AP EAMCET 2022 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) दिया गया समीकरण $\overline{z} = i z^2 \dots (i)$ है।
दोनों पक्षों का मापांक लेने पर,$|\overline{z}| = |i z^2|$ $\Rightarrow |z| = |i| |z|^2$ $\Rightarrow |z| = |z|^2$.
इसका अर्थ है $|z|(|z| - 1) = 0$,अतः $|z| = 0$ या $|z| = 1$.
स्थिति $1$: यदि $|z| = 0$,तो $z = 0$. यह एक हल है।
स्थिति $2$: यदि $|z| = 1$,तो $\overline{z} = 1/z$. समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर,$1/z = i z^2 \Rightarrow z^3 = 1/i = -i$.
हम जानते हैं कि $-i = e^{i(3\pi/2 + 2k\pi)}$ जहाँ $k = 0, 1, 2$.
अतः,$z = e^{i(\pi/2 + 2k\pi/3)}$.
$k = 0$ के लिए,$z = e^{i\pi/2} = i$.
$k = 1$ के लिए,$z = e^{i(7\pi/6)} = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$.
$k = 2$ के लिए,$z = e^{i(11\pi/6)} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$.
$z = 0$ को मिलाकर,कुल $1 + 3 = 4$ हल हैं।

(A) सम्मिश्र संख्याओं के लिए त्रिभुज असमिका के अनुसार,हमारे पास $|z_1| + |z_2| \geq |z_1 - z_2|$ है।
माना $z_1 = z$ और $z_2 = 1 - z$ है।
तब $|z| + |1 - z| \geq |z + (1 - z)| = |1| = 1$ होगा।
चूँकि $|z-1| = |1-z|$,व्यंजक $|z| + |z-1| \geq 1$ हो जाता है।
न्यूनतम मान $1$ है,जो तब प्राप्त होता है जब $z$ सम्मिश्र तल में $0$ और $1$ को जोड़ने वाले रेखाखंड पर स्थित होता है।

(A) दिया गया है,$\bar{z}+i \bar{w}=0$.
दोनों पक्षों का संयुग्मी लेने पर,हमें $z-i w=0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $z=i w$.
हमें $\operatorname{Arg}(z w)=\pi$ दिया गया है।
गुणधर्म $\operatorname{Arg}(z w) = \operatorname{Arg}(z) + \operatorname{Arg}(w)$ का उपयोग करने पर,हमारे पास $\operatorname{Arg}(z) + \operatorname{Arg}(w) = \pi$ है।
चूंकि $z=i w$,हमारे पास $w = \frac{z}{i} = -iz$ है।
अतः,$\operatorname{Arg}(w) = \operatorname{Arg}(-i) + \operatorname{Arg}(z) = -\frac{\pi}{2} + \operatorname{Arg}(z)$.
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\operatorname{Arg}(z) + (\operatorname{Arg}(z) - \frac{\pi}{2}) = \pi$.
$2 \operatorname{Arg}(z) = \pi + \frac{\pi}{2} = \frac{3 \pi}{2}$.
इसलिए,$\operatorname{Arg}(z) = \frac{3 \pi}{4}$.

(C) दिया गया समीकरण: $|z|^2 w - |w|^2 z = z - w$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $|z|^2 w + w = |w|^2 z + z$
$(|z|^2 + 1) w = (|w|^2 + 1) z$
चूँकि $z$ और $w$ शून्येतर हैं,हम लिख सकते हैं: $\frac{z}{|z|^2 + 1} = \frac{w}{|w|^2 + 1}$
मान लीजिए $\frac{z}{|z|^2 + 1} = \frac{w}{|w|^2 + 1} = k$
तब $z = k(|z|^2 + 1)$ और $w = k(|w|^2 + 1)$
चूँकि $z$ और $w$ सम्मिश्र संख्याएँ हैं,$k$ एक वास्तविक संख्या होनी चाहिए।
यदि $k$ वास्तविक है,तो $\frac{z}{w} = \frac{|z|^2 + 1}{|w|^2 + 1}$,जो एक वास्तविक संख्या है।
अतः,$z = cw$ जहाँ $c \neq 1$ एक वास्तविक स्थिरांक है।
मूल समीकरण में $z = cw$ प्रतिस्थापित करने पर:
$c^2 |w|^2 w - c |w|^2 w = (c - 1) w$
चूँकि $w \neq 0$,$w$ से विभाजित करने पर:
$c |w|^2 (c - 1) = c - 1$
चूँकि $z \neq w$,$c \neq 1$,इसलिए $(c - 1)$ से विभाजित करने पर:
$c |w|^2 = 1 \Rightarrow c = \frac{1}{|w|^2}$
अतः,$z = \frac{w}{|w|^2} = \frac{w}{w \bar{w}} = \frac{1}{\bar{w}}$
इससे $z \bar{w} = 1$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि $\operatorname{Arg} z_1 = \frac{\pi}{3}$।
हम जानते हैं कि $\operatorname{Arg} \overline{z_2} = -\operatorname{Arg} z_2$।
दिया गया है $\operatorname{Arg} \overline{z_2} = \frac{\pi}{5}$,इसलिए $\operatorname{Arg} z_2 = -\frac{\pi}{5}$।
अब,$\operatorname{Arg} z_1 + \operatorname{Arg} z_2 = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{5}$।
लघुत्तम समापवर्त्य लेने पर,हमें $\frac{5\pi - 3\pi}{15} = \frac{2\pi}{15}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है,$\left|z+\frac{2}{z}\right|=2$.
त्रिभुज असमिका का उपयोग करते हुए,$|z| = |(z+\frac{2}{z}) - \frac{2}{z}| \leq |z+\frac{2}{z}| + |\frac{2}{z}|$.
दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर,$|z| \leq 2 + \frac{2}{|z|}$.
$|z|$ से गुणा करने पर (चूंकि $|z| > 0$),हमें $|z|^2 \leq 2|z| + 2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $|z|^2 - 2|z| - 2 \leq 0$.
$x = |z|$ के लिए द्विघात असमिका $x^2 - 2x - 2 \leq 0$ को हल करने पर,मूल $x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-2)}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$ हैं।
चूंकि $|z| \geq 0$,इसलिए $0 \leq |z| \leq 1+\sqrt{3}$.
अतः,$|z|$ का अधिकतम मान $1+\sqrt{3}$ है।

(C) माना $C = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\cos (n \theta)}{2^n}$ और $S = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\sin (n \theta)}{2^n}$ है।
$C + iS = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{e^{i \theta}}{2}\right)^n = \frac{1}{1 - \frac{e^{i \theta}}{2}} = \frac{2}{2 - \cos \theta - i \sin \theta}$.
अंश और हर को $(2 - \cos \theta + i \sin \theta)$ से गुणा करने पर:
$C + iS = \frac{2(2 - \cos \theta + i \sin \theta)}{(2 - \cos \theta)^2 + \sin^2 \theta} = \frac{4 - 2 \cos \theta + 2i \sin \theta}{5 - 4 \cos \theta}$.
वास्तविक भाग की तुलना करने पर, $C = \frac{4 - 2 \cos \theta}{5 - 4 \cos \theta}$ प्राप्त होता है।

(D) माना $z = \frac{3+2 i \sin \theta}{1-2 i \sin \theta}$ है।
$z$ को वास्तविक होने के लिए,इसका काल्पनिक भाग शून्य होना चाहिए।
अंश और हर को हर के संयुग्मी $(1+2 i \sin \theta)$ से गुणा करने पर:
$z = \frac{(3+2 i \sin \theta)(1+2 i \sin \theta)}{(1-2 i \sin \theta)(1+2 i \sin \theta)}$
$z = \frac{3 + 6 i \sin \theta + 2 i \sin \theta + 4 i^2 \sin^2 \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta}$
चूंकि $i^2 = -1$:
$z = \frac{(3 - 4 \sin^2 \theta) + i(8 \sin \theta)}{1 + 4 \sin^2 \theta}$
$z$ के वास्तविक होने के लिए,काल्पनिक भाग शून्य होना चाहिए:
$\frac{8 \sin \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta} = 0$
$8 \sin \theta = 0$
$\sin \theta = 0$
अतः,$\theta = n \pi, n \in \mathbb{Z}$।

(B) दिया गया है $z = \cos \theta + i \sin \theta$।
डी मॉइवर प्रमेय के अनुसार,$z^r = (\cos \theta + i \sin \theta)^r = \cos(r \theta) + i \sin(r \theta)$।
संयुग्मी $\bar{z} = \cos \theta - i \sin \theta$ है।
अतः,$(\bar{z})^r = (\cos \theta - i \sin \theta)^r = \cos(r \theta) - i \sin(r \theta)$।
इन दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$z^r + (\bar{z})^r = (\cos(r \theta) + i \sin(r \theta)) + (\cos(r \theta) - i \sin(r \theta)) = 2 \cos(r \theta)$।

(B) हम जानते हैं कि $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ और $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ होता है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\cosh x + \sinh x)^n = \left( \frac{e^x + e^{-x}}{2} + \frac{e^x - e^{-x}}{2} \right)^n$
$= \left( \frac{2e^x}{2} \right)^n = (e^x)^n = e^{nx}$.
हाइपरबोलिक फलनों की परिभाषा का उपयोग करने पर:
$e^{nx} = \cosh nx + \sinh nx$.

(A) दिया गया व्यंजक: $(-1+i \sqrt{3})^{60}$
हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं: $2^{60} \left( -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^{60}$
मान लीजिए $\omega = -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}$ इकाई का घनमूल है।
तब व्यंजक हो जाता है: $2^{60} \times \omega^{60}$
चूंकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $\omega^{60} = (\omega^3)^{20} = 1^{20} = 1$।
अतः,$(-1+i \sqrt{3})^{60} = 2^{60} \times 1 = 2^{60}$।

(B) दिया गया है कि $1, \omega, \omega^2$ इकाई के घनमूल हैं,इसलिए $1+\omega+\omega^2=0$ और $\omega^3=1$ है।
$\omega$ की घातों को सरल करने पर: $\omega^{10} = \omega$ और $\omega^{11} = \omega^2$ प्राप्त होता है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$(2-\omega)^2(2-\omega^2)^2(2-\omega)^2(2-\omega^2)^2 = [(2-\omega)(2-\omega^2)]^4$
$= [4 - 2(\omega+\omega^2) + \omega^3]^4$
चूंकि $\omega+\omega^2 = -1$ और $\omega^3 = 1$ है:
$= [4 - 2(-1) + 1]^4 = 7^4$.

(D) हम जानते हैं कि $1+\omega+\omega^2=0$,जिसका अर्थ है $1+\omega^2=-\omega$ और $1+\omega=-\omega^2$.
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$(1-\omega+\omega^2)^5+(1+\omega-\omega^2)^5 = (-\omega-\omega)^5+(-\omega^2-\omega^2)^5$
$= (-2\omega)^5+(-2\omega^2)^5$
$= -32\omega^5 - 32\omega^{10}$
$= -32(\omega^5+\omega^{10})$
चूंकि $\omega^3=1$,इसलिए $\omega^5 = \omega^2$ और $\omega^{10} = \omega$ है।
$= -32(\omega^2+\omega)$
चूंकि $1+\omega+\omega^2=0$,इसलिए $\omega^2+\omega = -1$ है।
$= -32(-1) = 32$.

(D) सबसे पहले,आधार व्यंजकों को सरल करें:
$\frac{1-i}{1+i} = \frac{(1-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{1-2i+i^2}{1-i^2} = \frac{1-2i-1}{1+1} = \frac{-2i}{2} = -i$
$\frac{1+i}{1-i} = \frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{1+2i+i^2}{1-i^2} = \frac{1+2i-1}{1+1} = \frac{2i}{2} = i$
अब इन मानों को व्यंजक में रखें:
$(-i)^{2022} + (i)^{2021}$
$= (i)^{2022} + (i)^{2021}$
$= (i^{4})^{505} \cdot i^2 + (i^{4})^{505} \cdot i^1$
$= (1)^{505} \cdot (-1) + (1)^{505} \cdot i$
$= -1 + i$

(C) दिया गया है कि $1, \omega, \omega^2$ इकाई के घनमूल हैं।
$\therefore 1+\omega+\omega^2=0$ और $\omega^3=1$।
व्यंजक का विस्तार करने पर:
$(x+y)^2+(x\omega+y\omega^2)^2+(x\omega^2+y\omega)^2$
$= (x^2+y^2+2xy) + (x^2\omega^2+y^2\omega^4+2xy\omega^3) + (x^2\omega^4+y^2\omega^2+2xy\omega^3)$
$= x^2+y^2+2xy + x^2\omega^2+y^2\omega+2xy + x^2\omega+y^2\omega^2+2xy$
$= x^2(1+\omega+\omega^2) + y^2(1+\omega+\omega^2) + 6xy$
चूँकि $1+\omega+\omega^2=0$,इसलिए:
$= x^2(0) + y^2(0) + 6xy = 6xy$.

