2-x+7y-1=0$ का गुणनखंड करने पर:
माना समीकरण $(4x-3y+c_1)(3x+4y+c_2)=0$ है।
विस्तार करने पर: $12x^2+7xy-12y^2 + (4c_2+3c_1)x + (4c_1-3c_2)y + c_1c_2 = 0$.
तुलना करने पर: $4c_2+3c_1 = -1$ और $4c_1-3c_2 = 7$.
हल करने पर,$c_1=1$ और $c_2=-1$ प्राप्त होता है।
अतः रेखाएं $4x-3y+1=0$ और $3x+4y-1=0$ हैं।
समांतर रेखाओं $4x-3y=0$ और $4x-3y+1=0$ के बीच की दूरी $d_1 = \frac{|1-0|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}} = \frac{1}{5}$ है।
समांतर रेखाओं $3x+4y=0$ और $3x+4y-1=0$ के बीच की दूरी $d_2 = \frac{|-1-0|}{\sqrt{3^2+4^2}} = \frac{1}{5}$ है।
चूंकि रेखाएं लंबवत हैं और समांतर जोड़ों के बीच की दूरी समान है,यह आकृति $1/5$ भुजा वाला एक वर्ग है।
क्षेत्रफल $= (1/5)^2 = 1/25$ वर्ग इकाई।

(A) दिया गया समीकरण $4x^2 + 20xy + 25y^2 + 2x + 5y - 12 = 0$ है।
इसे $(2x + 5y)^2 + (2x + 5y) - 12 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मान लीजिए $t = 2x + 5y$। तब समीकरण $t^2 + t - 12 = 0$ हो जाता है।
गुणनखंड करने पर: $(t + 4)(t - 3) = 0$।
अतः,$t = -4$ या $t = 3$।
इससे हमें दो समांतर रेखाएं मिलती हैं: $2x + 5y + 4 = 0$ और $2x + 5y - 3 = 0$।
दो समांतर रेखाओं $Ax + By + C_1 = 0$ और $Ax + By + C_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$A = 2, B = 5, C_1 = 4, C_2 = -3$ है।
$d = \frac{|4 - (-3)|}{\sqrt{2^2 + 5^2}} = \frac{|7|}{\sqrt{4 + 25}} = \frac{7}{\sqrt{29}}$।

(A) द्विघात समीकरण $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ सरल रेखाओं के एक युग्म को निरूपित करता है यदि सारणिक $\Delta = 0$ हो,जहाँ $\Delta = \begin{vmatrix} a & h & g \\ h & b & f \\ g & f & c \end{vmatrix} = 0$ है।
दिए गए समीकरण $ax^2-34xy-5y^2+2x+26y-5=0$ की तुलना सामान्य रूप से करने पर,$a=a$,$h=-17$,$b=-5$,$g=1$,$f=13$,और $c=-5$ प्राप्त होता है।
इन मानों को सारणिक में रखने पर:
$\begin{vmatrix} a & -17 & 1 \\ -17 & -5 & 13 \\ 1 & 13 & -5 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$a(25 - 169) + 17(85 - 13) + 1(-221 + 5) = 0$
$-144a + 1224 - 216 = 0$
$-144a + 1008 = 0$
$a = 7$.

(A) दी गई रेखा $x+y-\lambda=0$ है,जिसका अर्थ है $x+y=\lambda$। चूंकि $\lambda \neq 0$,हमारे पास $\frac{x+y}{\lambda}=1$ $(i)$ है।
रेखाओं के युग्म का समीकरण $x^2+y^2-2x-4y+2=0$ है।
मूल बिंदु को $A$ और $B$ से जोड़ने वाली रेखाओं का समीकरण ज्ञात करने के लिए,हम $(i)$ का उपयोग करके समीकरण को समघात बनाते हैं:
$x^2+y^2-2x(1)-4y(1)+2(1)^2=0$
$x^2+y^2-2x(\frac{x+y}{\lambda})-4y(\frac{x+y}{\lambda})+2(\frac{x+y}{\lambda})^2=0$
$\lambda^2$ से गुणा करने पर:
$(\lambda^2-2\lambda+2)x^2 + (4-6\lambda)xy + (\lambda^2-4\lambda+2)y^2 = 0$।
चूंकि $\angle AOB=90^{\circ}$ है,इसलिए $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए:
$(\lambda^2-2\lambda+2) + (\lambda^2-4\lambda+2) = 0$
$2\lambda^2-6\lambda+4 = 0$
$\lambda^2-3\lambda+2 = 0$
$(\lambda-1)(\lambda-2) = 0$।
अतः,$\lambda=1$ या $\lambda=2$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$2$ सही उत्तर है।

(D) दिया गया समीकरण $x^2-5xy+4y^2=0$ है।
गुणनखंड करने पर: $(x-y)(x-4y)=0$।
रेखाएँ $L_1: x-y=0$ और $L_2: x-4y=0$ हैं।
$(2,1)$ से गुजरने वाली और $x-y=0$ के लंबवत रेखा: $x+y-3=0$।
$(2,1)$ से गुजरने वाली और $x-4y=0$ के लंबवत रेखा: $4x+y-9=0$।
संयुक्त समीकरण: $(x+y-3)(4x+y-9)=0$।
विस्तार करने पर: $4x^2+5xy+y^2-21x-12y+27=0$।

(D) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है।
वृत्त का केंद्र $C(-g, -f)$ है।
वृत्त के किसी भी बिंदु $P(x_1, y_1)$ पर अभिलंब हमेशा केंद्र $C(-g, -f)$ से होकर गुजरता है।
अभिलंब की प्रवणता रेखाखंड $CP$ की प्रवणता है।
प्रवणता $m = \frac{y_1 - (-f)}{x_1 - (-g)} = \frac{y_1+f}{x_1+g}$ है।
अतः,अभिलंब की प्रवणता $\frac{y_1+f}{x_1+g}$ है।

(C) द्वितीय घात वक्र का सामान्य समीकरण $ax^2 + by^2 + 2hxy + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
इसे एक वृत्त दर्शाने के लिए,$x^2$ का गुणांक और $y^2$ का गुणांक समान होना चाहिए (अर्थात $a = b$) और $xy$ का गुणांक शून्य होना चाहिए (अर्थात $h = 0$)।
अतः,समीकरण $a(x^2 + y^2) + 2gx + 2fy + c = 0$ हो जाता है।
चूंकि वृत्त मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरता है,इसलिए $x = 0$ और $y = 0$ रखने पर हमें $a(0)^2 + a(0)^2 + 2g(0) + 2f(0) + c = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $c = 0$।
इसलिए,शर्तें $a = b, h = 0, c = 0$ हैं।

(C) दिया गया वृत्त समीकरण $x^2 + y^2 - 2x + 4y - 20 = 0$ है।
इसे सामान्य रूप $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,$g = -1$,$f = 2$ और $c = -20$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (1, -2)$ है।
जाँच करें कि क्या रेखा $4x - 3y - 10 = 0$ केंद्र $(1, -2)$ से होकर गुजरती है:
$4(1) - 3(-2) - 10 = 4 + 6 - 10 = 0$।
चूँकि रेखा केंद्र से होकर गुजरती है,इसलिए अंतःखंड वृत्त का व्यास है।
त्रिज्या $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-1)^2 + (2)^2 - (-20)} = \sqrt{1 + 4 + 20} = \sqrt{25} = 5$।
अंतःखंड की लंबाई (व्यास) $2r = 2 \times 5 = 10$ है।

(A) माना बिंदु $A(1, 2)$, $B(5, 2)$, और $C(5, -2)$ हैं।
इन बिंदुओं को आलेखित करने पर, हम देखते हैं कि $AB$ लंबाई $4$ का एक क्षैतिज रेखाखंड है और $BC$ लंबाई $4$ का एक ऊर्ध्वाधर रेखाखंड है।
चूंकि $AB \perp BC$, त्रिभुज $\triangle ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसका समकोण $B$ पर है।
एक समकोण त्रिभुज के शीर्षों से गुजरने वाले वृत्त के लिए, कर्ण वृत्त का व्यास होता है।
कर्ण $AC = \sqrt{(5-1)^2 + (-2-2)^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ है।
अतः, वृत्त का व्यास $4\sqrt{2}$ है।
त्रिज्या $r$ व्यास की आधी होती है, इसलिए $r = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$।
वृत्त का क्षेत्रफल $\pi r^2 = \pi(2\sqrt{2})^2 = \pi(8) = 8\pi$ है।

(D) माना वृत्त $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ है। चूँकि यह $(2,3)$ से गुजरता है,$(2-h)^2 + (3-k)^2 = r^2$।
रेखा $x=2$ पर अंतःखंड $2\sqrt{r^2 - (2-h)^2} = 3$ है। $r^2 - (2-h)^2 = (3-k)^2$ प्रतिस्थापित करने पर,$2\sqrt{(3-k)^2} = 3$,अतः $|3-k| = 1.5$,जिसका अर्थ है $k = 4.5$ या $k = 1.5$।
रेखा $y=3$ पर अंतःखंड $2\sqrt{r^2 - (3-k)^2} = 4$ है। $r^2 - (3-k)^2 = (2-h)^2$ प्रतिस्थापित करने पर,$2\sqrt{(2-h)^2} = 4$,अतः $|2-h| = 2$,जिसका अर्थ है $h = 4$ या $h = 0$।
चूँकि केंद्र $(h,k)$ प्रथम चतुर्थांश में है,$h, k > 0$।
$(h,k) = (4, 4.5)$ स्थिति लेने पर: $r^2 = (2-4)^2 + (3-4.5)^2 = 4 + 2.25 = 6.25$।
समीकरण $(x-4)^2 + (y-4.5)^2 = 6.25$ है,जो सरल होकर $x^2 + y^2 - 8x - 9y + 30 = 0$ बनता है।

(D) दी गई स्पर्श रेखाओं के समीकरण हैं:
$E_1: 3x - 4y + 4 = 0$
$E_2: 6x - 8y - 7 = 0 \Rightarrow 3x - 4y - \frac{7}{2} = 0$
चूंकि दोनों रेखाओं की ढाल $\frac{3}{4}$ है,इसलिए स्पर्श रेखाएं समानांतर हैं।
दो समानांतर रेखाओं $ax + by + c_1 = 0$ और $ax + by + c_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \left| \frac{c_1 - c_2}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right|$ होती है।
यहाँ,$a = 3, b = -4, c_1 = 4, c_2 = -\frac{7}{2}$.
$d = \left| \frac{4 - (-\frac{7}{2})}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} \right| = \left| \frac{\frac{15}{2}}{5} \right| = \frac{3}{2}$.
वृत्त की दो समानांतर स्पर्श रेखाओं के बीच की दूरी वृत्त के व्यास के बराबर होती है।
अतः,व्यास $= \frac{3}{2}$.
त्रिज्या $= \frac{\text{व्यास}}{2} = \frac{3/2}{2} = \frac{3}{4}$.