(C) दिया गया है,$z^3+27 i=0$.
चूंकि $27 i = (-3 i)^3$,हमारे पास $z^3 - (-3 i)^3 = 0$ है।
सर्वसमिका $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ का उपयोग करने पर,$(z - (-3 i))(z^2 + z(-3 i) + (-3 i)^2) = 0$ प्राप्त होता है।
$(z + 3 i)(z^2 - 3 i z - 9) = 0$.
स्थिति $1$: $z + 3 i = 0 \Rightarrow z = -3 i$.
स्थिति $2$: $z^2 - 3 i z - 9 = 0$.
द्विघात सूत्र $z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$z = \frac{3 i \pm \sqrt{(-3 i)^2 - 4(1)(-9)}}{2} = \frac{3 i \pm \sqrt{-9 + 36}}{2} = \frac{3 i \pm \sqrt{27}}{2} = \frac{3 i \pm 3 \sqrt{3}}{2}$.
अतः,मूल $-3 i$,$\frac{3 \sqrt{3} + 3 i}{2}$,और $\frac{-3 \sqrt{3} + 3 i}{2}$ हैं।
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही उत्तर $\frac{3 \sqrt{3} + 3 i}{2}$ है।

(C) हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\sum_{k=1}^6 -i \left[ \cos \left(\frac{2 \pi k}{7}\right) + i \sin \left(\frac{2 \pi k}{7}\right) \right]$
यूलर के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\cos \theta + i \sin \theta = e^{i \theta}$,व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$-i \sum_{k=1}^6 e^{i \frac{2 \pi k}{7}} = -i \left[ e^{i \frac{2 \pi}{7}} + e^{i \frac{4 \pi}{7}} + \dots + e^{i \frac{12 \pi}{7}} \right]$
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a = e^{i \frac{2 \pi}{7}}$ और सार्व अनुपात $r = e^{i \frac{2 \pi}{7}}$ है,जहाँ $n = 6$ पद हैं:
$-i \left[ e^{i \frac{2 \pi}{7}} \frac{1 - (e^{i \frac{2 \pi}{7}})^6}{1 - e^{i \frac{2 \pi}{7}}} \right] = -i \left[ \frac{e^{i \frac{2 \pi}{7}} - e^{i \frac{14 \pi}{7}}}{1 - e^{i \frac{2 \pi}{7}}} \right]$
चूँकि $e^{i \frac{14 \pi}{7}} = e^{i 2 \pi} = 1$:
$-i \left[ \frac{e^{i \frac{2 \pi}{7}} - 1}{1 - e^{i \frac{2 \pi}{7}}} \right] = -i (-1) = i$

(D) चूंकि $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_{23}$ इकाई के $23^{rd}$ मूल हैं,वे समीकरण $\alpha^{23} - 1 = 0$ को संतुष्ट करते हैं,जिसका अर्थ है $\alpha^{23} = 1$।
अब,योग $S = \alpha_1^{47} + \alpha_2^{47} + \ldots + \alpha_{23}^{47}$ पर विचार करें।
प्रत्येक $k = 1, 2, \ldots, 23$ के लिए $\alpha_k^{23} = 1$ है,इसलिए हम लिख सकते हैं $\alpha_k^{47} = \alpha_k^{23 \times 2 + 1} = (\alpha_k^{23})^2 \cdot \alpha_k = (1)^2 \cdot \alpha_k = \alpha_k$।
अतः,$S = \alpha_1 + \alpha_2 + \ldots + \alpha_{23}$।
इकाई के $n^{th}$ मूलों का योग $n > 1$ के लिए $0$ होता है।
इस प्रकार,$\alpha_1 + \alpha_2 + \ldots + \alpha_{23} = 0$।

(D) दिया गया समीकरण: $x^4-2x^3+x-380=0$.
मूलों की जाँच करने पर,$x=5$ के लिए: $5^4-2(5^3)+5-380 = 625-250+5-380 = 0$. अतः,$x=5$ एक मूल है।
$x=-4$ के लिए: $(-4)^4-2(-4)^3+(-4)-380 = 256+128-4-380 = 0$. अतः,$x=-4$ दूसरा मूल है।
माना कि चार मूल $x_1, x_2, x_3, x_4$ हैं। हमारे पास $x_1=5$ और $x_2=-4$ हैं। माना $x_3$ और $x_4$ सम्मिश्र मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,सभी मूलों का योग $-\frac{x^3 \text{ का गुणांक}}{x^4 \text{ का गुणांक}} = -\frac{-2}{1} = 2$ होता है।
अतः,$x_1+x_2+x_3+x_4 = 2$.
ज्ञात मूलों को प्रतिस्थापित करने पर: $5-4+x_3+x_4 = 2$.
$1+x_3+x_4 = 2$.
इसलिए,$x_3+x_4 = 1$.

(D) दिया गया है कि $3 + i\sqrt{6}$ एक मूल है,इसलिए इसका संयुग्मी $3 - i\sqrt{6}$ भी एक मूल होगा।
मान लीजिए कि अन्य दो वास्तविक मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
बहुपद $ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0$ के चारों मूलों का गुणनफल $e/a$ होता है।
यहाँ,मूलों का गुणनफल $\alpha \cdot \beta \cdot (3 + i\sqrt{6}) \cdot (3 - i\sqrt{6}) = -45/4$ है।
सम्मिश्र मूलों का गुणनफल: $(3 + i\sqrt{6})(3 - i\sqrt{6}) = 3^2 + (\sqrt{6})^2 = 9 + 6 = 15$ है।
अतः,$\alpha \cdot \beta \cdot 15 = -45/4$ है।
इसलिए,$\alpha \cdot \beta = -45 / (4 \times 15) = -45 / 60 = -3/4$।

(C) माना $z = x + iy$.
तब $|z|^2 = x^2 + y^2$.
दिए गए समीकरण $|z|^2 = \operatorname{Re}(z)$ में मान रखने पर:
$x^2 + y^2 = x$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$x^2 - x + y^2 = 0$.
$x$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + y^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2$.
यह वृत्त का समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ के रूप में है, जहाँ केंद्र $(h, k)$ है।
तुलना करने पर, केंद्र $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है,$|z-3 i|+|z+5 i|=4$।
यह $|z-z_1|+|z-z_2|=k$ के रूप में है,जहाँ $z_1=3 i$ और $z_2=-5 i$ है।
दो निश्चित बिंदुओं के बीच की दूरी $|z_1-z_2| = |3 i - (-5 i)| = |8 i| = 8$ है।
दीर्घवृत्त के लिए,शर्त $k > |z_1-z_2|$ पूरी होनी चाहिए।
यहाँ,$k=4$ और $|z_1-z_2|=8$ है।
चूँकि $k < |z_1-z_2|$,दो निश्चित बिंदुओं से दूरियों का योग उन बिंदुओं के बीच की दूरी से कम है,जो सम्मिश्र तल में असंभव है।
इसलिए,ऐसा कोई बिंदु $z$ मौजूद नहीं है।

(C) चूंकि $\triangle ABC$ एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle C = 90^{\circ}$ है,इसलिए $AC = BC$ है।
घूर्णन के गुण का उपयोग करते हुए,सदिश $\vec{CA}$ को $\vec{CB}$ को $90^{\circ}$ ($i.e., \frac{\pi}{2}$ रेडियन) वामावर्त दिशा में घुमाकर प्राप्त किया जाता है।
अतः,$z_1 - z_3 = i(z_2 - z_3)$।
साथ ही,समद्विबाहु होने के कारण,$|z_1 - z_3| = |z_2 - z_3|$ है।
अब,सदिश $\vec{BA} = z_1 - z_2$ और $\vec{BC} = z_3 - z_2$ पर विचार करें।
$\triangle ABC$ में,$\angle B = 45^{\circ}$ और $AC = BC$ है।
घूर्णन सूत्र का उपयोग करते हुए,$\frac{z_1 - z_2}{z_3 - z_2} = \sqrt{2} e^{i\pi/4} = 1 + i$।
इसी प्रकार,$\frac{z_2 - z_1}{z_3 - z_1} = \sqrt{2} e^{-i\pi/4} = 1 - i$।
इन दोनों का गुणा करने पर,$\frac{(z_1 - z_2)(z_2 - z_1)}{(z_3 - z_2)(z_3 - z_1)} = (1+i)(1-i) = 2$।
अतः,$(z_1 - z_2)^2 = 2(z_1 - z_3)(z_3 - z_2)$ प्राप्त होता है।

(D) तीन सम्मिश्र संख्याओं $z_1, z_2, z_3$ के एक समबाहु त्रिभुज बनाने की शर्त निम्नलिखित है:
$z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 = z_1 z_2 + z_2 z_3 + z_3 z_1$
यहाँ दिया गया है कि शीर्ष $z_1, z_2$ और $0$ हैं,इसलिए $z_3 = 0$ प्रतिस्थापित करने पर:
$z_1^2 + z_2^2 + 0^2 = z_1 z_2 + z_2(0) + (0)z_1$
इसे सरल करने पर हमें प्राप्त होता है:
$z_1^2 + z_2^2 = z_1 z_2$

(A) दिया गया समीकरण: $\bar{z} z^3+z \bar{z}^3=350$
$\Rightarrow z \bar{z}(z^2+\bar{z}^2)=350$
माना $z=x+iy$,तो $\bar{z}=x-iy$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$(x+iy)(x-iy)[(x+iy)^2+(x-iy)^2]=350$
$(x^2+y^2)[(x^2-y^2+2ixy)+(x^2-y^2-2ixy)]=350$
$(x^2+y^2) \cdot 2(x^2-y^2)=350$
$(x^2+y^2)(x^2-y^2)=175$
चूँकि $x, y \in \mathbb{Z}$ है,इसलिए $x^2+y^2=25$ और $x^2-y^2=7$ प्राप्त होता है।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2x^2=32$ $\Rightarrow x^2=16$ $\Rightarrow x=\pm 4$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $2y^2=18$ $\Rightarrow y^2=9$ $\Rightarrow y=\pm 3$.
आयत के शीर्ष $(4,3), (4,-3), (-4,-3),$ और $(-4,3)$ हैं।
भुजाओं की लंबाई $6$ और $8$ है।
क्षेत्रफल $= 6 \times 8 = 48$ वर्ग इकाई।

(A) माना $z = x + iy$. तब $iz = -y + ix$ और $z + iz = (x - y) + i(x + y)$.
त्रिभुज के शीर्ष $(x, y)$,$(-y, x)$ और $(x - y, x + y)$ हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x(x - (x + y)) + (-y)((x + y) - y) + (x - y)(y - x)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x(-y) - y(x) - (x - y)^2|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |-2xy - (x^2 - 2xy + y^2)| = \frac{1}{2} (x^2 + y^2) = \frac{1}{2} |z|^2$.

(B) $MULTIPLE$ शब्द में $8$ अक्षर हैं: $M, U, L, T, I, P, L, E$।
स्वर $U, I, E$ हैं और व्यंजन $M, L, T, L$ हैं।
स्वर $2, 5, 8$ स्थान पर हैं। इन स्थानों को स्थिर रखते हुए,$3$ स्वरों को $3! = 6$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
शेष $5$ स्थानों पर व्यंजन $M, L, T, L$ आते हैं।
इन $5$ व्यंजनों को व्यवस्थित करने के तरीके (जहाँ $L$ दो बार दोहराया गया है) $\frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60$ हैं।
अतः,कुल व्यवस्थाओं की संख्या $3! \times 60 = 6 \times 60 = 360$ है।

(C) $n!$ में अंतिम शून्यों की संख्या लेजेंड्रे के सूत्र द्वारा दी जाती है: $E_5(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{5^k} \rfloor$
हमें $E_5(n!) = 1000$ चाहिए।
विकल्प $C$ $(n=4009)$ की जाँच करने पर:
$E_5(4009!) = \lfloor \frac{4009}{5} \rfloor + \lfloor \frac{4009}{25} \rfloor + \lfloor \frac{4009}{125} \rfloor + \lfloor \frac{4009}{625} \rfloor + \lfloor \frac{4009}{3125} \rfloor$
$= 801 + 160 + 32 + 6 + 1 = 1000$
अतः,$n=4009$ सही उत्तर है।

(D) चरण $1$: $9$ उपलब्ध अंकों में से $2$ भिन्न अंकों का चयन करें। यह $^9C_2 = 36$ तरीकों से किया जा सकता है।
चरण $2$: प्रत्येक चयनित जोड़ी के लिए,हमें $4$ अंकों की संख्या बनानी है जिसमें दोनों अंकों का कम से कम एक बार उपयोग हो।
चरण $3$: $2$ चयनित अंकों का उपयोग करके $4$ स्थानों को भरने के कुल तरीके $2^4 = 16$ हैं।
चरण $4$: हमें उन स्थितियों को बाहर करना होगा जहाँ केवल एक अंक का उपयोग किया गया हो (अर्थात सभी $4$ अंक समान हों)। ऐसी $2$ स्थितियाँ हैं।
चरण $5$: प्रत्येक जोड़ी के लिए मान्य $4$ अंकों की संख्याएँ $(2^4 - 2) = 14$ हैं।
चरण $6$: कुल संख्याएँ = $36 \times 14 = 504$।

(B) "$MOTHER$" शब्द के अक्षर $M, O, T, H, E, R$ हैं। सभी अक्षर भिन्न हैं। कुल व्यवस्था $= 6! = 720$।
अक्षरों का वर्णानुक्रम: $E, H, M, O, R, T$।
$1$. $E$ से शुरू होने वाले शब्द: $5! = 120$।
$2$. $H$ से शुरू होने वाले शब्द: $5! = 120$।
$3$. $ME$ से शुरू होने वाले शब्द: $4! = 24$।
$4$. $MH$ से शुरू होने वाले शब्द: $4! = 24$।
$5$. $MOE$ से शुरू होने वाले शब्द: $3! = 6$।
$6$. $MOH$ से शुरू होने वाले शब्द: $3! = 6$।
$7$. $MOR$ से शुरू होने वाले शब्द: $3! = 6$।
$8$. $MOT E H R$ से शुरू होने वाले शब्द: $1! = 1$।
$9$. $MOT E R H$ से शुरू होने वाले शब्द: $1! = 1$।
$10$. $MOT H E R$ से शुरू होने वाले शब्द: $1$।
योग: $120 + 120 + 24 + 24 + 6 + 6 + 6 + 1 + 1 + 1 = 309$।
अतः,"$MOTHER$" शब्द की रैंक $309$ है।

(C) जब हम एक समय में $1$ वस्तु लेते हैं,तो संभावित क्रमचयों की संख्या $n$ होती है।
जब हम एक समय में $2$ वस्तुएं लेते हैं,तो संभावित क्रमचयों की संख्या $n \times n = n^2$ होती है।
इस प्रक्रिया को $r$ तक जारी रखने पर,$k$ वस्तुओं के लिए क्रमचयों की संख्या $n^k$ होती है।
अतः,एक समय में $r$ से अधिक न लेने पर कुल क्रमचयों की संख्या एक गुणोत्तर श्रेणी का योग है:
$n + n^2 + \ldots + n^r = \frac{n(n^r - 1)}{n - 1}$ (जहाँ $n > 1$)।

(D) हम जानते हैं कि ${}^n P_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ होता है।
व्यंजक ${}^n P_r - {}^{n-1} P_r = \frac{n!}{(n-r)!} - \frac{(n-1)!}{(n-r-1)!}$ पर विचार करें।
$= \frac{(n-1)!}{(n-r-1)!} \left( \frac{n}{n-r} - 1 \right) = \frac{(n-1)!}{(n-r-1)!} \left( \frac{n - (n-r)}{n-r} \right)$.
$= \frac{(n-1)!}{(n-r-1)!} \cdot \frac{r}{n-r} = \frac{r \cdot (n-1)!}{(n-r)!}$.
$= r \cdot \frac{(n-1)!}{((n-1) - (r-1))!} = r \cdot {}^{n-1} P_{r-1}$.
अतः,${}^n P_r = {}^{n-1} P_r + r \cdot {}^{n-1} P_{r-1}$ प्राप्त होता है।
दिए गए समीकरण ${}^n P_r = {}^{n-1} P_r + x \cdot {}^{n-1} P_{r-1}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = r$ प्राप्त होता है।

(B) वृत्त पर बिंदुओं की संख्या $n = 21$ है।
एक जीवा वृत्त पर किन्हीं $2$ अलग-अलग बिंदुओं को जोड़ने से बनती है।
इसलिए,जीवाओं की संख्या संचय (combination) के सूत्र $^nC_r$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $r = 2$ है।
$^{21}C_2 = \frac{21!}{2!(21-2)!} = \frac{21 \times 20}{2 \times 1} = 21 \times 10 = 210$.
अतः,एक वृत्त पर स्थित $21$ बिंदुओं से $210$ जीवाएँ खींची जा सकती हैं।

(A) $n$ भुजाओं वाले बहुभुज के $n$ शीर्षों को जोड़ने पर प्राप्त रेखाखंडों की संख्या ${}^nC_2$ है।
इनमें से $n$ रेखाखंड बहुभुज की भुजाएँ हैं।
अतः,विकर्णों की संख्या ${}^nC_2 - n$ है।
दिया गया है कि विकर्णों की संख्या $560$ है,इसलिए:
${}^nC_2 - n = 560$
$\Rightarrow \frac{n(n-1)}{2} - n = 560$
$\Rightarrow n^2 - n - 2n = 1120$
$\Rightarrow n^2 - 3n - 1120 = 0$
द्विघात समीकरण को हल करने पर:
$(n - 35)(n + 32) = 0$
चूँकि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $n = 35$.

(D) $DAUGHTER$ शब्द में $8$ अलग-अलग अक्षर हैं: $D, A, U, G, H, T, E, R$।
इसमें $3$ स्वर $(A, U, E)$ और $5$ व्यंजन $(D, G, H, T, R)$ हैं।
हमें $3$ में से $2$ स्वर और $5$ में से $3$ व्यंजन चुनने हैं।
अक्षरों को चुनने के तरीकों की संख्या $^3C_2 \times ^5C_3 = 3 \times 10 = 30$ है।
प्रत्येक चयन में $5$ अक्षर होते हैं,जिन्हें $5!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
$5! = 120$।
अतः,कुल शब्दों की संख्या $30 \times 120 = 3600$ है।

(D) हमें दिया गया है: ${}^nC_{r-1}=36$,${}^nC_r=84$ और ${}^nC_{r+1}=126$।
अनुपात $\frac{{}^nC_r}{{}^nC_{r-1}} = \frac{84}{36} = \frac{7}{3}$ लेने पर।
सूत्र $\frac{{}^nC_r}{{}^nC_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ का उपयोग करने पर,$\frac{n-r+1}{r} = \frac{7}{3}$ $\Rightarrow 3n-3r+3 = 7r$ $\Rightarrow 3n+3 = 10r$ (समीकरण $i$)।
अनुपात $\frac{{}^nC_{r+1}}{{}^nC_r} = \frac{126}{84} = \frac{3}{2}$ लेने पर।
सूत्र $\frac{{}^nC_{r+1}}{{}^nC_r} = \frac{n-r}{r+1}$ का उपयोग करने पर,$\frac{n-r}{r+1} = \frac{3}{2}$ $\Rightarrow 2n-2r = 3r+3$ $\Rightarrow 2n-3 = 5r$ (समीकरण $ii$)।
समीकरण $ii$ से,$r = \frac{2n-3}{5}$। इस मान को समीकरण $i$ में रखने पर:
$3n+3 = 10 \left( \frac{2n-3}{5} \right)$ $\Rightarrow 3n+3 = 2(2n-3)$ $\Rightarrow 3n+3 = 4n-6$ $\Rightarrow n = 9$।
$n=9$ को समीकरण $ii$ में रखने पर: $2(9)-3 = 5r$ $\Rightarrow 15 = 5r$ $\Rightarrow r = 3$।
अतः,$nr^2 = 9 \times (3)^2 = 9 \times 9 = 81$।

(B) दिया गया है $xyz = 24$।
$24$ का अभाज्य गुणनखंडन $2^3 \times 3^1$ है।
मान लीजिए $x = 2^{x_1} \times 3^{y_1}$,$y = 2^{x_2} \times 3^{y_2}$,और $z = 2^{x_3} \times 3^{y_3}$,जहाँ $x_i, y_i \ge 0$।
तब $x_1 + x_2 + x_3 = 3$ और $y_1 + y_2 + y_3 = 1$।
$x_1 + x_2 + x_3 = 3$ के लिए अऋणात्मक पूर्णांक हलों की संख्या $\binom{n+r-1}{r-1} = \binom{3+3-1}{3-1} = \binom{5}{2} = 10$ है।
$y_1 + y_2 + y_3 = 1$ के लिए अऋणात्मक पूर्णांक हलों की संख्या $\binom{1+3-1}{3-1} = \binom{3}{2} = 3$ है।
अतः,कुल धनात्मक पूर्णांक हलों की संख्या $10 \times 3 = 30$ है।

(D) दो स्वरों का चयन $\Rightarrow {}^{5}C_{2} = 10$.
दो व्यंजनों का चयन $\Rightarrow {}^{21}C_{2} = 210$.
चार अक्षरों का कुल चयन $= 10 \times 210 = 2100$.
इन चार अलग-अलग अक्षरों की व्यवस्था $= 4!$.
$\therefore$ कुल शब्द $= 2100 \times 4!$.

(B) अंकों की संख्या $n = 4$ है। अंकों का योग $S = 2 + 3 + 5 + 7 = 17$ है।
प्रत्येक अंक प्रत्येक स्थान पर $(n-1)! = 3! = 6$ बार आता है।
संख्याओं का योग ज्ञात करने का सूत्र: $Sum = (n-1)! \times S \times (1111)$.
$Sum = 6 \times 17 \times 1111$.
$Sum = 102 \times 1111 = 113322$.
विकल्पों की जाँच करने पर:
$33 \times 34 \times 101 = 1122 \times 101 = 113322$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) हम जानते हैं कि क्रमचय और संचय के बीच का संबंध इस प्रकार है:
${}^{n}P_r = {}^{n}C_r \times r!$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$604800 = 120 \times r!$
$r! = \frac{604800}{120}$
$r! = 5040$
चूंकि $7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$,इसलिए:
$r! = 7!$
अतः,$r = 7$.

(A) खंड $1$ में $3$ प्रश्न हैं। इस खंड से एक या अधिक प्रश्नों का चयन करने के तरीकों की संख्या $2^3 - 1 = 7$ है।
खंड $2$ में $4$ प्रश्न हैं। इस खंड से एक या अधिक प्रश्नों का चयन करने के तरीकों की संख्या $2^4 - 1 = 15$ है।
चूंकि उम्मीदवार को प्रत्येक खंड से कम से कम एक प्रश्न का चयन करना है,इसलिए कुल तरीकों की संख्या प्रत्येक खंड से चयन करने के तरीकों का गुणनफल है।
कुल तरीके $= 7 \times 15 = 105$।

(B) "$ASSASSINATION$" शब्द में कुल $13$ अक्षर हैं: $3$ $A$,$4$ $S$,$2$ $I$,$2$ $N$,$1$ $T$,और $1$ $O$।
सभी $4$ $S$ को एक साथ रखने के लिए,हम उन्हें एक इकाई के रूप में मानते हैं,मान लीजिए $Z$।
अब,हमारे पास $10$ वस्तुएं हैं: $A, A, A, I, I, N, N, T, O, Z$।
यहाँ $A$ $3$ बार,$I$ $2$ बार और $N$ $2$ बार दोहराए गए हैं।
अतः,व्यवस्थाओं की कुल संख्या $\frac{10!}{3! 2! 2!}$ है।

(B) $2000$ और $5000$ के बीच की संख्या $4$ अंकों की होती है।
संख्या के $3$ का गुणज होने के लिए,उसके अंकों का योग $3$ से विभाज्य होना चाहिए।
अंकों के समूह ${0, 1, 2, 3}$ के लिए,हजार के स्थान पर $2$ या $3$ आ सकते हैं ($2$ विकल्प)। शेष $3$ स्थानों को $3!$ तरीकों से भरा जा सकता है। कुल $= 2 \times 3! = 12$।
अंकों के समूह ${0, 2, 3, 4}$ के लिए,हजार के स्थान पर $2, 3$ या $4$ आ सकते हैं ($3$ विकल्प)। शेष $3$ स्थानों को $3!$ तरीकों से भरा जा सकता है। कुल $= 3 \times 3! = 18$।
कुल संख्याएँ $= 12 + 18 = 30$।

(A) $10$ और $10000$ के बीच की संख्याएँ $2$-अंकीय,$3$-अंकीय या $4$-अंकीय हो सकती हैं।
$5$ भिन्न अंकों का उपयोग करके $2$-अंकीय संख्या बनाने के तरीके: $5 \times 4 = 20$.
$5$ भिन्न अंकों का उपयोग करके $3$-अंकीय संख्या बनाने के तरीके: $5 \times 4 \times 3 = 60$.
$5$ भिन्न अंकों का उपयोग करके $4$-अंकीय संख्या बनाने के तरीके: $5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$.
कुल संख्याएँ = $20 + 60 + 120 = 200$.