(A) मान लीजिए $x_1$ और $x_2$ समीकरण $x^2+2x-a^2=0$ के मूल हैं। अतः,$(x-x_1)(x-x_2) = x^2+2x-a^2 = 0$.
इसी प्रकार,मान लीजिए $y_1$ और $y_2$ समीकरण $y^2+4y-b^2=0$ के मूल हैं। अतः,$(y-y_1)(y-y_2) = y^2+4y-b^2 = 0$.
मान लीजिए बिंदुओं $A$ और $B$ के निर्देशांक क्रमशः $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ हैं।
$AB$ को व्यास मानकर वृत्त का समीकरण $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए द्विघात समीकरणों के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$(x^2+2x-a^2) + (y^2+4y-b^2) = 0$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x^2+y^2+2x+4y-a^2-b^2=0$.

(A) माना वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है।
चूंकि वृत्त $y$-अक्ष को $(0, 4)$ पर स्पर्श करता है,केंद्र $(\pm r, 4)$ है और त्रिज्या $r = 4$ है।
अतः,$g^2 = r^2 = 16$ और $f = \pm 4$ है।
चूंकि वृत्त $y$-अक्ष को स्पर्श करता है,अचर पद $c = f^2 = 16$ होगा।
$x$-अक्ष पर अंतःखंड $2\sqrt{g^2-c} = 6$ है,जिसका अर्थ है $\sqrt{g^2-c} = 3$,इसलिए $g^2-c = 9$ है।
$c = 16$ रखने पर,$g^2 = 16+9 = 25$,इसलिए $g = \pm 5$ है।
$g = \pm 5$,$f = \pm 4$,और $c = 16$ को सामान्य समीकरण में रखने पर:
$x^2+y^2 \pm 10x \pm 8y + 16 = 0$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही समीकरण $x^2+y^2 \pm 10x - 8y + 16 = 0$ है।

(A) चूंकि वृत्त दोनों निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करता है,इसका केंद्र $(h, k)$ शर्त $|h| = |k| = r$ को संतुष्ट करता है,जहाँ $r$ त्रिज्या है।
अतः केंद्र $(r, r), (r, -r), (-r, r),$ या $(-r, -r)$ हो सकता है।
केंद्र रेखा $x-2y-3=0$ पर स्थित है।
स्थिति $1$: केंद्र $(r, r)$ है,तो $r-2r-3=0$ $\Rightarrow -r=3$ $\Rightarrow r=-3$. जो संभव नहीं है।
स्थिति $2$: केंद्र $(r, -r)$ है,तो $r-2(-r)-3=0$ $\Rightarrow 3r=3$ $\Rightarrow r=1$. केंद्र $(1, -1)$ है।
वृत्त का समीकरण $(x-1)^2+(y+1)^2=1^2 \Rightarrow x^2+y^2-2x+2y+1=0$ है।

(A) मान लीजिए वृत्त का केंद्र $O = (c, 0)$ है।
वृत्त पर स्थित बिंदु $A = (0, a)$ और $B = (b, h)$ हैं।
चूंकि $O$ केंद्र है,इसलिए $O$ से $A$ की दूरी और $O$ से $B$ की दूरी समान होनी चाहिए,अतः $OA^2 = OB^2$ होगा।
$OA^2 = (c - 0)^2 + (0 - a)^2 = c^2 + a^2$.
$OB^2 = (c - b)^2 + (0 - h)^2 = (c - b)^2 + h^2$.
दोनों दूरियों की तुलना करने पर:
$c^2 + a^2 = (c - b)^2 + h^2$.
$c^2 + a^2 = c^2 - 2bc + b^2 + h^2$.
$a^2 = -2bc + b^2 + h^2$.
$2bc = b^2 + h^2 - a^2$.
$c = \frac{b^2 - a^2 + h^2}{2b}$.

(A) दिया गया वृत्त $x^2 + y^2 - 4y = 0$ है,जिसे $x^2 + (y - 2)^2 = 2^2$ के रूप में लिखा जा सकता है। इसका केंद्र $C_1(0, 2)$ और त्रिज्या $r_1 = 2$ है।
माना अभीष्ट वृत्त का केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r = R/2$ है।
चूंकि यह $x^2 + y^2 - 4y = 0$ को स्पर्श करता है,केंद्रों के बीच की दूरी $d = r_1 + r = 2 + R/2$ होगी।
अतः,$\sqrt{h^2 + (k - 2)^2} = 2 + R/2$.
साथ ही,वृत्त $(4, 5)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $(4 - h)^2 + (5 - k)^2 = (R/2)^2$.
इन शर्तों को हल करने पर,व्यास $R$ के लिए $3 \leq R \leq 7$ प्राप्त होता है।

(D) वृत्त $C_1: x^2+y^2+2 \alpha x+c=0$ का केंद्र $O_1(-\alpha, 0)$ है और इसकी त्रिज्या $r_1 = \sqrt{\alpha^2-c}$ है।
वृत्त $C_2: x^2+y^2+2 \beta x+c=0$ का केंद्र $O_2(-\beta, 0)$ है और इसकी त्रिज्या $r_2 = \sqrt{\beta^2-c}$ है।
$C_1$ को $C_2$ के पूर्णतः अंदर स्थित होने के लिए,केंद्रों के बीच की दूरी $d = |O_1O_2| = |\beta - \alpha|$ को $d + r_1 < r_2$ की शर्त को पूरा करना चाहिए।
इन शर्तों के आधार पर,सही विकल्प $\alpha \beta > 0$ है।

(C) वृत्त का केंद्र $(h, k) = (2, -3)$ है।
चूंकि वृत्त $X$-अक्ष को स्पर्श करता है,इसलिए त्रिज्या $r$ केंद्र के $y$-निर्देशांक का निरपेक्ष मान है।
$r = |k| = |-3| = 3$.
वृत्त का मानक समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ है।
मान रखने पर,$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 3^2$ प्राप्त होता है।
$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 9$.
पदों का विस्तार करने पर: $(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) = 9$.
$x^2 + y^2 - 4x + 6y + 4 + 9 = 9$.
$x^2 + y^2 - 4x + 6y + 4 = 0$.

(B) वर्ग के शीर्ष $A(0, 0)$,$B(a, 0)$,$C(a, a)$ और $D(0, a)$ हैं।
चूँकि वर्ग एक वृत्त के भीतर स्थित है,विकर्ण $AC$ (या $BD$) वृत्त का व्यास है।
व्यास के अंत बिंदुओं $(x_1, y_1) = (0, 0)$ और $(x_2, y_2) = (a, a)$ का उपयोग करके वृत्त का समीकरण:
$(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$
$(x - 0)(x - a) + (y - 0)(y - a) = 0$
$x(x - a) + y(y - a) = 0$
$x^2 - ax + y^2 - ay = 0$
$x^2 + y^2 - a(x + y) = 0$

(A) मान लीजिए कि वृत्त $A(1, \lambda)$,$B(\lambda, 1)$ और $C(\lambda, \lambda)$ से होकर गुजरता है।
चूंकि बिंदुओं $B(\lambda, 1)$ और $C(\lambda, \lambda)$ का $x$-निर्देशांक समान है,इसलिए $BC$ का लंब समद्विभाजक क्षैतिज रेखा $y = \frac{1+\lambda}{2}$ है।
चूंकि बिंदुओं $A(1, \lambda)$ और $C(\lambda, \lambda)$ का $y$-निर्देशांक समान है,इसलिए $AC$ का लंब समद्विभाजक ऊर्ध्वाधर रेखा $x = \frac{1+\lambda}{2}$ है।
वृत्त का केंद्र इन लंब समद्विभाजकों का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
अतः,केंद्र $\left(\frac{1+\lambda}{2}, \frac{1+\lambda}{2}\right)$ है।

(D) वृत्त $S = 0$ और रेखा $L = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण $S + \lambda L = 0$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$S = x^2 + y^2 - a^2 = 0$ और $L = x \cos \alpha + y \sin \alpha - p = 0$ है।
अतः,वृत्त का समीकरण $(x^2 + y^2 - a^2) + \lambda(x \cos \alpha + y \sin \alpha - p) = 0$ है।
चूंकि $AB$ व्यास है,इस वृत्त का केंद्र रेखा $L = 0$ पर स्थित होना चाहिए।
वृत्त $(x^2 + y^2 + \lambda x \cos \alpha + \lambda y \sin \alpha - a^2 - \lambda p) = 0$ का केंद्र $(-\frac{\lambda \cos \alpha}{2}, -\frac{\lambda \sin \alpha}{2})$ है।
इसे $x \cos \alpha + y \sin \alpha - p = 0$ में रखने पर:
$(-\frac{\lambda \cos \alpha}{2}) \cos \alpha + (-\frac{\lambda \sin \alpha}{2}) \sin \alpha - p = 0$
$-\frac{\lambda}{2}(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = p$
$-\frac{\lambda}{2} = p \Rightarrow \lambda = -2p$।
$\lambda = -2p$ को समीकरण में रखने पर:
$x^2 + y^2 - a^2 - 2p(x \cos \alpha + y \sin \alpha - p) = 0$।