(D) मान लीजिए कि पहले तीन विषयों में अंक $x_1, x_2, x_3$ $(0 \leq x_i \leq n)$ हैं और चौथे विषय में अंक $x_4$ $(0 \leq x_4 \leq 2n)$ हैं।
हमें $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 3n$ के पूर्णांक हलों की संख्या ज्ञात करनी है।
यह $(1+x+\dots+x^n)^3(1+x+\dots+x^{2n})$ के विस्तार में $x^{3n}$ का गुणांक है।
यह व्यंजक $\left(\frac{1-x^{n+1}}{1-x}\right)^3 \left(\frac{1-x^{2n+1}}{1-x}\right) = (1-x^{n+1})^3(1-x^{2n+1})(1-x)^{-4}$ के बराबर है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $(1 - 3x^{n+1} + 3x^{2n+2} - x^{3n+3})(1 - x^{2n+1})(1-x)^{-4}$ प्राप्त होता है।
$= (1 - 3x^{n+1} + 3x^{2n+2} - x^{3n+3} - x^{2n+1} + 3x^{3n+2} - 3x^{4n+3} + x^{5n+4})(1-x)^{-4}$।
इस गुणनफल में $x^{3n}$ का गुणांक ज्ञात करने पर,हमें $\frac{1}{6}(n+1)(5n^2+10n+6)$ प्राप्त होता है।

(D) $5$ में से कम से कम एक हरा खिलौना चुनने के तरीके $2^5 - 1 = 31$ हैं।
$4$ में से कम से कम एक नीला खिलौना चुनने के तरीके $2^4 - 1 = 15$ हैं।
$3$ में से किसी भी संख्या में लाल खिलौने (शून्य सहित) चुनने के तरीके $2^3 = 8$ हैं।
चूंकि ये चयन स्वतंत्र हैं,इसलिए संयोजनों की कुल संख्या $31 \times 15 \times 8$ है।

(D) समान प्रकार के फलों को एक जैसा मानते हुए।
यदि $1^{\text{st}}$ प्रकार की $p$ समान वस्तुएं,$2^{\text{nd}}$ प्रकार की $q$ समान वस्तुएं और $3^{\text{rd}}$ प्रकार की $r$ समान वस्तुएं हैं,तो वस्तुओं की कोई भी संख्या चुनने के कुल तरीके $(p+1)(q+1)(r+1)$ होते हैं।
इस मामले में,$p=4$,$q=5$,और $r=7$ है।
शून्य फल चुनने के मामले सहित कुल तरीके $= (4+1)(5+1)(7+1) = 5 \times 6 \times 8 = 240$।
चूंकि हमें कम से कम एक फल चुनना है,इसलिए हम उस मामले को घटा देंगे जिसमें $0$ संतरे,$0$ सेब और $0$ आम चुने जाते हैं।
कम से कम एक फल चुनने के कुल तरीके $= 240 - 1 = 239$।

(A) कुल प्रश्नों की संख्या $= 13$।
चुने जाने वाले प्रश्नों की संख्या $= 10$।
प्रतिबंध: पहले $5$ प्रश्नों में से कम से कम $4$ प्रश्न चुने जाने चाहिए।
स्थिति $I$: यदि पहले $5$ में से ठीक $4$ प्रश्न चुने जाते हैं।
$5$ में से $4$ प्रश्न चुनने के तरीके $= {}^{5}C_{4} = 5$।
शेष $10 - 4 = 6$ प्रश्न अंतिम $13 - 5 = 8$ प्रश्नों में से ${}^{8}C_{6}$ तरीकों से चुने जाते हैं।
तरीकों की संख्या $= 5 \times {}^{8}C_{6} = 5 \times 28 = 140$।
स्थिति $II$: यदि पहले $5$ में से ठीक $5$ प्रश्न चुने जाते हैं।
$5$ में से $5$ प्रश्न चुनने के तरीके $= {}^{5}C_{5} = 1$।
शेष $10 - 5 = 5$ प्रश्न अंतिम $13 - 5 = 8$ प्रश्नों में से ${}^{8}C_{5}$ तरीकों से चुने जाते हैं।
तरीकों की संख्या $= 1 \times {}^{8}C_{5} = 1 \times 56 = 56$।
कुल तरीकों की संख्या $= 140 + 56 = 196$।

(A) $N = m \times n$ भिन्न वस्तुओं को $n$ व्यक्तियों के बीच समान रूप से वितरित करने के तरीकों की संख्या $\frac{(mn)!}{(m!)^n}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$N = 500$,$n = 50$,और $m = 10$ (क्योंकि $500 = 50 \times 10$)।
अतः,वितरण के तरीकों की संख्या $\frac{500!}{(10!)^{50}}$ है।

(C) $52$ पत्तों में से $5$ पत्तों का चयन करना है जिसमें ठीक एक इक्का हो:
$1$. $4$ इक्कों में से $1$ इक्का चुनने के तरीके: $^4C_1 = 4$.
$2$. शेष $48$ पत्तों में से $4$ पत्ते चुनने के तरीके: $^{48}C_4$.
$3$. कुल संयोजनों की संख्या $^4C_1 \times ^{48}C_4$ है।
$\begin{aligned} & = 4 \times \frac{48 \times 47 \times 46 \times 45}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \\ & = 4 \times 194580 \\ & = 778320 \end{aligned}$

(A) दिए गए समीकरणों की प्रणाली $x+y+z=6$,$5x-y+2z=3$,और $2x+y-z=-5$ है।
मैट्रिक्स रूप $AX=D$ में,जहाँ $A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 5 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & -1\end{array}\right]$,$X=\left[\begin{array}{c}x \\ y \\ z\end{array}\right]$,और $D=\left[\begin{array}{c}6 \\ 3 \\ -5\end{array}\right]$ है।
सबसे पहले,हम $A$ का सहखंडज मैट्रिक्स $C$ ज्ञात करते हैं:
$C_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 1-2 = -1$
$C_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -(-5-4) = 9$
$C_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 5 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 5-(-2) = 7$
$C_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -(-1-1) = 2$
$C_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -1-2 = -3$
$C_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -(1-2) = 1$
$C_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = 2-(-1) = 3$
$C_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} = -(2-5) = 3$
$C_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 5 & -1 \end{vmatrix} = -1-5 = -6$
अतः,$\operatorname{adj}(A) = C^T = \left[\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 3 \\ 9 & -3 & 3 \\ 7 & 1 & -6\end{array}\right]$।
अब,$(\operatorname{adj} A)D = \left[\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 3 \\ 9 & -3 & 3 \\ 7 & 1 & -6\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}6 \\ 3 \\ -5\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}-6+6-15 \\ 54-9-15 \\ 42+3+30\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}-15 \\ 30 \\ 75\end{array}\right]$।

(A) माना $u = \frac{1}{x}, v = \frac{1}{y}, w = \frac{1}{z}$. समीकरण इस प्रकार बनते हैं:
$u + 2v - 3w = 1$ ...$(i)$
$2u - 4v + 3w = 1$ ...(ii)
$3u + 6v - 6w = 4$ ...(iii)
$(i)$ और (ii) को जोड़ने पर: $3u - 2v = 2$ ...(iv)
(ii) को $2$ से गुणा करके (iii) में जोड़ने पर: $(4u - 8v + 6w) + (3u + 6v - 6w) = 2 + 4 \Rightarrow 7u - 2v = 6$ ...$(v)$
$(v)$ में से (iv) को घटाने पर: $(7u - 2v) - (3u - 2v) = 6 - 2 \Rightarrow 4u = 4 \Rightarrow u = 1$. चूँकि $u = \frac{1}{x}$,इसलिए $x = 1 = \alpha$.
$u = 1$ को (iv) में रखने पर: $3(1) - 2v = 2 \Rightarrow 2v = 1 \Rightarrow v = \frac{1}{2}$. चूँकि $v = \frac{1}{y}$,इसलिए $y = 2 = \beta$.
$u = 1, v = \frac{1}{2}$ को $(i)$ में रखने पर: $1 + 2(\frac{1}{2}) - 3w = 1 \Rightarrow 1 + 1 - 3w = 1 \Rightarrow 3w = 1 \Rightarrow w = \frac{1}{3}$. चूँकि $w = \frac{1}{z}$,इसलिए $z = 3 = \gamma$.
अतः,$\alpha^2 + \gamma^2 = 1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10$.
चूँकि $\beta = 2$,इसलिए $5\beta = 5(2) = 10$.
अतः,$\alpha^2 + \gamma^2 = 5\beta$.

(C) निकाय का अद्वितीय हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए: $\Delta = \begin{vmatrix} 3 & -4 & k \\ 1 & 2 & -1 \\ k & -1 & 3 \end{vmatrix} \neq 0$.
सारणिक का विस्तार करने पर: $3(6 - 1) + 4(3 + k) + k(-1 - 2k) \neq 0$.
$15 + 12 + 4k - k - 2k^2 \neq 0 \implies -2k^2 + 3k + 27 \neq 0 \implies 2k^2 - 3k - 27 \neq 0$.
गुणनखंड करने पर: $(2k - 9)(k + 3) \neq 0$,अतः $k \neq \frac{9}{2}$ और $k \neq -3$.
दिया गया है $2\beta - \gamma = 8$,हम दूसरे समीकरण $x + 2y - z = 9$ का उपयोग करते हैं। $x = \alpha, y = \beta, z = \gamma$ रखने पर:
$\alpha + 2\beta - \gamma = 9 \implies \alpha + 8 = 9 \implies \alpha = 1$.
चूंकि $k \neq m$,$m$ उन मानों को दर्शाता है जिनके लिए निकाय का अद्वितीय हल नहीं है,अर्थात $m \in \{\frac{9}{2}, -3\}$.
यदि $m = -3$ है,तो $\alpha + m = 1 + (-3) = -2$.

(D) दिए गए समीकरण:
$1) x+y-z=6$
$2) 4x+y+z=2$
$3) x+ky+z=-8$
$x=2$ रखने पर:
$2+y-z=6 \Rightarrow y-z=4$ (समीकरण $i$)
$4(2)+y+z=2 \Rightarrow 8+y+z=2 \Rightarrow y+z=-6$ (समीकरण $ii$)
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2y = -2 \Rightarrow y = -1$
$z = -5$
समीकरण $(3)$ में $x=2, y=-1, z=-5$ रखने पर:
$2 + k(-1) - 5 = -8 \Rightarrow -k - 3 = -8 \Rightarrow k = 5$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार $k=1$ के लिए विकल्प $D$ सही है।

(C) रैखिक समीकरणों के निकाय $AX=B$ का अद्वितीय हल तभी होता है जब गुणांक आव्यूह $A$ का सारणिक शून्य न हो,अर्थात $|A| \neq 0$ हो।
गुणांक आव्यूह $A$ इस प्रकार है:
$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 5 & -1 & \mu \\ 2 & 3 & -1 \end{bmatrix}$
हम सारणिक $|A|$ की गणना करते हैं:
$|A| = 1((-1)(-1) - (3)(\mu)) - 1((5)(-1) - (2)(\mu)) + 1((5)(3) - (2)(-1))$
$|A| = 1(1 - 3\mu) - 1(-5 - 2\mu) + 1(15 + 2)$
$|A| = 1 - 3\mu + 5 + 2\mu + 17$
$|A| = 23 - \mu$
अद्वितीय हल के लिए,हमें $|A| \neq 0$ की आवश्यकता है।
$23 - \mu \neq 0 \implies \mu \neq 23$.
चूंकि सारणिक $\lambda$ से स्वतंत्र है,इसलिए अद्वितीय हल की शर्त केवल $\mu$ पर निर्भर करती है। अतः,$\mu \neq 23$ और $\lambda$ कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है $(\lambda \in R)$.