(D) माना $C(h, k)$ दिए गए वृत्त का केंद्र है।
चूंकि $C(h, k)$ रेखा $x-y-1=0$ पर स्थित है,इसलिए $h-k-1=0$,जिसका अर्थ है $h=k+1$।
त्रिज्या $3$ दी गई है,इसलिए $C(h, k)$ से $P(7, 3)$ की दूरी $3$ है।
अतः,$(h-7)^2 + (k-3)^2 = 3^2 = 9$।
$h=k+1$ प्रतिस्थापित करने पर,$(k+1-7)^2 + (k-3)^2 = 9$।
$(k-6)^2 + (k-3)^2 = 9$।
$k^2 - 12k + 36 + k^2 - 6k + 9 = 9$।
$2k^2 - 18k + 36 = 0$।
$k^2 - 9k + 18 = 0$।
$(k-6)(k-3) = 0$,जिससे $k=6$ या $k=3$ प्राप्त होता है।
यदि $k=6$,तो $h=7$,अतः $C=(7, 6)$। समीकरण $(x-7)^2 + (y-6)^2 = 9$ होगा,जिसे सरल करने पर $x^2 + y^2 - 14x - 12y + 76 = 0$ प्राप्त होता है।
यदि $k=3$,तो $h=4$,अतः $C=(4, 3)$। समीकरण $(x-4)^2 + (y-3)^2 = 9$ होगा,जिसे सरल करने पर $x^2 + y^2 - 8x - 6y + 16 = 0$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,विकल्प $(d)$ सही है।

(C) माना $L_1 \equiv x+y=6$ और $L_2 \equiv x+2y=4$ है।
दो व्यासों $L_1$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु वृत्त का केंद्र $C$ है।
समीकरणों को हल करने पर:
$x+y=6 \Rightarrow x=6-y$
$L_2$ में मान रखने पर: $(6-y)+2y=4 \Rightarrow y=-2$.
तब $x=6-(-2)=8$.
अतः,केंद्र $C$ $(8, -2)$ है।
वृत्त बिंदु $P(6, 2)$ से गुजरता है। त्रिज्या $r$,दूरी $CP$ है।
$r^2 = CP^2 = (8-6)^2 + (-2-2)^2 = 2^2 + (-4)^2 = 4 + 16 = 20$.
केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ होता है।
$(x-8)^2 + (y+2)^2 = 20$
$x^2 - 16x + 64 + y^2 + 4y + 4 = 20$
$x^2 + y^2 - 16x + 4y + 48 = 0$.

(A) दिया गया वृत्त $x^2+y^2-4x-8y+16=0$ है। इसका केंद्र $C(2, 4)$ और त्रिज्या $r = 2$ है।
स्पर्श बिंदु $P(2+\sqrt{3}, 3)$ है।
त्रिज्या $CP$ की प्रवणता $m_{CP} = \frac{-1}{\sqrt{3}}$ है।
स्पर्श रेखा की प्रवणता $m_t = \sqrt{3}$ है,जो $\tan 60^{\circ}$ को दर्शाता है।
नया केंद्र $C'(2+2\cos 60^{\circ}, 4+2\sin 60^{\circ}) = (3, 4+\sqrt{3})$ प्राप्त होता है।
नए वृत्त का समीकरण $(x-3)^2 + (y-(4+\sqrt{3}))^2 = 2^2$ होगा।
इसे हल करने पर $x^2+y^2-6x-2(4+\sqrt{3})y + (24+8\sqrt{3}) = 0$ प्राप्त होता है।

(B) माना $I = \int_0^4 \frac{x+2}{\sqrt{4x-x^2}} dx$.
सबसे पहले,अंश को फिर से लिखें: $x+2 = \frac{1}{2}(2x-4) + 4$.
अतः,$I = \int_0^4 \frac{\frac{1}{2}(2x-4) + 4}{\sqrt{4x-x^2}} dx = \frac{1}{2} \int_0^4 \frac{2x-4}{\sqrt{4x-x^2}} dx + 4 \int_0^4 \frac{1}{\sqrt{4-(x-2)^2}} dx$.
पहले समाकलन के लिए,$u = 4x-x^2$ लें,तो $du = (4-2x) dx$,इसलिए $\int \frac{2x-4}{\sqrt{4x-x^2}} dx = -2\sqrt{4x-x^2}$.
$0$ से $4$ तक मूल्यांकन करने पर: $[-2\sqrt{4x-x^2}]_0^4 = -2(0) - (-2(0)) = 0$.
दूसरे समाकलन के लिए,$\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} dx = \sin^{-1}(\frac{x}{a})$.
अतः,$4 \int_0^4 \frac{1}{\sqrt{2^2-(x-2)^2}} dx = 4 [\sin^{-1}(\frac{x-2}{2})]_0^4$.
$= 4 [\sin^{-1}(1) - \sin^{-1}(-1)] = 4 [\frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2})] = 4 [\pi] = 4\pi$.

(A) हम निश्चित समाकलन के लिए वालिस सूत्र का उपयोग करते हैं: $\int_0^{\pi / 2} \sin ^m x \cos ^n x \, dx = \frac{[(m-1)(m-3)\dots] \cdot [(n-1)(n-3)\dots]}{(m+n)(m+n-2)\dots} \cdot k$,जहाँ यदि $m$ और $n$ दोनों सम हैं तो $k = \frac{\pi}{2}$,और अन्यथा $k = 1$ है।
दिया गया है $\int_0^{\pi / 2} \sin ^m x \cos ^4 x \, dx = \frac{7 \pi}{2048}$।
चूँकि परिणाम में $\pi$ है,इसलिए $m$ और $4$ दोनों सम होने चाहिए,अतः $m$ सम है और $k = \frac{\pi}{2}$ है।
सूत्र में $n = 4$ रखने पर:
$I = \frac{(m-1)(m-3)\dots(1) \cdot (4-1)(4-3)}{(m+4)(m+2)(m)(m-2)\dots(2)} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{7 \pi}{2048}$।
यदि $m = 8$ हो:
$I = \frac{(7 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1) \cdot (3 \cdot 1)}{(12 \cdot 10 \cdot 8 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2)} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{105 \cdot 3}{46080} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{315 \pi}{92160} = \frac{7 \pi}{2048}$।
अतः,$m = 8$ है।

(A) माना $I = \int_{-\pi}^\pi \frac{\cos ^{2022} x}{1+(2022)^x} d x$ ...$(i)$
गुणधर्म $\int_a^b f(x) d x = \int_a^b f(a+b-x) d x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_{-\pi}^\pi \frac{\cos ^{2022}(-x)}{1+(2022)^{-x}} d x = \int_{-\pi}^\pi \frac{\cos ^{2022} x}{1+\frac{1}{(2022)^x}} d x = \int_{-\pi}^\pi \frac{(2022)^x \cos ^{2022} x}{(2022)^x+1} d x$ ...(ii)
$(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$2I = \int_{-\pi}^\pi \frac{\cos ^{2022} x (1+(2022)^x)}{1+(2022)^x} d x = \int_{-\pi}^\pi \cos ^{2022} x d x$
चूंकि $\cos ^{2022} x$ एक सम फलन है,$2I = 2 \int_0^\pi \cos ^{2022} x d x$,अतः $I = \int_0^\pi \cos ^{2022} x d x = 2 \int_0^{\pi/2} \cos ^{2022} x d x$.
वालिस के सूत्र $\int_0^{\pi/2} \cos^n x d x = \frac{(n-1)!!}{n!!} \cdot \frac{\pi}{2}$ (जहाँ $n$ सम है) का उपयोग करने पर:
$I = 2 \cdot \frac{2021!!}{2022!!} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{2021!!}{2022!!} \pi = \frac{2021!! \cdot 2022!!}{(2022!!)^2} \pi = \frac{2022!}{(2^{1011} \cdot 1011!)^2} \pi = \frac{2022!}{2^{2022} (1011!)^2} \pi$.

(D) माना $I = \int_{\alpha+1}^{\alpha} \frac{e^x(\alpha-x)}{(x-\alpha+1)^2} dx$.
$u = x - \alpha + 1$ प्रतिस्थापित करने पर,$du = dx$ प्राप्त होता है।
जब $x = \alpha+1$,तब $u = 2$. जब $x = \alpha$,तब $u = 1$.
साथ ही,$\alpha - x = 1 - u$.
अतः,$I = \int_{2}^{1} \frac{e^{u+\alpha-1}(1-u)}{u^2} du = e^{\alpha-1} \int_{2}^{1} e^u \left(\frac{1}{u^2} - \frac{1}{u}\right) du$.
सूत्र $\int e^u (f(u) + f'(u)) du = e^u f(u) + C$ का उपयोग करने पर,जहाँ $f(u) = -\frac{1}{u}$ और $f'(u) = \frac{1}{u^2}$ है।
$I = e^{\alpha-1} \left[ e^u \left(-\frac{1}{u}\right) \right]_{2}^{1} = e^{\alpha-1} \left[ -e^1 + \frac{e^2}{2} \right] = e^{\alpha-1} \left[ \frac{e^2 - 2e}{2} \right] = e^{\alpha} \left( \frac{e-2}{2} \right)$.

(D) माना $I = \int_{\pi/11}^{9\pi/22} \frac{dx}{1+\sqrt{\tan x}}$.
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = \frac{\pi}{11}$ और $b = \frac{9\pi}{22}$,हमें $a+b = \frac{2\pi + 9\pi}{22} = \frac{11\pi}{22} = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$I = \int_{\pi/11}^{9\pi/22} \frac{dx}{1+\sqrt{\tan(\pi/2 - x)}} = \int_{\pi/11}^{9\pi/22} \frac{dx}{1+\sqrt{\cot x}} = \int_{\pi/11}^{9\pi/22} \frac{\sqrt{\tan x} dx}{\sqrt{\tan x} + 1}$.
$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \int_{\pi/11}^{9\pi/22} \left( \frac{1}{1+\sqrt{\tan x}} + \frac{\sqrt{\tan x}}{1+\sqrt{\tan x}} \right) dx = \int_{\pi/11}^{9\pi/22} 1 dx$.
$2I = [x]_{\pi/11}^{9\pi/22} = \frac{9\pi}{22} - \frac{2\pi}{22} = \frac{7\pi}{22}$.
अतः,$I = \frac{7\pi}{44}$.

(C) माना $I = \int_2^5 (\sqrt{x+2 \sqrt{x-1}} + \sqrt{x-2 \sqrt{x-1}}) dx$.
वर्गमूल के अंदर के पदों को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखने पर:
$x + 2\sqrt{x-1} = (\sqrt{x-1})^2 + 2\sqrt{x-1} + 1 = (\sqrt{x-1} + 1)^2$.
$x - 2\sqrt{x-1} = (\sqrt{x-1})^2 - 2\sqrt{x-1} + 1 = (\sqrt{x-1} - 1)^2$.
अतः,समाकलन इस प्रकार होगा:
$I = \int_2^5 (\sqrt{(\sqrt{x-1} + 1)^2} + \sqrt{(\sqrt{x-1} - 1)^2}) dx$.
चूंकि $x \in [2, 5]$,इसलिए $\sqrt{x-1} \ge 1$,अतः $\sqrt{x-1} - 1 \ge 0$.
$I = \int_2^5 (\sqrt{x-1} + 1 + \sqrt{x-1} - 1) dx = \int_2^5 2\sqrt{x-1} dx$.
$I = 2 \int_2^5 (x-1)^{1/2} dx = 2 \left[ \frac{(x-1)^{3/2}}{3/2} \right]_2^5 = 2 \times \frac{2}{3} [(x-1)^{3/2}]_2^5$.
$I = \frac{4}{3} [(5-1)^{3/2} - (2-1)^{3/2}] = \frac{4}{3} [4^{3/2} - 1^{3/2}] = \frac{4}{3} [8 - 1] = \frac{4}{3} \times 7 = \frac{28}{3}$.

(A) सबसे पहले,निश्चित समाकल का मान ज्ञात करें:
$\int_{0}^{1} a^k x^k dx = a^k \int_{0}^{1} x^k dx = a^k [\frac{x^{k+1}}{k+1}]_{0}^{1} = \frac{a^k}{k+1}$.
अब,विकल्प $A$ पर विचार करें:
$\lim_{n \to \infty} \frac{a^k (1^k + 2^k + 3^k + \dots + n^k)}{n^{k+1}} = a^k \lim_{n \to \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{r^k}{n \cdot n^k} = a^k \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} (\frac{r}{n})^k$.
योग की सीमा के रूप में निश्चित समाकल की परिभाषा के अनुसार,$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} (\frac{r}{n})^k = \int_{0}^{1} x^k dx = \frac{1}{k+1}$.
इसलिए,व्यंजक $a^k \cdot \frac{1}{k+1} = \frac{a^k}{k+1}$ हो जाता है।
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(A) माना $I = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5 \pi}{4}} (|\cos t| \sin t + |\sin t| \cos t) dt$.
यहाँ $t \in [\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$ के लिए,$\cos t > 0$ और $\sin t > 0$,इसलिए $f(t) = \sin(2t)$.
$t \in [\frac{\pi}{2}, \pi]$ के लिए,$\cos t < 0$ और $\sin t > 0$,इसलिए $f(t) = 0$.
$t \in [\pi, \frac{5\pi}{4}]$ के लिए,$\cos t < 0$ और $\sin t < 0$,इसलिए $f(t) = -\sin(2t)$.
अतः,$I = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \sin(2t) dt + \int_{\pi}^{\frac{5\pi}{4}} -\sin(2t) dt$.
$I = \left[ -\frac{\cos(2t)}{2} \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} + \left[ \frac{\cos(2t)}{2} \right]_{\pi}^{\frac{5\pi}{4}}$.
$I = (\frac{1}{2} - 0) + (0 - \frac{1}{2}) = 0$.

(C) माना $I = \int_{-1}^1 (x[1+\sin(\pi x)]+1) dx$.
फलन $f(x) = x[1+\sin(\pi x)]+1$ पर विचार करें।
जब $x \in [-1, 0]$ है,तब $\sin(\pi x) \in [-1, 0]$,इसलिए $1+\sin(\pi x) \in [0, 1]$। अतः,$x \in (-1, 0)$ के लिए $[1+\sin(\pi x)] = 0$ होगा।
जब $x \in [0, 1]$ है,तब $\sin(\pi x) \in [0, 1]$,इसलिए $1+\sin(\pi x) \in [1, 2]$। अतः,$x \in (0, 1)$ के लिए $[1+\sin(\pi x)] = 1$ होगा।
इसलिए,$I = \int_{-1}^0 (x \cdot 0 + 1) dx + \int_0^1 (x \cdot 1 + 1) dx$.
$I = \int_{-1}^0 1 dx + \int_0^1 (x+1) dx$.
$I = [x]_{-1}^0 + [\frac{x^2}{2} + x]_0^1$.
$I = (0 - (-1)) + ((\frac{1}{2} + 1) - 0)$.
$I = 1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$.

(D) हम समाकलन $\int_{\sqrt{3}}^{\sqrt{18}}[x] \, dx$ को अंतराल को विभाजित करके हल करते हैं जहाँ $[x]$ का मान बदलता है:
$\int_{\sqrt{3}}^{\sqrt{18}}[x] \, dx = \int_{\sqrt{3}}^{2}[x] \, dx + \int_{2}^{3}[x] \, dx + \int_{3}^{4}[x] \, dx + \int_{4}^{\sqrt{18}}[x] \, dx$
चूँकि $\sqrt{3} \approx 1.732$ और $\sqrt{18} = 3\sqrt{2} \approx 4.242$ है,इसलिए:
$\int_{\sqrt{3}}^{2} 1 \, dx + \int_{2}^{3} 2 \, dx + \int_{3}^{4} 3 \, dx + \int_{4}^{3\sqrt{2}} 4 \, dx$
$= (2 - \sqrt{3}) + 2(3 - 2) + 3(4 - 3) + 4(3\sqrt{2} - 4)$
$= 2 - \sqrt{3} + 2 + 3 + 12\sqrt{2} - 16$
$= (2 + 2 + 3 - 16) + 12\sqrt{2} - \sqrt{3}$
$= -9 + 12\sqrt{2} - \sqrt{3}$
इसे $a + b\sqrt{2} + c\sqrt{3}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = -9$,$b = 12$,और $c = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,$a + b + c = -9 + 12 - 1 = 2$.

(B) माना $I = \int_{-\pi}^\pi \frac{2x(1+\sin x)}{1+\cos^2 x} dx$.
हम समाकलन को दो भागों में विभाजित कर सकते हैं:
$I = \int_{-\pi}^\pi \frac{2x}{1+\cos^2 x} dx + \int_{-\pi}^\pi \frac{2x\sin x}{1+\cos^2 x} dx = I_1 + I_2$.
$I_1 = \int_{-\pi}^\pi \frac{2x}{1+\cos^2 x} dx$ के लिए,माना $f(x) = \frac{2x}{1+\cos^2 x}$.
चूंकि $f(-x) = \frac{2(-x)}{1+\cos^2(-x)} = -\frac{2x}{1+\cos^2 x} = -f(x)$,इसलिए $f(x)$ एक विषम फलन है।
अतः,$I_1 = 0$.
$I_2 = \int_{-\pi}^\pi \frac{2x\sin x}{1+\cos^2 x} dx$ के लिए,माना $g(x) = \frac{2x\sin x}{1+\cos^2 x}$.
चूंकि $g(-x) = \frac{2(-x)\sin(-x)}{1+\cos^2(-x)} = \frac{2x\sin x}{1+\cos^2 x} = g(x)$,इसलिए $g(x)$ एक सम फलन है।
अतः,$I_2 = 2 \int_0^\pi \frac{2x\sin x}{1+\cos^2 x} dx = 4 \int_0^\pi \frac{x\sin x}{1+\cos^2 x} dx$.
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I_2 = 4 \int_0^\pi \frac{(\pi-x)\sin(\pi-x)}{1+\cos^2(\pi-x)} dx = 4 \int_0^\pi \frac{(\pi-x)\sin x}{1+\cos^2 x} dx$.
$I_2$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I_2 = 4 \int_0^\pi \frac{\pi\sin x}{1+\cos^2 x} dx = 4\pi \int_0^\pi \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} dx$.
माना $u = \cos x$,तो $du = -\sin x dx$.
जब $x=0, u=1$; जब $x=\pi, u=-1$.
$2I_2 = 4\pi \int_1^{-1} \frac{-du}{1+u^2} = 4\pi \int_{-1}^1 \frac{du}{1+u^2} = 4\pi [\tan^{-1} u]_{-1}^1$.
$2I_2 = 4\pi (\frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4})) = 4\pi (\frac{\pi}{2}) = 2\pi^2$.
इस प्रकार,$I_2 = \pi^2$.
अंत में,$I = I_1 + I_2 = 0 + \pi^2 = \pi^2$.

(D) माना $I = \int_{-1}^1 \frac{\sin x-x^2}{3-|x|} d x$.
हम समाकलन को दो भागों में विभाजित कर सकते हैं:
$I = \int_{-1}^1 \frac{\sin x}{3-|x|} d x - \int_{-1}^1 \frac{x^2}{3-|x|} d x$.
चूंकि $f(x) = \frac{\sin x}{3-|x|}$ एक विषम फलन है (क्योंकि $\sin(-x) = -\sin x$ और $|-x| = |x|$),इसलिए $\int_{-1}^1 \frac{\sin x}{3-|x|} d x = 0$.
चूंकि $g(x) = \frac{x^2}{3-|x|}$ एक सम फलन है,इसलिए $\int_{-1}^1 \frac{x^2}{3-|x|} d x = 2 \int_0^1 \frac{x^2}{3-x} d x$.
अतः,$I = -2 \int_0^1 \frac{x^2}{3-x} d x = 2 \int_0^1 \frac{x^2}{x-3} d x$.
बहुपद विभाजन करने पर: $\frac{x^2}{x-3} = x + 3 + \frac{9}{x-3}$.
इसलिए,$I = 2 \int_0^1 (x + 3 + \frac{9}{x-3}) d x = 2 [\frac{x^2}{2} + 3x + 9 \ln|x-3|]_0^1$.
सीमाओं का मान रखने पर: $I = 2 [(\frac{1}{2} + 3 + 9 \ln 2) - (0 + 0 + 9 \ln 3)] = 2 [\frac{7}{2} + 9 \ln(\frac{2}{3})] = 7 + 18 \ln(\frac{2}{3}) = 7 - 18 \ln(\frac{3}{2})$.