(A) दी गई समीकरण प्रणाली है:
$x+y+kz=1$ ... $(i)$
$2x+2y=3$ ... $(ii)$
$x+2y+2kz=k$ ... $(iii)$
प्रणाली का कोई हल न होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D = 0$ होना चाहिए और प्रणाली असंगत होनी चाहिए।
सारणिक $D$ इस प्रकार है:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & k \\ 2 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 2k \end{vmatrix}$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$D = 1(4k - 0) - 1(4k - 0) + k(4 - 2)$
$D = 4k - 4k + 2k = 2k$
$D = 0$ रखने पर,हमें $2k = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $k = 0$.
अब,$k = 0$ के लिए संगतता की जाँच करने पर:
समीकरण इस प्रकार हो जाते हैं:
$x+y=1$
$2x+2y=3$
$x+2y=0$
$(i)$ से,$x+y=1$,इसलिए $2x+2y=2$. लेकिन,$(ii)$ में $2x+2y=3$ दिया गया है। चूँकि $2 \neq 3$,इसलिए $k=0$ के लिए प्रणाली असंगत है।
अतः,$k$ के मानों का समुच्चय $\{0\}$ है।

(C) हम जानते हैं कि $\cot ^{-1}(x) = \tan ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)$।
अतः,दिया गया व्यंजक $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \tan ^{-1}\left(\frac{1}{r^2+\frac{3}{4}}\right)$ है।
हम तर्क को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\frac{1}{r^2+1-\frac{1}{4}} = \frac{1}{1+(r^2-\frac{1}{4})} = \frac{1}{1+(r-\frac{1}{2})(r+\frac{1}{2})}$।
सर्वसमिका $\tan ^{-1}(a) - \tan ^{-1}(b) = \tan ^{-1}\left(\frac{a-b}{1+ab}\right)$ का उपयोग करते हुए:
$\tan ^{-1}\left(\frac{(r+\frac{1}{2})-(r-\frac{1}{2})}{1+(r+\frac{1}{2})(r-\frac{1}{2})}\right) = \tan ^{-1}\left(r+\frac{1}{2}\right) - \tan ^{-1}\left(r-\frac{1}{2}\right)$।
अब,योग एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी बन जाता है:
$S_n = \sum_{r=1}^n \left[\tan ^{-1}\left(r+\frac{1}{2}\right) - \tan ^{-1}\left(r-\frac{1}{2}\right)\right]$
$S_n = \left(\tan ^{-1} \frac{3}{2} - \tan ^{-1} \frac{1}{2}\right) + \left(\tan ^{-1} \frac{5}{2} - \tan ^{-1} \frac{3}{2}\right) + \dots + \left(\tan ^{-1} \left(n+\frac{1}{2}\right) - \tan ^{-1} \left(n-\frac{1}{2}\right)\right)$।
सभी मध्यवर्ती पद कट जाते हैं,और शेष रहता है $S_n = \tan ^{-1}\left(n+\frac{1}{2}\right) - \tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$।
जब $n \rightarrow \infty$ हो तब सीमा लेने पर:
$\lim _{n \rightarrow \infty} S_n = \tan ^{-1}(\infty) - \tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{2} - \tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \cot ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \tan ^{-1}(2)$।

(B) दिया गया है कि $f(x)=\sqrt{2-x^2}$ और $g(x)=\ln (1-x)$।
$(f+g)(x)$ का प्रांत $f(x)$ और $g(x)$ के प्रांतों का सर्वनिष्ठ (intersection) है।
$f(x)=\sqrt{2-x^2}$ के लिए,$2-x^2 \geq 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x^2 \leq 2$। अतः,$x \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$। इसलिए,$D_1 = [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$।
$g(x)=\ln (1-x)$ के लिए,$1-x > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x < 1$। अतः,$D_2 = (-\infty, 1)$।
$(f+g)(x)$ का प्रांत $D_1 \cap D_2 = [-\sqrt{2}, \sqrt{2}] \cap (-\infty, 1) = [-\sqrt{2}, 1)$ होगा।

(B) व्यंजक के वास्तविक संख्या होने के लिए,निम्नलिखित शर्तों को पूरा किया जाना चाहिए:
$1$. वर्गमूल के अंदर का मान गैर-ऋणात्मक होना चाहिए: $|x|^2 - 2|x| - 8 \geq 0$.
माना $|x| = t$,तो $t^2 - 2t - 8 \geq 0 \Rightarrow (t-4)(t+2) \geq 0$.
चूंकि $t = |x| \geq 0$,इसलिए $t \geq 4$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $|x| \geq 4$,अतः $x \in (-\infty, -4] \cup [4, \infty)$.
$2$. लघुगणक का तर्क धनात्मक होना चाहिए: $2 - x - x^2 > 0 \Rightarrow x^2 + x - 2 < 0$.
$(x+2)(x-1) < 0 \Rightarrow x \in (-2, 1)$.
$3$. हर शून्य नहीं होना चाहिए: $\log(2 - x - x^2) \neq 0$ $\Rightarrow 2 - x - x^2 \neq 1$ $\Rightarrow x^2 + x - 1 \neq 0$.
$x \neq \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
शर्तों को संयोजित करने पर: $x \in ((-\infty, -4] \cup [4, \infty)) \cap (-2, 1)$.
चूंकि इन समुच्चयों के बीच कोई प्रतिच्छेदन नहीं है,इसलिए हल रिक्त समुच्चय $\phi$ है।

(A) $f(x) = \sin \log \left( \frac{\sqrt{4-x^2}}{1-x} \right)$ को परिभाषित होने के लिए,लघुगणक का तर्क धनात्मक होना चाहिए।
सबसे पहले,वर्गमूल $\sqrt{4-x^2}$ तब परिभाषित होता है जब $4-x^2 \geq 0$,जिसका अर्थ है $x \in [-2, 2]$।
दूसरा,लघुगणक के अंदर का व्यंजक धनात्मक होना चाहिए: $\frac{\sqrt{4-x^2}}{1-x} > 0$।
चूंकि $\sqrt{4-x^2} \geq 0$,इसलिए $1-x > 0$ (अर्थात $x < 1$) और $\sqrt{4-x^2} \neq 0$ होना चाहिए।
अतः,$x < 1$ और $x \neq \pm 2$।
$x \in [-2, 2]$ को $x < 1$ और $x \neq \pm 2$ के साथ संयोजित करने पर,हमें $x \in (-2, 1)$ प्राप्त होता है।

(D) फलन $f(x) = \frac{\log_2(x+3)}{\sqrt{x^2+3x+2}}$ को परिभाषित होने के लिए:
$1$. लघुगणक का तर्क धनात्मक होना चाहिए: $x+3 > 0 \implies x > -3$.
$2$. हर में वर्गमूल के अंदर का व्यंजक धनात्मक होना चाहिए: $x^2+3x+2 > 0$.
गुणनखंड करने पर: $(x+2)(x+1) > 0$.
यह असमिका $x \in (-\infty, -2) \cup (-1, \infty)$ के लिए सत्य है।
$x > -3$ और $x \in (-\infty, -2) \cup (-1, \infty)$ का प्रतिच्छेदन लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x \in (-3, -2) \cup (-1, \infty)$.

(A) फलन $f(x) = \frac{\sqrt{2-x} + \sqrt{1+x}}{\sqrt{x+3}}$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर के व्यंजक अऋणात्मक होने चाहिए और हर (denominator) शून्य नहीं होना चाहिए।
$1$. $\sqrt{2-x}$ के लिए,$2-x \geq 0$ आवश्यक है,जिसका अर्थ है $x \leq 2$।
$2$. $\sqrt{1+x}$ के लिए,$1+x \geq 0$ आवश्यक है,जिसका अर्थ है $x \geq -1$।
$3$. हर में $\sqrt{x+3}$ के लिए,$x+3 > 0$ आवश्यक है,जिसका अर्थ है $x > -3$।
इन शर्तों को संयोजित करने पर: $x \leq 2$,$x \geq -1$,और $x > -3$।
इन अंतरालों का प्रतिच्छेदन $[-1, 2]$ है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = \frac{\sqrt{\log _{0.5}(x-3)}}{\sqrt{x-1}}$ है।
अंश में वर्गमूल को परिभाषित होने के लिए,$\log _{0.5}(x-3) \geq 0$ होना चाहिए।
चूंकि आधार $0.5 < 1$ है,इसलिए असमिका उलट जाती है: $x-3 \leq (0.5)^0$,जिससे $x-3 \leq 1$ प्राप्त होता है,अतः $x \leq 4$।
साथ ही,लघुगणक को परिभाषित होने के लिए $x-3 > 0$ होना चाहिए,जो $x > 3$ दर्शाता है।
हर को परिभाषित और शून्य से भिन्न होने के लिए $x-1 > 0$ होना चाहिए,जो $x > 1$ दर्शाता है।
सभी शर्तों का प्रतिच्छेदन लेने पर: $(x \leq 4) \cap (x > 3) \cap (x > 1)$,हमें $3 < x \leq 4$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रांत $(3, 4]$ है।

(B) $f/g$ का प्रांत उन सभी $x$ का समुच्चय है जिनके लिए $f(x)$ परिभाषित है,$g(x)$ परिभाषित है और $g(x) \neq 0$ है।
$f(x) = \sqrt{\frac{x+1}{x+3}}$ के परिभाषित होने के लिए,$\frac{x+1}{x+3} \geq 0$ होना चाहिए। यह $x \in (-\infty, -3) \cup [-1, \infty)$ के लिए सत्य है।
$g(x) = \sqrt{\frac{2-x}{x+3}}$ के परिभाषित होने और $g(x) \neq 0$ होने के लिए,$\frac{2-x}{x+3} > 0$ होना चाहिए। $-1$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{x-2}{x+3} < 0$ प्राप्त होता है,जो $x \in (-3, 2)$ के लिए सत्य है।
$f/g$ का प्रांत इन दो समुच्चयों का प्रतिच्छेदन है: $((-\infty, -3) \cup [-1, \infty)) \cap (-3, 2) = [-1, 2)$.

(A) फलन $f(x)$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}(-x-1), & \text{यदि } x < -1 \\ \tan^{-1} x, & \text{यदि } -1 \leq x \leq 1 \\ \frac{1}{2}(x-1), & \text{यदि } x > 1 \end{cases}$
$x = -1$ पर सांतत्य की जाँच करने पर:
$\lim_{x \to -1^-} f(x) = \frac{1}{2}(1-1) = 0$
$f(-1) = \tan^{-1}(-1) = -\frac{\pi}{4}$
चूँकि $\lim_{x \to -1^-} f(x) \neq f(-1)$,इसलिए $f(x)$,$x = -1$ पर असंतत है।
$x = 1$ पर सांतत्य की जाँच करने पर:
$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \frac{1}{2}(1-1) = 0$
$f(1) = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$
चूँकि $\lim_{x \to 1^+} f(x) \neq f(1)$,इसलिए $f(x)$,$x = 1$ पर असंतत है।
अवकलनीय होने के लिए फलन का सतत होना आवश्यक है। चूँकि $f(x)$,$x = -1$ और $x = 1$ पर असंतत है,इसलिए यह इन बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है।
अतः,$f'(x)$ का प्रांत $R - \{-1, 1\}$ है।

(D) दिया गया है,$f(x) = \sqrt{\frac{2-|x|}{3-|x|}}$।
$f(x)$ को परिभाषित होने के लिए,$\frac{2-|x|}{3-|x|} \geq 0$ होना चाहिए।
माना $t = |x|$,जहाँ $t \geq 0$ है। असमिका $\frac{2-t}{3-t} \geq 0$ हो जाती है,जो $\frac{t-2}{t-3} \geq 0$ के समतुल्य है।
वेवी कर्व विधि का उपयोग करते हुए,$t \geq 0$ के लिए $t$ का हल $t \in [0, 2] \cup (3, \infty)$ प्राप्त होता है।
अब,$t = |x|$ वापस रखने पर:
स्थिति $I$: $0 \leq |x| \leq 2 \Rightarrow x \in [-2, 2]$।
स्थिति $II$: $|x| > 3 \Rightarrow x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$।
इन दोनों को मिलाने पर,प्रांत $x \in (-\infty, -3) \cup [-2, 2] \cup (3, \infty)$ है।

(D) दिया गया है $f(x) = \sqrt{\frac{x^2+2x+8}{x^2+2x+4}}$
$= \sqrt{\frac{(x^2+2x+4)+4}{x^2+2x+4}} = \sqrt{1 + \frac{4}{(x+1)^2+3}}$
चूंकि $(x+1)^2 \geq 0$,इसलिए $(x+1)^2+3 \geq 3$ होगा।
अतः,$0 < \frac{4}{(x+1)^2+3} \leq \frac{4}{3}$ प्राप्त होता है।
सभी भागों में $1$ जोड़ने पर,$1 < 1 + \frac{4}{(x+1)^2+3} \leq 1 + \frac{4}{3} = \frac{7}{3}$ प्राप्त होता है।
वर्गमूल लेने पर,$1 < \sqrt{1 + \frac{4}{(x+1)^2+3}} \leq \sqrt{\frac{7}{3}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x)$ का परिसर $\left(1, \sqrt{\frac{7}{3}}\right]$ है।

(D) माना $y = \frac{x^2+x+1}{x}$.
$yx = x^2 + x + 1$
$x^2 + (1-y)x + 1 = 0$.
चूंकि $f(x)$ एक वास्तविक मान वाला फलन है,इसलिए $x$ एक वास्तविक संख्या होनी चाहिए।
अतः,विविक्तकर (discriminant) $D \geq 0$.
$(1-y)^2 - 4(1)(1) \geq 0$
$1 + y^2 - 2y - 4 \geq 0$
$y^2 - 2y - 3 \geq 0$
$(y-3)(y+1) \geq 0$.
असमिका को हल करने पर,हमें $y \in (-\infty, -1] \cup [3, \infty)$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x)$ का परिसर $(-\infty, -1] \cup [3, \infty)$ है।

(A) माना $y = \frac{x^2+x+1}{x^2-x+1}$.
$y(x^2-x+1) = x^2+x+1$
$yx^2 - yx + y = x^2 + x + 1$
$(y-1)x^2 - (y+1)x + (y-1) = 0$.
$x$ के वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D \geq 0$ होना चाहिए।
$D = (-(y+1))^2 - 4(y-1)(y-1) \geq 0$
$(y+1)^2 - 4(y-1)^2 \geq 0$
$(y+1 - 2(y-1))(y+1 + 2(y-1)) \geq 0$
$(3-y)(3y-1) \geq 0$
$(y-3)(3y-1) \leq 0$.
यह असमिका $y \in \left[\frac{1}{3}, 3\right]$ के लिए सत्य है।