(C) हम जानते हैं कि निश्चित समाकल का गुणधर्म है: $\int_{-a}^a f(x) dx = \int_{-a}^0 f(x) dx + \int_0^a f(x) dx$.
प्रथम समाकल $\int_{-a}^0 f(x) dx$ में $x = -t$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\int_a^0 f(-t) (-dt) = \int_0^a f(-t) dt = \int_0^a f(-x) dx$ प्राप्त होता है।
अतः,$\int_{-a}^a f(x) dx = \int_0^a f(-x) dx + \int_0^a f(x) dx$.
इस मान को दिए गए व्यंजक में रखने पर: $(\int_0^a f(-x) dx + \int_0^a f(x) dx) - \int_0^a f(-x) dx = \int_0^a f(x) dx$.
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर,परिणाम $\int_0^a f(a-x) dx$ प्राप्त होता है।

(C) माना $I = \int_0^\pi \left(\cos^2 \left(\frac{3\pi}{8} - \frac{x}{4}\right) - \cos^2 \left(\frac{11\pi}{8} + \frac{x}{4}\right)\right) dx$.
सर्वसमिका $\cos^2 A - \cos^2 B = \sin(B-A) \sin(B+A)$ का उपयोग करने पर:
$A = \frac{3\pi}{8} - \frac{x}{4}$ और $B = \frac{11\pi}{8} + \frac{x}{4}$.
$B - A = \left(\frac{11\pi}{8} + \frac{x}{4}\right) - \left(\frac{3\pi}{8} - \frac{x}{4}\right) = \frac{8\pi}{8} + \frac{2x}{4} = \pi + \frac{x}{2}$.
$B + A = \left(\frac{11\pi}{8} + \frac{x}{4}\right) + \left(\frac{3\pi}{8} - \frac{x}{4}\right) = \frac{14\pi}{8} = \frac{7\pi}{4}$.
अतः,समाकल्य $\sin(\pi + \frac{x}{2}) \sin(\frac{7\pi}{4}) = (-\sin \frac{x}{2}) \cdot (-\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \frac{x}{2}$ हो जाता है।
$I = \int_0^\pi \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \frac{x}{2} dx = \frac{1}{\sqrt{2}} \left[ -2 \cos \frac{x}{2} \right]_0^\pi$.
$I = \frac{-2}{\sqrt{2}} (\cos \frac{\pi}{2} - \cos 0) = -\sqrt{2} (0 - 1) = \sqrt{2}$.

(C) माना $I = \int_0^\pi \frac{d x}{1+2 \sin ^2 x}$ है।
चूंकि फलन $f(x) = \frac{1}{1+2 \sin ^2 x}$ के लिए $f(\pi - x) = f(x)$ सत्य है,हम लिख सकते हैं:
$I = 2 \int_0^{\pi / 2} \frac{d x}{1+2 \sin ^2 x}$।
अंश और हर को $\cos ^2 x$ से विभाजित करने पर:
$I = 2 \int_0^{\pi / 2} \frac{\sec ^2 x}{\sec ^2 x + 2 \tan ^2 x} d x = 2 \int_0^{\pi / 2} \frac{\sec ^2 x}{1 + \tan ^2 x + 2 \tan ^2 x} d x = 2 \int_0^{\pi / 2} \frac{\sec ^2 x}{1 + 3 \tan ^2 x} d x$।
माना $\tan x = t$,तब $\sec ^2 x d x = d t$। जब $x = 0, t = 0$ और जब $x \to \pi / 2, t \to \infty$।
$I = 2 \int_0^{\infty} \frac{d t}{1 + 3 t^2} = 2 \int_0^{\infty} \frac{d t}{1 + (\sqrt{3} t)^2}$।
सूत्र $\int \frac{dx}{1+a^2x^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(ax)$ का उपयोग करने पर:
$I = 2 \left[ \frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1}(\sqrt{3} t) \right]_0^{\infty} = \frac{2}{\sqrt{3}} \left( \frac{\pi}{2} - 0 \right) = \frac{\pi}{\sqrt{3}}$।
दिया गया है $k = \frac{\pi}{\sqrt{3}} \approx \frac{3.14159}{1.732} \approx 1.81$।
$k$ से छोटा या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक $\lfloor 1.81 \rfloor = 1$ है।

(C) माना $I = \int_0^{\pi^2 / 4} (2 \sin \sqrt{x} + \sqrt{x} \cos \sqrt{x}) \, dx$.
$t = \sqrt{x}$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = t^2$ और $dx = 2t \, dt$ प्राप्त होता है।
जब $x = 0$,तब $t = 0$ और जब $x = \frac{\pi^2}{4}$,तब $t = \frac{\pi}{2}$।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int_0^{\pi/2} (2 \sin t + t \cos t) (2t) \, dt = \int_0^{\pi/2} (4t \sin t + 2t^2 \cos t) \, dt$.
दूसरे पद $\int 2t^2 \cos t \, dt$ के लिए खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करने पर:
$u = 2t^2$ और $dv = \cos t \, dt$ लेने पर,$du = 4t \, dt$ और $v = \sin t$ प्राप्त होता है।
$\int 2t^2 \cos t \, dt = 2t^2 \sin t - \int 4t \sin t \, dt$.
इस मान को $I$ में रखने पर:
$I = \int_0^{\pi/2} 4t \sin t \, dt + [2t^2 \sin t]_0^{\pi/2} - \int_0^{\pi/2} 4t \sin t \, dt$.
$I = [2t^2 \sin t]_0^{\pi/2} = 2(\frac{\pi}{2})^2 \sin(\frac{\pi}{2}) - 0 = 2(\frac{\pi^2}{4})(1) = \frac{\pi^2}{2}$.

(C) माना $I = \int_{-\pi / 4}^{\pi / 4} \frac{1}{\cos^8 x} \, dx = \int_{-\pi / 4}^{\pi / 4} (\sec^2 x)^3 \sec^2 x \, dx$.
चूंकि फलन सम है,$I = 2 \int_{0}^{\pi / 4} (1 + \tan^2 x)^3 \sec^2 x \, dx$.
माना $\tan x = t$,तब $\sec^2 x \, dx = dt$.
जब $x = 0, t = 0$ और जब $x = \pi / 4, t = 1$.
$I = 2 \int_{0}^{1} (1 + t^2)^3 \, dt = 2 \int_{0}^{1} (1 + 3t^2 + 3t^4 + t^6) \, dt$.
$I = 2 \left[ t + t^3 + \frac{3t^5}{5} + \frac{t^7}{7} \right]_{0}^{1} = 2 \left( 1 + 1 + \frac{3}{5} + \frac{1}{7} \right)$.
$I = 2 \left( 2 + \frac{21 + 5}{35} \right) = 2 \left( 2 + \frac{26}{35} \right) = 2 \left( \frac{70 + 26}{35} \right) = 2 \left( \frac{96}{35} \right) = \frac{192}{35}$.

(B) माना $I_n = \int_0^\pi \frac{\sin nx}{\sin x} dx$.
दिए गए पुनरावृत्ति संबंध का उपयोग करते हुए: $I_n - I_{n-2} = \int_0^\pi \frac{\sin nx - \sin(n-2)x}{\sin x} dx = \int_0^\pi \frac{2 \cos(n-1)x \sin x}{\sin x} dx = \int_0^\pi 2 \cos(n-1)x dx$.
$n > 1$ के लिए,$I_n - I_{n-2} = \left[ \frac{2 \sin(n-1)x}{n-1} \right]_0^\pi = 0$.
अतः,सभी $n > 1$ के लिए $I_n = I_{n-2}$ है।
$n=1$ के लिए,$I_1 = \int_0^\pi \frac{\sin x}{\sin x} dx = \int_0^\pi 1 dx = \pi$.
$n=2$ के लिए,$I_2 = \int_0^\pi \frac{\sin 2x}{\sin x} dx = \int_0^\pi 2 \cos x dx = [2 \sin x]_0^\pi = 0$.
यदि $n$ विषम है,तो $I_n = I_1 = \pi = 2 \cdot \frac{\pi}{2} = (1 - (-1)^n) \frac{\pi}{2}$.
यदि $n$ सम है,तो $I_n = I_2 = 0 = (1 - (-1)^n) \frac{\pi}{2}$.
इसलिए,$k = 1 - (-1)^n$.

(D) हम जानते हैं कि $y > 0$ के लिए,$\tan ^{-1}(y) + \tan ^{-1}(1/y) = \frac{\pi}{2}$ होता है।
माना $y = \frac{x}{x^2+1}$ है। चूँकि $x \in [1, 2]$ है,इसलिए $y > 0$ है।
अतः,समाकल्य (integrand) इस प्रकार सरल हो जाता है:
$\tan ^{-1}\left(\frac{x}{x^2+1}\right) + \tan ^{-1}\left(\frac{x^2+1}{x}\right) = \frac{\pi}{2}$।
अब,समाकलन का मान ज्ञात करते हैं:
$I = \int_1^2 \frac{\pi}{2} d x$
$I = \frac{\pi}{2} [x]_1^2$
$I = \frac{\pi}{2} (2 - 1) = \frac{\pi}{2}$।

(B) माना $I = \int_0^\pi x (\sin^2(\sin x) + \cos^2(\cos x)) dx$ है।
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^\pi (\pi - x) (\sin^2(\sin(\pi - x)) + \cos^2(\cos(\pi - x))) dx$
चूँकि $\sin(\pi - x) = \sin x$ और $\cos(\pi - x) = -\cos x$,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_0^\pi (\pi - x) (\sin^2(\sin x) + \cos^2(\cos x)) dx$
$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \pi \int_0^\pi (\sin^2(\sin x) + \cos^2(\cos x)) dx$
गुणधर्म $\int_0^{2a} f(x) dx = 2 \int_0^a f(x) dx$ का उपयोग करने पर:
$2I = 2\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin^2(\sin x) + \cos^2(\cos x)) dx$
$I = \pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin^2(\sin x) + \cos^2(\cos x)) dx . . . (i)$
पुनः गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin^2(\cos x) + \cos^2(\sin x)) dx . . . (ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = \pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} ((\sin^2(\sin x) + \cos^2(\sin x)) + (\sin^2(\cos x) + \cos^2(\cos x))) dx$
$2I = \pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 + 1) dx = 2\pi [x]_0^{\frac{\pi}{2}} = \pi^2$
$I = \frac{\pi^2}{2}$

(C) हम जानते हैं कि किन्हीं दो फलनों $f(x)$ और $g(x)$ के लिए,$\text{Max}\{f(x), g(x)\} + \text{Min}\{f(x), g(x)\} = f(x) + g(x)$ होता है।
इसलिए,$f(x) + g(x) = \sin x + \cos x$.
समाकलन $\int_{0}^{\pi} (f(x) + g(x)) dx = \int_{0}^{\pi} (\sin x + \cos x) dx$ हो जाता है।
$= [-\cos x + \sin x]_{0}^{\pi}$.
$= (-\cos \pi + \sin \pi) - (-\cos 0 + \sin 0)$.
$= (-(-1) + 0) - (-1 + 0)$.
$= (1 + 0) - (-1) = 1 + 1 = 2$.

(C) दिया गया है,$I = \int_0^T f(x) dx$।
चूंकि $f(x+T) = f(x)$,$f$ एक आवर्ती फलन है जिसका आवर्तकाल $T$ है।
हमें $J = \int_0^{5T} f(2x) dx$ का मान ज्ञात करना है।
माना $2x = y$,तो $dx = \frac{1}{2} dy$।
जब $x = 0$,तो $y = 0$। जब $x = 5T$,तो $y = 10T$।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$J = \int_0^{10T} f(y) \cdot \frac{1}{2} dy = \frac{1}{2} \int_0^{10T} f(y) dy$।
आवर्ती फलन के गुणधर्म $\int_0^{nT} f(x) dx = n \int_0^T f(x) dx$ का उपयोग करने पर:
$J = \frac{1}{2} \times 10 \int_0^T f(y) dy = 5 \int_0^T f(x) dx = 5I$।

(C) दिया गया समाकलन $I = \int_{\frac{3 \pi}{4}}^\pi \left[ \sin x + \left[ \frac{4 x}{\pi} \right] \right] dx$ है।
किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए $[a + n] = [a] + n$ होता है,इसलिए $\left[ \sin x + \left[ \frac{4 x}{\pi} \right] \right] = [\sin x] + \left[ \frac{4 x}{\pi} \right]$ होगा।
अंतराल $\frac{3 \pi}{4} \leq x \leq \pi$ के लिए,$\sin x$ का मान $0$ और $\frac{1}{\sqrt{2}}$ के बीच होता है।
चूंकि $0 \leq \sin x < 1$,इसलिए महत्तम पूर्णांक फलन $[\sin x] = 0$ होगा।
अब,$\frac{3 \pi}{4} \leq x < \pi$ के लिए,$3 \leq \frac{4 x}{\pi} < 4$ होता है।
अतः,$\left[ \frac{4 x}{\pi} \right] = 3$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर,$I = \int_{\frac{3 \pi}{4}}^\pi (0 + 3) dx$ प्राप्त होता है।
$I = 3 \int_{\frac{3 \pi}{4}}^\pi dx = 3 [x]_{\frac{3 \pi}{4}}^\pi = 3 \left( \pi - \frac{3 \pi}{4} \right) = 3 \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{3 \pi}{4}$.

(B) दिया गया समाकलन $I = \int_0^{50\pi} \sqrt{1-\cos 2x} dx$ है।
सर्वसमिका $1-\cos 2x = 2\sin^2 x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\sqrt{1-\cos 2x} = \sqrt{2\sin^2 x} = \sqrt{2}|\sin x|$।
चूंकि फलन $f(x) = \sqrt{2}|\sin x|$ का आवर्तकाल $T = \pi$ है,हम गुणधर्म $\int_0^{NT} f(x) dx = N \int_0^T f(x) dx$ का उपयोग कर सकते हैं।
यहाँ $N = 50$ और $T = \pi$ है,इसलिए $I = 50 \int_0^{\pi} \sqrt{2}|\sin x| dx$।
अंतराल $[0, \pi]$ में,$\sin x \ge 0$ है,इसलिए $|\sin x| = \sin x$ होगा।
अतः,$I = 50\sqrt{2} \int_0^{\pi} \sin x dx$।
$I = 50\sqrt{2} [-\cos x]_0^{\pi}$।
$I = 50\sqrt{2} (-(\cos \pi - \cos 0)) = 50\sqrt{2} (-(-1 - 1)) = 50\sqrt{2} (2) = 100\sqrt{2}$।

(B) दिया गया है $f(x) = \sin(\tan^{-1} x)$.
सर्वसमिका $\sin(\tan^{-1} x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ का उपयोग करते हुए,हमें $f(x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ प्राप्त होता है।
हमें $I = \int_0^1 x f''(x) dx$ का मान ज्ञात करना है।
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$u = x$ और $dv = f''(x) dx$ लेने पर,$du = dx$ और $v = f'(x)$ प्राप्त होता है।
$I = [x f'(x)]_0^1 - \int_0^1 f'(x) dx$.
$I = (1 \cdot f'(1) - 0 \cdot f'(0)) - [f(1) - f(0)]$.
सबसे पहले,$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \right) = \frac{\sqrt{1+x^2} - x \cdot \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2} = \frac{1+x^2-x^2}{(1+x^2)^{3/2}} = \frac{1}{(1+x^2)^{3/2}}$ ज्ञात करते हैं।
अब,$f'(1) = \frac{1}{(1+1^2)^{3/2}} = \frac{1}{2^{3/2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
साथ ही,$f(1) = \sin(\tan^{-1} 1) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $f(0) = \sin(\tan^{-1} 0) = 0$.
इन मानों को $I$ के समीकरण में रखने पर:
$I = \frac{1}{2\sqrt{2}} - (\frac{1}{\sqrt{2}} - 0) = \frac{1}{2\sqrt{2}} - \frac{2}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{2\sqrt{2}}$.

(B) माना $I = \int_{-\pi / 2}^{2 \pi} \sin ^{-1}(\sin x) d x$.
हम समाकलन को उन अंतरालों में विभाजित करते हैं जहाँ $\sin^{-1}(\sin x)$ का रूप रैखिक होता है:
$I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} x d x + \int_{\pi / 2}^{3 \pi / 2} (\pi - x) d x + \int_{3 \pi / 2}^{2 \pi} (x - 2 \pi) d x$
प्रत्येक समाकलन का मूल्यांकन करने पर:
$\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} x d x = 0$ (क्योंकि यह एक सममित अंतराल पर विषम फलन है)।
$\int_{\pi / 2}^{3 \pi / 2} (\pi - x) d x = [\pi x - \frac{x^2}{2}]_{\pi / 2}^{3 \pi / 2} = (\frac{3 \pi^2}{2} - \frac{9 \pi^2}{8}) - (\frac{\pi^2}{2} - \frac{\pi^2}{8}) = \frac{3 \pi^2}{8} - \frac{3 \pi^2}{8} = 0$.
$\int_{3 \pi / 2}^{2 \pi} (x - 2 \pi) d x = [\frac{x^2}{2} - 2 \pi x]_{3 \pi / 2}^{2 \pi} = (2 \pi^2 - 4 \pi^2) - (\frac{9 \pi^2}{8} - 3 \pi^2) = -2 \pi^2 - (-\frac{15 \pi^2}{8}) = -2 \pi^2 + \frac{15 \pi^2}{8} = -\frac{\pi^2}{8}$.
अतः,$I = 0 + 0 - \frac{\pi^2}{8} = -\frac{\pi^2}{8}$.

(D) समाकलन के अंतर्गत अवकलन के लिए $Leibnitz$ नियम के अनुसार,हमारे पास है: $\frac{d}{dt} \int_{g(t)}^{h(t)} f(x) dx = f(h(t)) \cdot h'(t) - f(g(t)) \cdot g'(t)$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) दिया गया समाकलन समीकरण: $\int_9^x \frac{f(y)}{y^2} \, dy = 2 \sqrt{x} - 6$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने के लिए लाइबनीज नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{d}{dx} \left( \int_9^x \frac{f(y)}{y^2} \, dy \right) = \frac{d}{dx} (2 \sqrt{x} - 6)$.
कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,बाएँ पक्ष का अवकलन $\frac{f(x)}{x^2}$ है।
दाएँ पक्ष का अवकलन $2 \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$ है।
दोनों पक्षों की तुलना करने पर: $\frac{f(x)}{x^2} = \frac{1}{\sqrt{x}}$.
$f(x)$ के लिए हल करने पर: $f(x) = \frac{x^2}{\sqrt{x}} = x^{2 - 1/2} = x^{3/2} = x \sqrt{x}$.

(A) दी गई सीमा $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{n}{(n+k) \sqrt{k(2n+k)}}$ है।
हम सामान्य पद को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{n}{(n+k) \sqrt{k \cdot n \left(2+\frac{k}{n}\right)}}$
$S = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{n^2}{(n+k) \sqrt{\frac{k}{n} \cdot n \left(2+\frac{k}{n}\right)}}$
$S = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{\left(1+\frac{k}{n}\right) \sqrt{\frac{k}{n} \left(2+\frac{k}{n}\right)}}$
निश्चित समाकल की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n g\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1 g(x) dx$,जहाँ $x = \frac{k}{n}$ है।
अतः,$S = \int_0^1 \frac{1}{(1+x) \sqrt{x(2+x)}} dx = \int_0^1 \frac{1}{(1+x) \sqrt{2x+x^2}} dx$.
इसकी तुलना $\int_0^1 f(x) dx$ से करने पर,हमें $f(x) = \frac{1}{(1+x) \sqrt{2x+x^2}}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया सीमा $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{r=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{r}}$ है।
हम इस व्यंजक को $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{r/n}}$ के रूप में लिख सकते हैं।
निश्चित समाकल की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f\left(\frac{r}{n}\right) = \int_0^1 f(x) dx$ होता है।
यहाँ,$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ है।
अतः,$L = \int_0^1 x^{-1/2} dx$ है।
समाकल का मान ज्ञात करने पर: $L = \left[ \frac{x^{1/2}}{1/2} \right]_0^1 = [2\sqrt{x}]_0^1 = 2(1) - 2(0) = 2$.