(B) दिया गया है,$f(x) = \frac{x}{x^2 - 5x + 9} = y$.
चूंकि $x^2 - 5x + 9$ का विविक्तकर (discriminant) $D = (-5)^2 - 4(1)(9) = 25 - 36 = -11 < 0$ है,इसलिए हर हमेशा धनात्मक रहेगा।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $y(x^2 - 5x + 9) = x \Rightarrow yx^2 - (5y + 1)x + 9y = 0$.
$x$ के वास्तविक होने के लिए,इस द्विघात समीकरण का विविक्तकर $D \geq 0$ होना चाहिए।
$D = (-(5y + 1))^2 - 4(y)(9y) \geq 0$
$(5y + 1)^2 - 36y^2 \geq 0$
$25y^2 + 10y + 1 - 36y^2 \geq 0$
$-11y^2 + 10y + 1 \geq 0$
$11y^2 - 10y - 1 \leq 0$
गुणनखंड करने पर: $(11y + 1)(y - 1) \leq 0$.
क्रांतिक बिंदु $y = -\frac{1}{11}$ और $y = 1$ हैं।
अतः,परिसर $y \in \left[-\frac{1}{11}, 1\right]$ है।

(A) माना $f(x) = \log \left( \frac{2x^2 - 3}{x} + \sqrt{\frac{4x^4 - 11x^2 + 9}{|x|}} \right)$.
यह जांचने के लिए कि फलन विषम है या नहीं,हम $f(-x)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$f(-x) = \log \left( \frac{2(-x)^2 - 3}{-x} + \sqrt{\frac{4(-x)^4 - 11(-x)^2 + 9}{|-x|}} \right)$
$f(-x) = \log \left( -\left( \frac{2x^2 - 3}{x} \right) + \sqrt{\frac{4x^4 - 11x^2 + 9}{|x|}} \right)$
अब,$f(x) + f(-x) = \log \left( \sqrt{\frac{4x^4 - 11x^2 + 9}{|x|}} + \frac{2x^2 - 3}{x} \right) + \log \left( \sqrt{\frac{4x^4 - 11x^2 + 9}{|x|}} - \frac{2x^2 - 3}{x} \right)$ पर विचार करें।
गुणधर्म $\log(a) + \log(b) = \log(ab)$ का उपयोग करते हुए:
$f(x) + f(-x) = \log \left( \left( \sqrt{\frac{4x^4 - 11x^2 + 9}{|x|}} \right)^2 - \left( \frac{2x^2 - 3}{x} \right)^2 \right)$
$f(x) + f(-x) = \log \left( \frac{4x^4 - 11x^2 + 9}{|x|^2} - \frac{4x^4 - 12x^2 + 9}{x^2} \right)$
चूंकि $|x|^2 = x^2$:
$f(x) + f(-x) = \log \left( \frac{4x^4 - 11x^2 + 9 - (4x^4 - 12x^2 + 9)}{x^2} \right)$
$f(x) + f(-x) = \log \left( \frac{x^2}{x^2} \right) = \log(1) = 0$
अतः,चूंकि $f(x) + f(-x) = 0$,यह फलन एक विषम फलन है।

(A) दिया गया है $f(x) = \frac{x-2}{2x+1}$.
हमें समीकरण $f(f(x)) = -x$ दिया गया है।
$f(x)$ का मान रखने पर:
$\frac{f(x)-2}{2f(x)+1} = -x$
$\frac{\frac{x-2}{2x+1}-2}{2(\frac{x-2}{2x+1})+1} = -x$
$\frac{x-2-2(2x+1)}{2(x-2)+1(2x+1)} = -x$
$\frac{x-2-4x-2}{2x-4+2x+1} = -x$
$\frac{-3x-4}{4x-3} = -x$
$\frac{3x+4}{4x-3} = x$
$3x+4 = x(4x-3)$
$3x+4 = 4x^2-3x$
$4x^2-6x-4 = 0$
$2$ से भाग देने पर,हमें $2x^2-3x-2 = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\alpha$ और $\beta$ इस द्विघात समीकरण के मूल हैं,विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$\alpha+\beta = \frac{3}{2}$ और $\alpha\beta = -1$.
हमें $4(\alpha^2+\beta^2)$ ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta$ का उपयोग करने पर:
$\alpha^2+\beta^2 = (\frac{3}{2})^2 - 2(-1) = \frac{9}{4} + 2 = \frac{17}{4}$.
अतः,$4(\alpha^2+\beta^2) = 4 \times \frac{17}{4} = 17$.

(B) समुच्चय $A$ से समुच्चय $B$ तक एक अंतःक्षेपी फलन (injection) तभी संभव है जब $A$ के अवयवों की संख्या $B$ के अवयवों की संख्या से कम या उसके बराबर हो,अर्थात $m \le n$।
यदि $n < m$ है,तो $A$ के प्रत्येक अवयव को $B$ के एक अद्वितीय अवयव से जोड़ना असंभव है,इसलिए अंतःक्षेपी फलनों की संख्या $0$ होगी।
यदि $n \ge m$ है,तो हमें $B$ से $m$ भिन्न अवयव चुनने होंगे और उन्हें $A$ के $m$ अवयवों के साथ जोड़ने के लिए एक विशिष्ट क्रम में व्यवस्थित करना होगा।
ऐसा करने के तरीकों की संख्या क्रमचय (permutation) के सूत्र $^nP_m = \frac{n!}{(n-m)!}$ द्वारा दी जाती है।
अतः,अंतःक्षेपी फलनों की संख्या $\begin{cases} ^nP_m, & n \ge m \\ 0, & n < m \end{cases}$ है।

(D) फलन $f(x) = \frac{x+3}{x-2}$ द्वारा दिया गया है।
चूंकि फलन तब परिभाषित नहीं होता है जब हर शून्य हो,इसलिए $x - 2 = 0$,जिसका अर्थ है $x = 2$। अतः,प्रांत $R - \{2\}$ है,इसलिए $l = 2$।
परिसर ज्ञात करने के लिए,मान लीजिए $y = \frac{x+3}{x-2}$।
तब $y(x - 2) = x + 3$,जो $xy - 2y = x + 3$ देता है।
$x$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $x(y - 1) = 2y + 3$ मिलता है,या $x = \frac{2y+3}{y-1}$।
फलन $y = 1$ के लिए परिभाषित नहीं है,इसलिए परिसर $R - \{1\}$ है। अतः,$m = 1$।
हमें $3l - 2m$ की गणना करनी है।
मान रखने पर,$3(2) - 2(1) = 6 - 2 = 4$।

(D) दिया गया फलन $f: R \rightarrow R$,$f(x) = 5x^4 + 2$ द्वारा परिभाषित है।
एकैकी (one-one) की जाँच के लिए:
मान लीजिए $f(x_1) = f(x_2)$।
$5x_1^4 + 2 = 5x_2^4 + 2$
$x_1^4 = x_2^4$
$x_1 = \pm x_2$।
चूँकि $f(1) = 5(1)^4 + 2 = 7$ और $f(-1) = 5(-1)^4 + 2 = 7$,इसलिए $f(1) = f(-1)$ है लेकिन $1 \neq -1$।
अतः,$f$ एकैकी नहीं है।
आच्छादक (onto) की जाँच के लिए:
सभी $x \in R$ के लिए $x^4 \geq 0$ होता है,इसलिए $5x^4 \geq 0$ होगा।
अतः,$f(x) = 5x^4 + 2 \geq 2$।
फलन का परिसर (range) $[2, \infty)$ है,जो कि सह-प्रांत (codomain) $R$ के बराबर नहीं है।
इसलिए,$f$ आच्छादक नहीं है।
अतः,$f$ न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।

(C) दिया गया है $f(x) = x^2 - 2x - 3$.
एकैकी (one-one) के लिए:
माना $f(x_1) = f(x_2)$.
$x_1^2 - 2x_1 - 3 = x_2^2 - 2x_2 - 3$
$x_1^2 - x_2^2 - 2(x_1 - x_2) = 0$
$(x_1 - x_2)(x_1 + x_2) - 2(x_1 - x_2) = 0$
$(x_1 - x_2)(x_1 + x_2 - 2) = 0$
इसका अर्थ है $x_1 = x_2$ या $x_1 + x_2 = 2$.
चूंकि $x_1 + x_2 = 2$ अलग-अलग मानों के लिए संभव है (उदाहरण के लिए,$f(0) = -3$ और $f(2) = -3$),इसलिए फलन एकैकी नहीं है।
आच्छादक (onto) के लिए:
माना $y = x^2 - 2x - 3$.
$y = (x-1)^2 - 4$
$(x-1)^2 = y + 4$
चूंकि $(x-1)^2 \geq 0$,इसलिए $y + 4 \geq 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $y \geq -4$.
$f$ का परिसर (range) $[-4, \infty)$ है,जो सह-प्रांत (codomain) $R$ के बराबर नहीं है।
इसलिए,फलन आच्छादक नहीं है।
अतः,$f$ न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।

(C) दिया गया है,$f(x)=x|x|$.
हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
$f(x) = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \\ -x^2, & x < 0 \end{cases}$
$1$. एकैकी (one-one) जाँच:
मान लीजिए $f(x_1) = f(x_2)$.
यदि $x_1, x_2 \geq 0$ है,तो $x_1^2 = x_2^2 \Rightarrow x_1 = x_2$ (चूंकि $x \geq 0$).
यदि $x_1, x_2 < 0$ है,तो $-x_1^2 = -x_2^2 \Rightarrow x_1^2 = x_2^2 \Rightarrow x_1 = x_2$ (चूंकि $x < 0$).
यदि एक धनात्मक और एक ऋणात्मक है,तो $f(x)$ के चिह्न अलग होंगे,इसलिए $f(x_1) \neq f(x_2)$.
अतः,$f(x)$ एकैकी है।
$2$. आच्छादक (onto) जाँच:
किसी भी $y \in R$ के लिए,हम ऐसा $x$ ज्ञात कर सकते हैं कि $f(x) = y$.
यदि $y \geq 0$ है,तो $x = \sqrt{y}$. यदि $y < 0$ है,तो $x = -\sqrt{-y}$.
सह-प्रांत $R$ के प्रत्येक $y$ के लिए,प्रांत $R$ में $x$ मौजूद है,इसलिए फलन आच्छादक है।
अतः,$f$ एकैकी और आच्छादक दोनों है।

(A) दिया गया है $f(x) = ax^2 + bx + c$ और $a + b + c = 3$,इसलिए $f(1) = a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c = 3$ है।
फलन समीकरण $f(x + y) = f(x) + f(y) + xy$ दिया गया है।
$y = 1$ रखने पर,हमें $f(x + 1) = f(x) + f(1) + x$ प्राप्त होता है।
$f(1) = 3$ प्रतिस्थापित करने पर,$f(x + 1) - f(x) = x + 3$ प्राप्त होता है।
$x = 1$ से $n - 1$ तक योग करने पर:
$\sum_{x=1}^{n-1} (f(x+1) - f(x)) = \sum_{x=1}^{n-1} (x + 3)$।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $f(n) - f(1) = \frac{(n-1)n}{2} + 3(n-1)$।
चूंकि $f(1) = 3$,इसलिए $f(n) = 3 + \frac{n^2 - n}{2} + 3n - 3 = \frac{n^2 + 5n}{2}$।
अब,$\sum_{n=1}^{10} f(n) = \sum_{n=1}^{10} (\frac{n^2}{2} + \frac{5n}{2})$ की गणना करते हैं।
योग सूत्रों $\sum n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ और $\sum n = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\sum_{n=1}^{10} f(n) = \frac{1}{2} \left( \frac{10 \cdot 11 \cdot 21}{6} \right) + \frac{5}{2} \left( \frac{10 \cdot 11}{2} \right)$।
$= 192.5 + 137.5 = 330$।

(C) दिया गया फलन $f(x) = x^2 + ax + b$ है।
सबसे पहले,$f(0)$ का मान ज्ञात करें:
$f(0) = (0)^2 + a(0) + b = b$.
अब,इस मान को दी गई शर्त $f(f(0)) = 0$ में रखें:
$f(b) = 0$.
फलन $f(x)$ में $x = b$ प्रतिस्थापित करने पर:
$b^2 + ab + b = 0$.
चूंकि $b \neq 0$ है,इसलिए हम पूरे समीकरण को $b$ से विभाजित कर सकते हैं:
$b + a + 1 = 0$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a + b = -1$.

(B) दिया गया फलन $f(xy) = \frac{f(x)}{y}$ है,जहाँ $x, y > 0$ है।
हमें $f(30) = 20$ दिया गया है।
$f(40)$ ज्ञात करने के लिए,हम $40$ को $30 \times \frac{4}{3}$ के रूप में लिख सकते हैं।
दिए गए फलन समीकरण में $x = 30$ और $y = \frac{4}{3}$ रखने पर:
$f(30 \times \frac{4}{3}) = \frac{f(30)}{\frac{4}{3}}$.
$f(40) = f(30) \times \frac{3}{4}$.
$f(30) = 20$ का मान रखने पर:
$f(40) = 20 \times \frac{3}{4} = 5 \times 3 = 15$.