(B) मूल बिंदु से $P$ इकाई की दूरी पर स्थित एक सीधी रेखा का समीकरण $x \cos \alpha + y \sin \alpha = P$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\cos \alpha + \frac{dy}{dx} \sin \alpha = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = -\cot \alpha$।
इससे,$\cos \alpha = -\frac{dy/dx}{\sqrt{1+(dy/dx)^2}}$ और $\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{1+(dy/dx)^2}}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $x \left( -\frac{dy/dx}{\sqrt{1+(dy/dx)^2}} \right) + y \left( \frac{1}{\sqrt{1+(dy/dx)^2}} \right) = P$।
यह $y - x \frac{dy}{dx} = P \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2}$ में सरल हो जाता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(y - x \frac{dy}{dx})^2 = P^2 (1 + (\frac{dy}{dx})^2)$ प्राप्त होता है।
यहाँ उच्चतम अवकलज $\frac{dy}{dx}$ है,इसलिए कोटि $l = 1$ है।
अवकलज $\frac{dy}{dx}$ की उच्चतम घात $2$ है,इसलिए घात $m = 2$ है।
अतः,$l m^2 + l^2 m = (1)(2^2) + (1^2)(2) = 4 + 2 = 6$।

(A) अचर त्रिज्या $a$ वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $(x-h)^2 + (y-k)^2 = a^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $(h, k)$ केंद्र के निर्देशांक हैं।
यहाँ,$h$ और $k$ दो स्वेच्छ अचर हैं।
अवकल समीकरण की कोटि व्यापक हल में मौजूद स्वेच्छ अचरों की संख्या के बराबर होती है।
चूँकि यहाँ $2$ स्वेच्छ अचर हैं,इसलिए अवकल समीकरण की कोटि $2$ होगी।
अतः,कथन $(A)$ सत्य है।
इसके अतिरिक्त,$2$ स्वेच्छ अचरों वाला एक बीजीय समीकरण द्वितीय कोटि के अवकल समीकरण का व्यापक हल होता है,इसलिए कारण $(R)$ सत्य है और यह $(A)$ की सही व्याख्या है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\left(\frac{d^m y}{d x^m} + \frac{d^n y}{d x^n}\right)^{p/q} = 5 \frac{d^r y}{d x^r}$ है।
घात ज्ञात करने के लिए,हम भिन्न को हटाने के लिए दोनों पक्षों की घात $q$ लेते हैं: $\left(\frac{d^m y}{d x^m} + \frac{d^n y}{d x^n}\right)^p = 5^q \left(\frac{d^r y}{d x^r}\right)^q$.
अवकल समीकरण की कोटि उसमें मौजूद उच्चतम अवकलज की कोटि होती है। $n < r < m$ दिए जाने पर,उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^m y}{d x^m}$ है।
कोटि $4$ दी गई है,इसलिए $m = 4$ है।
घात उच्चतम कोटि के अवकलज की घात होती है जब समीकरण को अवकलजों के बहुपद के रूप में व्यक्त किया जाता है। यहाँ,उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^m y}{d x^m}$ है और इसकी घात $p$ है।
घात $3$ दी गई है,इसलिए $p = 3$ है।
अतः,$m = 4$ और $p = 3$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{d^3 y}{d x^3} = 0$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष तीन बार समाकलन करने पर:
प्रथम समाकलन: $\frac{d^2 y}{d x^2} = c_1$.
द्वितीय समाकलन: $\frac{d y}{d x} = c_1 x + c_2$.
तृतीय समाकलन: $y = \frac{c_1}{2} x^2 + c_2 x + c_3$.
माना $a = \frac{c_1}{2}$,$b = c_2$,और $c = c_3$,तो हमें $y = a x^2 + b x + c$ प्राप्त होता है।
चूंकि इस हल में अवकल समीकरण की कोटि के बराबर तीन स्वेच्छ अचर $(a, b, c)$ मौजूद हैं,इसलिए यह व्यापक हल है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $y^2(y^{\prime \prime})^2 + 3x(y^{\prime})^{1/3} + x^2y^2 = \sin x$.
घात ज्ञात करने के लिए,हमें अवकलज के भिन्नात्मक घातांक को हटाना होगा।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $y^2(y^{\prime \prime})^2 + x^2y^2 - \sin x = -3x(y^{\prime})^{1/3}$.
$1/3$ घात को हटाने के लिए दोनों पक्षों का घन करने पर: $(y^2(y^{\prime \prime})^2 + x^2y^2 - \sin x)^3 = (-3x)^3(y^{\prime}) = -27x^3(y^{\prime})$.
उच्चतम कोटि का अवकलज $y^{\prime \prime}$ है,इसलिए कोटि $a = 2$ है।
समीकरण को अवकलजों में बहुपद बनाने के बाद उच्चतम कोटि के अवकलज की अधिकतम घात $2 \times 3 = 6$ है। अतः,घात $b = 6$ है।
$a = 2$ और $b = 6$ की तुलना करने पर,हमें $b = 3a$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया समीकरण $y=A e^x+B e^{-2 x}$ है।
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d y}{d x} = A e^x - 2B e^{-2x}$.
दूसरी बार,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2 y}{d x^2} = A e^x + 4B e^{-2x}$.
अब,अचर $A$ और $B$ को हटाने के लिए,हम जानते हैं कि इस समीकरण के हल के लिए अभिलक्षणिक समीकरण के मूल $m_1 = 1$ और $m_2 = -2$ हैं।
अतः,अवकल समीकरण $(D-1)(D+2)y = 0$ के रूप में होगा,जहाँ $D = \frac{d}{dx}$ है।
इसका विस्तार करने पर: $(D^2 + 2D - D - 2)y = 0$,जो सरल होकर $\frac{d^2 y}{d x^2} + \frac{d y}{d x} - 2y = 0$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण $y=(a+b) \sin (x+c)-d e^{x+e+f}$ है।
मान लीजिए $A = (a+b)$ और $B = d e^{e+f}$ है। तब समीकरण $y = A \sin(x+c) - B e^x$ हो जाता है।
यहाँ $3$ स्वतंत्र स्वेच्छ अचर हैं: $A$,$c$,और $B$।
$n$ स्वतंत्र स्वेच्छ अचरों को विलुप्त करके प्राप्त अवकल समीकरण की कोटि $n$ होती है।
चूंकि यहाँ $3$ स्वतंत्र स्वेच्छ अचर हैं,इसलिए अवकल समीकरण की कोटि $3$ है।

(A) $(0,0)$ से गुजरने वाले और $X$-अक्ष पर केंद्र वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $(x-r)^2 + y^2 = r^2$ है,जहाँ $r$ वृत्त की त्रिज्या है और $(r, 0)$ केंद्र है।
समीकरण का विस्तार करने पर: $x^2 - 2xr + r^2 + y^2 = r^2$,जो सरल होकर $x^2 + y^2 - 2xr = 0$ या $r = \frac{x^2 + y^2}{2x}$ हो जाता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2x + 2y \frac{dy}{dx} - 2r = 0$
$x + y \frac{dy}{dx} = r$
मूल समीकरण से $r$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$x + y \frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + y^2}{2x}$
$2x^2 + 2xy \frac{dy}{dx} = x^2 + y^2$
$2xy \frac{dy}{dx} + x^2 - y^2 = 0$

(C) दिया गया है $y = (\sin^{-1} x)^2 + A \cos^{-1} x + B$ ... $(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y' = 2(\sin^{-1} x) \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} - \frac{A}{\sqrt{1 - x^2}}$
$y' \sqrt{1 - x^2} = 2 \sin^{-1} x - A$ ... $(ii)$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y'' \sqrt{1 - x^2} + y' \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{1 - x^2}} = \frac{2}{\sqrt{1 - x^2}}$
पूरे समीकरण को $\sqrt{1 - x^2}$ से गुणा करने पर:
$y'' (1 - x^2) - x y' = 2$
इसे दिए गए समीकरण $(a - x^2) y'' - x y' = b$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = 1$ और $b = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{b + a}{b - a} = \frac{2 + 1}{2 - 1} = \frac{3}{1} = 3$.

(D) दिया गया समीकरण $y = ax + b$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = a$ प्राप्त होता है।
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{d^2 y}{dx^2} = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि समीकरण $y = ax + b$ में दो स्वेच्छ अचर $a$ और $b$ हैं,इसलिए यह द्वितीय कोटि के अवकल समीकरण $\frac{d^2 y}{dx^2} = 0$ का व्यापक हल निरूपित करता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \cos^2(3x+y)$.
माना $3x+y = t$. तब,$3 + \frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx}$,जिससे $\frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx} - 3$.
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{dt}{dx} - 3 = \cos^2 t$,जो देता है $\frac{dt}{dx} = \cos^2 t + 3$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{dt}{\cos^2 t + 3} = dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dt}{\cos^2 t + 3} = \int dx$.
अंश और हर को $\sec^2 t$ से गुणा करने पर: $\int \frac{\sec^2 t dt}{1 + 3\sec^2 t} = \int dx$.
$\sec^2 t = 1 + \tan^2 t$ का उपयोग करने पर: $\int \frac{\sec^2 t dt}{1 + 3(1 + \tan^2 t)} = \int \frac{\sec^2 t dt}{4 + 3\tan^2 t} = \int dx$.
माना $\tan t = m$,तब $\sec^2 t dt = dm$.
समाकलन इस प्रकार होगा: $\int \frac{dm}{4 + 3m^2} = \frac{1}{3} \int \frac{dm}{\frac{4}{3} + m^2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{2}{\sqrt{3}}} \tan^{-1}\left(\frac{m}{2/\sqrt{3}}\right) = x + C$.
सरल करने पर: $\frac{1}{2\sqrt{3}} \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}m}{2}\right) = x + C$.
$2\sqrt{3}$ से गुणा करने पर: $\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \tan t\right) = 2\sqrt{3}(x+C)$.
चूंकि $t = 3x+y$,इसलिए $\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \tan(3x+y)\right) = 2\sqrt{3}(x+C)$.
अतः,$f(x) = 2\sqrt{3}(x+C)$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{ax+b}{cy+d}$ है।
चरों को अलग करने पर,हमें $(cy+d)dy = (ax+b)dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int (cy+d)dy = \int (ax+b)dx$ प्राप्त होता है।
इससे $\frac{cy^2}{2} + dy = \frac{ax^2}{2} + bx + K$ प्राप्त होता है,जहाँ $K$ समाकलन स्थिरांक है।
हल के सरल रेखाओं के परिवार को निरूपित करने के लिए,$x^2$ और $y^2$ वाले पद शून्य होने चाहिए।
इसका अर्थ है कि $x^2$ और $y^2$ के गुणांक शून्य होने चाहिए,अतः $a=0$ और $c=0$ होना चाहिए।
समीकरण में $a=0$ और $c=0$ रखने पर,हमें $dy = bdx$ प्राप्त होता है,जो रेखाओं का एक परिवार निरूपित करता है यदि $b$ और $d$ दोनों शून्य न हों,अर्थात $b^2+d^2 \neq 0$।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}=\frac{ax+by+c}{a_1x+b_1y+c_1}$ है।
यदि $\frac{a}{a_1}=\frac{b}{b_1}=m$ है,तो समीकरण को $\frac{dy}{dx}=\frac{m(a_1x+b_1y)+c}{a_1x+b_1y+c_1}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसे हल करने के लिए,हम $z = a_1x + b_1y$ प्रतिस्थापित करते हैं।
यह प्रतिस्थापन हमें समीकरण को ऐसे रूप में व्यक्त करने की अनुमति देता है जहाँ चर $z$ और $x$ को अलग किया जा सकता है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{y^3 \cos \sqrt{x}}{\sqrt{x} e^{1/y^2}}$ है।
चरों को अलग करने पर,हमें $\int \frac{e^{1/y^2}}{y^3} dy = \int \frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}} dx$ प्राप्त होता है।
माना $t = \frac{1}{y^2}$,तो $dt = -\frac{2}{y^3} dy$,इसलिए $\frac{dy}{y^3} = -\frac{dt}{2}$।
माना $u = \sqrt{x}$,तो $du = \frac{dx}{2\sqrt{x}}$,इसलिए $\frac{dx}{\sqrt{x}} = 2du$।
इन मानों को समाकलन में रखने पर,$\int e^t (-\frac{1}{2}) dt = \int \cos u (2 du)$ प्राप्त होता है।
$-\frac{1}{2} e^t = 2 \sin u + C$।
$t = \frac{1}{y^2}$ और $u = \sqrt{x}$ वापस रखने पर,$-\frac{1}{2} e^{1/y^2} = 2 \sin \sqrt{x} + C$।
चूंकि $y(0) = 1$ दिया गया है,$x = 0$ पर $y = 1$,इसलिए $-\frac{1}{2} e^1 = 2 \sin(0) + C$,जिससे $C = -\frac{e}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$-\frac{1}{2} e^{1/y^2} = 2 \sin \sqrt{x} - \frac{e}{2}$।
दोनों पक्षों को $-2$ से गुणा करने पर,$e^{1/y^2} = e - 4 \sin \sqrt{x}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\frac{1}{y^2} = \log_e(e - 4 \sin \sqrt{x})$।
इसकी तुलना $\frac{1}{y^2} = \log_e(f(x))$ से करने पर,$f(x) = e - 4 \sin \sqrt{x}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{2x - 4y - 5}{x - 2y + 2}$ है।
अंश को $2(x - 2y + 2) - 9$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{2(x - 2y + 2) - 9}{x - 2y + 2}$.
माना $t = x - 2y + 2$ है। तब $\frac{dt}{dx} = 1 - 2\frac{dy}{dx}$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}(1 - \frac{dt}{dx})$.
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\frac{1}{2}(1 - \frac{dt}{dx}) = \frac{2t - 9}{t} = 2 - \frac{9}{t}$.
$1 - \frac{dt}{dx} = 4 - \frac{18}{t} \Rightarrow \frac{dt}{dx} = \frac{18}{t} - 3 = \frac{18 - 3t}{t}$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{t}{18 - 3t} dt = dx \Rightarrow \frac{t}{3(6 - t)} dt = dx$.
आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $-\frac{1}{3} \int \frac{t - 6 + 6}{t - 6} dt = \int dx \Rightarrow -\frac{1}{3} \int (1 + \frac{6}{t - 6}) dt = x + C_1$.
$-\frac{1}{3} (t + 6 \ln|t - 6|) = x + C_1 \Rightarrow -t - 6 \ln|t - 6| = 3x + C$.
$t = x - 2y + 2$ रखने पर: $-(x - 2y + 2) - 6 \ln|x - 2y + 2 - 6| = 3x + C$.
$-x + 2y - 2 - 6 \ln|x - 2y - 4| = 3x + C \Rightarrow -4x + 2y - 6 \ln|x - 2y - 4| = C + 2$.
$-2$ से भाग देने पर: $2x - y + 3 \ln|x - 2y - 4| = k$.
$2x - y + c \log(x - 2y - 4) = k$ से तुलना करने पर,हमें $c = 3$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $(x \sin \frac{y}{x}) dy = (y \sin \frac{y}{x} - x) dx$
$\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{y \sin(y/x) - x}{x \sin(y/x)} = \frac{y}{x} - \frac{1}{\sin(y/x)}$
माना $v = \frac{y}{x}$,तब $y = vx$ और $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$v + x \frac{dv}{dx} = v - \frac{1}{\sin v}$
$x \frac{dv}{dx} = -\frac{1}{\sin v}$
चरों को अलग करने पर:
$-\sin v \, dv = \frac{1}{x} \, dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$-\int \sin v \, dv = \int \frac{1}{x} \, dx$
$\cos v = \log x + C$
$v = \frac{y}{x}$ वापस रखने पर:
$\cos \frac{y}{x} = \log x + C$
इसे दिए गए हल $\cos \frac{y}{x} = A \log x + C$ के साथ तुलना करने पर,हमें $A = 1$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{xy - y^2 - x^2}$ है।
$y = mx$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dy}{dx} = m + x \frac{dm}{dx}$ प्राप्त होता है।
$m + x \frac{dm}{dx} = \frac{m^2 x^2}{x(mx) - m^2 x^2 - x^2} = \frac{m^2}{m - m^2 - 1}$.
$x \frac{dm}{dx} = \frac{m^2}{m - m^2 - 1} - m = \frac{m^2 - m^2 + m^3 + m}{m - m^2 - 1} = \frac{m^3 + m}{m - m^2 - 1}$.
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{m - m^2 - 1}{m^3 + m} dm = \int \frac{dx}{x}$.
$\int \left( \frac{m}{m(m^2 + 1)} - \frac{m^2 + 1}{m(m^2 + 1)} \right) dm = \ln|x| + C$.
$\int \left( \frac{1}{m^2 + 1} - \frac{1}{m} \right) dm = \ln|x| + C$.
$\tan^{-1}(m) - \ln|m| = \ln|x| + C$.
$m = \frac{y}{x}$ रखने पर: $\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) - \ln\left|\frac{y}{x}\right| = \ln|x| + C$.
$\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) - (\ln|y| - \ln|x|) = \ln|x| + C$.
$\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \ln|y| + C$.
$\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = f(y) + C$ से तुलना करने पर,$f(y) = \ln|y|$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(e^3) = \ln|e^3| = 3$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{f(x, y)}{g(x, y)}$ है।
चूंकि $f$ और $g$ समान कोटि के समघात फलन हैं,हम लिख सकते हैं $\frac{dy}{dx} = \frac{f(Vy, y)}{g(Vy, y)} = \frac{y^n f(V, 1)}{y^n g(V, 1)} = \frac{f(V, 1)}{g(V, 1)}$.
हमें प्रतिस्थापन $x = Vy$ दिया गया है। $y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dx}{dy} = V + y\frac{dV}{dy}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{dV}{dy} = \frac{1}{y} \left( \frac{dx}{dy} - V \right)$.
चूंकि $\frac{dy}{dx} = \frac{f(x, y)}{g(x, y)}$,हमारे पास $\frac{dx}{dy} = \frac{g(x, y)}{f(x, y)} = \frac{g(Vy, y)}{f(Vy, y)} = \frac{g(V, 1)}{f(V, 1)}$ है।
इस मान को $\frac{dV}{dy}$ के व्यंजक में रखने पर,हमें $\frac{dV}{dy} = \frac{1}{y} \left( \frac{g(V, 1)}{f(V, 1)} - V \right)$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $\frac{dV}{dy} = \frac{1}{y}(F(V))$ से करने पर,हमें $F(V) = \left( \frac{g(V, 1)}{f(V, 1)} - V \right)$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} - y \log_{e} 0.5 = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{dy}{dx} = y \log_{e} 0.5$ प्राप्त होता है।
चरों को अलग करने पर,$\frac{dy}{y} = (\log_{e} 0.5) dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dy}{y} = \int (\log_{e} 0.5) dx$,जिससे $\ln y = (\log_{e} 0.5) x + C$ प्राप्त होता है।
प्रारंभिक स्थिति $y(0) = 1$ का उपयोग करते हुए,$x = 0$ और $y = 1$ रखने पर: $\ln 1 = (\log_{e} 0.5)(0) + C$,अतः $0 = 0 + C$,जिसका अर्थ है $C = 0$।
इस प्रकार,$\ln y = (\log_{e} 0.5) x$।
दोनों पक्षों का घातांक लेने पर,$y = e^{(\log_{e} 0.5) x} = (e^{\log_{e} 0.5})^x = (0.5)^x$।
हमें दिया गया है कि जैसे $x \rightarrow \infty$,$y(x) \rightarrow k$।
अतः,$k = \lim_{x \rightarrow \infty} (0.5)^x$।
चूंकि $0.5 < 1$,इसलिए जैसे $x \rightarrow \infty$,$(0.5)^x \rightarrow 0$ होता है।
अतः,$k = 0$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\cos^2 x \frac{dy}{dx} + y = \tan x$.
$\cos^2 x$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dy}{dx} + y \sec^2 x = \tan x \sec^2 x$.
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \sec^2 x$ और $Q = \tan x \sec^2 x$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P dx} = e^{\int \sec^2 x dx} = e^{\tan x}$.
व्यापक हल $y(IF) = \int Q(IF) dx + C$ है।
$y e^{\tan x} = \int \tan x \sec^2 x e^{\tan x} dx + C$.
माना $u = \tan x$,तो $du = \sec^2 x dx$.
$y e^{\tan x} = \int u e^u du + C = e^u(u - 1) + C$.
$y e^{\tan x} = e^{\tan x}(\tan x - 1) + C$.
$e^{\tan x}$ से भाग देने पर,हमें $y = \tan x - 1 + Ce^{-\tan x}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $y(\frac{\pi}{4}) = 1$,इसलिए $x = \frac{\pi}{4}$ और $y = 1$ रखने पर:
$1 = \tan(\frac{\pi}{4}) - 1 + Ce^{-\tan(\frac{\pi}{4})}$.
$1 = 1 - 1 + Ce^{-1}$.
$1 = Ce^{-1} \Rightarrow C = e$.