(D) दिया गया है,$f(x+1)+f(x-1)=\sqrt{2} f(x)$ ---$(i)$
$(i)$ में $x$ को $x+1$ से प्रतिस्थापित करने पर:
$f(x+2)+f(x)=\sqrt{2} f(x+1)$ ---(ii)
$(i)$ में $x$ को $x-1$ से प्रतिस्थापित करने पर:
$f(x)+f(x-2)=\sqrt{2} f(x-1)$ ---(iii)
(ii) और (iii) को जोड़ने पर:
$f(x+2)+f(x-2)+2f(x)=\sqrt{2}[f(x+1)+f(x-1)]$
दाहिनी ओर $(i)$ से मान रखने पर:
$f(x+2)+f(x-2)+2f(x)=\sqrt{2}(\sqrt{2} f(x))$
$f(x+2)+f(x-2)+2f(x)=2f(x)$
$f(x+2)+f(x-2)=0$

(C) दिया गया है $f(x) = 2x + 3$।
समीकरण $f(x^2) - 2f(\frac{x}{2}) - 1 = 0$ में फलन का मान रखने पर:
$(2x^2 + 3) - 2(2(\frac{x}{2}) + 3) - 1 = 0$
$2x^2 + 3 - 2(x + 3) - 1 = 0$
$2x^2 + 3 - 2x - 6 - 1 = 0$
$2x^2 - 2x - 4 = 0$
$2$ से भाग देने पर:
$x^2 - x - 2 = 0$
$(x - 2)(x + 1) = 0$
अतः,मूल $\alpha = 2$ और $\beta = -1$ हैं।
इसलिए,$\alpha^2 + \beta^2 = (2)^2 + (-1)^2 = 4 + 1 = 5$।

(C) चूंकि $f(x)$ बिंदु $x = \frac{\pi}{2}$ पर सतत है,इसलिए $LHL = RHL = f(\frac{\pi}{2})$ होगा।
सबसे पहले,$LHL$ ज्ञात करें:
$LHL = \lim_{x \to \frac{\pi^-}{2}} \frac{1-\sin^3 x}{3 \cos^2 x}$. यह $\frac{0}{0}$ रूप है।
$L$'Hospital नियम का उपयोग करने पर:
$\lim_{x \to \frac{\pi^-}{2}} \frac{-3 \sin^2 x \cos x}{3(2 \cos x)(-\sin x)} = \lim_{x \to \frac{\pi^-}{2}} \frac{\sin x}{2} = \frac{1}{2}$.
अतः,$\alpha = \frac{1}{2}$.
अब,$RHL$ ज्ञात करें:
$RHL = \lim_{x \to \frac{\pi^+}{2}} \frac{\beta(1-\sin x)}{(\pi-2 x)^2} = \frac{1}{2}$.
मान लीजिए $x = \frac{\pi}{2} + h$,जहाँ $h \to 0$. तो $\pi - 2x = -2h$.
$\lim_{h \to 0} \frac{\beta(1-\sin(\frac{\pi}{2} + h))}{(-2h)^2} = \lim_{h \to 0} \frac{\beta(1-\cos h)}{4h^2} = \frac{1}{2}$.
सीमा सूत्र $\lim_{h \to 0} \frac{1-\cos h}{h^2} = \frac{1}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\beta}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \implies \frac{\beta}{8} = \frac{1}{2} \implies \beta = 4$.
इसलिए,$\alpha \beta = \frac{1}{2} \times 4 = 2$.

(B) चूंकि $f(x)$,$x = \frac{\pi}{2}$ पर सतत है,इसलिए $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} f(x)$.
माना $t = x - \frac{\pi}{2}$. जैसे $x \to \frac{\pi}{2}$,वैसे $t \to 0$.
तब $x = t + \frac{\pi}{2}$.
हर $\log(1 + \pi^2 - 4\pi(t + \frac{\pi}{2}) + 4(t + \frac{\pi}{2})^2) = \log(1 + \pi^2 - 4\pi t - 2\pi^2 + 4(t^2 + \pi t + \frac{\pi^2}{4})) = \log(1 + 4t^2)$ हो जाता है।
अंश $1 - \sin(t + \frac{\pi}{2}) = 1 - \cos t$ हो जाता है।
अतः,$f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \lim_{t \to 0} \frac{1 - \cos t}{\log(1 + 4t^2)}$.
मानक सीमाओं $\lim_{t \to 0} \frac{1 - \cos t}{t^2} = \frac{1}{2}$ और $\lim_{u \to 0} \frac{\log(1 + u)}{u} = 1$ का उपयोग करते हुए:
$f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \lim_{t \to 0} \frac{(1 - \cos t)/t^2}{\log(1 + 4t^2)/(4t^2) \times 4} = \frac{1/2}{1 \times 4} = \frac{1}{8}$.

(C) फलन $f(x) = \operatorname{Max} \{3 - x, 3 + x, 6\}$ के रूप में परिभाषित है।
अवकलनीयता के बिंदुओं को खोजने के लिए,हम $y_1 = 3 - x$,$y_2 = 3 + x$,और $y_3 = 6$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं का विश्लेषण करते हैं।
$1$. $y_1$ और $y_3$ का प्रतिच्छेदन: $3 - x = 6 \implies x = -3$.
$2$. $y_2$ और $y_3$ का प्रतिच्छेदन: $3 + x = 6 \implies x = 3$.
$3$. $y_1$ और $y_2$ का प्रतिच्छेदन: $3 - x = 3 + x \implies 2x = 0 \implies x = 0$. $x=0$ पर,$y_1 = 3$ और $y_2 = 3$,लेकिन $y_3 = 6$,इसलिए $f(0) = 6$.
फलन $f(x)$ इस प्रकार है:
$f(x) = \begin{cases} 3 - x, & x < -3 \\ 6, & -3 \le x \le 3 \\ 3 + x, & x > 3 \end{cases}$.
फलन में $x = -3$ और $x = 3$ पर तीक्ष्ण कोने (अवकलनीयता के बिंदु) हैं।
अतः,$a = -3$ और $b = 3$.
इसलिए,$|a| + |b| = |-3| + |3| = 3 + 3 = 6$.

(B) दिया गया है,$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{|x|}, & |x| \geq 1 \\ ax^2 + b, & -1 < x < 1 \end{cases}$
परिभाषा का विस्तार करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f(x) = \begin{cases} -\frac{1}{x}, & x \leq -1 \\ ax^2 + b, & -1 < x < 1 \\ \frac{1}{x}, & x \geq 1 \end{cases}$
$f(x)$ को सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए अवकलनीय होने के लिए,इसे $x = 1$ पर सतत और अवकलनीय होना चाहिए।
$x = 1$ पर सांतत्य: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$.
$\implies a(1)^2 + b = \frac{1}{1} \implies a + b = 1$ . . . $(1)$
$x = 1$ पर अवकलनीयता: $f'(1^-) = f'(1^+)$.
$x < 1$ के लिए,$f'(x) = 2ax$. $x > 1$ के लिए,$f'(x) = -\frac{1}{x^2}$.
$\implies 2a(1) = -\frac{1}{(1)^2} \implies 2a = -1 \implies a = -\frac{1}{2}$.
$a = -\frac{1}{2}$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$-\frac{1}{2} + b = 1 \implies b = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
अतः,$a = -\frac{1}{2}$ और $b = \frac{3}{2}$.

(C) $x = 0$ पर सांतत्य और अवकलनीयता की जाँच करने के लिए,हम पहले सीमा $\lim_{x \to 0} f(x)$ का मूल्यांकन करते हैं।
$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 \ln \cos x}{\ln(1 + x^2)} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{x^2}{\ln(1 + x^2)} \right) \times \ln \cos x$.
चूँकि $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\ln(1 + x^2)} = 1$ और $\lim_{x \to 0} \ln \cos x = \ln(1) = 0$,इसलिए सीमा $1 \times 0 = 0$ है।
चूँकि $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = 0$,फलन $x = 0$ पर संतत है।
अब,$x = 0$ पर अवकलनीयता की जाँच करें:
$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 \ln \cos h}{h \ln(1 + h^2)} = \lim_{h \to 0} \frac{h \ln \cos h}{\ln(1 + h^2)}$.
मानक सीमाओं $\lim_{h \to 0} \frac{\ln(1 + h^2)}{h^2} = 1$ और $\lim_{h \to 0} \frac{\ln \cos h}{h^2} = -\frac{1}{2}$ का उपयोग करते हुए:
$f'(0) = \lim_{h \to 0} \left( \frac{h^2}{\ln(1 + h^2)} \right) \times \left( \frac{\ln \cos h}{h^2} \right) \times h = 1 \times (-\frac{1}{2}) \times 0 = 0$.
चूँकि सीमा का अस्तित्व है और यह परिमित है,$f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर अवकलनीय है।

(B) हम निरपेक्ष मानों का विश्लेषण करके फलन $f(x)$ को परिभाषित करते हैं:
$|x| = \begin{cases} -x, & x < 0 \\ x, & x \geq 0 \end{cases}$ और $|2x-4| = \begin{cases} 2x-4, & x \geq 2 \\ -(2x-4), & x < 2 \end{cases}$.
अतः,$f(x) = \begin{cases} -x, & -\infty < x < 0 \\ x, & 0 \leq x < 2 \\ 2x-4, & 2 \leq x \leq 20 \end{cases}$.
$x=0$ पर: $\text{LHL} = \lim_{x \rightarrow 0^-} (-x) = 0$,$\text{RHL} = \lim_{x \rightarrow 0^+} (x) = 0$,और $f(0) = 0$. चूँकि $\text{LHL} = \text{RHL} = f(0)$,$f(x)$ बिंदु $x=0$ पर संतत है। हालाँकि,बायाँ अवकलज $-1$ है और दायाँ अवकलज $1$ है,इसलिए यह $x=0$ पर अवकलनीय नहीं है।
$x=2$ पर: $\text{LHL} = \lim_{x \rightarrow 2^-} (x) = 2$,$\text{RHL} = \lim_{x \rightarrow 2^+} (2x-4) = 0$. चूँकि $\text{LHL} \neq \text{RHL}$,$f(x)$ बिंदु $x=2$ पर संतत नहीं है,और इसलिए यह $x=2$ पर अवकलनीय नहीं है।
इस प्रकार,$a=0$ (संतत लेकिन अवकलनीय नहीं) और $b=2$ (अवकलनीय नहीं)।
अतः,$a+b = 0+2 = 2$.

(D) एक फलन $f(x)$,$x=0$ पर अवकलनीय है यदि $\lim_{h \to 0^+} \frac{f(h)-f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(h)-f(0)}{h}$ हो।
$f(x) = \sin |x| - |x|$ के लिए,$f(0) = \sin(0) - 0 = 0$ है।
$x=0$ पर दायां अवकलज $(RHD)$:
$\lim_{h \to 0^+} \frac{\sin |h| - |h| - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{\sin h - h}{h} = \lim_{h \to 0^+} (\frac{\sin h}{h} - 1) = 1 - 1 = 0$.
$x=0$ पर बायां अवकलज $(LHD)$:
$\lim_{h \to 0^-} \frac{\sin |-h| - |-h| - 0}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{\sin(-h) - (-h)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-\sin h + h}{h} = \lim_{h \to 0^-} (-\frac{\sin h}{h} + 1) = -1 + 1 = 0$.
चूंकि $LHD = RHD = 0$ है,इसलिए फलन $f(x) = \sin |x| - |x|$,$x=0$ पर अवकलनीय है।

(C) अवकलनीयता की जाँच करने के लिए,हम संक्रमण बिंदुओं $x = -\sqrt{5}$ और $x = \sqrt{5}$ की जाँच करते हैं।
$x = -\sqrt{5}$ पर:
बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$ = $4$.
दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$ = $(-\sqrt{5})^2 - 1 = 5 - 1 = 4$.
चूँकि $LHL = RHL = f(-\sqrt{5})$,फलन $x = -\sqrt{5}$ पर सतत है।
बाएँ पक्ष का अवकलज $(LHD)$ = $\frac{d}{dx}(4) = 0$.
दाएँ पक्ष का अवकलज $(RHD)$ = $\frac{d}{dx}(x^2-1) = 2x = 2(-\sqrt{5}) = -2\sqrt{5}$.
चूँकि $LHD \neq RHD$,$f(x)$ बिंदु $x = -\sqrt{5}$ पर अवकलनीय नहीं है।
$x = \sqrt{5}$ पर:
$LHL$ = $(\sqrt{5})^2 - 1 = 4$.
$RHL$ = $4$.
चूँकि $LHL = RHL = f(\sqrt{5})$,फलन $x = \sqrt{5}$ पर सतत है।
$LHD$ = $2x = 2(\sqrt{5}) = 2\sqrt{5}$.
$RHD$ = $\frac{d}{dx}(4) = 0$.
चूँकि $LHD \neq RHD$,$f(x)$ बिंदु $x = \sqrt{5}$ पर अवकलनीय नहीं है।
अतः,$k = 2$ ऐसे बिंदु हैं जहाँ फलन अवकलनीय नहीं है।
इसलिए,$k - 2 = 2 - 2 = 0$.

(A) फलन $f(x) = |x|$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$f(x) = \begin{cases} x, & x \geq 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$
$x = 0$ पर,बायां अवकलज $\lim_{h \to 0^-} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h - 0}{h} = -1$ है।
दायां अवकलज $\lim_{h \to 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h - 0}{h} = 1$ है।
चूंकि बायां अवकलज $\neq$ दायां अवकलज है,इसलिए $f(x)$,$x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।
हालाँकि,$f(x)$ हर जगह सतत है,जिसमें $x = 0$ भी शामिल है।
किसी भी $x = a \neq 0$ के लिए,फलन स्थानीय रूप से रैखिक ($x$ या $-x$) है,इसलिए यह अवकलनीय है।
अतः,कथन $(A)$ सही है।
कारण $(R)$ कलन (calculus) का एक मूलभूत प्रमेय बताता है: अवकलनीयता निरंतरता (सततता) को सूचित करती है,लेकिन निरंतरता अवकलनीयता को सूचित नहीं करती है। यह प्रमेय बताता है कि $f(x) = |x|$,$x = 0$ पर सतत क्यों है लेकिन वहां अवकलनीय नहीं है।
इसलिए,$R$,$A$ की सही व्याख्या है।

(D) दिया गया समीकरण: $8 f(x) + 6 f(\frac{1}{x}) = x + 5$ $(1)$
$(1)$ में $x$ को $\frac{1}{x}$ से प्रतिस्थापित करने पर: $8 f(\frac{1}{x}) + 6 f(x) = \frac{1}{x} + 5$ $(2)$
$(1)$ को $4$ से और $(2)$ को $3$ से गुणा करने पर:
$32 f(x) + 24 f(\frac{1}{x}) = 4x + 20$
$18 f(x) + 24 f(\frac{1}{x}) = \frac{3}{x} + 15$
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $(32 - 18) f(x) = 4x - \frac{3}{x} + 5$
$14 f(x) = 4x - \frac{3}{x} + 5 \Rightarrow f(x) = \frac{4x^2 + 5x - 3}{14x}$
अब,$x^2 f(x) = x^2 \left( \frac{4x^2 + 5x - 3}{14x} \right) = \frac{4x^3 + 5x^2 - 3x}{14}$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{d}{dx} (x^2 f(x)) = \frac{1}{14} (12x^2 + 10x - 3)$
$x = 1$ पर: $\frac{d}{dx} (x^2 f(x)) = \frac{1}{14} (12(1)^2 + 10(1) - 3) = \frac{12 + 10 - 3}{14} = \frac{19}{14}$

(C) दिया गया है $f(x) = |x^2 - 3x + 2|$.
हम द्विघात व्यंजक का गुणनखंड कर सकते हैं: $f(x) = |(x - 1)(x - 2)|$.
मापांक के अंदर का व्यंजक $x < 1$ और $x > 2$ के लिए धनात्मक है,और $1 < x < 2$ के लिए ऋणात्मक है।
अतः,$f(x) = \begin{cases} x^2 - 3x + 2 & \text{यदि } x \leq 1 \text{ या } x \geq 2 \\ -(x^2 - 3x + 2) & \text{यदि } 1 < x < 2 \end{cases}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = \begin{cases} 2x - 3 & \text{यदि } x < 1 \text{ या } x > 2 \\ -2x + 3 & \text{यदि } 1 < x < 2 \end{cases}$.
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$x > 2$ के लिए $f'(x) = 2x - 3$ प्राप्त होता है,जो विकल्प $C$ से मेल खाता है।

$(D)$ $\text{दिया गया समीकरण: } x^3 - 2x^2y^2 + 5x + y - 5 = 0$.
$\text{$x$ के सापेक्ष प्रथम अवकलन करने पर:}$
$3x^2 - (4xy^2 + 4x^2yy') + 5 + y' = 0$.
$\text{बिंदु } (1, 1) \text{ पर, } x=1 \text{ और } y=1 \text{ रखने पर:}$
$3 - (4 + 4y') + 5 + y' = 0$
$\Rightarrow 3 - 4 - 4y' + 5 + y' = 0$
$\Rightarrow 4 - 3y' = 0$
$\Rightarrow y' = 4/3$.
$\text{अब, प्रथम अवकलन समीकरण का $x$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर:}$
$6x - [4y^2 + 8xyy' + 8xyy' + 4x^2(y')^2 + 4x^2yy''] + y'' = 0$.
$\text{$x=1, y=1, y'=4/3$ रखने पर:}$
$6 - [4 + 8(4/3) + 8(4/3) + 4(16/9) + 4y''] + y'' = 0$
$6 - 4 - 64/3 - 64/9 - 4y'' + y'' = 0$
$2 - 192/9 - 64/9 - 3y'' = 0$
$2 - 256/9 = 3y''$
$(18 - 256)/9 = 3y''$
$-238/9 = 3y''$
$y'' = -238/27$.

(C) कथन $(A)$: मान लीजिए $y = \frac{x^2 \sin x}{\log x}$. दोनों पक्षों में $\log$ लेने पर,$\log y = \log(x^2) + \log(\sin x) - \log(\log x) = 2 \log x + \log(\sin x) - \log(\log x)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{2}{x} + \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{2}{x} + \cot x - \frac{1}{x \log x}$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = y \left(\cot x + \frac{2}{x} - \frac{1}{x \log x}\right) = \frac{x^2 \sin x}{\log x} \left(\cot x + \frac{2}{x} - \frac{1}{x \log x}\right)$. इसलिए,$A$ सत्य है।
कारण $(R)$: लघुगणकीय अवकलन का उपयोग करते हुए,$\frac{d}{dx} \left(\frac{uv}{w}\right) = \frac{uv}{w} \frac{d}{dx} (\log u + \log v - \log w) = \frac{uv}{w} \left(\frac{u'}{u} + \frac{v'}{v} - \frac{w'}{w}\right)$.
दिए गए कारण $(R)$ में $w$ पद के लिए प्लस का चिह्न है,इसलिए $R$ असत्य है।

(A) दिया गया है,$x \sin (\alpha+y)=\sin y$ और $y=\frac{m}{x^2+2 n x+1}$।
$x \sin (\alpha+y)=\sin y$ से,हमें प्राप्त होता है $\frac{\sin (\alpha+y)}{\sin y} = \frac{1}{x}$।
विस्तार $\sin (\alpha+y) = \sin \alpha \cos y + \cos \alpha \sin y$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है $\sin \alpha \cot y + \cos \alpha = \frac{1}{x}$।
अतः,$\cot y = \frac{1 - x \cos \alpha}{x \sin \alpha}$,जिसका अर्थ है $\tan y = \frac{x \sin \alpha}{1 - x \cos \alpha}$।
$y = \tan^{-1} \left( \frac{x \sin \alpha}{1 - x \cos \alpha} \right)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y' = \frac{1}{1 + \left( \frac{x \sin \alpha}{1 - x \cos \alpha} \right)^2} \cdot \frac{(1 - x \cos \alpha)(\sin \alpha) - (x \sin \alpha)(-\cos \alpha)}{(1 - x \cos \alpha)^2}$।
अंश को सरल करने पर: $(1 - x \cos \alpha)(\sin \alpha) + x \sin \alpha \cos \alpha = \sin \alpha - x \sin \alpha \cos \alpha + x \sin \alpha \cos \alpha = \sin \alpha$।
हर को सरल करने पर: $(1 - x \cos \alpha)^2 + (x \sin \alpha)^2 = 1 - 2x \cos \alpha + x^2 \cos^2 \alpha + x^2 \sin^2 \alpha = 1 - 2x \cos \alpha + x^2$।
अतः,$y' = \frac{\sin \alpha}{x^2 - 2x \cos \alpha + 1}$।
इसकी तुलना $y = \frac{m}{x^2 + 2nx + 1}$ के अवकलन से करने पर,हमें $m = \sin \alpha$ और $n = -\cos \alpha$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$m^2 = \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - (-n)^2 = 1 - n^2$।

(A) महत्तम पूर्णांक फलन $[x]$ एक स्टेप फलन है जो सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए पूर्णांक मान लेता है।
किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए,अंतराल $[n, n+1)$ में $[x] = n$ होता है।
$x = -1$ पर,हम बाएं हाथ के अवकलज और दाएं हाथ के अवकलज पर विचार करते हैं।
$-1$ के पड़ोस में $x$ के लिए,विशेष रूप से $x \in [-1, 0)$ के लिए,$[x] = -1$ होता है।
अतः,$x \in [-1, 0)$ के लिए,फलन $f(x) = \sin(\pi[x]) = \sin(\pi(-1)) = \sin(-\pi) = 0$ होता है।
चूंकि अंतराल $[-1, 0)$ में फलन अचर $(0)$ है,इसलिए $x = -1$ पर इसका अवकलज $\frac{d}{dx} \sin(\pi[x])$ का मान $0$ है (दाएं हाथ के अवकलज को देखते हुए)।
अंतराल $[-2, -1)$ में भी फलन अचर है,जहां $[x] = -2$ होने के कारण $f(x) = \sin(-2\pi) = 0$ होता है।
इसलिए,अवकलज $0$ है।

(C) माना $y = f(x) = \frac{(x+1)^2 \sqrt{x-1}}{(x+4)^3 e^x}$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\log y = \log \left[ \frac{(x+1)^2 \sqrt{x-1}}{(x+4)^3 e^x} \right]$
$\log y = 2 \log (x+1) + \frac{1}{2} \log (x-1) - 3 \log (x+4) - x$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{x+1} + \frac{1}{2(x-1)} - \frac{3}{x+4} - 1$.
अतः,$\frac{d y}{d x} = y \left[ \frac{2}{x+1} + \frac{1}{2(x-1)} - \frac{3}{x+4} - 1 \right]$ है।
दिए गए समीकरण के साथ तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $f(x) = y = \frac{(x+1)^2 \sqrt{x-1}}{(x+4)^3 e^x}$ है।
अब,$f(x)$ में $x = 5$ रखने पर:
$f(5) = \frac{(5+1)^2 \sqrt{5-1}}{(5+4)^3 e^5} = \frac{6^2 \sqrt{4}}{9^3 e^5} = \frac{36 \times 2}{729 e^5} = \frac{72}{729 e^5} = \frac{8}{81 e^5}$।

(A) माना $y = \frac{x^2+1}{(x^2+5)(x^2+9)}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\log y = \log(x^2+1) - \log(x^2+5) - \log(x^2+9)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{x^2+1} - \frac{2x}{x^2+5} - \frac{2x}{x^2+9}$.
$\frac{dy}{dx} = y \cdot 2x \left[ \frac{1}{x^2+1} - \frac{1}{x^2+5} - \frac{1}{x^2+9} \right]$.
$y = \frac{x^2+1}{(x^2+5)(x^2+9)}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{2x(x^2+1)}{(x^2+5)(x^2+9)} \left[ \frac{1}{x^2+1} - \frac{1}{x^2+5} - \frac{1}{x^2+9} \right]$.
दिए गए व्यंजक के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f(x) = x^2+1, g(x) = x^2+5, h(x) = x^2+9$.
अब,$2h(x) - f(x) - g(x)$ की गणना करने पर:
$2(x^2+9) - (x^2+1) - (x^2+5) = 2x^2 + 18 - x^2 - 1 - x^2 - 5 = 12$.

(C) दिया गया है,$x=f(\theta)$ और $y=g(\theta)$।
सबसे पहले,चेन नियम का उपयोग करके प्रथम अवकलज $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dx}{d\theta} = f^{\prime}(\theta)$ और $\frac{dy}{d\theta} = g^{\prime}(\theta)$।
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{g^{\prime}(\theta)}{f^{\prime}(\theta)}$।
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{g^{\prime}(\theta)}{f^{\prime}(\theta)} \right) = \frac{d}{d\theta} \left( \frac{g^{\prime}(\theta)}{f^{\prime}(\theta)} \right) \cdot \frac{d\theta}{dx}$।
भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करने पर:
$\frac{d}{d\theta} \left( \frac{g^{\prime}(\theta)}{f^{\prime}(\theta)} \right) = \frac{g^{\prime \prime}(\theta)f^{\prime}(\theta) - g^{\prime}(\theta)f^{\prime \prime}(\theta)}{(f^{\prime}(\theta))^2}$।
चूंकि $\frac{d\theta}{dx} = \frac{1}{dx/d\theta} = \frac{1}{f^{\prime}(\theta)}$,इसलिए:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{g^{\prime \prime}(\theta)f^{\prime}(\theta) - g^{\prime}(\theta)f^{\prime \prime}(\theta)}{(f^{\prime}(\theta))^2} \cdot \frac{1}{f^{\prime}(\theta)} = \frac{f^{\prime}(\theta)g^{\prime \prime}(\theta) - g^{\prime}(\theta)f^{\prime \prime}(\theta)}{(f^{\prime}(\theta))^3}$।